ALJABAR LINIER DAN MATRIKS (1)
ALJABAR LINIER DAN
MATRIKS
MATRIKS
(PENYELESAIAN SPL DENGAN MATRIKS,
OPERASI MATRIKS, DAN SIFAT MATRIKS)
PERTEMUAN 2
Pengertian Matriks (1)
(1 0 3 -1)
array (susunan objek dalam baris)
2
1
4
vektor (susunan objek dalam kolom)
4 0
1
5 1
0 4
2
1
2
0
2 1
1 5
matriks (susunan objek dalam baris dan kolom)
Pengertian Matriks (2)
Notasi matriks biasanya menggunakan huruf kapital,
misal A, M, B dan entri dari matriks dinotasikan
dengan huruf kecil.
Ukuran matriks ditentukan oleh banyak baris dan
kolom.
A
a11 a12 a13
a 21 a 22 a 23 , matriks A berukuran 3x3
a 31 a 32 a 33
B
b11 b12 b13 b14
b21 b22 b23 b24
, matriks B berukuran 2x4
Pengertian Matriks (3)
Jika A adalah matriks mxn, maka A dapat
disajikan A = [aij], dengan i=1,2,…,m dan
j=1,2,…,n atau
a11
a 21
a12
a 22
am1 am 2
... a1n
... a 2n
... a mn
Operasi Matriks (1)
Diketahui A=[aij] dan B=[bij], i=1,2,…,m
dan j=1,2,…,n
1. Kesamaan matriks
A=B jika ukuran A = ukuran B dan aij = bij,
ij
2. Penjumlahan dan pengurangan matriks
A B = C, dengan cij = aij bij
Syarat: ukuran matriks harus sama
Operasi Matriks (2)
3. Perkalian matriks dengan skalar
kA = [kaij], dengan k suatu konstanta
4. Perkalian matriks dengan matriks
Amxn, Bnxp, maka AxB = Cmxp = [cij]
dengan cij = n
a ik .bkj
k 1
Syarat: ukuran kolom matriks A sama
dengan ukuran baris matriks B, sehingga
hasil perkaliannya berukuran: ukuran baris
A x ukuran kolom B
Soal
Hitunglah
1 0
0 1
4
2.
1
0 1
1 2
3
4
0
1
1
4
3
1
4
3
0
2
4 1
5. 3
3 4
2
2
0
Sifat Operasi Matriks (1)
Jika A, B, C matriks dengan ukuran
sedemikian sehingga operasi matriks
dapat dikerjakan dan k, l adalah
skalar, maka berlaku:
1. A B = B A
2. (AB)C = A(BC)
3. (A B) C = A (B C)
Sifat Operasi Matriks (2)
4.
5.
6.
7.
8.
9.
(A B)C = AC BC
C(A B) = CA CB
k(AB) = (kA)B = A(kB)
(k l)A = kA lA
k(A B) = kA kB
k(lB) = (kl)B
Matriks untuk SPL (1)
Bentuk umum SPL
a11 x1 + a12x2 + … + a1n xn = b1
a21 x1 + a22x2 + … + a2n xn = b2
…………………
am1 x1 + am2x2 + … + amn xn = bm
dapat diubah ke matriks
a11
a 21
a12
a 22
am1 am 2
... a1n
... a 2n
... a mn
x1
x2
b1
b2
xn
bm
Matriks untuk SPL (2)
Matriks yang diperbesar dari bentuk matriks
tadi adalah
a11
a 21
a12
a 22
am1 am 2
... a1n b1
... a 2n b2
... a mn bm
Operasi Baris Elementer (OBE)
1. Mengalikan suatu baris dengan suatu
konstanta, k 0
2. Menukarkan 2 buah baris
3. Menambahkan kelipatan suatu baris
dengan baris yang lain
Eliminasi Gauss (1)
Suatu matriks dikatakan dalam
bentuk eselon baris tereduksi jika
memenuhi sifat berikut:
1. Jika suatu baris yang entrinya tidak
seluruhnya nol, maka entri tak nol
pertamanya 1 dan disebut 1 utama
2. Jika ada suatu baris yang seluruhnya
nol, maka baris tersebut diletakkan
pada baris paling bawah
Eliminasi Gauss (2)
3. Dalam 2 baris yang berurutan, 1
utama pada baris yang bawah
terletak lebih ke kanan dari 1 utama
pada baris atasnya
4. Kolom yang memuat 1 utama
mempunyai entri tak nol di tempat
lain
Eliminasi Gauss dan
Eliminasi Gauss Jordan
Eliminasi Gauss didasarkan pada
matriks bentuk eselon baris (dengan
OBE) dan eliminasi Gauss Jordan
didasarkan pada matriks bentuk
eselon baris tereduksi
Bentuk Eselon Baris Tereduksi (1)
1. Letakkan kolom pertama yang tidak
seluruhnya nol
2. Tukarkan baris pertama dengan baris yang
lain, jika diperlukan, untuk memperoleh
entri tak nol pada kolom pertama baris
pertama
3. Jika entri baris pertama kolom paling kiri
(pertama) a, maka kalikan 1/a pada baris
pertama untuk memperoleh 1 utama pada
baris pertama
Bentuk Eselon Baris Tereduksi (2)
4. Tambahkan kelipatan yang sesuai dari
baris pertama terhadap baris lainnya untuk
memperoleh entri nol di bawah 1 utama
5. Lakukan langkah 1-4 pada baris-baris
berikutnya
6. Kolom yang memuat 1 utama variabelnya
berperan sebagai variabel utama dan
kolom yang tidak memuat 1 utama sebagai
variabel bebas
MATRIKS
MATRIKS
(PENYELESAIAN SPL DENGAN MATRIKS,
OPERASI MATRIKS, DAN SIFAT MATRIKS)
PERTEMUAN 2
Pengertian Matriks (1)
(1 0 3 -1)
array (susunan objek dalam baris)
2
1
4
vektor (susunan objek dalam kolom)
4 0
1
5 1
0 4
2
1
2
0
2 1
1 5
matriks (susunan objek dalam baris dan kolom)
Pengertian Matriks (2)
Notasi matriks biasanya menggunakan huruf kapital,
misal A, M, B dan entri dari matriks dinotasikan
dengan huruf kecil.
