Analisis Sistem Antrian dan Simulasi Pelayanan Penerimaan Pasien BPJS Poliklinik Rumah Sakit Umum Pusat Haji Adam Malik Medan Dengan Metode Monte Carlo
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1 Teori Antrian
Suatu antrian ialah suatu garis tunggu dari nasabah yang memerlukan layanan dari
satu atau lebih fasilitas pelayanan. Kejadian garis tunggu timbul disebabkan oleh
kebutuhan akan layanan melebihi kapasitas fasilitas pelayanan yang ada, sehingga
nasabah tidak segera mendapatkan pelayanan. Teori antrian merupakan suatu studi
matematika dari gejala garis tunggu tersebut (P.Siagian, 1987).
Fenomena antrian sering kita lihat dalam kehidupan sehari-hari, diantaranya
mobil-mobil yang mengantri pada tempat pencucian mobil, penumpang yang
mengantri untuk pembelian karcis, nasabah bank yang menunggu giliran untuk
melakukan transaksi perbankan, pasien yang menunggu di rumah sakit untuk
mendapatkan pelayanan kesehatan, dan masih banyak lagi. Dalam banyak hal,
untuk mengurangi panjang antrian yang terjadi atau mencegah terjadinya antrian
dapat dilakukan dengan penambahan fasilitas pelayanan. Akan tetapi, terkadang
penambahan fasilitas pelayanan ini dapat mengurangi keuntungan. Namun, jika
antrian terlalu panjang akan mengakibatkan hilangnya pelanggan atau nasabah.
Situasi menunggu merupakan suatu bagian dari keadaan yang terjadi dalam
rangkaian kegiatan operasional yang bersifat random dalam suatu fasilitas
pelayanan. Pelanggan datang ke tempat itu dengan waktu yang acak, tidak teratur
dan tidak dapat segera dilayani sehingga mereka harus menunggu cukup lama.
Dengan mempelajari teori antrian maka penyedia fasilitas pelayanan dapat
mengusahakan agar dapat melayani pelanggannya dengan baik dan tanpa harus
menunggu terlalu lama (Kakiay, 2004).
2.2 Sistem Antrian
Sistem antrian merupakan suatu himpunan pelanggan, fasilitas pelayanan, dan suatu
aturan yang mengatur kedatangan pelanggan dan pelayanan yang akan
didapatkannya. Sedangkan keadaan sistem merujuk pada jumlah pelanggan yang
berada dalam suatu fasilitas pelayanan, termasuk dalam antriannya. Populasi
Universitas Sumatera Utara
19
antrian adalah jumlah pelanggan yang datang untuk mendapatkan pelayanan pada
fasilitas pelayanan (Kakiay, 2004).
Pelanggan tiba dengan laju tetap atau tidak tetap untuk memperoleh
pelayanan pada fasilitas pelayanan yang tersedia. Bila pelanggan yang tiba dapat
masuk ke dalam fasilitas pelayanan, maka hal itu akan segera dilakukan. Tetapi jika
harus menunggu, maka mereka akan membentuk suatu barisan antrian hingga tiba
waktunya untuk dilayani. Para pelanggan tersebut akan dilayani dengan laju yang
tetap ataupun tidak tetap. Setelah selesai, maka pelanggan pun akan keluar dari
sistem antrian (P. Siagian, 1987).
Sistem antrian dapat dibagi atas dua komponen, yaitu:
1. Antrian yang memuat langganan atau satuan-satuan yang membutuhkan
pelayanan (pembeli, nasabah, pasien dan lain-lain).
2. Fasilitas pelayanan yang memuat pelayanan dan saluran pelayanan (loket
bioskop dan penjual karcis, bank dan teller, dan lain-lain).
2.3 Elemen Dasar Model Antrian
Faktor penting dalam suatu sistem antrian adalah pelanggan dan fasilitas pelayanan,
di mana ada periode waktu yang dibutuhkan oleh seorang pelanggan untuk
mendapatkan pelayanan. Elemen dasar dari suatu model antrian adalah sebagai
berikut (Aminuddin, 2005):
1.
Sifat pemanggilan populasi
2.
Sifat fasilitas pelayanan
3.
Struktur-struktur antrian dasar
2.4 Sifat Pemanggilan Populasi
Bagian dari sistem antrian ini mempunyai tiga sifat yang akan diuraikan
1. Besar kecilnya pemanggilan populasi, pemanggilan populasi ini bisa terbatas
bisa pula tidak terbatas.
2. Sifat kedatangan dari pemanggilan populasi, sifat kedatangan pada fasilitas
pelayanan bisa dalam beberapa pola tertentu ataupun secara acak. Bila
kedatangan secara acak, maka harus diketahui probabilitas melalui waktu antar
kedatangan. Analisis riset operasi telah mendapati bahwa kedatangan acak
Universitas Sumatera Utara
paling cocok diuraikan menurut distribusi Poisson. Tenntu saja tidak semua
kedatangan memiliki distribusi ini dan kita perlu memastikan terlebih dahulu
sebelum kita menggunakannya.
3. Tingkah laku pemanggilan populasi
Ada 3 istilah yang biasa digunakan dalam antrian untuk menggambarkan tingkah
laku pemanggilan populasi:
a. Tidak mengikuti (renege), yakni bila seseorang bergabung dalam antrian
dan kemudian meninggalkannya
b. Menolak (balking), berarti serta merta tidak mau bergabung
c. Merebut (bulk), menunjukkan kondisi dimana kedatangan terjadi secara
bersama-sama ketika memasuki sistem sehingga seseorang berebut
menyorobot ke depan.
2.5 Sifat Fasilitas Pelayanan
Dalam membahas sifat dari fasilitas pelayanan, kita berfokus pada tiga hal:
1. Tataan fisik sistem antrian, diukur berdasarkan jumlah saluran atau sumber
pelayanan. Bila terdapat satu saluran pelayanan maka dikatakan sistem saluran
tunggal. Sistem saluran majemuk mempunyai sumber pelayanan lebih dari satu
yang beroperasi secara bersamaan.
2. Disiplin antrian, berkaitan pada subyek pemanggilan populasi yang menerima
pelayanan. Disiplin antrian adalah aturan di mana para pelanggan dilayani, atau
disiplin pelayanan (service discipline) yang memuat urutan (order) para
pelanggan menerima layanan. Ada 4 bentuk bentuk disiplin antrian menurut
urutan kedatangan antara lain adalah (Kakiay, 2004) :
a. First Come First Served (FCFS) atau First In First Out (FIFO), di mana
pelanggan yang terlebih dahulu datang akan dilayani terlebih dahulu.
Misalnya, antrian pada loket pembelian tiket bioskop, antrian pada loket
pembelian tiket kereta api.
b. Last Come First Served (LCFS) atau Last In First Out (LIFO), di mana
pelanggan yang datang paling akhir akan dilayani terlebih dahulu.
Misalnya, sistem antrian pada elevator untuk antri yang sama, sistem
Universitas Sumatera Utara
21
bongkar muat barang dalam truk, pasien dalam kondisi kritis, walaupun
dia datang paling akhir tetapi dia akan dilayani terlebih dahulu.
c. Service In Random Order (SIRO) atau Random Selection for Service
(RSS), di mana panggilan didasarkan pada peluang secara random, jadi
tidak menjadi permasalahan siapa yang lebih dahulu datang. Misalnya,
pada arisan di mana penarikan berdasarkan nomor undian.
d. Priority Service (PS), di mana prioritas pelayanan diberikan kepada
pelanggan yang mempunyai prioritas lebih tinggi dibandingkan dengan
pelanggan yang mempunyai prioritas yang lebih rendah, meskipun
mungkin yang dahulu tiba di garis tunggu adalah yang terakhir datang. Hal
ini mungkin disebabkan oleh beberapa hal, misalnya seseorang yang
memiliki penyakit yang lebih berat dibandingkan orang lain pada suatu
tempat praktek dokter, hubungan kekerabatan pelayan dan pelanggan
potensial akan dilayani terlebih dahulu.
3. Distribusi probabilitas yang sesuai untuk menggambarkan waktu pelayanan,
yang waktu pelayanan tersebut bisa saja konstan maupun acak. Apabila waktu
pelayanan didistribusikan secara acak, kita harus mendapatkan distribusi
probabilitas yang paling sesuai untuk menggambarkan perilakunya. Biasanya
jika waktu pelayanannya acak, maka analisis antrian menggunakan distribusi
probabilitas eksponensial. Ini bisa dilakukan dengan membandingkan sampel
waktu pelayanan yang sebenarnya dengan waktu pelayanan yang diharapkan
berdasarkan rumus eksponensial.
