Kata-kata kunci : Polinomial lagrange. Abstract - Integrasi Numeris dengan Menggunakan Polinomial Lagrange
Hutahaean,
Vol. 12 No. 2dkk.
April 2005
urnal
TEKNIK SIPIL
Integrasi Numeris dengan Menggunakan Polinomial Lagrange
Syawaluddin H1)
Hang Tuah2)
Widiadnyana Merati2)
Leo Wiryanto2)
Abstrak
Pada paper ini disajikan pengembangan integrasi numeris berdasarkan polinomial Lagrange. Metoda yang
dihasilkan mirip dengan metoda Gaussian-quadrature, dengan perbedaan terletak pada pengambilan titik-titik
integrasi. Metoda memberikan hasil integrasi yang sangat baik, dengan kesalahan sebesar 0.2% -0.5% pada
integrasi fungsi sinusoidal. Metoda yang dihasilkan juga dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan
differensial waktu orde 1 dengan hasil yang sangat baik.
Kata-kata kunci : Polinomial lagrange.
Abstract
In this paper, a development of a numerical integration method based on Lagrangian polynomial is presented.
The resulted method like Gaussian-quadrature’s method, but differs in points of integration sampling.
The method gives a very good result in integration of sinusoidal function, with error about 0.2% - 0.5% to exact
solution. The method can also be used for solving first order time differential equation, with very good result.
Keywords : Lagrange polynomial.
1. Latar Belakang
2. Polinomial Lagrange
Metoda integrasi numeris sudah cukup banyak yang
dikembangkan, mulai metoda trapezoidal sampai
dengan Gaussian-quadrature. Dari semua metoda yang
ada yang paling mudah pemakaiannya dan
memberikan hasil yang cukup baik adalah metoda
Gaussian-quadrature.
Pada pasangan data (fi, xi), i = 1, n, f dapat didekati
dengan polinomial Lagrange. Adapun bentuk
pendekatan tersebut adalah [Burden, Douglas, 1985]
Pada paper ini dikembangkan alternatif metoda
integrasi tanpa bermaksud meneliti kelebihan ataupun
kekurangan metoda Gaussian-quadrature. Metoda
integrasi yang dikembangkan adalah berdasarkan fakta
bahwa suatu fungsi dapat dinyatakan dalam bentuk
lain yang lebih sederhana yaitu dengan polinomial
Lagrange. Mengingat bentuk polinomial Lagrange
adalah tetap pada suatu jumlah titik polinomial, maka
bila polinomial tersebut dikerjakan pada sistim
koordinat kurvilinier dengan domain yang tetap –1 < ξ
< 1, maka integrasi polinomial tersebut akan
menghasilkan harga yang tetap, yang selanjutnya akan
disebut dengan koefisien integrasi.
dimana : Li (x) adalah polinomial Lagrange dengan
bentuk
n
∑ L (x) f
f (x) =
i
(2.1)
i
i =1
(x - x1 )(x - x2 )(x - x3 ) ......... (x - xn )
(xi - x1 )(xi - x2 )(xi - x3 ) ......... (xi - xn )
Li (x) =
(x - x )
∏ (x - x )
n
Li (x) =
Dengan
j
i =1
j ≠i
i
(2.2)
j
demikian
integrasi
suatu
j
n
(x - x ) (x - x )(x - x ) ....(x - x ) .....(x - x )
∏ (x - x ) = (x - x )(x - x ) ....(x - x ) ....(x - x )
n
i =1
j ≠i
j
i
j
1
i
1
2
i
2
i
j
i
n
1. Staf Pengajar Departemen Teknik Sipil FTSP-ITB.
2. Staf Pengajar Departemen Teknik Sipil FTSP-ITB.
2. Staf Pengajar Departemen Teknik Sipil FTSP-ITB.
2. Staf Pengajar Departemen Matematika FMIPA-ITB.
Catatan : Usulan makalah dikirimkan pada 9 Mei 2005 dan dinilai oleh peer reviewer pada tanggal 16 Mei 2005 - 13 Juni
Vol. 12 No. 2 April 2005 115
2005. Revisi penulisan dilakukan antara tanggal 15 Juni 2005 hingga 8 Juli 2005.
Integrasi Numeris dengan Menggunakan Polinomial Lagrange
fungsi F(x), dimana integrasi secara analitik tidak
dimungkinkan maka dapat dilakukan langkah berikut.
Berdasarkan fungsi F(x) yang diketahui dapat dibuat
pasangan data {Fi, xi}, i = 1, n, pada a < xi < b,
dimana a dan b adalah batas-batas integrasi. Langkah
berikutnya adalah mendekati F(x) dengan polinomial
Lagrange menggunakan data set {Fi, xi}.
n
∑ L (x
F(x) = f(x) =
i
i
(3.2)
i
i =1
Integrasi F(x) menjadi
b
∫ F(x) dx =
1
n
b-a
2 -∫1
(2.3)
i =1
Sedangkan
n
∑ L (ξ ) F
F(x) =
a
) Fi
i
Lagrange dalam system koordinat ξ, yaitu
∑
i =1
Li ( ξ ) Fi dξ
(3.3)
1
integrasi menjadi
Integrasi
∫ L ( ξ ) dξ
i
dapat dengan mudah
-1
b
b
b
a
a i =1
n
∫ F(x) dx = ∫ f(x) dx = ∫ ∑ L (x) F
a
i
i
(2.4)
dx
integrasi
pada Persamaan (2.4) dapat dengan mudah
diselesaikan mengingat Li(x) berbentuk polinomial.
Pada sistim koordinat ξ, polinomial Lagrange
berbentuk
F(ξ) =
n
∑L
i
(ξ) F(ξi)
n
∑L
1
1
-1
∫ F( ξ ) dξ
-1
=
i
1
∫ L ( ξ ) dξ F(ξ ) ∫ L ( ξ )
1
1
2
∑
i =1
(3.4)
C i Fi
1
∫ L ( ξ ) dξ
i
-1
∫ L ( ξ ) dξ F(ξ )
3
b
a1
a2
b
a
a
a1
am
∫ F(x) dx + ∫ F(x) dx .......... + ∫ F(x) dx
dimana a < a1< a2 < ……………… < am < b, atau
penjelasan dengan sket
-1
1
n
dimana :
∫ F(x) dx =
i =1
dξ F(ξ2) +
a
b-a
2
Untuk menambah ketelitian, dapat saja interval (a, b)
dibagi-bagi lagi dalam sejumlah sub interval, hal ini
mengingat bahwa
(ξ) F(ξ1), atau
-1
∫ F(x) dx =
(2.5)
sedangkan integrasinya menjadi
∫ F( ξ ) dξ =
b
Ci =
i =1
1
diselesaikan dan mempunyai harga yang tetap, misal
Ci, maka Persamaan (3.3) menjadi
3
-1
a
1
+
∫ Ln ( ξ ) dξ F(ξn)
-1
a1
b
Meskipun integrasi polinomial dapat dengan mudah
dilakukan, penggunaan Persamaan (2.4) untuk
menghitung integrasi suatu fungsi masih kurang
praktis, karena setiap kali harus membentuk
polinomial Lagrange dan mengintegrasi-kannya. Bila
segmen garis a < xi < b, ditransformasikan ke sistem
koordinat kurvilinier (ξ), dengan interval -1 < ξ < 1,
maka fungsi transformasi adalah
∫F(x)dx=
a
am
b
a2 - a1 n
a1 - a n
+
ξ
Li (ξ ) Fi +.............
