9. Modul Matriks Pak Sukani
MATRIKS
a. Kesamaan dua Matriks
Contoh :
1. A =
3 4 3 2
y x
dan B =
3 2
5 z
z
. Jika A = B, tentukan x, y, dan z Jawab :
2x – 3 = 5 2x = 5 + 3 x = 4 z = 4
y = 2z y = 8
2. A =
1 2
5 b a
b a
dan B =
1 7
2 5
. Jika A = B, tentukan a dan b Jawab :
a + b = 2 3 + b = 2
2a – b = 7 + b = 2 – 3 3a = 9 a = 3 b = –1
b. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Contoh :
Diketahui A =
1 3
4 2
dan B =
3 2
2 5
. Hitung A + B dan B – A. Jawab :
Dua matriks dikatakan sama jika dan hanya jika mempunyai ordo yang sama dan elemen-elemen yang seletak nilainya sama.
A =
22 21
12 11
a a
a a
dan B =
22 21
12 11
b b
b b
A = B jika : a11 = b11, a12 = b12, a21 = b21, dan a22 = b22.
Syarat penjumlahan dan pengurangan dari matriks adalah ordo matriks harus sama. Caranya adalah dengan menjumlahkan atau mengurangkan elemen-elemen matriks yang seletak.
A =
22 21
12 11
a a
a a
dan B =
22 21
12 11
b b
b b
A + B =
22 22 21 21
12 12 11 11
b a b a
b a b a
A – B =
22 22 21 21
12 12 11 11
b a b a
b a b a
(2)
A + B =
3 1 2 3
2 4 5 2
=
2 5
6 3
B – A =
1 3 3 2
4 2 2 5
=
4 1
2 7
c. Perkalian matriks dengan skalar
Contoh :
A =
2 5
3 1
dan B =
1 2
4 3
. Hitung 2A + 3B Jawab :
2A + 3B = 2 .
2 5
3 1
+ 3 .
1 2
4 3
=
4 10
6 2
+
3 6
12 9
=
3 4 6 10
12 6 9 2
=
1 4
18 7
d. Perkalian dua matriks
Contoh : 1. A =
1 2
4 3
2 1
dan B =
1 4 2
2 1 3
. Tentukan A x B dan B x A
A =
22 21
12 11
a a
a a
mA =
22 21
12 11
ma ma
ma ma
Syarat perkalian dua matriks adalah jumlah kolom pada matriks pertama harus sama dengan jumlah baris pada matriks kedua.
Caranya adalah baris x kolom
Jika A berordo (3 x 2) dan B berordo (2 x 3) maka : A x B berordo (3 x 3)
B x A berordo (2 x 2)
Perkalian matriks tidak komutatif
A =
22 21
12 11
a a
a a
dan B =
22 21
12 11
b b
b b
A x B =
22 22 12 21 21 22 11 21
22 12 12 11 21 12 11 11
xb a xb a xb a xb a
xb a xb a xb a xb a
(3)
Jawab : A x B =
1 2 4 3 2 1
x
1 4 2 2 1 3 = 1 ) 1 ( ) 2 ( 2 ) 4 ( ) 1 ( 1 2 2 ) 1 ( ) 3 ( 2 1 4 ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( 4 1 ) 3 ( 2 4 ) 3 ( ) 3 ( 1 ) 2 ( ) 2 ( 1 ) 4 ( ) 2 ( 1 1 2 ) 2 ( ) 3 ( 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x = 1 2 4 2 2 6 4 6 16 3 8 9 2 2 8 1 4 3 = 3 6 8 10 19 17 4 9 7
B x A =
1 4 2 2 1 3 x 1 2 4 3 2 1 = ) 1 ( 1 4 ) 4 ( ) 2 ( 2 2 1 ) 3 ( ) 4 ( 1 2 ) 1 ( ) 2 ( 4 1 ) 2 ( ) 3 ( 2 ) 2 ( ) 3 ( 1 1 ) 3 ( x x x x x x x x x x x x = 1 16 4 2 12 2 2 4 6 4 3 3 = 21 16 12 10
2. Jika A =
3 1 4 2
, hitung A2 + A. Jawab :
A2 = A x A =
3 1 4 2
x
3 1 4 2 = 1 1 4 ) 3 ( ) 3 ( 1 2 ) 3 ( 1 4 4 2 ) 3 ( 4 2 2 x x x x x x x x = 1 12 3 6 4 8 12 4 = 11 9 12 8 A2 + A =
11 9 12 8 +
3 1 4 2 = 10 12 16 6
e. Determinan
Contoh :
Tentukan determinan dari A = 4 3 1 2 Jawab :
det. A = 2 . 4 – 3 . 1 = 8 – 3 = 5
Ordo (2 x 2)
A =
22 21 12 11 a a a a
(4)
f. Invers matriks
Contoh :
1. Tentukan matriks invers dari A =
4 6
1 2
. Jawab :
A–1 =
6 2
1 4 ) 6 ( 8
1
=
6 2
1 4 6 8
1
=
6 2
1 4 2 1
=
1 3
2 1 2
2. Diketahui matriks P =
2 1
2 3
. Jika P . Q = I, dimana I = matriks identitas, tentukan matriks Q.