2.6 Struktur-Struktur Antrian Dasar
Jumlah saluran dalam proses antrian menyatakan jumlah fasilitas pelayanan (server)
secara pararel untuk melayani konsumen yang datang. Di lain pihak jumlah tahapan
(phase) menyatakan banyaknya tahapan pelayanan yang harus dilalui sampai
pelayanan selesai atau lengkap.
Proses antrian secara umum dikategorikan menjadi 4 struktur dasar fasilitas
pelayanan:
Universitas Sumatera Utara
1. Single Channel–Single Phase
Contoh untuk single channel–single phase adalah sebuah kantor pos yang hanya
mempunyai satu loket pelayanan dengan satu jalur antrian.
Kedatangan
Pelangan
Antrian
pelayanan
Gambar 2.1 Single Channel–Single Phase
2. Single Channel–Multi Phase
Contoh untuk single channel–multi phase adalah ketika seorang pasien berobat ke
rumah sakit, maka pasien tersebut harus mendaftar dulu di loket pendaftaran,
kemudian pasien tersebut mendapat diagnosa awal oleh perawat di ruang
pemeriksaan dan selanjutnya pasien antri untuk dirawat oleh dokter.
Kedatangan
Pelangan
Antrian
pelayanan
Gambar 2.2 Single Channel–Multi Phase
3. Multi Channel–Single Phase
Contoh untuk multi channel–single phase adalah sebuah kantor pos yang
menyediakan beberapa loket pelayanan untuk melayani pelanggan yang datang
dengan satu jalur antrian.
Kedatangan
Pelangan
Antrian
Pelayanan
Gambar 2.3 Multi Channel–Single Phase
Universitas Sumatera Utara
23
4. Multi channel–multi phase
Contoh untuk single channel–multi phase adalah ketika seorang pasien berobat ke
rumah sakit, maka pasien tersebut harus mendaftar terdulu di loket pendaftaran,
kemudian pasien tersebut mendapat diagnosa awal oleh salah satu perawat yang
berada di ruang pemeriksaan dan selanjutnya pasien antri untuk dirawat oleh dokter
yang terdiri dari beberapa orang sehingga dapat melayani beberapa pasien secara
bersamaan.
Kedatangan
Pelangan
antriaan
Pelayanan
Gambar 2.4 multi channel–multi phase
2.7 Waktu Pelayanan
Waktu yang dibutuhkan untuk pelayanan sejak pelayanan dimulai hingga selesai
disebut waktu pelayanan. Seperti halnya pada kedatangan pelanggan, waktu
pelayanan ini juga mempunyai distribusi probabilitas berdasarkan sampling dari
keadaan sebenarnya. Waktu yang dibutuhkan untuk melayani bisa dikategorikan
sebagai konstan dan acak. Waktu pelayanan konstan, jika waktu yang dibutuhkan
untuk melayani sama untuk setiap pelanggan. Sedangkan waktu pelayanan acak, jika
waktu yang dibutuhkan untuk melayani berbeda-beda untuk setiap pelanggan.
2.8 Notasi Antrian
Terdapat banyak variasi yang mungkin dari model antrian. Ciri-ciri dari
masingmasing model akan diringkas dalam notasi Kendall yang diperluas. Notasi
itu dituliskan (Sri Mulyono, 2002):
[a/b/c/d/e/f]
Notasi Kendall dasar adalah: [ a / b / c ]
Universitas Sumatera Utara
Keterangan:
a : distribusi kedatangan
b : distribusi keberangkatan atau waktu pelayanan,
untuk a dan b, notasi standar ini dapat diganti dengan kode-kode yang sebenarnya
dari distribusi-distribusi yang terjadi, diantaranya (Kakiay, 2004):
M menunjukkan Poisson
Ek menunjukkan Erlang
D berarti deterministik atau konstan
G berarti general atau umum dari service time atau keberangkatan
GI berarti general atau umum yang independen dari proses kedatangan
c : banyaknya pelayanan paralel
d : disiplin antrian (GD: general discipline), seperti FCFS, LCFS, prioritas,
dan random
e : jumlah maksimum pengantri dalam sistem (antri dan dilayani)
f : jumlah sumber kedatangan
Sebagai ilustrasi, perhatikan notasi berikut:
(M/D/9/FCFS/N/;)
Notasi tersebut berarti kedatangan berdistribusi Poisson, waktu pelayanan konstan,
dan terdapat 9 buah fasilitas pelayanan. Disiplin antrian yang berlaku adalah
pelanggan yang pertama datang yang pertama dilayani, jumlah konsumen terbatas
sebanyak N, dan sumber populasi tak terbatas.
2.9 Model-Model Antrian
Karakteristik dan asumsi dari model antrian dirangkum dalam bentuk notasi. Notasi
standar yang digunakan adalah sebagai berikut :
(a/b/c/d/e)
Di mana simbol a, b, c, d, e merupakan elemen dasar dari model antrian :
a = Bentuk distribusi kedatangan yaitu jumlah kedatangan per satuan waktu
b = Bentuk distribusi waktu pelayanan yaitu selang waktu antara satuan-satuan
yang dilayani
Universitas Sumatera Utara
25
c = Jumlah fasilitas pelayanan dalam sistem
d = Disiplin pelayanan
e = Jumlah maksimum yang diperkenankan berada dalam sistem (dalam
pelayanan ditambah yang di garis tunggu).
Untuk huruf a dan b, kita gunakan kode-kode berikut sebagai pengganti:
M = Distribusi kedatangan Poisson atau distribusi pelayanan eksponensial
D = Antar kedatangan atau waktu pelayanan tetap
G = Distribusi umum kedatangan atau waktu pelayanan
Untuk huruf d dipakai kode-kode pengganti:
FIFO atau FCFS = First-in, first-Out atau First-Come First –Served
LIFO atau LCFS = Last in First-Out atau Last-Come First-served
SIRO
= Service In Random Order
GD
= Genaral service Discplint
Untuk huruf c, dipergunakan bilangan bulat positif yang menyatakan jumlah
pelayanan paralel. Untuk huruf d dan e dipergunakan kode N atau menyatakan
jumlah terbatas atau tak berhingga satuan- satuan dalam sistem antrian dan populasi
masukan.
Misalnya, kalau kita tulis model (M/M/1) : FIFO//∞/∞ , ini berarti bahwa
model menyatakan kedatangan distribusikan secara Poisson, waktu pelayanan
distribusikan secara eksponensial, pelayanan adalah satu atau seorang, disiplin
antrian adalah first-in first-out, tidak berhingga jumlah langganan boleh masuk
dalam sistem antrian, ukuran (besarnya) populasi masukan adalah tak berhingga
(Siagian, 1987).
Model-model antrian secara umum antara lain adalah sebagai berikut:
1. Model (M /M/1/GD/∞/∞).
Syarat-syarat dari model ini antara lain:
a. Jumlah kedatangan setiap satuan waktu mengikuti distribusi poisson.
b. Waktu pelayanan berdistribusi ekponensial.
c. Disiplin antrian yang digunakan adalah FCFS.
d. Sumber populasi tidak terbatas.
e. Jalur antriannya tunggal.
f. Tingkat kedatangan rata-rata lebih kecil dari pada rata-rata pelayanan.
Universitas Sumatera Utara
g. Panjang antrian tidak terbatas.
2. Model (M/M/c/GD/∞/∞).
Pada model ini fasilitas pelayanan (server) bersifat ganda, rata-rata tingkat
kedatangan lebih kecil dari pada penjumlahan seluruh rata-rata tingkat pelayanan
di semua jalur.syarat yang lain sama dengan model server tunggal.
3. Model (M/M/1/GD/N/∞).
Model ini merupakan variasi dari model yang pertama, dimana panjang antrian
atau kapasitas tunggu dibatasi maksimum N individu. Jumlah maksimum ini
meliputi individu yang menunggu dan yang sedang dilayani.
4. Model (M/M/1/GD/∞/N).
Model ini hampir sama dengan model yang pertama hanya saja sumberpopulasi
dibatasi sebanyak N.
Selain model-model umum di atas, terdapat beberapa model antrian lain,
diantaranya:
1. Model (M/G/1/GD/∞/∞)
Model (M/G/1/GD/∞/∞) atau disebut juga dengan formula Pollazck –
Khintchine sering disingkat dengan (P-K) adalah suatu formula dimana akan
diperoleh pada situasi pelayanan tunggal yang memenuhi tiga asumsi berikut
(Kakiay, 2004):
a. Kedatangan Poisson dengan rata-rata kedatangan .
b. Distribusi waktu pelayanan umum atau general dengan Rata-rata ratarata pelayanan
� =
dan varian var (t).
c. Keadaan steady state dimana �
dimana:
λ
�
<
= Tingkat kedatangan rata-rata pelanggan
= Tingkat pelayanan rata-rata pelanggan
c = Jumlah fasilitas pelayanan
ρ = Tingkat kesibukan sistem
Universitas Sumatera Utara
27
2. Model (M/G/c/GD/∞/∞)
Model antrian (M/G/c/GD/∞/∞) adalah model antrian dengan jumlah failitas
pelayanan lebih dari satu atatu ganda, distribusi kedatangan Poisson dan
distribusi pelayannan general/umum.
