Pembahasan Soal OSK Matematika SMA 2018
Pembahasan Soal
OSK SMA 2018
OLIMPIADE SAINS KABUPATEN/KOTA SMA 2018
OSK Matematika SMA
(Olimpiade Sains Kabupaten/Kota Matematika SMA)
Disusun oleh:
Pak Anang
Pembahasan Soal
OSK SMA 2018
OLIMPIADE SAINS KABUPATEN/KOTA SMA 2018
OSK Matematika SMA
(Olimpiade Sains Kabupaten/Kota Matematika SMA)
Disusun oleh:
Pak Anang
Halaman 3 dari 29
PEMBAHASAN SOAL
OLIMPIADE SAINS MATEMATIKA SMA
TINGKAT KABUPATEN/KOTA
28 Februari 2018
By Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
1.
Misalkan , , dan adalah tiga bilangan
. Jika ketiga bilangan tersebut merupakan
bilangan asli satu digit maka jumlah terbesar akar-akar persamaan −
− + −
−
= yang mungkin adalah ….
Pembahasan:
Perhatikan penjabaran bentuk aljabar tersebut.
−
− + −
⇔
− +
+
+ − +
⇔
− +
+
+
−
+
+
=
=
=
Sehingga, jika akar-akar dari persamaan kuadrat
− +
+
+
+
dan , maka dengan rumus jumlah akar-akar persamaan kuadrat diperoleh:
+
+
+ =
=
adalah
Perhatikan juga bahwa , , dan adalah tiga bilangan satu digit berbeda, sehingga +
+ akan
maksimum apabila adalah bilangan terbesar dan , masing-masing dipilih bilangan satu digit
berurutan yang lebih kecil dari .
Sehingga apabila = dan masing-masing atau adalah 8 atau 7, diperoleh jumlah terbesar akarakar persamaan kuadrat tersebut adalah
+
+
+ =
=
TRIK SUPERKILAT:
Perhatikan penjabaran bentuk aljabar tersebut.
−
− + −
⇔
− ( −
⇔
Sehingga, diperoleh jumlah akar-akarnya adalah
+
+
=
=
+
− =
+ )=
atau
=
+
+
Dengan mudah kita tahu bahwa +
akan maksimum apabila
yaitu 9. Jadi, atau adalah 7 atau 8, begitu juga sebaliknya.
+
=
+
+
=
+
=
+ , =
merupakan bilangan terbesar
,
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 4 dari 29
2.
Setiap sel dari suatu tabel berukuran × dapat diisi dengan bilangan 1, 2, atau 3. Misalkan
adalah banyaknya tabel yang memenuhi kedua sifat berikut sekaligus:
• untuk setiap baris, hasil penjumlahannya genap
• untuk setiap kolom, hasil penjumlahannya genap
Nilai adalah ….
Pembahasan:
Perhatikan tabel × berikut!
Dengan memperhatikan bahwa hasil penjumlahan setiap baris dan kolom adalah genap, maka
diperoleh kedua bilangan pada setiap baris atau kolom memiliki paritas yang sama.
Perhatikan juga bahwa , , , atau
hanya dapat diisi dengan bilangan 1, 2, atau 3.
Banyak tabel yang memenuhi dapat ditentukan dengan membagi kasus:
• untuk , , , bilangan ganjil
maka ada tiga kemungkinan
- keempat bilangan , , , adalah bilangan yang sama, sebanyak
- diantara bilangan , , , ada tiga bilangan yang sama, sebanyak
•
-
diantara bilangan , , , ada dua bilangan yang sama, sebanyak
=
!
×
!
!
=
! !
cara.
= cara.
cara.
untuk , , , bilangan genap
maka hanya ada satu kemungkinan yaitu keempat bilangan , , , adalah bilangan 2. Sehingga
ada sebanyak 1 cara.
Jadi, total banyak tabel yang memenuhi adalah sebanyak + + +
=
cara.
TRIK SUPERKILAT:
Banyak tabel yang memenuhi dapat ditentukan dengan membagi kasus:
• Kasus pertama: , , , adalah bilangan ganjil.
•
Banyak kejadian adalah
+
+
+
+
=
=
Kasus kedua: , , , adalah bilangan genap.
Hanya ada satu kemungkinan, yaitu , , , adalah bilangan 2.
Jadi, total banyak tabel yang memenuhi adalah sebanyak
+
=
cara.
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 5 dari 29
3.
Diberikan persegi berukuran
….
×
satuan seperti pada gambar. Luas segilima yang diarsir adalah
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
∥
Perhatikan, karena
=
Sehingga, karena
Perhatikan, karena ∆
Jadi, [
]= ∙
Sehingga, [
]=[
]=
+
, dan
−
=
∼∆
sehingga diperoleh perbandingan
=
×
−
=
=
×
=
×
= , maka diperoleh
−
=
=
sehingga diperoleh perbandingan
=
]−[
∼∆
⇒
=
= ∙ ∙ =
TRIK SUPERKILAT:
Sehingga [
=
∼∆
∙
Perhatikan bahwa ∆
, maka ∆
⇒
]=
−
=
, sehingga karena
.
=
×
=
.
=
, maka [
]=
∙ ∙ ∙
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
=
.
Halaman 6 dari 29
4.
Parabola =
− dan = −
memotong sumbu koordinat pada tepat empat titik.
Keempat titik tersebut merupakan titik-titik sudut layang-layang dengan luas 24. Nilai + adalah
….
Pembahasan:
Perhatikan, titik potong parabola =
− pada sumbu Y adalah di titik
potong parabola = −
pada sumbu Y adalah di titik , .
, − . Sedangkan, titik
Perhatikan juga, agar dapat diperoleh dua titik lagi sebagai titik-titik sudut layang-layang yang lain,
maka titik potong parabola =
− dan = −
pada sumbu X seharusnya adalah pada
titik yang sama, sehingga dapat disimpulkan kedua kurva berpotongan di sumbu X.
Sehingga, titik potong di sumbu X dapat ditentukan dengan
=
⇔
− = −
⇔ +
−
=
= ±√
⇔
+
Jadi, titik potong kedua parabola pada sumbu X adalah di titik √
Padahal, luas layang-layang adalah 24, sehingga
=
⇔
=
⇔
=
⇔
=√
⇔
⇔
+
=
=
×
×
× | − − | × |√
× √
×
+
+
+
− −√
,
dan −√
+
+
|
+
+
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
,
.
Halaman 7 dari 29
5.
Untuk setiap bilangan asli didefinisikan
dari . Banyaknya bilangan asli sehingga
adalah ….
sebagai hasil penjumlahan dari semua digit-digit
habis membagi −
untuk setiap bilangan asli
Pembahasan:
Perhatikan, bilangan asli dapat dinyatakan sebagai =
∙
+ ∙
+ ∙
+ ⋯, maka
jika
didefinisikan sebagai hasil penjumlahan dari semua digit-digit dari , maka diperoleh
=
+ + +⋯
Misal,
=
−
Sehingga, | −
, maka
= −
=
∙
+ ∙
=
− +
=
+
+
=
+
+
+
. Jadi bilangan asli
Jadi, ada sebanyak 3 buah bilangan
∙
−
+⋯
+⋯
+⋯ −
+
−
+ +
+⋯
+⋯
adalah faktor bulat positif dari 9, yaitu 1, 3, dan 9.
yang memenuhi.
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 8 dari 29
6.
< , dan
+
+
+
−
−
=
=
=
+
=−
=
Diketahui dan bilangan prima dengan
yang memenuhi ….
+
=
−
+
. Nilai
Pembahasan:
Perhatikan,
⇔
⇔
+
−
+
Sehingga, diperoleh
⇔
+
−
+
−
Karena, , adalah bilangan prima, maka dua buah bilangan prima yang jumlahnya 10 adalah 3 dan
7. Mengingat < , sehingga dapat diperoleh = dan = .
Jadi, yang memenuhi adalah 3.
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 9 dari 29
7.
Diberikan dua bilangan asli dua angka yang selisihnya 10. Diketahui bahwa bilangan yang kecil
merupakan kelipatan 3, sedangkan lainnya merupakan kelipatan 7. Diketahui pula bahwa jumlah
semua faktor prima kedua bilangan tersebut adalah 17. Jumlah dua bilangan tersebut adalah ….
Pembahasan:
Perhatikan, misal kedua bilangan tersebut adalah dan , karena adalah bilangan kelipatan 7 dan
adalah bilangan kelipatan 3, maka untuk
dan adalah suatu bilangan asli, dan dapat
dinyatakan sebagai
=
=
Karena selisih kedua bilangan adalah 10, dan
persamaan
−
= .
Nilai
dan
Sehingga,
> , maka
−
=
. Ini sama saja dengan
dapat ditentukan menggunakan pembalikan algoritma Euclid, yaitu
= × +
=
− ×
Dengan mengalikan 10 kedua ruas diperoleh
Sehingga, diperoleh
=
dan
Sehingga, solusi umumnya adalah
=
=
.
=
=
−
−
−
⇒ =
⇒ =
−
−
Diperoleh pasangan bilangan dua digit , yang memenuhi adalah
, ={
,
,
,
,
,
,
,
}
Perhatikan bahwa jumlah semua faktor prima dan y adalah 17, maka
= +
Maka + = , sehingga bilangan prima , yang memenuhi hanyalah 2 dan 5.
Sehingga, jelas diantara pasangan , yang memiliki faktor prima 5 hanyalah
Jadi, jumlah kedua bilangan tersebut adalah
+
=
+
=
.
+
=
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
+ .
dan
=
.
