BAB I PEMBAHASAN BARISAN DAN DERET - PEMBAHASAN

BAB I
PEMBAHASAN
BARISAN DAN DERET
A.BARISAN DAN DERET BILANGAN
Defenisi Barisan : mengurutkan bilangan-bilangan menurut suatu aturan tertentu disebut
barisan bilangan.
Contoh : 1,3,5,7,. . . .
1 disebut suku pertama. 5 disebut suku ketiga, dan seterusnya.
Sedangkan Deret ialah jumlahdari bilangan dalam suatu barisan.
Contoh : 1+3+5+7. . . ..
1. Pola bilangan
Bilangan 1,3,5,7, . . . . . adalah barisan bilangan dengan aturan tiap sukunya “lebih 2”
dari suku di depannya. Ada bermacam-macam cara menyusun barisan bilangan. Mulai
dari cara yang sederhana sampai pada cara yang kompleks, misalnya dengan
menggunkan noktah-noktah sebagai berikut:
1. Pola segitiga

Pola ini dinamakan pola noktah berbentuk segitiga. Dari pola ini disusun barisan
bilangan yang disebut barisan bilangan segitiga.
1=1
3=1+2

6=1+2+3

1|Page

10=1+2+3+4
15=1+2+3+4+5
2. Pola persegi

Pola ini disebut pola bilangan persegi. Dari pola ini disusun barisan bilangan sebagai
berikut:
1=1

atau

12=1

4=1+3

22=1+3

9=1+3+5

32=1+3+5

16=1+3+5+7

42=1+3+5+7

25=1+3+5+7+9

52=1+3+5+7+9

3. Pola Segitiga Pascal
Contoh lain :

Sepasang diagonal segitiga pascal itu membentuk suatu barisan bilangan dengan
aturan sebagai berikut:
1=1
1+2=3
2|Page

3+3=6
6+4=10
Urutan barisan itu adalah: 1,3,6,10,....
Suku ke n dari suatu barisan bilangan
Bila pada suatu barisan selisih/beda antara suku ke n+1 dengan suku ke n adalah b,
tetap untuk setiap n bilangan asli dan suku pertama barisan tersebut a maka barisan
berbentuk:
a, a+b, a+2b, a+3b,............... a+(n-1)b
Suku ke 1

Suku ke 2

Suku ke 3

Suku ke 4

Suku ke n

jadi suku ke n=a+(n-1)b, suku ke n suatu barisan ditulis dengan notasi Un. Jadi, pada

barisan diatas Un=a+(n-1)b. Barisan seperti ini disebut barisan Aritmatika.
Contoh:
Barisan aritmatika : 2,5,8,11, .............,n
Berapa suku ke n barisan tersebut adalah 59.
Selain barisan aritmatika dikenal juga barisan aritmatika dikenal juga barisan geometri
yang berbentuk:
a,ar,ar2,ar3,......., arn-1 suku ke n barisan geometri ; Un = arn-1
cari suku ke n, bila n = 11 ?
jawab :
pada barisan ini a = 1 dan r = 2 sehingga
U11=ar10=1024. R pada barisan geometri ; bisa dicari dengan rumus
r=

U n−1
U n disebut ration barisan geometri.

3|Page

Barisan bilangan
Jenis-jenis barisan bilangan:

1. Barisan bilangan genap
Barisan : 2,4,6,8, ....
Deret : 2+4+6+8,....
Rumus suku ke-n: Un= 2n
Jumlah n suku pertama : Sn = n2+n
2. Barisan bilangan ganjil
Barisan : 1,3,5,7,9,....
Deret : 1+3+5+7+9....
Rumus suku ke-n :Un = 2n-1
Jumlah n suku pertama : Sn=n2
3. Barisan bilangan persegi (kuadrat)
Barisan : 1,4,9,16,25,36,....
Deret : 1+4+9+25+36.....
Rumus suku ke-n : Un =n2
Jumlah n suku pertama : Sn = 1/6 n (n+1) (2n+1)
4. Barisan bilangan kubus (kubik)
Barisan : 1,8,27,64,125,216, ....
Deret : 1+8+27+64+125+216....
Rumus suku ke-n : Un = n3
Jumlah n suku pertama : Sn = ¼ n2(n+1)2

