MAKALAH KONTRADIKSI DAN TAUTOLOGI docx

BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Belakangan ini, ilmu matematika telah berkembang pesat. Bukan hanya sebatas
hitung menghitung menggunakan skala statistik, nilai, angka-angka real, kalkulus dan
peluang. Akan tetapi, perkembangan ilmu matematika juga terjadi didasarkan pada penalaran
– penalaran yang logis atas sistem matematis.
Penalaran yang dilakukan oleh para ahli matematik diperoleh atas realita kehidupan
yang nyata yang dirasakan oleh manusia. Perkembangan dan aplikasi dan bagian matematik
ini sangat dirasakan oleh manusia di berbagai kehidupan. Penalaran inilah dalam bahasa
matematika sering disebut logika.
Logika merupakan suatu aktivitas manusia yang berkaitan dengan penggunaan akal
dan pikiran sehingga menghasilkan suatu penalaran dengan kebenaran – kebenaran yang
dapat dibuktikan secara matematis. Meskipun tanpa perhitungan melalui angka-angka atau
dengan statistik, tetapi dapat diuji dan masuk akal akan kebenarannya.
Berbagai macam peralatan elektronik yang ada di sekitar kita, merupakan contoh
nyata dari kemampuan manusia dalam menerapkan disiplin ilmu logika matematika di
berbagai bidang kehidupan. Diantaranya seperti listrik, komputer, televisi dan radio
dikembangkan atas dasar dan aturan logika matematika sederhana yang dibentuk dalam
sebuah rangkaian elektronik yaitu menggunakan rangkaian benar yang biasanya dinyatakan
dengan on dan off.

salah satu sub pokok kajian logika matematika adalah tentang tautologi dan
kontradiksi. Kajian lokasi ini semua terlepas dari pernyataan – pernyataan yang konkret.
Biasanya pernyataan – pernyataan tersebut ditulis dengan huruf p dan q dengan suatu
ketentuan umum mengenai tabel kebenaran yang biasa ditulis dengan huruf B dan pernyataan
yang salah dengan huruf S

1

1.2 Rumusan Masalah
Adapun masalah yang akan di bahas dalam makalah ini adalah
1.

Apa yang dimaksud tautologi ?

2.

Tabel kebenaran tautologi ?

3.

Apa yang dimaksud kontradiksi ?

4.

Tabel kebenaran kontradiksi ?

1.3 Tujuan Penulisan
Makalah ini disusun dengan maksud untuk memberikan tambahan pengetahuan
sekaligus sebagai tugas matakuliah matematika dasar. Adapun tujuan penulisan makalah ini
adalah untuk mengetahui nilai kebenaran dari suatu pernyataan, operasi-operasi yang
terdapat dalam logika matematika, mengetahui mengenai tautologi dan kontradiksi serta cara
pengambilan kesimpulan dalam logika matematika.

2

BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Tautologi
Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan
nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya.

Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan Tautologi, maka ada dua cara yang
digunakan. Caranya dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai
B (benar) maka disebut Tautologi.
Tabel kebenaran dari ( p ˄ q ) ⟹q berikut ini :
p
B
B
S
S

q
B
S
B
S

(p˄q)
B
S
S

S

( p ˄ q) ⟹ q
B
B
B
B

Selalu bernilai Benar (Termasuk TAUTOLOGI)
Contoh 1 :
Lihat pada argumen berikut :
Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah. Jika Siska tidur, maka Tini pergi kuliah.
Dengan demikian, jika Tono pergi kuliah atau Siska tidur, maka Tini pergi kuliah.
Diubah ke variabel proposional:
A Tono pergi kuliah
B Tini pergi kuliah
C Siska tidur

3

Diubah lagi menjadi ekspresi logika yang terdiri dari premis-premis dan kesimpulan.
Ekspresi logika 1 dan 2 adalah premis-premis, sedangkan ekspresi logika 3 adalah
kesimpulan.
(1) A → B

(Premis)

(2) C → B

(premis)

(3) (A V C) → B

(kesimpulan)