Halaman 10 dari 29
TRIK SUPERKILAT 1:
Perhatikan, ≡ mod dan ≡ mod . Karena selisih kedua bilangan adalah 10, dan
maka − = , sehingga
= −
≡ mod ⇒ ≡ mod ⇒ = +
Sehingga,
= + ≡ mod ⇒
= mod ⇒
=
+
Diperoleh,
=
+ dan nilai
={
yang memenuhi adalah
,
,
}
,
Perhatikan bahwa jumlah semua faktor prima dan adalah 17, maka
= +
Maka + = , sehingga bilangan prima , yang memenuhi hanyalah 2 dan 5.
Sehingga, diantara pasangan , yang memiliki faktor prima 5 hanyalah
Jadi, jumlah kedua bilangan tersebut adalah
+
=
+
=
.
=
= (
∙
∙
∙
) dan
= (
+ .
=
, akibatnya
TRIK SUPERKILAT 2 (LOGIKA PRAKTIS):
Perhatikan bahwa jumlah semua faktor prima dan adalah 17, maka
= +
Maka + = , sehingga bilangan prima , yang memenuhi hanyalah 2 dan 5.
Akibatnya, kemungkinan yang terjadi adalah
+
+
∙
> ,
.
+ .
∙
∙
).
LOGIKA:
• 5 adalah semestinya menjadi salah satu faktor prima dari salah satu dari atau .
• Mengingat − = , suatu bilangan kelipatan 5 pasti memiliki selisih 10 dengan bilangan
yang lain, apabila bilangan yang lain juga kelipatan 5. Sehingga, disimpulkan 5 sudah pasti
menjadi faktor dari baik maupun .
Sehingga dengan cara mendaftar kemungkinan secara manual:
=
⇒ ,
=
⇒ , , , ,
Jelas yang memenuhi
−
=
, adalah
=
Jadi, jumlah kedua bilangan tersebut adalah
dan
+
=
=
+
.
=
.
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 11 dari 29
TRIK SUPERKILAT 3 (LOGIKA PRAKTIS):
Perhatikan bahwa jumlah semua faktor prima dan adalah 17, maka
= +
Maka + = , sehingga bilangan prima , yang memenuhi hanyalah 2 dan 5.
Akibatnya, kemungkinan yang terjadi adalah
= (
∙
∙
∙
) dan
= (
+
∙
+ .
∙
∙
).
LOGIKA:
• 5 adalah semestinya menjadi salah satu faktor prima dari salah satu dari atau .
• Mengingat − = , suatu bilangan kelipatan 5 pasti memiliki selisih 10 dengan bilangan
yang lain, apabila bilangan yang lain juga kelipatan 5. Sehingga, disimpulkan 5 sudah pasti
menjadi faktor dari baik maupun .
• Karena 2 belum menjadi faktor dari masing-masing bilangan, maka 2 pasti juga menjadi faktor
dari salah satu bilangan. Dan karena selisihnya 10, merupakan kelipatan 10, berarti bilangan
lain juga kelipatan 2.
• Akibatnya karena 2 dan 5 adalah faktor setiap bilangan, maka keduanya adalah kelipatan 10.
Sehingga, kemungkinan yang terjadi hanyalah
=
=
Jelas yang memenuhi
−
=
, adalah
=
Jadi, jumlah kedua bilangan tersebut adalah
⇒
⇒ ,
dan
+
=
=
+
.
=
.
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 12 dari 29
8.
Diberikan satu koin yang tidak seimbang. Bila koin tersebut ditos satu kali, peluang muncul angka
adalah . Jika ditos kali, peluang muncul tepat dua angka sama dengan peluang muncul tepat tiga
angka. Nilai adalah ….
Pembahasan:
Perhatikan, dengan menggunakan konsep distribusi binomial, misal
angka, maka = dan − = .
= peluang kejadian muncul
Apabila satu koin ditos kali, maka peluang muncul tepat dua angka sama dengan peluang muncul
tepat tiga angka dapat dinyatakan sebagai
�=
= �=
−
−
=
∙ ∙ −
⇔
∙ ∙ −
⇔
⇔
⇔
Jadi, nilai
⇔
⇔
⇔
−
!
∙
∙( ) ∙( )
! !
− ∙ −
− !∙
yang memenuhi adalah 11.
−
!
∙
=
=
=
=
=
=
∙
−
−
!
∙( ) ∙( )
! !
− ∙
− ∙
− !∙ !
−
−
!
∙
−
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 13 dari 29
9.
Panjang sisi-sisi dari segitiga merupakan bilangan asli yang berurutan. Diketahui bahwa garis berat
dari segitiga tegak lurus dengan salah satu garis baginya. Keliling segitiga itu adalah ….
Pembahasan:
Perhatikan gambar segitiga berikut
merupakan garis berat dan
Perhatikan segitiga
merupakan garis bagi, keduanya berpotongan saling tegak lurus.
sama kaki, sehingga
=
=
. Misal
=
= .
Perhatikan juga, karena sisi-sisi segitiga merupakan bilangan asli yang berurutan, maka selisih dari
dua sisi segitiga adalah 1 atau 2.
Kasus pertama, selisih dua sisi segitiga adalah 1, sehingga
− = ⇒
Karena = , maka = , = , sehingga
•
= , tidak memenuhi karena sisi segitiga tidak mungkin nol
•
= , tidak mungkin karena tidak memenuhi ketaksamaan + >
Kasus kedua, selisih dua sisi segitiga adalah 2, sehingga
Karena = , maka = , = , sehingga
•
= , memenuhi.
Sehingga, sisi segitiga adalah
Jadi keliling segitiga adalah
= ,
+
= , = .
+ =
+ +
−
=
⇒
=
=
= .
TRIK SUPERKILAT:
Perhatikan, karena panjang sisi-sisi segitiga adalah bilangan asli yang berurutan, dan dari gambar
kita tahu bahwa
= ∙ .
Jadi, kemungkinan tiga bilangan urut, dimana salah satunya adalah dua kali dari yang lain adalah:
• 1, 2, 3
Namun karena + ≯ , maka jelas segitiga ini tidak memenuhi ketaksamaan segitiga.
• 2, 3, 4
Benar, bahwa + > , maka jelas segitiga ini memenuhi ketaksamaan segitiga.
Jadi, keliling segitiga adalah
+ +
= .
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 14 dari 29
=
untuk setiap bilangan real
+
yang mungkin adalah ….
10. Diberikan suku banyak
dengan
≠ maka jumlah semua nilai
Pembahasan:
Perhatikan, anggap
⇔
⇔
⇔
=
+
+
+
,
(
+
+
≠ ,
suku banyak derajat � dengan
=
+
) +(
+
+
+
)=
=
=
+
+
+
. Jika
� < , maka
Sehingga, dengan memperhatikan kesamaan di atas, maka kemungkinan yang terjadi adalah
•
+
=
, maka = dengan + = .
•
+
+
=
, apabila + = maka + � = .
Perhatikan, + � = ⇒ � = − , maka
�< ⇒
− <
⇔
<
⇔
<
Jelas bahwa = .
Jadi, suku banyak
=
, agar kesamaan berlaku maka
+
•
adalah suku banyak berderajat satu.
•
adalah suku banyak berderajat dua.
Kasus pertama,
adalah suku banyak berderajat satu.
Misal,
=
+ , ≠ , maka
+
⇔
+
+
+
⇔
+
+ +
+
⇔
+
+
+
+
=
=
=
=
atau
=
Sehingga, dari kesamaan suku banyak diperoleh
= ⇒ =
+
=
⇒
⇔
⇔
+ −
+
−
= − atau
=
=
=
Dari kasus ini
yang memenuhi hanya jika = , sehingga
• Apabila = − , jadi
yang memenuhi adalah
= − , sehingga karena
=− ≠ ,
maka
=−
=− .
• Apabila = , jadi
yang memenuhi adalah
= , sehingga karena
= , dan
mengingat
≠ , maka
= tidak memenuhi. Sehingga tidak ada nilai
yang
memenuhi.
Kasus kedua,
Misal,
=
⇔
⇔
⇔
adalah suku banyak berderajat dua.
+
+ , ≠ maka
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+ =
+ + =
+
+ =
+
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 15 dari 29
Sehingga, dari kesamaan suku banyak diperoleh
+ = ⇒
⇔ =
=
+
Dari kasus ini
⇒
yang memenuhi adalah
Jadi jumlah semua nilai
+
=
=
+
atau
atau
⇒
⇔−
⇔
=−
yang mungkin adalah −
=
=−
=
=
=
=−
− , sehingga
−
=−
.
=−
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
−
=−
.
Halaman 16 dari 29
11. Misalkan { } adalah barisan bilangan bulat yang memenuhi
untuk setiap bilangan asli berlaku + = + +
. Nilai
=
=⋯=
adalah ….
= ,
= , dan
Pembahasan:
Perhatikan, kita akan mencoba menguraikan kombinasi linear dari bilangan 143 terhadap bilangan
9 dan 13, sehingga diperoleh
+
=
⇒
=
−
⇔ ∙ =
∙
−
Sehingga, terdapat dua penyelesaian bulat untuk
+
•
= , sehingga
− = ⇒ = , sehingga
,
•
= , sehingga
− = ⇒ = , sehingga
,
Padahal, untuk
+
=
+
+
=
=
=
, rumus umumnya untuk
=∑
�=
Sehingga,
=
=
=
=
∙
∙
+
�
�
∙(
+
+
+
�
�
∙
−
)
=
,
, dengan , bilangan cacah.
,
+
adalah
∙
Cara alternatif:
Jika kita uraikan secara terus menerus, maka kita juga akan bertemu pola kombinatorik pada sukusuku yang dihasilkan. Perhatikan,
+
=
+
=
=⋯
=
Jadi, rumus umum penjabaran dari
+
+
+
+ ⋯+
hingga langkah ke-� adalah
=∑
�=
�
�
�
−
− �
Nah, jika kita perhatikan seksama pola yang terbentuk, hanya suku dari penjabaran tersebut harus
kita uraikan menjadi
, jika tidak dapat diuraikan menjadi
maka nilainya nol, mengingat
bahwa =
=⋯=
= .