L
(
)
F
∑i i 2 ∑
2 i=1
i=1
b - am n
+
Li ( ξ ) Fi
(3.5)
∑
2
i =1
x
a
x(ξ) =
b
ξ
(3.1)
Selanjutnya fungsi F(x), didekati dengan polinomial
116 Jurnal Teknik Sipil
a3
Integrasi numeris dikerjakan pada masing-masing
segmen, yaitu
3. Pembentukan Koefisien Integrasi
b-a
b+a
ξ+
2
2
b-a
dx =
dξ
2
a2
-1
1
Gambar 3.1. Transformasi sistem koordinat x ke
sistem koordinat ξ
Hutahaean, dkk.
Jumlah titik polinomial pada suatu segmen ataupun
sub-segmen dapat digunakan 2, 3, 4 ……. n titik
polinomial, dimana semakin banyak titik polinomial,
akan semakin kecil kesalahannya. Tetapi pada
umumnya cukup digunakan polinomial Lagrange
dengan 3 - 5 titik polinomial. Perhitungan koefisien
integrasi dengan 3, 4 dan 5 titik polinomial akan
dijelaskan pada bagian berikut.
a. Integrasi dengan 3 titik polinomial
Pada skema ini interval garis a - b dibagi dalam 2
interval, yaitu seperti terlihat pada gambar berikut
π
Penyelesaian : x = 0 F1 = 0; x =
;x=
π
π
2
1
2
2
F3 = 1
π
2
∫
4
F2 =
sin x dx =
0
2
-0
π
(C1 F1 + C2 F2 + C3 F3) =
2
4
1 ⎞
3 1
⎛1
2 + 1 ⎟ = 1.002280 Hasil
⎜ 0+
dari
3 ⎠
4 2
⎝3
π
dx
2
∫
numeris
=
1,
eksak
sin x
terlihat hasil
0
x
a − b
2
b
-1
0
1
ξ1
ξ2
ξ3
a
ξ
Gambar 3.2. Integrasi dengan 3 titik polinomial
Dengan 3 titik polinomial atau titik integrasi tersebut,
polinomial Lagrange akan berbentuk
L1 (ξ) =
(ξ - ξ 2 )(ξ - ξ 3 )
(ξ 1 - ξ 2 )(ξ 1 - ξ 3 )
= - ξ (ξ - 1)
(3.6)
Dengan memasukkan harga ξ1 = -1, ξ2 = 0, dan ξ3 =
1, Persamaan (3.6) menjadi
L2 (ξ) =
L2 (ξ) =
(ξ - ξ 1 )(ξ - ξ 3 )
(ξ 2 - ξ 1 )(ξ 2 - ξ 3 )
(ξ - ξ 1 )(ξ - ξ 2 )
(ξ 3 - ξ 1 )(ξ 3 - ξ 2 )
= (1 - ξ2)
(3.7)
= ξ (ξ + 1)
(3.8)
Dengan demikian diperoleh koefisien integrasi yaitu
1
∫ L ( ξ ) dξ
C1 =
1
1
1
1
∫-1 - 2 ξ (ξ - 1) dξ = 3
=
-1
1
C2 =
C3 =
∫ L ( ξ ) dξ
2
1
=
∫
-1
-1
1
1
∫ L3 ( ξ ) dξ =
-1
∫
-1
4
(1 - ξ2) dξ =
3
1
1
ξ (ξ + 1) dξ =
2
3
Contoh (1) aplikasi integrasi dengan 3 titik polinomial
π
pada fungsi sinusoidal
2
∫
0
sin x dx
sangat dekat dengan hasil eksak, dengan kesalahan |1
– 1.00280|100% = 0.28%. Bila (b-a) terlalu besar,
maka dapat dibagi lagi dalam sejumlah sub segmen,
dan selanjutnya integrasi dilakukan dalam masingmasing sub-segmen yaitu, misal untuk pembagian
dalam 2 sub-segmen, integrasi menjadi
b
∫ F(x) dx =
a
b-a
2
∫
b
F(x) dx +
b-a
4
3
∑
C i Fi +
i =1
∫
F(x) dx =
b-a
2
a
b-a
4
3
∑
C i Fi
i =1
b. Integrasi dengan 4 titik polinomial
Pada skema ini interval garis a - b dibagi dalam 3
interval, yaitu
ξ
-1
-1/2
1/2
1
Gambar 3.3. Integrasi dengan 4 titik polinomial
Dengan 4 titik polinomial ini, maka polinomial
Lagrange berbentuk
(ξ - ξ 2 )(ξ - ξ 3 )(ξ - ξ 4 )
(ξ 1 - ξ 2 )(ξ 1 - ξ 3 )(ξ 1 - ξ 4 )
(ξ - ξ 1 )(ξ - ξ 3 )(ξ - ξ 4 )
L2 (ξ) =
(ξ 2 - ξ 1 )(ξ 2 - ξ 3 )(ξ 2 - ξ 4 )
(ξ - ξ 1 )(ξ - ξ 2 )(ξ - ξ 4 )
L3 (ξ) =
(ξ 3 - ξ 1 )(ξ 3 - ξ 2 )(ξ 3 - ξ 4 )
(ξ - ξ 1 )(ξ - ξ 2 )(ξ - ξ 3 )
L4 (ξ) =
(ξ 4 - ξ 1 )(ξ 4 - ξ 2 )(ξ 4 - ξ 3 )
L1 (ξ) =
(3.9a)
(3.9b)
(3.9c)
(3.9d)
Dengan memasukkan harga-harga ξ1 s/d ξ4 seperti
pada Gambar (3.3) dan dengan mengintegrasikan dari
–1 dan ke 1, maka diperoleh
Vol. 12 No. 2 April 2005 117
Integrasi Numeris dengan Menggunakan Polinomial Lagrange
1
C1 =
∫ L2 ( ξ ) dξ = 0.75
-1
∫ L ( ξ ) dξ
4
3
∫ L ( ξ ) dξ = 0.25
= 0.75 ; C4 =
3
2
-1
1
1
C3 =
y
1
∫ L1 ( ξ ) dξ = 0.25; C2 =
2
-1
-1
Contoh (2) integrasi fungsi sinusoidal sin x dx, dengan
4 titik integrasi
1
Π/
0
Π/
Π/
x = 0 F1 = sin 0 = 0.000000 ; x =
= 0.500000
x = F3 = sin =
π
0.866025 ; x =
3
π
6
π
2
F2 = sin
π
6
F4 = sin =
∫
F(x) dx =
-1
=
π
π
2
π
(C1 F1 + C2 F2 + C3 F3 + C4 F4)
4
(0.25 0.000000+0.75 0.500000+0.75 0.866025+0.25 1.000000)
Kesalahan terhadap hasil eksak adalah
|1 – 1.001005|100% = 0.1005%.
