Materi Teknik Optimasi
Pemrograman Kuadratik
Eni Sumarminingsih, Ssi, MM
Eni Sumarminingsih, SSi, MM
1
Pemrograman Kuadratik
Derajat
(degree) dari adalah k1 +
k2 + … + k n .
Maka derajat dari adalah
3
Derajat dari x1x2 adalah
2
Eni Sumarminingsih, SSi, MM
2
Pemrograman
kuadratik adalah
NLP yang memiliki kendala linier
dan fungsi objective yang
merupakan penjumlahan term
dengan bentuk (dengan setiap
term memiliki derajat 2, 1, atau 0)
Salah satu metode yang dapat
digunakan untuk menyelesaikan
masalah Pemrograman Kuadratik
adalah Metode Wolfe
Eni Sumarminingsih, SSi, MM
3
Metode Wolfe
Metode
Wolfe akan dijelaskan
dengan contoh berikut:
Min z =
s.t
Gunakan syarat Kuhn –Tucker dan
tambahkan kendala awalnya
Eni Sumarminingsih, SSi, MM
4
Penyelesaian
Semua variable nonnegative
Empat persamaan terakhir adalah kondisi
complementary of slacness pada
pemrograman kuadratik
Eni Sumarminingsih, SSi, MM
5
Untuk menemukan titik yang memenuhi
semua syarat K-T (kecuali kondisi
complementary of slackness), metode
wolfe mengaplikasikan modifikasi Phase I
pada metode simpleks dua phase
Pertama kita tambahkan artificial
variable pada setiap kendala pada syarat
K-T yang tidak memiliki basic variable
Kemudian kita minimumkan jumlah dari
artificial variable tersebut
Eni Sumarminingsih, SSi, MM
6
Untuk memastikan bahwa solusi optimal yang
didapat nantinya memenuhi kondisi
complementary of slackness maka metode
wolfe melakukan modisikasi metode simpleks
dalam hal pemilihan variabel yang akan
masuk sebagai basic variabel, yaitu:
1. Jangan melakukan pivot yang akan
membuat i dan xi keduanya menjadi basic
variabel
2. Jangan melakukan pivot yang akan
membuat si (atau ei) dan I keduanya
menjadi basic variabel
Eni Sumarminingsih, SSi, MM
7
Untuk
menyelesaikan masalah
dalam contoh kita harus
menyelesaikan LP berikut:
Min
1
1
Semua variabel nonnegative
Eni Sumarminingsih, SSi, MM
8
Min
1
1
Semua variabel nonnegative
w x1 x2
1 0 0
0 1 -1
0 -1 2
0 1 1
0 2 3
L1 L2
0 0
1 -2
1 -3
0 0
0 0
MU MU
1 2
0 0
-1 0
0 -1
0 0
0 0
s1 e2 a1 a2 a4
0 0 -1 -1 -1
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
1 0 0 0 0
0 -1 0 0 1
rasi
rhs o
0
1
1
3
6
Eni Sumarminingsih, SSi, MM
9
w x1 x2
1 0 0
0 1 -1
0 -1 2
0 1 1
0 2 3
L1 L2
0 0
1 -2
1 -3
0 0
0 0
MU MU
1 2
0 0
-1 0
0 -1
0 0
0 0
s1 e2 a1 a2 a4
0 0 -1 -1 -1
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
1 0 0 0 0
0 -1 0 0 1
