15. Modul Barisan dan Deret Pak Sukani

BARISAN DAN DERET

8.1. Mengidentifikasi pola, barisan dan deret bilangan 1. Menyatakan bentuk penjumlahan dengan notasi sigma

Dalam penulisan barisan bilangan sering dijumpai bentuk penjumlahan sebagai berikut ;

2 + 6 + 10 + 14 + 18 + … + 50

Penulisan tersebut kurang praktis dan tidak efisien.

Bentuk penjumlahan dapat dinyatakan dengan tanda "∑" (sigma) Misal : a1 + a2 + a3 + a4+ … + an, ditulis



 n 1 i i

a dibaca sigma ai, i dari 1 sampai n. Jika ditulis :



 n

m k k

a

k = penunjuk yang berjalan dari m sampai n ; m = batas bawah ; n = batas atas. Contoh :

1. Nyatakan dalam bentuk penjumlahan !

a.





6 1 k

2k Jawab :



6_1

k

2k = (2 . 1) + (2 . 2) + (2 . 3) + (2 . 4) + (2 . 5) + (2 . 6) = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12

= 42

b.



 

5 2 m

1)

(m

Jawab :



5_ 

2 m

1)

(m = (2 + 1) + (3 + 1) + (4 + 1) + (5 + 1) = 3 + 4 + 5 + 6

= 18

c.



 

4 1 i

2 i) (2 Jawab :



_4 

1 i

2 i)

(2 = (2 + 1)2 + (2 + 2)2 + (2 + 3)2 + (2 + 4)2 = 9 + 16 + 25 + 36

= 86

2. Nyatakan dengan notasi sigma a. 1 + 4 + 7 + 10 + 13.

Jawab :

1 + 4 + 7 + 10 + 13 = (3.0 + 1) + (3.1 + 1) + (3.2 + 1) + (3.3 + 1) + (3.4 + 1) maka notasi sigmanya :



  4 0 i 1) (3i b. 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36.

Jawab :

Dari barisan bilangan dapat dilihat bentuknya adalah pangkat 2, angka pertama 1 dan angka terakhir 6.

1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 =



 6 1 m 2 m c. 2 1 + 4 1 + 6 1 + 8 1 + 10 1 Jawab :

Bentuknya pecahan dengan penyebut bedanya 2

2 1 + 4 1 + 6 1 + 8 1 + 10 1 = 1 . 2 1 + 2 . 2 1 + 3 . 2 1 + 4 . 2 1 + 5 . 2 1 =



 5 1 n 2n

1

2. Sifat-sifat notasi sigma

1.



 n

1 k

k

a = a1 + a2 + a3+ … + an

2.





   n m k k n m k

k c a

a c

3.



 

n

m k

k k b )

(a =



 n

m k

k a +



 n m k k b

4.



 n

m k

k

a =



    p n p m k k p) (a

5.



 n

m k

c = (n – m + 1) c Contoh :

1. Buktikan :



 

      4 1 k 4 1 k 4 1 k 2k 3k 2k) (3k Jawab :



4_  1 k

2k)

(3k = (3 . 1 + 2 . 1) + (3 . 2 + 2 . 2) + (3 . 3 + 2 . 3) + (3 . 4 + 2 . 4) = 5 + 10 + 15 + 20 = 50



4_ 1 k

3k = 3 . 1 + 3 . 2 + 3 . 3 + 3 . 4 = 3 + 6 + 9 + 12 = 30



4_ 1 k



4_ 1 k

3k +



 4

1 k

2k = 30 + 20 = 50 (terbukti)

2. Buktikan :







 

   

4

1 k

4

1 k 2 7

4 k

2

36 k 6 k

k

Bukti :

Ruas kiri :







  

3 -7

3 -4 k

2 7

4 k

2

3) (k k

=



  

4

1 k

2

9) 6k

(k =







 

  

4

1 k 4

1 k 4

1 k

2

9 k 6 k

= k 6 k 4 .9 4

1 k 4

1 k

2









_{ }







 

   

4

1 k

4

1 k 2 7

4 k

2

36 k 6 k

k (terbukti)

8.2. Menerapkan konsep barisan dan deret aritmatika 1. Barisan Aritmetika

Barisan Aritmetika adalah suatu barisan bilangan dengan beda antara dua suku yang berurutan tetap.

