PENGERTIAN DAN SIFAT-SIFAT MATEMATIKA EKONOMI
MATEMATIKA EKONOMI
DYAH NIRMALA A.J., M.Si.
PENGERTIAN DAN SIFAT-SIFAT MATEMATIKA EKONOMI
PENDAHULUAN
MATEMATIKA EKONOMI
• Matematika ekonomi merupakan cabang ilmu
ekonomi yang tidak berbeda dengan keuangan
negara atau perdagangan internasional.
• Matematika ekonomi digunakan untuk
pendekatan dalam analisa ekonomi dengan
menggunakan simbol-simbol matematis yang
dinyatakan dalam suatu permasalahan ekonomi.
• Matematika ekonomi ini dapat digunakan dalam
teori ekonomi makro atau mikro, keuangan
negara, ekonomi perkotaan dan sebagainya.
MATEMATIKA BISNIS
• Matematika bisnis pada dasarnya tidak berbeda
dengan matematika ekonomi. Perbedaanya
hanyalah terletak pada jenis penerapannya saja.
• Masalah-masalah ekonomi dan bisnis akan
selalu terkait dan kesemuanya dapat dianalisis
secara matematis dengan memberikan simbolsimbol yang sesuai.
• Matematika bisnis lebih menekankan pada
penerapan di bidang bisnis dan keuangan yang
cakupannya lebih sempit (mikro) dibandingkan
matematika ekonomi.
Perbedaan antara matematika
ekonomi dengan non-matematika
ekonomi
• Matematika ekonomi menggunakan
asumsi dan kesimpulan yang
dinyatakan dalam simbol-simbol
matematis;
• Persamaan-persamaan matematis
yang berkaitan dengan masalahmasalah ekonomi
Matematika adalah alat
analisis
• Pendekatan matematis bukanlah "malaikat" yang
selalu benar dan akurat dalam menganalisis suatu
permasalahan.
• Matematika hanyalah sebagai alat untuk
menganalisis suatu permasalahan, sehingga
penerapan hasil analisis tersebut sangat
tergantung pada analisis kualitatif yang dilakukan
oleh pengguna.
• Secara kualitatif suatu hasil analisis matematis
dinyatakan tidak realistis. Ini terjadi karena asumsiasumsi yang mendukungnya tidak terpenuhi.
Matematika adalah alat analisis
• Harus dibedakan antara kebenaran suatu
teori dengan kebenaran hasil analisis.
Teori di sini merupakan alat untuk
memisahkan beberapa faktor penting dan
melihat hubungan di antaranya, sehingga
kita dapat mempelajari masalah utama
tersebut.
• Apabila ada pernyataan bahwa suatu teori
tidak realistik, maka perlu diteliti apakah
analisisnya sudah benar atau belum.
PENERAPAN EKONOMI
• Diketahui kondisi permintaan suatu barang di
pasar yaitu: sewaktu harga Rp 4 permintaan
sebesar 2 unit dan harga turun menjadi Rp 3
permintaan menjadi 5 unit. tentukan
persamaan fungsi linearnya dan gambar
garis yang melalui kedua titik tersebut.
• Gambaran permintaan tersebut dapat ditulis
secara matematis dengan menggunakan
perhitungan dua titik yaitu titik A (4,2) dan
titik B (3,5).
Penyelesaian
•
penyelesaiannya, gunakan metode dua titik
• Untuk
Maka:
Persamaan permintaan barang
tersebut dapat ditulis dalam tabel
P 0 1 2 3 4 5
Q 14 11 8 5 2 -1
Kurva Permintaannya
Contoh Soal
•
• Jika diketahui dua persamaan fungsi
linear:
• Tentukan nilai variabel bebas dan
variabel terikatnya?
Penyelesaian
• Persamaan
I:
• Persamaan II:
• Misalkan kita pilih persamaan II
untuk diubah menjadi persamaan
fungsi linear secara eksplisit.
Lanjutan Penyelesaian
• Kemudian
kita masukkan kedalam
persamaan I sebagai berikut:
Lanjutan Penyelesaian
• Setelah
diketahui nilai , maka
dimasukkan ke persamaan I atau II.
• Misalkan dipilih persamaan II yang
telah diubah secara eksplisit sebagai
berikut:
Pelajari dan kerjakan sendiri di
rumah!
