TELAAH MATERI GEOMETRI TRANSFORMASI SMA

JUDUL :
TELAAH MATERI GEOMETRI TRANSFORMASI
DI SEKOLAH MENENGAH ATAS (SMA)

GEOMETRI TRANSFORMASI (MAT-475 / 2-1
SKS)
Dosen Pengampu : Della Maulidiya, S.Si, M.Kom

Oleh:

KELOMPOK 4
Okti Anggun Pasesi (NPM .A1C013008)
Resi Angraini (NPM. A1C013026)
Aisyah Efrialinda (NPM. A1C013036)
Meli Dwijayanti (NPM. A1C013040)
Adikasuma (NPM. A1C013070)

Semester : V B

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU

PENGETAHUAN ALAM
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
UNIVERSITAS BENGKULU
Jln. WR. Supratman Kandang Limun Telp. (0736) 21170 Kota Bengkulu
i

(TANGGAL PENGUMPULAN TUGAS : 09 September 2015)

i

DAFTAR ISI
Halaman

HALAMAN JUDUL .................................................................................. i
DAFTAR ISI ............................................................................................. ii
BAB

I

:

TELAAH

MATERI

GEOMETRI

TRANSFORMASI

MENURUT

KURIKULUM 2006
A. Kelas / Semester........................................................................
B. Standar Kompetensi..................................................................
C. Kompetensi Dasar......................................................................
D.Indikator Pencapaian.................................................................
E. Tujuan Pembelajaran.................................................................
F. Ringkasan Materi.......................................................................
G.Contoh Soal dan Penyelesaian...................................................
BAB

II

:

TELAAH

MATERI

GEOMETRI

TRANSFORMASI

1
1
1
1
1
1
6

MENURUT

KURIKULUM 2013
A. Kelas / Semester........................................................................
B. Kompetensi Inti..........................................................................
C. Kompetensi Dasar......................................................................
D.Indikator Pencapaian.................................................................
E. Tujuan Pembelajaran.................................................................
F. Ringkasan Materi.......................................................................
G.Contoh Soal dan Penyelesaian...................................................

10
10
10
10
10
10
15

BAB III : KESIMPULAN........................................................................... 18
DAFTAR PUSTAKA.................................................................................. 19
PEMBAGIAN TUGAS KELOMPOK ......................................................... 20

i

BAB I
TELAAH MATERI GEOMETRI TRANSFORMASI
MENURUT KURIKULUM 2006
A. Kelas/Semester

: XII/1

B. Standar Kompetensi :
Menggunakan konsep transformasi dalam pemecahan masalah.
C. Kompetensi Dasar
:
o Menentukan bayangan suatu titik, garis, bidang, dan kurva yang
ditansformasikan oleh suatu jenis transformasi tertentu
o Menggunakan aturan komposisi transformasi untuk menentukan

bayangan suatu titik, garis, bidang atau kurva.
D. Indikator Pencapaian :
o Melakukan operasi berbagai jenis transformasi yaitu translasi, refleksi,
dilatasi, dan rotasi.
o Menentukan persamaan matriks dari transformasi pada bidang.
o Menentukan aturan transformasi dari komposisi beberapa transformasi.
o Menentukan persamaan matriks dari komposisi transformasi pada bidang
E. Tujuan Pembelajaran :
o Siswa mampu memahami konsep transformasi geometri
o Siswa mampu menyelesaikan permaslahan yang berkaitan dengan
transformasi geometri
F. Ringkasan Materi
:
1. Pengertian transformasi
Transformasi geometri adalah mengubah setiap koordinat titik (titik-titik
dari suatu bangun) menjadi koordinat lainnya pada suatu bidang dengan
satu aturan tertentu. Misalnya, transformasi (T) terhadap titik P(x,y)
menghasilkan bayangan P’(x’,y’), operasi tersebut dapat dinyatakan
sebagai berikut :
P ( x , y ) → P' ( x ' , y ')

2. Jenis-jenis transformasi
Transformasi pada bidang terdiri atas 4 jenis, yaitu :
a. Translasi (pergeseran)
Translasi adalah transformasi yang memindahkan setiap titik pada
bidang menurut jarak dan arah tertentu. Jarak dan arah suatu translasi
AB atau
dapat dilambangkan dengan ruas garis berarah, misalkan ⃗
suatu pasangan bilangan

(ab)

, di mana a menyatakan jarak dan arah

perpindahan secara horizontal (mendatar) dan b menyatakan jarak
i

dan arah perpindahan secara vertikal (tegak). Operasi translasi
tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut :

()

A ( x , y ) T = a A' ( x' , y ' ) = A ' (x +a , y +b)
b
→

b. Refleksi (pencerminan)
Refleksi adalah suatu transformasi yang memindahkan setiap titik pada
bidang dengan menggunakan sifat bayangan cermin dari titik-titik yang
akan dipindahkan. Ada dua macam pencerminan, antara lain :
1)Pencerminan terhadap sumbu X, sumbu Y, garis Y=X dan
garis Y=-X
Perhatikan gambar berikut ini :