4. Integrasi Bidang
Berdasarkan [Burden, Douglas, 1985], suatu fungsi
bidang F (x, y) dapat didekati dengan perkalian
polinomial Lagrange, yaitu
Pada titik
F (x, y) =
1
2
x
Dengan demikian untuk bidang segi empat seperti
fungsi pada Gambar (4.2), maka
L1 (x, y) = L1 (x) L1 (y) ; L2 (x, y) = L2 (x) L1 (y)
L3 (x, y) = L2 (x) L2 (y) ; L4 (x, y) = L1 (x) L2 (y)
4
= 1.001005
2
Gambar 4.2. Polinomial Lagrange pada bidang
segi-empat
= 1.000000
1
1
n
n
i =1
j =1
∑ ∑
Sebagaimana halnya dengan domain satu dimensi,
maka pada domain dua dimensi ini juga akan lebih
mudah bila digunakan sistem koordinat kurvilinier (ε
, η).
Bila digunakan polinomial Lagrange dengan 3 titik
polinomial, baik pada arah ξ maupun η, akan didapat
polinomial Lagrange dengan titik-titik polinomial
(xi,
y2)
(x2, y2)
m a k a
(1, 1)
η
y
(x2, y3) pada Gambar (4.1),
Li (x) Lj (y) F (xi, yj)
(-1, 1)
ξ
x
(4.1)
poinomial Lagrange-nya adalah
L2,3 (x, y) = L2 (x) L3 (y)
(xi, y1)
(-1,-1)
(x2, y1)
(1,-1)
Gambar 4.3 Transformasi dari bidang (x,y) ke
bidang ξ,η)
7
8
9
4
(x 2 , y 3 )
3
4
y
5
6
2
1
1
2
3
4
x
Gambar 4.1. Polinomial Lagrange pada bidang
118 Jurnal Teknik Sipil
1
2
3
Gambar 4.4 Titik-titik polinomial untuk
polinomial Lagrange 3 titik
Hutahaean, dkk.
x1
sebagai berikut (Gambar 4.4)
Pada arah horizontal, arah ξ, terdapat 3 polinomial L
buah
L
para arah η juga terdapat 3
(ξ) dan
1
1
( η ) ,
L1 (ξ) =
η (η - 1)
ξ (ξ - 1) y a i t u L1 (η) =
2
2
L2 (η) = (1 - η )
2
L2 (ξ) = (1 - ξ 2)
L3 (η) =
1
η (η + 1)
2
Persamaan
(3.7),
1
ξ (ξ + 1)
2
L3 (ξ) =
berdasarkan
(3.8), dan (3.9) maka
y1
∫ ∫
x1
F9x) dx dy =
y1
1
x 2 - x1 y 2 - y 1
2
2
1
9
∫ ∫∑
- 1 - 1 i =1
Li (ξ, η) Fi dξ dη
x 2 - x1 y 2 - y 1 9
Ci Fi
(4.2)
∑
2
2
i =1
x 2 - x1
y - y1
dimana dx =
dξ dan dy = 2
dη.
2
2
=
Dengan menggunakan koefisien-koefisien integrasi
tersebut maka integrasi pada domain bidang dapat
dengan mudah diselesaikan, yaitu sebagai berikut
Dengan demikian polinomial Lagrange pada titik-titik
polinomial seperti terlihat pada Gambar 4.4 adalah
L1 (ξ, η) = L1 (ξ) L1(η) ; L2 (ξ, η) = L2 (ξ) L1(η)
L3 (ξ, η) = L3 (ξ) L1(η) ; L4 (ξ, η) = L1 (ξ) L2(η)
L5 (ξ, η) = L2 (ξ) L2(η) ; L6 (ξ, η) = L3 (ξ) L2(η)
1
1
∫ ∫
C1 =
-1
-1
1
1
∫ ∫
; C2 =
- 1 -1
1
1
∫ ∫
C3 =
-1 -1
1 1
;C4
∫ ∫
-1
-1
1
C5 =
yaitu
; C6 =
1
∫ ∫
-1 -1
1 1
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
-1
-1
4
9
L6 (ξ, η) dξ dη =
L7 (ξ, η) dξ dη =
L8 (ξ, η) dξ dη =
-1 -1
1 1
C9 =
Dengan cara yang sama, dapat
diturunkan koefisien integrasi untuk
polinomial Lagrange 4 titik polinomial,
pada bidang integrasi akan terdapat 16
13
15
14
π π
2
2
∫ ∫ sehingga
0 0
t i t i k
16
K o e f i s i e n
1 integrasi dapat
9 dengan mudah
4 diperoleh dengan
= L4 (ξ, η) dξ dη =
mengintegrasikan
9
Li (ξ,
η) pada
Persamaan
16 (4.1a) sampai
L5 (ξ, η) dξ dη =
dengan (4.1i),
9
- 1 -1
1 1
; C8 =
η) = L (ξ)
L3 (ξ, η) dξ dη =
-1 -1
1 1
C7 =
L (ξ,
1
1 7
L3(η) ; L8 (ξ, η) =
9 L2 (ξ) L3(η)
4 L9 (ξ, η) = L3 (ξ
L2 (ξ, η) dξ dη =
9 ) L3(η)
L1 (ξ, η) dξ dη =
L9 (ξ, η) dξ dη =
1
9
4
9
1
9
9
10
11
12
5
6
7
8
1
3
2
4
Gambar 4.5. Bidang integrasi dengan 16 titik
polinomial
(0, π/2) (π/4, π/2)
7
(0, π/4) 4
1
(0, 0)
8
(π/4, π/4)
5
2
(π/4, 0)
(π/2, π/2)
9
6 (π/2, π/4)
3
(π/2, 0)
Gambar 4.6. Koordinat 9 titik polinomial
Vol. 12 No. 2 April 2005 119
Integrasi Numeris dengan Menggunakan Polinomial Lagrange
dy, dengan 9 dan 16 titik integrasi
polinomial seperti terlihat pada Gambar (4.5).
π π
π
2 2
∫∫
sin x sin y dy dx =
0 0
Li (ξ, η) dη dξ =
π2
16
2
-0
2
π
2
-0
2
1
a. Perhitungan dengan 9 titik polinomial
1
∫ ∫
-1 -1
9
∑
Ci Fi
i =1
Selanjutnya dengan
mengintegrasikan
masing-masing suku pada polinomial Lagrange akan
diperoleh harga koefisien integrasi sebagai berikut
C1 = 0.0625 ; C2 = 0.1875 ; C3 = 0.1875 ; C4 = 0.0625
C5 = 0.1875 ; C6 = 0.5625 ; C7 = 0.5625 ; C8 = 0.1875
π π
2
2
∫∫
C9 = 0.1875 ; C10 = 0.5625 ; C11 = 0.5625 ; C12 =
0.1875
2 16
sin x sin y dy dx =
0 0
π
16
= 0.1875 ; C15 = 0.1875 ;
∑
i =1
Ci Fi
C16 =
C13 =
0.0625 ; C14
0.0625
∂u
= F(u) dimana Fi = sin xi sin yi. Dengan (5.1)
hasil eksak 1.0, maka kesalahan
∂t
metoda numeris adalah |1.004565 - 1| 100% =
0.4565%. Selanjutnya hasil perhitungan dapat dilihat
pada Tabel 4.1.
b.
