STK 203 TEORI STATISTIKA I

  

STK 203

TEORI STATISTIKA I

  

V. SEBARAN FUNGSI

PEUBAH ACAK

V. Sebaran Fungsi Peubah Acak

  1 Sebaran Fungsi Peubah Acak Dalam banyak kasus untuk melakukan inferensi terhadap suatu parameter kita lebih banyak menggunakan fungsi dari peubah acak. Sebagai ilustrasi, pada saat kita akan melakukan pengujian hipotesis terhadap nilai tengah µ dari

peubah acak X yang menyebar normal, statistik yang

digunakan adalah

  _ x

  

µ

t

  = s x

  Kenapa menggunakan statistik tsb ? Sebaran Fungsi Peubah Acak

Untuk menentukan sebaran fungsi peubah acak tersebut,

kita akan membahas tiga metode utama yaitu : (1) Metode Fungsi Sebaran (2) Metode Transformasi (3) Metode Fungsi Pembangkit Momen

V. Sebaran Fungsi Peubah Acak

  3 Perhatikan Y adalah peubah acak kontinu dengan fungsi sebaran F (y).

  Y

  Jika U = g(Y) dan F (u) adalah fungsi sebaran

  U

  peubah acak U, secara umum kita bisa mencari f (u) yang merupakan turunan pertama dari

  U F (u).

  U

  Sedangkan F (u) = P (U ≤ u)

  U U

  U

  = P (g(Y) ≤ u) Ilustrasi 5.1. Jika Y ~ Seragam (0, 1) dan U = g(Y) = - log(Y)

  Dengan demikian f (u) kita U peroleh dari turunan pertama F (u), sbb.

  U karena 0 < y < 1 maka u = - log(y) > 0 sehingga diperoleh u lainnya

  Kita tahu bahwa F (y) = y untuk Y

• u

  Bisa diperlihatkan bahwa 0 < y < 1. Sehingga 0 < e < 1

• u

  dan F (u) = 1 – F (y) = 1 - e U ~ Eksponensial (1)

  U Y

V. Sebaran Fungsi Peubah Acak

  5 Ilustrasi 5.2.

  Diketahui Y ~ Eksponensial (1). Tentukan fkp U = g(Y) = Y + θ , θ > 0. Dengan metode fungsi sebaran

  Dengan demikian kita bisa kita peroleh : memperoleh f (u) dengan

  U menentukan turunan pertama dari F (u) sbb.

  U

• y

  Kita tahu bahwa F (y) = 1- e Y

  Jadi

  θ

  untuk y > 0. Sehingga u - > 0

  θ

  dan F (u) = 1 – F (u - ) U Y

• (u - θ)

  = 1 - e u lainnya Perhatikan peubah acak kontinu Y dengan fungsi sebarannya F (y) Y dan U = g(Y) adalah fungsi satu-ke-satu dari Y.

  Ada beberapa sifat dari fungsi satu-ke-satu yang akan kita gunakan, yaitu : (1) g akan memetakan R ke R dengan sifat monoton naik atau monoton turun

• 1

  (2) g akan memiliki fungsi kebalikan yang unik, g

V. Sebaran Fungsi Peubah Acak

  7 Perhatikan jika g(y) adalah fungsi satu-ke-satu yang monoton naik,

• 1

  maka u = g(y) (u) = y, dan ⇔ g

  Dengan menurunkan F (u) akan diperoleh U

  aturan rantai

• 1

  Sekarang perhatikan jika g monoton naik, demikian pula dengan g , sehingga .

• 1

  Jika g monoton turun, demikian pula dengan g , sehingga

• 1 akan tetapi f (g (u)) < 0 sehingga bernilai positif.

  Y Untuk mengatasi kedua kasus tersebut, kita bisa menggunakan fungsi harga mutlak, sehingga fkp bagi U adalah

V. Sebaran Fungsi Peubah Acak

  9 Ilustrasi 5.3.

  Diketahui Y ~ Eksponensial ( β). Tentukan fkp Pertama-tama, kita harus meyakinkan bahwa g adalah fungsi satu-ke- satu pada daerah fungsi R . Mudah untuk ditunjukkan bahwa g(y)

  Y adalah fungsi yang monoton naik dan bersifat satu-ke-satu pada R = {y|0 < y < ∞}.

  Y

• 1

  Selanjutnya kita tentukan turunan dari g (u), sehingga diperoleh dan dan berdasarkan formulasi sebelumnya, maka diperoleh

  untuk (?) Ilustrasi 5.4. Diketahui fkp peubah acak Y sbb.

  y lainnya

  Tentukan fkp dari U = g(Y) = 1 - Y Mudah untuk menunjukkan g(y) adalah fungsi yang monoton turun dan bersifat satu-ke-satu pada R = {y|0 < y < 1}.