 Jika P( α , b ) dicerminkan terhadap sumbu X maka bayangannya
adalah
P’( α,-b), dapat di tulis :
P’( α, b)
Mi
P’( α, - b)
 Jika P( α , b ) dicerminkan terhadap sumbu Y maka bayangannya

adalah
P’( - α, b) ,dapat di tulis
i

P’( α, b)

My

P’(- α, b)

 Jika P( α , b ) dicerminkan terhadap Titik asal O(0,0) maka
bayangannya adalah P’( - α,- b) ,dapat di tulis
P’( α, b)

Mo

P’(- α, -b)

 Jika P( α , b ) dicerminkan terhadap y = x maka bayangannya
adalah

P’( α, b) ,dapat di tulis
P’( α, b)

My=x

P’( b, a)

 Jika P( α , b ) dicerminkan terhadap y = - x maka bayangannya
adalah
P’(-b ,- α) ,dapat di tulis
P’( a, b)

My=-x

P’(-b, - a)

2)Pencerminan terhadap garis x=h dan garis y=k
Perhatikan gambar berikut ini :

 Jika P( a , b ) dicerminkan terhadap x = h maka bayangannya

adalah
P’(2h - a, b ), dapat di tulis:
P’( a, b)

M x= - h

P’( 2h - a , b)

 Jika P(α,b) dicerminkan terhadap y=k maka bayangannya adalah
P’(a,2k-b), dapat di tulis:
P’( a, b)

M x= - h

i

P’(a ,2k - b )

c. Rotasi (perputaran)
Rotasi adalah transformasi yang memindahkan suatu titik pada suatu
bidang ketitik lainnya dengan cara memutar terhadap titik pusat
tertentu. Dalam rotasi atau perputaran pada bidang datar ditentukan
oleh :
 Pusat rotasi (perputaran), pusat perputaran suatu rotasi terbagi
menjadi dua, yaitu di titik O(0,0) dan di titik A(x,y).
Bayangan dari rotasi suatu titik dibagi menjadi dua, yaitu:
1. Rotasi terhadap titik pusat O(0,0)
a. Jika P( a , b ) diputar sebesar α berlawanan jarum jam ( rotasi
positif), dengan pusat rotasi di O(0, 0), maka bayangan yang
terjadi sebagai berikut.
'
'
P ( a , b ) R ( O , α ) P '(a , b )
→

a’ = a cos α – b sin α
b’ = a cos α + b sin α
Sehingga dapat ditulis dengan :
α
a cos α−b sin α , a sin α + b cos ¿
P ( a , b ) R (O , α ) P' ( a' , b' )=P ' ¿
→

b. Jika P( a , b ) diputar sebesar α searah jarum jam ( rotasi
positif), dengan pusat rotasi di O(0, 0), maka bayangan yang
terjadi sebagai berikut.
P ( a , b ) R ( O , α ) P '(a' , b ' )
→

a’ = a cos α +b sin α
b’ = a cos α - b sin α
Sehingga dapat ditulis dengan :
α
a cos α +b sin α ,−a sin α +b cos ¿
P ( a ,b ) R ( O , α ) P' ( a' , b ' ) =P' ¿
→

2. Rotasi terhadap titik pusat A(x,y)
Jika P ( a, b) di putar sebesar α dengan pusat rotasi di A( x ,y ),
maka bayangan yang terjadi sebagai berikut.
P ( a , b ) R ( O , α ) P' ( a' ,b ' )
→

P ( a , b ) R ( O , α ) P' ( a' ,b ' )=P ’ [ ( a−x ) cos α −( b− y ) sin α + ( b− y ) cos α + y ]
→

i

 Arah rotasi, arah perputaran suatu rotasi dapat searah jarum jam
(rotasi negative) atau berlawanan arah (rotasi Positif).

 Besar sudut rotasi.
d. Dilatasi (perubahan skala)
Dilatasi adalah suatu transforamsi yang mengubah ukuran atau skala
suatu bangun geometri baik itu memperbesar atau memperkecil
bangun namun tidak mengubah bentuk bangun tersebut. Suatu dilatasi
pada bidang datar ditentukan oleh pusat dilatasi dan faktor dilatasi
(faktor skala).