Perhitungan dengan 16 titik
∂u
t
integrasi
= F (u )
∂t t
Contoh (4) : integrasi fungsi sinusoidal sin x sin y dx
Tabel 4.1. Perhitungan contoh (4) dengan 9 titik
polinomial
Titik
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
0
π/4
π/2
0
π/4
π/2
0
π/4
π/2
y
0
0
0
π/4
π/4
π/4
π/2
π/2
π/2
sin xi
0.000000
0.000000
0.000000
0.707107
0.707107
0.707107
1.000000
1.000000
1.000000
sin yi
0.000000
0.707107
1.000000
0.000000
0.707107
1.000000
0.000000
0.707107
1.000000
Fi
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.500000
0.707107
0.000000
0.707107
1.000000
Ci
0.111111
0.444444
0.111111
0.444444
1.777778
0.444444
0.111111
0.444444
0.111111
Ci Fi
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.888889
0.314270
0.000000
0.314270
0.111111
∂u
∂t
= F (u
t + δt
t+δt
)
Adapun hasil perhitungan
disajikan pada Tabel 4.2 di
bawah
Dengan hasil eksak 1.0, maka kesalahan metoda
numeris adalah |1.002011 - 1| 100% = 0.2011%.
5. Penggunaan pada Penyelesaian
Persamaan Differensial Waktu Orde 1
Nonlinier
1.004565
Persamaan differensial waktu nonlinier orde 1, dapat
ditulis dengan bentuk umum sebagai berikut.
Catatan : Fi = sin xi sin yi
Tabel 4.2. Perhitungan contoh (4) dengan 16 titik polinomial
Titik
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
x
0
π/6
π/3
π/2
0
π/6
π/3
π/2
0
π/6
π/3
π/2
0
π/6
π/3
π/2
y
0
0
0
0
π/6
π/6
π/6
π/6
π/3
π/3
π/3
π/3
π/2
π/2
π/2
π/2
sin xi
0.000000
0.500000
0.866025
1.000000
0.000000
0.500000
0.866025
1.000000
0.000000
0.500000
0.866025
1.000000
0.000000
0.500000
0.866025
1.000000
sin yi
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.500000
0.500000
0.500000
0.500000
0.866025
0.866025
0.866025
0.866025
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
Fi
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.250000
0.433013
0.500000
0.000000
0.433013
0.750000
0.866025
0.000000
0.500000
0.866025
1.000000
Ci
0.062500
0.187500
0.187500
0.062500
0.187500
0.562500
0.562500
0.187500
0.187500
0.562500
0.562500
0.187500
0.062500
0.187500
0.187500
0.062500
Ci Fi
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.140625
0.243570
0.093750
0.000000
0.243570
0.421875
0.162380
0.000000
0.093750
0.162380
0.062500
1.002011
Catatan : Fi = sin xi sin yi
120 Jurnal Teknik Sipil
Hutahaean, dkk.
t +δt
∫ F (u)
(5.2b) menjadi
t0
∂u
= F(ut)
∂t
(5.2a)
P e n y e l e s a i an s e c ar a
explicit adalah dengan mengerjakan Persamaan
(5.1) pada saat t = t. Jadi ut+δt hanya ditentukan oleh
kondisi F (ut) saja.
t + δt
u pred
Dengan menggunakan skema backward difference
pada ∂u/∂τ, maka akan diperoleh harga Selanjutnya
harga ut+δt adalah
t
u
t +δt
-u
2 δt
ut+δt = u t0 +
t −δ t
+ δt
u tpred
(5.2b)
Jadi baik metoda explisit maupun metoda implisit
terdapat suatu kekurangan, dimana seharusnya harga
ut+δt ditentukan oleh F(ut) dan F (ut+δt).
t + δt
t
u -u
Untuk mengatasi kekurangan
= F(ut+δt)
atau kelemahan dari metoda
δt
explisit dan implisit maka dikerjakan
metoda prediktor korektor, yaitu
t +δt
u kor
a. Prediktor
(5.5)
Dengan harga ut+δt yang baru tersebut, diulang langkah
korektor,
y a i t u
dengan
t-δt
t
Gambar 5.1. Integrasi dengan 3 titik polinomial
mengerjakan Persamaan (5.2b) dan (5.2c) lagi.
Langkah ini diulang-ulang sampai diperoleh harga ut+δt
yang konvergen, dimana
4
1 ⎞
⎛1
+δt
= u t −2δt + δ t ⎜ F t −2δt + F t −δt + F t ⎟ (5.6)
u tpred
3
3 ⎠
⎝3
harga δt diperoleh dari b - a = t - (t - 2 δ t ) = δt
2
2
dimana ε adalah
bilangan yang sangat kecil.
∂u/∂τ dapat dinyatakan dengan skema forward maupun
central difference. Dengan
t +δ t
t +δ t
u old
+ u new
< ε Persamaan (5.2a) tersebut akan
diperoleh harga . Bila
diselesaikan dengan central difference, maka
Persamaan (5.2a) menjadi
0.5
(5.2c)
t-2δt
∂u
= F (ut+δt) Dalam hal ini harga ut+δt
∂t
ditentukan oleh F (ut+δt).
=
t0
t
F(u ) Penyelesaian secara implisit
adalah dengan mengerjakan
Persamaan (5.1) pada saat t = t+δt.
ut+δt
∫ F (u) dt
t + δt
ut+δt = u pred
Metoda prediktor korektor
ini, dapat
juga dikerjakan dengan cara integrasi yaitu sebagai
berikut. Persamaan (5.1) dapat juga ditulis dalam
bentuk
l a i n
yaitu :
∂ u = F t-2δt
t-δt
t
t+δt (u) dt
Gambar 5.2. Integrasi dengan 4 titik polinomial
(5.3)
b. Korektor
Dengan harga ut+δt = (hasil langkah prediktor),
dikerjakan skema implisit yaitu
t +δt
∫ du
t +δt
=
t0
∫ F (u)
t0
t +δt
u
t+δt
dt
= +
∫ F(u)
t0
Bila diselesaikan dengan
backward difference,
dt
maka Persamaan (5.4)
Persamaan (5.3) ini dapat diselesaikan dengan
metoda integrasi yaitu
ut+δt =
3
t-2δt
t-2δt
t-δt
t
2 u +δ t (0.25 F + 0.75 F + 0.75 F
+ 0.25 Ft+δt)
harga δ t
(5.7)
3
b- a t +δ t - (t - 2δ t)
=
diperoleh dari = δ t
2
2
2
3
=
δt
2
Vol. 12 No. 2 April 2005 121
Integrasi Numeris dengan Menggunakan Polinomial Lagrange
dengan skema 4 titik.