Bentuk umum barisan aritmetika :

U1, U2, U3, U4, … Un atau : a, (a + b), (a + 2b), (a + 3b), …, {a + (n – 1) b}

Rumus Suku ke n :

Un = a + (n

–

1) . b

dimana: a = U1 = suku pertama

b = beda = U2– U1 atau U3– U2 atau U4– U3atau … Un– Un - 1

Un = suku ke-n

n = banyaknya suku Contoh :

1. Dari barisan aritmetika : 3, 7, 11, 15, 19, 23, … 55. Tentukan : a. beda (b) b. U25 c. n

Penyelesaian :

a. b = U2– U1 = 7 – 3 = 4

b. Un = a + (n – 1) b

U25 = 3 + (25 – 1) . 4 = 3 + 96

= 99

c. Un = a + (n – 1) b

55 = 3 + (n – 1) . 4 55 = 3 + 4n – 4 4n = 55 + 4 – 3 n =

4 56

= 14

2. Dari barisan aritmetika suku ke-6 adalah 35, suku ke 11 adalah 50 Tentukan : a. beda b. a c. U19

a. b =

6 11

6 11

 U U

=

5 35 50

= 3

b. U6= a + 5 b → a = U6– 5 b = 35 – 5 . 3

a = 35 – 15 = 20 c. U19 = a + (19 – 1) b = 20 + 18 . 3

= 20 + 54 = 74

atau bisa juga tidak dihitung dari a tetapi dari suku yang terdekat dengan suku ke-19. c. U19 = U11 + (19 – 11) . b = 50 + 8 . 3

= 50 + 24 = 74

3. Dari barisan aritmetika, suku ke-9 adalah 35 dan jumlah suku ke-3 dan suku ke-10 adalah 50.

Tentukan : a. b b. a c. U36

Penyelesaian :

a. U9 = 35 → a + 8b = 35

U3 + U10 = 5 → a + 2b + a + 9b = 50 → 2a + 11b = 50

a + 8b = 35 . 2 → 2a + 16b = 70

2a + 11b = 50 . 1 → 2a + 11b = 50 - 5b = 20

b = 4 a = 35 – 8 . 4 = 35 – 32

a = 3

b. U36 = a + (36 – 1) . b = 3 + 35 . 4

= 3 + 140 = 143

3. Dari barisan aritmetika : 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, …

Tentukan : a. rumus suku ke-n b. U45

Penyelesaian : a. b = 7 – 4 = 3

Un = a + (n – 1) b = 4 + (n – 1) . 3

Un = 4 + 3n – 3

Un = 3n + 1

b. U45 = a + (45 – 1) . b = 4 + 44 . 3

= 4 + 132 = 136 2. Deret Aritmetika

Deret Aritmetika adalah jumlah suku-suku barisan aritmetika. Bentuk umum Deret Aritmetika : U1 + U2 + U3 + U4+ … +Un = Sn

Jumlah n suku pertama :

Sn =

(

a

Un

)

2

n

_

atau

Sn =

.

{

2a

(

n

-

1

)

.

b

}

2

n

_

Contoh :

1. Tentukan jumlah dari deret aritmetika : 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + … + 72.

Jawab :

a = 3 ; b = 6 –3 = 3 ; Un = 72 → n dicari dulu Un = a + (n – 1) . b

72 = 3 + (n – 1) . 3 72 = 3 + 3n – 3

3n = 72 → n = 24

Sn =

2 n

( a + Un) atau : Sn =

2 n

{2a + (n – 1) . b} S24 =

2 24

(3 + 72) S24 =

2 24

{2 . 3 + (24 – 1) . 3}

= 12 . 75 = 12 (6 + 69) = 12 . 75

S25 = 900 S25 = 900

2. Deret aritmetika suku ke-6 = 18 dan suku ke-15 = 54. Tentukan jumlah 25 suku pertama Jawab :

U6 = 18 ; U15= 54 ; n = 25 → b dan a dicari dulu.

b =

6 15

U U_{15 6}

  ₌

9 36 9

18 54



 _{= 4}

a = U6– 5 . b = 18 – 5 . 4 = 18 – 20 = -2

Sn =

2 n

{2a + (n – 1) . b} S25 =

2 25

{ 2 . (-2) + (25 – 1) . 4} =

2 25

(-4 + 96) =

2 25

. 92 S25 = 1150

3. Tentukan jumlah seluruh angka yang terdiri dari dua angka dan habis dibagi dengan 3 Jawab :

DA : 12 + 15 + 18 + 21 + 24 + 27 + 30 + 33 + 36 + 39 + 42 + 45 + 48 + 51 + 54 + 57 + 60 + 63 + 66 + 69 + 72 + 75 + 78 + 81 + 84 + 87 + 90 + 93 + 96 + 99

banyaknya angka yang habis dibagi 3 ada 30 angka a = 12 ; b = 3 ; n = 30 ; Un = 99