5. Barisan bilangan persegi panjang
Barisan : 1,3,6,10,15,21, ....
Deret : 1+3+6+10+15+21.....
Rumus suku ke-n : Un = ½ n(n+1)
Jumlah n suku pertama : Sn – 1/6 n (n+1) (n+2)
6. Barisan bilangan persegi panjang
Barisan : 2,6,12,20,30,42,....
Deret : 2+6+12+20+30+42....
Rumus suku ke-n : Un =n (n+1)
Jumlah n suku pertama : Sn = 1/3 n (n+1) (n+2)
7. Barisan bilangan balok
4|Page

Barisan : 6,24,60,120, ...
Deret : 6+24+60+120 ....
Rumus suku ke-n : Un = n (n+1) (n+2)
Jumlah n suku pertama : Sn = ¼ n (n+1) (n+2) (n+3)
8. Barisan bilangan fibonacci
Barisan bilangan fibonacci adalah barisan yang nilai sukunya sama dengan jumlah
dua suku di depannya.

Barisan : 1,1,2,3,5,8,13,21,34, ....
Deret : 1+1+2+3+5+8+13+21+34 ...
Rumus suku ke-n : Un = Un – 1 +Un-2

B.Barisan dan deret aritmatika
1. Barisan Aritmatika atau Barisan Hitung
Barisan aritmatika adalah barisan bilangan yang tiap sukunya diperoleh dari suku
sebelumnya dengan cara menambah atau mengurangi dengan suatu bilangan tetap.
Perhatikan barisan U1, U2 ,U3,…,Un1,Un. dari defenisi diatas dapat, diperoleh
hubungan sebagai berikut:
U1 = a
U2 = U1 + b = a + b
U3 = U2 + b = a + b + b
Un = Un1 + b = a + (n2)b + b = a + (n1)b
Un = a + (n1)b dengan n = 1, 2, 3,…
Bilangan b adalah suatu bilangan tetap yang sering disebut dengan beda. Penentuan
rumus beda dapat diuraikan sebagai berikut:
U2 = U1 + b  b = U2 U1
U3 = U2 + b  b = U3 U2
Un = Un1 + b  b = Un Un1

b = Un Un1, dengan n = 1,2,3,…
Dengan melihat nilai b, kita dapat menentukan barisan aritmatika itu naik atau turun
Bila b  0 maka barisan aritmatika itu naik.
Bila b< 0 maka barisan aritmatika itu turun.
5|Page

Contoh :
Tentukanlah suku kesepuluh ( U10) dari barisan aritmatika berikut ini dan tulis jenis
barisan aritmatika tersebut.
a. 1, 3, 5, 7,…
b. 4, 2, 0, -2,…
Jawab:
Gunakan rumus beda untuk menentukan suku kesepuluh ( U10) dan masing-masing
barisan aritmatika.
a. Barisan 1, 3, 5, 7,…
Berdasarkan rumus Un = U1 + (n1)b diperoleh:
1

3

5

7

U1 = 1

U2 = 3

U3 = 5

U4 = 7

b = U2  U1 = 2

b = U3  U2 = 5

U4 = 7

beda = b = 2  0, barisan aritmatikanya merupakan barisan naik.
U10 = U1 + (101)b  U10 = 1 + 9.2 = 19

Jadi, suku kesepuluh dari barisan tersebut adalah 19.
b. Barisan 4, 2, 0, -2,…
4
U1 = 4

2

0

-2

U2 = 2

U3 = 0

U4 = -2

b = U2  U1 = -2

b = U3  U2 = 2

b = U4  U3 = -2

karena b = -2 < 0, maka barisan aritmatika merupakan barisan turun.
Berdasarkan rumus Un = U1 + (n  1)b diperoleh:
U10 = U1 + (n  1)b  U10 = 4+ 9. (-2) = -14
Jadi, suku ke sepuluh dari barisan tersebut adalah -14
Contoh :
6|Page