dt
Pada Persamaan (5.4) tersebut
tidak dapat diselesaikan karena
t +δ t
t +δ t
u old
+ u new
< ε. harga ut+δt tidak diketahui. Untuk
mengatasi hal tersebut, maka
dikerjakan metoda prediktor-korektor, sebagai
berikut :
a. Prediktor
Sebagai langkah prediktor adalah
∂η
∂ (uH )
+
=0
∂t
∂x
(5.8a)
Integrasi
(5.5)
dapat
diselesaikan
∂u
∂u
∂η
+u
+g
= 0 d e n g a n (5.8b)
∂t
∂x
∂x
integrasi
t +δt
∫∂ n =
t − 2 δt
t
∫δF (u, H) dt + δ t F
t
t −2 t
D e n g a n
menggunakan
⎛ 1 t −2δt 4 t −δt 1 t ⎞
+ F + F ⎟ +δ t Ft
F
3 ⎠
3
⎝3
ηt+δt = ηt-2δt + δ t ⎜
koefisien
∂ (uH )
∂x
∂ (uH )
∂x
t −δt
t − 2δt
Ft-2δt = -
; Ft-δt = -
∂ (uH )
∂x
t
; Ft = -
integrasi dari bab terdahulu, maka penyelesaiaan
numeris dari Persamaan (5.6) adalah ∂ (uH )
∂x
sebagai berikut
numeris
dengan polinomial Lagrange
3 titik, yaitu berdasarkan Gambar 5.1, dimana t0 = t –
2δt.
t + δt
Dengan diketahuinya ut-2δt , ut-δt dan ut dari perhitungan
sebelumnya, maka dapat dihitung Ft-2δt = F (ut-2δt), Ft-δt
=
F (ut-δt) dan Ft = F (ut), dan
dη
∂ (uH )
atau Persamaan (5.5) dapat
=diselesaikan secara numeris
∂t
∂x
dengan koefisien integrasi seperti
dη
(5.9a)
= F (u, H) yang diebutkan pada
∂t
b a g i a n
∂ (uH ) terdahulu.
dimana F (u, H) = -
∫∂ u =
t − 2 δt
t
∫δG (u,η ) dt + δ t G
t
t −2 t
ut+δt
Dengan
yang
t-2δt
G
t − 2δ t
baru,
t −δt
∂η ⎞
∂η ⎞
⎛ ∂u
⎛ ∂u
= ⎜- u
-g
-g
; Gt-δt = ⎜ - u
⎟ ; Gt =
⎟
x
∂
∂ x⎠
∂
∂
x
x
⎝
⎠
⎝
t
∂η ⎞
⎛ ∂u
-g
⎜- u
⎟
∂ x ⎠ diulang perhitungan korektor
⎝ ∂x
Persamaan 5.7, sampai dicapai
konvergensi dimana:
∂x
b. Korektor
Dengan diketahuinya harga
∂u
= G (u, η) maka dapat dihitung Ft+δt = (5.9b)
δ t
∂t
)
d a n
F(u t+
∂u
η
∂
Persamaan
-g
dimana G (u, η) = - u
∂x
∂ x (5.5) dapat
diselesaikan
secara
n u m e r i s
Sebagai contoh pemakaian akan diselesaikan
persamaan gelombang Airy satu dimensi, yaitu [Dean,
Dalrymple] :
ηt+δt = ηt-2δt +
(
3
δ t 0,25 F t −2δt + 0.75 F t −δt + 0.75 F t + 0,25 F t +δt
2
∂ (uH )
=∂t
t + δt
t+δt
F
)
a. Persamaan kontinuitas
z
x
η
Muka air diam
b. Persamaan momentum
t +δt
∂n
3t −∫2δt
u =u +
δ t (0.25 Gt−2δt + 0.75 Gt−δt + 0.75 Gt + 0.25 Gt+δt )
2
t − 2δt
∂η ⎞
⎛ ∂u
t+δt
u
g
⎟
dimana G = ⎜
∂ x⎠
⎝ ∂x
η
=
t+δt
h
Gambar 5.3. Variabel pada persamaan gelombang
Airy
122 Jurnal Teknik Sipil
t-2δt
fluktuasi
u = kecepatan arus pada arah x
h = kedalaman perairan
muka air
Hutahaean, dkk.
dimana
g = percepatan gravitasi
H = h+η
ut-2δt, ηt-2δt, ut-δt, ηt-δt, ut dan ηt diperoleh dari hasil
perhitungan sebelumnya. Sedangkan ∂u/∂x dan ∂η/∂x
pada penelitian ini dihitung dengan metoda selisih
hingga.
Persamaan kontinuitas dapat ditulis
b. Korektor
Sedangkan persamaan momentum dapat ditulis dalam
bentuk
b.1. Persamaan kontinuitas
dimana ut-δt dan ηt-δt diperoleh dari perhitungan tahap
prediktor.
a. Prediktor
a.1. Persamaan kontinuitas
1
∫
b.2.
n
Persamaan
f (ξ ) dξ = ∑ wi f( ξ i* ) momentum
i =1
-1
dimana
(u, H)t-2δt, (u, H)t-δt, dan (u, H)t, diperoleh dari
perhitungan sebelumnya. Sedangkan
pada
penelitian ini dihitung dengan menggunakan metoda
selisih hingga.
a.2. Persamaan momentum
Sebagai contoh perhitungan, model dikerjakan pada
perhitungan gelombang pada kanal (Gambar 5.3).
Perioda gelombang 6 detik, amplitudo 0.1 m,
sedangkan kedalaman kanal h = 15.0 m. Berdasarkan
kajian Le Mehaute [Mei, Méhauté, 1966], persamaan
gelombang Airy ini untuk gelombang pendek hanya
dapat digunakan untuk tinggi gelombang yang sangat
kecil. Pada perhitungan ini F (u, H) = - ∂(uH)/∂x dan G
(u, η) = - u ∂u/∂x - g ∂η/∂x dihitung dengan
menggunakan metoda selisih hingga. Hasil
perhitungan disajikan pada Gambar 5.4.
Seperti terlihat pada Gambar 5.4, model memberikan
solusi yang stabil, hal ini terlihat pada kurva
gelombang yang stabil pada eksekusi 9 x perioda
gelombang, sering terjadi ketidak stabilan kurva terjadi
setelah eksekusi 3 atau 4 kali perioda gelombang. Hal
Gambar 5.3. Kanal untuk eksekusi model
0,15
0,13
0,10
0,08
0,05
0,03
0,00
-0,03
-0,05
-0,08
-0,10
-0,13
-0,15
muka air (m)
Muka air (m)
sedangkan ut+δt dan ηt+δt diperoleh dari perhitungan
pada tahap prediktor.
0
150
300
450
600
x (m)
Gambar 5.4. Gelombang sinusiodal pada kanal,
hasil simulasi
750
0,15
0,13
0,10
0,08
0,05
0,03
0,00
-0,03
-0,05
-0,08
-0,10
-0,13
-0,15
0
50
100
Hasil model
Hasil teori gelombang linier
150
200
250
300
x (m)
Gambar 5.5. Perbandingan antara teori gelombang
linier dengan model
Vol. 12 No. 2 April 2005 123
Integrasi Numeris dengan Menggunakan Polinomial Lagrange
ξ1*
t +δt
∫
ξ3*
ξ2*
t4
gelombang
;
k
= f (u ) dt b i l a n g a n
gelombang
t
σ = 2π / T = frekuensi sudut ; T = perioda gelombang
ini dapat terjadi akibat metoda numeris (penyelesaian
diferensial waktu) yang kurang baik. Selain itu
perhitungan gelombang pendek dengan persamaan
gelombang Airy adalah jauh lebih sulit daripada
perhitungan gelombang panjang,
Untuk gelombang dengan perioda 6 detik, dan pada
kedalaman perairan 15.0 m, mempunyai panjang
gelombang 53 m berdasarkan teori geombang linier.