Sn =

2 n

( a + Un) S30 =

2 30

(12 + 99) = 15 . 121 = 1815

4. Seutas tali dipotong menjadi 6 bagian. Potongan terpendek 28 cm dan potongan terpanjang 148 cm seperti halnya deret aritmetika. Tentukan panjang tali sebelum dipotong-potong.

Jawab :

Sn =

2 n

( a + Un) S6 =

2 6

(28 + 148) = 3 . 176 = 528 cm

5. Diketahui deret aritmetika, rumus jumlah n suku pertama adalah Sn = n2 + 2n. Tentukan

nilai dari suku ke 10. Penyelesaian : S10 = S9 + U10

S10 = 102 + 2 . 10 = 100 + 20 = 120

S9 = 92 + 2 . 9 = 81 + 18 = 99

U10 = S10– S9 = 120 – 99

= 21

6. Diketahui deret aritmetika, jumlah 8 suku pertama adalah 116 dan jumlah 4 suku pertama adalah 34.

Tentukan : a. beda b. suku pertama c. suku ke-12 Penyelesaian :

Sn =

2 n

{2a + (n – 1) b} S4 =

2 4

{2a + (4 – 1) b}

34 = 2 (2a + 3b)  4a + 6b = 34 … (1) S8 =

2 8

{2a + (8 – 1) b}

116 = 4 (2a + 7b) 8a + 28b = 116 … (2) Eliminasikan persamaan 2 dan 1

8a + 28b = 116 . 1  8a + 28b = 116 4a + 6 . 3 = 34 4a + 6b = 34 . 2  8a + 12b = 68 – 4a = 34 – 18

16b = 48 4a = 16 b = 3 a = 4 Un = a + (n – 1) b

U12 = 4 + (12 – 1) . 3

= 4 + 33 = 37

8.3. Menerapkan konsep barisan dan deret geometri 1. Barisan Geometri

Barisan geometri adalah barisan bilangan yang rasio antara dua bilangan yang berurutan tetap. Barisan Geometri : U1, U2, U3, U4, … Un

Dimana :

U1 = a = suku pertama

Un = suku yang ke-n r = rasio =

1 -n n

3 4

2 3

1 2

U U ... U U U U U U

   

1 n

n U

U r





Contoh :

1. Diketahui barisan geometri : 4, 8, 16, … . Tentukan :

a. rasio (r) b. U6

Jawab :

a. U1 = 4 dan U2 = 8

r = 1 2 U U

=

4 8

= 2 b. U6 = a . r6 – 1

= 4 . 25 = 4 . 32 = 128

2. Diketahui barisan geometri, suku ke-3 = 6 dan suku ke-5 = 54. Tentukan : a. rasio b. suku pertama c. suku ke-8

Jawab : a. r5 – 3 =

3 5 U U

r2 = 6 54

= 9  r = 3 b. U3 = a . r3 – 1

a = 2

3

r U

= 2 3

6 =

9 6 a =

3 2

c. U8 = U5 . r8 – 5

U8 = 54 . 33 = 54 . 27

= 1458

3. Diketahui rumus barisan geometri : Un = 2 . (3)n. Tentukan barisan bilangannya. Jawab :

Un = 2 . (3)n U1 = 2 . (3) = 6

U2 = 2 . (3)2 = 2 . 9 = 18

U3 = 2 . (3)3 = 2 . 27 = 54

U4 = 2 . (3)4= 2 . 81 = 162 ….

Maka barisan bilangannya adalah : 6, 18, 54, 162, …

Deret geometri adalah jumlah suku-suku dari barisan geometri. Bentuk dari Deret Geometri : U1 + U2 + U3 + U4+ … +Un = Sn

Jumlah n suku pertama :

Sn =

1

-r

)

1

-n

r

(

.

a

r  1 dan r > 1

Sn =

r

-1

)

n

r

-1

(

.

a

r  1 dan r < 1 Contoh :

1. Diketahui deret geometri : 2 + 10 + 50 + … . Tentukan :

a. rasio b. suku ke-6 c. Jumlah 6 suku pertama Jawab :

a. r = 1 2 U U

=

2 10

= 5 b. U6 = a . r6 – 1

= 2 . 55 = 2 . 3125 = 6250

c. S6 =

1) r (

1) (r .

a 6

 = (5 1) 1) (5 .