Bayangan dari dilatasi suatu titik dibagi menjadi dua, yakni:
(i) Dilatasi dengan pusat di O(0,0)
Jika P(a , b) didilatasikan dengan faktor skala k dan pusat dilatasi di
O, maka bayangannya akan menjadi sebagai berikut
P’( ka,kb)
P(a , b)[O , k ] P ' (ka , kb)
→

(ii) Dilatasi dengan pusat di A(x,y)
i

Jika P(a, b) didilatasikan dengan faktor skala k, pusat dilatasi di
A(x ,y), maka bayangannya sebagai berikut.
P ( a , b ) [ O , k ] P ' ( a ' , b' )=P ’ [ x +k ( a−x ) , y + k (b− y)
→

3. Komposisi Transformasi
Komposisi transformasi adalah dua transformasi yang digunakan secara
berturutan.
a) Komposisi Dua Translasi
b) Komposisi Dua Refleksi
c) Komposisi Dua Rotasi yang Berurutan dengan Pusat yang Sama
d) Komposisi Dua Dilatasi yang Berurutan dengan Pusat yang Sama

G. Contoh Soal dan Penyelesaian

:

1. Bayangan garis 2x-y-6 = 0 jika dicerminkan terhadap sumbu X dan
dilanjutkan rotasi pusat O sejauh 90 ° adalah . . . (UN Tahun 2008)
Penyelesaian :
R x Mx =

=

=

[]

[

cos 90 −sin 90
sin 90 cos 90

[ ]
[ ]
0 −1
1 0

x

[

x

1 0
0 −1

[

1 0
0 −1

]

]

0 1
1 0

'

x
'
y

]

=

[ ][ ]
0 1 x
1 0 y

=

[]
x
y

Dengan demikian diperoleh :
x’ = y ↔ y = x ’
y’ = x ↔ x = y’
jika 2x-y-6 = 0, bayangannya adalah : 2y’– x’ – 6 = 0 x’ – 2y’ + 6 = 0 atau x
-2y + 6 = 0
2. Persamaan bayangan garis y=2x-3 karena refleksi terhadap garis y=-x
dan dilanjutkan refleksi terhadap garis y=x adalah…….. (UN Tahun 2010)
Penyelesaian :
Diketahui :
 Garis : y = 2x – 3
 T1 = refleksi terhadap garis y = -x
 T2 = refleksi terhadap garis y = x

i

Maka komposisi transformasi yang bersesuaian dengan refleksi garis y =
-x dan dilanjutkan refleksi terhadap garis y = x adalah :
T1 . T2 = M2 . M1

(01 10)(−10 −10 )
(−10 −10 )

=
=

Bayangannya adalah :
x'
−1 0 x
=
y'
1 0 y
−x
=
−y
Sehingga, x’ = -x dan y’ = -y ............(ii)
Substitusi persamaan (ii) ke persamaan (i), diperoleh :
-y’ = -2x’ – 3
y’ – 2x’ – 3 = 0
y – 2x – 3 = 0
jadi, persamaan bayangan garis y = 2x – 3 karena refleksi terhadap garis
y = -x dan dilanjutkan refleksi terhadap garis y = x adalah y – 2x – 3 = 0

( )

(

)( )

( )

3. Bayangan kurva y = x2 – 3 jika dicerminkan terhadap sumbu x dilanjutkan
dengan dilatasi pusat O dan faktor skala 2 adalah… (UN tahun 2007)
A. y =1/2 x2 + 6
B. y=1/2x2 – 6
C. y=1/2x2 - 3
D. y=6 - 1/2x2
E. y=3 - 1/2x2
Penyelesaian :
*T1 = pencerminan terhadap sumbu x
1 0
0 −1
2 0
T2 = dilatasi dengan faktor 2=
0 2
*T= T2 o T1
2 0
1 0
2 0
=
=
0 2
0 −1
0 −2
*P’= T . P
x'
2 0
x
2x
=
=
y'
0 −2
y
−2 y
Dari persamaan di atas diperoleh
X= ½ x’ dan y = -1/2 y’
Bayangannya adalah
P’ : -1/2y’ = (1/2x’ )2 – 3 → dikali (-2)
y= 6 – ½ x2

[

]

[ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [] [ ]

i

4. Segitiga ABC dengan A(2,1), B(6,1), dan C(7,4) ditransformasikan dengan

[ ]

3 1
. Luas bangun hasil transformasi segitiga ABC
0 1
adalah…… (Ebtanas Tahun 2001)
A. 56 satuan luas
B. 28 satuan luas
C. 36 satuan luas
D. 24 satuan luas
E. 18 satuan luas
Penyelesaian :
3 1
*T = =
→ det T = 3
0 1
C(7,4)
matriks transformasi

[ ]

A(2,1)

B(6,1) D

*Luas

ABC
= Luas
ADC – Luas
BDC
= ½ (AD) (DC) – ½ (BD) (DC)
= ½ (5) (3) – ½ (1) (3) = 6
*Luas
hasil transformasi
= | det T |. Luas
Asal
= (3) (6) = 18 satuan Luas

5. Ditentukan T1 adalah refleksi terhadap garis x = -4. T2 adalah refleksi
terhadap garis x = 6. Bayangan titik A(-2,4) oleh transformasi T2
dilanjutkan oleh T1 adalah... (Ebtanas Tahun 2000)
A. A’(-6,4)
B. A’(6,4)
C. A’(-18,4)
D. A’(-22,4)
E. A’(-18,4)
Penyelesaian :
Bayangan akhir setelah refleksi terhadap garis x= 6 dilanjutkan dengan
refleksi terhadap garis x = -4 adalah
P” (x”, y”) = P” { 2(b-a) +x, y”}
A’
= P” {2(-4-6)-2,4}
A’
= P” (-22,4)
6. Jika titik (a,b) dicerminkan terhadap sumbu-y, kemudian dilanjutkan
dengan transformasi sesuai matriks
nilai a+b = …… (UAN Tahun 2003)
A. -3
B. -2
C. -1
i