Jawab :
Q = P–1 =
1 3
2 2 ) 2 ( 6
1
=
1 3
2 2 2 6
1
=
1 3 2 2 8 1
=
8 3 8 1
4 1 4 1
A . A–1 = A–1 . A = I I = matriks identitas =
1 0
0 1 A–1 = invers/kebalikan dari matriks A
A =
22 21
12 11
a a
a a
A–1 =
21 11
12 22
12 21 22 11.
1
a a
a a
a a a
a
22 21
12 11
a a
a a
diubah menjadi
11 21
12 22
a a
a a
(5)
Pembahasan soal-soal :
1. Diketahui matriks A =
b a 10
2 b a
dan B =
3 10
2 1
. Nilai a dan b berturut-turut
jika A = B adalah ….
A. –1 dan 0 B. 0 dan 1 C. –1 dan 1 D. 1 dan –2 E. –2 dan 1 UN 06/07 Paket A
Jawab : D Penyelesaian :
b a 10
2 b a
=
3 10
2 1 a + b = –1 a + b = –1 a – b = 3 + a – b = 3 – 2a = 2 2b = –4 a = 1 b = –2 2. Diketahui matriks A =
2 5
3 4
, B =
6 4
2 10
, dan C =
3 1
5 7
. Maka 2A -
2 1
B + C = ….
A.
2 9
10 10
C.
4 9
10 10
E.
2 13
12 10
B.
4 1
12 20
D.
4 13
10 10 UN 07/08
Jawab : C Penyelesaian : 2A -
2 1
B + C = 2
2 5
3 4
- 2 1
6 4
2 10
+
3 1
5 7
=
4 10
6 8
-
3 2
1 5
+
3 1
5 7
=
3 3 4 1 2 10
5 1 6 7 5 8
=
4 9
10 10
3. Jika matriks A =
4 3
dan B =
5 3
, maka hasil dari A x B adalah ….A. (-3) B. (-11) C.
2 15
D.
20 9
E.
12 20
9 15 UN 07/08
Jawab : E Penyelesaian :
(6)
A x B =
4 3
x
5 3
=
12 20
9 15
4. Hasil dari :
4 3
2 1 4 3
2
1 2
= ….
A.
12 6
2 0
B.
12 2
6 0
C.
16 12
8 6
D.
18 12
8 6
E.
12 16
8 0 UN 03/04
Jawab : D Penyelesaian :
4 3
2 1 4 3
2
1 2
=
4 3
2 1 4 3
2 1 . 4 3
2 1
=
16 6 12 3
8 2 6 1
-
4 3
2 1
=
22 15
10 7
-
4 3
2 1
=
18 12
8 6
5. Diketahui matriks A =
3 2
1 4
dan B =
4 1
3 2
. Nilai dari A2–B = ….
A.
5 3
2 14
C.
11 15
10 16
E.
14 5
3 2
B.
3 13
10 12
D.
13 5
4 18 UN 04/05
Jawab : B Penyelesaian :
A2 = A . A =
3 2
1 4
.
3 2
1 4
=
9 2 6 8
3 4 2 16
=
7 14
7 14
A2– B =
7 14
7 14
–
4 1
3 2
=
4 7 1 14
3 7 2 14
(7)
=
3 13
10 12
6. Invers matriks A =
3 2
0 1
adalah ….
A.
0 1
2 1 3 2
B.
3 1 3
2 0
1
C.
0 3 1
1 3 2
D.
3 2 1
3 1 0
E.
2 1 0 3
UN 05/06 Jawab : B Penyelesaian :
A =
3 2
0 1
Adj. A =
2 1 0 3
Matriks invers
A-1 =
2 1
0 3 0 . 2 3 . 1
1
= 3 1
2 1 0 3
=
3 1 3 2
0 1
7. Invers matriks A =
3 2
5 4
adalah ….
A.
2 1
2 5 2 3
C.
2 3 1
2 5 2
E.
2 1
2 5 2 3
B.