2 6



=

4 1) (15625 .

2 

=

4 31248

= 7812

2. Hitung jumlah deret geometri : 3 + 6 + 12 + … + 192. Jawab :

rasio r =

3 6

= 2 ; a = 3

Un = 192  Un = a . rn – 1 3 . 2n – 1 = 192

2n – 1 = 64 2n – 1 = 26

n – 1 = 6  n = 7

atau dengan membuat barisan geometri secara utuh : 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 + 192 n = 7

S7 =

1) r (

) 1 (r a 7

 = (2 1) 1) (2

3 7



= 1

1) (128

3 

= 3 . 127 = 381

3. Deret Geometri tak terhingga

Deret geometri : a + a . r + a . r2 + a . r3+ … + a . rn – 1 disebut deret geometri tak terhingga jika r < 1 atau {-1 < r < 1}, r  0.

Jumlah deret geometri sampai suku tak terhinga :

S

_

=

r

1

a



Contoh :

1. Jumlah deret tak terhingga dari : 2 + 1 +

2 1

+

4 1

+

8 1

+ … = ….

Jawab : rasio r =

2 1

S_ = r 1

a

 =

2 1 1

2 

=

2 1 2

= 4

2. Tentukan jumlah deret tak terhingga dari : 6 + 2 +

3 2

+

9 2

+ …

Jawab : rasio r =

6 2

=

3 1

S_ = r 1

a

 =

3 1 1

6



= 3 2 6

=

2 18

= 9

3. Bola dijatuhkan dari ketinggian 4 meter ke lantai. Setelah jatuh ke lantai bola emmantul kembali ke atas dengan ketinggian

3 2

dari ketinggian sebelumnya. Tentukan panjang lintasan bola sampai bola tersebut berhenti.

Jawab :

Setelah bola dijatuhkan ke lantai dan memantul kembali ke atas, maka masing-masing ketinggian mempunyai dua lintasan, sehingga panjang lintasan bola sampai berhenti rumusnya harus dikalikan dengan 2 dan dikurangi ketinggian pertama (karena ketinggian pertama hanya ada satu lintasan).

S_ = 2 . r 1

a

 – a

= 2 . 3 2 1

4

= 2 . 3 1 4

– 4 = 2 . 12 – 4

= 24 – 4 = 20 meter Soal Latihan :

1. Nilai dari



 

8 4 k

1) (k

k 2 = ….

a. 930 b. 980 c. 1020 d. 1230 e. 1320

2. Nyatakan dengan notasi sigma : 4 + 9 + 14 + 19 + 24 + 29 + 34 + 39 + 44 = ….

a.



 

7 0 n

1) 4n

( c.



 

7 1 n

1) 5n

( e.



 

6 1 n

1) 4n ( b.



 

7 0 n

1) 5n

( d.



 

9 1 n

1) n 5

(

3. Empat buah suku pertama dari barisan bilangan dengan rumus : Un = n2+ n adalah …. a. 2, 4, 8, 12 b. 2, 5, 7, 13 c. 2, 6, 10, 14 d. 2, 6, 12, 20 e. 2, 8, 16, 32 4. Rumus suku ke-n dari barisan aritmetika : 5, 8, 11, 14, 17, ... adalah ….

a. Un = 8n – 3 c. Un = 3n + 5 e. Un = 2n + 3

b. Un = 5n + 3 d. Un = 3n + 2

5. Suku ke-15 dari barisan aritmetika : 3, 5, 7, 9, … adalah ….

a. 27 b. 29 c. 31 d. 33 e. 35

6. Diketahui deret aritmetika, suku pertama sama dengan 4 dan bedanya 2. Jika jumlah n suku pertama 180, maka banyaknya suku n adalah ….

a. 6 b. 9 c. 12 d. 15 e. 18

7. Diketahui deret aritmetika, suku ke-5 = 3 dan suku ke-9 = 19. Suku pertamanya adalah ….

a. 1 b. -3 c. -9 d. -13 e. -19

8. Diketahui barisan aritmetika, U2 = 5, U4 + U6 = 28. Nilai suku ke-9 adalah ….

a. 28 b. 27 c. 26 d. 25 e. 24

9. Diketahui deret aritmetika, suku ke-3 = 8 dan suku ke-9 = 26. Jumlah 12 suku pertama

adalah ….