Sehingga, kita akan mencoba menguraikan bilangan 13 dari pengurangan bilangan 143 oleh
kombinasi linear dari 9 dan 4, sehingga diperoleh
=
−
−
=
−
−
Jadi, nilai dari
=
dapat diperoleh untuk � , �
+
=
∙
=
,
∙ +
dan � , �
∙ ∙
=
=
+
,
=
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 17 dari 29
12. Untuk setiap bilangan real ,
menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari atau sama
dengan . Jika diketahui
+
+ = , dan + −
= , . Nilai
+ adalah ….
Pembahasan:
Perhatikan, misal
Dari persamaan
+
� < , maka untuk setiap bilangan real berlaku:
=
+�
+
Sehingga diperoleh,
+ = , , diperoleh
+
+ = , ⇒
⇔
Dan dari persamaan + −
+ −
=
=
dan � = , .
Perhatikan kembali bahwa
Jadi, diperoleh nilai dan
adalah
Jadi, nilai
+
=
+
+
= , diperoleh
= , ⇒
+� +
⇔
⇔
⇔
, dan � = , .
Sehingga diperoleh
+
+
, +
+
,
=
=
=
=
+� =
+� =
+� −
=
+� +� =
+� + , =
+� =
,
,
,
,
,
,
, sehingga diperoleh
=
⇒
+
=
⇔
+
=
⇔
=
+� =
+� =
,
=
+ , = ,
+ , = ,
.
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 18 dari 29
13. Misalkan
adalah trapesium siku-siku dengan
sejajar
dan
tegak lurus
juga adalah titik potong diagonal
dan
. Jika perbandingan luas segitiga
trapesium
adalah 4 : 25 maka nilai adalah ….
Pembahasan:
Perhatikan trapesium
berikut.
adalah titik potong diagonal
dan
. Misalkan
dan luas
.
Misal,
=
⇒
=
∙
Sehingga, dari perbandingan luas segitiga
trapesium
diperoleh
[
[
]
=
]
−
dan
−
⇒
⇔
⇔
⇔
Sehingga,
=
Jadi, perbandingan
= atau
+
∙
∙
+
+
dan segitiga
Maka,
=
=
∙
∙
=
Padahal, dari kesebangunan segitiga
Sedangkan, dari kesebangunan
dan
+
= .
serta
=
−
+
⇒
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
∙
dan
=
∙
+
+
−
−
=
=
, diperoleh
.
diperoleh.
−
=
=
=
∙
∙
=
+
−
−
∙
+
−
∙
∙
+
+
=
+
−
atau
=
=
=
=
+
=
Catatan penulis:
Pembuat soal kurang waspada terhadap perbandingan panjang
ditambahkan keterangan
>
atau
<
.
dan
. Seharusnya pada soal
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 19 dari 29
14. Himpunan merupakan himpunan bilangan-bilangan 7 digit sehingga masing-masing angka 1, 2,
3, 4, 5, 6, atau 7 tepat muncul satu kali. Bilangan-bilangan di diurutkan mulai dari yang paling
kecil sampai yang paling besar. Bilangan yang berapa pada urutan ke-2018 adalah ….
Pembahasan
Pertama, kita akan memeriksa banyak bilangan dengan memeriksa digit pada tempat terbesar,
yaitu tempat jutaan.
• Bilangan 1XXXXXX menyumbang sebanyak ! =
bilangan. Jadi bilangan ke-1 sampai
dengan bilangan ke-720 adalah berformat 1XXXXXX.
• Bilangan 2XXXXXX menyumbang sebanyak ! =
bilangan. Jadi bilangan ke-721 sampai
dengan bilangan ke-1440 adalah berformat 2XXXXXX.
• Bilangan 3XXXXXX menyumbang sebanyak ! =
bilangan. Jadi bilangan ke-1441 sampai
dengan bilangan ke-2160 adalah berformat 3XXXXXX. Sehingga bilangan ke-2018 berada pada
format 3XXXXXX.
Selanjutnya akan diperiksa digit pada tempat ratusan ribu.
• Bilangan 31XXXXX menyumbang sebanyak ! =
bilangan. Jadi bilangan ke-1441 sampai
dengan bilangan ke-1560 adalah berformat 31XXXXX.
• Bilangan 32XXXXX menyumbang sebanyak ! =
bilangan. Jadi bilangan ke-1561 sampai
dengan bilangan ke-1680 adalah berformat 32XXXXX.
• Bilangan 34XXXXX menyumbang sebanyak ! =
bilangan. Jadi bilangan ke-1681 sampai
dengan bilangan ke-1800 adalah berformat 34XXXXX.
• Bilangan 35XXXXX menyumbang sebanyak ! =
bilangan. Jadi bilangan ke-1801 sampai
dengan bilangan ke-1920 adalah berformat 35XXXXX.
• Bilangan 36XXXXX menyumbang sebanyak ! =
bilangan. Jadi bilangan ke-1921 sampai
dengan bilangan ke-2040 adalah berformat 36XXXXX. Sehingga bilangan ke-2018 berada pada
format 36XXXXX.
Selanjutnya akan diperiksa digit pada tempat puluhan ribu.
• Bilangan 361XXXX menyumbang sebanyak ! =
bilangan. Jadi bilangan ke-1921 sampai
dengan bilangan ke-1944 adalah berformat 361XXXX.
• Bilangan 362XXXX menyumbang sebanyak ! =
bilangan. Jadi bilangan ke-1945 sampai
dengan bilangan ke-1968 adalah berformat 362XXXX.
• Bilangan 364XXXX menyumbang sebanyak ! =
bilangan. Jadi bilangan ke-1969 sampai
dengan bilangan ke-1992 adalah berformat 364XXXX.
• Bilangan 365XXXX menyumbang sebanyak ! =
bilangan. Jadi bilangan ke-1993 sampai
dengan bilangan ke-2016 adalah berformat 365XXXX.
• Bilangan 367XXXX menyumbang sebanyak ! =
bilangan. Jadi bilangan ke-2017 sampai
dengan bilangan ke-2040 adalah berformat 367XXXX. Sehingga bilangan ke-2018 berada pada
format 367XXXX.
Selanjutnya akan diperiksa secara manual digit pada tempat ribuan.
• Bilangan 3671245 adalah bilangan ke-2017.
• Bilangan 3671254 adalah bilangan ke-2018.
Jadi, bilangan ke-2018 adalah 3671254.
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 20 dari 29
TRIK SUPERKILAT:
Perhatikan,
1234567 3 (bilangan ke 2+1)
124567 6 (bilangan ke 4+1)
12457 7 (bilangan ke 4+1)
1245 1 (bilangan ke 0+1)
245 2 (bilangan ke 0+1)
45 5 (bilangan ke 1+1)
4 4 (bilangan ke 0+1)
=
=
=
=
=
=
=
×
×
×
×
×
×
×
!+
!+
!+
!+
!+
!+
!+
Jadi, bilangan yang dimaksud adalah 3671254.
Catatan Penulis:
Menurut kunci jawaban yang beredar, jawaban untuk soal ini adalah 3561274.
Nah, penulis mencoba membuat analisis forensik mengapa pembuat soal bisa membuat kunci
jawaban seperti tersebut di atas.
Langkah yang kurang tepat ditunjukkan oleh warna merah.
1234567 3 (bilangan ke 2+1)
124567 5 (bilangan ke 4+1) pembuat soal lupa bahwa bilangan ke-5 bukan 5, tapi 6.
12467 6 (bilangan ke 4+1) pembuat soal lupa bahwa bilangan ke-5 bukan 6, tapi 7.
1247 1 (bilangan ke 0+1)
247 2 (bilangan ke 0+1)
47 7 (bilangan ke 1+1)
4 4 (bilangan ke 0+1)
Jadi, bilangan yang dimaksud adalah 3561274. (jawaban akhir menurut kunci jawaban yang dipakai
korektor untuk mengoreksi jawaban peserta)
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 21 dari 29
}. Banyaknya pasangan bilangan asli , sehingga tepat ada 2018
15. Misalkan = { ∈ ℝ|
anggota yang dapat dinyatakan dalam bentuk + untuk suatu bilangan bulat dan adalah ….
Pembahasan:
′
Perhatikan, dari
ℎ
, yaitu Jika
maka terdapat bilangan bulat dan sehingga
dan
.
dua bilangan bulat yang keduanya taknol
=
+
.
+
Sehingga banyaknya anggota yang dapat dinyatakan adalah banyaknya
∈ ℤ yang memiliki solusi , ∈ ℤ.
;
+
Dengan membagi kasus, yaitu
Kasus 1.
′
Apabila
dan
adalah relative prima, maka dari
ℎ
dinyatakan dalam
+
sehingga haruslah
+ =
, sehingga
+ =
⇒
=
Sehingga, diperoleh penyelesaian , = { ,
,
, }.
, semua � ∈ ℤ dapat
Kasus 2.
′
Apabila
, = > , maka , > . Sehingga dari
ℎ
+
�, � ∈ ℤ dapat dinyatakan dalam
+ . Semua � ada sebanyak
( )+
Sehingga diperoleh penyelesaian
=
,
Jadi, banyaknya pasangan bilangan asli
={
,
⇒
( )=
,
}
⇒
=
, semua (dan hanya)
+ , sehingga
=
yang memenuhi adalah 3 buah.
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 22 dari 29
16. Diberikan segitiga
dan lingkaran Γ yang berdiameter
dan
berturut-turut di
dan
. Jika
=
adalah ….