2
1 2
5 2 3
D.
2 3 1
2 5 2
UN 06/07 Paket A Jawab : A
Penyelesaian :
A–1 = A det
A Adj
=
10 12
4 2
5 3
=
2 4 2
5 3
(8)
=
2 1
2 5 2 3
Soal latihan :
1. Diketahui matriks A =
6 2y 3
x 4 2
dan B =
z 3 2 3
3 4 2
. Jika A = B, maka nilai x, y, z
adalah ….
A. 1, 2, dan 3 C. 1, 2, dan 3 E. 2, 3, dan 1 B. 3, 1, dan 2 D. 3, 2, dan 1
2. Diketahui
0 1
3 2
A ,
4 y
2 z x
B dan
8 3
1 2
C .
Jika berlaku A – 2B = C maka x + y + z = ....
A. -5 B. -3 C. 4 D. 5 E. 8
3. Matriks A = 2 1
3 2
; B =
3 1
2 3
, matriks 2A + 3B =….
A. 5 5
0 13
B.
5 5
0 13
C.
5 5
0 13
D.
5 5
0 13
E.
5 5
1 12
4. Diketahui matriks A =
1 4 2 3
, B =
2 4
3 5
dan C =
1 4
5 2
. Nilai 2A + 3B - C = ….
A.
13 6
10 23
C.
6 13
10 23
E.
13 6
10 23
B.
18 15 18 19
D.
15 18
10 19
5. Diketahui matriks A =
2 3 5 1
, B =
4 1
2 2
dan C =
1 5
4 3
. Nilai A + B – C = ….
A.
6 4
7 0
C.
8 6
1 6
E.
8 6
1 6
B.
6 4
7 0
D.
6 4
1 6
6. Matriks A =
3 2
5 4
dan B =
2 3
4 1
. Nilai A x Bt= ….
A.
14 14
20 2
C.
11 2 26 11
E.
14 0 22 16
B.
0 14
22 16
D.
14 14 20 2
(9)
7. Matriks A =
0 2 4
3 1 2
dan B =
2 1
2 3
1 1
. Nilai A x B = ....
A.
0 6
2 2
C.
0 2
6 2
E.
0 3
4 3
B.
0 6
6 4
D.
0 2
6 4
8. Matriks A =
3 2
5 4
dan B =
2 3
4 1
. Nilai Atx B = ….
A.
14 14
20 2
C.
14 14 20 10
E.
26 4
12 10
B.
14 14
20 10
D.
14 14 20 2
9. Matriks A =
4 3
2 1
, B =
1 1 2 3
dan C =
2q p
0 5
. Jika A x B = C, nilai dari 2p + q = ....
A. 5 B. 8 C. 10 D. 15 E. 20
10. Matriks A =
4 3
2 1
, B =
1 1 2 3
dan C =
q p
3 1
. Jika A x Bt = C, nilai p + 2q = ....
A. 3 B. 9 C. 12 D. 19 E. 25
11. Diketahui matriks A =
0 1
1 2
, B =
1 2
4 3
dan C =
q 3
9 p 2
. Jika A x B = C, maka
nilai dari 2(p + q) adalah ….
A. 10 B. 12 C. 16 D. 18 E. 24
12. Diketahui A =
3 2
1 4
, B =
4 1
3 2
. Nilai A2–B adalah ….
A.
5 3
2 14
C.
11 15
10 16
E.
14 5
3 2
B.
3 13
10 12
D.
13 5
4 18
13. Jika A = 2 1 3 2
; B = 3 2 2 1
maka A 2–
B2= …. A. 14 7
14 7
C.
14 7 14 7
E.
6 4
4 2
B. 12 3
8 5
D.
12 3 8 5
(10)
14. Matriks P = 4 5 2 3
maka |P|= ….
A. 8 B. 5 C. 4 D. 3 E. 2
15. Jika matriks A = 2 1 3 2
; B =
3 2 1 0
maka |2A –B| =….
A. 22 B. 24 C. 28 D. 32 E. 38
16. Invers matriks A =
1 3
2 7
adalah ….
A.
7 3
2 1
B.
1 3
2 7
C.
7 3
2 1
D.
3 7 2 1
E.
7 3
4 1
17. Matriks B = 6 5 5 4
maka B -1=….
A. 4 5
5 6
C.
6 5
5 4
E.
1 0 0 1
B. 4 5
5 6
D.
6 5
5 4
18. Diketahui matriks A =
1 1
4 2
. Invers dari matriks A adalah ….
A.
1 2 1
2 2 1
C.
1
2 2
1 2 1
E.
