APLIKASI MODEL SUKU BUNGA STOKASTIK WAKTU DISKRIT BLACK-DERMAN-TOY DENGAN FORWARD-INDUCTION DALAM PENGHITUNGAN ANUITAS (STUDI KASUS: TINGKAT SUKU BUNGA DI AMERIKA SERIKAT).

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Bunga adalah suatu bentuk imbalan yang diberikan oleh peminjam modal kepada pemilik modal atas hilangnya kegunaan modal akibat kegiatan pinjam-meminjam selama waktu tertentu (Kellison, 1991). Adapun tingkat suku bunga menjelaskan besarnya imbalan yang diperoleh pemilik modal, yang biasanya nilainya sekian persen dari modal yang terlibat dalam kegiatan pinjam-meminjam. Tingkat suku bunga digunakan pada hampir seluruh instrumen keuangan seperti tabungan, peminjaman, investasi, asuransi, dana pensiun dan lain sebagainya (Broverman, 2010). Hal tersebut diakibatkan oleh instrumen keuangan yang disebutkan di atas pada dasarnya merupakan kegiatan yang melibatkan hilangnya kegunaan modal yang harus diikuti dengan pemberian bunga pada jumlah tertentu. Sebagai contoh tabungan dan deposito memberikan bunga akibat hilangnya kegunaan uang nasabah selama tersimpan di bank. Pergerakan tingkat suku bunga dilaporkan secara harian oleh bank sentral karena tingkat suku bunga berpengaruh secara langsung terhadap kehidupan sehari-hari dan memiliki konsekuensi penting terhadap kesehatan ekonomi. Tingkat suku bunga mempengaruhi keputusan personal apakah seseorang akan menggunakan uangnya secara konsumtif maupun disimpan, apakah seseorang harus membeli rumah, obligasi atau menyetorkan uangnya ke rekening bank. Selain di ranah personal, tingkat suku bunga juga mempengaruhi keputusan-keputusan besar di sektor bisnis dan rumah tangga

(Mishkin, 2004:61). Oleh karena itu, tingkat suku bunga adalah salah satu variabel yang amat penting dalam dunia keuangan, karena pergerakannya begitu cepat sehingga pelaporannya dilakukan setiap hari.

Tingkat suku bunga berperan penting dalam penghitungan anuitas. Anuitas menurut Kellison (1991) didefinisikan sebagai rangkaian pembayaran yang dilakukan pada interval waktu yang sama. Contoh dari anuitas adalah sewa rumah, kredit pemilikan rumah, kredit kendaraan, dan lain sebagainya. Praktik penghitungan anuitas yang telah dikenal masyarakat menggunakan metode deterministik yaitu menganggap tingkat suku bunga konstan sepanjang lama waktu pembayaran anuitas. Hal ini tentu saja tidak sesuai dengan keadaan yang sesungguhnya di mana suku bunga berubah setiap saat sesuai dengan dinamika yang terjadi di pasar. Suku bunga yang berubah-ubah seiring dengan berjalannya waktu disebut dengan suku bunga stokastik. Oliveira dkk (2014) meneliti mengenai perbandingan pengukuran risiko antara model tingkat suku bunga deterministik dengan model tingkat suku bunga stokastik. Hasil analisis empiris pada penelitian tersebut mencapai kesimpulan bahwa pengukuran risiko model stokastik lebih unggul daripada model determinisitik.

Penghitungan anuitas dengan tingkat suku bunga stokastik dapat memberikan keuntungan bagi pemegang maupun penerbit instrumen keuangan yang menggunakan anuitas tersebut. Fluktuasi tingkat suku bunga memuat resiko yang berpengaruh terhadap keuntungan di kedua belah pihak (pemegang dan penerbit). Beberapa keuntungan yang bisa diperoleh dari penerapan model tingkat

1. Pemberi kredit dapat memperkecil resiko turunnya keuntungan dengan model tingkat suku bunga yang sesuai dengan keadaan pasar.

2. Pengguna kredit memperoleh perlindungan dari membayar kredit terlalu tinggi akibat asumsi suku bunga yang lebih tinggi dari keadaan pasar yang sesungguhnya.

3. Penilaian dengan model stokastik lebih baik dibandingkan dengan model deterministik karena menggambarkan keadaan pasar yang sesungguhnya.

Sampai awal dekade 1990-an telah banyak model tingkat suku bunga stokastik yang diperkenalkan. Model suku bunga stokastik disebut juga sebagai model suku bunga sesaat. Suku bunga sesaat adalah suku bunga yang berlaku hanya untuk satu tahun. Model suku bunga sesaat menggunakan pendekatan baik waktu kontinu maupun waktu diskrit. Contoh model suku bunga sesaat yang sudah diperkenalkan antara lain model Vasicek (1977), Cox-Ingersoll-Ross (1985), Black-Derman-Toy (1990) dan Black-Karasinski (1991).

Salah satu model yang sering dipakai oleh praktisi adalah model Black-Derman-Toy yang merupakan model suku bunga sesaat waktu diskrit. Model ini menggunakan informasi kurva imbal hasil dan volatilitas kurva imbal hasil untuk membentuk berbagai kemungkinan suku bunga sesaat yang mungkin terjadi selama periode tertentu (Gaillardetz, 2008) yang kemudian dinamakan pohon suku bunga sesaat. Alasan pemilihan model ini dikemukakan Panjer dkk (1998) dalam Qoyyimi (2008: 28), yaitu “Pertama, model waktu diskrit masih banyak dipakai dalam aplikasi hingga saat ini. Kedua, ide-ide penting dan konsep tentang model suku

bunga dapat dipandang dalam konteks waktu diskrit, di mana analisis matematisnya relatif lebih sederhana. Ketiga, model-model waktu kontinu tidak sedikit yang kemudian diselesaikan dengan pendekatan numerik atau komputasi yang menggunakan model waktu diskrit untuk mengaproksimasi model waktu kontinu.”.

Proses membangun model Black-Derman Toy dapat dilakukan dengan berbagai cara, karena dalam makalahnya Black dkk tidak memberikan langkah spesifik. Haerini (2013) melakukan pendekatan persamaan diferensial stokastik menggunakan kalkulus stokastik dan gerak Brown untuk menyelesaikan model tersebut seperti yang dijelaskan Black dan Karasinski(1990). Panjer dkk (1998) memperkenalkan suatu teknik yang tidak menggunakan persamaan diferensial untuk penyelesaian modelnya yaitu teknik forward-induction yang memanfaatkan harga obligasi tanpa kupon pada beberapa titik waktu tertentu. Teknik forward-induction dalam model Black-Derman-Toy ini digunakan oleh Qoyyimi (2008) pada tesisnya untuk membangun pohon suku bunga sesaat yang kemudian diterapkan dalam penghitungan premi asuransi berjangka dan asuransi dwiguna.

Berdasarkan latar belakang di atas penulis tertarik untuk membahas mengenai penghitungan anuitas menggunakan model suku bunga stokastik waktu diskrit Black-Derman-Toy menggunakan teknik forward-induction.

B. Batasan Masalah

skripsi ini adalah anuitas akhir (annuity-immediate). Adapun model tingkat suku bunga stokastik yang akan digunakan adalah model tingkat bunga stokastik waktu diskrit Black-Derman-Toy.

C. Rumusan Masalah

Rumusan permasalahan yang akan dikaji oleh penulis dalam skripsi ini adalah:

1. Bagaimana proses membangun pohon suku bunga sesaat dengan model tingkat suku bunga stokastik Black-Derman-Toy menggunakan teknik forward-induction?

2. Bagaimana penerapan model tingkat suku bunga stokastik Black-Derman-Toy pada penghitungan nilai sekarang dan nilai masa depan anuitas?

3. Bagaimana perbandingan nilai anuitas suku bunga stokastik dengan anuitas menggunakan suku bunga aktual ditinjau dari selisih nilai sekarang dan nilai masa depannya?

D. Tujuan Penelitian

Tujuan dari pelaksanaan penelitian ini adalah

1. Menjelaskan cara membangun proses suku bunga sesaat model Black-Derman-Toy dengan teknik forward-induction.

2. Menjelaskan penerapan proses suku bunga sesaat yang telah dibangun ke dalam penghitungan anuitas.

3. Membandingkan hasil yang diperoleh dengan anuitas dengan suku bunga aktual.

E. Manfaat Penelitian

Penelitian ini diharapkan memiliki manfaat sebagai berikut: 1. Bagi Industri Keuangan

Penelitian ini diharapkan mampu memberikan alternatif penghitungan anuitas untuk meminimalisir risiko instrumen keuangan oleh karena fluktuasi suku bunga.

2. Bagi Akademisi

Penelitian ini diharapkan dapat menambah literatur di bidang matematika keuangan dan model suku bunga stokastik.

BAB II

KAJIAN PUSTAKA

Pada Bab II akan dijelaskan mengenai dasar teori yang akan mendukung pembentukan model suku bunga stokastik waktu diskrit dan penerapannya dalam anuitas, yaitu: peluang, peubah acak diskrit, nilai harapan, variansi, peluang bersyarat, momen bersyarat, distribusi binomial, martingale, tingkat bunga & diskon, nilai sekarang, nilai masa depan, anuitas, obligasi tanpa kupon, term structure, model suku bunga stokastik waktu diskrit Black-Derman-Toy dengan forward-induction, MAPE dan MSE.

A. Peluang dan Peubah Acak

Peluang memiliki beberapa definisi, definisi peluang dan sifat yang menyertainya yang akan digunakan dalam skripsi ini adalah sebagai berikut:

Definisi 1. (Bain & Engelhardt, 1991)

Untuk suatu percobaan yang dilakukan, � menotasikan seluruh hasil yang mungkin dan , , , … mewakili kejadian-kejadian yang mungkin. Suatu fungsi yang menghubungkan setiap kejadian dengan tepat satu bilangan real disebut fungsi peluang. selanjutnya disebut peluang dari dan memenuhi sifat-sifat berikut:

untuk setiap (2.1)

(⋃

∞

=

) = ∑

∞

=

untuk , , , … saling lepas satu sama lain

(2.3)

Adapun definisi klasik peluang suatu kejadian dengan asumsi setiap kejadian tidak mungkin terjadi bersamaan dan masing-masing kejadian mempunyai kemungkinan yang sama untuk terjadi, dengan mewakili banyaknya cara kejadian dapat terjadi dan mewakili banyak seluruh hasil yang mungkin terjadi adalah,

= . (2.4)

Definisi 2. (Bain & Engelhardt ,1991)

Peubah acak adalah fungsi yang didefinisikan pada ruang sampel �, yang menghubungkan yaitu setiap hasil yang mungkin dari � dengan tepat satu bilangan real = .

Contoh 1

Pada pelemparan koin 2 kali yang hasilnya bisa berupa gambar ( ) maupun angka ( ), peubah acak menghubungkan hasil yang mungkin dari pelemparan koin sebanyak 2 kali � = { , , , , , , , } dengan banyaknya angka yang

muncul sehingga = , = , = , dan = .

Berdasarkan banyak hasil yang mungkin terjadi, peubah acak dapat dibagi menjadi dua jenis, yaitu peubah acak diskrit dan peubah acak kontinu.

Definisi 3. (Bain & Engelhardt ,1991)

Peubah acak dengan domain himpunan yang dapat dihitung (countable set) disebut peubah acak diskrit.

Peubah acak diskrit memiliki fungsi peluang dan fungsi peluang kumulatif. Fungsi peluang merupakan fungsi yang menghubungkan nilai peubah acak tertentu ke peluang yang menyertai nilai tersebut. Fungsi peluang kumulatif adalah fungsi yang memberikan nilai peluang untuk seluruh nilai yang kurang dari atau sama dengan suatu nilai peubah acak.

Definisi 4. (Bain & Engelhardt ,1991)

Peubah acak diskrit memiliki fungsi peluang = [ = ] untuk =

, , , … dan fungsi peluang kumulatif = [ ].