[

−2 1
1 2

]

menghasilkan titik (1,-8),

D. 1
E. 2
Penyelesaian :
T1
= pencerminan trhadap sumbu-y
−1 0
=
dan
0 1
−2 1
T2
=
1 2
T
= T2 o T1
−2 1 −1 0
=
1 2 0 1
¿ 2 1
−1 2
2 −1
T-1
= 1/5
1 2
P’
= T.P → P = T—1. P’
a
2 −1
1
2
= 1/5
=
, Nilai a + b = 2- 3 = -1
b
1 2
−8
−3

[
[

]
]
][

[

[

]

]

[

[]

]

[

] [ ]

[ ]

7. Persamaan bayangan garis 2x +3y + 1= 0 karena refleksi terhadap
sumbu Y dilanjutkan rotasi pusat O sebesar π/ 2 adalah… (UN Tahun
2005)
A. 2x -3y -1 = 0
B. 2x + 3y -1 = 0
C. 3x + 2y + 1 = 0
D. 3x - 2y -1 = 0
E. 3x + 2y -1 = 0
Penyelesaian :
P : 2x + 3y + 1 + 3y + 1 = 0
−1 0
T1 = Pencerminan terhadap sumbu-y
0 1
0 −1
T2 = rotasi sebesar π/2 =
1 0
0 −1 −1 0
T = T2 o T1 =
1 0
0 1
0 −1
=
−1 0
0 −1
T-1 =
−1 0
P’ = T.P → P = T—1. P’
x
0 −1
x ' = −y '
=
y
−1 0
y'
−x '
Bayangannya :
P’ : 2(-y’ ) + 3(-x’) + 1 = 0 → 3x + 2y -1 = 0

[

[

[

[

[

[]

][

]

]

]

]

[

] [ ][ ]

i

]

BAB II
TELAAH MATERI GEOMETRI TRANSFORMASI
MENURUT KURIKULUM 2013
A. Kelas/Semester

: XII/2

B. Kompetensi Inti
:
1. Menghargai dan menghayati perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab,
peduli (toleransi, gotong royong), santun, percaya diri, dalam berinteraksi
secaraefektif dengan lingkungan sosial dan alam dalam jangkauan
pergaulan dan keberadaannya.
2. Memahami pengetahuan (faktual, konseptual, danprosedural) berdasarkan
rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya
terkait fenomena dan kejadian tampa mata
3. Mencoba, mengolah, dan menyaji dalam ranah konkret (menggunakan,
mengurai, merangkai, memodifikasi, dan membuat) dan ranah abstrak
(menulis, membaca, menghitung, menggambar, dan mengarang) sesuai
dengan yang dipelajari di sekolah dan sumber lain yang sama dalam
sudutp andang/teori
C. Kompetensi Dasar
:
3.20 Menganalisis sifat-sifat transformasi geometri (translasi, refleksi,
dilatasi, dan rotasi) dengan pendekatan koordinat dan menerapkannya
dalam menyelesaikan masalah.
D. Indikator Pencapaian :
3.20.1 Mengidentifikasi sifat-sifat transformasi geometri
3.20.2 Menentukan bayangan hasil transformasi dalam sistem koordinat
kartesius
3.20.3 Menerapkan aturan transformasi dalam memecahkan masalah
E. Tujuan Pembelajaran :
1. Terlibat aktif dalam pembelajaran geometri.
2. Bekerjasama dalam kegiatan kelompok.
3. Toleran terhadap proses pemecahan masalah yang berbeda dan kreatif.
4. Menjelaskan kembali definisi kedudukan titik, kedudukan titik terhadap
garis, jarak titik terhadap titik dan jarak titik terhadap garis dengan
menggunakan ilustrasi gambar atau di lingkungan yang sesuai ilustrasi
gambar.
5. Menentukan jarak titik ke titik dan jarak titik ke garis secara tepat dan
kreatif.
6. Menghitung jarak titik ke titik dan jarak titik ke garis.
7. Terampil menerapkan konsep/prinsip dan strategi pemecahan masalah
yang relevan yang berkaitan dengan kedudukan titik, jarak titik ke titik
dan jarak titik ke garis
i