, maka luas segitiga
Pembahasan:
Perhatikan, gambar segitiga
. Lingkaran Γ memotong sisi
= ,
=
, dan
dan lingkaran Γ.
Misal,
= , karena
=
maka
sehingga
= , akibatnya
= .
maka
= , karena
=
sehingga
= , akibatnya
= .
=
,
=
,
Berdasarkan power of point diperoleh
×
=
×
⇔
×
=
×
⇔
=
⇔
=
Luas ∆
dapat dicari menggunakan sisi alas
dan tinggi
. Sehingga kita akan
mencari
dengan terlebih dahulu mencari nilai
, lalu mencari
dengan
menggunakan aturan Pythagoras pada ∆
.
dapat dicari dengan memandang aturan Pythagoras pada ∆
=
⇔
−
=
−
−
⇔
−
=
⇔
−
=
−
⇔
−
=
−
⇔
=
⇔
=
Sehingga,
Mengingat
Jadi, luas ∆
=√
=
−
=√
adalah
=√
−
= √ , maka
= ×
×
=√
=
= ×
−
=
√ ×
=√
=
√ =
dan ∆
√ .
=
×
, yaitu:
√ .
=
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
.
Halaman 23 dari 29
TRIK SUPERKILAT:
dan lingkaran Γ.
Perhatikan, gambar segitiga
Perhatikan, dengan dalil de Ceva pada segitiga
diperoleh
×
=
Jadi,
= ×
×
=
=
.
⇒
Berdasarkan power of point diperoleh
×
=
×
⇔
=
⇔
=
=
⇔
Sehingga,
Jadi, luas ∆
=√
−
adalah
=√
= ×
×
−
=√
= ×
×
=
=
.
.
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
=
Halaman 24 dari 29
yang memenuhi <
17. Diberikan bilangan real dan
Pembahasan:
=
Perhatikan,
Sehingga,
′
=
−
+
−
−
2 −
−
Diperoleh titik stasioner
=
+
−
adalah saat
=
, dan misal = , maka
− 2−
− 2
− 2
− 2
2 =
′
−
⇒
′
⇔
+
⇔
+
⇔
⇔
+
Sehingga,
− −
=− +
minimum dari
√
−
√
=
adalah
√ −
⇔
′
− +
−
2+
2
−
+
+
+
+
−
−
2
=
=±
√
=− ±
√
)=
=
=
=
=
=
=
−
√ −
√ −
− √
√ −
− √
√ −
− √
√ −
+
+
×
− √
+ √
+
+
−
+
adalah ….
−
.
√
√
√ −
=
−
=
, yaitu
√
+
−
=
adalah titik balik minimum dan karena
− +
(− +
=
= , yaitu
+
−
=
−
−
+
−
=
⇔
Perhatikan garis bilangan dari
< . Nilai minimum
√ −
<
<
−
√ −
√
− √
+ √
+ √
√
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
maka nilai
Halaman 25 dari 29
TRIK SUPERKILAT 1:
Misal, =
− dan
=
Sehingga,
<
Dan, diperoleh
Karena
>
,
− , maka diperoleh
=
<
+
−
⇒
⇒
−
>
> , sehingga
dan
⇔
Jadi, nilai minimum
−
TRIK SUPERKILAT 2:
Perhatikan,
,
=
Karena <
−
+
< , maka
Sehingga, untuk
−
−
⇔
−
−
−
−
+
,
+
+
+
√
>
−
−
−
−
>
√
+
+
.
>
+
∙
=
−
+
+
adalah +
√
+
, diperoleh
√
−
> .
− )+
= (
−
)+ (
−
, maka menurut
−
, diperoleh
−
+
−
−
−
√ (
)∙ (
)
−
−
−
−
+
√
−
−
)+ (
)
−
−
−
−
)+ (
)+
−
−
(
> ,
+
.
−
dan
⇒
+
=
dan
> , maka menurut
− )+(
−
<
=
dan
adalah +
=(
dan
(
⇔
Jadi, nilai minimum
+
>
⇔
⇔
+
+
<
+
=
.
−
√
+
+
√
√
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
−
)+
−
Halaman 26 dari 29
18. Diberikan sembilan titik pada bidang yang membentuk segitiga sama sisi seperti pada gambar. Pada
tiap sisi, dua titik yang bukan titik sudut segitiga membagi sisi menjadi tiga bagian sama panjang.
Kesembilan titik ini akan diwarnai masing-masing dengan warna merah atau biru. Peluang bahwa
dari kesembilan titik tersebut, terdapat tiga titik yang warnanya sama dan membentuk segitiga
siku-siku adalah ….
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
Dari keenam titik yang bukan titik sudut segitiga dapat dibuat sebuah lingkaran yang di dalamnya
terdapat segienam beraturan.
Sepasang titik sudut segienam beraturan yang saling berhadapan dapat membentuk garis yang
merupakan diameter lingkaran, yaitu
, , dan .
Sehingga, apabila sepasang titik sudut yang berhadapan memiliki warna yang sama, maka jika satu
titik dipilih dari empat titik yang lain pada lingkaran berwarna sama, maka jelas tiga titik berwarna
sama tersebut akan terbentuk segitiga siku-siku. Ingat kembali bahwa sudut keliling yang
menghadap ke diameter lingkaran pastilah siku-siku.
Sekarang, coba perhatikan bahwa kondisi terburuk yang mungkin terjadi adalah dua pasang titik
sudut segienam beraturan yang saling berhadapan memiliki warna berbeda. Misalnya, dan
berwarna merah, sedangkan dan berwarna biru, maka jika satu saja titik yang lain dari atau
diberi warna apapun, pastilah akan terbentuk segitiga siku-siku dengan titik-titik sudutnya
sewarna.
Kondisi terburuk lain yang mungkin terjadi adalah , , dan , , berlainan warna, maka jika
satu saja titik sudut segitiga , diberi warna apapun, pastilah akan terbentuk segitiga siku-siku
dengan titik-titik sudutnya sewarna.
Sehingga peluang bahwa dari kesembilan titik tersebut, terdapat tiga titik yang warnanya sama dan
membentuk segitiga siku-siku adalah 1.
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 27 dari 29
19. Bilangan prima terbesar yang dapat dinyatakan dalam bentuk
bilangan prima dan adalah ….
+
+
untuk suatu bilangan-
Pembahasan:
Perhatikan, teorema tentang bilangan prima yaitu Setiap bilangan prima dan
dinyatakan sebagai =
± , dengan adalah bilangan asli .
≡
≡
mod
Untuk = , > , berarti =
± ,
, maka + +
≡ + +
≡
Jadi untuk = , > , maka + +
adalah bukan bilangan prima.
Begitu pula untuk = , > , maka + +
adalah bukan bilangan prima.
≡
mod
Untuk
> ,
> , berarti
=
± ,
+
, maka
+
≡
+ +
> , maka dapat
Untuk = ,
, maka + +
≡ + +
≡
≡ mod
Jadi untuk = ,
, maka + +
adalah bukan bilangan prima.
Begitu pula untuk = ,
, maka + +
adalah bukan bilangan prima.
Untuk = = , maka maka + +
≡ + +
≡
≡ mod
Jadi untuk = = , maka + +
adalah bukan bilangan prima.
Untuk = , >
• Untuk =
= , maka
Maka, +
•
, berarti =
± ,
,
+ , maka misal berbentuk � + , dengan �
. Disini, ≠ sebab jika
tak prima.
+
≡
+
�+ +
+
mod
≡
+
+
mod
≡ mod , untuk ≠
Untuk =
− , maka misal berbentuk � + , dengan �
. Disini, ≠ sebab jika
= , maka tak prima, kecuali untuk = .
Maka, + +
≡
+
�+ −
+
mod
≡
+
−
mod
≡ mod , untuk ≠
Maka, solusi satu-satunya adalah jika = , sehingga
+ +
adalah bilangan prima
terbesar untuk = , = .
Jadi,
+
+
=
+
+
=
+
+
=
.
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 28 dari 29
20. Pada segitiga
, panjang sisi
adalah 1 satuan. Ada tepat satu titik
pada sisi
yang
memenuhi | | = | | ∙ | |. Jika � menyatakan keliling
, jumlah semua � yang mungkin
adalah ….
Pembahasan:
Perhatikan,
| |= =√
| |= =√
| |=
| |=
| |= −
| |=√ −
,
,
,
Perhatikan juga bahwa pada ∆
⇔
⇔
⇔
−
+
−
+
+
|
| =| |∙|
+
=
−
+
= −
+
=
−
+
+
=√
|
.
adalah
|
Ingat, bahwa agar tepat diperoleh satu titik
, maka penyelesaian real kembar
= ⇒
−
=
=
⇔ (−
+ ) −
+
⇔
+
=
−
+
+
=
+
⇔
Padahal,
<
Jadi, keliling ∆
< , sehingga
adalah
<
<
⇒
<
⇔
⇔
<
+
− <
− <
⇔
�=
=
+
+√
=
+√
=
+√
=
=
+
+ −
+√
+
+
−
−
√
+
<
<
<
<
+ +√
−
+ +√
−
+√
+
+
.
Sehingga, keliling ∆
� =| |+| |+|
= + +
,
berlaku
−
+
+
+
+
+
√
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
=
−
+
Halaman 29 dari 29
Pembahasan soal OSK Matematika SMA 2018 ini sangat mungkin jauh dari sempurna mengingat
keterbatasan penulis. Saran, koreksi dan tanggapan sangat diharapkan demi perbaikan pembahasan
soal OSN ini.
Untuk download pembahasan soal SBMPTN, UNAS, Olimpiade, dan rangkuman materi pelajaran serta
soal-soal ujian yang lainnya, silahkan kunjungi http://pak-anang.blogspot.com.