Apabila suku kedelapan barisan aritmatika adalah 100 dan suku pertamanya 23, maka
tentukan beda dari barisan aritmatika tersebut.
Jawab:
Perhatikan rumus Un = U1 + (n  1)b, maka b =

U nU 1
n1

Dari soal kita ketahui U8 = 100, U1 = 23, n = 8, maka:
b=

100−23 77
8−1 = 7 = 11

jadi, beda aritmatika itu adalah 11.
Suku Tengah pada Barisan Aritmatika
Jika suatu barisan aritmatika berjumlah ganjil, maka diantara barisan tersebut ada
suku tengahnya. Rumus
Ut = ½ (U1 + Un )
Sisipan dalam Barisan Aritmatika
Jika ada dua buah bilangan m dan n, kemudian sisipkan diantara dua bilangan tersebut
bilangan sebanyak k buah, maka diperoleh bentuk :
m, m+b, m+2b, m+3b, m+4b, . . . , n

2. Deret Aritmatika atau Deret Hitung
Deret Aritmatika adalah jumlah yang ditunjuk oleh suku-suku dari suatu barisan
bilangan.
Bentuk umum
Sn = U1 + U2 + U3 + U4 +… + Un menyatakan deret ke –n
Dengan U1 = a dan Un = a + (n-1)b dapat ditulis sebagai:
7|Page

Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + … + [ a + (n-1)b]
Sn = [a + (n-1)b] + [a + (n-2)b] + [a + (n-3)b] + … + a
+
2 Sn = [2a + (n-1)b] + [2a + (n-1)b] + [2a + (n-1)b] + … + [2a + (n-1)b]
Sebanyak n buah
2 Sn = n . [2a + (n-1)b]
n
 Sn = 2 [2a + (n-1)b]
Karena Un = U1 + (n  1)b maka 2a + (n-1)b = a + (a + (n  1)b) atau 2a + (n-1)b = a +
n
Un. hal ini berarti formula Sn dapat ditulis pula dengan Sn = 2 (a + Un)
Contoh :
Tentukan jumlah 5 suku pertama, jika suku kelima adalah 240 dan suku pertama
adalah 20.
Jawab:
U1 = 20; U5 = 240; n = 5, maka:
1
S5 = 2 ×5 × ( 240+20 ) =5× 130=650
Contoh :
a. Deret dari barisan 3, 5, 7, … , (2n – 1) adalah
Sn = 3 + 5 + 7+ … + (2n – 1) maka,
S1 = 3

S2 = 3 + 5 = 8

S3 = 3 + 5 + 7 = 15

b. Deret dari barisan 1 + 2 + 4 + … + 2n – 1 adalah
Sn = 1 + 2 + 4 + … + 2n – 1 maka,
S1 = 1

S2 = 1 + 2 = 3

S3 = 1+ 2 + 4 = 7

Contoh :

8|Page

Hitunglah jumlah bilangan bulat antara 4 dan 99 yang habis dibagi 5.
Jawab:
Deret bilangan antara 4 dan 99 yang habis dibagi 5 adalah
5 + 10 + … + 95 maka, U1 = 5; U2 = 10; b = 10  5 = 5; Un = 95
Un = U1 + (n  1)b  Un = 5 + (n  1)5
95 = 5 + 5n  5  5n = 95 maka n = 19
1
S19 = 2 ×19 × ( 5+95 ) =19× 50=95

C.Barisan dan deret geometri
a. Barisan geometri
Perhatikan contoh – contoh barisan geometri adalah :
a. 2, 6, 18, 54, .....
b. 5, -10, 20, -40, ......
c. 27, 9, 3, 1, ......
Secara umum dapat dikatakan bahwa barisan : u1,u2 , u3 , u 4 , ........ un merupakan
barisan geometri jika :
u1 u3 u4
un
=
=
=
.....
=
u1 u2 u3
un−1 = konstanta
Konstanta tersebut dinamakan rasio (r). Pada contoh barisan tersebut,
6 18 54
a) rasio = 2 = 6 = 18 = .... = 3
−10
20
−40
b) rasio = 5 = −10 = 10 = ..... = -2
rumus umum suku ke-n barisan geometri dengan suku pertama a dan rasio r
dapat ditentukan sebagai berikut.