Maka sekarang dapat ditulis: ((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C) → B
A

B

C

A→B

C→B

(A → B) ʌ (C → B)

AVC

(A V C) →
B

B

B

B

B

B

B

B

B
B

B

B

S

B

B

B

B

B

B

B

S

B

S

S

S

B

S

B

B

S

S

S

B

S

B

S

B

S

B

B

B

B

B

B

B

B

S

B

S

B

B

B

S

B

B

S

S

B

B

S

S

B

S

B

S

S

S

B

B

B

S

B

B

Dari tabel kebenaran diatas menunjukkan bahwa pernyataan majemuk :
((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C) → B adalah semua benar (Tautologi).

Contoh tautologi dengan menggunakan tabel kebenaran :
4

1. (p ʌ ~q) p
Pembahasan :
p
B

q
B

~q
S

(p ʌ ~q)
S

(p ʌ ~q) p
B

B

S

B

B

B

S

B

S

S

B

S

S

B

S

B

Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan Tautologi dengan alasan yaitu semua
pernyataannya bersifat benar atau True (T). maka dengan perkataan lain pernyataan majemuk
(p ʌ ~q) p selalu benar.

2. [(p q) ʌ p] p q
Pembahasan :
p
B
B
S
S

q
B
S
B
S

(p q)
B
S
B
B

(p q) ʌ p
B
S
S
S

[(p q) ʌ p] p q
B
B
B
B

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Berdasarkan tabel diatas pada kolom 5, nilai kebenaran pernyataan majemuk itu
adalah BBBB. Dengan perkataan lain, pernyataan majemuk [(p q) ʌ p] p q selalu benar

Contoh
5

:
a. (p ʌ q) q
Penyelesaian:
(p ʌ q) q ~(p ʌ q) v q
~p v ~q v q
~p v T
T .............(Tautologi)
Dari pembuktian diatas telah nampaklah bahwa pernyataan majemuk dari (p ʌ q) q
adalah tautologi karena hasilnya T (true) atau benar.

Pembuktian dengan menggunakan tabel kebenaran dari pernyataan majemuk (p ʌ q) q
yaitu:
P
B

q
B

(p ʌ q)
B

(p ʌ q) q
B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

S

S

T

Pada tabel diatas nampaklah bahwa kalimat majemuk (p ʌ q) q merupakan Tautologi.
b. q (p v q)
penyelesaian:
q (p v q)

~q v (p v q)
~q v (q v p)
Tvp

T ............(Tautologi)

c. Tunjukkan bahwa pernyataan majemuk [(p ⟹ q) ˄ ~p] ⟹ ~p adalah sebuah tautologi.
Jawab :
6

Perhatikan tabel kebenaran berikut ini :
p
B
B
S
S

Q
B
S
B
S

~p
S
S
B
B

(p ⟹ q)
B
S
B
B

(p ⟹ q) ˄ ~p
S
S
B
B

[(p ⟹ q) ˄ ~p] ⟹ ~p
B
B
B
B

Jadi pernyataan majemuk [(p ⟹ q) ˄ ~p] ⟹ ~p adalah sebuah Tautologi.
2.2 Tautologi dan Rumus Rumus
Di dalam logika kalimat semesta pembicaraannya adalah himpunan fakta-fakta
(peristiwa, situasi) yang merupakan unsur-unsur di luar bahasa. Agar kita dapat
membicarakan suatu peristiwa (fakta) tertentu dari semestanya kita memerlukan
suatu lambang. Lambang ini disebut kalimat konstan/konstanta yang ditulis
dengan "A", "B" dan sebagainya.
Contoh 2.2.1 Jika "Tono mahasiswa dengan IPK 3,5" mempunyai simbol "A"
dan "Tono berasal dari luar Jawa" mempunyai simbol "B", maka kalimat
1. "Tono mahasiswa dengan IPK 3,5 dan berasal dari luar Jawa" mempunyai
simbol "A B".
2. "Jika Tono berasal dari luar kota, maka Tono mahasiswa dengan IPK 3,5"
mempunyai simbol "B⇒ A"
Dalam hal ini simbol "A", "B", "A B" dan "B⇒ A" merupakan konstanta
kalimat atau kalimat konstan.
Definisi 2.2.2 Simbol yang melambangkan sebarang fakta (peristiwa) disebut variabel kalimat, yang ditulis dengan "p", "q", "r" dan sebagainya.
Contoh 2.2.3 Misalkan diberikan bentuk-bentuk
1. "p q"
2. "(p r)⇒ q"
Masing-masing rangkaian tanda merupakan bentuk kalimat (statement form);
7