  Y

• 1

  Selanjutnya kita tentukan turunan dari g (u), sehingga diperoleh dan dan berdasarkan formulasi sebelumnya, maka diperoleh

  untuk

V. Sebaran Fungsi Peubah Acak

  11 Pertanyaan berikutnya adalah

BAGAIMANA KALAU g(Y) BUKAN FUNGSI SATU-KE-SATU ?

  Dalam kondisi g yang bukan fungsi satu-ke-satu kita masih bisa menggunakan metode transformasi asalkan kita dapat mempartisi R Y sedemikian sehingga diperoleh partisi-partisi yang tidak beririsan dan g pada masing-masing partisi bersifat satu-ke-satu.

  Teorema 5.1.: Perhatikan Y peubah acak kontinu dengan fkp f (y) dan U = g(Y)

  Y adalah suatu fungsi yang tidak bersifat satu-ke-satu pada R tetapi

  Y kontinu. Misalkan kita dapat mempartisi R menjadi beberapa

  Y himpunan yang terhingga banyaknya, katakan A , A , …, A dengan

  1 2 k (i) P(Y ∈ A ) > 0 untuk setiap i dan i i

  (ii) f (y) bersifat kontinu pada setiap A Y i

  Jika fungsi g (y), g (y), …, g (y) ada sedemikian sehingga g (y)

  1 2 k i terdefinisi pada A untuk i = 1, 2, …, k serta g (y) memenuhi sifat i i

  (i) g(y) = g (y) untuk setiap y ∈ A i i

  (ii) g (y) bersifat monoton pada A i i maka : u lainnya

V. Sebaran Fungsi Peubah Acak

  13 Ilustrasi 5.5.

  2 Diketahui Y ~ N(0, 1). Tentukan fkp peubah acak U = Y

  2 Pertama-tama, kita lihat bahwa U = Y bukan fungsi satu-ke-satu pada R = {y |- ∞ < y < ∞} tetapi bersifat satu-ke-satu pada A = (- ∞, 0) dan

  Y

  1

2 A = [0, ∞). g(y) = y bersifat monoton turun pada A dan monoton

  2 1 naik pada A dan juga berlaku R = A ∪ A .

  2 Y

  1

  2 Kemudian bisa kita peroleh ringkasan berikut

  partisi R transformasi invers transformasi Y

  dan pada A dan A berlaku

  1

  2 Ilustrasi 5.5.

  2 perhatikan u = y > 0, sehingga R = {u|u > 0}.

  U Berdasarkan teorema 5.1. maka fkp bagi U adalah

  u lainnya ; karena

  2 Dengan demikian U ~ Gamma (1/2, 2) atau U ~ χ (1)

V. Sebaran Fungsi Peubah Acak

  15 Teorema 5.2.

  Perhatikan X dan Y yang masing-masing memiliki fungsi pembangkit momen m (t) dan m (t). Jika m (t) = m (t) untuk semua nilai t maka

  X Y

  X Y X dan Y memiliki fkp/fmp yang sama. (sifat unik fungsi pembangkit momen).

  Bagaimana menentukan fkp/fmp melalui fpm? Jika kita memiliki suatu fungsi U = g(Y) dan kemudian dapat ditentukan m (t) adalah fungsi pembangkit momen peubah acak U,

  U serta kita mengenali bentuknya (misal Poisson, Binomial, Normal, Gamma, dll). Kita dapat menggunakan sifat unik fungsi pembangkit momen untuk menentukan fkp/fmp dari peubah acak U. Ilustrasi 5.6.

  2 Jika Y ~ Gamma( α, β), perlihatkan bahwa U = g(Y) = 2Y/β ~ χ .

  α) (2

  Kita tahu bahwa fpm Y adalah sehingga

2 Jelas U ~ χ

  α) (2

V. Sebaran Fungsi Peubah Acak

  17 Teorema 5.3.

  Perhatikan Y , Y , …, Y adalah contoh acak dimana Yi memiliki fpm

  1 2 n m (t) untuk i = 1, 2, …, n. Jika U = Y + Y + … + Y maka

  Yi 1 2 n Bisa diperlihatkan sbb. Ilustrasi 5.7. Jika Y , Y , …, Y ~ Bernoulli (p). Tentukan fkp U = Y + Y + … + Y .

  1 2 n 1 2 n m (t) dapat dihitung sbb.

  U kali m (t) adalah fpm Binomial (n, p).

  U Jadi U ~ Binomial (n, p)

V. Sebaran Fungsi Peubah Acak

  19 Dalam pembahasan topik ini kita akan fokus pada transformasi ganda dua yaitu jika kita memiliki U = g (Y , Y ) dan U = g (Y , Y ).