•• Diketahui
dua persamaan fungsi linear yaitu: dan
8, tentukan nilai variabel X dan variabel Y
• Diketahui fungsi permintaan: , tentukan:
a. Berapa jumlah produk yang diminta, jika harga
produk perunit Rp 25, Rp 30, dan Rp 50?
b. Berapa harga produk perunit, jika jumlah produk yang
diminta sebanyak 5 unit, 10 unit dan 20 unit?
c. Berapa harga tertinggi yang harus dibayar untuk
sebuah produk tersebut?
d. Berapa banyak permintaan produk tertinggi?
e. Gambarkan grafk dari persamaan fungsi permintaan
di atas!
HUBUNGAN FUNGSIONAL
HUBUNGAN FUNGSIONAL
•
•
•
•
•
Pengertian dan unsur-unsur fungsi
Jenis-jenis fungsi
Penggambaran fungsi linear
Penggambaran fungsi non linear
Penerapan Ekonomi
Pengertian & Unsur-unsur
Fungsi
Fungsi: suatu bentuk hubungan matematis
yang menyatakan hubungan ketergantungan
(hubungan fungsional) antara satu variabel
dengan variabel lain.
Sebuah fungsi dibentuk oleh beberapa unsur.
Unsur-unsur pembentukan fungsi: variabel,
koefsien dan konstanta.
Variabel dan koefsien senantiasa terdapat
dalam setiap fungsi
Pengertian & Unsur-unsur
Fungsi
Variabel: unsur pembentuk fungsi yang mencerminkan
atau mewakili faktor tertentu, dilambangkan
(berdasarkan kesepakatan umum) dengan huruf-huruf
latin.
Berdasarkan kedudukan atau sifatnya, di dalam setiap
fungsi terdapat dua macam variabel yaitu variabel
bebas dan variabel terikat.
Variabel bebas (independent variable) adalah
variabel yang nilainya tidak tergantung pada variabel
lain.
Variabel terikat (dependent variable) adalah variabel
yang nilainya tergantung pada variabel lain.
Koefsien & Konstanta
Koefsien
adalah bilangan atau angka yang
•
terkaitpada dan terletak di depan suatu variabel
dalam sebuah fungsi
Konstanta adalah bilangan atau angka yang
(kadang-kadang) turut membentuk sebuah fungsi
tetapi berdiri sendiri sebagai bilangan dan tidak
terkait pada suatu variabel tertentu
Contoh:
Notasi sebuah fungsi secara umum:
Contoh nyata:
Atau karena bisa pula
Jenis-jenis Fungsi
•• Fungsi
polinom: fungsi yang mengandung
banyak suku (polinom) dalam variabel bebasnya:
– Pangkat tertinggi pada variabel suatu fungsi polinom
mencerminkan derajat polinomnya, sekaligus juga
mencerminkan derajat persamaan atau fungsi tersebut
• Fungsi linear: fungsi polinom khusus yang
pangkat tertinggi dari variabelnya adalah
pangkat satu. Sering juga disebut fungsi
berderajat satu
– Bentuk umum persamaan linear:
– adalah konstanta dan
Jenis-jenis Fungsi
•• Fungsi
kuadrat: fungsi polinom yang pangkat
tertingginya adalah pangkat dua, sering juga
disebut fungsi berderajat dua
• Fungsi berderajat n: fungsi yang pangkat
tertinggi variabelnya adalah pangkat n
(n=bilangan nyata)
• Fungsi pangkat: fungsi yang variabel bebasnya
berpangkat sebuat bilangan nyata bukan nol
Jenis-jenis Fungsi
Penggambaran Fungsi Linier
X
0
1
2
3
4
5
X
0
1
2
3
4
5
Y
3
5
7
9
11
13
Y
0
2
4
6
8
10
0
2
4
6
� =3+2 �
� =2 �
14
12
12
10
8
Sumbu Y
Sumbu Y
10
8
6
6
4
4
2
2
0
0
0
2
4
Sumbu X
6
Sumbu X
10
Penggambaran
Fungsi Linier
8
Apabila
bernilai
negatif , kurva
bergerak dari kiri atas
ke kanan bawah.
Y
0
8
1
6
2
4
3
2
4
0
5
-2
Sumbu Y
X
6
4
2
0
0
2
4
-2
-4
Sumbu X
6
Penerapan Ekonomi
•1. Kurva penawaran suatu produk
dinyatakan , tentukan:
a. Berapa harga produk, jika jumlah
produk yang ditawarkan 10 unit dan 20
unit?
b. Berapa jumlah produk yang ditawarkan
jika harga produk perunit Rp 10,- dan
Rp 8,- ?
c. Gambarkan kurva/ grafk fungsi
penawaran diatas !