Ukuran matriks ditentukan oleh banyak baris dan
kolom.
A
a11 a12 a13
a 21 a 22 a 23 , matriks A berukuran 3x3
a 31 a 32 a 33
B
b11 b12 b13 b14
b21 b22 b23 b24
, matriks B berukuran 2x4
Pengertian Matriks (3)
Jika A adalah matriks mxn, maka A dapat
disajikan A = [aij], dengan i=1,2,…,m dan
j=1,2,…,n atau
a11
a 21
a12
a 22
am1 am 2
... a1n
... a 2n
... a mn
Operasi Matriks (1)
Diketahui A=[aij] dan B=[bij], i=1,2,…,m
dan j=1,2,…,n
1. Kesamaan matriks
A=B jika ukuran A = ukuran B dan aij = bij,
ij
2. Penjumlahan dan pengurangan matriks
A B = C, dengan cij = aij bij
Syarat: ukuran matriks harus sama
Operasi Matriks (2)
3. Perkalian matriks dengan skalar
kA = [kaij], dengan k suatu konstanta
4. Perkalian matriks dengan matriks
Amxn, Bnxp, maka AxB = Cmxp = [cij]
dengan cij = n
a ik .bkj
k 1
Syarat: ukuran kolom matriks A sama
dengan ukuran baris matriks B, sehingga
hasil perkaliannya berukuran: ukuran baris
A x ukuran kolom B
Soal
Hitunglah
1 0
0 1
4
2.
1
0 1
1 2
3
4
0
1
1
4
3
1
4
3
0
2
4 1
5. 3
3 4
2
2
0
Sifat Operasi Matriks (1)
Jika A, B, C matriks dengan ukuran
sedemikian sehingga operasi matriks
dapat dikerjakan dan k, l adalah
skalar, maka berlaku:
1. A B = B A
2. (AB)C = A(BC)
3. (A B) C = A (B C)
Sifat Operasi Matriks (2)
4.
5.
6.
7.
8.
9.
(A B)C = AC BC
C(A B) = CA CB
k(AB) = (kA)B = A(kB)
(k l)A = kA lA
k(A B) = kA kB
k(lB) = (kl)B
Matriks untuk SPL (1)
Bentuk umum SPL
a11 x1 + a12x2 + … + a1n xn = b1
a21 x1 + a22x2 + … + a2n xn = b2
…………………
am1 x1 + am2x2 + … + amn xn = bm
dapat diubah ke matriks
a11
a 21
a12
a 22
am1 am 2
... a1n
... a 2n
... a mn
x1
x2
b1
b2
xn
bm
Matriks untuk SPL (2)
Matriks yang diperbesar dari bentuk matriks
tadi adalah
a11
a 21
a12
a 22
am1 am 2
... a1n b1
... a 2n b2
... a mn bm
Operasi Baris Elementer (OBE)
1. Mengalikan suatu baris dengan suatu
konstanta, k 0
2. Menukarkan 2 buah baris
3. Menambahkan kelipatan suatu baris
dengan baris yang lain
Eliminasi Gauss (1)
Suatu matriks dikatakan dalam
bentuk eselon baris tereduksi jika
memenuhi sifat berikut:
1. Jika suatu baris yang entrinya tidak
seluruhnya nol, maka entri tak nol
pertamanya 1 dan disebut 1 utama
2. Jika ada suatu baris yang seluruhnya
nol, maka baris tersebut diletakkan
pada baris paling bawah
Eliminasi Gauss (2)
3. Dalam 2 baris yang berurutan, 1
utama pada baris yang bawah
terletak lebih ke kanan dari 1 utama
pada baris atasnya
4. Kolom yang memuat 1 utama
mempunyai entri tak nol di tempat
lain
Eliminasi Gauss dan
Eliminasi Gauss Jordan
Eliminasi Gauss didasarkan pada
matriks bentuk eselon baris (dengan
OBE) dan eliminasi Gauss Jordan
didasarkan pada matriks bentuk
eselon baris tereduksi
Bentuk Eselon Baris Tereduksi (1)
1. Letakkan kolom pertama yang tidak
seluruhnya nol
2. Tukarkan baris pertama dengan baris yang
lain, jika diperlukan, untuk memperoleh
entri tak nol pada kolom pertama baris
pertama
3. Jika entri baris pertama kolom paling kiri
(pertama) a, maka kalikan 1/a pada baris
pertama untuk memperoleh 1 utama pada
baris pertama
Bentuk Eselon Baris Tereduksi (2)
4. Tambahkan kelipatan yang sesuai dari
baris pertama terhadap baris lainnya untuk
memperoleh entri nol di bawah 1 utama
5. Lakukan langkah 1-4 pada baris-baris
berikutnya
6. Kolom yang memuat 1 utama variabelnya
berperan sebagai variabel utama dan
kolom yang tidak memuat 1 utama sebagai
variabel bebas