rasi
rhs o
0
1
1
3
6
Agar a1, a2 dan a4 dapat menjadi basic variabel maka koefisien
variabel tersebut pada baris nol harus sama dengan nol dengan
cara dilakukan OBE
Baris nol baru = baris nol lama + baris 1 + baris2 + baris 4
Eni Sumarminingsih, SSi, MM
10
w
1
0
x1 x2 L1
2 4 2
1 -1 1
MU
L2 1
-5 -1
-2 -1
0
0
0
-1
1
2
-3
0
0
2
1
3
1
0
0
0
0
0
MU
2 s1
-1 0
0
0
e2
-1
0
a1
0
1
a2
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
a4 rhs
0
0
0
1
0
0
1
1
3
6
rasi
o
0.5
0
3
2
BV : a1 = 1; a2=1 ; s1 = 3 ; a4
=6
X2 masuk sebagai basic variabel menggantikan a2
Eni Sumarminingsih, SSi, MM
11
w x1 x2 L1
1 4 0 0
0 0.5 0 1.5
0 -0.5 1 0.5
MU MU
L2 1 2 s1
1 -1 1
0
-3.5 -1 0.5 0
-1.5 0 0.5 0
rasi
a4 rhs o
0
6
e2
-1
a1
0
a2
-2
0
1
0.5
0
1.5
0
0
0.5
0
0.5
0 1.5 0 -0.5 1.5
0 0.5
1
0
0
-0.5
0
0 3.5 0 -1.5 4.5
0 1.5
0
-1
0
-1.5
1
Basic Variabel : a1 =1.5; x2 = 0.5; s1 = 2.5; a4 =
4.5
3
1.6
2.5 7
1.2
4.5 9
X1 masuk sebagai basic variabel menggantikan a4
Eni Sumarminingsih, SSi, MM
12
w
x1 x2
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
MU
rasi
L1 L2 MU1 2
s1 e2 a1 a2 a4 rhs o
0.14
1.71 4.14 -1 -0.7 0
3
0 0.29 1.14 0.86
1.71 0.14
0.71 4 4.14 -1 -0.7 0
3
1
4 0.14 0.86 6
0.28 0.28
6 0.86 0 -0.3 0 0.14 0
6 0.14 1.14
0.14 0.42
0.14 1.33
3 0.43 0 -0.1 1
9
0
3 0.43 0.57 3
- 1.28
0.4
- 0.28
0.43 6
0
3
0 0.29 0 0.43 6 1.29
Basic Variabel : a1 =0.86 x2 = 1.14; s1=0.57; x1 =
1.29
L1 masuk sebagai basic variabel namun karena s1
menjadi basic variabel maka L1 tidak boleh menjadi
basic variabel sehingga yang masuk menjadi basic
variabel adalah e2 menggantikan s1Eni Sumarminingsih, SSi, MM
13
L1
MU
L2 MU1 2
w
x1
x2
1
0
0 1.667 -4
0
0
0
e2
a1
a2
a4
rhs rasio
-1 -0.7 -0.33
0
0
-0.33
-1
0.67
0 1.667 -4
-1 -0.7 -0.33
0
1
0.67
0
0.67 0.402
0
1 0.333 -1
0
-0.3 0.33
0
0
0.33
0
1.33 3.99
0
0
0 0.333 -1
0
-0.3 2.333
1
0
0.33
-1
1.33 3.99
0
1
0 -0.33
0
0.33 0.67
0
0
-0.33
0
1.67
1
s1
Basic Variabel : a1 =0.67 x2 = 1.33; e2=1.33; x1
= 1.67
L1 masuk sebagai basic variabel menggantikan a1
Eni Sumarminingsih, SSi, MM
14
w
x1
x2
L1
L2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
MU1 MU2 s1
0
0
e2
a1
a2
a4
rhs
0
0
0
-1
-1
-1
0
1
-2.4 -0.6 -0.4
-0.2
0
0.6
0.4
0
0.4
1
0
-0.2
0.2 -0.2
0.4
0
-0.2
0.2
0
1.2
0
0
0
-0.2
0.2 -0.2
2.4
1
-0.2
0.2
-1
1.2
1
0
0
0.2 -0.2 0.2
0.6
0
0.2
-0.2
0
1.8
Karena pada baris nol semua koefisien tidak ada yang positif
maka tabel sudah optimal.