Sifat-sifat kedua fungsi tersebut adalah:

untuk semua (2.5)

∑ =

∀ �

(2.6)

= − − (2.7)

= ∑ �≤

. _(2.8)

Contoh 2

Diketahui pada Contoh 1 untuk = ada 1 cara, = ada 2 cara dan = ada 1 cara. Peluang masing-masing kejadian dihitung dengan persamaan (2.4) sebagai berikut:

= = = = =

= = = = = =

= = = = =

Jadi untuk = , , sifat (2.5) terpenuhi. Kemudian + + = +

+ = sehingga sifat (2.6) terpenuhi.

Definisi 5. (Bain & Engelhardt ,1991)

Peubah acak diskrit memiliki nilai harapan:

= ∑ . (2.9)

Contoh 3

Akan dicari nilai harapan dari peubah acak di Contoh 1

= ∑

= . + . + .

= . + . + .

Teorema 1. (Bain & Engelhardt ,1991)

Sifat-sifat nilai harapan peubah acak diskrit adalah:

Jika adalah fungsi bernilai real yang domainnya memuat nilai-nilai yang mungkin dari , maka

[ ] = ∑

(2.10)

Jika adalah peubah acak dengan fungsi peluang , dan adalah konstanta, dan adalah fungsi bernilai real dengan daerah asal adalah semua nilai dari , maka

[ + ℎ ] = [ ] + [ℎ ]. (2.11)

Bukti:

[ + ℎ ] = ∑[ + ℎ ]

= ∑[ + ℎ ]

= ∑ + ∑ ℎ

= ∑ + ∑ ℎ

= [ ] + [ℎ ].

■ Definisi 6. Bain & Engelhardt (1991: 73)

� = [ − � ]. (2.12)

Teorema 2. (Bain & Engelhardt ,1991)

Jika peubah acak diskrit, maka sifat-sifat variansinya adalah:

� = − � (2.13)

� + = � dengan , konstanta. (2.14)

bukti:

� = [ − � ]

= − � + �

= − � + �

= − � + �

= − � ,

� + = [( + − � + ]

= [ + − � − ]

= [ − � ]

= [ − � ]

= [ − � ]

= � .

■ Contoh 4

� = − �

= ∑ − [ ]

= [ . + . + . ] −

= − = .

Definisi 7. (Bain & Engelhardt, 1991)

Momen ke-k di sekitar asal dari peubah acak X adalah

�′ _{= (2.15)}

dan momen ke-k di sekitar rata-ratanya adalah

� = [ − ] = − � . (2.16)

Definisi 8. (Bain & Engelhardt ,1991)

Peluang bersyarat dari kejadian , dengan syarat didefinisikan oleh:

| = ∩

untuk ≠ .

(2.17)

Definisi 9. (Bain & Engelhardt ,1991)

Untuk dan peubah acak yang berdistribusi bersama , , harapan bersyarat dari dengan syarat = adalah,

Teorema 3. (Bain & Engelhardt ,1991)

Jika dan peubah acak dengan distribusi bersama , , dan

masing-masing fungsi peluang marjinal dari dan , sifat-sifat harapan bersyarat adalah sebagai berikut:

[ | ] = (2.19)

Jika dan saling bebas, maka | = dan | = . (2.20) Bukti:

[ | ] = ∑ |

∀

= ∑ ∑ |

∀ ∀

= ∑

∀

∑ ,

∀

= ∑

∀

∑ ,

∀

= ∑

∀

= .

Jika X dan Y saling bebas, maka

[ | ] = ∑ |

∀

= ∑ ,

= ∑

∀

= [ ].

■ Definisi 10. (Bain & Engelhardt ,1991)

Variansi bersyarat dari dengan syarat = didefinisikan oleh:

� | = {[ − | ] }. (2.21)

Teorema 4. (Bain & Engelhardt ,1991)

Sifat variansi bersyarat adalah sebagai berikut:

� = [� | ] + � [ | ].

Bukti:

[� | ] = { | − [ | ] }

= { − [ | ]}

= − [ ] − { [ | ] − [ ] }

= � − � [ | ].

■ B. Fungsi Peluang Binomial

Dalam peubah acak, dikenal beberapa fungsi peluang istimewa salah satunya adalah fungsi peluang binomial.

Definisi 11. (Ross, 1998)

Peubah acak binomial dengan parameter , yang menyatakan banyaknya percobaan yang berhasil dari percobaan sebanyak kali dengan peluang berhasil dan peluang gagal − . Fungsi peluang dari yaitu,

= ; , = − − _{dengan = , , , … , . (2.22)}

Teorema 5. (Ross, 1998)

Jika adalah peubah acak binomial dengan parameter − , , momen ke-k di sekitar asal peubah acak binomial didefinisikan sebagai,

= [ + − _{]. (2.23)}

Bukti:

= ∑

=

; ,

= ∑

=

− −

= ∑

=

− − _,

dengan menggunakan identitas

= −_{− ,}

[ ] = ∑ − −

− − − −

=

= ∑ + − _{( − ) −} − −

−

=

= −

= [ + − _].

■ Teorema 6. (Ross, 1998)

Jika peubah acak binomial dengan parameter , , maka

= (2.24)

� = . (2.25)

Bukti:

Dengan menggunakan Teorema 5, = menghasilkan nilai

= [ + − _]

= [ + − _]

= [ + ]

= ,

� = − [ ]

= [ + ] −

= [ + ] −

= [ − + ] −

= [ − + ] −

= −

= − .

■ C. Proses Stokastik

Definisi 12. (Lin, 2006)

Andaikan Ω, ℱ, suatu ruang peluang, filtrasi ℱ merupakan himpunan semua kejadian yang mungkin dan mewakili semua informasi yang dimuat di ruang peluang.

Diketahui bahwa serangkaian percobaan dilakukan pada waktu =

, , , …. Jika ℱ merupakan himpunan semua kejadian yang mungkin di ℱ yang dapat terjadi sebelum waktu , maka ℱ mewakili semua informasi hingga waktu ke- . Keterangan yang menyertai pernyataan tersebut adalah sebagai berikut:

(i) ℱ adalah struktur informasi yang lebih umum dibandingkan ℱ, atau dengan kata lain ℱ ⊆ ℱ, karena ℱ tidak memuat lebih banyak informasi dibandingkan ℱ.

(ii) Jika < , maka ℱ tidak memuat lebih banyak informasi dari ℱ, karena seiring berjalannya waktu informasi yang tersedia akan semakin banyak. Disimpulkan bahwa ℱ lebih umum dibandingkan ℱ, sehingga {ℱ , = , , , … naik dalam dan membentuk struktur informasi yang bergantung pada waktu atau sebuah filtrasi di Ω, ℱ, , dengan ℱ mewakili informasi hingga waktu ke- .

Apabila suatu struktur informasi memenuhi (i) dan (ii), struktur informasi tersebut dapat dinamakan filtrasi pada Ω, ℱ, , dan Ω, ℱ, ℱ , disebut ruang terfiltrasi.

Definisi 13. (Lin, 2006)

Suatu proses stokastik waktu diskrit pada Ω, ℱ, ℱ , merupakan barisan peubah acak , , … , , …, pada Ω, ℱ , , yang biasa dinotasikan sebagai .

Catat bahwa struktur informasi ℱ digantikan oleh struktur informasi pada waktu ke- , yang berarti bahwa nilai hanya bergantung pada struktur informasi hingga waktu ke- .

D. Martingale

Martingale secara umum adalah sebuah proses stokastik yang harapan kejadian di masa depan hanya bergantung pada kejadian di masa sekarang. Gambaran mengenai martingale dapat diketahui dari ilustrasi berikut:

Pada suatu permainan melempar koin, seorang pemain harus membayar sebesar $1 jika hasil yang muncul dari pelemparan koin adalah gambar. Sebaliknya, jika hasil yang muncul adalah angka maka ia akan mendapat $1. Apabila sebelum pelemparan sang pemain telah memiliki modal sebesar $2, maka terdapat 2 kemungkinan nilai modal pemain setelah terjadi pelemparan yaitu $1 jika kalah dan $3 jika menang. Rata-rata dari nilai modal pemain setelah terjadi pelemparan koin adalah:

Ternyata rata-rata (harapan) nilai modal pemain setelah terjadi pelemparan koin sama dengan modal awal sang pemain sebelum terjadi pelemparan koin. Sifat ini merupakan karakteristik dari martingale, sehingga dapat disimpulkan bahwa pada permainan melempar koin ini, modal pemain adalah martingale.

Secara matematis definisinya adalah sebagai berikut:

Definisi 14. (Lin, 2006)

Suatu proses stokastik { , = , , , … , } dengan {| |} < ∞ untuk setiap t pada Ω, ℱ, ℱ , disebut martingale jika

+ |ℱ = (2.26)

dengan bentuk lain seperti berikut

+ − |ℱ = + |ℱ − |ℱ

= + |ℱ − = .

E. Bunga dan Anuitas

Pengertian bunga, anuitas, obligasi dan sifatnya diperlukan untuk melakukan pembahasan mengenai pemodelan anuitas bunga stokastik.

Definisi 15. (Kellison, 1991)

Bunga dapat didefinisikan sebagai kompensasi yang dibayarkan peminjam modal (borrower) kepada yang meminjamkan modal (lender) atas kegunaannya, sehingga bunga dapat dianggap sebagai kompensasi atas hilangnya kegunaan modal itu akibat kegiatan pinjam-meminjam tersebut.

Misalnya, seorang petani meminjam uang kepada bank untuk modal membeli peralatan bertani. Sesuai kesepakatan, uang itu dipinjam selama 2 tahun. Setelah dua tahun, sang petani harus membayarkan kembali uang yang telah dipinjamnya beserta dengan bunganya sebagai kompensasi karena selama 2 tahun tersebut Bank tidak dapat menggunakan uang tersebut untuk hal lain karena dipinjam oleh sang petani.

Untuk melakukan pemodelan tingkat bunga diperlukan definisi fungsi akumulasi dan fungsi jumlah.

Definisi 16. (Kellison, 1991)

Fungsi akumulasi adalah fungsi yang menyatakan nilai akumulasi pada waktu dari investasi awal sebesar 1.

Sifat-sifat fungsi akumulasi ini adalah,

(1) =

(2) adalah fungsi naik

(3) Jika bunga diberikan secara kontinu, maka fungsi akumulasi juga kontinu.

Fungsi jumlah A(t) adalah fungsi yang menyatakan nilai akumulasi pada waktu dari investasi awal sebesar . Sehingga,

Definisi 17. (Kellison, 1991)

Banyaknya bunga yang diperoleh pada periode ke- dinotasikan oleh yang dinyatakan oleh

= − − . (2.28)

Definisi 18. (Kellison, 1991)

Tingkat bunga efektif adalah perbandingan jumlah bunga yang diperoleh selama satu periode terhadap jumlah modal yang diinvestasikan pada awal periode.

Dalam definisi matematis, dinyatakan oleh

= − ₋ − = ₋ (2.29)

dengan menyatakan tingkat bunga efektif pada periode ke- dari tanggal investasi.

Tingkat bunga dibagi menjadi dua jenis menurut penghitungan bunganya yaitu tingkat bunga tunggal dan tingkat bunga majemuk.

Definisi 19. (Kellison, 1991)

Tingkat bunga tunggal adalah tingkat bunga dengan asumsi bahwa jumlah bunga yang diterima konstan setiap periodenya. Tingkat bunga tunggal memiliki fungsi akumulasi

= + (2.30)

= − ₋ −

= − ₋ −

= + − [ +_{+ −} − ]

= + ₊− −₋ +

= + − (2.31)

Diketahui dari (2.31) bahwa tingkat bunga tunggal yang konstan akan menghasilkan tingkat bunga efektif yang menurun.

Definisi 20. (Kellison, 1991)

Tingkat bunga majemuk mengasumsikan bahwa modal dan bunga diinvestasikan kembali di setiap periodenya. Tingkat bunga majemuk memiliki fungsi akumulasi

= + (2.32)

Tingkat bunga efektif dari fungsi akumulasi tingkat bunga majemuk adalah sebagai berikut:

= − −

−

= − ₋ −

= + ₊− ₋+ −

= + − = .

