Materi Teknik Optimasi

STOCHASTIC PROGRAMMING





Stochastic programming berkaitan
dengan situasi dimana beberapa atau
semua parameter dari permasalahan
adalah peubah acak.
Ide dasar stochastic programming
adalah merubah masalah probabilistik
menjadi situasi deterministik yang
ekuivalen



Stochastic
programming berkaitan
 
dengan Chance-constrained

programming, yang didefinisikan sebagai

Subject to ,
i=1,2,…, m; untuk semua j
Diasumsikan bahwa semua aij dan bi
adalah peubah acak

Terdapat tiga kasus yang
dipertimbangkan :
1. Hanya aij yang acak untuk semua i dan
j
2. Hanya bi yang acak untuk semua i
3.

aij dan bi keduanya acak untuk semua
i dan j

Pada ketiga kasus tersebut diasumsikan

KASUS 1





 Setiap aij menyebar normal dengan
rata – rata E(aij), ragam Var(aij) dan
Cov(aij,ai’j’)
Kendala ke-i

Tentukan
Maka hi menyebar normal dengan

 
Dimana
Di = matriks covarian ke i


=



 Sehingga

Dimana adalah norma baku dengan rata
– rata nol dan ragam satu. Artinya
dimana F adalah CDF dari sebaran
normal baku



 
Misalkan
adalah nilai normal baku
sedemikian hingga
F()=1 - i

Maka pernyataan P(hi ≤ bi) ≥ 1 - I
terjadi jika dan hanya jika ≥
Hal ini akan menghasilkan kendala
nonlinier yang deterministik.








 

untuk kasus khusus dimana sebaran normal
adalah bebas, maka cov{aij,ai’j’) = 0
Dan kendala terakhir menjadi
Kendala ini dapat dijadikan bentuk
pemrograman terpisah(separable programming
dengan menggunakan substitusi untuk semua i



 Sehingga kendala yang asli menjadi



dan

KASUS 2






 Hanya bi yang menyebar normal
dengan rata –rata E{bi} dan ragam var
{bi}.
Analisis yang dilakukan sama dengan
pada kasus 1.
Seperti pada kasus 1,



 Hal ini dapat terjadi jika dan hanya jika



Sehingga stochastic constraint menjadi
deterministic linear contraint

KASUS 3



Pada
kasus ini, semua aij dan bi adalah peubah
 
acak normal.
Kendala
dapat ditulis sebagai

Karena semua aij dan bi adalah normal maka

juga normal. Hal ini menunjukkan bahwa chance
constraint berubah ke situasi dalam kasus 1 dan
diperlakukan dengan cara yang sama

CONTOH
Pertimbangkan chance – constrained problem berikut
Max z = 5x1 +6x2+3x3
s.T P{a11x1 + a12x2 +a13x3 ≤ 8} ≥ 0.95
P{5x1 + x2 +6x3 ≤ b2} ≥ 0.10
x1, x2, x3 ≥ 0
Asumsikan bahwa aij adalah peubah acak yang bebas
dan menyebar normal dengan rata – rata dan ragam
sebagai berikut:
E{a11} = 1, E{a12} = 3, E{a13} = 9
var{a11} = 25, var{a12} = 16, var{a13} = 4


Parameter
 

b2 menyebar normal dengan
rata - rata 7 dan ragam 9
Dari tabel normal baku didapatkan
,
Kedua kendala dirubah menjadi
deterministik :






Jika
kita misalkan
 
Maka permasalahannya menjadi
Max z = 5x1 +6x2+3x3
s.t

Yang dapat diselesaikan menggunakan

separable programming