Terima kasih.
Pak Anang
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
OSK SMA 2018
OLIMPIADE SAINS KABUPATEN/KOTA SMA 2018
OSK Matematika SMA
(Olimpiade Sains Kabupaten/Kota Matematika SMA)
Disusun oleh:
Pak Anang
Pembahasan Soal
OSK SMA 2018
OLIMPIADE SAINS KABUPATEN/KOTA SMA 2018
OSK Matematika SMA
(Olimpiade Sains Kabupaten/Kota Matematika SMA)
Disusun oleh:
Pak Anang
Halaman 3 dari 29
PEMBAHASAN SOAL
OLIMPIADE SAINS MATEMATIKA SMA
TINGKAT KABUPATEN/KOTA
28 Februari 2018
By Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
1.
Misalkan , , dan adalah tiga bilangan
. Jika ketiga bilangan tersebut merupakan
bilangan asli satu digit maka jumlah terbesar akar-akar persamaan −
− + −
−
= yang mungkin adalah ….
Pembahasan:
Perhatikan penjabaran bentuk aljabar tersebut.
−
− + −
⇔
− +
+
+ − +
⇔
− +
+
+
−
+
+
=
=
=
Sehingga, jika akar-akar dari persamaan kuadrat
− +
+
+
+
dan , maka dengan rumus jumlah akar-akar persamaan kuadrat diperoleh:
+
+
+ =
=
adalah
Perhatikan juga bahwa , , dan adalah tiga bilangan satu digit berbeda, sehingga +
+ akan
maksimum apabila adalah bilangan terbesar dan , masing-masing dipilih bilangan satu digit
berurutan yang lebih kecil dari .
Sehingga apabila = dan masing-masing atau adalah 8 atau 7, diperoleh jumlah terbesar akarakar persamaan kuadrat tersebut adalah
+
+
+ =
=
TRIK SUPERKILAT:
Perhatikan penjabaran bentuk aljabar tersebut.
−
− + −
⇔
− ( −
⇔
Sehingga, diperoleh jumlah akar-akarnya adalah
+
+
=
=
+
− =
+ )=
atau
=
+
+
Dengan mudah kita tahu bahwa +
akan maksimum apabila
yaitu 9. Jadi, atau adalah 7 atau 8, begitu juga sebaliknya.
+
=
+
+
=
+
=
+ , =
merupakan bilangan terbesar
,
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 4 dari 29
2.
Setiap sel dari suatu tabel berukuran × dapat diisi dengan bilangan 1, 2, atau 3. Misalkan
adalah banyaknya tabel yang memenuhi kedua sifat berikut sekaligus:
• untuk setiap baris, hasil penjumlahannya genap
• untuk setiap kolom, hasil penjumlahannya genap
Nilai adalah ….
Pembahasan:
Perhatikan tabel × berikut!
Dengan memperhatikan bahwa hasil penjumlahan setiap baris dan kolom adalah genap, maka
diperoleh kedua bilangan pada setiap baris atau kolom memiliki paritas yang sama.
Perhatikan juga bahwa , , , atau
hanya dapat diisi dengan bilangan 1, 2, atau 3.
Banyak tabel yang memenuhi dapat ditentukan dengan membagi kasus:
• untuk , , , bilangan ganjil
maka ada tiga kemungkinan
- keempat bilangan , , , adalah bilangan yang sama, sebanyak
- diantara bilangan , , , ada tiga bilangan yang sama, sebanyak
•
-
diantara bilangan , , , ada dua bilangan yang sama, sebanyak
=
!
×
!
!
=
! !
cara.
= cara.
cara.
untuk , , , bilangan genap
maka hanya ada satu kemungkinan yaitu keempat bilangan , , , adalah bilangan 2. Sehingga
ada sebanyak 1 cara.
Jadi, total banyak tabel yang memenuhi adalah sebanyak + + +
=
cara.
TRIK SUPERKILAT:
Banyak tabel yang memenuhi dapat ditentukan dengan membagi kasus:
• Kasus pertama: , , , adalah bilangan ganjil.
•
Banyak kejadian adalah
+
+
+
+
=
=
Kasus kedua: , , , adalah bilangan genap.
Hanya ada satu kemungkinan, yaitu , , , adalah bilangan 2.
Jadi, total banyak tabel yang memenuhi adalah sebanyak
+
=
cara.
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 5 dari 29
3.
Diberikan persegi berukuran
….
×
satuan seperti pada gambar. Luas segilima yang diarsir adalah
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
∥
Perhatikan, karena
=
Sehingga, karena
Perhatikan, karena ∆
Jadi, [
]= ∙
Sehingga, [
]=[
]=
+
, dan
−
=
∼∆
sehingga diperoleh perbandingan
=
×
−
=
=
×
=
×
= , maka diperoleh
−
=
=
sehingga diperoleh perbandingan
=
]−[
∼∆
⇒
=
= ∙ ∙ =
TRIK SUPERKILAT:
Sehingga [
=
∼∆
∙
Perhatikan bahwa ∆
, maka ∆
⇒
]=
−
=
, sehingga karena
.
=
×
=
.
=
, maka [
]=
∙ ∙ ∙
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
=
.
Halaman 6 dari 29
4.
Parabola =
− dan = −
memotong sumbu koordinat pada tepat empat titik.
Keempat titik tersebut merupakan titik-titik sudut layang-layang dengan luas 24. Nilai + adalah
….
Pembahasan:
Perhatikan, titik potong parabola =
− pada sumbu Y adalah di titik
potong parabola = −
pada sumbu Y adalah di titik , .
, − . Sedangkan, titik
Perhatikan juga, agar dapat diperoleh dua titik lagi sebagai titik-titik sudut layang-layang yang lain,
maka titik potong parabola =
− dan = −
pada sumbu X seharusnya adalah pada
titik yang sama, sehingga dapat disimpulkan kedua kurva berpotongan di sumbu X.
Sehingga, titik potong di sumbu X dapat ditentukan dengan
=
⇔
− = −
⇔ +
−
=
= ±√
⇔
+
Jadi, titik potong kedua parabola pada sumbu X adalah di titik √
Padahal, luas layang-layang adalah 24, sehingga
=
⇔
=
⇔
=
⇔
=√
⇔
⇔
+
=
=
×
×
× | − − | × |√
× √
×
+
+
+
− −√
,
dan −√
+
+
|
+
+
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
,
.
Halaman 7 dari 29
5.
Untuk setiap bilangan asli didefinisikan
dari . Banyaknya bilangan asli sehingga
adalah ….
sebagai hasil penjumlahan dari semua digit-digit
habis membagi −
untuk setiap bilangan asli
Pembahasan:
Perhatikan, bilangan asli dapat dinyatakan sebagai =
∙
+ ∙
+ ∙
+ ⋯, maka
jika
didefinisikan sebagai hasil penjumlahan dari semua digit-digit dari , maka diperoleh
=
+ + +⋯
Misal,
=
−
Sehingga, | −
, maka
= −
=
∙
+ ∙
=
− +
=
+
+
=
+
+
+
. Jadi bilangan asli
Jadi, ada sebanyak 3 buah bilangan
∙
−
+⋯
+⋯
+⋯ −
+
−
+ +
+⋯
+⋯
adalah faktor bulat positif dari 9, yaitu 1, 3, dan 9.
yang memenuhi.
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 8 dari 29
6.
< , dan
+
+
+
−
−
=
=
=
+
=−
=
Diketahui dan bilangan prima dengan
yang memenuhi ….
+
=
−
+
. Nilai
Pembahasan:
Perhatikan,
⇔
⇔
+
−
+
Sehingga, diperoleh
⇔
+
−
+
−
Karena, , adalah bilangan prima, maka dua buah bilangan prima yang jumlahnya 10 adalah 3 dan
7. Mengingat < , sehingga dapat diperoleh = dan = .
Jadi, yang memenuhi adalah 3.
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 9 dari 29
7.
Diberikan dua bilangan asli dua angka yang selisihnya 10. Diketahui bahwa bilangan yang kecil
merupakan kelipatan 3, sedangkan lainnya merupakan kelipatan 7. Diketahui pula bahwa jumlah
semua faktor prima kedua bilangan tersebut adalah 17. Jumlah dua bilangan tersebut adalah ….
Pembahasan:
Perhatikan, misal kedua bilangan tersebut adalah dan , karena adalah bilangan kelipatan 7 dan
adalah bilangan kelipatan 3, maka untuk
dan adalah suatu bilangan asli, dan dapat
dinyatakan sebagai
=
=
Karena selisih kedua bilangan adalah 10, dan
persamaan
−
= .
Nilai
dan
Sehingga,
> , maka
−
=
. Ini sama saja dengan
dapat ditentukan menggunakan pembalikan algoritma Euclid, yaitu
= × +
=
− ×
Dengan mengalikan 10 kedua ruas diperoleh
Sehingga, diperoleh
=
dan
Sehingga, solusi umumnya adalah
=
=
.
=
=
−
−
−
⇒ =
⇒ =
−
−
Diperoleh pasangan bilangan dua digit , yang memenuhi adalah
, ={
,
,
,
,
,
,
,
}
Perhatikan bahwa jumlah semua faktor prima dan y adalah 17, maka
= +
Maka + = , sehingga bilangan prima , yang memenuhi hanyalah 2 dan 5.
Sehingga, jelas diantara pasangan , yang memiliki faktor prima 5 hanyalah
Jadi, jumlah kedua bilangan tersebut adalah
+
=
+
=
.
+
=
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
+ .
dan
=
.