3. Model (G/G/c/GD/∞/∞)
Model antrian (G/G/c/GD/∞/∞) adalah model antrian dengan pola kedatangan
berdistribusi general atau umum dan pola pelayanan juga berdistribusi general
atau umum dengan jumlah fasilitas pelayanan sebanyak c pelayanan. Disiplin
antrian yang digunakan pada model ini adalah umum yaitu FCFS (First Come
First Served), kapasitas maksimum dalam sistem adalah tak terbatas yang
memiliki sumber pemanggilan juga tak terbatas.
Ukuran kinerja sistem pada model general ini mengikuti ukuran kinerja
pada model M/M/c, yaitu sebagai berikut:
1. Probabilitas fasilitas pelayanan menganggur (P0) adalah:
�
[ ∑�−
�=
�!
�
]+
�
(2.1)
�!( − )
�
2. Rata-rata jumlah pelanggan yang menunggu (Lq) dalam antrian adalah:
Lq M/M/C=
�
�
�− ! � −
(2.2)
Akan tetapi, untuk perhitungan rata-rata jumlah pelanggan yang menunggu
dalam antrian untuk model ini adalah sebagai berikut (Sugito dan Marissa,
2009):
Lq = Lq M/M/C
+
′
(2.3)
Dengan
� � =
� �′ =
(2.4)
(2.5)
3. Rata-rata jumlah pelanggan yang menunggu dalam sistem (Ls) adalah:
Universitas Sumatera Utara
� = �� +
(2.6)
4. Rata-rata waktu pelanggan menunggu dalam antrian (Wq) adalah:
�
=
�
(2.7)
5. Rata-rata waktu pelanggan menunggu dalam sistem (Ws) adalah:
=
�
+
(2.8)
6. Probabilitas pelanggan harus menunggu untuk dilayani (Pw) adalah:
� =
�
�
�![ −
�
]
(2.9)
2.10 Pola Kedatangan Dan Pola Pelayanan
2.10.1 Pola Kedatangan
Pola kedatangan para pelanggan biasanya diperhitungkan melalui waktu antar
kedatangan, yaitu waktu antara kedatangan dua pelanggan yang berurutan pada
suatu fasilitas pelayanan. Bentuk ini dapat bergantung pada jumlah pelanggan yang
berada dalam sistem ataupun tidak bergantung pada keadaan sistem tersebut.
Bila pola kedatangan ini tidak disebut secara khusus, maka dianggap bahwa
pelanggan tiba satu per satu. Asumsinya adalah kedatangan pelanggan mengikuti
suatu proses dengan distribusi probabilitas tertentu. Distribusi probabilitas yang
sering digunakan adalah distribusi Poisson, di mana kedatangan bersifat bebas,
tidak terpengaruh oleh kedatangan sebelum ataupun sesudahnya. Asumsi distribusi
Poisson menunjukkan bahwa kedatangan pelanggan sifatnya acak dan mempunyai
rata-rata kedatangan sebesar (Kakiay, 2004).
Dalam proses ini, distribusi probabilitas Poisson menyediakan deskripsi
yang cukup baik untuk suatu pola kedatangan. Suatu fungsi probabilitas Poisson
untuk suatu kedatangan x pada suatu periode waktu tertentu adalah sebagai berikut
(Taylor, 2001):
Dimana:
� � =
�−
�!
x = jumlah kedatangan per periode waktu
Universitas Sumatera Utara
29
= rata-rata jumlah kedatangan per periode waktu
e = 2,71828
X! = faktorial dari suatu nilai x, yaitu x! = x(x-1)(x-2)…(2)(1)
2.10.2 Pola Pelayanan
Pola pelayanan ditentukan oleh waktu pelayanan, yaitu waktu yang dibutuhkan
untuk melayani pelanggan pada fasilitas pelayanan. Pelayanan dapat dilakukan
dengan satu atau lebih fasilitas pelayanan yang masing-masing dapat mempunyai
satu atau lebih saluran atau tempat pelayanan (server).
Pada suatu fasilitas pelayanan, pelanggan akan masuk dalam suatu tempat
pelayanan dan menerima pelayanan secara tuntas dari server. Bila tidak disebutkan
secara khusus, maka pada bentuk pelayanan ini dianggap bahwa satu pelayanan
dapat melayani secara tuntas satu pelanggan (Kakiay, 2004).
Waktu pelayanan antara fasilitas pelayanan yang satu dengan fasilitas
pelayanan yang lain biasanya tidak konstan. Proses pelayanan pada umumnya
menggunakan distribusi probabilitas tertentu. Distribusi probabilitas untuk waktu
layanan biasanya mengikuti distribusi probabilitas eksponensial yang formulanya
dapat memberikan informasi yang berguna mengenai operasi yang terjadi pada
suatu antrian. Persamaan distribusi eksponensial adalah sebagai berikut:
Dimana:
�� =
�−
.
x = xi (nilai tengah)
= rata-rata waktu pelayanan
e = 2,71828
2.11 Uji Distribusi
Uji kesesuaian distribusi dilakukan dengan uji Chi Square (X2) yang didefinisikan
sebagai berikut:
H0 = data yang diuji mengikuti distribusi
H1 = data yang diuji tidak mengikuti distribusi
Universitas Sumatera Utara
Statistik tes didefinisikan sebagai berikut:
ℎ�
�
= ∑��=
� −��
��
(2.10)
Dimana:
Oi = frekuensi observasi ke-i
Ei = frekueensi Rata-rata ke-i
Dalam uji Chi Square, data observasi mengikuti distribusi saat x2hitung ≤ X2tabel
Perlakuan terhadap input data yang bersifat acak untuk program simulasi
dapat dilakukan sebagai berikut (Conover, 1971)
1. Nilai-nilai data tersebut digunakan secara langsung dalam simulasi. Sebagai
contoh, jika data menggambarkan waktu pelayanan, maka salah satu data
digunakan jika sebuah waktu pelayanan diperlukan dalam sebuah simulasi.
Hal ini disebut trace-driven simulation.
2. Nilai data-data tersebut digunakan untuk mendefinisikan sebuah fungsi
distribusi umum dengan cara tertentu. Jika diperlukan dalam sebuah
simulasi, sampel diambil dari distribusi ini.
3. Data dicocokkan terhadap bentuk teoritis distribusi tertentu, misal
eksponensial atau poisson, dengan menampilkan hipotesis tes untuk
menentukan kecocokan tersebut (the goodness of fit). Pencocokan ini
menghasilakan sejumlah parameter statistika. Saat dilakukan simulasi,
sampel diambil dari jenis distribusi teoritis dan nilai-nilai parameter yang
cocok.
2.12 Simulasi
Model matematika merupakan model yang saat ini sangat berkembang. Sesuai
dengan prosedur yang digunakan untuk menyelesaikan model matematika, maka
terdapat dua jenis penelitian operasional ilmu pengetahuan manajemen, yaitu model
analitik dan model simulasi. Beberapa contoh model analitik diantaranya adalah
model pengambilan keputusan, model jaringan kerja, model persediaan, model
transportasi, dan masih banyak lagi. Akan tetapi, model simulasi ternyata lebih
banyak digunakan karena lebih luwes dan menyeluruh.
Universitas Sumatera Utara
31
Pengertian umum mengenai simulasi ialah suatu metodologi untuk
melaksanakan percobaan dengan menggunakan model dari satu sistem nyata.
Sedangkan ide dasarnya ialah menggunakan beberapa perangkat untuk meniru
sistem nyata guna mempelajari dan memahami sifat-sifat, tingkah laku (perangai),
dan karakter operasinya. Oleh karena itu, simulasi terutama sekali berkenaan
dengan percobaan untuk menaksir tingkah laku dari sistem nyata untuk maksud
perancangan sistem atau pengubahan tingkah laku sistem (Siagian, 1987).
Model analitik sangat kuat dan berguna bagi kehidupan sehari-hari, akan
tetapi terdapat beberapa keterbatasan antara lain yaitu:
1. Model analitik tidak mampu menggambarkan suatu sistem pada masa lalu
dan masa mendatang melalui pembagian waktu. Model analitik hanya
memberikan penyelesaian secara menyeluruh, suatu jawab yang mungkin
tunggal dan optimal tetapi tidak menggambarkan suatu prosedur
operasional untuk masa lebih singkat dari masa perencanaan. Misalnya,
penyelesaian persoalan program linier dengan masa perencanaan satu tahun,
tidak menggambarkan prosedur operasional untuk masa bulan demi bulan,
minggu demi minggu, atau hari demi hari.