Jadi untuk setiap , = pada tingkat suku bunga majemuk. Selanjutnya dalam tulisan ini tingkat bunga yang akan digunakan adalah tingkat bunga majemuk.

Contoh 5. (Kellison, 1991)

Akan dicari nilai akumulasi dari $2000 yang diinvestasikan selama 4 tahun dengan tingkat suku bunga majemuk 8%. Dari soal dapat diketahui = , = % dan =

$ . Dengan menggunakan persamaan (2.32) dan (2.27) diperoleh

= . = $ . + % = $ , .

Definisi 21. (Kellison, 1991)

Suku + pada (2.32) sering disebut dengan faktor akumulasi. Kebalikan dari faktor akumulasi disebut dengan faktor diskon yang dilambangkan dengan ,

= + . (2.34)

Faktor diskon kemudian digunakan untuk membuat fungsi diskon yang dilambangkan − ,

− ₌

+ = . (2.35)

Contoh 6. (Kellison, 1991)

Akan dicari nilai sejumlah uang yang harus diinvestasikan agar diperoleh $1000 pada akhir tahun ke-3 dengan tingkat suku bunga 9% per tahun. Adapun dari soal

diketahui bahwa = $ dan = %. Dengan persamaan (2.38) dan (2.27) diperoleh

= $

= . − _{= $}

+ % = $ , .

Proses mengalikan suatu modal dengan faktor diskon disebut mendiskontokan modal tersebut. Pada Contoh 6, adalah nilai sekarang dari ). Berbagai teori yang telah disajikan di atas dapat digunakan untuk menghitung suatu produk keuangan yang lebih spesifik, yaitu anuitas.

Definisi 22. (Kellison, 1991)

Anuitas adalah serangkaian pembayaran yang dilakukan pada selang waktu yang sama.

Berdasarkan kepastian pembayarannya, anuitas dibagi menjadi 2 jenis yaitu anuitas pasti dan anuitas kontingen. Anuitas pasti pembayarannya dilakukan selama waktu tertentu yang disebut dengan jangka waktu anuitas. Contoh anuitas pasti adalah pembayaran pinjaman bank atau kredit usaha. Anuitas kontingen adalah anuitas yang pembayaran anuitas tidak memiliki kepastian, misalnya anuitas hidup. Contoh dari anuitas hidup, di mana pembayarannya hanya dilakukan pada saat si pembayar masih hidup adalah dana pensiun atau pembayaran premi asuransi.

Berdasarkan waktu pembayarannya, anuitas dibedakan menjadi 2 yaitu anuitas awal (annuity-due) dan anuitas akhir (annuity-immediate). Anuitas awal pembayarannya dilakukan di setiap awal periode sedangkan anuitas akhir

pembayarannya dilakukan di akhir periode. Anuitas yang akan dibahas lebih spesifik pada tulisan ini adalah anuitas akhir.

Definisi 23. (Kellison, 1991)

Nilai sekarang dari suatu anuitas adalah nilai seluruh rangkaian pembayaran apabila nilai seluruh pembayaran di tiap-tiap periode disesuaikan nilainya dengan titik waktu pada saat ini atau dengan kata lain setiap pembayaran yang dilakukan didiskontokan sesuai dengan lama waktu antara saat ini dengan waktu pembayaran. Adapun nilai sekarang dari anuitas akhir sebesar 1 untuk periode pembayaran yang dilambangkan didefinisikan sebagai berikut:

= + + ⋯ + − _{+ . (2.36)}

Definisi 24. (Kellison, 1991)

Nilai masa depan suatu anuitas adalah nilai seluruh pembayaran apabila seluruh pembayaran di tiap-tiap periode disesuaikan nilainya dengan titik waktu di akhir periode anuitas tersebut, atau setiap pembayaran diakumulasikan sesuai dengan lama waktu antara waktu pembayaran dengan akhir periode anuitas. Sedangkan nilai akumulasi (nilai masa depan) dari anuitas akhir sebesar 1 untuk periode yang dilambangkan didefinisikan oleh,

F. Obligasi Tanpa Kupon

Dalam dunia keuangan dikenal beberapa instrumen keuangan, salah satunya adalah obligasi.

Definisi 25. (Mishkin, 2004)

Obligasi adalah instrumen keuangan berbentuk surat hutang yang menjanjikan pembayaran berkala selama jangka waktu tertentu. Harga yang dibayarkan pembeli obligasi di awal periode disebut harga beli obligasi, nilai yang diperoleh pembeli obligasi di akhir periode disebut nilai par, tingkat suku bunga yang digunakan untuk menghitung pembayaran bunga berkala (biasanya setiap 6 bulan) yang diperoleh pembeli obligasi disebut kupon, dan besarnya tingkat bunga efektif yang digunakan sebagai kompensasi disebut tingkat imbal hasil.

Untuk mempermudah pemahaman diberikan suatu contoh obligasi dengan periode 2 tahun yang memiliki nilai par $100, kupon 4% dan tingkat imbal hasil 5%. Akan dicari harga beli obligasi tersebut. Penghitungan kupon akan dilakukan per 6 bulan sehingga tingkat kupon per 6 bulan adalah 2%, jadi besar bunga yang diterima pembeli adalah $2 setiap 6 bulan. Pada akhir tahun ke-2 pembeli juga akan menerima $100 dengan tingkat imbal hasil per 6 bulan adalah 5% dibagi dua yaitu 2,5%. Jadi harga beli obligasi adalah nilai sekarang dari seluruh pembayaran yang diterima oleh pembeli.

= $ _{( + , % ) + $ ( + , % + + , % + + , % + + , % )}

Berdasarkan ada tidaknya kupon, obligasi dibagi menjadi dua yaitu obligasi dengan kupon dan obligasi tanpa kupon.

Definisi 26. (Broverman, 2010)

Obligasi tanpa kupon adalah sebuah surat hutang yang tidak memiliki kupon dan memiliki pembayaran tunggal pada saat waktu jatuh tempo. Contoh obligasi tanpa kupon adalah Surat Perbendaharaan Negara (SPN) dan Obligasi Negara (ON) tanpa kupon yang diterbitkan Bank Indonesia (Undang Undang Republik Indonesia, 2002) dan Treasury Bills yang diterbitkan oleh United States Department of Treasury. Prinsip kerja obligasi tanpa kupon adalah sebagai berikut, misalnya sebuah obligasi tanpa kupon dengan nilai par $100 dengan waktu jatuh tempo 1 tahun memiliki tingkat imbal hasil sebesar 10%. Pembeli obligasi tanpa kupon tersebut harus membayarkan sebesar:

= $ _{( + %) = $ ,}

atau sebesar $100 yang didiskontokan dengan tingkat imbal hasil 10% dengan periode 1 tahun yaitu $90.91. Secara umum harga sebuah obligasi tanpa kupon ( , , ) dengan nilai par dan imbal hasil sebesar , , untuk waktu jatuh tempo tahun adalah sebagai berikut:

Definisi 27. (Broverman, 2010)

Term structure dari tingkat suku bunga pada waktu sekarang adalah himpunan tingkat imbal hasil dari obligasi tanpa kupon pada semua waktu jatuh tempo. Term structure sering juga disebut dengan istilah kurva imbal hasil untuk obligasi tanpa kupon.

G. Model Black-Derman-Toy dengan Teknik Forward-Induction

Black, Derman dan Toy (1990) pada makalahnya yang berjudul “A One -Factor Model of Interest Rates and Its Application to Treasury Bond Options”

mengusulkan sebuah model suku bunga stokastik yang menganggap bahwa semua harga instrumen keuangan bergantung hanya pada satu faktor yaitu short-rate atau suku bunga sesaat. Suku bunga sesaat adalah suku bunga yang hanya berlaku selama 1 tahun. Black, Derman dan Toy juga memberikan 3 asumsi utama sebagai dasar pembangun model suku bunga stokastik:

1. Model Black-Derman-Toy (BDT) memodelkan suku bunga sesaat, yaitu suku bunga yang hanya berlaku satu tahun.

2. Input yang digunakan untuk model ini adalah barisan tingkat imbal hasil dan barisan volatilitas imbal hasil untuk obligasi yang sama. Kedua barisan tersebut secara bersama-sama membentuk kurva imbal hasil.

3. Model BDT memberikan variasi rerata dan volatilitas suku bunga sesaat sesuai dengan input yang diberikan.

Model BDT memanfaatkan pohon binomial untuk menjelaskan bahwa suku bunga sesaat memiliki dua kemungkinan, yaitu naik atau turun. Setiap

kemungkinan suku bunga sesaat nantinya akan memiliki dua kemungkinan lagi dan seterusnya. Diasumsikan pengamatan dimulai di waktu ke- , maka banyaknya kemungkinan suku bunga sesaat pada waktu ke- adalah + . Kemungkinan-kemungkinan suku bunga sesaat pada waktu ke- dinotasikan sebagai , dengan

= , , , … , di mana adalah indeks kemungkinan suku bunga untuk waktu . Pada model BDT, peluang naik dan turun suku bunga sesaat dilambangkan , dan ditetapkan sebesar 0,5. Pohon suku bunga sesaat dapat dilihat seperti Gambar 1.

Gambar 1. Diagram Pohon Suku Bunga Sesaat

Untuk mempermudah penulisan, pohon suku bunga sesaat dapat dinyatakan dalam bentuk tabel. Bentuk tabel tersebut disajikan pada Tabel 1.

Tabel 1. Tabel Penyajian Suku Bunga Sesaat.

= = = = = ...

, ,

, ,,

,

, , , ,

, , , , ,

Sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh pohon suku bunga sesaat dalam model BDT (Qoyyimi, 2008) adalah:

(i) + , < ,

(ii) + , + > , .

Apabila ada minimal satu suku bunga sesaat yang tidak memenuhi kedua sifat tersebut, maka pohon suku bunga sesaat yang memuat suku bunga tersebut dapat dikatakan tidak layak, karena peluang naik dan turun yang sama tidak terpenuhi.

Kemudian diasumsikan peluang naik dan turun suku bunga sesaat dalam pohon suku bunga sesaat mengikuti ukuran martingale (Gaillardetz, 2008: 213) karena nilai harapan dari harga obligasi tetap sama tanpa memandang lintasan suku bunga sesaat yang dilewati (Black dkk, 1990). Adapun ukuran keragaman naik dan turun suku bunga sesaat disebut dengan volatilitas suku bunga sesaat.

Pohon suku bunga sesaat dapat diperoleh dari volatilitas suku bunga sesaat dan harga obligasi di tiap-tiap periode waktu. Namun volatilitas suku bunga sesaat merupakan faktor yang hanya dapat diperoleh jika suku bunga sesaat telah ditentukan. Adapun data yang dapat diambil dari pasar obligasi tanpa kupon adalah kurva imbal hasil dan kurva volatilitas imbal hasil. Oleh karena itu diperlukan suatu teknik yang dapat memanfaatkan kurva volatilitas imbal hasil untuk membangun proses pohon suku bunga sesaat tersebut.

Makalah Black-Derman-Toy memberikan kebebasan kepada pembacanya untuk membangun modelnya dengan berbagai cara berbeda. Haerini (2013) membangun model BDT dengan memecahkan model persamaan diferensial

stokastik BDT menggunakan kalkulus stokastik dan gerak Brown. Qoyyimi (2008) menyelesaikan model BDT dengan teknik forward-induction yang menggunakan harga obligasi pada tiap-tiap titik waktu yang disebut harga Arrow-Debreu, sehingga penghitungan suku bunga sesaat menggunakan persamaan diferensial stokastik dapat dihindari. Teknik tersebut diperkenalkan oleh Panjer dkk pada tahun 1998. Pada skripsi ini akan digunakan teknik forward-induction seperti yang digunakan Qoyyimi. Teknik forward-induction nantinya akan memberikan persamaan yang dapat dipecahkan dengan peubah-peubah berupa volatilitas suku bunga sesaat dan salah satu dari kemungkinan suku bunga sesaat.