a. 225 b. 222 c. 201 d. 62 e. 35

10. Amir pada bulan pertama menabung uangnya di bank sebesar Rp 50.000,-. Jika tiap bulan uang yang ditabung Amir ditambah Rp 10.000,- dari bulan sebelumnya, maka uang yang ditabung Amir pada bulan ke-12 adalah ….

a. Rp 180.000,- c. Rp 150.000,- e. Rp 120.000,-

b. Rp 160.000,- d. Rp 130.000,-

11. Jumlah seluruh bilangan dari 1 sampai 100 yang habis dibagi 4 adalah ….

a. 1.264 b. 1.272 c. 1.280 d. 1.296 e. 1.300

12. Diketahui rumus suku ke-n dari deret aritmetika adalah Un = 2 + 3n. Jumlah 10 suku pertama adalah ….

a. 170 b. 175 c. 180 d. 185 e. 190

13. Suku pertama dari barisan geometri 27 dan suku ke-5 = 3 1

, maka suku ke-8 adalah …. a.

9 1

b.

18 1

c.

27 1

d.

45 1

e.

81 1

14. Diketahui barisan geomatri : 3, 6, 12, …. Nilai suku ke-7 adalah ….

a. 96 b. 144 c. 168 d. 192 e. 216

15. Dari barisan geometri, suku ke-4 = 16 dan suku ke-7 = 128. Rasio dari barisan geometri

tersebut adalah ….

a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6

16. Diketahui barisan geometri, suku ke-2 = 6 dan suku ke-5 = 162. Nilai dari suku ke-7

adalah ….

a. 648 b. 972 c. 1.296 d. 1.458 e. 1.620

17. Diketahui deret geometri : 4 + 8 + 16 + …. Jumlah 6 suku pertama adalah ….

a. 126 b. 128 c. 252 d. 256 e. 276

18. Diketahui deret geometri :

16 1

+

8 1

+

4 1

+ … + 16 = x. Nilai x adalah ….

a.

8 511

b.

16 511

c.

4 127

d.

8 251

e.

16 251

19. Jumlah tak terhingga deret geometri : 3 + 1 +

3 1

+ … adalah ….

a. 4

3 1

b. 4

2 1

c. 4

3 2

d. 5 e. 5

3 1

20. Jumlah tak terhingga deret geometri dengan suku pertama 12 dan rasio

4 1

adalah ….

Sn = 2 n

( a + Un) S6 =

2 6

(28 + 148) = 3 . 176 = 528 cm

5. Diketahui deret aritmetika, rumus jumlah n suku pertama adalah Sn = n2 + 2n. Tentukan nilai dari suku ke 10.

Penyelesaian : S10 = S9 + U10

S10 = 102 + 2 . 10 = 100 + 20 = 120 S9 = 92 + 2 . 9 = 81 + 18 = 99 U10 = S10 – S9 = 120 – 99 = 21

6. Diketahui deret aritmetika, jumlah 8 suku pertama adalah 116 dan jumlah 4 suku pertama adalah 34.

Tentukan : a. beda b. suku pertama c. suku ke-12 Penyelesaian :

Sn = 2 n

{2a + (n – 1) b} S4 =

2 4

{2a + (4 – 1) b}

34 = 2 (2a + 3b)  4a + 6b = 34 … (1) S8 =

2 8

{2a + (8 – 1) b}

116 = 4 (2a + 7b) 8a + 28b = 116 … (2) Eliminasikan persamaan 2 dan 1

8a + 28b = 116 . 1  8a + 28b = 116 4a + 6 . 3 = 34 4a + 6b = 34 . 2  8a + 12b = 68 – 4a = 34 – 18

16b = 48 4a = 16 b = 3 a = 4 Un = a + (n – 1) b

U12 = 4 + (12 – 1) . 3 = 4 + 33

= 37

8.3. Menerapkan konsep barisan dan deret geometri 1. Barisan Geometri

Barisan geometri adalah barisan bilangan yang rasio antara dua bilangan yang berurutan tetap. Barisan Geometri : U1, U2, U3, U4, … Un

Dimana :

U1 = a = suku pertama Un = suku yang ke-n r = rasio =

1 -n n 3

4 2 3 1 2

U U ... U U U U U U

    1 n

n

U U r

 

