BAB VI. TURUNAN FUNGSI TINGKAT TINGGI

BAB VI.
TURUNAN FUNGSI TINGKAT TINGGI
Jika Y = f (x) terdiferensial pada himpunan A maka
f’ (x) (turunan pertama dari fungsi x) nilainya tergantung
dari x € A. Jadi f’ (x) adalah juga merupakan fungsi dari
x. Jika f’ (x) terdeferensial pada x maka turunannya
disebut turunan tingkat dua atau turunan ke-2. dari f () di
tulis f‘’(x) ;

d 2 f ( x)
d2y
atau
dx 2
dx 2

 f’ (x) = d/dx atau

d2y
d / d x (dy / dy ).
dx 2

Dengan pengertian yang sama bila turunan f’’ (x) ada
turunan itu disebut turunan tingkat tiga dari fungsi x
ditulis f ‘’’ (x) atau

d 3 f ( x)
d3y
;
y
'
'
'
atau
dx 3
dx 3

Selanjutnya turunan tingkat n dari y = f (x) dimana n
bilangan bulat positif ditulis dengan lambnag :
f

(n)

( x) ;

d n f ( x)
; y
dx n

( n)

atau

dny
dx n

Contoh :
1. y = 6x3 + 12x2 + 5x + 2  d3y/dx3 = ……?
dy/dx = 18 x2 + 24 x + 5
d2y/dx2 = 36x + 24.  d3y/dx3 = 36
2. y = xm  y(n)
y(1) = m xm-1

y(2) = m (m-1) xm-2
y(n) = m (m-1) (m-2) (m-3) … (m-n+1) xm-n
3. y = x6  y y (4)
y(4) = 6.5.4.3.x2 = 360 x2
4. Jika Y = u.v  y(n) = …
Y(1) = u’v + uv’
Y(2) = u’’v + u’v’ + u’v’ + uv’’
= u’’v + 2u’v’+uv’’
y(n) =

n

n

k o

 

 k  u

( n k )

v ( k ) ; n 1,2,3,............

u(0) = u dan v(0) = v
aturan LEIBNIZ

5. Y = X4 (3X+5)3  Y(4) (pakai aturan LEIBNIZ
Penyelesaian :
Misalkan : u = x4 dan v = (3x – 5)3
Y(4) =

4
4
( ) u ( 4 ) v ( 0 )  ( )  u ( 3) v
0
1
4
4
( ) u ( 2 ) v ( 2 )  ( )  u (1) v

2
3

(1)

( 3)

4
 ( )  u (0) v
4

( 4)

U=x

v = (3x+5)3

U(1) = 3x3

v(1) = 9 (3x+5)2

U(2) = 12x2

v(2) = 54 (3x+5)

U(3) = 24x

v(3) = 162

U(4) = 24

v(4) = 0

4
4!
( ) 
1.
0
0 ! ( 4  0) !
4

( ) 4
1

4
( ) 4
3

4
4
( ) 6 ( ) 1
2
4

Y(4) = 1.24. (3x5)p + 4 (24x) {9(3x+5)}+
6.12x2 {54(3x+5)} + 4.4x3 . 162 + 1.x4
= 27216 x3 + 28600 x x2 + 27000 x + 3000

SOAL – SOAL LATIHAN
1 .Y = sin2 x cos x  d2y/dx2
2. Y = e2 x  d3 y/dx3

3. Y = sin2 x. cos2 x  d2y/dx2
4. Y = etg 2x+3  d2 y / dx2
5. Y = a log( 4x2+2x+5 )  d3y/dx3
6. Y = sec(x–3)



d2y
dx 2