Basic Variabel L1 = 0.4; x2 = 1.2; e2 = 1.2; x1 = 1.8
Eni Sumarminingsih, SSi, MM
15
Eni Sumarminingsih, Ssi, MM
Eni Sumarminingsih, SSi, MM
1
Pemrograman Kuadratik
Derajat
(degree) dari adalah k1 +
k2 + … + k n .
Maka derajat dari adalah
3
Derajat dari x1x2 adalah
2
Eni Sumarminingsih, SSi, MM
2
Pemrograman
kuadratik adalah
NLP yang memiliki kendala linier
dan fungsi objective yang
merupakan penjumlahan term
dengan bentuk (dengan setiap
term memiliki derajat 2, 1, atau 0)
Salah satu metode yang dapat
digunakan untuk menyelesaikan
masalah Pemrograman Kuadratik
adalah Metode Wolfe
Eni Sumarminingsih, SSi, MM
3
Metode Wolfe
Metode
Wolfe akan dijelaskan
dengan contoh berikut:
Min z =
s.t
Gunakan syarat Kuhn –Tucker dan
tambahkan kendala awalnya
Eni Sumarminingsih, SSi, MM
4
Penyelesaian
Semua variable nonnegative
Empat persamaan terakhir adalah kondisi
complementary of slacness pada
pemrograman kuadratik
Eni Sumarminingsih, SSi, MM
5
Untuk menemukan titik yang memenuhi
semua syarat K-T (kecuali kondisi
complementary of slackness), metode
wolfe mengaplikasikan modifikasi Phase I
pada metode simpleks dua phase
Pertama kita tambahkan artificial
variable pada setiap kendala pada syarat
K-T yang tidak memiliki basic variable
Kemudian kita minimumkan jumlah dari
artificial variable tersebut
Eni Sumarminingsih, SSi, MM
6
Untuk memastikan bahwa solusi optimal yang
didapat nantinya memenuhi kondisi
complementary of slackness maka metode
wolfe melakukan modisikasi metode simpleks
dalam hal pemilihan variabel yang akan
masuk sebagai basic variabel, yaitu:
1. Jangan melakukan pivot yang akan
membuat i dan xi keduanya menjadi basic
variabel
2. Jangan melakukan pivot yang akan
membuat si (atau ei) dan I keduanya
menjadi basic variabel
Eni Sumarminingsih, SSi, MM
7
Untuk
menyelesaikan masalah
dalam contoh kita harus
menyelesaikan LP berikut:
Min
1
1
Semua variabel nonnegative
Eni Sumarminingsih, SSi, MM
8
Min
1
1
Semua variabel nonnegative
w x1 x2
1 0 0
0 1 -1
0 -1 2
0 1 1
0 2 3
L1 L2
0 0
1 -2
1 -3
0 0
0 0
MU MU
1 2
0 0
-1 0
0 -1
0 0
0 0
s1 e2 a1 a2 a4
0 0 -1 -1 -1
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
1 0 0 0 0
0 -1 0 0 1
rasi
rhs o
0
1
1
3
6
Eni Sumarminingsih, SSi, MM
9
w x1 x2
1 0 0
0 1 -1
0 -1 2
0 1 1
0 2 3
L1 L2
0 0
1 -2
1 -3
0 0
0 0
MU MU
1 2
0 0
-1 0
0 -1
0 0
0 0
s1 e2 a1 a2 a4
0 0 -1 -1 -1
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
1 0 0 0 0
0 -1 0 0 1
rasi
rhs o
0
1
1
3
6