F. Ringkasan Materi :
1. Memahami dan Menemukan Konsep Translasi (Pergeseran)
1.1. Menemukan Sifat-Sifat Translasi
Perhatikan dan amati bentuk dan ukuran setiap benda yang bergerak
(bergeser) atau berpindah tempat yang ada di sekitar. Secara analitik,
titik, bidang dan kurva (garis) pada gambar di atas tidak mengalami
perubahan bentuk dan ukuran oleh pergeseran. Tetapi letak mereka
pasti berubah; artinya, koordinat benda setelah mengalami
pergeseran akan berubah dari koordinat semula.. Berikut adalah sifatsifat pergeseran atau translasi.
Sifat 10.1 Bangun yang digeser (ditranslasikan) tidak mengalami
perubahan bentuk dan ukuran.
Sifat 10.2 Bangun yang digeser (ditranslasikan) mengalami
perubahan posisi.
1.2. Menganalisis Konsep Translasi
Secara umum dapat kita lihat bahwa: jika titik A(x, y) ditranslasi oleh
T(a, b), koordinat hasil translasinya adalah A'(x + a, y + b).
Perhatikan definisi berikut.
Definisi 10.1 Misalkan x, y, a, dan b adalah bilangan real, Translasi
titik A(x, y) dengan T(a, b) menggeser absis x sejauh a dan
menggeser ordinat y sejauh b, sehingga diperoleh titik A'(x + a, y +
b), secara notasi ditulis:
A

[][] [ ]
x
a
x+ a
T
A'
y
b
y +b
→

2. Memahami dan Menemukan Konsep Refleksi (Pencerminan)
2.1. Menemukan Sifat-Sifat Refleksi
Pada sistem koordinat kartesius, objek (titik, bidang, kurva lingkaran)
mempunyai bayangan dengan bentuk dan ukuran yang sama tetapi
letak berubah bila dicerminkan (dengan garis).
Sifat-sifat dari refleksi antara lain :
 Bangun (objek) yang dicerminkan (refleksi) tidak mengalami
perubahan bentuk dan ukuran.
 Jarak bangun (objek) dari cermin (cermin datar) adalah sama
dengan jarak bayangan dengan cermin tersebut.
a. Menganalisis Konsep Refleksi

i

Berdasarkan sifat pencerminan (pada cermin datar), jarak objek
dengan cermin sama dengan jarak bayangan objek tersebut ke
cermin.
 Pencerminan terhadap titik asal (0,0)
Setiap pasangan titik dan banyangan mendefinisikan garis melalui
titik asal O(0,0). Jarak setiap titik ke titik asal sama dengan jarak
banyangan titik tersebut ke titik asal. Sebagai contoh, titik A
berpasangan dengan titik B dan jarak A ke O sama dengan jarak B
ke O. Dengan demikian, titik O adalah sebuah cermin. Pencerminan
terhadap titik asal (0,0) adalah pencerminan yang terbentuk jika
titik P(a, b) dicerminkan terhadap/ke titik asal (0, 0) maka
bayangannya adalah P’(-a, -b).
'
[ ]
A a C O ( 0,0) A −b , dengan,
b →
−a

[]

Dituliskan,

[ ][

][ ]

−a = −1 0 a
−b
0 −1 b

Dengan demikian pencerminan terhadap titik O ditunjukkan
dengan matriks

[

CO (0,0) = −1 0
0 −1

]

 Pencerminan terhadap sumbu x (atau y = 0)
Secara umum, pencerminan titik A(a, b) terhadap sumbu x (garis
dengan persamaan y = 0) akan menghasilkan koordinat bayangan
A'(a', b'). Jika titik A(a, b) dicerminkan terhadap sumbu x (garis y =
0) maka bayangannya adalah A’(a,-b).

[]
[ ][

Dituliskan,

A

[ ]
][ ]

a
a
C
x A'
b sumbu
−b
→

a =1 0 a
−b
0 −1 b
Dengan demikian pencerminan terhadap sumbu x ditunjukkan
dengan matriks .
Dengan

C sumbu x =

[

1 0
0 −1

]

 Pencerminan terhadap sumbu y (garis x = 0)

Misalkan titik A(a, b) dicerminkan terhadap sumbu y atau garis
dengan persamaan x = 0 akan menghasilkan koordinat bayangan
A'(a', b'). Jika titik A(a, b) dicerminkan terhadap sumbu y (garis x =
0) maka bayangannya adalah
A’(-a, b).
Dituliskan

[]
[ ][
A

[ ] [ ]
][ ]

a
−1 0
−a
C
A'
b sumbu y 0 1
b
→

−a = −1 0 a
b
0 1 b
 Pencerminan terhadap garis y = x
Dengan

i

Secara umum, jika titik A(a, b) dicerminkan dengan garis maka
koordinat bayangannya adalah A’(b, a). Jika titik A(a, b)
dicerminkan terhadap garis y = x) maka bayangannya adalah A’(b,
a).