Input yang digunakan dalam membangun model BDT adalah kurva imbal hasil dan kurva volatilitas imbal hasil. Volatilitas imbal hasil diperoleh dengan menghitung simpangan baku dari logaritma natural tingkat imbal hasil harian untuk obligasi tanpa kupon dengan waktu jatuh tempo yang sama. Selanjutnya digunakan

� untuk melambangkan volatilitas imbal hasil. Kurva imbal hasil dan kurva volatilitas imbal hasil dapat disajikan dalam sebuah tabel seperti pada Tabel 2.

Tabel 2.Tabel penyajian kurva imbal hasil dan kurva volatilitas imbal hasil. Waktu jatuh tempo

( ) ...

Tingkat imbal hasil

( , , ) , , , , , , , , ... , ,

Volatilitas imbal

hasil (� � � � � ... �

penghitungan suku bunga sesaat. Teori yang akan dibahas meliputi volatilitas suku bunga sesaat, harga obligasi tanpa kupon, volatilitas imbal hasil dan harga Arrow-Debreu.

Definisi 28. (Black dkk, 1990)

Volatilitas suku bunga sesaat didefinisikan sebagai berikut:

� = , ln ( , +_, ) (2.39)

atau dalam bentuk lain:

� = , ln , +_,

� = ln , +_,

�� = , +

,

, + = �� , . _(2.40)

Andaikan , adalah nilai pada ukuran martingale yang menunjukkan peluang suku bunga sesaat naik pada waktu + apabila = , , maka nilai

, adalah:

, = [ + = + , + | = , ]. (2.41)

Seperti telah disampaikan di penjelasan di awal subbab ini, , ditetapkan sebesar 0,5. Diasumsikan model menyesuaikan barisan volatilitas suku bunga sesaat (� , � , … , � , …), yang diasumsikan dapat diperoleh dari pasar keuangan. Didefinisikan � sebagai berikut

� = � [ln | − = − , ]. (2.42) Kemudian diperoleh dari persamaan (2.18) dan (2.41) bahwa

[ln | − = − , ] = , ln , + + , ln , (2.43)

Sehingga dengan persamaan (2.43) dan (2.13) diperoleh

� = � [ln | − = − , ]

= [ln | − = − , ] − { [ln | − = − , ]} = , ln , + + , ln , − [ , ln , + + , ln , ]

= , ln , + + , ln , − [ , ln , + + , ln , + ln , + , ln , ] = , ln , + − , ln , + ln , + , ln ,

= [ , ln , + − , ln , ] = [ , ln , +_, ] .

Akar kuadrat dari � akan menghasilkan persamaan (2.39).

Definisi 29. (Gaillardetz, 2008)

Bentuk umum harga obligasi tanpa kupon yang memanfaatkan pohon suku bunga sesaat dalam penghitungannya didefinisikan oleh:

, , = ₊− + ∑ ∑ … ∑ ∏( + , −

−

=

�− +

�− =�−

+

= =

. (2.44)

Definisi 30. (Panjer dkk, 1998)

Harga obligasi tanpa kupon , , adalah harga obligasi tanpa kupon di titik

, pada pohon suku bunga sesaat untuk waktu jatuh tempo . Diperkenalkan juga , , yaitu tingkat imbal hasil pada posisi yang sama dengan , , .

, , =

( + , , − . (2.45)

Definisi 31. (Panjer dkk, 1998)

Volatilitas tingkat imbal hasil dapat didefinisikan sebagai berikut

� = , ln ( , ,_{, , )} (2.46)

dengan , , dan , , masing-masing adalah tingkat imbal hasil pada titik (1,1) dan (1,0) untuk obligasi dengan waktu jatuh tempo .

Definisi 32. (Panjer dkk, 1998)

Harga Arrow-Debreu yang disimbolkan , , , adalah nilai harapan harga obligasi pada titik , dengan < di mana lintasan yang dilalui proses suku bunga sesaat melalui titik , . Dengan asumsi bahwa peluang naik dan turun suku bunga sesaat adalah 0,5 dan = − , dapat didefinisikan harga , , , sebagai berikut:

− , , , = {

[ + − , ] , =

[ + − , − ] , = −

, untuk yang lain. (2.47) Adapun hubungan antara , , , dengan , , adalah

, , = ∑ , , ,

=

. (2.48)

Jika hanya rumus di atas yang digunakan, maka akan ada harga Arrow-Debreu pada titik-titik tertentu yang tidak dapat dihitung nilainya. Kemudian diperkenalkan

harga Arrow-Debreu yang memiliki hubungan rekursif untuk menghitung semua harga Arrow-Debreu yang mungkin:

, , + , =

{

, , ,

+ , , =

, , ,

+ , +

, , , −

+ , − , = , , … ,

, , , −

+ , − , = + .

(2.49)

Langkah-langkah membangun pohon suku bunga sesaat model BDT dengan teknik forward-induction adalah sebagai berikut:

1. Untuk menentukan , , tetapkan , , = , . Alasan penetapan ini adalah karena keduanya adalah tingkat suku bunga yang berlaku selama setahun antara periode ke-0 dan periode ke-1. Kemudian dicari harga

, , , dan , , , menggunakan persamaan (2.47).

2. Untuk menentukan , dan , terlebih dahulu harus diketahui bahwa , , dan , , masing-masing adalah tingkat imbal hasil pada titik (1,0) dan (1,1) sehingga diperoleh hubungan , , = , dan , , = , . Dengan persamaan (2.46) akan dihasilkan hubungan , dan , yaitu

, = �� _{, . (2.50)}

Kemudian dengan memanfaatkan persamaan (2.38) dan (2.40) akan dibentuk persamaan utama yang dapat digunakan untuk memecahkan

, , = , ,

( + , , ) = + , , ( + , + + , )

= ₊, , ,_{, + +}, , ,_,

= ₊, , ,_{, + +}, , ,_,

= ₊, , ,_{, +} , , ,

+ �� , .

(2.51)

Karena nilai , , , � , , , , , dan , , , telah diketahui, maka hanya tersisa satu peubah yaitu , , sehingga persamaan (2.51) dapat diselesaikan untuk , . Setelah nilai , diperoleh, kemudian dengan persamaan (2.50) dapat dihitung nilai , . Untuk mempermudah langkah selanjutnya, dihitung nilai , , , untuk = , , dengan persamaan (2.49) dan nilai , , , untuk = , dan = , , dengan persamaan (2.47).

3. Untuk menentukan , , , dan , dan , selanjutnya terlebih dahulu dibuat hubungan antara ketiganya dengan persamaan (2.39). Andaikan �� = � _{, maka hubungan ketiga suku bunga sesaat}

berbentuk demikian:

, = � ,

, = � , = (� , .

(2.52)

Pada tahap ini ada dua peubah yang tidak diketahui nilainya yaitu � dan

persamaan utama. Secara singkat persamaan tersebut memiliki bentuk seperti ini:

, , = , ,

( + , , ) = +, , ,, +

, , ,

+ , +

, , ,

+ ,

= ₊, , ,_{, + + �} , , , _,

+ , , ,

(� ,

= ∑ , , ,

(� , .

= (2.53)

Langkah ini baru menghasilkan satu persamaan saja dengan dua peubah, artinya diperlukan satu lagi persamaan agar kedua peubah dapat diselesaikan. Pembentukan persamaan kedua akan menggunakan informasi volatilitas imbal hasil tahun ke-3 yaitu dengan memanfaatkan persamaan (2.45) dan (2.46). Dengan persamaan (2.46) diperoleh:

, , = , , �� . _(2.54)

Persamaan (2.45) menghasilkan:

, , =

( + , , , = , (2.55)

atau bentuk lainnya adalah

Selanjutnya dengan mensubstitusikan (2.56) ke (2.54) diperoleh persamaan berikut:

( , , − − = ( , , − − �� _(2.57)

Nilai , , dan , , dapat ditentukan dengan persamaan (2.44) yaitu sebagai berikut: , , = + , ( + , + ( + , = , , , + , + , , , + , = ∑ ₊, , ,_, = = ∑ , , , + , (� = , (2.58) , , = + , ( + , + ( + , = ₊, , ,_{, + +}, , ,_, = ∑ ₊, , ,_, = = ∑ , , , + , (� = . (2.59) Dua persamaan di atas dapat disubstitusikan ke persamaan (2.57) menjadi bentuk demikian: ∑ , , , + , (� = − − = ( ∑ , , , + , (� = − − )

Sekarang telah didapatkan dua persamaan yang mengandung peubah , dan � , yaitu persamaan (2.60) dan (2.53). Sistem persamaan taklinear tersebut kemudian dapat diselesaikan dengan metode numerik yang menghasilkan nilai , dan � . Secara otomatis nilai , dan

, dapat diperoleh juga. Untuk nilai-nilai , selanjutnya dapat menggunakan cara yang sama dengan proses menghitung , , , dan , . Tentunya terlebih dahulu harus dihitung harga Arrow-Debreu yang bersesuaian.

Contoh 7

Diketahui data kurva imbal hasil pasar obligasi tanpa kupon adalah seperti pada Tabel 3 berikut:

Tabel 3. Tabel Kurva Imbal Hasil (Black dkk, 1990)

Waktu jatuh tempo 1 2 3 4 5

Tingkat imbal hasil ( , , ) 10% 11% 12% 12.5% 13% Volatilitas imbal hasil (� ) 20% 19% 18% 17% 16%

Akan dibuat pohon suku bunga sesaat selama 3 tahun dari data kurva imbal hasil pada Tabel 3. Langkah-langkah untuk membangun pohon suku bunga sesaat akan mengikuti langkah yang telah diuraikan sebelumnya.

1. Ditetapkan , sebagai , jadi , , = , = %.

Kemudian akan ditentukan harga , , , dan , , , dengan persamaan (2.47)

2. Diketahui , , = % dan � = %. Dibuat hubungan antara

, dan , dengan persamaan (2.50) yang akan berbentuk:

, = % _,

= , , .

Kemudian dilakukan penghitungan nilai , dengan persamaan (2.38) sebagai berikut:

, = ( + %) = , .

Setelah itu akan dibentuk persamaan utama dengan persamaan (2.51), yang berbentuk demikian:

( + %) = +, , +

,

+ , ,

, = ₊, _{, + + ,}, _{, .}

Persamaan di atas kemudian dapat diselesaikan untuk , sehingga diperoleh nilai , = , % dan

, = . , = . , % = , %.

Langkah selanjutnya adalah menentukan harga Arrow-Debreu untuk

, , , untuk , = , dan = , , . Adapun untuk , , , diselesaikan dengan persamaan (2.49) sedangkan yang lain diselesaikan dengan persamaan (2.47). Uraian penyelesaian harga-harga tersebut adalah sebagai berikut:

, , , = , , ,

( + , =

,

, , , = , , ,

( + , +

, , ,

( + , = ,

, , , = , , ,

( + , =

,

+ , % = ,

, , , = , , , =

( + , = + , % = ,

, , , = , , , =

( + , = + , % = ,

, , , = , , , = .

3. Diketahui , = % dan � = %. Akan dicari nilai

, , , dan , . Dengan persamaan (2.52) diperoleh hubungan antar suku bunga sesaat di waktu ke-2 adalah sebagai berikut:

, = � ,

, = � , = (� , .

Kemudian digunakan persamaan (2.53) untuk menemukan persamaan pertama

( + , ) = ∑_{= (�} , , , _, ( + %) = ∑_{= (�} , , , _,

, = ₊, , ,_{, + + �}, , , _{, +} , , ,

(� ,

, = ,

+ , +

,

+ � , +

,

Persamaan kedua dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan (2.60), dengan informasi yang telah dimiliki bentuknya adalah demikian:

∑ , , , + , (� = − − = ( ∑ , , , + , (� = − − ) �� , , , + , + , , , + , � − − = ( ₊ , , ,_{, �} + , , , + , (� ) − − ) % ( ₊, _, + ₊ , _{, �} ) − − = ( ₊ , _{, �} + , + , (� ) − − ) , . (2.62) Persamaan (2.61) dan persamaan (2.62) membentuk sistem persamaan taklinear dengan dua peubah yaitu , dan � . Metode numerik digunakan untuk mendekati nilai , dan � kemudian dihasilkan nilai

, = , % dan � = , . Nilai , dan , kemudian dihasilkan dari hubungannya masing-masing dengan , sesuai dengan persamaan (2.52) sehingga diperoleh , = , % dan , =

, %. Pohon suku bunga sesaat yang telah diperoleh disajikan pada Tabel 4.