2. Model matematika yang konvensional sering tidak mampu menyajikan
sistem nyata yang lebih besar dan rumit (kompleks). Sehingga sukar untuk
membangun model analitik untuk sistem nyata yang demikian.
3. Model analitik terbatas pemakaiannya dalam hal–hal yang tidak pasti dan
aspek dinamis (faktor waktu) dari persoalan manajemen.
Berdasarkan hal di atas, maka konsep simulasi dan penggunaan model
simulasi merupakan solusi terhadap ketidakmampuan dari model analitik.
Beberapa kelebihan simulasi adalah sebagai berikut:
1. Simulasi dapat memberi solusi bila model analitik gagal melakukannya.
2. Model simulasi lebih realistis terhadap sistem nyata karena memerlukan
asumsi yang lebih sedikit. Misalnya, tenggang waktu dalam model
persediaan tidak perlu harus deterministik.
Universitas Sumatera Utara
3. Perubahan konfigurasi dan struktur dapat dilaksanakan lebih mudah untuk
menjawab pertanyaanμ what happen if… Misalnya, banyak aturan dapat
dicoba untuk mengubah jumlah langganan dalam sistem antrian.
4. Dalam banyak hal, simulasi lebih murah dari percobaannya sendiri.
5. Simulasi dapat digunakan untuk maksud pendidikan.
6. Untuk sejumlah proses dimensi, simulasi memberikan penyelidikan yang
langsung dan terperinci dalam periode waktu khusus.
Meskipun memiliki beberapa keunggulan dibandingkan model analitik, tetapi
model simulasi juga memiliki beberapa kekurangan, diantaranya sebagai berikut:
1. Simulasi bukanlah presisi dan juga bukan suatu proses optimisasi. Simulasi
tidak menghasilkan solusi, tetapi ia menghasilkan cara untuk menilai solusi
termasuk solusi optimal.
2. Model simulasi yang baik dan efektif sangat mahal dan membutuhkan
waktu yang lama dibandingkan dengan model analitik.
3. Tidak semua situasi dapat dinilai melalui simulasi kecuali situasi yang
memuat ketidakpastian.
Model simulasi lebih jauh dapat diklasifikasikan ke dalam beberapa bentuk,
yaitu sebagai model simulasi statik atau dinamik, model simulasi deterministik atau
stokastik, dan model simulasi diskrit atau kontinu.
1. Model simulasi statik dikenal juga dengan nama Simulasi Monte Carlo yang
merepresentasikan sebuah sistem pada suatu waktu tertentu. Sebagai
contoh, ingin disimulasikan jumlah pelanggan yang membeli suatu produk
di sebuah toko berdasarkan data historis, kemudian dibangkitkan bilangan
random untuk menunjukkan jumlah pelanggan yang dibangkitkan sesuai
posisi interval distribusinya. Model simulasi dinamik adalah representasi
sistem sepanjang pergantian waktu ke waktu, contohnya adalah simulasi
pelayanan pada sebuah bank dalam rentang jam kerja tertentu.
2. Model simulasi deterministik adalah model simulasi yang tidak
mengandung komponen yang sifatnya probabilistik (random) dan output
telah dapat ditentukan ketika sejumlah input dalam hubungan tertentu
Universitas Sumatera Utara
33
dimasukkan. Sebagai contoh simulasi ini adalah simulasi kedatangan pasien
seorang dokter praktek yang telah diatur jadwal pelayanannya. Model
simulasi stokastik adalah model simulasi yang memiliki satu atau beberapa
input berupa variabel random dan akan menghasilkan output yang random
pula. Simulasi layanan teller bank adalah salah satu contoh model simulasi
stokastik.
3. Model simulasi diskrit adalah model simulasi yang status variabelnya
berubah secara diskrit pada satu waktu tertentu. Contohnya, simulasi
antrian, dimana jumlah pelanggan yang menunggu/antri berubah secara
diskrit dari waktu ke waktu. Model simulasi kontinu adalah model simulasi
yang status variabel berubah secara kontinu dari waktu ke waktu. Simulasi
permukaan air bendungan adalah contoh simulasi kontinu.
2.13 Simulasi Monte Carlo
Penggunanaan variabel random dalam simulasi dinyatakan dalam distribusi
probabilitas, sehingga sebagian besar model simulasi adalah model probabilistik.
Arti istilah Monte Carlo sering dianggap sama dengan simulasi probabilistik,
namun Monte Carlo sampling secara lebih tegas berarti teknik memilih angka
secara random dari distribusi probabilitas untuk menjalankan simulasi (Sri
Mulyono, 2002).
Simulasi Monte Carlo merupakan suatu pendekatan untuk membentuk
kembali distribusi peluang yang didasarkan pada pilihan atau pengadaan bilangan
acak (random). Ada beberapa cara untuk menghasilkan bilangan acak dari Monte
Carlo merupakan cara yang paling baik terutama untuk suatu distribusi diskrit (P.
Siagian, 1987).
Simulasi Monte Carlo adalah tipe simulasi probabilistik untuk mencari
penyelesaian masalah dengan sampling dari proses random. Simulasi Monte Carlo
mengizinkan manajer untuk menentukan beberapa kebijakan yang menyangkut
kondisi organisasi. Metode simulasi Monte Carlo merupakan sebuah teknik
simulasi yang menggunakan unsur acak di saat terdapat peluang. Dasar simulasi
Monte Carlo adalah percobaan pada unsur peluang (bersifat probabilistik) dengan
menggunakan pengambilan sampel secara acak (Saiful et al, 2013).
Universitas Sumatera Utara
Xu (2012) menggunakan metode Monte Carlo untuk melakukan simulasi
antrian pada bank, lalu memanfaatkan hasil simulasi tersebut untuk mengevaluasi
kinerja dari model M/M/c/;. Hasil penelitian tersebut menunjukkan bahwa metode
Monte Carlo dapat menyelesaikan model antrian M/M/c/; lebih akurat dan efektif.
Penerapan metode Monte Carlo pada pelayanan teller bank dengan
kedatangan berdistribusi Poisson dan pelayanan berdistribusi Eksponensial juga
dilakukan oleh Magdalena (2011).
Pada penelitian ini, penulis akan membahas mengenai simulasi dengan
metode Monte Carlo pada pelayanan Penerimaan Pasien BPJS Poliklinik Rumah
Sakit Umum Pusat Haji Adam Malik Medan.
Teknik simulasi Monte Carlo terbagi atas lima langkah sederhana yaitu
sebagai berikut:
1. Menetapkan sebuah distribusi probabilitas bagi variabel penting. Ide dasar
simulasi Monte Carlo adalah untuk membangkitkan nilai untuk variabel
pada model yang sedang diuji. Dalam sistem dunia nyata, sebagian besar
variabel memiliki probabilitas alami. Diantaranya adalah: permintaan
persediaan, waktu tenggang pesanan untuk tiba, waktu diantara mesin rusak,
waktu diantara kedatangan pelanggan pada suatu fasilitas pelayanan, waktu
pelayanan, waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan aktivitas proyek,
dan jumlah karyawan yang tidak hadir setiap hari. Sebuah cara untuk
menetapkan distribusi probabilitas bagi variabel tertentu adalah dengan
menguji hasil histories. Distribusi probabilitas dapat ditemukan, atau
frekuensi relatif, untuk setiap output variabel yang mungkin dengan cara
membagi jumlah pengamatan dengan jumlah pengamatan total.
2. Membuat distribusi probabilitas kumulatif bagi setiap variabel. Untuk
mengubah distribusi probabilitas biasa menjadi sebuah distribusi
probabilitas kumulatif (cumulative probability distribution) merupakan
pekerjaan yang mudah.
3. Menetapkan sebuah interval angka acak bagi setiap variabel. Setelah
distribusi probabilitas kumulatif bagi setiap variabel yang digunakan dalam
simulasi sudah diterapkan, maka diberikan serangkaian angka yang
mewakili setiap nilai atau output yang mungkin. Angka ini disebut sebagai
Universitas Sumatera Utara
35
interval angka acak (random-number interval). Pada dasarnya, angka acak
(random number) merupakan serangkaian digit yang telah terpilih oleh
sebuah proses yang teracak secara sempurna, yakni sebuah proses di mana
setiap angka acak memiliki peluang yang sama untuk bisa terpilih.
4. Membangkitkan angka acak. Angka acak dapat dihasilkan dengan dua cara.
Jika persoalan yang dihadapi besar dan proses yang sedang diteliti
melibatkan banyak percobaan simulasi, maka digunakan program komputer
untuk membangkitkan angka acak. Jika simulasi dilakukan dengan
perhitungan tangan, angka acak dapat diambil dari sebuah tabel angka acak.
5. Mensimulasikan serangkaian percobaan. Hasil dari eksperimen dapat
disimulasikan secara sederhana dengan memilih angka acak dari tabel angka
acak.