Contoh :

1. Diketahui barisan geometri : 4, 8, 16, … . Tentukan :

a. rasio (r) b. U6

Jawab :

a. U1 = 4 dan U2 = 8 r =

1 2

U U

= 4 8

= 2 b. U6 = a . r6 – 1

= 4 . 25 = 4 . 32 = 128

2. Diketahui barisan geometri, suku ke-3 = 6 dan suku ke-5 = 54. Tentukan : a. rasio b. suku pertama c. suku ke-8

Jawab : a. r5 – 3 =

3 5

U U

r2 = 6 54

= 9  r = 3 b. U3 = a . r3 – 1

a =

2 3 r U

=

2

3 6

= 9 6 a =

3 2

c. U8 = U5 . r8 – 5

U8 = 54 . 33 = 54 . 27 = 1458

3. Diketahui rumus barisan geometri : Un = 2 . (3)n. Tentukan barisan bilangannya. Jawab :

Un = 2 . (3)n U1 = 2 . (3) = 6

U2 = 2 . (3)2 = 2 . 9 = 18 U3 = 2 . (3)3 = 2 . 27 = 54 U4 = 2 . (3)4= 2 . 81 = 162 ….

Maka barisan bilangannya adalah : 6, 18, 54, 162, …

Deret geometri adalah jumlah suku-suku dari barisan geometri. Bentuk dari Deret Geometri : U1 + U2 + U3 + U4+ … +Un = Sn Jumlah n suku pertama :

Sn =

1

-r

)

1

-n

r

(

.

a

r  1 dan r > 1

Sn

=

r

-1

)

n

r

-1

(

.

a

r  1 dan r < 1 Contoh :

1. Diketahui deret geometri : 2 + 10 + 50 + … . Tentukan : a. rasio b. suku ke-6 c. Jumlah 6 suku pertama Jawab :

a. r =

1 2

U U

= 2 10

= 5 b. U6 = a . r6 – 1

= 2 . 55 = 2 . 3125 = 6250

c. S6 =

1) r (

1) (r .

a 6

 = (5 1)

1) (5 .

2 6



=

4 1) (15625 .

2 

= 4 31248 = 7812

2. Hitung jumlah deret geometri : 3 + 6 + 12 + … + 192. Jawab :

rasio r = 3 6

= 2 ; a = 3

Un = 192  Un = a . rn – 1 3 . 2n – 1 = 192

2n – 1 = 64 2n – 1 = 26

n – 1 = 6  n = 7

atau dengan membuat barisan geometri secara utuh : 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 + 192 n = 7

S7 =

1) r (

) 1 (r a 7

 = (2 1)

1) (2

3 7



= 1

1) (128

3 

= 3 . 127 = 381

3. Deret Geometri tak terhingga

Deret geometri : a + a . r + a . r2 + a . r3+ … + a . rn – 1 disebut deret geometri tak terhingga jika r < 1 atau {-1 < r < 1}, r  0.

Jumlah deret geometri sampai suku tak terhinga :

S

_

=

r

1

a



Contoh :

1. Jumlah deret tak terhingga dari : 2 + 1 + 2 1

+ 4 1

+ 8 1

+ … = …. Jawab :

rasio r = 2 1

S_ = r 1

a

 =

2 1 1

2



= 2 1 2

= 4

2. Tentukan jumlah deret tak terhingga dari : 6 + 2 + 3 2

+ 9 2

+ … Jawab :

rasio r = 6 2

= 3 1

S_ = r 1

a

 =

3 1 1

6



= 3 2 6

= 2 18

= 9

3. Bola dijatuhkan dari ketinggian 4 meter ke lantai. Setelah jatuh ke lantai bola emmantul kembali ke atas dengan ketinggian

3 2

dari ketinggian sebelumnya. Tentukan panjang lintasan bola sampai bola tersebut berhenti.

Jawab :

Setelah bola dijatuhkan ke lantai dan memantul kembali ke atas, maka masing-masing ketinggian mempunyai dua lintasan, sehingga panjang lintasan bola sampai berhenti rumusnya harus dikalikan dengan 2 dan dikurangi ketinggian pertama (karena ketinggian pertama hanya ada satu lintasan).