Terlihat pada Gambar 5.5., bahwa gelombang yang
dihasilkan model lebih panjang dari teori gelombang
linier. Berdasarkan [Hutahaean, dkk., 2005], panjang
gelombang dari teori gelombang linier memang masih
perlu dilakukan koreksi.
t1
t2
t3
Gambar 6.1. Posisi titik integrasi terhadap titik
waktu (φ) perhitungan
ut+δt = ut +
ηt+δt = ηt +
m i s a l
perioda 24
ut+δt = ut +
δt
(23 G
12
δt
12
δt
(23 F
t
− 16 G t +δt + 5 G t + 2δt
)
t
− 16 F t +δt + 5 F t + 2δt
)
6. Diskusi
gelombang pasang surut dengan
jam atau 86400 detik.
Seperti telah disebutkan bahwa metoda yang
dikembangkan adalah serupa dengan metoda
Gaussian-quadrature yang berbentuk [Burden,
Douglas, 1985]
(
)
(
)
9 G t +δt + 19 G t - 5 G t +δt + G t + 2δt
24
Solusi
δt
ηt+δt = ηt +
9 F t +δt + 19 F t - 5 F t +δt + F t +2δt
24
dimana wi disebut dengan koefisien bobot, sedangkan
ξi* adalah titik integrasi. Berdasarkan [Frank, 1986],
titik integrasi pada metoda Gaussian-quadrature adalah
seperti disajikan pada Tabel 6.1. Seperti terlihat pada
Tabel 6.1. tersebut, koordinat titik integrasi bukan
berupa bilangan yang sederhana, demikian juga
dengan intervalnya. Sehingga untuk penggunaannya
pada integrasi waktu sulit untuk mengkaitkannya
analitik
berdasarkan teori gelombang linier dapat ditulis dalam
bentuk sinusoidal : η (x, t) = A sin (kx – σt)
dimana :
=
A
u
t+δt
t
-u =
t + δt
∫
t
∂u
dt =
∂t
t + δt
amplitudo
∫ f (u ) dt
t
Tabel 6.1. Titik integrasi pada metoda Gaussian-quadrature
1
∫
-1
n
f (ξ ) dξ = ∑ wi f( ξ i* )
i =1
ξ1*
wi
2.000000000000000
0.000000000000000
n=1
+ 0.577350269189626
n=2
0.000000000000000
+ 0.774596669241483
n=3
0.888888888888889
0.555555555555556
+ 0.339981043584856
+ 0.861136311594053
n=4
0.652145154862546
0.347854845137454
0.000000000000000
+ 0.538469310105683
+ 0.906179845938664
n=5
+ 0.238619186083197
+ 0.661209389466265
+ 0.932469514203152
n=6
124 Jurnal Teknik Sipil
1.000000000000000
0.568888888888889
0.478628670499366
0.236926885056189
0.467913934572691
0.360761573048139
0.171324492379170
Hutahaean, dkk.
dengan posisi t1, t2, t3 ….. dst. seperti terlihat pada
Gambar 6.1., maka terlihat bahwa titik integrasi tidak
tepat berada pada titik waktu perhitungan.
Oleh karena itu bila digunakan metoda Gaussianquadrature, perlu dilakukan interpolasi untuk
menghitung harga-harga f (ξ1*),f (ξ2*),f (ξ3*)….. dst.
Hal ini selain menambah proses perhitungan juga akan
mengurangi ketelitian. Metoda prediktor-korektor
yang dikembangkan mirip dengan metoda prediktorkorektor dari Adams – Bashforth – Moulton yang
digunakan oleh Y.S Li, dkk [Li, Liu, Yu, Lai, 1999]
serta Nwogu [Nwogu, 1993] dalam menyelesaikan
persamaan Boussinesq. Adapun bentuk persamaan dari
Adams – Bashforth – Moulton tersebut adalah
[Burden, Douglas, 1985], [Li, Liu, Yu, Lai, 1999], dan
[Nwogu, 1993].
Prediktor :
Korektor :
Perbedaan dengan metoda yang dikembangkan adalah
pada harga koefisien integrasi. Metoda Adams –
Bashforth – Moulton ini juga diturunkan berdasarkan
metoda integrasi, yaitu
Selanjutnya penyelesaian
diselesaikan
metoda backward-difference dari Newton, dan
diperoleh koefisien-koefisien integrasi. Untuk
penjelasan lebih rinci, dapat dilihat pada ref [Burden,
Douglas, 1985]. Mengenai metoda yang mana yang
lebih baik, diluar lingkup penelitian ini. Maksud dari
paper ini hanyalah mengemukakan alternatif metoda
penyelesaian persamaan diferensial waktu nonlinier.
7. Kesimpulan
Dari penelitian yang telah dilakukan, dapat diambil
kesimpulan bahwa
a. Metoda integrasi numeris yang dikembangkan
memberikan hasil yang cukup baik, sangat dekat
dengan hasil eksak, dengan kesalahan 0.0002% 0.5%.
b. Semakin banyak titik polinomial atau titik integrasi
yang digunakan diperoleh hasil integrasi yang
semakin baik.
c. Persamaan differensial waktu dapat diselesaikan
dengan metoda integrasi, dimana integrasi waktu
dapat dilakukan secara numeris.
Vol. 12 No. 2 April 2005 125
Integrasi Numeris dengan Menggunakan Polinomial Lagrange
126 Jurnal Teknik Sipil
Vol. 12 No. 2dkk.
April 2005
urnal
TEKNIK SIPIL
Integrasi Numeris dengan Menggunakan Polinomial Lagrange
Syawaluddin H1)
Hang Tuah2)
Widiadnyana Merati2)
Leo Wiryanto2)
Abstrak
Pada paper ini disajikan pengembangan integrasi numeris berdasarkan polinomial Lagrange. Metoda yang
dihasilkan mirip dengan metoda Gaussian-quadrature, dengan perbedaan terletak pada pengambilan titik-titik
integrasi. Metoda memberikan hasil integrasi yang sangat baik, dengan kesalahan sebesar 0.2% -0.5% pada
integrasi fungsi sinusoidal. Metoda yang dihasilkan juga dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan
differensial waktu orde 1 dengan hasil yang sangat baik.
Kata-kata kunci : Polinomial lagrange.
Abstract
In this paper, a development of a numerical integration method based on Lagrangian polynomial is presented.
The resulted method like Gaussian-quadrature’s method, but differs in points of integration sampling.
The method gives a very good result in integration of sinusoidal function, with error about 0.2% - 0.5% to exact
solution. The method can also be used for solving first order time differential equation, with very good result.
Keywords : Lagrange polynomial.
1. Latar Belakang
2. Polinomial Lagrange
Metoda integrasi numeris sudah cukup banyak yang
dikembangkan, mulai metoda trapezoidal sampai
dengan Gaussian-quadrature. Dari semua metoda yang
ada yang paling mudah pemakaiannya dan
memberikan hasil yang cukup baik adalah metoda
Gaussian-quadrature.