Universitas Sumatera Utara
LANDASAN TEORI
2.1 Teori Antrian
Suatu antrian ialah suatu garis tunggu dari nasabah yang memerlukan layanan dari
satu atau lebih fasilitas pelayanan. Kejadian garis tunggu timbul disebabkan oleh
kebutuhan akan layanan melebihi kapasitas fasilitas pelayanan yang ada, sehingga
nasabah tidak segera mendapatkan pelayanan. Teori antrian merupakan suatu studi
matematika dari gejala garis tunggu tersebut (P.Siagian, 1987).
Fenomena antrian sering kita lihat dalam kehidupan sehari-hari, diantaranya
mobil-mobil yang mengantri pada tempat pencucian mobil, penumpang yang
mengantri untuk pembelian karcis, nasabah bank yang menunggu giliran untuk
melakukan transaksi perbankan, pasien yang menunggu di rumah sakit untuk
mendapatkan pelayanan kesehatan, dan masih banyak lagi. Dalam banyak hal,
untuk mengurangi panjang antrian yang terjadi atau mencegah terjadinya antrian
dapat dilakukan dengan penambahan fasilitas pelayanan. Akan tetapi, terkadang
penambahan fasilitas pelayanan ini dapat mengurangi keuntungan. Namun, jika
antrian terlalu panjang akan mengakibatkan hilangnya pelanggan atau nasabah.
Situasi menunggu merupakan suatu bagian dari keadaan yang terjadi dalam
rangkaian kegiatan operasional yang bersifat random dalam suatu fasilitas
pelayanan. Pelanggan datang ke tempat itu dengan waktu yang acak, tidak teratur
dan tidak dapat segera dilayani sehingga mereka harus menunggu cukup lama.
Dengan mempelajari teori antrian maka penyedia fasilitas pelayanan dapat
mengusahakan agar dapat melayani pelanggannya dengan baik dan tanpa harus
menunggu terlalu lama (Kakiay, 2004).
2.2 Sistem Antrian
Sistem antrian merupakan suatu himpunan pelanggan, fasilitas pelayanan, dan suatu
aturan yang mengatur kedatangan pelanggan dan pelayanan yang akan
didapatkannya. Sedangkan keadaan sistem merujuk pada jumlah pelanggan yang
berada dalam suatu fasilitas pelayanan, termasuk dalam antriannya. Populasi
Universitas Sumatera Utara
19
antrian adalah jumlah pelanggan yang datang untuk mendapatkan pelayanan pada
fasilitas pelayanan (Kakiay, 2004).
Pelanggan tiba dengan laju tetap atau tidak tetap untuk memperoleh
pelayanan pada fasilitas pelayanan yang tersedia. Bila pelanggan yang tiba dapat
masuk ke dalam fasilitas pelayanan, maka hal itu akan segera dilakukan. Tetapi jika
harus menunggu, maka mereka akan membentuk suatu barisan antrian hingga tiba
waktunya untuk dilayani. Para pelanggan tersebut akan dilayani dengan laju yang
tetap ataupun tidak tetap. Setelah selesai, maka pelanggan pun akan keluar dari
sistem antrian (P. Siagian, 1987).
Sistem antrian dapat dibagi atas dua komponen, yaitu:
1. Antrian yang memuat langganan atau satuan-satuan yang membutuhkan
pelayanan (pembeli, nasabah, pasien dan lain-lain).
2. Fasilitas pelayanan yang memuat pelayanan dan saluran pelayanan (loket
bioskop dan penjual karcis, bank dan teller, dan lain-lain).
2.3 Elemen Dasar Model Antrian
Faktor penting dalam suatu sistem antrian adalah pelanggan dan fasilitas pelayanan,
di mana ada periode waktu yang dibutuhkan oleh seorang pelanggan untuk
mendapatkan pelayanan. Elemen dasar dari suatu model antrian adalah sebagai
berikut (Aminuddin, 2005):
1.
Sifat pemanggilan populasi
2.
Sifat fasilitas pelayanan
3.
Struktur-struktur antrian dasar
2.4 Sifat Pemanggilan Populasi
Bagian dari sistem antrian ini mempunyai tiga sifat yang akan diuraikan
1. Besar kecilnya pemanggilan populasi, pemanggilan populasi ini bisa terbatas
bisa pula tidak terbatas.
2. Sifat kedatangan dari pemanggilan populasi, sifat kedatangan pada fasilitas
pelayanan bisa dalam beberapa pola tertentu ataupun secara acak. Bila
kedatangan secara acak, maka harus diketahui probabilitas melalui waktu antar
kedatangan. Analisis riset operasi telah mendapati bahwa kedatangan acak
Universitas Sumatera Utara
paling cocok diuraikan menurut distribusi Poisson. Tenntu saja tidak semua
kedatangan memiliki distribusi ini dan kita perlu memastikan terlebih dahulu
sebelum kita menggunakannya.
3. Tingkah laku pemanggilan populasi
Ada 3 istilah yang biasa digunakan dalam antrian untuk menggambarkan tingkah
laku pemanggilan populasi:
a. Tidak mengikuti (renege), yakni bila seseorang bergabung dalam antrian
dan kemudian meninggalkannya
b. Menolak (balking), berarti serta merta tidak mau bergabung
c. Merebut (bulk), menunjukkan kondisi dimana kedatangan terjadi secara
bersama-sama ketika memasuki sistem sehingga seseorang berebut
menyorobot ke depan.
2.5 Sifat Fasilitas Pelayanan
Dalam membahas sifat dari fasilitas pelayanan, kita berfokus pada tiga hal:
1. Tataan fisik sistem antrian, diukur berdasarkan jumlah saluran atau sumber
pelayanan. Bila terdapat satu saluran pelayanan maka dikatakan sistem saluran
tunggal. Sistem saluran majemuk mempunyai sumber pelayanan lebih dari satu
yang beroperasi secara bersamaan.
2. Disiplin antrian, berkaitan pada subyek pemanggilan populasi yang menerima
pelayanan. Disiplin antrian adalah aturan di mana para pelanggan dilayani, atau
disiplin pelayanan (service discipline) yang memuat urutan (order) para
pelanggan menerima layanan. Ada 4 bentuk bentuk disiplin antrian menurut
urutan kedatangan antara lain adalah (Kakiay, 2004) :
a. First Come First Served (FCFS) atau First In First Out (FIFO), di mana
pelanggan yang terlebih dahulu datang akan dilayani terlebih dahulu.
Misalnya, antrian pada loket pembelian tiket bioskop, antrian pada loket
pembelian tiket kereta api.
b. Last Come First Served (LCFS) atau Last In First Out (LIFO), di mana
pelanggan yang datang paling akhir akan dilayani terlebih dahulu.
Misalnya, sistem antrian pada elevator untuk antri yang sama, sistem
Universitas Sumatera Utara
21
bongkar muat barang dalam truk, pasien dalam kondisi kritis, walaupun
dia datang paling akhir tetapi dia akan dilayani terlebih dahulu.
c. Service In Random Order (SIRO) atau Random Selection for Service
(RSS), di mana panggilan didasarkan pada peluang secara random, jadi
tidak menjadi permasalahan siapa yang lebih dahulu datang. Misalnya,
pada arisan di mana penarikan berdasarkan nomor undian.
d. Priority Service (PS), di mana prioritas pelayanan diberikan kepada
pelanggan yang mempunyai prioritas lebih tinggi dibandingkan dengan
pelanggan yang mempunyai prioritas yang lebih rendah, meskipun
mungkin yang dahulu tiba di garis tunggu adalah yang terakhir datang. Hal
ini mungkin disebabkan oleh beberapa hal, misalnya seseorang yang
memiliki penyakit yang lebih berat dibandingkan orang lain pada suatu
tempat praktek dokter, hubungan kekerabatan pelayan dan pelanggan
potensial akan dilayani terlebih dahulu.
3. Distribusi probabilitas yang sesuai untuk menggambarkan waktu pelayanan,
yang waktu pelayanan tersebut bisa saja konstan maupun acak. Apabila waktu
pelayanan didistribusikan secara acak, kita harus mendapatkan distribusi
probabilitas yang paling sesuai untuk menggambarkan perilakunya. Biasanya
jika waktu pelayanannya acak, maka analisis antrian menggunakan distribusi
probabilitas eksponensial. Ini bisa dilakukan dengan membandingkan sampel
waktu pelayanan yang sebenarnya dengan waktu pelayanan yang diharapkan
berdasarkan rumus eksponensial.
2.6 Struktur-Struktur Antrian Dasar
Jumlah saluran dalam proses antrian menyatakan jumlah fasilitas pelayanan (server)
secara pararel untuk melayani konsumen yang datang. Di lain pihak jumlah tahapan
(phase) menyatakan banyaknya tahapan pelayanan yang harus dilalui sampai
pelayanan selesai atau lengkap.
