boundaries akan membuat pergerakan pada bagian dalam elemen, yang mengacu pada persamaan airan fluida.
Semua sifat fluida merupakan fungsi dari jarak dan waktu sehingga kita dapat menulisnya ρx,y,z,t, px,y,z,t, Tx,y,z,t dan u x,y,z,t untuk vector densitas,
tekanan, temperatur dan kecepatan. Properties pada salah satu permukaan dapat dinyatakan sebagai persamaan Taylor. Missal tekanan pada permukaan E dan W ,
yang mana keduanya berjarak 12δx dari pusat elemen, dapat dinyatkaan sebagai :
x x
p p
δ 2
1 ∂
∂ -
dan x
x p
p δ
2 1
∂ ∂
+
2.8.1 Konservasi Massa
Langkah pertama dalam derivasi persamaan konservasi massa adalah menulis keseimbangan massa pada elemen fluida
Laju peningkatan masa dalam elemen fluida = jumlah laju aliran massa kedalam elemen fluida
Laju peningkatan massa kedalam elemen fluida adalah :
z y
x t
z y
x t
∂ ∂
∂ ∂
∂ ρ ∂
∂ ρ∂
∂ ∂
=
……………………………………………...2.20
Selanjutnya dapat ditentukan jumlah aliran massa pada elemen terhadap kecepatan dan densitas. Pada gambar 2.14 dapat dilihat laju aliran massa kedalam elemen
fluida yang melewati batas dinyatakan sebagai
y x
z z
w w
y x
z z
w w
z x
y y
v v
z x
y y
v v
z y
x x
u u
z y
x x
u u
∂ ∂
∂ 2
1 ∂
ρ ∂
ρ -
∂ ∂
∂ 2
1 ∂
ρ ∂
- ρ
∂ ∂
∂ 2
1 ∂
ρ ∂
ρ -
∂ ∂
∂ 2
1 ∂
ρ ∂
- ρ
∂ ∂
∂ 2
1 ∂
ρ ∂
ρ -
∂ ∂
∂ 2
1 ∂
ρ ∂
- ρ
+
+
+
+
+
…..2.21 Aliran-aliran yang mana menuju elemen menghasilkan peningkatan massa
kedalam elemen dan mendapatkan tanda positif dan aliran-aliran yang meninggalkan elemen mendapatkan tanda negatif.
Universitas Sumatera Utara
x y
z x,y,z
x x
u u
δ 2
1 ∂
ρ ∂
- ρ
x x
u u
δ 2
1 ∂
ρ ∂
ρ + z
z w
w δ
2 1
∂ ρ
∂ ρ +
z z
w w
δ 2
1 ∂
ρ ∂
- ρ
y y
v v
δ 2
1 ∂
ρ ∂
- ρ
y y
v v
δ 2
1 ∂
ρ ∂
ρ +
Gambar 2.15 Aliran massa masuk dan keluar elemen fluida
Laju peningkatan massa didalam elemen pers 2.20 disamanakan dengan jumlah aliran massa kedalam elemen yang melewati permukaan pers 2.21. Semua
kondisi menghasilkan keseimbangan massa yang diatur pada left hand side dari tanda keseimbangan dan dibagi oleh elemen volume δxδyδz. Ini menghasilkan
persamaan ∂
ρ ∂
∂ ρ
∂ ∂
ρ ∂
= +
+ +
∂ ∂
z w
y v
x u
t
ρ
……………..………………………2.22 Atau dalam bentuk vektor dituliskan :
ρ ∂
= +
∂ u
div t
ρ …………………………………....................2.23
Untuk persamaan 2.23 untuk kondisi transien, tiga dimensi konservasi massa atau pesamaan kontinitas pada suatu titik dalam sebuah fluida mampu mampat
incompresible. Kondisi kedua dideskripsikan sebagai jumlah aliran massa yang keluar dari elemen melewati batas dan disebut kondisi konvektif.
Untuk aliran tidak mampu mampat incompressible contoh sebuah cairan densitas ρ bernilai konstan dan persamaan 2.23 menjadi
. = u
div
……………………………………………………………..2.24
Atau dalam notasi yang lebih panjang
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
= +
+ z
w y
v x
u
………………………………………………..2.25
Universitas Sumatera Utara
2.8.2 Persamaan Momentum