S_ = 2 . r 1

a

 – a

= 2 . 3 2 1

4

= 2 . 3 1 4

– 4

= 2 . 12 – 4 = 24 – 4 = 20 meter Soal Latihan :

1. Nilai dari



 

8 4 k

1) (k

k 2 = ….

a. 930 b. 980 c. 1020 d. 1230 e. 1320

2. Nyatakan dengan notasi sigma : 4 + 9 + 14 + 19 + 24 + 29 + 34 + 39 + 44 = …. a.



 

7

0 n

1) 4n

( c.



 

7 1 n

1) 5n

( e.



 

6

1 n

1) 4n ( b.



 

7

0 n

1) 5n

( d.



 

9 1 n

1) n 5

(

3. Empat buah suku pertama dari barisan bilangan dengan rumus : Un = n2+ n adalah …. a. 2, 4, 8, 12 b. 2, 5, 7, 13 c. 2, 6, 10, 14 d. 2, 6, 12, 20 e. 2, 8, 16, 32 4. Rumus suku ke-n dari barisan aritmetika : 5, 8, 11, 14, 17, ... adalah ….

a. Un = 8n – 3 c. Un = 3n + 5 e. Un = 2n + 3 b. Un = 5n + 3 d. Un = 3n + 2

5. Suku ke-15 dari barisan aritmetika : 3, 5, 7, 9, … adalah ….

a. 27 b. 29 c. 31 d. 33 e. 35

6. Diketahui deret aritmetika, suku pertama sama dengan 4 dan bedanya 2. Jika jumlah n suku pertama 180, maka banyaknya suku n adalah ….

a. 6 b. 9 c. 12 d. 15 e. 18

7. Diketahui deret aritmetika, suku ke-5 = 3 dan suku ke-9 = 19. Suku pertamanya adalah ….

a. 1 b. -3 c. -9 d. -13 e. -19

8. Diketahui barisan aritmetika, U2 = 5, U4 + U6 = 28. Nilai suku ke-9 adalah ….

a. 28 b. 27 c. 26 d. 25 e. 24

9. Diketahui deret aritmetika, suku ke-3 = 8 dan suku ke-9 = 26. Jumlah 12 suku pertama adalah ….

a. 225 b. 222 c. 201 d. 62 e. 35

10. Amir pada bulan pertama menabung uangnya di bank sebesar Rp 50.000,-. Jika tiap bulan uang yang ditabung Amir ditambah Rp 10.000,- dari bulan sebelumnya, maka uang yang ditabung Amir pada bulan ke-12 adalah ….

a. Rp 180.000,- c. Rp 150.000,- e. Rp 120.000,-

b. Rp 160.000,- d. Rp 130.000,-

11. Jumlah seluruh bilangan dari 1 sampai 100 yang habis dibagi 4 adalah …. a. 1.264 b. 1.272 c. 1.280 d. 1.296 e. 1.300

12. Diketahui rumus suku ke-n dari deret aritmetika adalah Un = 2 + 3n. Jumlah 10 suku pertama adalah ….

a. 170 b. 175 c. 180 d. 185 e. 190

13. Suku pertama dari barisan geometri 27 dan suku ke-5 = 3 1

, maka suku ke-8 adalah …. a.

9 1

b. 18

1

c. 27

1

d. 45

1

e. 81

14. Diketahui barisan geomatri : 3, 6, 12, …. Nilai suku ke-7 adalah ….

a. 96 b. 144 c. 168 d. 192 e. 216

15. Dari barisan geometri, suku ke-4 = 16 dan suku ke-7 = 128. Rasio dari barisan geometri tersebut adalah ….

a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6

16. Diketahui barisan geometri, suku ke-2 = 6 dan suku ke-5 = 162. Nilai dari suku ke-7 adalah ….

a. 648 b. 972 c. 1.296 d. 1.458 e. 1.620

17. Diketahui deret geometri : 4 + 8 + 16 + …. Jumlah 6 suku pertama adalah ….

a. 126 b. 128 c. 252 d. 256 e. 276

18. Diketahui deret geometri : 16

1 +

8 1

+ 4 1

+ … + 16 = x. Nilai x adalah …. a.

8 511

b. 16 511

c. 4 127

d. 8 251

e. 16 251

19. Jumlah tak terhingga deret geometri : 3 + 1 +

3 1

+ … adalah …. a. 4

3 1

b. 4 2 1

c. 4 3 2

d. 5 e. 5

3 1

20. Jumlah tak terhingga deret geometri dengan suku pertama 12 dan rasio 4 1

adalah ….