120.0
100.0
Q
P
10.0 20.0 (2.5) (3.0)
60.0 100.0 10.0
8.0
P
80.0
60.0
40.0
20.0
(10.0) -
10.0 20.0 30.0
Q
Penerapan Ekonomi
•2. Diketahui persamaan fungsi sebagai
berikut: permintaan , penawaran .
Tentukan jumlah dan harga produk
keseimbangan pasar yang
disepakati oleh penjual dan pembeli
dan gambarkan dalam grafk
keseimbangan pasar tersebut!
PD
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
PS
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
25
20
Sumbu P
Q
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
30
15
10
5
0
0
2
4
6
Sumbu Q
8
10
12
Penggambaran Fungsi Non
Linear
� =8 − 4 � − � 2
Y
29
20
13
8
5
4
5
8
13
20
29
35
30
25
Sumbu Y
X
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
20
15
10
5
0
-5
0
5
Sumbu X
10
Penggambaran Fungsi Non
Linear
� =8 − 2 � −� 2
15
10
5
Sumbu Y
X
Y
-112 -12
-40
-8
0
-4
8
0
-16
4
-72
8
-160 12
-200
0
-150
-100
-50
0
-5
-10
Sumbu X
-15
50
Pelajari dan kerjakan sendiri di
rumah!
• Diketahui
persamaan fungsi sebagai
berikut: permintaan, penawaran .
Tentukan jumlah dan harga produk
keseimbangan pasar yang disepakati
oleh penjual dan pembeli dan
gambarkan dalam grafk
keseimbangan pasar tersebut!
HUBUNGAN LINIER
HUBUNGAN LINIER
1. Penggal (intercept) dan Lereng
(slope) Garis Lurus
2. Pembentukan Persamaan Linear
3. Hubungan Dua Garis Lurus
4. Pencarian Akar-akar
5. Penerapan Ekonomi
Penggal dan Lereng Garis
Lurus
linear atau fungsi derajat satu adalah fungsi yang
•• Fungsi
pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat satu
• Sesuai dengan namanya, setiap persamaan linear
apabila digambarkan akan menghasilkan sebuah garis
(garis lurus)
• Bentuk umum persamaan linear:
• Nilai a adalah penggal garis pada sumbu vertikal
• Nilai b adalah koefsien arah atau lereng garis, yang
mencerminkan besarnya tambahan nilai Y untuk setiap
tambahan satu unit X
• Penggal a mencerminkan nilai Y pada kedudukan
Gambar Fungsi Linear
Dalam kasus tertentu, apabila lereng
garisnya sama dengan nol
Penerapan
Ekonomi
16
14
12
Sumbu P
Lukislah kurva
dari Fungsi
Permintaan
Apabila , maka
Apabila , maka
10
8
6
4
2
0
0
5
10
Sumbu Q
15
20
Penerapan
Ekonomi
3.5
3
2.5
Sumbu P
Lukislah kurva
dari Fungsi
Penawaran
Apabila , maka
Apabila , maka
2
1.5
1
0.5
0
-8
-6
-4
Sumbu Q
-2
0
Pembentukan Persamaan
Linear
1.
2.
3.
4.
Dwi Koordinat
Koordinat lereng
Penggal Lereng
Dwi Penggal
Dwi
Koordinat
6
5
4
Sumbu Y
Apabila diketahui
titik A (2,3) dan
titik B(6,5).
Tentukan
persamaan
linearnya!
3
2
1
0
-6
-4
-2
0
2
Sumbu X
4
6
8
Koordinat Lereng
• Dari
sebuah titik dan suatu lereng
dapat dibentuk sebuah persamaan
linear yang memenuhi titik dan
lereng tersebut
• Apabila diketahui titik A(2,3) dan
lereng garisnya 0,5, maka
persamaan linear yang dipenuhi
adalah
Cara Penggal Lereng
9
8
7
6
4
3
2
1
0
-6
Apabila diketahui lereng
garis masing-masing
adalah 4 dan 0,8, maka
persamaan linearnya
5
Sumbu Y
Sebuah
persamaan linear
•
dapat juga dibentuk jika
diketahui penggalnya pada
salah satu sumbu dan
lereng garis yang
memenuhi persamaan
tersebut
-4
-2
-1 0
Sumbu X
2
4
6
Cara Dwi Penggal
• Persamaan
linear dapat dibentuk
apabila diketahui penggal garis
tersebut pada masing- masing sumbu
• Apabila a dan c merupakan nilai
penggal pada masing-masing sumbu
vertikal dan horizontal dari sebuah
garis lurus, maka persamaan
garisnya
Penggal sebuah garispada sumbu
vertikal dan horizontal masing-masing
3 dan -4, maka persamaan linear yang
memenuhinya adalah:
•
•Lereng
sebuah garis lurus tak lain
adalah hasil bagi selisih antara dua
ordinat terhadap selisih anatara .