Tabel 4. Tabel Pohon Suku Bunga Sesaat.

= = =

% , %

, % , %, %

, %

H. Pengukuran Galat

Pada bidang peramalan dan model regresi dikenal beberapa jenis pengukuran galat yang digunakan untuk mengukur seberapa dekat prediksi model

dengan data yang sebenarnya. Beberapa jenis pengukuran galat yang telah dikenal antara lain MAPE (Mean Absolute Percentage Error) dan MSE (Mean Squared Error).

Definisi 33. (Hanke & Wichern, 2005)

Mean Absolute Percentage Error adalah pengukuran galat yang dirumuskan sebagai berikut:

= ∑| − ̂ |

=

× % (2.63)

dengan adalah data aktual, ̂ hasil peramalan dan adalah banyaknya data.

Definisi 34. (Hanke & Wichern, 2005)

Mean Squared Error adalah pengukuran galat yang dirumuskan sebagai berikut:

� = ∑( − ̂

=

BAB III PEMBAHASAN

Pada bab ini akan dijelaskan mengenai penerapan suku bunga stokastik ke dalam penghitungan nilai sekarang dan nilai masa depan anuitas akhir, kemudian akan dilakukan simulasi pembangunan pohon suku bunga sesaat, penghitungan anuitas dengan suku bunga stokastik, dan penghitungan ukuran galat.

A. Konsep Anuitas dengan Suku Bunga Sesaat

Pada bab sebelumnya telah dibahas mengenai anuitas serta rumus yang menyertainya, secara lebih spesifik yaitu pada persamaan (2.36) dan (2.37) yang mendefinisikan nilai sekarang (present value), dan nilai masa depan (future value) dari sebuah anuitas dengan jangka waktu dan tingkat suku bunga �. Persamaan (2.36) dan (2.37) menggunakan tingkat suku bunga yang sama tiap tahunnya atau dapat dikatakan bahwa penghitungan nilai anuitas sesuai kedua persamaan tersebut menganut model suku bunga deterministik. Apabila tingkat suku bunga yang dipakai berubah-ubah maka dapat dikatakan bahwa anuitas mengikuti model suku bunga stokastik. Subbab ini akan memperkenalkan konsep anuitas yang mengikuti model suku bunga stokastik.

Menurut Definisi 22, anuitas adalah serangkaian pembayaran yang dilakukan pada selang waktu yang sama. Jika dilakukan suatu pembayaran sebesar 1 di akhir setiap periode selama � periode, maka nilai sekarang anuitas adalah jumlahan setiap pembayaran di tiap periode yang nilainya telah disesuaikan di titik waktu awal. Penyesuaian nilai pembayaran ke waktu awal (titik waktu ke-0) dari

pembayaran di periode ke-� dilakukan dengan mengalikan 1 ke faktor diskon yang berlaku dari titik waktu ke-0 hingga titik waktu ke-�. Apabila suku bunga yang berlaku di tiap-tiap selang periode merupakan suku bunga sesaat dengan =

, , , , . . . , � − , di mana adalah suku bunga sesaat yang berlaku di antara

waktu ke- dan + , maka faktor diskon yang berlaku dari waktu ke- hingga waktu ke- + didefinisikan sebagai berikut:

�� = ( + )− .

(3.1) Nilai sekarang anuitas yang dihitung dengan menggunakan suku bunga sesaat (�_�∗)

kemudian dapat dirumuskan dengan logika berpikir yang sama dengan perumusan nilai sekarang anuitas dengan suku bunga deterministik sebagai berikut:

�_�∗ =� +� � + ⋯ +� � � … �_�−

= + +

( + )( + )+ ⋯

+

( + )( + ) … ( + � − )

= ( + )− + ( + )( + ) − + ⋯

+ ( + )( + ) … ( + � − ) −

= ∑ ∏( + � )−

= �−

=

.

(3.2)

Penyesuaian nilai pembayaran pada waktu ke- ke titik waktu terakhir (titik waktu ke-�) dengan < � dilakukan dengan mengalikan nilai pembayaran di waktu ke- dengan faktor akumulasi yang berlaku antara waktu ke- dan waktu ke-�. Untuk suku bunga sesaat , faktor akumulasi yang berlaku di waktu ke- hingga waktu ke- + didefinisikan sebagai berikut:

�� = �

�= ( + ). (3.3)

Nilai masa depan anuitas yang dihitung menggunakan suku bunga sesaat ( _�∗) kemudian dirumuskan dengan teori yang diperkenalkan Kellison (1991) yaitu bahwa nilai masa depan anuitas diperoleh dari perkalian nilai sekarang anuitas dengan faktor akumulasi dari waktu ke-0 hingga waktu ke-�:

� ∗ _=�

�

∗ _{� � � … �}

�

= [( + )− + ( + )( + ) − + ⋯

+ ( + )( + ) … ( + � − ) − ] (

+ )( + )( + ) … ( + � )

= + ( + � − ) + ( + � − )( + � − ) + ⋯

+ ( + � − )( + � − ) … ( + )

= + ∑ ∏ + � �−

= �−

=

.

B. Sumber dan Karakteristik Data

Data yang akan digunakan untuk membangun pohon suku bunga sesaat model BDT adalah data United States Treasury Zero Coupon Yield Curve yang diperoleh dari www.quandl.com periode 1 Januari 2010-31 Desember 2010 untuk waktu jatuh tempo 1, 2, 3, 4, dan 5 tahun seperti tercantum pada Lampiran 1. Data kemudian diolah dengan menghitung rerata tingkat imbal hasil tahunan dan volatilitas imbal hasil untuk setiap waktu jatuh tempo. Hasil olahan data seperti pada lampiran 1 disajikan pada Tabel 4 sebagai berikut:

Tabel 5. Tabel data olahan United States Treasury Zero Coupon Yield Curve

Waktu jatuh tempo ( ) 1 2 3 4 5

Tingkat imbal hasil

(� , , )

0.356% 0.688% 1.109% 1.550% 1.974% Volatilitas imbal hasil

(�_�

20,02% 36,25% 33,96% 29,53% 25,65%

Adapun data suku bunga aktual yang digunakan adalah suku bunga aktual tahun 2010-2014 untuk negara Amerika Serikat yang diperoleh dari data.worldbank.org.

Tabel 6. Tabel suku bunga aktual negara Amerika Serikat tahun 2010-2014

2010 2011 2012 2013 2014

2.004173% 1.161394% 1.429119% 1.734107% 1.765223%

C. Model BDT untuk Data US Treasury Zero Coupon Yield Curve

Curve yang disajikan pada Tabel 4. Pohon suku bunga sesaat akan dibangun berdasarkan langkah-langkah yang telah dijelaskan di bab sebelumnya.

1. Ditetapkan � , , sebagai , sehingga nilai , = � , , =

, %. Kemudian akan dihitung nilai � , , , dan � , , , .

� , , , = � , , , =

( + , )

= _{+ , % = ,} . _(3.5)

2. Diketahui � , , = , % dan �_� = , %. Dengan

menggunakan persamaan (2.50) diperoleh hubungan antara , dan

, sebagai berikut:

, = � , % _,

= , , . (3.6)

Kemudian akan ditentukan persamaan untuk memecahkan , yaitu menggunakan Persamaan (2.51) sehingga diperoleh:

( + � , , ) =� , , ,+ , +

� , , ,

+ � �� ,

( + , %) = +, , +

,

+ , ,

, = ₊, _{, + + ,}, _{, .}

(3.7) Dengan metode numerik, , dapat diselesaikan dan menghasilkan nilai

, sebesar 0,769%. Nilai , dapat ditemukan dengan hubungan pada persamaan (3.6) yaitu sebesar 1,588%.

Setelah nilai , dan , ditemukan selanjutnya akan digunakan program R untuk membantu penghitungan suku bunga sesaat untuk periode selanjutnya hingga = . Script dari program R dapat dilihat di Lampiran 2. Hasil output dari program R untuk pohon suku bunga sesaat model BDT sesuai dengan informasi pada Tabel 5 seperti pada Lampiran 3 disajikan dalam Tabel 7.

Tabel 7. Pohon suku bunga sesaat dari data aktual.

= = = = =

0.356364% 0.7688561% 1.290648% 2.044879% 2.800687% 1.5875796% 2.557153% 3.354537% 3.990971% 5.066471% 5.502976% 5.687123% 9.027399% 8.104136% 11.548372%

Pohon suku bunga sesaat model BDT yang dihasilkan oleh output program R pada Tabel 7 ternyata memuat suatu penyimpangan. Suku bunga sesaat yang dihasilkan tidak memenuhi sifat , � > + , � . Hal ini mengakibatkan suku bunga sesaat yang seharusnya memiliki satu kemungkinan naik dan satu kemungkinan turun malah menghasilkan dua kemungkinan naik. Terjadinya kasus semacam ini dapat disebabkan oleh fluktuasi tingkat imbal hasil dan volatilitas imbal hasil (Qoyyimi: 2008, 72). Pohon suku bunga sesaat yang telah dibangkitkan dari data aktual pada Tabel 7 kurang baik untuk dipakai dalam perhitungan anuitas karena ketiadaan pergerakan turun dari suku bunga sesaat dapat memberikan ilustrasi yang kurang lengkap terhadap berbagai kemungkinan fluktuasi nilai anuitas.

Strategi yang dipakai penulis untuk mengatasi hal ini adalah dengan menggunakan satu tingkat imbal hasil dan satu volatilitas imbal hasil. Tingkat imbal hasil yang akan digunakan adalah rerata dari tingkat imbal hasil periode 1-5 yaitu sebesar 1,13562% dan volatilitas yang digunakan adalah rerata dari volatilitas imbal hasil periode 1-5 yaitu 29,0818%. Kemudian digunakan program R untuk membangun pohon suku bunga sesaat dengan nilai tingkat imbal hasil dan volatilitas imbal hasil yang baru. Hasil output seperti pada Lampiran 4 dapat dilihat pada Tabel 8 berikut.

Tabel 8. Pohon suku bunga sesaat dari data baru.

= = = = =

1.13562% 0.851347% 0.659966% 0.520351% 0.411636% 1.523029% 1.195883% 0.968906% 0.800295%

2.166985% 1.804125% 1.555916%

3.359322% 3.024979%

5.8811%

Tabel 8 memperlihatkan pohon suku bunga sesaat yang konsisten dengan semua suku bunga sesaat memiliki kemungkinan naik dan turun yang tepat. Pohon suku bunga sesaat pada Tabel 8 nantinya akan digunakan untuk menghitung anuitas dengan pendekatan suku bunga stokastik pada subbab selanjutnya.

D. Penghitungan Anuitas

Pohon suku bunga sesaat yang ditampilkan oleh Tabel 6 merupakan pohon suku bunga yang akan dipakai untuk penghitungan anuitas pada subbab ini. Terlebih dahulu dibuat lintasan-lintasan suku bunga sesaat berdasarkan Tabel 6. Lintasan-lintasan suku bunga sesaat tersebut menggambarkan

kemungkinan-kemungkinan pergerakan nilai anuitas. Diagram lintasan tersebut disajikan pada Tabel 9.

Tabel 9. Tabel lintasan suku bunga sesaat.