Halaman 10 dari 29
TRIK SUPERKILAT 1:
Perhatikan, ≡ mod dan ≡ mod . Karena selisih kedua bilangan adalah 10, dan
maka − = , sehingga
= −
≡ mod ⇒ ≡ mod ⇒ = +
Sehingga,
= + ≡ mod ⇒
= mod ⇒
=
+
Diperoleh,
=
+ dan nilai
={
yang memenuhi adalah
,
,
}
,
Perhatikan bahwa jumlah semua faktor prima dan adalah 17, maka
= +
Maka + = , sehingga bilangan prima , yang memenuhi hanyalah 2 dan 5.
Sehingga, diantara pasangan , yang memiliki faktor prima 5 hanyalah
Jadi, jumlah kedua bilangan tersebut adalah
+
=
+
=
.
=
= (
∙
∙
∙
) dan
= (
+ .
=
, akibatnya
TRIK SUPERKILAT 2 (LOGIKA PRAKTIS):
Perhatikan bahwa jumlah semua faktor prima dan adalah 17, maka
= +
Maka + = , sehingga bilangan prima , yang memenuhi hanyalah 2 dan 5.
Akibatnya, kemungkinan yang terjadi adalah
+
+
∙
> ,
.
+ .
∙
∙
).
LOGIKA:
• 5 adalah semestinya menjadi salah satu faktor prima dari salah satu dari atau .
• Mengingat − = , suatu bilangan kelipatan 5 pasti memiliki selisih 10 dengan bilangan
yang lain, apabila bilangan yang lain juga kelipatan 5. Sehingga, disimpulkan 5 sudah pasti
menjadi faktor dari baik maupun .
Sehingga dengan cara mendaftar kemungkinan secara manual:
=
⇒ ,
=
⇒ , , , ,
Jelas yang memenuhi
−
=
, adalah
=
Jadi, jumlah kedua bilangan tersebut adalah
dan
+
=
=
+
.
=
.
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 11 dari 29
TRIK SUPERKILAT 3 (LOGIKA PRAKTIS):
Perhatikan bahwa jumlah semua faktor prima dan adalah 17, maka
= +
Maka + = , sehingga bilangan prima , yang memenuhi hanyalah 2 dan 5.
Akibatnya, kemungkinan yang terjadi adalah
= (
∙
∙
∙
) dan
= (
+
∙
+ .
∙
∙
).
LOGIKA:
• 5 adalah semestinya menjadi salah satu faktor prima dari salah satu dari atau .
• Mengingat − = , suatu bilangan kelipatan 5 pasti memiliki selisih 10 dengan bilangan
yang lain, apabila bilangan yang lain juga kelipatan 5. Sehingga, disimpulkan 5 sudah pasti
menjadi faktor dari baik maupun .
• Karena 2 belum menjadi faktor dari masing-masing bilangan, maka 2 pasti juga menjadi faktor
dari salah satu bilangan. Dan karena selisihnya 10, merupakan kelipatan 10, berarti bilangan
lain juga kelipatan 2.
• Akibatnya karena 2 dan 5 adalah faktor setiap bilangan, maka keduanya adalah kelipatan 10.
Sehingga, kemungkinan yang terjadi hanyalah
=
=
Jelas yang memenuhi
−
=
, adalah
=
Jadi, jumlah kedua bilangan tersebut adalah
⇒
⇒ ,
dan
+
=
=
+
.
=
.
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 12 dari 29
8.
Diberikan satu koin yang tidak seimbang. Bila koin tersebut ditos satu kali, peluang muncul angka
adalah . Jika ditos kali, peluang muncul tepat dua angka sama dengan peluang muncul tepat tiga
angka. Nilai adalah ….
Pembahasan:
Perhatikan, dengan menggunakan konsep distribusi binomial, misal
angka, maka = dan − = .
= peluang kejadian muncul
Apabila satu koin ditos kali, maka peluang muncul tepat dua angka sama dengan peluang muncul
tepat tiga angka dapat dinyatakan sebagai
�=
= �=
−
−
=
∙ ∙ −
⇔
∙ ∙ −
⇔
⇔
⇔
Jadi, nilai
⇔
⇔
⇔
−
!
∙
∙( ) ∙( )
! !
− ∙ −
− !∙
yang memenuhi adalah 11.
−
!
∙
=
=
=
=
=
=
∙
−
−
!
∙( ) ∙( )
! !
− ∙
− ∙
− !∙ !
−
−
!
∙
−
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 13 dari 29
9.
Panjang sisi-sisi dari segitiga merupakan bilangan asli yang berurutan. Diketahui bahwa garis berat
dari segitiga tegak lurus dengan salah satu garis baginya. Keliling segitiga itu adalah ….
Pembahasan:
Perhatikan gambar segitiga berikut
merupakan garis berat dan
Perhatikan segitiga
merupakan garis bagi, keduanya berpotongan saling tegak lurus.
sama kaki, sehingga
=
=
. Misal
=
= .
Perhatikan juga, karena sisi-sisi segitiga merupakan bilangan asli yang berurutan, maka selisih dari
dua sisi segitiga adalah 1 atau 2.
Kasus pertama, selisih dua sisi segitiga adalah 1, sehingga
− = ⇒
Karena = , maka = , = , sehingga
•
= , tidak memenuhi karena sisi segitiga tidak mungkin nol
•
= , tidak mungkin karena tidak memenuhi ketaksamaan + >
Kasus kedua, selisih dua sisi segitiga adalah 2, sehingga
Karena = , maka = , = , sehingga
•
= , memenuhi.
Sehingga, sisi segitiga adalah
Jadi keliling segitiga adalah
= ,
+
= , = .
+ =
+ +
−
=
⇒
=
=
= .
TRIK SUPERKILAT:
Perhatikan, karena panjang sisi-sisi segitiga adalah bilangan asli yang berurutan, dan dari gambar
kita tahu bahwa
= ∙ .
Jadi, kemungkinan tiga bilangan urut, dimana salah satunya adalah dua kali dari yang lain adalah:
• 1, 2, 3
Namun karena + ≯ , maka jelas segitiga ini tidak memenuhi ketaksamaan segitiga.
• 2, 3, 4
Benar, bahwa + > , maka jelas segitiga ini memenuhi ketaksamaan segitiga.
Jadi, keliling segitiga adalah
+ +
= .
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 14 dari 29
=
untuk setiap bilangan real
+
yang mungkin adalah ….
10. Diberikan suku banyak
dengan
≠ maka jumlah semua nilai
Pembahasan:
Perhatikan, anggap
⇔
⇔
⇔
=
+
+
+
,
(
+
+
≠ ,
suku banyak derajat � dengan
=
+
) +(
+
+
+
)=
=
=
+
+
+
. Jika
� < , maka
Sehingga, dengan memperhatikan kesamaan di atas, maka kemungkinan yang terjadi adalah
•
+
=
, maka = dengan + = .
•
+
+
=
, apabila + = maka + � = .
Perhatikan, + � = ⇒ � = − , maka
�< ⇒
− <
⇔
<
⇔
<
Jelas bahwa = .
Jadi, suku banyak
=
, agar kesamaan berlaku maka
+
•
adalah suku banyak berderajat satu.
•
adalah suku banyak berderajat dua.
Kasus pertama,
adalah suku banyak berderajat satu.
Misal,
=
+ , ≠ , maka
+
⇔
+
+
+
⇔
+
+ +
+
⇔
+
+
+
+
=
=
=
=
atau
=
Sehingga, dari kesamaan suku banyak diperoleh
= ⇒ =
+
=
⇒
⇔
⇔
+ −
+
−
= − atau
=
=
=
Dari kasus ini
yang memenuhi hanya jika = , sehingga
• Apabila = − , jadi
yang memenuhi adalah
= − , sehingga karena
=− ≠ ,
maka
=−
=− .
• Apabila = , jadi
yang memenuhi adalah
= , sehingga karena
= , dan
mengingat
≠ , maka
= tidak memenuhi. Sehingga tidak ada nilai
yang
memenuhi.
Kasus kedua,
Misal,
=
⇔
⇔
⇔
adalah suku banyak berderajat dua.
+
+ , ≠ maka
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+ =
+ + =
+
+ =
+
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 15 dari 29
Sehingga, dari kesamaan suku banyak diperoleh
+ = ⇒
⇔ =
=
+
Dari kasus ini
⇒
yang memenuhi adalah
Jadi jumlah semua nilai
+
=
=
+
atau
atau
⇒
⇔−
⇔
=−
yang mungkin adalah −
=
=−
=
=
=
=−
− , sehingga
−
=−
.
=−
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
−
=−
.
Halaman 16 dari 29
11. Misalkan { } adalah barisan bilangan bulat yang memenuhi
untuk setiap bilangan asli berlaku + = + +
. Nilai
=
=⋯=
adalah ….
= ,
= , dan
Pembahasan:
Perhatikan, kita akan mencoba menguraikan kombinasi linear dari bilangan 143 terhadap bilangan
9 dan 13, sehingga diperoleh
+
=
⇒
=
−
⇔ ∙ =
∙
−
Sehingga, terdapat dua penyelesaian bulat untuk
+
•
= , sehingga
− = ⇒ = , sehingga
,
•
= , sehingga
− = ⇒ = , sehingga
,
Padahal, untuk
+
=
+
+
=
=
=
, rumus umumnya untuk
=∑
�=
Sehingga,
=
=
=
=
∙
∙
+
�
�
∙(
+
+
+
�
�
∙
−
)
=
,
, dengan , bilangan cacah.
,
+
adalah
∙
Cara alternatif:
Jika kita uraikan secara terus menerus, maka kita juga akan bertemu pola kombinatorik pada sukusuku yang dihasilkan. Perhatikan,
+
=
+
=
=⋯
=
Jadi, rumus umum penjabaran dari
+
+
+
+ ⋯+
hingga langkah ke-� adalah
=∑
�=
�
�
�
−
− �
Nah, jika kita perhatikan seksama pola yang terbentuk, hanya suku dari penjabaran tersebut harus
kita uraikan menjadi
, jika tidak dapat diuraikan menjadi
maka nilainya nol, mengingat
bahwa =
=⋯=
= .