Menurut cara dwi koordinat, rumus
persamaan linear:
Menurut cara koordinat lereng
Berarti:
Hubungan Dua Garis Lurus
•Dua
buah garis lurus
akan berimpit apabila
persamaan garis
yang satu
merupakan kelipatan
dari (proposional
terhadap) persamaan
garis yang lain.
Garis akan berimpit
dengan garis jika ; ;
Hubungan Dua Garis Lurus
•Dua
buah garis lurus
akan sejajar apabila
lereng garis yang
satu sama dengan
lereng garis yang
lain.
Garis akan sejajar
dengan garis jika ;
Hubungan Dua Garis Lurus
•Dua
buah garis lurus
akan berpotongan
apabila lereng garis
yang satu tidak sama
dengan lereng garis
yang lain.
Garis akan
berpotongan dengan
garis jika
Hubungan Dua Garis Lurus
Dua
• buah garis lurus
akan SALING TEGAK
LURUS apabila lereng
garis yang satu
merupakan kebalikan
dari lereng garis yang
lain dengan tanda yang
berlawanan
Garis akan tegak lurus
dengan garis
jika atau
Penerapan Ekonomi
•Diketahui:
Fungsi Permintaan Fungsi Penawaran
a. Carilah harga keseimbangan
b. Lukis Kurvanya
Penyelesaian
;
;
Keseimbangan:
Penerapan
Ekonomi
Pengaruh Pajak Spesifk Terhadap
Keseimbangan Pasar
•Jika
dari kondisi pasar (sebelumnya)
Fungsi Permintaan
Fungsi Penawaran
dikenakan pajak sebesar 3 satuan per
unit.
Berapa harga dan jumlah
keseimbangan setelah pajak?
Penyelesaian
Harga
dan jumlah keseimbangan sebelum pajak:
•
dan (penyelesaian sebelumnya)
Penawaran sebelum pajak:
Penawaran sesudah pajak:
Persamaan permintaan tetap:
Keseimbangan:
Kurva Pasar Setelah Pajak
PENCARIAN AKAR-AKAR
• Cara Subsitusi
• Cara Eliminasi
Cara Subsitusi
•Dua
persamaan dengan dua bilangan
tertentu dapat diselesaikan dengan cara
menyelesaikan terlebih dahulu sebuah
persamaan untuk salah satu bilangan
tertentu, kemudian mensubsitusikannya
ke dalam persamaan yang lain
Contoh:
dan
Penyelesaian
•
diubah menjadi
Kemudian
Jadi akar-akar persamaan tersebut
Penerapan Ekonomi
• Berdasarkan kondisi pasar sebelumnya:
• Fungsi Permintaan P=15 – Q Fungsi
Penawaran P= 3+0,5Q
• Pemerintah membebankan pajak
sebesar 25%
• dari harga jual
• Hitung harga keseimbangan dan jumlah
keseimbangan tanpa pajak dan setelah
pajak
Penyelesaian
Harga
• dan jumlah keseimbangan sebelum pajak:
dan (penyelesaian sebelumnya)
Penawaran setelah pajak, dengan t=25%=0,25
Keseimbangan pasar:
Kurva Pasar Setelah Pajak
Proporsional
Cara Eliminasi
•Dua
persamaan dengan dua bilangan
tertentu dapat diselesaikan dengan
cara menghilangkan untuk sementara
(mengeleminasi) salah satu bilangan
tertentu yang ada, sehingga dapat
dihitung bilangan yang lain
Contoh:
dan
Penyelesaian
•
Akar-akar persamaan tersebut
Pelajari & Kerjakan Sendiri di Rumah
•Permintaan
akan barang X ditunjukkan
oleh persamaan:
Permintaan barang Y,
Berapa harga dan jumlah barang
keseimbangan yang diminta?
Referensi
• Gustang, A. (n.d.). ATangSE.
Retrieved July 20, 2013, from
Slideshare:
http://www.slideshare.net/ATangSE/m
atematika-ekonomi-bisnis
• Syahza, A. (n.d.). Almasdi. Retrieved
July 20, 2013, from Unri:
http://almasdi.unri.ac.id/index.php?
option=com_content&view=article&i
d=74&Itemid=74
DYAH NIRMALA A.J., M.Si.