Proses antrian secara umum dikategorikan menjadi 4 struktur dasar fasilitas
pelayanan:
Universitas Sumatera Utara
1. Single Channel–Single Phase
Contoh untuk single channel–single phase adalah sebuah kantor pos yang hanya
mempunyai satu loket pelayanan dengan satu jalur antrian.
Kedatangan
Pelangan
Antrian
pelayanan
Gambar 2.1 Single Channel–Single Phase
2. Single Channel–Multi Phase
Contoh untuk single channel–multi phase adalah ketika seorang pasien berobat ke
rumah sakit, maka pasien tersebut harus mendaftar dulu di loket pendaftaran,
kemudian pasien tersebut mendapat diagnosa awal oleh perawat di ruang
pemeriksaan dan selanjutnya pasien antri untuk dirawat oleh dokter.
Kedatangan
Pelangan
Antrian
pelayanan
Gambar 2.2 Single Channel–Multi Phase
3. Multi Channel–Single Phase
Contoh untuk multi channel–single phase adalah sebuah kantor pos yang
menyediakan beberapa loket pelayanan untuk melayani pelanggan yang datang
dengan satu jalur antrian.
Kedatangan
Pelangan
Antrian
Pelayanan
Gambar 2.3 Multi Channel–Single Phase
Universitas Sumatera Utara
23
4. Multi channel–multi phase
Contoh untuk single channel–multi phase adalah ketika seorang pasien berobat ke
rumah sakit, maka pasien tersebut harus mendaftar terdulu di loket pendaftaran,
kemudian pasien tersebut mendapat diagnosa awal oleh salah satu perawat yang
berada di ruang pemeriksaan dan selanjutnya pasien antri untuk dirawat oleh dokter
yang terdiri dari beberapa orang sehingga dapat melayani beberapa pasien secara
bersamaan.
Kedatangan
Pelangan
antriaan
Pelayanan
Gambar 2.4 multi channel–multi phase
2.7 Waktu Pelayanan
Waktu yang dibutuhkan untuk pelayanan sejak pelayanan dimulai hingga selesai
disebut waktu pelayanan. Seperti halnya pada kedatangan pelanggan, waktu
pelayanan ini juga mempunyai distribusi probabilitas berdasarkan sampling dari
keadaan sebenarnya. Waktu yang dibutuhkan untuk melayani bisa dikategorikan
sebagai konstan dan acak. Waktu pelayanan konstan, jika waktu yang dibutuhkan
untuk melayani sama untuk setiap pelanggan. Sedangkan waktu pelayanan acak, jika
waktu yang dibutuhkan untuk melayani berbeda-beda untuk setiap pelanggan.
2.8 Notasi Antrian
Terdapat banyak variasi yang mungkin dari model antrian. Ciri-ciri dari
masingmasing model akan diringkas dalam notasi Kendall yang diperluas. Notasi
itu dituliskan (Sri Mulyono, 2002):
[a/b/c/d/e/f]
Notasi Kendall dasar adalah: [ a / b / c ]
Universitas Sumatera Utara
Keterangan:
a : distribusi kedatangan
b : distribusi keberangkatan atau waktu pelayanan,
untuk a dan b, notasi standar ini dapat diganti dengan kode-kode yang sebenarnya
dari distribusi-distribusi yang terjadi, diantaranya (Kakiay, 2004):
M menunjukkan Poisson
Ek menunjukkan Erlang
D berarti deterministik atau konstan
G berarti general atau umum dari service time atau keberangkatan
GI berarti general atau umum yang independen dari proses kedatangan
c : banyaknya pelayanan paralel
d : disiplin antrian (GD: general discipline), seperti FCFS, LCFS, prioritas,
dan random
e : jumlah maksimum pengantri dalam sistem (antri dan dilayani)
f : jumlah sumber kedatangan
Sebagai ilustrasi, perhatikan notasi berikut:
(M/D/9/FCFS/N/;)
Notasi tersebut berarti kedatangan berdistribusi Poisson, waktu pelayanan konstan,
dan terdapat 9 buah fasilitas pelayanan. Disiplin antrian yang berlaku adalah
pelanggan yang pertama datang yang pertama dilayani, jumlah konsumen terbatas
sebanyak N, dan sumber populasi tak terbatas.
2.9 Model-Model Antrian
Karakteristik dan asumsi dari model antrian dirangkum dalam bentuk notasi. Notasi
standar yang digunakan adalah sebagai berikut :
(a/b/c/d/e)
Di mana simbol a, b, c, d, e merupakan elemen dasar dari model antrian :
a = Bentuk distribusi kedatangan yaitu jumlah kedatangan per satuan waktu
b = Bentuk distribusi waktu pelayanan yaitu selang waktu antara satuan-satuan
yang dilayani
Universitas Sumatera Utara
25
c = Jumlah fasilitas pelayanan dalam sistem
d = Disiplin pelayanan
e = Jumlah maksimum yang diperkenankan berada dalam sistem (dalam
pelayanan ditambah yang di garis tunggu).
Untuk huruf a dan b, kita gunakan kode-kode berikut sebagai pengganti:
M = Distribusi kedatangan Poisson atau distribusi pelayanan eksponensial
D = Antar kedatangan atau waktu pelayanan tetap
G = Distribusi umum kedatangan atau waktu pelayanan
Untuk huruf d dipakai kode-kode pengganti:
FIFO atau FCFS = First-in, first-Out atau First-Come First –Served
LIFO atau LCFS = Last in First-Out atau Last-Come First-served
SIRO
= Service In Random Order
GD
= Genaral service Discplint
Untuk huruf c, dipergunakan bilangan bulat positif yang menyatakan jumlah
pelayanan paralel. Untuk huruf d dan e dipergunakan kode N atau menyatakan
jumlah terbatas atau tak berhingga satuan- satuan dalam sistem antrian dan populasi
masukan.
Misalnya, kalau kita tulis model (M/M/1) : FIFO//∞/∞ , ini berarti bahwa
model menyatakan kedatangan distribusikan secara Poisson, waktu pelayanan
distribusikan secara eksponensial, pelayanan adalah satu atau seorang, disiplin
antrian adalah first-in first-out, tidak berhingga jumlah langganan boleh masuk
dalam sistem antrian, ukuran (besarnya) populasi masukan adalah tak berhingga
(Siagian, 1987).
Model-model antrian secara umum antara lain adalah sebagai berikut:
1. Model (M /M/1/GD/∞/∞).
Syarat-syarat dari model ini antara lain:
a. Jumlah kedatangan setiap satuan waktu mengikuti distribusi poisson.
b. Waktu pelayanan berdistribusi ekponensial.
c. Disiplin antrian yang digunakan adalah FCFS.
d. Sumber populasi tidak terbatas.
e. Jalur antriannya tunggal.
f. Tingkat kedatangan rata-rata lebih kecil dari pada rata-rata pelayanan.
Universitas Sumatera Utara
g. Panjang antrian tidak terbatas.
2. Model (M/M/c/GD/∞/∞).
Pada model ini fasilitas pelayanan (server) bersifat ganda, rata-rata tingkat
kedatangan lebih kecil dari pada penjumlahan seluruh rata-rata tingkat pelayanan
di semua jalur.syarat yang lain sama dengan model server tunggal.
3. Model (M/M/1/GD/N/∞).
Model ini merupakan variasi dari model yang pertama, dimana panjang antrian
atau kapasitas tunggu dibatasi maksimum N individu. Jumlah maksimum ini
meliputi individu yang menunggu dan yang sedang dilayani.
4. Model (M/M/1/GD/∞/N).
Model ini hampir sama dengan model yang pertama hanya saja sumberpopulasi
dibatasi sebanyak N.
Selain model-model umum di atas, terdapat beberapa model antrian lain,
diantaranya:
1. Model (M/G/1/GD/∞/∞)
Model (M/G/1/GD/∞/∞) atau disebut juga dengan formula Pollazck –
Khintchine sering disingkat dengan (P-K) adalah suatu formula dimana akan
diperoleh pada situasi pelayanan tunggal yang memenuhi tiga asumsi berikut
(Kakiay, 2004):
a. Kedatangan Poisson dengan rata-rata kedatangan .
b. Distribusi waktu pelayanan umum atau general dengan Rata-rata ratarata pelayanan
� =
dan varian var (t).
c. Keadaan steady state dimana �
dimana:
λ
�
<
= Tingkat kedatangan rata-rata pelanggan
= Tingkat pelayanan rata-rata pelanggan
c = Jumlah fasilitas pelayanan
ρ = Tingkat kesibukan sistem
Universitas Sumatera Utara
27
2. Model (M/G/c/GD/∞/∞)
Model antrian (M/G/c/GD/∞/∞) adalah model antrian dengan jumlah failitas
pelayanan lebih dari satu atatu ganda, distribusi kedatangan Poisson dan
distribusi pelayannan general/umum.