dan jika variabel "p", "q" dan "r" diganti dengan kalimat-kalimat konstan akan
berubah menjadi suatu pernyataan. Sebagai contoh pada kalimat ke-1,
1. Jika "p" disubstitusi dengan kalimat "Kuadrat bilangan real selalu non negatif"
"q" disubstitusi dengan kalimat "Ada bilangan asli yang lebih kecil daripada
1"
Maka diperoleh pernyataan:
"Kuadrat bilangan real selalu non negatif dan ada bilangan asli yang lebih
kecil daripada 1", yang bernilai salah.
2. Jika "p" disubtitusi dengan kalimat "Kuadrat bilangan real selalu non negatif"
"q" disubstitusi dengan kalimat "Tidak ada bilangan asli yang lebih kecil daripada 1"
Maka diperoleh pernyataan:
"Kuadrat bilangan real selalu non negatif dan tidak ada bilangan asli yang
lebih kecil daripada 1", yang bernilai benar.
Definisi 2.2.4 Bentuk-bentuk yang memuat variabel kalimat dan yang menyajikan hukum-hukum logika kalimat disebut tautologi.
Di dalam tautologi setiap penggantian dari semua variabel di dalamnya dengan
konstanta-konstanta kalimat akan menghasilkan suatu pernyataan yang bernilai
benar. Tentu saja dalam suatu penggantian, untuk masing-masing variabel (simbol) yang sama harus digantikan dengan konstanta kalimat yang sama.
Untuk melihat apakah suatu bentuk kalimat merupakan suatu tautologi atau
bukan dapat dilakukan dengan membuat tabel nilai kebenaran dari bentuk tersebut
dengan mendaftar semua kemungkinan (kombinasi "p" dan "q") dari setiap nilai
kebenaran variabelnya.
Selanjutnya, untuk membuktikan suatu bentuk kalimat merupakan tautologi
selain menggunakan tabel kebenaran dapat juga dilakukan dari luar tabel dengan
mengamati hasil dari tabel. Sebagai contoh akan dibuktikan
1. p =⇒ (p q), dan
2. (p =⇒ (q =⇒ r))⇐⇒ (q =⇒ (p =⇒ r))

8

Penyelesaian:
3.

p F⇐⇒ F p⇐⇒ p

1. Bentuk ini merupakan
implikasi, sehingga akan

bernilai benar jika anteseden
bernilai salah atau konsekuen benar. Satu-satunya kemungkinkan yang dapat
membuat kalimat bernilai salah adalah anteseden yaitu "p" bernilai benar.
Tetapi jika "p" bernilai benar, maka sesuai nilai kebenaran dari disjungsi,
bentuk "p q" pasti bernilai benar apapun "q". Akibatnya "p =⇒ (p q)"
juga bernilai benar.
2. Bentuk kalimat ini merupakan biimplikasi, sehingga akan bernilai salah hanya
jika keduanya mempunyai nilai kebenaran yang berbeda.
Karena "p' dan "q" merupakan variabel kalimat, maka hanya cukup dibuktikan salah satu sisi saja. Misalkan sisi sebelah kiri bernilai benar, maka "p"
bernilai salah atau "q =⇒ r" bernilai benar. Jika "p" bernilai salah, maka
apapun "r", implikasi "p =⇒ r" pasti bernilai benar, sehingga
"q =⇒ (p =⇒ r))"
pasti bernilai benar.