[] []
[ ] [ ][ ]

Dituliskan A

a
b
C y= x A '
b →
a

b=0 1 a
a
1 0 b
Dengan demikian pencerminan terhadap garis y = x ditunjukkan
dengan matriks
Dengan

[ ]

C y=x = 0 1
1 0

(iii)
Memahami dan Menemukan Konsep Rotasi (Perputaran)
3.1. Menemukan Sifat-Sifat Rotasi
Untuk dapat mengetahui sifat-sifat dari rotasi (perputaran),
perhatikan gambar berikut ini :

Coba amatilah perputaran objek (titik, bidang dan kurva) pada sistem
koordinat di atas. Titik, bidang dan kurva bila diputar tidak berubah
bentuk dan ukuran tetapi mengalami perubahan posisi atau letak.
Jadi, bentuk dan ukuran objek tidak berubah karena rotasi tersebut
tetapi posisinya berubah. Sehingga terbentuk sifat-sifat dari rotasi
yaitu :
 Bangun yang diputar (rotasi) tidak mengalami perubahan bentuk
dan ukuran.
 Bangun yang diputar (rotasi) mengalami perubahan posisi.
a.

Menemukan Konsep Rotasi

Untuk dapat menemukan
percobaan berikut ini :

i

konsep

rotasi

perhatikan

tiga

buah

Berdasarkan gambar di atas, letak sebuah titik atau bidang suatu rotasi
dipengaruhi oleh titik pusat rotasinya. Ada dua macam titik pusat rotasi,
yaitu :
o Rotasi pada Pusat O(0, 0)

Jika sebuah titik A(a, b) dirotasikan dengan sudut 90 searah jarum
jam dan pusat rotasi O(0, 0) maka koordinat bayangan adalah A'(−b = 0 −1 a
b, a). koordinat A’(-b, a) dapat dituliskan dengan
a
1 0 b
.
Dengan demikian, matriks rotasi dengan pusat rotasi di O(0,0)
antara lain :

( )(

)( )

o Rotasi dengan matriks rotasi MR dan pusat P(p,q)
Jika titik A(a,b) dirotasi dengan matriks rotasi MR dan pusat P(p,q)
adalah A′(b,a). Dapat dituliskan dengan

p + p
(ab '' )=M ( a−
b−q ) ( q )
R

(iv)
Memahami dan Menemukan Konsep Dilatasi (Perkalian)
4.1. Menemukan Sifat-Sifat Dilatasi
Perhatikan dilatasi dari beberpa objek dalam gambar berikut :

i

.

Dari beberapa gambar di atas, bentuk suatu objek bila dilatasi tidak
akan berubah. Tetapi ukuran objek yang didilatasi akan berubah.
Sehingga, sifat-sifat dari dilatasi antara lain:
 Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala k
dapat mengubah ukuran atau tetap ukurannya tetapi tidak
mengubah bentuk. Jika k > 1 maka bangun akan diperbesar dan
terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
 Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala k
dapat mengubah ukuran tetapi tidak mengubah bentuk. Jika k = 1
maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran dan letak.
 Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala k
dapat mengubah ukuran tetapi tidak mengubah bentuk. Jika 0 < k
< 1 maka bangun akan diperkecil dan terletak searah terhadap
pusat dilatasi dengan bangun semula.
 Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala k
dapat mengubah ukuran atau tetap ukurannya tetapi tidak
mengubah bentuk. Jika –1 < k < 0 maka bangun akan diperkecil
dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan
bangun semula.
 Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala k
dapat mengubah ukuran atau tetap ukurannya tetapi tidak
mengubah bentuk. Jika k < – 1 maka bangun akan diperbesar dan
terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun
semula.
4.2. Menemukan Konsep Dilatasi
Untuk menemukan konsep dari dilatasi perhatikan kembali sifat-sifat
dilatasi. Bentuk dilatasi suatu benda bergantung pada pusat dilatasi.
Pusat dilatasi tersebut terbagi menjadi dua, yaitu :
1. Dilatasi dengan pusat O(0, 0) dan faktor skala k
A ( a , b ) C y=x A' ( a' , b' )
→

i

[ ] []

a ' =k a
b'
b
2. Dilatasi dengan pusat P(p, q) dan faktor skala k
A (a ,b) D[ P ( p , q) k ] A '( a ' , b ')
→

[ ] [ ][]
a ' =k a− p + p
b'
b−q q

G. Contoh Soal dan Penyelesaian
:
1. Sebuah titik A(10,-8) ditranslasikan berturut-turut dengan T 1(-1,2)
dilanjutkan T2 (1,-12) dan kemudian dilanjutkan lagi dengan T 3 (-5, -6).
Tentukan koordinat titik bayangan A tersebut setelah ditranslasikan.
Penyelesaian :
Permasalahan di atas dapat kita notasikan dengan :
T 1 −1 A ' x ' T 2 1 A ' ' x ' ' T 3 −5 A ' ' ' x ' ' '
A 10
2
y'
12
y' '
−6
y'''
−8

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

→

→

→

Dengan demikian, proses translasi dapat dilakukan secara bertahap (3
tahap)
Tahap 1
A 10 T 1 −1 A' x '
−8
2
y'

( ) ( ) ( )
( xy '' )=(−12)+(−810 )=(−12
→

)( )

+¿ 10 = 9
−¿ 8
−6
Jadi, koordinat bayangan pada 1 adalah A’(9,-6)
Tahap 2
A ' x ' T2 1 A'' x ' '
y'
−12
y''