= = = = =

t(0) t(0,0)

t(0,1) t(0,0,0) t(0,0,1) t(0,1,1) t(0,1,2) t(0,0,0,0) t(0,0,0,1) t(0,0,1,1) t(0,0,1,2) t(0,1,1,1) t(0,1,1,2) t(0,1,2,2) t(0,1,2,3) t(0,0,0,0,0) t(0,0,0,0,1) t(0,0,0,1,1) t(0,0,0,1,2) t(0,0,1,1,1) t(0,0,1,1,2) t(0,0,1,2,2) t(0,0,1,2,3) t(0,1,1,1,1) t(0,1,1,1,2) t(0,1,1,2,2) t(0,1,1,2,3) t(0,1,2,2,2) t(0,1,2,2,3) t(0,1,2,3,3) t(0,1,2,3,4)

Sebagai contoh, jalan lintasan t(0,1,2,2,3) dapat dilihat di gambar 2.

Kemungkinan lintasan untuk suku bunga sesaat sampai tahun ke-5 banyaknya ada 16 lintasan. Ke-16 lintasan ini nantinya akan dibandingkan nilai anuitasnya dengan nilai anuitas yang menggunakan suku bunga aktual.

Suku bunga aktual pada Tabel 6 kemudian digunakan untuk mencari nilai sekarang anuitas dengan suku bunga aktual menggunakan persamaan (3.2).

Tabel 10. Nilai sekarang anuitas dengan suku bunga aktual

2010 2011 2012 2013 2014

0.980352 1.949449 2.904892 3.844048 4.766914

Diperoleh nilai sekarang anuitas untuk tahun 2010-2014 yang berkisar antara 0.980352 hingga 4.766914.

Adapun nilai sekarang dari anuitas dengan suku bunga stokastik yang menggunakan lintasan suku bunga pada Tabel 9 dan persamaan (3.2) disajikan pada Tabel 11 sebagai berikut:

Tabel 11. Nilai sekarang anuitas dengan suku bunga stokastik

2010 2011 2012 2013 2014

0.988771 1.969196 2.943192 3.912147 4.877129 1.962709 2.938034 3.907842 4.873408

2.925138 3.897575 4.864833

2.91599 3.889703 4.847446

3.878331 4.849498

3.87051 4.842416

3.852377 4.826792

3.838287 4.81343

4.823956

4.81692

4.801399

4.788126

4.774417

4.76127

4.733505

4.709356

Kemudian dilakukan perbandingan antara nilai sekarang anuitas dengan suku bunga aktual dan nilai sekarang anuitas dengan suku bunga stokastik dengan menghitung selisih di antara keduanya. Diperoleh selisihnya pada Tabel 12 berikut.

Tabel 12. Selisih nilai sekarang anuitas suku bunga aktual dan stokastik

2010 2011 2012 2013 2014

-0.00842 -0.01975 -0.0383 -0.0681 -0.11021

-0.01326 -0.03314 -0.06379 -0.10649

-0.02025 -0.05353 -0.09792

-0.0111 -0.04565 -0.08053

-0.03428 -0.08258

-0.02646 -0.0755

-0.00833 -0.05988

0.005761 -0.04652

-0.05704

-0.05001

-0.03449

-0.02121

-0.0075

0.005644

0.033409

0.057558

Selisih yang didapat pada Tabel 12, khususnya untuk tahun 2014, kemudian digunakan untuk mencari MAPE (Mean Absolute Percentage Error) dan MSE (Mean Square Error). Dengan penghitungan yang dilakukan di Microsoft Excel, diperoleh nilai MAPE dan MSE untuk nilai sekarang anuitas masing-masing adalah 1,2147% dan 0,004358.

Perbandingan antara nilai anuitas dengan suku bunga aktual dan suku bunga stokastik tidak hanya berpatokan pada nilai sekarang. Nilai masa depan juga merupakan salah satu faktor perbandingan yang akan dilakukan antara nilai anuitas suku bunga aktual dengan suku bunga stokastik. Nilai masa depan untuk anuitas dengan suku bunga aktual dihitung dengan persamaan (3.4) dan menghasilkan nilai yang disajikan di Tabel 13 berikut.

Tabel 13. Nilai masa depan anuitas dengan suku bunga aktual

2010 2011 2012 2013 2014

1 2.011614 3.040362 4.093085 5.165338

Nilai masa depan anuitas dengan suku bunga stokastik dapat diperoleh dengan persamaan (3.4) dan menggunakan lintasan tingkat suku bunga pada tabel 9. Hasil penghitungan nilai anuitas tersebut dapat dilihat di Tabel 14. Selisih nilai masa depan anuitas dengan suku bunga aktual dan suku bunga stokastik disajikan pada tabel 15.

Tabel 14. Nilai masa depan anuitas dengan suku bunga stokastik

2010 2011 2012 2013 2014

1 2.008513 3.021769 4.037493 5.054113

2.01523 3.032533 4.051047 5.069805

3.03933 4.061915 5.083467

3.0589 4.087244 5.103269

4.068778 5.094423

4.094163 5.125115

4.114086 5.150838

4.161658 5.210882

5.101341

5.132085

5.157865

5.218011

5.178098

5.238537

5.287548

Tabel 15. Selisih nilai masa depan anuitas suku bunga aktual dan stokastik

2010 2011 2012 2013 2014

0 0.0031 0.018593 0.055593 0.111225

-0.00362 0.007829 0.042038 0.095533

0.001032 0.03117 0.08187

-0.01854 0.005842 0.062068

0.024307 0.070915

-0.00108 0.040222

-0.021 0.0145

-0.06857 -0.04554

0.063997

0.033252

0.007472

-0.05267

-0.01276

-0.0732

-0.12221

-0.24107

Selisih nilai masa depan anuitas suku bunga aktual dan suku bunga stokastik pada tahun 2014 kemudian digunakan untuk menghitung MAPE dan MSE. Hasilnya diperoleh MAPE sebesar 1,3655%dan MSE sebesar 0.007974.

BAB IV PENUTUP

A. Kesimpulan

Berdasarkan rumusan masalah dan pembahasan yang telah dipaparkan di bagian –bagian sebelumnya dari tulisan mengenai penerapan model suku bunga stokastik ke penghitungan anuitas ini, dapat ditarik beberapa kesimpulan yaitu: 1. Pohon suku bunga sesaat model Black-Derman-Toy dibangun dengan

memanfaatkan kurva imbal hasil dan kurva volatilitas imbal hasil dari obligasi tanpa kupon. Teknik yang digunakan adalah teknik forward-induction yang diperkenalkan Panjer dkk (1998) dengan memanfaatkan harga Arrow-Debreu. Penghitungan kemungkinan-kemungkinan suku bunga sesaat dilakukan secara bertahap dari = dan seterusnya. Langkah-langkah membangun pohon suku bunga sesaat model BDT dengan forward

–induction adalah sebagai berikut:

(i) Menetapkan � , sebagai , ,

(ii) Menghitung , � untuk > dan � = , , , … , dengan memecahkan persamaan yang dibentuk dari rumus harga obligasi dan hubungan antara kemungkinan-kemungkinan suku bunga sesaat pada waktu .

Penghitungan dilakukan dengan bantuan program R menggunakan script model suku bunga sesaat BDT yang tersedia di internet.

2. Penerapan model suku bunga sesaat ke dalam penghitungan anuitas adalah dengan membentuk suatu rumus nilai sekarang dan nilai masa depan anuitas yang menggunakan lintasan suku bunga yang telah dibangkitkan dari pohon suku bunga sesaat model BDT. Adapun rumus yang digunakan adalah rumus sebagai berikut:

(i) Rumus nilai sekarang untuk lintasan suku bunga sesaat , , . .. adalah

�_�∗ _{= ∑ ∏( + )}−

= �−

=

(ii) Rumus nilai masa depan untuk lintasan suku bunga sesaat

, , . .. adalah

�∗ = +∑ ∏ +

�− = �−

=

3. Perbandingan nilai anuitas suku bunga aktual dengan nilai anuitas suku bunga stokastik dapat dilihat dari selisih nilai sekarang anuitas dan selisih nilai masa depan anuitas dengan kedua suku bunga. Diperoleh MAPE dan MSE untuk nilai sekarang anuitas sebesar 1,2147% dan 0,004358. Kemudian untuk nilai masa depan diperoleh MAPE sebesar 1,3655%dan MSE sebesar 0.007974.

B. Saran

Pembahasan pada skripsi ini masih memiliki beberapa kendala di antaranya adalah variasi tingkat suku bunga sesaat tidak dapat disesuaikan dengan tingkat suku bunga yang diinginkan karena model menyesuaikan dengan tingkat imbal

hasil obligasi. Kemudian kelemahan lain adalah fluktuasi kurva imbal hasil dan kurva volatilitas imbal hasil mempengaruhi pohon suku bunga sesaat sehingga perlu dilakukan penyesuaian masukan kurva imbal hasil dan kurva volatilitas imbal hasil demi mendapatkan pohon suku bunga sesaat yang ideal. Berdasarkan kelemahan yang telah disebutkan, penulis memberikan saran yang dapat dilakukan oleh penelitian selanjutnya:

1. Menggunakan model suku bunga sesaat yang lain.

2. Menerapkan model suku bunga stokastik ke jenis anuitas yang lebih spesifik.

3. Menggunakan data imbal hasil dari obligasi tanpa kupon di Indonesia seperti SPN dan ON tanpa kupon untuk melihat performa model di Indonesia.

APLIKASI MODEL SUKU BUNGA STOKASTIK WAKTU DISKRIT BLACK-DERMAN-TOY DENGAN FORWARD-INDUCTION DALAM

PENGHITUNGAN ANUITAS

(STUDI KASUS: TINGKAT SUKU BUNGA DI AMERIKA SERIKAT)

Skripsi

Diajukan Kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta

untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan guna Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Oleh

Chandra Nugroho Erlangga NIM 12305141035

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA

PERSETUJUAN

Skripsi yang berjudul “APLIKASI MODEL SUKU BUNGA STOKASTIK

WAKTU DISKRIT BLACK-DERMAN-TOY DENGAN

FORWARD-INDUCTION DALAM PENGHITUNGAN ANUITAS (STUDI KASUS:

TINGKAT SUKU BUNGA DI AMERIKA SERIKAT)” yang disusun oleh

Chandra Nugroho Erlangga, NIM 12305141035 ini telah disetujui oleh pembimbing untuk diujikan.

Yogyakarta, 20 Juni 2016 Dosen Pembimbing

PENGESAHAN

Skripsi yang berjudul “APLIKASI MODEL SUKU BUNGA STOKASTIK

WAKTU DISKRIT BLACK-DERMAN-TOY DENGAN

FORWARD-INDUCTION DALAM PENGHITUNGAN ANUITAS (STUDI KASUS:

TINGKAT SUKU BUNGA DI AMERIKA SERIKAT)” yang disusun oleh

Chandra Nugroho Erlangga, NIM 12305141035 ini telah dipertahankan di depan Dewan Penguji pada tanggal 27 Juni 2016 dan dinyatakan lulus.

DEWAN PENGUJI

Nama Jabatan Tanda Tangan Tanggal

Rosita Kusumawati, M.Sc.

NIP.19800707 200501 2 001 Ketua Penguji ... ...

Nikenasih Binatari, M.Si.

NIP.19841019 200812 2 005

Sekretaris

Penguji ... ...

Mathilda Susanti, M.Si.

NIP.19640314 198901 2 001

Penguji I

(Utama) ... ...

Retno Subekti, M.Sc.

NIP. 19811116 200501 2 002

Penguji II

(Pendamping) ... ...

Yogyakarta, Juli 2016 Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Negeri Yogyakarta Dekan,

Dr. Hartono

PERNYATAAN

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya: Nama : Chandra Nugroho Erlangga NIM : 12305141035

Program Studi : Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Judul Skripsi : APLIKASI MODEL SUKU BUNGA STOKASTIK WAKTU DISKRIT BLACK-DERMAN-TOY DENGAN FORWARD- INDUCTION DALAM PENGHITUNGAN ANUITAS (STUDI KASUS: TINGKAT SUKU BUNGA DI AMERIKA SERIKAT), menyatakan bahwa skripsi ini benar-benar karya saya sendiri dan sepanjang pengetahuan saya tidak terdapat karya atau pendapat yang ditulis atau diterbitkan orang lain kecuali sebagai acuan atau kutipan dengan mengikuti tata penulisan karya ilmiah yang telah lazim.