Sedangkan jika "q =⇒ r" bernilai benar, maka "q"

bernilai salah atau "r bernilai benar, sehingga bentuk
"q =⇒ (p =⇒ r))"
pasti bernilai benar.
Rumus-rumus tautologi
Berikut ini diberikan rumus-rumus tautologi. Semua rumus dapat dibuktikan
dengan menggunakan metode tabel nilai.

Rumus 2.1 (Komutatif)

1. p q⇐⇒ q p
2. p q⇐⇒ q p

Bukti:
9

p
T
T
F
F

 q p
T
F
F
F

. p q
T
F
F
F

q
T
F
T
F

Rumus 2.2 (Distributif)
1 . p (q r)⇐⇒ (p q) (p r)
2 . p (q r)⇐⇒ (p q) (p r)
Bukti :
Untuk 1.
p

q

r

T
T
T
T
F
F
F

T
T
F
F
T
T
F

T
F
T
F
T
F
F

Rumus 2.3

 q
r
T
T
T
T
T
F
F

1.
2.
3.
4.

p (qr)
T
T
T
T
T
F
F

p q
T
T
T
T
T
T
F

p r
T
T
T
T
T
F
F

p T⇐⇒ T p⇐⇒ p
p F⇐⇒ F p⇐⇒ F
p F⇐⇒ F p⇐⇒ p
p T⇐⇒ T p⇐⇒ T

Rumus 2.5 (Assosiatif)

Bukti: Untuk 2.1
p
q
r
 q
r
T T
T
T
T
T
F
T
T
F
T
T
T
F
F
T
F
T
T
T
F
T
F
T
F
F
F
F

(p q) (p r)
T
T
T
T
T
F
F

1. p(qr)⇐⇒ (pq)r
2. p(qr)⇐⇒ (pq)r

p (q r)
T
T
T
T
T
T
F

(p q) (p
r)
T
T
T
T
T
T
F

(Identitas, negasi rangkap dan idempoten)

10

p q
T
T
T
T
T
T
F

p r
T
T
T
F
T
T
F

Rumus 2.6

1. p⇐⇒ p
2. p ¯ ⇐⇒ p
3. p p⇐⇒ p
4. p p⇐⇒ p
Rumus 2.7 Hukum De Morgan
1. p q⇐⇒ (¯p q¯)
2. p q⇐⇒ (¯p q¯).
Bukti: Untuk 1.
p
T
T
F
F

. p q
T
F
F
F

q
T
F
T
F

Rumus 2.8

1.
2.

Rumus 2.9

p¯
q¯
F
T
T
T

. p q
F
T
T
T

p¯

q¯

F
F
T
T

F
T
F
T

p =⇒ q⇐⇒ (p q¯)
p⇐⇒ q⇐⇒ ((p q¯) (¯ p = ⇒ q))

1.

(T =⇒ p)⇐⇒ p

2.

(F =⇒ p)⇐⇒ T

3.

(p⇐⇒ T )⇐⇒ p

4.

(p⇐⇒ F )⇐⇒ p¯

Rumus 2.10 Hubungan implikasi dan biimplikasi dengan negasi, konjungsi dan
disjungsi
1. (p =⇒ q)⇐⇒ (¯p q)
2. (p =⇒ q)⇐⇒ p q¯
3. (p =⇒ q)⇐⇒ ((¯p q) (p q¯)
4. (p⇐⇒ q)⇐⇒ ((p q) (¯p q¯)

Rumus 2.11
11

1.
2.

(p⇐⇒ q)⇐⇒ ((p =⇒ q) (q =⇒ p))
((p =⇒ q) (q =⇒ r))⇐⇒ (p =⇒ r). (Sifat Transitif)

Metode Pembuktian
Di dalam bidang matematika ada tiga hukum penting tautologi yang digunakan
sebagai metode pembuktian yaitu:
1. Modus Ponens
2. Hukum Kontraposisi
3. Reductio ad absurdum.
Modus ponens termasuk dalam bukti secara langsung. Sedangkan kontraposisi
dan reductio ad absurdum dipandang sebagai bukti tidak langsung. Pembuktian
suatu teori lebih diutamakan menggunakan bukti secara langsung.
Modus Ponens
Rumus :

(p (p =⇒ q)) =⇒ q.