( ) ( ) ( )
( xy '' '' )=(−121 )+(−69 )=(−121
→

)( )

+¿ 9 = 10
−¿ 6
−18
Jadi, koordinat bayangan pada tahap 2 adalah A’’(10,-18)
Tahap 3
x ' ' T −5 A ' ' ' x ' ' '
y ' ' 3 −6
y' ' '

( ) ( ) ( )
+ ( 10 )=(−5
( xy '' '' '' )=(−5
)
−6 −18 −6
→

)( )

+¿ 10 = 5
−¿−18 −24
Jadi, koordinat bayangan pada tahap 3 adalah A’’’(5, -24). Dengan
demikian, bayangan titik A(10,-8) setelah ditranslasikan berturut-turut
dengan T1(-1,2), T2(1,-12), dilanjutkan dengan T3(-5,-6) adalah A’’’(5,-24)

i

2. Sebuah garis g dengan persamaan y = mx, ditranslasikan dengan T(x1,y1)
sehingga terbentuk garis g. Jika garis g melaui titik B(x2,y2) maka
tentukanlah nilai m!
Penyelesaian:
x → A ' x'
A
y
y'
'
x = x 1 + x = x1 +x
y
y'
y1
y1 + y

()

( )

( )( )()(

)

Diperoleh x ' =x1 + x atau x ' =x 1−x serta y= y ' − y 1 atau y ' = y1 – y sehingga
dengan mensubtitusikan ke persamaan garis g diperoleh garis g’ dengan
persamaan
y=mx → y= y ' − y1
'
→ y − y1 =m(x−x 1)
Karena garis g’ melalui titik A(x2, y2) maka
y 2− y 1=m ( x 2−x 1 ) sehingga m=

y 2− y 1
( x 2−x 1 )

3. Tentukan bayangan titik A(1, - 2 ) dan B(-3, 5) setelah dicerminkan
terhadap sumbu x.
Penyelesaian:
Permasalahan diatas dapat kita notasikan dengan:
'
A 1 C sumbu x 1 0 A ' x
0 −1
−2
y'

( )

(

) ( )

→

1 =1
x' = 1 0
0 −1 −2 2
y'
Jadi bayangan titik A (1, -2) setelah dicerminkan terhadap sumbu x adalah
A’(1, 2)
'
B −3 C sumbu x 1 0 B' x
0 −1
5
y'

( )(
( )

)( ) ( )

(

) ( )

→

x ' = 1 0 −3 = −3
0 −1 5
−5
y'
Jadi bayangan titik A(-3,5) setelah dicerminkan terhadap sumbu x adalah
A’ (-3,-5)

( )(

)( ) ( )

4. Sebuah titik P(10, 5) dicerminkan terhadap sumbu y kemudian dilanjutkan
dicerminkan terhadap garis y = x. Tentukan bayangan titik tersebut.
Penyelesaian:
'
''
P 10 C sumbu x 1 0 P ' x ' C y= x 0 1 P' ' x ' '
0 −1
1 0
−5
y
y

( )

Tahap 1:

(

→

) () ( ) ( )
→

i

'
P 10 C sumbu x 1 0 P ' x '
0 −1
5
y

( ) ()
( yx ' )=(−10 01)(−510 )=(−10
−5 )
( )

→

'

Jadi, bayangan titik P (10, -5) setelah dicerminkan terhadap sumbu y
adalah P’(-10, -5). Bayangan ini akan dilanjutkan dicerminkan terhadap
garis y = x pada tahap 2 sebagai berikut:
Tahap 2:
'
''
P' x ' C y=x 0 1 P ' ' x ' '
1 0
y
y

() ( ) ( )
→

''

( ) ( )( ) ( )

x = 0 1 −10 = −5
1 0 −5
−10
y''
Jadi bayangan titik P’(-10, -5) setelah dicerminkan terhadap sumbu y = x
adalah P” (-5, -10).
Dengan demikian, bayangan titik P’(10, -5)setelah dicerminkan terhadap
sumbu y, dilanjutkan terhadap garis y = x adalah P”(-5, -10).
5. Sebuah lingkaran dengan persamaan x 2+ y 2 −2 x +2 y−3=0 dicerminkan
terhadap garis y = -x. Tentukan persamaan bayangan lingkaran yang
terjadi.
Penyelesaian :
Misalkan titik P (x, y) dilalui oleh lingkaran sehingga permasalahan di
diatas dapat dinotasikan sebagai berikut:
'
P x C y=−x 0 −1 P ' x '
−1 0
y
y

()

(

→

) ()

x ' = 0 −1 x = − y
−1 0 y
−x
y'
Diperoleh x’= - y atau y = -x’ serta y’ = -x atau x = - y’ sehingga dengan
mensubtitusikan ke persamaan lingkaran maka diperoleh bayangan
lingkaran dengan persamaan:
2
2
(− y) +(−x ) −2(− y)+2(−x)−3=0
y 2+ x2 +2 y−2 x−3=0
Dengan demikian, bayangan lingkaran x 2+ y 2 −2 x +2 y−3=0 setelah
dicerminkan terhadap garis y = -x adalah y 2+ x2 +2 y−2 x−3=0