PENGERTIAN DAN SIFAT-SIFAT MATEMATIKA EKONOMI
PENDAHULUAN
MATEMATIKA EKONOMI
• Matematika ekonomi merupakan cabang ilmu
ekonomi yang tidak berbeda dengan keuangan
negara atau perdagangan internasional.
• Matematika ekonomi digunakan untuk
pendekatan dalam analisa ekonomi dengan
menggunakan simbol-simbol matematis yang
dinyatakan dalam suatu permasalahan ekonomi.
• Matematika ekonomi ini dapat digunakan dalam
teori ekonomi makro atau mikro, keuangan
negara, ekonomi perkotaan dan sebagainya.
MATEMATIKA BISNIS
• Matematika bisnis pada dasarnya tidak berbeda
dengan matematika ekonomi. Perbedaanya
hanyalah terletak pada jenis penerapannya saja.
• Masalah-masalah ekonomi dan bisnis akan
selalu terkait dan kesemuanya dapat dianalisis
secara matematis dengan memberikan simbolsimbol yang sesuai.
• Matematika bisnis lebih menekankan pada
penerapan di bidang bisnis dan keuangan yang
cakupannya lebih sempit (mikro) dibandingkan
matematika ekonomi.
Perbedaan antara matematika
ekonomi dengan non-matematika
ekonomi
• Matematika ekonomi menggunakan
asumsi dan kesimpulan yang
dinyatakan dalam simbol-simbol
matematis;
• Persamaan-persamaan matematis
yang berkaitan dengan masalahmasalah ekonomi
Matematika adalah alat
analisis
• Pendekatan matematis bukanlah "malaikat" yang
selalu benar dan akurat dalam menganalisis suatu
permasalahan.
• Matematika hanyalah sebagai alat untuk
menganalisis suatu permasalahan, sehingga
penerapan hasil analisis tersebut sangat
tergantung pada analisis kualitatif yang dilakukan
oleh pengguna.
• Secara kualitatif suatu hasil analisis matematis
dinyatakan tidak realistis. Ini terjadi karena asumsiasumsi yang mendukungnya tidak terpenuhi.
Matematika adalah alat analisis
• Harus dibedakan antara kebenaran suatu
teori dengan kebenaran hasil analisis.
Teori di sini merupakan alat untuk
memisahkan beberapa faktor penting dan
melihat hubungan di antaranya, sehingga
kita dapat mempelajari masalah utama
tersebut.
• Apabila ada pernyataan bahwa suatu teori
tidak realistik, maka perlu diteliti apakah
analisisnya sudah benar atau belum.
PENERAPAN EKONOMI
• Diketahui kondisi permintaan suatu barang di
pasar yaitu: sewaktu harga Rp 4 permintaan
sebesar 2 unit dan harga turun menjadi Rp 3
permintaan menjadi 5 unit. tentukan
persamaan fungsi linearnya dan gambar
garis yang melalui kedua titik tersebut.
• Gambaran permintaan tersebut dapat ditulis
secara matematis dengan menggunakan
perhitungan dua titik yaitu titik A (4,2) dan
titik B (3,5).
Penyelesaian
•
penyelesaiannya, gunakan metode dua titik
• Untuk
Maka:
Persamaan permintaan barang
tersebut dapat ditulis dalam tabel
P 0 1 2 3 4 5
Q 14 11 8 5 2 -1
Kurva Permintaannya
Contoh Soal
•
• Jika diketahui dua persamaan fungsi
linear:
• Tentukan nilai variabel bebas dan
variabel terikatnya?
Penyelesaian
• Persamaan
I:
• Persamaan II:
• Misalkan kita pilih persamaan II
untuk diubah menjadi persamaan
fungsi linear secara eksplisit.
Lanjutan Penyelesaian
• Kemudian
kita masukkan kedalam
persamaan I sebagai berikut:
Lanjutan Penyelesaian
• Setelah
diketahui nilai , maka
dimasukkan ke persamaan I atau II.
• Misalkan dipilih persamaan II yang
telah diubah secara eksplisit sebagai
berikut:
Pelajari dan kerjakan sendiri di
rumah!