3. Model (G/G/c/GD/∞/∞)
Model antrian (G/G/c/GD/∞/∞) adalah model antrian dengan pola kedatangan
berdistribusi general atau umum dan pola pelayanan juga berdistribusi general
atau umum dengan jumlah fasilitas pelayanan sebanyak c pelayanan. Disiplin
antrian yang digunakan pada model ini adalah umum yaitu FCFS (First Come
First Served), kapasitas maksimum dalam sistem adalah tak terbatas yang
memiliki sumber pemanggilan juga tak terbatas.
Ukuran kinerja sistem pada model general ini mengikuti ukuran kinerja
pada model M/M/c, yaitu sebagai berikut:
1. Probabilitas fasilitas pelayanan menganggur (P0) adalah:
�
[ ∑�−
�=
�!
�
]+
�
(2.1)
�!( − )
�
2. Rata-rata jumlah pelanggan yang menunggu (Lq) dalam antrian adalah:
Lq M/M/C=
�
�
�− ! � −
(2.2)
Akan tetapi, untuk perhitungan rata-rata jumlah pelanggan yang menunggu
dalam antrian untuk model ini adalah sebagai berikut (Sugito dan Marissa,
2009):
Lq = Lq M/M/C
+
′
(2.3)
Dengan
� � =
� �′ =
(2.4)
(2.5)
3. Rata-rata jumlah pelanggan yang menunggu dalam sistem (Ls) adalah:
Universitas Sumatera Utara
� = �� +
(2.6)
4. Rata-rata waktu pelanggan menunggu dalam antrian (Wq) adalah:
�
=
�
(2.7)
5. Rata-rata waktu pelanggan menunggu dalam sistem (Ws) adalah:
=
�
+
(2.8)
6. Probabilitas pelanggan harus menunggu untuk dilayani (Pw) adalah:
� =
�
�
�![ −
�
]
(2.9)
2.10 Pola Kedatangan Dan Pola Pelayanan
2.10.1 Pola Kedatangan
Pola kedatangan para pelanggan biasanya diperhitungkan melalui waktu antar
kedatangan, yaitu waktu antara kedatangan dua pelanggan yang berurutan pada
suatu fasilitas pelayanan. Bentuk ini dapat bergantung pada jumlah pelanggan yang
berada dalam sistem ataupun tidak bergantung pada keadaan sistem tersebut.
Bila pola kedatangan ini tidak disebut secara khusus, maka dianggap bahwa
pelanggan tiba satu per satu. Asumsinya adalah kedatangan pelanggan mengikuti
suatu proses dengan distribusi probabilitas tertentu. Distribusi probabilitas yang
sering digunakan adalah distribusi Poisson, di mana kedatangan bersifat bebas,
tidak terpengaruh oleh kedatangan sebelum ataupun sesudahnya. Asumsi distribusi
Poisson menunjukkan bahwa kedatangan pelanggan sifatnya acak dan mempunyai
rata-rata kedatangan sebesar (Kakiay, 2004).
Dalam proses ini, distribusi probabilitas Poisson menyediakan deskripsi
yang cukup baik untuk suatu pola kedatangan. Suatu fungsi probabilitas Poisson
untuk suatu kedatangan x pada suatu periode waktu tertentu adalah sebagai berikut
(Taylor, 2001):
Dimana:
� � =
�−
�!
x = jumlah kedatangan per periode waktu
Universitas Sumatera Utara
29
= rata-rata jumlah kedatangan per periode waktu
e = 2,71828
X! = faktorial dari suatu nilai x, yaitu x! = x(x-1)(x-2)…(2)(1)
2.10.2 Pola Pelayanan
Pola pelayanan ditentukan oleh waktu pelayanan, yaitu waktu yang dibutuhkan
untuk melayani pelanggan pada fasilitas pelayanan. Pelayanan dapat dilakukan
dengan satu atau lebih fasilitas pelayanan yang masing-masing dapat mempunyai
satu atau lebih saluran atau tempat pelayanan (server).
Pada suatu fasilitas pelayanan, pelanggan akan masuk dalam suatu tempat
pelayanan dan menerima pelayanan secara tuntas dari server. Bila tidak disebutkan
secara khusus, maka pada bentuk pelayanan ini dianggap bahwa satu pelayanan
dapat melayani secara tuntas satu pelanggan (Kakiay, 2004).
Waktu pelayanan antara fasilitas pelayanan yang satu dengan fasilitas
pelayanan yang lain biasanya tidak konstan. Proses pelayanan pada umumnya
menggunakan distribusi probabilitas tertentu. Distribusi probabilitas untuk waktu
layanan biasanya mengikuti distribusi probabilitas eksponensial yang formulanya
dapat memberikan informasi yang berguna mengenai operasi yang terjadi pada
suatu antrian. Persamaan distribusi eksponensial adalah sebagai berikut:
Dimana:
�� =
�−
.
x = xi (nilai tengah)
= rata-rata waktu pelayanan
e = 2,71828
2.11 Uji Distribusi
Uji kesesuaian distribusi dilakukan dengan uji Chi Square (X2) yang didefinisikan
sebagai berikut:
H0 = data yang diuji mengikuti distribusi
H1 = data yang diuji tidak mengikuti distribusi
Universitas Sumatera Utara
Statistik tes didefinisikan sebagai berikut:
ℎ�
�
= ∑��=
� −��
��
(2.10)
Dimana:
Oi = frekuensi observasi ke-i
Ei = frekueensi Rata-rata ke-i
Dalam uji Chi Square, data observasi mengikuti distribusi saat x2hitung ≤ X2tabel
Perlakuan terhadap input data yang bersifat acak untuk program simulasi
dapat dilakukan sebagai berikut (Conover, 1971)
1. Nilai-nilai data tersebut digunakan secara langsung dalam simulasi. Sebagai
contoh, jika data menggambarkan waktu pelayanan, maka salah satu data
digunakan jika sebuah waktu pelayanan diperlukan dalam sebuah simulasi.
Hal ini disebut trace-driven simulation.
2. Nilai data-data tersebut digunakan untuk mendefinisikan sebuah fungsi
distribusi umum dengan cara tertentu. Jika diperlukan dalam sebuah
simulasi, sampel diambil dari distribusi ini.
3. Data dicocokkan terhadap bentuk teoritis distribusi tertentu, misal
eksponensial atau poisson, dengan menampilkan hipotesis tes untuk
menentukan kecocokan tersebut (the goodness of fit). Pencocokan ini
menghasilakan sejumlah parameter statistika. Saat dilakukan simulasi,
sampel diambil dari jenis distribusi teoritis dan nilai-nilai parameter yang
cocok.
2.12 Simulasi
Model matematika merupakan model yang saat ini sangat berkembang. Sesuai
dengan prosedur yang digunakan untuk menyelesaikan model matematika, maka
terdapat dua jenis penelitian operasional ilmu pengetahuan manajemen, yaitu model
analitik dan model simulasi. Beberapa contoh model analitik diantaranya adalah
model pengambilan keputusan, model jaringan kerja, model persediaan, model
transportasi, dan masih banyak lagi. Akan tetapi, model simulasi ternyata lebih
banyak digunakan karena lebih luwes dan menyeluruh.
Universitas Sumatera Utara
31
Pengertian umum mengenai simulasi ialah suatu metodologi untuk
melaksanakan percobaan dengan menggunakan model dari satu sistem nyata.
Sedangkan ide dasarnya ialah menggunakan beberapa perangkat untuk meniru
sistem nyata guna mempelajari dan memahami sifat-sifat, tingkah laku (perangai),
dan karakter operasinya. Oleh karena itu, simulasi terutama sekali berkenaan
dengan percobaan untuk menaksir tingkah laku dari sistem nyata untuk maksud
perancangan sistem atau pengubahan tingkah laku sistem (Siagian, 1987).
Model analitik sangat kuat dan berguna bagi kehidupan sehari-hari, akan
tetapi terdapat beberapa keterbatasan antara lain yaitu:
1. Model analitik tidak mampu menggambarkan suatu sistem pada masa lalu
dan masa mendatang melalui pembagian waktu. Model analitik hanya
memberikan penyelesaian secara menyeluruh, suatu jawab yang mungkin
tunggal dan optimal tetapi tidak menggambarkan suatu prosedur
operasional untuk masa lebih singkat dari masa perencanaan. Misalnya,
penyelesaian persoalan program linier dengan masa perencanaan satu tahun,
tidak menggambarkan prosedur operasional untuk masa bulan demi bulan,
minggu demi minggu, atau hari demi hari.