Sehingga, kita akan mencoba menguraikan bilangan 13 dari pengurangan bilangan 143 oleh
kombinasi linear dari 9 dan 4, sehingga diperoleh
=
−
−
=
−
−
Jadi, nilai dari
=
dapat diperoleh untuk � , �
+
=
∙
=
,
∙ +
dan � , �
∙ ∙
=
=
+
,
=
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 17 dari 29
12. Untuk setiap bilangan real ,
menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari atau sama
dengan . Jika diketahui
+
+ = , dan + −
= , . Nilai
+ adalah ….
Pembahasan:
Perhatikan, misal
Dari persamaan
+
� < , maka untuk setiap bilangan real berlaku:
=
+�
+
Sehingga diperoleh,
+ = , , diperoleh
+
+ = , ⇒
⇔
Dan dari persamaan + −
+ −
=
=
dan � = , .
Perhatikan kembali bahwa
Jadi, diperoleh nilai dan
adalah
Jadi, nilai
+
=
+
+
= , diperoleh
= , ⇒
+� +
⇔
⇔
⇔
, dan � = , .
Sehingga diperoleh
+
+
, +
+
,
=
=
=
=
+� =
+� =
+� −
=
+� +� =
+� + , =
+� =
,
,
,
,
,
,
, sehingga diperoleh
=
⇒
+
=
⇔
+
=
⇔
=
+� =
+� =
,
=
+ , = ,
+ , = ,
.
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 18 dari 29
13. Misalkan
adalah trapesium siku-siku dengan
sejajar
dan
tegak lurus
juga adalah titik potong diagonal
dan
. Jika perbandingan luas segitiga
trapesium
adalah 4 : 25 maka nilai adalah ….
Pembahasan:
Perhatikan trapesium
berikut.
adalah titik potong diagonal
dan
. Misalkan
dan luas
.
Misal,
=
⇒
=
∙
Sehingga, dari perbandingan luas segitiga
trapesium
diperoleh
[
[
]
=
]
−
dan
−
⇒
⇔
⇔
⇔
Sehingga,
=
Jadi, perbandingan
= atau
+
∙
∙
+
+
dan segitiga
Maka,
=
=
∙
∙
=
Padahal, dari kesebangunan segitiga
Sedangkan, dari kesebangunan
dan
+
= .
serta
=
−
+
⇒
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
∙
dan
=
∙
+
+
−
−
=
=
, diperoleh
.
diperoleh.
−
=
=
=
∙
∙
=
+
−
−
∙
+
−
∙
∙
+
+
=
+
−
atau
=
=
=
=
+
=
Catatan penulis:
Pembuat soal kurang waspada terhadap perbandingan panjang
ditambahkan keterangan
>
atau
<
.
dan
. Seharusnya pada soal
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 19 dari 29
14. Himpunan merupakan himpunan bilangan-bilangan 7 digit sehingga masing-masing angka 1, 2,
3, 4, 5, 6, atau 7 tepat muncul satu kali. Bilangan-bilangan di diurutkan mulai dari yang paling
kecil sampai yang paling besar. Bilangan yang berapa pada urutan ke-2018 adalah ….
Pembahasan
Pertama, kita akan memeriksa banyak bilangan dengan memeriksa digit pada tempat terbesar,
yaitu tempat jutaan.
• Bilangan 1XXXXXX menyumbang sebanyak ! =
bilangan. Jadi bilangan ke-1 sampai
dengan bilangan ke-720 adalah berformat 1XXXXXX.
• Bilangan 2XXXXXX menyumbang sebanyak ! =
bilangan. Jadi bilangan ke-721 sampai
dengan bilangan ke-1440 adalah berformat 2XXXXXX.
• Bilangan 3XXXXXX menyumbang sebanyak ! =
bilangan. Jadi bilangan ke-1441 sampai
dengan bilangan ke-2160 adalah berformat 3XXXXXX. Sehingga bilangan ke-2018 berada pada
format 3XXXXXX.
Selanjutnya akan diperiksa digit pada tempat ratusan ribu.
• Bilangan 31XXXXX menyumbang sebanyak ! =
bilangan. Jadi bilangan ke-1441 sampai
dengan bilangan ke-1560 adalah berformat 31XXXXX.
• Bilangan 32XXXXX menyumbang sebanyak ! =
bilangan. Jadi bilangan ke-1561 sampai
dengan bilangan ke-1680 adalah berformat 32XXXXX.
• Bilangan 34XXXXX menyumbang sebanyak ! =
bilangan. Jadi bilangan ke-1681 sampai
dengan bilangan ke-1800 adalah berformat 34XXXXX.
• Bilangan 35XXXXX menyumbang sebanyak ! =
bilangan. Jadi bilangan ke-1801 sampai
dengan bilangan ke-1920 adalah berformat 35XXXXX.
• Bilangan 36XXXXX menyumbang sebanyak ! =
bilangan. Jadi bilangan ke-1921 sampai
dengan bilangan ke-2040 adalah berformat 36XXXXX. Sehingga bilangan ke-2018 berada pada
format 36XXXXX.
Selanjutnya akan diperiksa digit pada tempat puluhan ribu.
• Bilangan 361XXXX menyumbang sebanyak ! =
bilangan. Jadi bilangan ke-1921 sampai
dengan bilangan ke-1944 adalah berformat 361XXXX.
• Bilangan 362XXXX menyumbang sebanyak ! =
bilangan. Jadi bilangan ke-1945 sampai
dengan bilangan ke-1968 adalah berformat 362XXXX.
• Bilangan 364XXXX menyumbang sebanyak ! =
bilangan. Jadi bilangan ke-1969 sampai
dengan bilangan ke-1992 adalah berformat 364XXXX.
• Bilangan 365XXXX menyumbang sebanyak ! =
bilangan. Jadi bilangan ke-1993 sampai
dengan bilangan ke-2016 adalah berformat 365XXXX.
• Bilangan 367XXXX menyumbang sebanyak ! =
bilangan. Jadi bilangan ke-2017 sampai
dengan bilangan ke-2040 adalah berformat 367XXXX. Sehingga bilangan ke-2018 berada pada
format 367XXXX.
Selanjutnya akan diperiksa secara manual digit pada tempat ribuan.
• Bilangan 3671245 adalah bilangan ke-2017.
• Bilangan 3671254 adalah bilangan ke-2018.
Jadi, bilangan ke-2018 adalah 3671254.
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 20 dari 29
TRIK SUPERKILAT:
Perhatikan,
1234567 3 (bilangan ke 2+1)
124567 6 (bilangan ke 4+1)
12457 7 (bilangan ke 4+1)
1245 1 (bilangan ke 0+1)
245 2 (bilangan ke 0+1)
45 5 (bilangan ke 1+1)
4 4 (bilangan ke 0+1)
=
=
=
=
=
=
=
×
×
×
×
×
×
×
!+
!+
!+
!+
!+
!+
!+
Jadi, bilangan yang dimaksud adalah 3671254.
Catatan Penulis:
Menurut kunci jawaban yang beredar, jawaban untuk soal ini adalah 3561274.
Nah, penulis mencoba membuat analisis forensik mengapa pembuat soal bisa membuat kunci
jawaban seperti tersebut di atas.
Langkah yang kurang tepat ditunjukkan oleh warna merah.
1234567 3 (bilangan ke 2+1)
124567 5 (bilangan ke 4+1) pembuat soal lupa bahwa bilangan ke-5 bukan 5, tapi 6.
12467 6 (bilangan ke 4+1) pembuat soal lupa bahwa bilangan ke-5 bukan 6, tapi 7.
1247 1 (bilangan ke 0+1)
247 2 (bilangan ke 0+1)
47 7 (bilangan ke 1+1)
4 4 (bilangan ke 0+1)
Jadi, bilangan yang dimaksud adalah 3561274. (jawaban akhir menurut kunci jawaban yang dipakai
korektor untuk mengoreksi jawaban peserta)
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 21 dari 29
}. Banyaknya pasangan bilangan asli , sehingga tepat ada 2018
15. Misalkan = { ∈ ℝ|
anggota yang dapat dinyatakan dalam bentuk + untuk suatu bilangan bulat dan adalah ….
Pembahasan:
′
Perhatikan, dari
ℎ
, yaitu Jika
maka terdapat bilangan bulat dan sehingga
dan
.
dua bilangan bulat yang keduanya taknol
=
+
.
+
Sehingga banyaknya anggota yang dapat dinyatakan adalah banyaknya
∈ ℤ yang memiliki solusi , ∈ ℤ.
;
+
Dengan membagi kasus, yaitu
Kasus 1.
′
Apabila
dan
adalah relative prima, maka dari
ℎ
dinyatakan dalam
+
sehingga haruslah
+ =
, sehingga
+ =
⇒
=
Sehingga, diperoleh penyelesaian , = { ,
,
, }.
, semua � ∈ ℤ dapat
Kasus 2.
′
Apabila
, = > , maka , > . Sehingga dari
ℎ
+
�, � ∈ ℤ dapat dinyatakan dalam
+ . Semua � ada sebanyak
( )+
Sehingga diperoleh penyelesaian
=
,
Jadi, banyaknya pasangan bilangan asli
={
,
⇒
( )=
,
}
⇒
=
, semua (dan hanya)
+ , sehingga
=
yang memenuhi adalah 3 buah.
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 22 dari 29
16. Diberikan segitiga
dan lingkaran Γ yang berdiameter
dan
berturut-turut di
dan
. Jika
=
adalah ….
