Materi Teknik Optimasi

SEPARABLE PROGRAMMING

1

Eni Sumarminingsih, SSi, MM

Masalah separable programming adalah
masalah nonlinear
programming dengan
n
bentuk seperti 
berikut
f j x j  :
j 1
Max (atau min)
z=
n

g

ij

j 1

bi

s.t
(i = 1, 2, …, m)
Separable programming dapat diselesaikan
dengan pendekatan piece wise linear
function untuk setiap fj(xj )dan gij(xj)

2

Eni Sumarminingsih, SSi, MM

Sebelum melakukan pendekatan piece wise linear

function untuk fj(xj ) dan gij(xj) perlu ditentukan aj
dan bj (untuk j = 1, 2, …, n) sedemikian hingga nilai
pada solusi optimal akan memenuhi a j ≤ xj ≤ bj

Berikutnya pilih titik grid pj,1 , pj,2, …pj,k dengan
aj = pj,1 ≤ pj,2 ≤ … ≤ pj,k = bj
(untuk kesederhanaan, untuk setiap variabel dapat
digunakan banyak grid yang sama ).
 Konsep dasar dari metode separable programming
adalah mendekati setiap fungsi fj(xj ) dan gij(xj)
dengan fungsi linear pada setiap interval [pj,r - 1 , pj,r ]

3

Eni Sumarminingsih, SSi, MM

Secara formal, misalkanp j , r

maka untuk 0    1

x j  p j , r 1

x j p j , r  1    p j , r 1

Secara umum, untuk pendekatan masalah

separable programming xj dapat dinyatakan
sebagai
(j = 1,

4

x j …,
n)j ,1dengan
p j ,1   j , 2 p j , 2     j , k p j , k
2,
(j = 1,2,
  n)
j ,1 …,
j , 2     j , k 1
(j = 1, 2, …, n ; r = 1,
 j , r 0
Eni Sumarminingsih, SSi, MM
2, …, k)

Sehingga fj(xj ) dapat didekati dengan
Dan gij(xj) dapat didekati dengan

5

Eni Sumarminingsih, SSi, MM

Untuk memastikan keakuratan pendekatan

ini, maka harus dipastikan bahwa untuk
setiap j (j = 1, 2, …, n), maksimum hanya
ada dua j,r yang positif
Untuk j tertentu misalkan j,k positif maka

j,k - 1 atau j,k+1 harus positif dan bukan j,r
yang lain
j,k dikatakan adjacent dengan j,k - 1 dan
j,k+1

6

Eni Sumarminingsih, SSi, MM

Secara lengkap, pendekatan masalah

separable programming dapat dinyatakan
n
sebagai berikut:
z    j ,1 f  p j ,1    j , 2 f  p j , 2      j , k f  p j , k 
j 1
n
max (atau min)
  j ,1 g ij  p j ,1    j ,2 g ij  p j ,2      j , k g ij  p j , k  bi
s.t j 1

 j ,1   j , 2     (i=
1 2, ..., m)
j , k 1,
 j , r 0

7

(j = 1, 2, …, n)
(j = 1, 2, …, n ; r = 1, 2, …, k)
asumsi adjacency

Eni Sumarminingsih, SSi, MM

Dapat dilihat bahwa pendekatan separable programming

adalah masalah linear programming sehingga dapat
diselesaikan dengan metode simplek.
Namun demikian, penyelesaian dengan metode simplek
memungkinkan asumsi adjacency terlanggar atau tidak
terpenuhi.
Untuk menghindari hal tersebut, metode simplek perlu
dimodifikasi, yaitu dengan menambah aturan sebagai berikut :
1. Jika untuk j tertentu, semua j,k = 0, maka setiap j,k boleh
masuk sebagai basis.

2. Jika untuk j tertentu, j,k positif maka hanya j,k-1 atau j,k+1
yang boleh masuk sebagai basis
3. Jika untuk j tertentu, terdapat dua j,k yang positif, maka tidak
boleh ada j,k lain yang dapat masuk sebagai basis

8

Eni Sumarminingsih, SSi, MM

Terdapat dua kasus di mana metode

simplek biasa dapat digunakan untuk
menyelesaikan pendekatan terhadap
separable programming dan menghasilkan
solusi yang secara otomatis memenuhi
asumsi adjacency, yaitu
1. Jika separable programming adalah
masalah maksimisasi, setiap fj(xj)
concave dan setiap gij(xj) adalah convex
2. Jika separable programming adalah

9

masalah minimisasi, setiap adalah fj(xj)
Eni Sumarminingsih,
SSi, MMsetiap g (x ) adalah convex
convex dan
ij
j

Contoh permasalahan
Misalkan ingin dicari solusi optimal dari
masalah
berikut
z x1  30
 x1   x:2  35  x2   x12  2 x22
Max
2
2

z 30 x1  35 x2  2 x1  3 x2

S.t

x12  2 x22 250

x1  x2 20

x1 , x2 0

Permasalahan
masalah
f1  x1  30 x1  2 x12 ini adalah
f 2  x2  35
x2  3 x22 separable
2
2
programming
dengan



g
x

2x
g11  x1  x1
12 2
2

g 21  x1  x1

10

Eni Sumarminingsih, SSi, MM

g 22  x2  x2

dan dapat ditetapkan a1 = a2 = 0 dan
b1=b2=20 (karena x1  x2 20
x1, x2 ≥ 0 dan ada kendala

).

Misalkan dipilih 5 grid ( semakin banyak grid
akan semakin baik) untuk setiap variabel
g ij  p j ,r 
f j  p j ,r 
dengan grid p11= p21=0 ,p12=p22= 5,
p13=p23=10 , p14=p24=15, p15=p25=20 .
Sehingga didapat nilai
dan nilai
untuk grid tersebut adalah sebagai
berikut:
11

Eni Sumarminingsih, SSi, MM

g ij  p j ,r 
Tabel 1. Nilaif j  p j ,r  dan
untuk Grid 0, 5, 10, 15, 20

Fungsi
f1  p j ,r 

f 2  p j ,r 

g11  p j ,r 

g12  p j ,r 
g 21  p j ,r 

g 22  p j ,r 

12

0
0
0
0
0
0

0

5
100
100
25
50
5
5

Eni Sumarminingsih, SSi, MM

Pj,r
10
100
50
100
200
10
10

15

0
-150
225
450
15
15

20
-200
-500
400
800
20
20

Dari Tabel 1. dapat dituliskan pendekatan
masalah separable programming untuk contoh
permasalahan
sebagai
zˆ 100 12 adalah
100 13  200
 15  100berikut:
 22  50 23  150 24  500 25
Max 25  100  225  400  50  200  450  800 250
5 12  10 13  15 14  20 15  5 22  10 23  15 24  20 25 20
s.t
12

13

14

15

 11   12   13   14   15 1
 21   22   23   24   25 1

Asumsi
 j , r 0 adjacency
13

Eni Sumarminingsih, SSi, MM

22

23

24

25

Permasalahan ini adalah permasalahan linear
programming sehingga dapat diselesaikan
dengan metode simpleks biasa karena untuk
contoh permasalahan ini, setiap fj(xj) adalah
12 
 22 1
concave dan setiap gij(xj) adalah
convex.
x1 1(dari
5) 5 permasalahn
x2 1(5) 5 ini adalah
zˆ 200
Solusi optimal

14

x1 7.5
Hal ini berarti
dan
x2 5.83
sedang
.
Jika dibandingkan dengan solusi optimal
sebenarnya yaitu
dan
dengan z = 214.5, solusi
Eni Sumarminingsih, SSi, MM
dengan pendekatan separable programming