•• Diketahui
dua persamaan fungsi linear yaitu: dan
8, tentukan nilai variabel X dan variabel Y
• Diketahui fungsi permintaan: , tentukan:
a. Berapa jumlah produk yang diminta, jika harga
produk perunit Rp 25, Rp 30, dan Rp 50?
b. Berapa harga produk perunit, jika jumlah produk yang
diminta sebanyak 5 unit, 10 unit dan 20 unit?
c. Berapa harga tertinggi yang harus dibayar untuk
sebuah produk tersebut?
d. Berapa banyak permintaan produk tertinggi?
e. Gambarkan grafk dari persamaan fungsi permintaan
di atas!
HUBUNGAN FUNGSIONAL
HUBUNGAN FUNGSIONAL
•
•
•
•
•
Pengertian dan unsur-unsur fungsi
Jenis-jenis fungsi
Penggambaran fungsi linear
Penggambaran fungsi non linear
Penerapan Ekonomi
Pengertian & Unsur-unsur
Fungsi
Fungsi: suatu bentuk hubungan matematis
yang menyatakan hubungan ketergantungan
(hubungan fungsional) antara satu variabel
dengan variabel lain.
Sebuah fungsi dibentuk oleh beberapa unsur.
Unsur-unsur pembentukan fungsi: variabel,
koefsien dan konstanta.
Variabel dan koefsien senantiasa terdapat
dalam setiap fungsi
Pengertian & Unsur-unsur
Fungsi
Variabel: unsur pembentuk fungsi yang mencerminkan
atau mewakili faktor tertentu, dilambangkan
(berdasarkan kesepakatan umum) dengan huruf-huruf
latin.
Berdasarkan kedudukan atau sifatnya, di dalam setiap
fungsi terdapat dua macam variabel yaitu variabel
bebas dan variabel terikat.
Variabel bebas (independent variable) adalah
variabel yang nilainya tidak tergantung pada variabel
lain.
Variabel terikat (dependent variable) adalah variabel
yang nilainya tergantung pada variabel lain.
Koefsien & Konstanta
Koefsien
adalah bilangan atau angka yang
•
terkaitpada dan terletak di depan suatu variabel
dalam sebuah fungsi
Konstanta adalah bilangan atau angka yang
(kadang-kadang) turut membentuk sebuah fungsi
tetapi berdiri sendiri sebagai bilangan dan tidak
terkait pada suatu variabel tertentu
Contoh:
Notasi sebuah fungsi secara umum:
Contoh nyata:
Atau karena bisa pula
Jenis-jenis Fungsi
•• Fungsi
polinom: fungsi yang mengandung
banyak suku (polinom) dalam variabel bebasnya:
– Pangkat tertinggi pada variabel suatu fungsi polinom
mencerminkan derajat polinomnya, sekaligus juga
mencerminkan derajat persamaan atau fungsi tersebut
• Fungsi linear: fungsi polinom khusus yang
pangkat tertinggi dari variabelnya adalah
pangkat satu. Sering juga disebut fungsi
berderajat satu
– Bentuk umum persamaan linear:
– adalah konstanta dan
Jenis-jenis Fungsi
•• Fungsi
kuadrat: fungsi polinom yang pangkat
tertingginya adalah pangkat dua, sering juga
disebut fungsi berderajat dua
• Fungsi berderajat n: fungsi yang pangkat
tertinggi variabelnya adalah pangkat n
(n=bilangan nyata)
• Fungsi pangkat: fungsi yang variabel bebasnya
berpangkat sebuat bilangan nyata bukan nol
Jenis-jenis Fungsi
Penggambaran Fungsi Linier
X
0
1
2
3
4
5
X
0
1
2
3
4
5
Y
3
5
7
9
11
13
Y
0
2
4
6
8
10
0
2
4
6
� =3+2 �
� =2 �
14
12
12
10
8
Sumbu Y
Sumbu Y
10
8
6
6
4
4
2
2
0
0
0
2
4
Sumbu X
6
Sumbu X
10
Penggambaran
Fungsi Linier
8
Apabila
bernilai
negatif , kurva
bergerak dari kiri atas
ke kanan bawah.
Y
0
8
1
6
2
4
3
2
4
0
5
-2
Sumbu Y
X
6
4
2
0
0
2
4
-2
-4
Sumbu X
6
Penerapan Ekonomi
•1. Kurva penawaran suatu produk
dinyatakan , tentukan:
a. Berapa harga produk, jika jumlah
produk yang ditawarkan 10 unit dan 20
unit?
b. Berapa jumlah produk yang ditawarkan
jika harga produk perunit Rp 10,- dan
Rp 8,- ?
c. Gambarkan kurva/ grafk fungsi
penawaran diatas !