  1

  1

  1

  2

  2

  2

  1

  2 Perhatikan jika (Y , Y ) adalah peubah acak ganda kontinu dengan fkp

  1

  2

  2

  2 bersama f (y , y ). Jika g : R Æ R yang memetakan satu-ke-satu

  Y1,Y2

  1

  2

• 1

  dari R ke R dimana U = g (Y , Y ) dan U = g (Y , Y ) serta g Y1Y2 U1U2

  1

  1

  1

  2

  2

  2

  1

  2

  1

• 1

  dan g dapat diturunkan secara parsial dan diperoleh

  2 maka

  (u , u ) lainnya

  1

  2 Ilustrasi 5.8. Diketahui Y ~ Γ(α,1), Y ~ Γ(β, 1) dengan Y dan Y saling bebas.

  1

  2

  1

  2 Jika didefinisikan : Tentukan : (a) f (u , u ), fkp bersama dari U dan U

  U1U2

  1

  2

  1

  2 (b) f (u ), fkp marginal U

  U1

  1

  1 (c) f (u ), fkp marginal U

  U2

  2

  2 V. Sebaran Fungsi Peubah Acak

  21 Ilustrasi 5.8.

  (a) f (u , u ), fkp bersama dari U dan U

  U1U2

  1

  2

  1

  2

  karena Y dan Y saling bebas, maka fkp bersama (Y , Y ) adalah

  1

  2

  1

  2

  ∈ R

untuk (y , y ) = {(y , y )|y > 0, y > 0). Dengan memperhatikan

  1

  2 Y1,Y2

  1

  2

  1

  2

  u = y + y dan u = y /(y +y ), maka R = {(u , u )|u >0, 0 < u < 1) dan

  1

  1

  2

  2

  1

  1

  2 U1,U2

  1

  2

  1

  2

  dan Ilustrasi 5.8.

  (a) f (u , u ), fkp bersama dari U dan U

  U1U2

  1

  2

  1

  2

  dengan demikian diperoleh dan dapat ditulis

  (u , u ) lainnya

  1

  2 V. Sebaran Fungsi Peubah Acak

  23 Ilustrasi 5.8.

  (b) f (u ), fkp marginal U

  U1

  1

  1

  kita akan integralkan fkp bersama (U , U ) untuk setiap nilai u

  1

  2

  2

  maka kita peroleh

  u lainnya

  1 Ilustrasi 5.8.

  (c) f (u ), fkp marginal U

  U2

  2

  2

  kita akan integralkan fkp bersama (U , U ) untuk setiap nilai u

  1

  2

  1

  maka kita peroleh

  u lainnya

  2 V. Sebaran Fungsi Peubah Acak

  25 Perhatikan Y , Y , …, Y adalah contoh acak dari Y ~ f (y| θ) dengan

  1 2 n Y fungsi sebaran F (y).

  Y Didefinisikan Y ≤ Y ≤ … ≤ Y adalah statistik tataan (order

  (1) (2) (n) statistics) dengan Y adalah nilai terkecil, Y nilai terkecil

  (1) (2) berikutnya, demikian seterusnya sehingga Y adalah nilai terbesar.

  (n) Karena Y saling benas, maka fkp bersamanya adalah Π f (y | θ).

  ∀i i Y i

  Menurut aturan pencacahan, akan ada n! cara yang berbeda untuk menyusun Y , Y , …, Y sehingga diperoleh Y ≤ Y ≤ … ≤ Y , 1 2 n (1) (2) (n) dengan demikian fkp bersama dari statistik tataan adalah f (y , y , …, y ) = n! Π f (y | θ)

  Y(1),Y(2), … ,Y(n)

  1 2 n ∀i Y i = n! f (y | θ) f (y | θ) … f (y | θ)

  Y

  1 Y

  2 Y n

  (a) fkp statistik minimum, Y (1)

  dan dan dan

  sehingga dapat diperoreh

V. Sebaran Fungsi Peubah Acak

  27

  (b) fkp statistik maksimum, Y (n)

  dan dan

dan

  sehingga dapat diperoreh

  29

  (c) fkp statistik tataan ke-k, Y (k)

  > 0.50)

  (c). P(Y (6)

  (10) > 0.90)

  < 0.25) (b). P(Y

  Tentukan : (a). P(Y (1)

  10 contoh acak dari Y ~ Beta(2,1).

  2 , …, Y

  1 , Y

  Diberikan Y

  > y), maka fkp bagi statistik tataan ke-k adalah Ilustrasi 5.9.

  Y (y) = P(Y i

  = y) dan

  (y) = P(Y i

  < y), f Y

  Y (y) = P(Y i

  Karena Y i saling bebas, maka dengan pendekatan model multinomial kita peroleh dengan menginterpretasikan F

  1 Banyak anggota kelas Nilai Y Kelas

  2 Y < y k -1

  1 Y = y

  3

  Y > y n - k

  } kita bagi dalam 3 kelas, yaitu

  (y) coba didekati dengan model peluang multinomial. Suatu barisan {Y (i)

  Untuk mencari f Y(k)