( )(

)( ) ( )

i

BAB III
KESIMPULAN
Pada kurikulum 2006 atau KTSP. Materi yang diberikan secara ringkas
karena materi langsung disajikan dalam bentuk penjelasan dan rumus-rumus
langsung diberikan tanpa proses menemukan konsep terlebih dahulu. Pada
kurikulum ini, hanya memberikan rumus-rumus untuk dapat memecahkan
permasalahnnya tanpa menuntut siswa mencoba mencari tahu guna memupuk
rasa ingin tahu dan berani mencoba pada diri setiap siswa. Dalam kurikulum
2006 atau KTSP, hanya disajikan materi langsung tanpa membuat siswa berpikir
kritis. Soal-soal latihan yang diberikan untuk menguji kemampuan siswa
dengan penyelesaian yang dapat diselesaikan dari rumus-rumus yang telah
diberikan tanpa memperluas atau membuat

pengetahuan dan pemahaman

siswa.
Sedangkan

pada

kurikulum

2013,

Pengaplikasian

dan

peristiwa

dikehidupan sehari-hari yang berhubungan dengan materi dipaparkan terlebih
dahulu untuk menarik minat belajar materi ini. Siswa dituntut untuk lebih kreatif
dan

berfikir

kritis.

Materi

disajikan

dengan

memecahkan

masalah

dan

melakukan percobaan-percobaan yang berhubungan dengan kehidupan seharihari mengenai materi transformasi geometri ini khususnya, guna mengarahkan
siswa untuk menemukan konsepnya sendiri mengenai materi ini.
Soal yang disajikan pada kurikulum ini juga lebih sulit dan lebih menuntut
siswa untuk berfikir secara logis dan sistematis, siswa banyak diberikan contoh
soal yang berbentuk pemecahan masalah. Siswa dituntut untuk berani
melakukan percobaan untuk bisa menemukan pemecahan masalah sehingga
siswa dapat menemukan konsep dan cara pemecahan masalah yang diberikan
secara tepat. Pada contoh soal dan soal-soal latihan, setiap soal sebagian besar
menuntut siswa untuk berfikir kritis dalam menyelesaian permasalahan yang
ada.

i

DAFTAR PUSTAKA

Herynugroho dkk. 2009. Matematika SMA Kelas XII. Bogor : Yudhistira
Kuntarti, dkk. 2007. Matematika SMA dan MA untuk Kelas XII Semester I
Program IPA. Jakarta : Esis
Kementrian

Pendidikan

dan

Kebudayaan.

2014.

Matematika

untuk

SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI Semester 2 Revisi. Jakarta : Kementrian
Pendidikan dan Kebudayaan.

i

PEMBAGIAN TUGAS KELOMPOK
N
O

NPM

NAMA

TUGAS YANG DIKERJAKAN

1

A1C01301
0

OKTI ANGGUN PASESI

2

A1C01302
6

RESI ANGRAINI

3

A1C01303
6

AISYAH EFRIALINDA

4

A1C01304
0

MELI DWI JAYANTI

5

A1C01307
0

ADIKASUMA

i

 Meringkas Materi Geometri
Transformasi Kurikulum 2013
 Mencari RPP Materi Geometri
Transformasi Kurikulum 2006
 Mencari RPP Materi Geometri
Transformasi Kurikulum 2013
 Menelaah Materi Geometri
Transformasi Kurikulum 2013
 Membuat makalah Telaah Geometri
Transformasi SMA
 Mencari Silabus Matematika SMA
Kurikulum 2006
 Meringkas Materi Geometri
Transformasi Kurikulum 2006
 Mengerjakan soal Nomor 1-2 Telaah
Materi
Geometri
Transformasi
Kurikulum 2013
 Menelaah
Materi
Geometri
Transformasi Kurikulum 2006
 Membuat dan mengetik Kesimpulan
 Mencari Silabus Matematika SMA
Kurikulum 2013
 Mengerjakan soal Nomor 1-2 Telaah
Materi Geometri Transformasi
Kurikulum 2006
 Mengerjakan soal nomor 3-5 Telaah
Materi Geometri Transformasi
Kurikulum 2013
 Menyumbang buku Matematika SMA
dan MA untuk Kelas XII Semester I
Program IPA.
 Menelaah Materi Geometri
Transformasi Kurikulum 2006 dan
2013
 Mengetik contoh soal dan
penyelesaian Telaah Materi
Geometri Transformasi Kurikulum
2013
 Menyumbang
buku
Matematika
Kelas XII (Yudhistira)
 Mengerjakan dan mengetik soal dan
penyelesaian nomor 3-7 Telaah
Materi
Geometri
Transformasi

Kurikulum 2006
 Mencetak, menjilid dan mengopi
Makalah

i