9|Page

u1 = a
u2 = ar
u3 = ar 2
un = ar n−1

Contoh :
1
1. Tentukan banyak suku dalam barisan geometri 81, 27, 9, ....., 81
Jawab :
Untuk menentukan banyak suku dalam suatu barisan geometri, upayakan un sama
1
dengan suku terakhir un = 81
Diketahui :
1
a = 81 dan r = 3
un = 1
81
1
ar n−1 = 81
81

1 n−1 1
= 81
3

1 n−1 = 1
81.81
3
1 n−1 = 1 = 1 8
3
38 3
n-1 = 8 , n= 9
jadi, banyak suku deret itu adalah 9.
2. Jika x – 8, x – 4, x + 8 ialah tiga suku berurutan dalam suatu barisan geometri,
tentukan nilai x.
Jawab :
Gunakan konsep rasio untuk menyelesaikan soal ini.
u2 u3
u1 = u2
x−4 x +8
x−8 = x−4

¿ = ( x – 8 )( x + 8 )
10 | P a g e

x 2−8 x +16= x 2 – 64
8x = 80
x = 10
Suku Tengah pada Barisan Geometri
Suku tengah dari suatu barisan geometri yang memiliki banyak suku ganjil, dapat
ditentukan melalui deskriptif berikut ini.
1. U1 , U2 , U3 , U4 , U5 , U6 , U7 ; banyak suku = 7 dan suku tengahnya adalah
U4. Suku tengah U4 = ar3 = √ a2 . r 6 =√ a . ar 6 = √ U 1 .U 7
Jadi, suku tengahnya adalah U4 = √ U 1 .U 7
2. U1, . . . ,Uk , . . . . , U2k-1 ; banyak suku = (2k-1) dan suku tengahnya adalah Uk
Suku tengah Uk = ark-1 = √ a2 r 2 k−2 = √ a . ar 2 k−2 = √ U 1 U 2 K−1
Jadi, suku tengahnya adalah Uk = √ U 1 U 2 K−1
Berdasarkan deskripsi diatas, suku tengah dari suatu barisan geometri dapat
ditentukan sebagai berikut:
Rumus suku tengah pada barisan geometri
Suatu barisan geometri dengan banyak suku adalah ganjil (2k-1), dengan k ϵ
bilangan asli lebih dari dua. Suku tengah barisan geometri itu adalah suku ke-k
atau Uk dan rumus sku tengah Uk ditentukan oleh hubungan :
Uk = √ U 1 U 2 K−1
Sisipan pada Barisan Geometri
Rumus sisipan pada barisan geometri
Diantara dua bilangan x dan y disisipkan sebanyak k buah bilangan sehingga
bilangan-bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan membentuk
barisan geometri. Nilai rasio barisan geometri yang ditetapkan dengan menggunakan
hubungan

√ xy

r = k+ 1

Dengan x dan y bilangan real (x ≠ y) dan k ϵ bilangan asli.
b. Deret geometri
Seperti halnya pada deret aritmatika, jika kita memiliki suatu barisan geometri
maka dapat dibentuk suatu deret yang merupakan penjumlahan berurut dari sukusuku barisan tersebut, yang disebut deret geometri.
Secara umum dapat dinyatakan bahwa :
c.
Jika U1,U2,U3,....,Un merupakan suku-suku dari suatu barisan geometri maka U1 + U2 +
d.
U3 +.......+ Un disebut deret geometri,
e.
f. Un = ar n-1
Dengan
11 | P a g e