Apabila ternyata terbukti pernyataan saya ini tidak benar, maka sepenuhnya menjadi tanggung jawab saya, dan saya bersedia menerima sanksi sesuai ketentuan yang berlaku.

Yogyakarta, 20 Juni 2016 Yang menyatakan

MOTTO

“Jesus answered and said unto him, What I do thou knowest not now; but thou shalt know hereafter”

(KJV Bible, John 13: 7)

“You cannot say to the sun ‘More sun’, or to the rain ‘Less rain’.” (Chiyo Sakamoto/Sayuri Nitta, Memoirs of a Geisha) “Things you take for granted someone else is praying for.”

(Marlan Rico Lee)

“If you do not value your own time, please value others’. You do not know how much time they have left.”

PERSEMBAHAN

Skripsi ini saya persembahkan untuk:

 Indonesia, atas kesempatan berkuliah yang amat berharga.

 Mama Ester Rini Lestari, Om Adhi, Papa Titus Erlinta dan Ibu serta Keluarga: Adik-adikku Indra, Michael, Jocelyn dan Harry, dan Eyang Kakung Petrus H. Sukamto.

 Sepuluh perempuan paling berharga dalam hidup: Mei, Arvi, Asnay, Devie, Fitri, Triyanti, Seli, Izza, Dela dan Chen Wanzhen.

 Heny Setyawan dan Rifki Chandra Utama.  Seluruh keluarga Matematika Subsidi 2012.

 Seluruh keluarga Tutor Bahasa Indonesia untuk Penutur Asing, kelas Guangdong University of Foreign Studies.

APLIKASI MODEL SUKU BUNGA STOKASTIK WAKTU DISKRIT BLACK-DERMAN-TOY DENGAN FORWARD-INDUCTION DALAM PENGHITUNGAN ANUITAS (STUDI KASUS: TINGKAT SUKU BUNGA

DI AMERIKA SERIKAT)

Oleh:

Chandra Nugroho Erlangga 12305141035

ABSTRAK

Anuitas merupakan salah satu jenis produk keuangan yang menjadi dasar berbagai instrumen keuangan. Variabel utama yang digunakan dalam penghitungan anuitas adalah tingkat suku bunga. Tingkat suku bunga besarnya berubah-ubah dan pergerakannya cepat sehingga pelaporannya dilakukan setiap hari. Pada kenyataannya penghitungan anuitas masih sering menggunakan tingkat suku bunga deterministik dibandingkan tingkat suku bunga stokastik. Anuitas dengan suku bunga stokastik yang dihitung dengan suku bunga sesaat model Black-Derman-Toy menggunakan metode forward-induction akan disusun.

Model Black-Derman-Toy merupakan model suku bunga stokastik waktu diskrit yang memanfaatkan tingkat imbal hasil dan volatilitas imbal hasil dari obligasi tanpa kupon untuk menyusun pohon suku bunga sesaat. Pembangunan model ini menerapkan teori-teori dari bidang teori peluang, proses stokastik, matematika keuangan dan finansial derivatif.

Data obligasi tanpa kupon yang digunakan di dalam skripsi ini adalah data United States Treasury Zero Coupon Yield Rate periode 1 Januari 2010 - 31 Desember 2010, yang terdiri dari tingkat imbal hasil untuk waktu jatuh tempo 1-5 tahun pada 252 hari kerja. Pohon suku bunga sesaat yang dihasilkan ternyata tidak memenuhi sifat-sifat dasar pohon suku bunga sesaat yang seharusnya. Kemudian dicari rerata tingkat imbal hasil di semua waktu jatuh tempo. Hal yang sama dilakukan pada volatilitas imbal hasil, sehingga menghasilkan satu tingkat imbal hasil dan satu volatilitas imbal hasil untuk semua waktu jatuh tempo. Pohon suku bunga sesaat yang dihasilkan dari tingkat imbal hasil dan volatilitas imbal hasil baru memenuhi kriteria yang disyaratkan di awal. Lintasan-lintasan dibuat untuk mengaplikasikan model suku bunga stokastik ke penghitungan anuitas. Selisih nilai anuitas dengan suku bunga stokastik dan suku bunga aktual menghasilkan nilai MAPE dan MSE sebesar 1,2147% dan 0,004358 untuk nilai sekarang anuitas dan 1,3655%dan 0.007974 untuk nilai masa depan anuitas.

KATA PENGANTAR

Ucapan syukur penulis panjatkan ke hadirat Tuhan Yesus Kristus, karena berkat anugerah dan kasih karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi yang

berjudul “APLIKASI MODEL SUKU BUNGA STOKASTIK WAKTU DISKRIT

BLACK-DERMAN-TOY DENGAN FORWARD-INDUCTION DALAM

PENGHITUNGAN ANUITAS (STUDI KASUS: TINGKAT SUKU BUNGA DI AMERIKA SERIKAT)”. Penulisan skripsi ini dilakukan dalam rangka memenuhi salah satu syarat untuk mencapai gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Yogyakarta. Penulisan skripsi ini dapat diselesaikan dengan bantuan berbagai pihak. Oleh karenanya, penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Dr. Hartono selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk menyelesaikan studi.

2. Bapak Dr. Ali Mahmudi selaku Ketua Jurusan Pendidikan Matematika yang telah memberikan kelancaran dalam pelayanan akademik untuk menyelesaikan studi.

3. Bapak Dr. Agus Maman Abadi selaku Ketua Program Studi Matematika yang telah memberikan bimbingan, arahan juga kemudahan dalam urusan akademik.

4. Bapak Emut, M.Si selaku Pembimbing Akademik yang telah memberikan arahan dan bimbingan penulis selama menjalani studi.

5. Ibu Rosita Kusumawati, M.Sc selaku Pembimbing Tugas Akhir yang telah rela dan sabar meluangkan waktu, ilmu dan tenaga demi membimbing, memberikan arahan dan motivasi bagi penulis untuk menyelesaikan studi. 6. Seluruh dosen Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Negeri

Yogyakarta yang telah memberikan arahan, motivasi, dan ilmu yang berharga.

7. Seluruh pihak yang telah membantu dan memberikan dukungan dalam penulisan skripsi ini.

Penulis menyadari skripsi ini masih jauh dari sempurna dan banyak kekurangan. Oleh karena itu, penulis mengharapkan saran dan kritik dalam penyempurnaan skripsi ini. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat tidak hanya bagi penulis tetapi bagi semua yang membacanya

Yogyakarta, 20 Juni 2016 Penulis

DAFTAR ISI

PERSETUJUAN ... i

PENGESAHAN ... ii

PERNYATAAN ... iii

MOTTO ... iv

PERSEMBAHAN ... v

ABSTRAK ... vi

KATA PENGANTAR ... vii

DAFTAR ISI ... ix

DAFTAR TABEL ... xi

DAFTAR LAMPIRAN ... xii

BAB I PENDAHULUAN ... 1

A. Latar Belakang ... 1

B. Batasan Masalah... 4

C. Rumusan Masalah ... 5

D. Tujuan Penelitian ... 5

E. Manfaat Penelitian ... 6

BAB II KAJIAN PUSTAKA ... 7

A. Peluang dan Peubah Acak ... 7

B. Fungsi Peluang Binomial ... 15

C. Proses Stokastik ... 18

D. Martingale ... 19

E. Bunga dan Anuitas ... 20

F. Obligasi Tanpa Kupon ... 27

G. Model Black-Derman-Toy dengan Teknik Forward-Induction ... 29

H. Pengukuran Galat ... 43

BAB III PEMBAHASAN ... 45

A. Konsep Anuitas dengan Suku Bunga Sesaat ... 45

B. Sumber dan Karakteristik Data ... 48

BAB IV PENUTUP ... 58

A. Kesimpulan ... 58

B. Saran ... 59

DAFTAR PUSTAKA ... 61

DAFTAR TABEL

Tabel 1. Tabel Penyajian Suku Bunga Sesaat. ... 30

Tabel 2.Tabel penyajian kurva imbal hasil dan kurva volatilitas imbal hasil. ... 32

Tabel 3. Tabel Kurva Imbal Hasil (Black dkk, 1990) ... 40

Tabel 4. Tabel Pohon Suku Bunga Sesaat. ... 43

Tabel 5. Tabel data olahan United States Treasury Zero Coupon Yield Curve .... 48

Tabel 6. Tabel suku bunga aktual negara Amerika Serikat tahun 2010-2014 ... 48

Tabel 7. Pohon suku bunga sesaat dari data aktual. ... 50

Tabel 8. Pohon suku bunga sesaat dari data baru... 51

Tabel 9. Tabel lintasan suku bunga sesaat. ... 52

Tabel 10. Nilai sekarang anuitas dengan suku bunga aktual ... 53

Tabel 11. Nilai sekarang anuitas dengan suku bunga stokastik ... 54

Tabel 12. Selisih nilai sekarang anuitas suku bunga aktual dan stokastik ... 55

Tabel 13. Nilai masa depan anuitas dengan suku bunga aktual ... 56

Tabel 14. Nilai masa depan anuitas dengan suku bunga stokastik ... 56

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1.Data United States Treasury Zero Coupon Yield Curve ... 64 Lampiran 2.Script Program R Model Suku Bunga Sesaat Black-Derman-Toy.... 65 Lampiran 3. Output Program R I ... 68 Lampiran 4 Output Program R II ... 69

DAFTAR PUSTAKA

Bain, Lee J., Engelhardt, Max. 1991. Introduction to Probability and Mathematical Statistics. Pacific Grove: Duxbury.

Black, Fischer, Derman, Emanuel, Toy, William. 1990. A One-Factor Model of Interest Rates and Its Application to Treasury Bond Options. Financial Analysts Journal, Vol. 46 No. 1, hal 33-39.

Broverman, Samuel A.. 2010. Mathematics of Investment and Credit. Winsted: ACTEX Publications, Inc.

Gaillardetz, Patrice. 2008. Valuation of Life Insurance Products Under Stochastic Interest Rates. Insurance: Mathematics and Economics Vol 42, hal 212-226.

Haerini, Helida. 2013. Penentuan Harga Obligasi Callable dengan Suku Bunga Black Derman Toy Menggunakan Pohon Binomial. Skripsi pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Gadjah Mada. Hanke, John E., Wichern, Dean. W.. 2005. Business Forecasting. New Jersey:

Prentice Hall.

Jay, Burthon D. dkk. 2002. Fair Valuation of Insurance Liabilities: Principles and Methods. American Academy of Actuaries.

Kellison, Stephen G.. 1991. The Theory of Interest. Taipei: McGraw-Hill Book Co. Lin, X. Sheldon. 2006. Introductory Stochastic Analysis for Finance and Insurance.

New Jersey: John Wiley & Sons, Co.

Mishkin, Frederic S.. 2004. The Economics of Money, Banking and Financial Market. New York: Addison-Wesley.

Oliveira, Luís dan Nunes, João Pedro Vidal dan Malcato, Luís, 2014. The Performance of Deterministic and Stochastic Interest Rate Risk Measures: Another Question of Dimension. Portuguese Economic Journal Vol 13, hal 141-165.

Panjer, Harry H., dkk. 1998. Financial Economics with Application to Investment, Insurance and Pensions. Schaumburg: The Actuarial Foundation.

Qoyyimi, Danang Teguh. 2008. Valuasi Produk Asuransi Jiwa dengan Suku Bunga Stokastik. Tesis Magister pada PPS Universitas Gadjah Mada.

Quandl. 2015. US Treasury Zero Coupon Yield Curve.

https://www.quandl.com/data/FED/SVENY-US-Treasury-Zero-Coupon-Yield-Curve. Diakses pada 27 Maret 2016.