Hukum ini dapat disajikan dengan skema sebagai berikut :

 =>


.


Jika implikasi " =⇒ " merupakan fakta (hukum) yang benar dan fakta ""
terjadi, maka dapat disimpulkan fakta "" pasti terjadi.
Contoh 2.4.1 Buktikan, bahwa salah satu titik potong grafik fungsi dengan persamaan y = f(x) = 3x 3 3x 2 1 terhadap sumbu X berada di interval [1, 2].
Penyelesaian: Di dalam kalkulus berlaku sifat (implikasi) jika f kontinu pada
interval [a, b], dan berlaku f(a) dan f(b) berbeda tanda, maka dapat ditemukan
c [a, b] yang memenuhi f(c) = 0. Jadi implikasi ini bernilai benar.
Fungsi y = f(x) = 3x 33x 21 kontinu pada [1, 2] dan f(1) < 0 serta f(2) > 0.
Jadi anteseden implikasi terjadi, maka dapat disimpulkan terdapat x o [1, 2] yang
berakibat
12

3
f (x 0) = 3x 0 3x 02 1 = 0
Jadi salah satu titik potong grafik fungsi f terhadap sumbu X berada di interval
[1, 2].
2.4.2

Hukum Kontraposisi

Seringkali kita mengalami kesulitan untuk membuktikan bahwa peristiwa ""
terjadi dari diketahuinya fakta "".

Untuk itu kita bisa menggunakan hukum

kontraposisi
Rumus 2.14

(p =⇒ q)⇐⇒ (¯ q = ⇒ p¯).

Dengan kata lain, jika dari fakta " ¯" dapat dipastikan terjadinya "¯", maka dapat ditarik kesimpulan, bahwa dengan berlakunya fakta "" dapat dipastikan ""
terjadi. Sebaliknya jika implikasi " =⇒ " merupakan fakta yang benar, maka
dengan diketahuinya " ¯" terjadi, dapat ditarik kesimpulan "¯" pasti terjadi, seperti
skema berikut ini:

 =>


¯.
¯

Contoh

Buktikan, bahwa jika 1 + (1) n=
̸ 0, maka n genap.

Penyelesaian: Ingkaran n genap adalah n ganjil. Akibatnya (1) n =1, sehingga 1 + (1) n = 0 yang merupakan ingkaran dari 1 + (1) n=
̸ 0. Jadi kontraposisinya dapat dibuktikan, sehingga kalimat aslinya secara tidak langsung juga
terbukti.
2.4.3 Reductio ad absurdum
Misalkan kita akan membuktikan pernyataan "". Untuk itu diandaikan yang
berlaku adalah ingkaran dari "", yaitu "¯". Dari pengandaian tersebut dengan
penalaran yang sahih diturunkan suatu kontradiksi. Hal ini hanya mungkin terjadi
kalau terjadi kesalahan pada pengandaian, sehingga pengandaian harus diingkar,
yaitu "¯
".
Berikut ini disajikan rumus-rumus tautologi yang merupakan bentuk-bentuk
reductio ad absurdum:
13

Rumus 2.15

p =⇒ (q q¯)) =⇒ p.p.Ā

Misalkan akan dibuktikan penyataan "". Diandaikan "". Jika dari kalimat
"" dapat diturunkan " ", maka dapat disimpulkan "" terjadi.