120.0
100.0
Q
P
10.0 20.0 (2.5) (3.0)
60.0 100.0 10.0
8.0
P
80.0
60.0
40.0
20.0
(10.0) -
10.0 20.0 30.0
Q
Penerapan Ekonomi
•2. Diketahui persamaan fungsi sebagai
berikut: permintaan , penawaran .
Tentukan jumlah dan harga produk
keseimbangan pasar yang
disepakati oleh penjual dan pembeli
dan gambarkan dalam grafk
keseimbangan pasar tersebut!
PD
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
PS
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
25
20
Sumbu P
Q
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
30
15
10
5
0
0
2
4
6
Sumbu Q
8
10
12
Penggambaran Fungsi Non
Linear
� =8 − 4 � − � 2
Y
29
20
13
8
5
4
5
8
13
20
29
35
30
25
Sumbu Y
X
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
20
15
10
5
0
-5
0
5
Sumbu X
10
Penggambaran Fungsi Non
Linear
� =8 − 2 � −� 2
15
10
5
Sumbu Y
X
Y
-112 -12
-40
-8
0
-4
8
0
-16
4
-72
8
-160 12
-200
0
-150
-100
-50
0
-5
-10
Sumbu X
-15
50
Pelajari dan kerjakan sendiri di
rumah!
• Diketahui
persamaan fungsi sebagai
berikut: permintaan, penawaran .
Tentukan jumlah dan harga produk
keseimbangan pasar yang disepakati
oleh penjual dan pembeli dan
gambarkan dalam grafk
keseimbangan pasar tersebut!
HUBUNGAN LINIER
HUBUNGAN LINIER
1. Penggal (intercept) dan Lereng
(slope) Garis Lurus
2. Pembentukan Persamaan Linear
3. Hubungan Dua Garis Lurus
4. Pencarian Akar-akar
5. Penerapan Ekonomi
Penggal dan Lereng Garis
Lurus
linear atau fungsi derajat satu adalah fungsi yang
•• Fungsi
pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat satu
• Sesuai dengan namanya, setiap persamaan linear
apabila digambarkan akan menghasilkan sebuah garis
(garis lurus)
• Bentuk umum persamaan linear:
• Nilai a adalah penggal garis pada sumbu vertikal
• Nilai b adalah koefsien arah atau lereng garis, yang
mencerminkan besarnya tambahan nilai Y untuk setiap
tambahan satu unit X
• Penggal a mencerminkan nilai Y pada kedudukan
Gambar Fungsi Linear
Dalam kasus tertentu, apabila lereng
garisnya sama dengan nol
Penerapan
Ekonomi
16
14
12
Sumbu P
Lukislah kurva
dari Fungsi
Permintaan
Apabila , maka
Apabila , maka
10
8
6
4
2
0
0
5
10
Sumbu Q
15
20
Penerapan
Ekonomi
3.5
3
2.5
Sumbu P
Lukislah kurva
dari Fungsi
Penawaran
Apabila , maka
Apabila , maka
2
1.5
1
0.5
0
-8
-6
-4
Sumbu Q
-2
0
Pembentukan Persamaan
Linear
1.
2.
3.
4.
Dwi Koordinat
Koordinat lereng
Penggal Lereng
Dwi Penggal
Dwi
Koordinat
6
5
4
Sumbu Y
Apabila diketahui
titik A (2,3) dan
titik B(6,5).
Tentukan
persamaan
linearnya!
3
2
1
0
-6
-4
-2
0
2
Sumbu X
4
6
8
Koordinat Lereng
• Dari
sebuah titik dan suatu lereng
dapat dibentuk sebuah persamaan
linear yang memenuhi titik dan
lereng tersebut
• Apabila diketahui titik A(2,3) dan
lereng garisnya 0,5, maka
persamaan linear yang dipenuhi
adalah
Cara Penggal Lereng
9
8
7
6
4
3
2
1
0
-6
Apabila diketahui lereng
garis masing-masing
adalah 4 dan 0,8, maka
persamaan linearnya
5
Sumbu Y
Sebuah
persamaan linear
•
dapat juga dibentuk jika
diketahui penggalnya pada
salah satu sumbu dan
lereng garis yang
memenuhi persamaan
tersebut
-4
-2
-1 0
Sumbu X
2
4
6
Cara Dwi Penggal
• Persamaan
linear dapat dibentuk
apabila diketahui penggal garis
tersebut pada masing- masing sumbu
• Apabila a dan c merupakan nilai
penggal pada masing-masing sumbu
vertikal dan horizontal dari sebuah
garis lurus, maka persamaan
garisnya
Penggal sebuah garispada sumbu
vertikal dan horizontal masing-masing
3 dan -4, maka persamaan linear yang
memenuhinya adalah:
•
•Lereng
sebuah garis lurus tak lain
adalah hasil bagi selisih antara dua
ordinat terhadap selisih anatara .