Undang Undang Republik Indonesia. 2002. UNDANG-UNDANG REPUBLIK INDONESIA NOMOR 24 TAHUN 2002 TENTANG SURAT UTANG NEGARA.

World Bank. 2015. Real Interest Rate Data.

http://data.worldbank.org/indicator/FR.INR.RINR. Diakses pada 28 Juni 2016.

Lampiran 1.Data United States Treasury Zero Coupon Yield Curve

2 Januari 2015-31 Desember 2015

Tanggal y(0,t)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

31-Dec-15 0.790% 1.076% 1.350% 1.592% 1.796% 1.964% 2.100% 2.211% 2.302% 2.378% 30-Dec-15 0.770% 1.096% 1.385% 1.630% 1.834% 2.000% 2.135% 2.245% 2.335% 2.410% 29-Dec-15 0.790% 1.113% 1.400% 1.644% 1.845% 2.009% 2.142% 2.250% 2.339% 2.412% 28-Dec-15 0.775% 1.075% 1.346% 1.579% 1.774% 1.934% 2.065% 2.171% 2.259% 2.331% 24-Dec-15 0.769% 1.070% 1.343% 1.578% 1.775% 1.938% 2.070% 2.179% 2.268% 2.342% 23-Dec-15 0.748% 1.058% 1.338% 1.580% 1.782% 1.950% 2.087% 2.199% 2.290% 2.367% 22-Dec-15 0.738% 1.047% 1.324% 1.561% 1.760% 1.924% 2.058% 2.167% 2.257% 2.331% 21-Dec-15 0.752% 1.022% 1.284% 1.518% 1.716% 1.881% 2.015% 2.124% 2.213% 2.287% 18-Dec-15 0.745% 1.021% 1.288% 1.525% 1.724% 1.888% 2.021% 2.127% 2.213% 2.283%

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

22-Jan-15 0.208% 0.566% 0.928% 1.214% 1.428% 1.589% 1.714% 1.815% 1.898% 1.969% 21-Jan-15 0.214% 0.553% 0.899% 1.180% 1.395% 1.559% 1.687% 1.790% 1.876% 1.948% 20-Jan-15 0.227% 0.543% 0.879% 1.148% 1.354% 1.511% 1.636% 1.737% 1.822% 1.895% 16-Jan-15 0.219% 0.512% 0.843% 1.118% 1.332% 1.498% 1.629% 1.736% 1.826% 1.904% 15-Jan-15 0.175% 0.460% 0.772% 1.039% 1.253% 1.422% 1.558% 1.669% 1.763% 1.843% 14-Jan-15 0.210% 0.530% 0.869% 1.145% 1.358% 1.523% 1.653% 1.760% 1.850% 1.927% 13-Jan-15 0.218% 0.568% 0.919% 1.197% 1.407% 1.569% 1.698% 1.805% 1.895% 1.973% 12-Jan-15 0.207% 0.582% 0.939% 1.218% 1.428% 1.588% 1.715% 1.818% 1.904% 1.979% 9-Jan-15 0.219% 0.617% 0.985% 1.273% 1.490% 1.654% 1.781% 1.884% 1.969% 2.041% 8-Jan-15 0.239% 0.640% 1.023% 1.323% 1.545% 1.711% 1.837% 1.937% 2.018% 2.087% 7-Jan-15 0.274% 0.659% 1.021% 1.305% 1.516% 1.673% 1.791% 1.884% 1.958% 2.021% 6-Jan-15 0.277% 0.677% 1.042% 1.326% 1.536% 1.690% 1.806% 1.895% 1.967% 2.026% 5-Jan-15 0.301% 0.707% 1.090% 1.386% 1.603% 1.760% 1.875% 1.964% 2.035% 2.093% 2-Jan-15 0.277% 0.703% 1.103% 1.418% 1.652% 1.823% 1.950% 2.046% 2.121% 2.183% Rerata 0.378% 0.711% 1.047% 1.336% 1.572% 1.762% 1.915% 2.039% 2.141% 2.227% Volatilitas 34.56% 17.69% 11.92% 9.82% 8.95% 8.55% 8.33% 8.17% 8.04% 7.91%

64

Lampiran 1.Data United States Treasury Zero Coupon Yield Curve

2 Januari 2015-31 Desember 2015

Tanggal y(0,t)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

31-Dec-15 0.790% 1.076% 1.350% 1.592% 1.796% 1.964% 2.100% 2.211% 2.302% 2.378% 30-Dec-15 0.770% 1.096% 1.385% 1.630% 1.834% 2.000% 2.135% 2.245% 2.335% 2.410% 29-Dec-15 0.790% 1.113% 1.400% 1.644% 1.845% 2.009% 2.142% 2.250% 2.339% 2.412% 28-Dec-15 0.775% 1.075% 1.346% 1.579% 1.774% 1.934% 2.065% 2.171% 2.259% 2.331% 24-Dec-15 0.769% 1.070% 1.343% 1.578% 1.775% 1.938% 2.070% 2.179% 2.268% 2.342% 23-Dec-15 0.748% 1.058% 1.338% 1.580% 1.782% 1.950% 2.087% 2.199% 2.290% 2.367% 22-Dec-15 0.738% 1.047% 1.324% 1.561% 1.760% 1.924% 2.058% 2.167% 2.257% 2.331% 21-Dec-15 0.752% 1.022% 1.284% 1.518% 1.716% 1.881% 2.015% 2.124% 2.213% 2.287% 18-Dec-15 0.745% 1.021% 1.288% 1.525% 1.724% 1.888% 2.021% 2.127% 2.213% 2.283%

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

22-Jan-15 0.208% 0.566% 0.928% 1.214% 1.428% 1.589% 1.714% 1.815% 1.898% 1.969% 21-Jan-15 0.214% 0.553% 0.899% 1.180% 1.395% 1.559% 1.687% 1.790% 1.876% 1.948% 20-Jan-15 0.227% 0.543% 0.879% 1.148% 1.354% 1.511% 1.636% 1.737% 1.822% 1.895% 16-Jan-15 0.219% 0.512% 0.843% 1.118% 1.332% 1.498% 1.629% 1.736% 1.826% 1.904% 15-Jan-15 0.175% 0.460% 0.772% 1.039% 1.253% 1.422% 1.558% 1.669% 1.763% 1.843% 14-Jan-15 0.210% 0.530% 0.869% 1.145% 1.358% 1.523% 1.653% 1.760% 1.850% 1.927% 13-Jan-15 0.218% 0.568% 0.919% 1.197% 1.407% 1.569% 1.698% 1.805% 1.895% 1.973% 12-Jan-15 0.207% 0.582% 0.939% 1.218% 1.428% 1.588% 1.715% 1.818% 1.904% 1.979% 9-Jan-15 0.219% 0.617% 0.985% 1.273% 1.490% 1.654% 1.781% 1.884% 1.969% 2.041% 8-Jan-15 0.239% 0.640% 1.023% 1.323% 1.545% 1.711% 1.837% 1.937% 2.018% 2.087% 7-Jan-15 0.274% 0.659% 1.021% 1.305% 1.516% 1.673% 1.791% 1.884% 1.958% 2.021% 6-Jan-15 0.277% 0.677% 1.042% 1.326% 1.536% 1.690% 1.806% 1.895% 1.967% 2.026% 5-Jan-15 0.301% 0.707% 1.090% 1.386% 1.603% 1.760% 1.875% 1.964% 2.035% 2.093% 2-Jan-15 0.277% 0.703% 1.103% 1.418% 1.652% 1.823% 1.950% 2.046% 2.121% 2.183% Rerata 0.378% 0.711% 1.047% 1.336% 1.572% 1.762% 1.915% 2.039% 2.141% 2.227% Volatilitas 34.56% 17.69% 11.92% 9.82% 8.95% 8.55% 8.33% 8.17% 8.04% 7.91%

65

Lampiran 2.Script Program R Model Suku Bunga Sesaat Black-Derman-Toy

bdt.tree <- function(yields, volatilities) { prices <- numeric(0)

for(i in 1:length(yields)) prices = c(prices, (1+yields[i])^(-1*i)) multiNewtons <- function(fn, x, iterations=10) {

f <- function(x) {

values <- numeric(0) for(i in 1:length(fn)) {

values = c(values, fn[[i]](x)) }

t(t(values)) }

J <- function(x) { h = 0.00001

partials <- numeric(0) for(i in 1:length(fn)) {

for(j in 1:length(fn)) { ej <- numeric(0)

for(k in 1:length(fn)) { if(k==j) ej = c(ej, 1) else ej = c(ej, 0) }

partials = c(partials, (fn[[i]](x + h*ej) - fn[[i]](x))/h)

} }

matrix(partials, nrow=i, ncol=j, byrow=TRUE) }

temp <<- fn

for(i in 1:iterations) {

x = x - solve(J(x))%*%f(x) }

x }

P <- function(i=1, j, node, params, rateTree) { R = params[1]

sigma = params[2] if(j==2) {

if(node==1) {

(1+R*exp(2*sigma))^-1 } else {

(1+R)^-1 }

} else {

pathCounter = 1 paths = list() for(m in 0:(j-2)) {

path = c(rep(0, m), rep(1, (j-2)-m)) permPaths = unique(permn(path)) for(n in 1:length(permPaths)) {

paths[[pathCounter]] = permPaths[[n]] pathCounter = pathCounter + 1

} }

66

total = 0

prob = 0.5^(j-2)

for(m in 1:length(paths)) { path = paths[[m]]

levelIndex = length(path)+2 upIndex = 1

if(node==0) {

upIndex = upIndex + 1 }

for(n in 1:length(path)) { if(path[n] == 0) {

upIndex = upIndex + 1 }

}

dFactors <- numeric(0) for(n in length(path):1) {

levelIndex = levelIndex - 1 if(path[n] == 0) {

upIndex = upIndex - 1 }

dFactors = c(dFactors, rateTree[[levelIndex]][upIndex]) }

product = 1

for(l in 1:length(dFactors)) {

product = product * (1+dFactors[l])^-1 }

tree <<- product # comment this out

total = total + product * (prob*(1 +

R*exp(2*sigma*(sum(path)+node)))^-1) }

total }

}

rateTree = list()

for(i in 1:length(yields)) { if(i == 1) {

rateTree[[i]] = yields[i] } else {

params = c(yields[i], volatilities[i]) # initial estimate f1 <- function(params) {

(1 + yields[1])^-1 * (1/2) *

(P(1,i,1,params,rateTree) + P(1,i,0,params,rateTree)) - prices[i] }

f2 <- function(params) {

(1/2) * log( (P(1,i,1,params,rateTree)^(-1/(i-1)) 1)/(P(1,i,0,params,rateTree)^(-1/(i-1)) - 1) ) - volatilities[i]

}

fn = c(f1, f2)

params = multiNewtons(fn, params) R = params[1]

sigma = params[2] rates <- numeric(0)

67

for(j in i:1) {

rates = c(rates, R*exp(2*(j-1)*sigma)) }

rateTree[[i]] = rates }

} rateTree }

68

Lampiran 3. Output Program R I

> yields=c(0.356364, 0.688226, 1.109354, 1.550384, 1.973773) > volatilities=c(0.200212, 0.362531, 0.339578, 0.295286, 0.256485) > rateTree=bdt.tree(yields, volatilities)

> rateTree [[1]]

[1] 0.356364 [[2]]

[1] 1.5875796 0.7688561 [[3]]

[1] 5.066471 2.557153 1.290648 [[4]]

[1] 9.027399 5.502976 3.354537 2.044879 [[5]]

69

Lampiran 4 Output Program R II

> yields=c(1.13562, 1.13562, 1.13562, 1.13562, 1.13562)

> volatilities=c(0.290818, 0.290818, 0.290818, 0.290818, 0.290818) > rateTree=bdt.tree(yields, volatilities)

> rateTree [[1]] [1] 1.13562 [[2]]

[1] 1.5230287 0.8513473 [[3]]

[1] 2.1669852 1.1958827 0.6599655 [[4]]

[1] 3.3593215 1.8041250 0.9689061 0.5203514 [[5]]