2 1 2
2 1 1
B.
2 1 2 1
2 1
D.
2 1 2
2 1 1
19. Invers dari matriks A =
3 1
8 4
adalah ….
A.
4 1 4 1
2 4 3
B.
1 2
1 4
1 4 3
C.
1 1
2 3
D.
1 4 1
2 4 3
E.
4 3 4 1
2 1
20. Jika
2 1
7 4
B dan A.B = I, dengan I matriks satuan , maka A =....
A.
4 1
7 2
C.
4 1
7 2
E.
15 4 15
1 15
7 15
2
B.
4 1
7 2
D.
15 4 15
1 15
7 15
(1)
1. Diketahui matriks A =
b a 10
2 b a
dan B =
3 10
2 1
. Nilai a dan b berturut-turut jika A = B adalah ….
A. –1 dan 0 B. 0 dan 1 C. –1 dan 1 D. 1 dan –2 E. –2 dan 1 UN 06/07 Paket A
Jawab : D Penyelesaian :
b a 10
2 b a
=
3 10
2 1 a + b = –1 a + b = –1 a – b = 3 + a – b = 3 – 2a = 2 2b = –4 a = 1 b = –2 2. Diketahui matriks A =
2 5
3 4
, B =
6 4
2 10
, dan C =
3 1
5 7
. Maka 2A -
2 1
B + C = ….
A.
2 9
10 10
C.
4 9
10 10
E.
2 13
12 10
B.
4 1
12 20
D.
4 13
10 10 UN 07/08
Jawab : C Penyelesaian : 2A -
2 1
B + C = 2
2 5
3 4
- 2 1
6 4
2 10
+
3 1
5 7
=
4 10
6 8
-
3 2
1 5
+
3 1
5 7
=
3 3 4 1 2 10
5 1 6 7 5 8
=
4 9
10 10
3. Jika matriks A =
4 3
dan B =
5 3
, maka hasil dari A x B adalah ….A. (-3) B. (-11) C.
2 15
D.
20 9
E.
12 20
9 15 UN 07/08
Jawab : E Penyelesaian :
(2)
A x B =
4 3
x
5 3
=
12 20
9 15
4. Hasil dari :
4 3
2 1 4 3
2
1 2
= ….
A.
12 6
2 0
B.
12 2
6 0
C.
16 12
8 6
D.
18 12
8 6
E.
12 16
8 0 UN 03/04
Jawab : D Penyelesaian :
4 3
2 1 4 3
2
1 2
=
4 3
2 1 4 3
2 1 . 4 3
2 1
=
16 6 12 3
8 2 6 1
-
4 3
2 1
=
22 15
10 7
-
4 3
2 1
=
18 12
8 6
5. Diketahui matriks A =
3 2
1 4
dan B =
4 1
3 2
. Nilai dari A2–B = ….
A.
5 3
2 14
C.
11 15
10 16
E.
14 5
3 2
B.
3 13
10 12
D.
13 5
4 18 UN 04/05
Jawab : B Penyelesaian :
A2 = A . A =
3 2
1 4
.
3 2
1 4
=
9 2 6 8
3 4 2 16
=
7 14
7 14
A2– B =
7 14
7 14
–
4 1
3 2
= 142 73
(3)
=
3 13
10 12
6. Invers matriks A =
3 2
0 1
adalah ….
A.
0 1
2 1 3 2
B.
3 1 3
2 0
1
C.
0 3 1
1 3 2
D.
3 2 1
3 1 0
E.
2 1 0 3
UN 05/06 Jawab : B Penyelesaian :
A =
3 2
0 1
Adj. A =
2 1 0 3
Matriks invers
A-1 =
2 1
0 3 0 . 2 3 . 1
1
= 3 1
2 1 0 3
=
3 1 3 2
0 1
7. Invers matriks A =
3 2
5 4
adalah ….
A.
2 1
2 5 2 3
C.
2 3 1
2 5 2
E.
2 1
2 5 2 3
B.
2
1 2
5 2 3
D.
2 3 1
2 5 2
UN 06/07 Paket A Jawab : A
Penyelesaian :
A–1 = A det
A Adj
=
10 12
4 2
5 3
=
2 4 2
5 3
(4)
=
2 1
2 5 2 3
Soal latihan :
1. Diketahui matriks A =
6 2y 3
x 4 2
dan B =
z 3 2 3
3 4 2
. Jika A = B, maka nilai x, y, z adalah ….
A. 1, 2, dan 3 C. 1, 2, dan 3 E. 2, 3, dan 1 B. 3, 1, dan 2 D. 3, 2, dan 1
2. Diketahui
0 1
3 2
A ,
4 y
2 z x
B dan
8 3
1 2
C .