Menurut cara dwi koordinat, rumus
persamaan linear:
Menurut cara koordinat lereng
Berarti:
Hubungan Dua Garis Lurus
•Dua
buah garis lurus
akan berimpit apabila
persamaan garis
yang satu
merupakan kelipatan
dari (proposional
terhadap) persamaan
garis yang lain.
Garis akan berimpit
dengan garis jika ; ;
Hubungan Dua Garis Lurus
•Dua
buah garis lurus
akan sejajar apabila
lereng garis yang
satu sama dengan
lereng garis yang
lain.
Garis akan sejajar
dengan garis jika ;
Hubungan Dua Garis Lurus
•Dua
buah garis lurus
akan berpotongan
apabila lereng garis
yang satu tidak sama
dengan lereng garis
yang lain.
Garis akan
berpotongan dengan
garis jika
Hubungan Dua Garis Lurus
Dua
• buah garis lurus
akan SALING TEGAK
LURUS apabila lereng
garis yang satu
merupakan kebalikan
dari lereng garis yang
lain dengan tanda yang
berlawanan
Garis akan tegak lurus
dengan garis
jika atau
Penerapan Ekonomi
•Diketahui:
Fungsi Permintaan Fungsi Penawaran
a. Carilah harga keseimbangan
b. Lukis Kurvanya
Penyelesaian
;
;
Keseimbangan:
Penerapan
Ekonomi
Pengaruh Pajak Spesifk Terhadap
Keseimbangan Pasar
•Jika
dari kondisi pasar (sebelumnya)
Fungsi Permintaan
Fungsi Penawaran
dikenakan pajak sebesar 3 satuan per
unit.
Berapa harga dan jumlah
keseimbangan setelah pajak?
Penyelesaian
Harga
dan jumlah keseimbangan sebelum pajak:
•
dan (penyelesaian sebelumnya)
Penawaran sebelum pajak:
Penawaran sesudah pajak:
Persamaan permintaan tetap:
Keseimbangan:
Kurva Pasar Setelah Pajak
PENCARIAN AKAR-AKAR
• Cara Subsitusi
• Cara Eliminasi
Cara Subsitusi
•Dua
persamaan dengan dua bilangan
tertentu dapat diselesaikan dengan cara
menyelesaikan terlebih dahulu sebuah
persamaan untuk salah satu bilangan
tertentu, kemudian mensubsitusikannya
ke dalam persamaan yang lain
Contoh:
dan
Penyelesaian
•
diubah menjadi
Kemudian
Jadi akar-akar persamaan tersebut
Penerapan Ekonomi
• Berdasarkan kondisi pasar sebelumnya:
• Fungsi Permintaan P=15 – Q Fungsi
Penawaran P= 3+0,5Q
• Pemerintah membebankan pajak
sebesar 25%
• dari harga jual
• Hitung harga keseimbangan dan jumlah
keseimbangan tanpa pajak dan setelah
pajak
Penyelesaian
Harga
• dan jumlah keseimbangan sebelum pajak:
dan (penyelesaian sebelumnya)
Penawaran setelah pajak, dengan t=25%=0,25
Keseimbangan pasar:
Kurva Pasar Setelah Pajak
Proporsional
Cara Eliminasi
•Dua
persamaan dengan dua bilangan
tertentu dapat diselesaikan dengan
cara menghilangkan untuk sementara
(mengeleminasi) salah satu bilangan
tertentu yang ada, sehingga dapat
dihitung bilangan yang lain
Contoh:
dan
Penyelesaian
•
Akar-akar persamaan tersebut
Pelajari & Kerjakan Sendiri di Rumah
•Permintaan
akan barang X ditunjukkan
oleh persamaan:
Permintaan barang Y,
Berapa harga dan jumlah barang
keseimbangan yang diminta?
Referensi
• Gustang, A. (n.d.). ATangSE.
Retrieved July 20, 2013, from
Slideshare:
http://www.slideshare.net/ATangSE/m
atematika-ekonomi-bisnis
• Syahza, A. (n.d.). Almasdi. Retrieved
July 20, 2013, from Unri:
http://almasdi.unri.ac.id/index.php?
option=com_content&view=article&i
d=74&Itemid=74