Jika Sn merupakan jumlah n suku pertama dari deret geometri, maka
rumus untuk Sn dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :
Sn = U1 + U2 + U3 + U4 +....+Un,maka
Sn = a + ar + ar2 +.....+ arn-2 + arn-1
Kalikan Sn dengan r
rSn = ar + ar2 +ar3 + ..... + ar n-1 + arn
kurangkan rSn terhadap Sn
Sn = a + ar + ar2 +..... + arn-2 + arn-1
rSn = ar + ar2 + ......+arn-2 + arn-1 +arn Sn – rSn = a - arn
Sn ( 1 - r ) = a ( 1- rn )
Sn = a ( 1 – rn )
1- r
Jadi rumus umum jumlah n suku pertama deret geometri adalah :
a ( 1−r n )
a ( r n−1 )
Sn =
; untuk r < 1 atau Sn =
; untuk r>1.
1−r
r −1

Soal dan pembahasan :
1.hitunglah jumlah 7 suku pertama deret geometri
1 1
-2 + 1 - 2 + 4 -......
Jawab:
a = -2, r = -1/2, dan n = 7
a(1−r n )
oleh karena r = -1/2 < 1, maka gunakan rumus Sn =
1−r
−1 7
1
129
−2(1+ 128 )
1− 2
−4 128
S7 = −2
=
=
3
−1
3
1− 2
2

[ ]
( )
( )

( 129 )

1

−43

S7 = -4 128 . 3 = 32

2.carilah jumlah deret geometri 5 + 1 + 1/5 +..... hingga suku kelima.
Jawab :
1
a = 5 , n=5 r = 5
15
5
1−
5
a ( 1−r ) →
S5=
S5 =
1−r
1
1− 5
n

( ( )) = 781
125 = 6,248
12 | P a g e

D.Deret geometri tak hingga
Jika banyak suku-suku penjumlahan deret geometri itu bertambah terus mendekati tak
hingga, maka deret geometri semacam ini dinamakan sebagai deret geometri tak hingga.
Deret geometri tak hingga di tulis sebagai berikut.
u1 +u2 +u3 +…+ un +…=a+ar + ar 2+ …+ar n−1 + …
Sn ,
Jumlah dari deret geometri tak hingga dilambangkan dengan S dan S = nlim
→∞
dikatakan S diperoleh dari Sn dengan proses limit n mendekati tak hingga. Selanjutnya nilai
S = lim S n di tentukan dengan menggunakan teorema limit sebagai berikut.
n→∞

n
lim S n=¿ lim a(1−r )
n→∞
1−r
n→∞

a
a
lim S n=lim 1−r −lim 1−r r n
n→∞
n→∞
n→∞
a
a
lim S n= 1−r − 1−r lim r n

n→∞

n→∞

S n ditentukan oleh ada atau
Berdasarkan persamaan yang terakhir itu jelas bahwa nlim
→∞
r n.
tidaknya nilai nlim
→∞
Berdasarkan uraian di atas, ciri deret geometri tak hingga dapat ditetapkan dengan
menggunakan sifat sebagai berikut.
Sifat deret geometri tak hingga :
Deret gemetri tak hingga a+ ar +ar 2 +…+ ar n−1 +… dikatakan
1. Mempunyai limit jumlah atau konvergen, jika hanya jika |r|< 1.
a
Limit jumlah itu ditentukan oleh S= 1−r
2. Tidak mempunyai limit jumlah atau divergen, jika dan hanyajika|r|> 1 .
Contoh:
Suku pertama suatu deret geometri 24 lebihnya dari suku kedua, dan jumlah
tak hingga bagi deret geometri itu ialah 54. Tentukan rasio deret geometri
tersebut.
Jawab:
U1 = U2 +24 atau U1 –U2=24
↔ a – ar = 24
↔ a(1-r) =24

13 | P a g e

a

Diketahui, S∞ = 54 ↔ 1−r = 54
Dari pernyataan 1 / 2 diperoleh :

↔ ( 1−r )2 =

a ( 1−r )
24
a
= 54
1−r

4
9

↔1 – 2r + r2 =

4
9

↔ 9r2 -18r + 9 = 4
↔ 9r2 -18r + 5 = 0
( 3 r−5 ) ( 3 r−1 ) = 0

r=

5
1
3 atau r = 3

kare na S ∞ hanya berlaku untuk -1 < r < 1, maka nilai r yang memenuhi ialah :
1

r= 3

14 | P a g e