Jika berlaku A – 2B = C maka x + y + z = ....
A. -5 B. -3 C. 4 D. 5 E. 8
3. Matriks A = 2 1
3 2
; B =
3 1
2 3
, matriks 2A + 3B =….
A. 5 5
0 13
B.
5 5
0 13
C.
5 5
0 13
D.
5 5
0 13
E.
5 5
1 12
4. Diketahui matriks A =
1 4 2 3
, B =
2 4
3 5
dan C =
1 4
5 2
. Nilai 2A + 3B - C = ….
A.
13 6
10 23
C.
6 13
10 23
E.
13 6
10 23
B.
18 15 18 19
D.
15 18
10 19
5. Diketahui matriks A =
2 3 5 1
, B =
4 1
2 2
dan C =
1 5
4 3
. Nilai A + B – C = ….
A.
6 4
7 0
C.
8 6
1 6
E.
8 6
1 6
B.
6 4
7 0
D.
6 4
1 6
6. Matriks A =
3 2
5 4
dan B =
2 3
4 1
. Nilai A x Bt= ….
A.
14 14
20 2
C.
11 2 26 11
E.
14 0 22 16
B.
0 14
22 16
D.
14 14 20 2
(5)
7. Matriks A =
0 2 4
3 1 2
dan B =
2 1
2 3
1 1
. Nilai A x B = ....
A.
0 6
2 2
C.
0 2
6 2
E.
0 3
4 3
B.
0 6
6 4
D.
0 2
6 4
8. Matriks A =
3 2
5 4
dan B =
2 3
4 1
. Nilai Atx B = ….
A.
14 14
20 2
C.
14 14 20 10
E.
26 4
12 10
B.
14 14
20 10
D.
14 14 20 2
9. Matriks A =
4 3
2 1
, B =
1 1 2 3
dan C =
2q p
0 5
. Jika A x B = C, nilai dari 2p + q = ....
A. 5 B. 8 C. 10 D. 15 E. 20
10. Matriks A =
4 3
2 1
, B =
1 1 2 3
dan C =
q p
3 1
. Jika A x Bt = C, nilai p + 2q = ....
A. 3 B. 9 C. 12 D. 19 E. 25
11. Diketahui matriks A =
0 1
1 2
, B =
1 2
4 3
dan C =
q 3
9 p 2
. Jika A x B = C, maka nilai dari 2(p + q) adalah ….
A. 10 B. 12 C. 16 D. 18 E. 24
12. Diketahui A =
3 2
1 4
, B =
4 1
3 2
. Nilai A2–B adalah ….
A.
5 3
2 14
C.
11 15
10 16
E.
14 5
3 2
B.
3 13
10 12
D.
13 5
4 18
13. Jika A = 2 1 3 2
; B = 3 2 2 1
maka A 2–
B2= …. A. 14 7
14 7
C.
14 7 14 7
E.
6 4
4 2
B. 12 3
8 5
D.
12 3 8 5
(6)
14. Matriks P = 4 5 2 3
maka |P|= ….
A. 8 B. 5 C. 4 D. 3 E. 2
15. Jika matriks A = 2 1 3 2
; B =
3 2 1 0
maka |2A –B| =….
A. 22 B. 24 C. 28 D. 32 E. 38
16. Invers matriks A =
1 3
2 7
adalah ….
A.
7 3
2 1
B.
1 3
2 7
C.
7 3
2 1
D.
3 7 2 1
E.
7 3
4 1
17. Matriks B = 6 5 5 4
maka B -1=….
A. 4 5
5 6
C.
6 5
5 4
E.
1 0 0 1
B. 4 5
5 6
D.
6 5
5 4
18. Diketahui matriks A =
1 1
4 2
. Invers dari matriks A adalah ….
A.
1 2 1
2 2 1
C.
1
2 2
1 2 1
E.
2 1 2
2 1 1
B.
2 1 2 1
2 1
D.
2 1 2
2 1 1
19. Invers dari matriks A =
3 1
8 4
adalah ….
A.
4 1 4 1
2 4 3
B.
1 2
1 4
1 4 3
C.
1 1
2 3
D.
1 4 1
2 4 3
E.
4 3 4 1
2 1
20. Jika
2 1
7 4
B dan A.B = I, dengan I matriks satuan , maka A =....
A.
4 1
7 2
C.
4 1
7 2
E.
15 4 15
1 15
7 15
2
B.
4 1
7 2
D.
4
1 15
7 15