Pada pasangan data (fi, xi), i = 1, n, f dapat didekati
dengan polinomial Lagrange. Adapun bentuk
pendekatan tersebut adalah [Burden, Douglas, 1985]
Pada paper ini dikembangkan alternatif metoda
integrasi tanpa bermaksud meneliti kelebihan ataupun
kekurangan metoda Gaussian-quadrature. Metoda
integrasi yang dikembangkan adalah berdasarkan fakta
bahwa suatu fungsi dapat dinyatakan dalam bentuk
lain yang lebih sederhana yaitu dengan polinomial
Lagrange. Mengingat bentuk polinomial Lagrange
adalah tetap pada suatu jumlah titik polinomial, maka
bila polinomial tersebut dikerjakan pada sistim
koordinat kurvilinier dengan domain yang tetap –1 < ξ
< 1, maka integrasi polinomial tersebut akan
menghasilkan harga yang tetap, yang selanjutnya akan
disebut dengan koefisien integrasi.
dimana : Li (x) adalah polinomial Lagrange dengan
bentuk
n
∑ L (x) f
f (x) =
i
(2.1)
i
i =1
(x - x1 )(x - x2 )(x - x3 ) ......... (x - xn )
(xi - x1 )(xi - x2 )(xi - x3 ) ......... (xi - xn )
Li (x) =
(x - x )
∏ (x - x )
n
Li (x) =
Dengan
j
i =1
j ≠i
i
(2.2)
j
demikian
integrasi
suatu
j
n
(x - x ) (x - x )(x - x ) ....(x - x ) .....(x - x )
∏ (x - x ) = (x - x )(x - x ) ....(x - x ) ....(x - x )
n
i =1
j ≠i
j
i
j
1
i
1
2
i
2
i
j
i
n
1. Staf Pengajar Departemen Teknik Sipil FTSP-ITB.
2. Staf Pengajar Departemen Teknik Sipil FTSP-ITB.
2. Staf Pengajar Departemen Teknik Sipil FTSP-ITB.
2. Staf Pengajar Departemen Matematika FMIPA-ITB.
Catatan : Usulan makalah dikirimkan pada 9 Mei 2005 dan dinilai oleh peer reviewer pada tanggal 16 Mei 2005 - 13 Juni
Vol. 12 No. 2 April 2005 115
2005. Revisi penulisan dilakukan antara tanggal 15 Juni 2005 hingga 8 Juli 2005.
Integrasi Numeris dengan Menggunakan Polinomial Lagrange
fungsi F(x), dimana integrasi secara analitik tidak
dimungkinkan maka dapat dilakukan langkah berikut.
Berdasarkan fungsi F(x) yang diketahui dapat dibuat
pasangan data {Fi, xi}, i = 1, n, pada a < xi < b,
dimana a dan b adalah batas-batas integrasi. Langkah
berikutnya adalah mendekati F(x) dengan polinomial
Lagrange menggunakan data set {Fi, xi}.
n
∑ L (x
F(x) = f(x) =
i
i
(3.2)
i
i =1
Integrasi F(x) menjadi
b
∫ F(x) dx =
1
n
b-a
2 -∫1
(2.3)
i =1
Sedangkan
n
∑ L (ξ ) F
F(x) =
a
) Fi
i
Lagrange dalam system koordinat ξ, yaitu
∑
i =1
Li ( ξ ) Fi dξ
(3.3)
1
integrasi menjadi
Integrasi
∫ L ( ξ ) dξ
i
dapat dengan mudah
-1
b
b
b
a
a i =1
n
∫ F(x) dx = ∫ f(x) dx = ∫ ∑ L (x) F
a
i
i
(2.4)
dx
integrasi
pada Persamaan (2.4) dapat dengan mudah
diselesaikan mengingat Li(x) berbentuk polinomial.
Pada sistim koordinat ξ, polinomial Lagrange
berbentuk
F(ξ) =
n
∑L
i
(ξ) F(ξi)
n
∑L
1
1
-1
∫ F( ξ ) dξ
-1
=
i
1
∫ L ( ξ ) dξ F(ξ ) ∫ L ( ξ )
1
1
2
∑
i =1
(3.4)
C i Fi
1
∫ L ( ξ ) dξ
i
-1
∫ L ( ξ ) dξ F(ξ )
3
b
a1
a2
b
a
a
a1
am
∫ F(x) dx + ∫ F(x) dx .......... + ∫ F(x) dx
dimana a < a1< a2 < ……………… < am < b, atau
penjelasan dengan sket
-1
1
n
dimana :
∫ F(x) dx =
i =1
dξ F(ξ2) +
a
b-a
2
Untuk menambah ketelitian, dapat saja interval (a, b)
dibagi-bagi lagi dalam sejumlah sub interval, hal ini
mengingat bahwa
(ξ) F(ξ1), atau
-1
∫ F(x) dx =
(2.5)
sedangkan integrasinya menjadi
∫ F( ξ ) dξ =
b
Ci =
i =1
1
diselesaikan dan mempunyai harga yang tetap, misal
Ci, maka Persamaan (3.3) menjadi
3
-1
a
1
+
∫ Ln ( ξ ) dξ F(ξn)
-1
a1
b
Meskipun integrasi polinomial dapat dengan mudah
dilakukan, penggunaan Persamaan (2.4) untuk
menghitung integrasi suatu fungsi masih kurang
praktis, karena setiap kali harus membentuk
polinomial Lagrange dan mengintegrasi-kannya. Bila
segmen garis a < xi < b, ditransformasikan ke sistem
koordinat kurvilinier (ξ), dengan interval -1 < ξ < 1,
maka fungsi transformasi adalah
∫F(x)dx=
a
am
b
a2 - a1 n
a1 - a n
+
ξ
Li (ξ ) Fi +.............
L
(
)
F
∑i i 2 ∑
2 i=1
i=1
b - am n
+
Li ( ξ ) Fi
(3.5)
∑
2
i =1
x
a
x(ξ) =
b
ξ
(3.1)
Selanjutnya fungsi F(x), didekati dengan polinomial
116 Jurnal Teknik Sipil
a3
Integrasi numeris dikerjakan pada masing-masing
segmen, yaitu
3. Pembentukan Koefisien Integrasi
b-a
b+a
ξ+
2
2
b-a
dx =
dξ
2
a2
-1
1
Gambar 3.1. Transformasi sistem koordinat x ke
sistem koordinat ξ
Hutahaean, dkk.