 =⇒ ( ) =⇒
 =⇒ ( )

 Benar : Tautologi
Diturunkan dari ""
 T : Modus Ponens

2.5 Kontradiksi
Kontradiksi adalah kebalikan dari tautologi yaitu suatu bentuk pernyataan yang hanya
mempunyai contoh substansi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam
segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya. Untuk
membuktikan apakah suatu pernyataan tersebut kontradiksi, maka ada dua cara yang
digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan
bernilai F atau salah maka disebut kontradiksi,
Tabel kebenaran dari [( p ⟹ q ) ˄ p] ˄ ~q berikut ini :
(p⟹
[(p⟹q)˄
[(p⟹
q)
p]
B B S
B
B
B S B
S
S
S B S
B
S
S S B
B
S
Selalu bernilai Salah (Termasuk KONTRADIKSI)
p

q

~q

Contoh dari Kontradiksi:
1. (A ʌ ~A)
Pembahasan:
14

q ) ) ˄ p] ˄ ~q
S
S
S
S

A
B
S

~A
S
B

(A ʌ ~A)
S
S

Dari tabel kebenaran diatas dapatlah disimpulkan bahwa pernyataan majemuk (A
ʌ ~A) selalu salah.
2. P ʌ (~p ʌ q)
Pembahasan:
p
B

Q
B

~p
S

(~p ʌ q)
S

P ʌ (~p ʌ q)
S

B

S

S

S

S

S

B

B

B

S

S

S

B

S

S

Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan kontradiksi dengan alasan yaitu
semua pernyataan bernilai salah (F).

Contoh: 3. Perhatikan tabel kebenaran dari [( p ⟹ q ) ˄ p] ˄ ~q berikut ini :
p q ~q ( p ⟹ q ) [ ( p ⟹ q ) ˄ p ]
B B S
B
B
B S B
S
S
S B S
B
S
S S B
B
S
Selalu bernilai Salah (Termasuk KONTRADIKSI)

15

[ ( p ⟹ q ) ) ˄ p] ˄ ~q
S
S
S
S

Contoh: 4. Tunjukkan bahwa pernyataan majemuk q ˄ (p ˄ ~q) merupakan suatu
kontradiksi.
Tabel kebenaran dari q ˄ (p ˄ ~q) adalah sebagai berikut :
p
B

q
B

~q
S

p ˄ ~q
S

q ˄ (p ˄ ~q)
S

B

S

B

B

S

S

B

S

S

S

S

S

B

S

S

Pada kolom yang paling kanan dari tabel di atas, tampak bahwa q ˄ ( p˄~q ) selalu
berniat salah untuk setiap nilai kebenaran dari komponennya. Oleh karena itu, pernyataan
q ˄ (p˄~q) adalah suatu “kontradiksi”.

BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
Secara etimologis, logika berasal dari kata Yunani ‘logos’ yang berarti kata, ucapan,
pikiran secara utuh, atau bisa juga berarti ilmu pengetahu. Logika adalah suatu cabang ilmu
yang mengkaji penurunan-penurunan kesimpulan yang sahih (tidak valid). Suatu proposisi
yang hanya memuat B pada kolom terakhir tabel kebenarannya, yaitu benar untuk setiap nilai
kebenaran dari peubahnya, disebut tautologi. Sebaliknya proposisi disebut kontradiksi, jika
kolom terakhir pada tabel kebenarannya hanya memuat S untuk setiap nilai kebenaran dari
peubahnya.

16

3.2 Saran
Dengan penyusunan makalah ini, kami berharap pengetahuan mengenai logika
matematika dapat diaplikasikan dalam kehidupan atau dapat digunakan dalam banyak aspek
kehidupan. Melalui logika, kita dapat mengetahui apakah suatu pernyataan bernilai benar
atau salah. Hal terpenting yang akan didapatkan setelah mempelajari logika matematika
adalah kemampuan atau keahlian mengambil kesimpulan dengan benar atau sah.

DAFTAR PUSTAKA
Sumber internet :

https://id.wikipedia.org/wiki/Tautologi (diakses tanggal 15 maret 2016)
https://id.wikipedia.org/wiki/Kontradiksi (diakses tanggal 15 maret 2016)
Sumber buku :
Lipschutz, Seymour dan George G. hall. 1988. Matematika Hingga. Jakarta: Penerbit Erlangga.
Wirodikromo, Sartono. 2006. Matematika untuk SMA Kelas X. Jakarta: Penerbit Erlangga.
Wibisono, Samuel. 2004. Matematika Diskrit. Yogyakarta: Graha Ilmu.
17

18