2. Model matematika yang konvensional sering tidak mampu menyajikan
sistem nyata yang lebih besar dan rumit (kompleks). Sehingga sukar untuk
membangun model analitik untuk sistem nyata yang demikian.
3. Model analitik terbatas pemakaiannya dalam hal–hal yang tidak pasti dan
aspek dinamis (faktor waktu) dari persoalan manajemen.
Berdasarkan hal di atas, maka konsep simulasi dan penggunaan model
simulasi merupakan solusi terhadap ketidakmampuan dari model analitik.
Beberapa kelebihan simulasi adalah sebagai berikut:
1. Simulasi dapat memberi solusi bila model analitik gagal melakukannya.
2. Model simulasi lebih realistis terhadap sistem nyata karena memerlukan
asumsi yang lebih sedikit. Misalnya, tenggang waktu dalam model
persediaan tidak perlu harus deterministik.
Universitas Sumatera Utara
3. Perubahan konfigurasi dan struktur dapat dilaksanakan lebih mudah untuk
menjawab pertanyaanμ what happen if… Misalnya, banyak aturan dapat
dicoba untuk mengubah jumlah langganan dalam sistem antrian.
4. Dalam banyak hal, simulasi lebih murah dari percobaannya sendiri.
5. Simulasi dapat digunakan untuk maksud pendidikan.
6. Untuk sejumlah proses dimensi, simulasi memberikan penyelidikan yang
langsung dan terperinci dalam periode waktu khusus.
Meskipun memiliki beberapa keunggulan dibandingkan model analitik, tetapi
model simulasi juga memiliki beberapa kekurangan, diantaranya sebagai berikut:
1. Simulasi bukanlah presisi dan juga bukan suatu proses optimisasi. Simulasi
tidak menghasilkan solusi, tetapi ia menghasilkan cara untuk menilai solusi
termasuk solusi optimal.
2. Model simulasi yang baik dan efektif sangat mahal dan membutuhkan
waktu yang lama dibandingkan dengan model analitik.
3. Tidak semua situasi dapat dinilai melalui simulasi kecuali situasi yang
memuat ketidakpastian.
Model simulasi lebih jauh dapat diklasifikasikan ke dalam beberapa bentuk,
yaitu sebagai model simulasi statik atau dinamik, model simulasi deterministik atau
stokastik, dan model simulasi diskrit atau kontinu.
1. Model simulasi statik dikenal juga dengan nama Simulasi Monte Carlo yang
merepresentasikan sebuah sistem pada suatu waktu tertentu. Sebagai
contoh, ingin disimulasikan jumlah pelanggan yang membeli suatu produk
di sebuah toko berdasarkan data historis, kemudian dibangkitkan bilangan
random untuk menunjukkan jumlah pelanggan yang dibangkitkan sesuai
posisi interval distribusinya. Model simulasi dinamik adalah representasi
sistem sepanjang pergantian waktu ke waktu, contohnya adalah simulasi
pelayanan pada sebuah bank dalam rentang jam kerja tertentu.
2. Model simulasi deterministik adalah model simulasi yang tidak
mengandung komponen yang sifatnya probabilistik (random) dan output
telah dapat ditentukan ketika sejumlah input dalam hubungan tertentu
Universitas Sumatera Utara
33
dimasukkan. Sebagai contoh simulasi ini adalah simulasi kedatangan pasien
seorang dokter praktek yang telah diatur jadwal pelayanannya. Model
simulasi stokastik adalah model simulasi yang memiliki satu atau beberapa
input berupa variabel random dan akan menghasilkan output yang random
pula. Simulasi layanan teller bank adalah salah satu contoh model simulasi
stokastik.
3. Model simulasi diskrit adalah model simulasi yang status variabelnya
berubah secara diskrit pada satu waktu tertentu. Contohnya, simulasi
antrian, dimana jumlah pelanggan yang menunggu/antri berubah secara
diskrit dari waktu ke waktu. Model simulasi kontinu adalah model simulasi
yang status variabel berubah secara kontinu dari waktu ke waktu. Simulasi
permukaan air bendungan adalah contoh simulasi kontinu.
2.13 Simulasi Monte Carlo
Penggunanaan variabel random dalam simulasi dinyatakan dalam distribusi
probabilitas, sehingga sebagian besar model simulasi adalah model probabilistik.
Arti istilah Monte Carlo sering dianggap sama dengan simulasi probabilistik,
namun Monte Carlo sampling secara lebih tegas berarti teknik memilih angka
secara random dari distribusi probabilitas untuk menjalankan simulasi (Sri
Mulyono, 2002).
Simulasi Monte Carlo merupakan suatu pendekatan untuk membentuk
kembali distribusi peluang yang didasarkan pada pilihan atau pengadaan bilangan
acak (random). Ada beberapa cara untuk menghasilkan bilangan acak dari Monte
Carlo merupakan cara yang paling baik terutama untuk suatu distribusi diskrit (P.
Siagian, 1987).
Simulasi Monte Carlo adalah tipe simulasi probabilistik untuk mencari
penyelesaian masalah dengan sampling dari proses random. Simulasi Monte Carlo
mengizinkan manajer untuk menentukan beberapa kebijakan yang menyangkut
kondisi organisasi. Metode simulasi Monte Carlo merupakan sebuah teknik
simulasi yang menggunakan unsur acak di saat terdapat peluang. Dasar simulasi
Monte Carlo adalah percobaan pada unsur peluang (bersifat probabilistik) dengan
menggunakan pengambilan sampel secara acak (Saiful et al, 2013).
Universitas Sumatera Utara
Xu (2012) menggunakan metode Monte Carlo untuk melakukan simulasi
antrian pada bank, lalu memanfaatkan hasil simulasi tersebut untuk mengevaluasi
kinerja dari model M/M/c/;. Hasil penelitian tersebut menunjukkan bahwa metode
Monte Carlo dapat menyelesaikan model antrian M/M/c/; lebih akurat dan efektif.
Penerapan metode Monte Carlo pada pelayanan teller bank dengan
kedatangan berdistribusi Poisson dan pelayanan berdistribusi Eksponensial juga
dilakukan oleh Magdalena (2011).
Pada penelitian ini, penulis akan membahas mengenai simulasi dengan
metode Monte Carlo pada pelayanan Penerimaan Pasien BPJS Poliklinik Rumah
Sakit Umum Pusat Haji Adam Malik Medan.
Teknik simulasi Monte Carlo terbagi atas lima langkah sederhana yaitu
sebagai berikut:
1. Menetapkan sebuah distribusi probabilitas bagi variabel penting. Ide dasar
simulasi Monte Carlo adalah untuk membangkitkan nilai untuk variabel
pada model yang sedang diuji. Dalam sistem dunia nyata, sebagian besar
variabel memiliki probabilitas alami. Diantaranya adalah: permintaan
persediaan, waktu tenggang pesanan untuk tiba, waktu diantara mesin rusak,
waktu diantara kedatangan pelanggan pada suatu fasilitas pelayanan, waktu
pelayanan, waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan aktivitas proyek,
dan jumlah karyawan yang tidak hadir setiap hari. Sebuah cara untuk
menetapkan distribusi probabilitas bagi variabel tertentu adalah dengan
menguji hasil histories. Distribusi probabilitas dapat ditemukan, atau
frekuensi relatif, untuk setiap output variabel yang mungkin dengan cara
membagi jumlah pengamatan dengan jumlah pengamatan total.
2. Membuat distribusi probabilitas kumulatif bagi setiap variabel. Untuk
mengubah distribusi probabilitas biasa menjadi sebuah distribusi
probabilitas kumulatif (cumulative probability distribution) merupakan
pekerjaan yang mudah.
3. Menetapkan sebuah interval angka acak bagi setiap variabel. Setelah
distribusi probabilitas kumulatif bagi setiap variabel yang digunakan dalam
simulasi sudah diterapkan, maka diberikan serangkaian angka yang
mewakili setiap nilai atau output yang mungkin. Angka ini disebut sebagai
Universitas Sumatera Utara
35
interval angka acak (random-number interval). Pada dasarnya, angka acak
(random number) merupakan serangkaian digit yang telah terpilih oleh
sebuah proses yang teracak secara sempurna, yakni sebuah proses di mana
setiap angka acak memiliki peluang yang sama untuk bisa terpilih.
4. Membangkitkan angka acak. Angka acak dapat dihasilkan dengan dua cara.
Jika persoalan yang dihadapi besar dan proses yang sedang diteliti
melibatkan banyak percobaan simulasi, maka digunakan program komputer
untuk membangkitkan angka acak. Jika simulasi dilakukan dengan
perhitungan tangan, angka acak dapat diambil dari sebuah tabel angka acak.
5. Mensimulasikan serangkaian percobaan. Hasil dari eksperimen dapat
disimulasikan secara sederhana dengan memilih angka acak dari tabel angka
acak.
Universitas Sumatera Utara