, maka luas segitiga
Pembahasan:
Perhatikan, gambar segitiga
. Lingkaran Γ memotong sisi
= ,
=
, dan
dan lingkaran Γ.
Misal,
= , karena
=
maka
sehingga
= , akibatnya
= .
maka
= , karena
=
sehingga
= , akibatnya
= .
=
,
=
,
Berdasarkan power of point diperoleh
×
=
×
⇔
×
=
×
⇔
=
⇔
=
Luas ∆
dapat dicari menggunakan sisi alas
dan tinggi
. Sehingga kita akan
mencari
dengan terlebih dahulu mencari nilai
, lalu mencari
dengan
menggunakan aturan Pythagoras pada ∆
.
dapat dicari dengan memandang aturan Pythagoras pada ∆
=
⇔
−
=
−
−
⇔
−
=
⇔
−
=
−
⇔
−
=
−
⇔
=
⇔
=
Sehingga,
Mengingat
Jadi, luas ∆
=√
=
−
=√
adalah
=√
−
= √ , maka
= ×
×
=√
=
= ×
−
=
√ ×
=√
=
√ =
dan ∆
√ .
=
×
, yaitu:
√ .
=
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
.
Halaman 23 dari 29
TRIK SUPERKILAT:
dan lingkaran Γ.
Perhatikan, gambar segitiga
Perhatikan, dengan dalil de Ceva pada segitiga
diperoleh
×
=
Jadi,
= ×
×
=
=
.
⇒
Berdasarkan power of point diperoleh
×
=
×
⇔
=
⇔
=
=
⇔
Sehingga,
Jadi, luas ∆
=√
−
adalah
=√
= ×
×
−
=√
= ×
×
=
=
.
.
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
=
Halaman 24 dari 29
yang memenuhi <
17. Diberikan bilangan real dan
Pembahasan:
=
Perhatikan,
Sehingga,
′
=
−
+
−
−
2 −
−
Diperoleh titik stasioner
=
+
−
adalah saat
=
, dan misal = , maka
− 2−
− 2
− 2
− 2
2 =
′
−
⇒
′
⇔
+
⇔
+
⇔
⇔
+
Sehingga,
− −
=− +
minimum dari
√
−
√
=
adalah
√ −
⇔
′
− +
−
2+
2
−
+
+
+
+
−
−
2
=
=±
√
=− ±
√
)=
=
=
=
=
=
=
−
√ −
√ −
− √
√ −
− √
√ −
− √
√ −
+
+
×
− √
+ √
+
+
−
+
adalah ….
−
.
√
√
√ −
=
−
=
, yaitu
√
+
−
=
adalah titik balik minimum dan karena
− +
(− +
=
= , yaitu
+
−
=
−
−
+
−
=
⇔
Perhatikan garis bilangan dari
< . Nilai minimum
√ −
<
<
−
√ −
√
− √
+ √
+ √
√
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
maka nilai
Halaman 25 dari 29
TRIK SUPERKILAT 1:
Misal, =
− dan
=
Sehingga,
<
Dan, diperoleh
Karena
>
,
− , maka diperoleh
=
<
+
−
⇒
⇒
−
>
> , sehingga
dan
⇔
Jadi, nilai minimum
−
TRIK SUPERKILAT 2:
Perhatikan,
,
=
Karena <
−
+
< , maka
Sehingga, untuk
−
−
⇔
−
−
−
−
+
,
+
+
+
√
>
−
−
−
−
>
√
+
+
.
>
+
∙
=
−
+
+
adalah +
√
+
, diperoleh
√
−
> .
− )+
= (
−
)+ (
−
, maka menurut
−
, diperoleh
−
+
−
−
−
√ (
)∙ (
)
−
−
−
−
+
√
−
−
)+ (
)
−
−
−
−
)+ (
)+
−
−
(
> ,
+
.
−
dan
⇒
+
=
dan
> , maka menurut
− )+(
−
<
=
dan
adalah +
=(
dan
(
⇔
Jadi, nilai minimum
+
>
⇔
⇔
+
+
<
+
=
.
−
√
+
+
√
√
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
−
)+
−
Halaman 26 dari 29
18. Diberikan sembilan titik pada bidang yang membentuk segitiga sama sisi seperti pada gambar. Pada
tiap sisi, dua titik yang bukan titik sudut segitiga membagi sisi menjadi tiga bagian sama panjang.
Kesembilan titik ini akan diwarnai masing-masing dengan warna merah atau biru. Peluang bahwa
dari kesembilan titik tersebut, terdapat tiga titik yang warnanya sama dan membentuk segitiga
siku-siku adalah ….
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
Dari keenam titik yang bukan titik sudut segitiga dapat dibuat sebuah lingkaran yang di dalamnya
terdapat segienam beraturan.
Sepasang titik sudut segienam beraturan yang saling berhadapan dapat membentuk garis yang
merupakan diameter lingkaran, yaitu
, , dan .
Sehingga, apabila sepasang titik sudut yang berhadapan memiliki warna yang sama, maka jika satu
titik dipilih dari empat titik yang lain pada lingkaran berwarna sama, maka jelas tiga titik berwarna
sama tersebut akan terbentuk segitiga siku-siku. Ingat kembali bahwa sudut keliling yang
menghadap ke diameter lingkaran pastilah siku-siku.
Sekarang, coba perhatikan bahwa kondisi terburuk yang mungkin terjadi adalah dua pasang titik
sudut segienam beraturan yang saling berhadapan memiliki warna berbeda. Misalnya, dan
berwarna merah, sedangkan dan berwarna biru, maka jika satu saja titik yang lain dari atau
diberi warna apapun, pastilah akan terbentuk segitiga siku-siku dengan titik-titik sudutnya
sewarna.
Kondisi terburuk lain yang mungkin terjadi adalah , , dan , , berlainan warna, maka jika
satu saja titik sudut segitiga , diberi warna apapun, pastilah akan terbentuk segitiga siku-siku
dengan titik-titik sudutnya sewarna.
Sehingga peluang bahwa dari kesembilan titik tersebut, terdapat tiga titik yang warnanya sama dan
membentuk segitiga siku-siku adalah 1.
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 27 dari 29
19. Bilangan prima terbesar yang dapat dinyatakan dalam bentuk
bilangan prima dan adalah ….
+
+
untuk suatu bilangan-
Pembahasan:
Perhatikan, teorema tentang bilangan prima yaitu Setiap bilangan prima dan
dinyatakan sebagai =
± , dengan adalah bilangan asli .
≡
≡
mod
Untuk = , > , berarti =
± ,
, maka + +
≡ + +
≡
Jadi untuk = , > , maka + +
adalah bukan bilangan prima.
Begitu pula untuk = , > , maka + +
adalah bukan bilangan prima.
≡
mod
Untuk
> ,
> , berarti
=
± ,
+
, maka
+
≡
+ +
> , maka dapat
Untuk = ,
, maka + +
≡ + +
≡
≡ mod
Jadi untuk = ,
, maka + +
adalah bukan bilangan prima.
Begitu pula untuk = ,
, maka + +
adalah bukan bilangan prima.
Untuk = = , maka maka + +
≡ + +
≡
≡ mod
Jadi untuk = = , maka + +
adalah bukan bilangan prima.
Untuk = , >
• Untuk =
= , maka
Maka, +
•
, berarti =
± ,
,
+ , maka misal berbentuk � + , dengan �
. Disini, ≠ sebab jika
tak prima.
+
≡
+
�+ +
+
mod
≡
+
+
mod
≡ mod , untuk ≠
Untuk =
− , maka misal berbentuk � + , dengan �
. Disini, ≠ sebab jika
= , maka tak prima, kecuali untuk = .
Maka, + +
≡
+
�+ −
+
mod
≡
+
−
mod
≡ mod , untuk ≠
Maka, solusi satu-satunya adalah jika = , sehingga
+ +
adalah bilangan prima
terbesar untuk = , = .
Jadi,
+
+
=
+
+
=
+
+
=
.
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 28 dari 29
20. Pada segitiga
, panjang sisi
adalah 1 satuan. Ada tepat satu titik
pada sisi
yang
memenuhi | | = | | ∙ | |. Jika � menyatakan keliling
, jumlah semua � yang mungkin
adalah ….
Pembahasan:
Perhatikan,
| |= =√
| |= =√
| |=
| |=
| |= −
| |=√ −
,
,
,
Perhatikan juga bahwa pada ∆
⇔
⇔
⇔
−
+
−
+
+
|
| =| |∙|
+
=
−
+
= −
+
=
−
+
+
=√
|
.
adalah
|
Ingat, bahwa agar tepat diperoleh satu titik
, maka penyelesaian real kembar
= ⇒
−
=
=
⇔ (−
+ ) −
+
⇔
+
=
−
+
+
=
+
⇔
Padahal,
<
Jadi, keliling ∆
< , sehingga
adalah
<
<
⇒
<
⇔
⇔
<
+
− <
− <
⇔
�=
=
+
+√
=
+√
=
+√
=
=
+
+ −
+√
+
+
−
−
√
+
<
<
<
<
+ +√
−
+ +√
−
+√
+
+
.
Sehingga, keliling ∆
� =| |+| |+|
= + +
,
berlaku
−
+
+
+
+
+
√
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
=
−
+
Halaman 29 dari 29
Pembahasan soal OSK Matematika SMA 2018 ini sangat mungkin jauh dari sempurna mengingat
keterbatasan penulis. Saran, koreksi dan tanggapan sangat diharapkan demi perbaikan pembahasan
soal OSN ini.
Untuk download pembahasan soal SBMPTN, UNAS, Olimpiade, dan rangkuman materi pelajaran serta
soal-soal ujian yang lainnya, silahkan kunjungi http://pak-anang.blogspot.com.
Terima kasih.
Pak Anang
Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)