Agar a1, a2 dan a4 dapat menjadi basic variabel maka koefisien
variabel tersebut pada baris nol harus sama dengan nol dengan
cara dilakukan OBE
Baris nol baru = baris nol lama + baris 1 + baris2 + baris 4
Eni Sumarminingsih, SSi, MM
10
w
1
0
x1 x2 L1
2 4 2
1 -1 1
MU
L2 1
-5 -1
-2 -1
0
0
0
-1
1
2
-3
0
0
2
1
3
1
0
0
0
0
0
MU
2 s1
-1 0
0
0
e2
-1
0
a1
0
1
a2
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
a4 rhs
0
0
0
1
0
0
1
1
3
6
rasi
o
0.5
0
3
2
BV : a1 = 1; a2=1 ; s1 = 3 ; a4
=6
X2 masuk sebagai basic variabel menggantikan a2
Eni Sumarminingsih, SSi, MM
11
w x1 x2 L1
1 4 0 0
0 0.5 0 1.5
0 -0.5 1 0.5
MU MU
L2 1 2 s1
1 -1 1
0
-3.5 -1 0.5 0
-1.5 0 0.5 0
rasi
a4 rhs o
0
6
e2
-1
a1
0
a2
-2
0
1
0.5
0
1.5
0
0
0.5
0
0.5
0 1.5 0 -0.5 1.5
0 0.5
1
0
0
-0.5
0
0 3.5 0 -1.5 4.5
0 1.5
0
-1
0
-1.5
1
Basic Variabel : a1 =1.5; x2 = 0.5; s1 = 2.5; a4 =
4.5
3
1.6
2.5 7
1.2
4.5 9
X1 masuk sebagai basic variabel menggantikan a4
Eni Sumarminingsih, SSi, MM
12
w
x1 x2
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
MU
rasi
L1 L2 MU1 2
s1 e2 a1 a2 a4 rhs o
0.14
1.71 4.14 -1 -0.7 0
3
0 0.29 1.14 0.86
1.71 0.14
0.71 4 4.14 -1 -0.7 0
3
1
4 0.14 0.86 6
0.28 0.28
6 0.86 0 -0.3 0 0.14 0
6 0.14 1.14
0.14 0.42
0.14 1.33
3 0.43 0 -0.1 1
9
0
3 0.43 0.57 3
- 1.28
0.4
- 0.28
0.43 6
0
3
0 0.29 0 0.43 6 1.29
Basic Variabel : a1 =0.86 x2 = 1.14; s1=0.57; x1 =
1.29
L1 masuk sebagai basic variabel namun karena s1
menjadi basic variabel maka L1 tidak boleh menjadi
basic variabel sehingga yang masuk menjadi basic
variabel adalah e2 menggantikan s1Eni Sumarminingsih, SSi, MM
13
L1
MU
L2 MU1 2
w
x1
x2
1
0
0 1.667 -4
0
0
0
e2
a1
a2
a4
rhs rasio
-1 -0.7 -0.33
0
0
-0.33
-1
0.67
0 1.667 -4
-1 -0.7 -0.33
0
1
0.67
0
0.67 0.402
0
1 0.333 -1
0
-0.3 0.33
0
0
0.33
0
1.33 3.99
0
0
0 0.333 -1
0
-0.3 2.333
1
0
0.33
-1
1.33 3.99
0
1
0 -0.33
0
0.33 0.67
0
0
-0.33
0
1.67
1
s1
Basic Variabel : a1 =0.67 x2 = 1.33; e2=1.33; x1
= 1.67
L1 masuk sebagai basic variabel menggantikan a1
Eni Sumarminingsih, SSi, MM
14
w
x1
x2
L1
L2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
MU1 MU2 s1
0
0
e2
a1
a2
a4
rhs
0
0
0
-1
-1
-1
0
1
-2.4 -0.6 -0.4
-0.2
0
0.6
0.4
0
0.4
1
0
-0.2
0.2 -0.2
0.4
0
-0.2
0.2
0
1.2
0
0
0
-0.2
0.2 -0.2
2.4
1
-0.2
0.2
-1
1.2
1
0
0
0.2 -0.2 0.2
0.6
0
0.2
-0.2
0
1.8
Karena pada baris nol semua koefisien tidak ada yang positif
maka tabel sudah optimal.
Basic Variabel L1 = 0.4; x2 = 1.2; e2 = 1.2; x1 = 1.8
Eni Sumarminingsih, SSi, MM
15