Jumlah titik polinomial pada suatu segmen ataupun
sub-segmen dapat digunakan 2, 3, 4 ……. n titik
polinomial, dimana semakin banyak titik polinomial,
akan semakin kecil kesalahannya. Tetapi pada
umumnya cukup digunakan polinomial Lagrange
dengan 3 - 5 titik polinomial. Perhitungan koefisien
integrasi dengan 3, 4 dan 5 titik polinomial akan
dijelaskan pada bagian berikut.
a. Integrasi dengan 3 titik polinomial
Pada skema ini interval garis a - b dibagi dalam 2
interval, yaitu seperti terlihat pada gambar berikut
π
Penyelesaian : x = 0 F1 = 0; x =
;x=
π
π
2
1
2
2
F3 = 1
π
2
∫
4
F2 =
sin x dx =
0
2
-0
π
(C1 F1 + C2 F2 + C3 F3) =
2
4
1 ⎞
3 1
⎛1
2 + 1 ⎟ = 1.002280 Hasil
⎜ 0+
dari
3 ⎠
4 2
⎝3
π
dx
2
∫
numeris
=
1,
eksak
sin x
terlihat hasil
0
x
a − b
2
b
-1
0
1
ξ1
ξ2
ξ3
a
ξ
Gambar 3.2. Integrasi dengan 3 titik polinomial
Dengan 3 titik polinomial atau titik integrasi tersebut,
polinomial Lagrange akan berbentuk
L1 (ξ) =
(ξ - ξ 2 )(ξ - ξ 3 )
(ξ 1 - ξ 2 )(ξ 1 - ξ 3 )
= - ξ (ξ - 1)
(3.6)
Dengan memasukkan harga ξ1 = -1, ξ2 = 0, dan ξ3 =
1, Persamaan (3.6) menjadi
L2 (ξ) =
L2 (ξ) =
(ξ - ξ 1 )(ξ - ξ 3 )
(ξ 2 - ξ 1 )(ξ 2 - ξ 3 )
(ξ - ξ 1 )(ξ - ξ 2 )
(ξ 3 - ξ 1 )(ξ 3 - ξ 2 )
= (1 - ξ2)
(3.7)
= ξ (ξ + 1)
(3.8)
Dengan demikian diperoleh koefisien integrasi yaitu
1
∫ L ( ξ ) dξ
C1 =
1
1
1
1
∫-1 - 2 ξ (ξ - 1) dξ = 3
=
-1
1
C2 =
C3 =
∫ L ( ξ ) dξ
2
1
=
∫
-1
-1
1
1
∫ L3 ( ξ ) dξ =
-1
∫
-1
4
(1 - ξ2) dξ =
3
1
1
ξ (ξ + 1) dξ =
2
3
Contoh (1) aplikasi integrasi dengan 3 titik polinomial
π
pada fungsi sinusoidal
2
∫
0
sin x dx
sangat dekat dengan hasil eksak, dengan kesalahan |1
– 1.00280|100% = 0.28%. Bila (b-a) terlalu besar,
maka dapat dibagi lagi dalam sejumlah sub segmen,
dan selanjutnya integrasi dilakukan dalam masingmasing sub-segmen yaitu, misal untuk pembagian
dalam 2 sub-segmen, integrasi menjadi
b
∫ F(x) dx =
a
b-a
2
∫
b
F(x) dx +
b-a
4
3
∑
C i Fi +
i =1
∫
F(x) dx =
b-a
2
a
b-a
4
3
∑
C i Fi
i =1
b. Integrasi dengan 4 titik polinomial
Pada skema ini interval garis a - b dibagi dalam 3
interval, yaitu
ξ
-1
-1/2
1/2
1
Gambar 3.3. Integrasi dengan 4 titik polinomial
Dengan 4 titik polinomial ini, maka polinomial
Lagrange berbentuk
(ξ - ξ 2 )(ξ - ξ 3 )(ξ - ξ 4 )
(ξ 1 - ξ 2 )(ξ 1 - ξ 3 )(ξ 1 - ξ 4 )
(ξ - ξ 1 )(ξ - ξ 3 )(ξ - ξ 4 )
L2 (ξ) =
(ξ 2 - ξ 1 )(ξ 2 - ξ 3 )(ξ 2 - ξ 4 )
(ξ - ξ 1 )(ξ - ξ 2 )(ξ - ξ 4 )
L3 (ξ) =
(ξ 3 - ξ 1 )(ξ 3 - ξ 2 )(ξ 3 - ξ 4 )
(ξ - ξ 1 )(ξ - ξ 2 )(ξ - ξ 3 )
L4 (ξ) =
(ξ 4 - ξ 1 )(ξ 4 - ξ 2 )(ξ 4 - ξ 3 )
L1 (ξ) =
(3.9a)
(3.9b)
(3.9c)
(3.9d)
Dengan memasukkan harga-harga ξ1 s/d ξ4 seperti
pada Gambar (3.3) dan dengan mengintegrasikan dari
–1 dan ke 1, maka diperoleh
Vol. 12 No. 2 April 2005 117
Integrasi Numeris dengan Menggunakan Polinomial Lagrange
1
C1 =
∫ L2 ( ξ ) dξ = 0.75
-1
∫ L ( ξ ) dξ
4
3
∫ L ( ξ ) dξ = 0.25
= 0.75 ; C4 =
3
2
-1
1
1
C3 =
y
1
∫ L1 ( ξ ) dξ = 0.25; C2 =
2
-1
-1
Contoh (2) integrasi fungsi sinusoidal sin x dx, dengan
4 titik integrasi
1
Π/
0
Π/
Π/
x = 0 F1 = sin 0 = 0.000000 ; x =
= 0.500000
x = F3 = sin =
π
0.866025 ; x =
3
π
6
π
2
F2 = sin
π
6
F4 = sin =
∫
F(x) dx =
-1
=
π
π
2
π
(C1 F1 + C2 F2 + C3 F3 + C4 F4)
4
(0.25 0.000000+0.75 0.500000+0.75 0.866025+0.25 1.000000)
Kesalahan terhadap hasil eksak adalah
|1 – 1.001005|100% = 0.1005%.
4. Integrasi Bidang
Berdasarkan [Burden, Douglas, 1985], suatu fungsi
bidang F (x, y) dapat didekati dengan perkalian
polinomial Lagrange, yaitu
Pada titik
F (x, y) =
1
2
x
Dengan demikian untuk bidang segi empat seperti
fungsi pada Gambar (4.2), maka
L1 (x, y) = L1 (x) L1 (y) ; L2 (x, y) = L2 (x) L1 (y)
L3 (x, y) = L2 (x) L2 (y) ; L4 (x, y) = L1 (x) L2 (y)
4
= 1.001005
2
Gambar 4.2. Polinomial Lagrange pada bidang
segi-empat
= 1.000000
1
1
n
n
i =1
j =1
∑ ∑
Sebagaimana halnya dengan domain satu dimensi,
maka pada domain dua dimensi ini juga akan lebih
mudah bila digunakan sistem koordinat kurvilinier (ε
, η).
Bila digunakan polinomial Lagrange dengan 3 titik
polinomial, baik pada arah ξ maupun η, akan didapat
polinomial Lagrange dengan titik-titik polinomial
(xi,
y2)
(x2, y2)
m a k a
(1, 1)
η
y
(x2, y3) pada Gambar (4.1),
Li (x) Lj (y) F (xi, yj)
(-1, 1)
ξ
x
(4.1)
poinomial Lagrange-nya adalah
L2,3 (x, y) = L2 (x) L3 (y)
(xi, y1)
(-1,-1)
(x2, y1)
(1,-1)
Gambar 4.3 Transformasi dari bidang (x,y) ke
bidang ξ,η)
7
8
9
4
(x 2 , y 3 )
3
4
y
5
6
2
1
1
2
3
4
x
Gambar 4.1. Polinomial Lagrange pada bidang
118 Jurnal Teknik Sipil
1
2
3
Gambar 4.4 Titik-titik polinomial untuk
polinomial Lagrange 3 titik
Hutahaean, dkk.
x1
sebagai berikut (Gambar 4.4)
Pada arah horizontal, arah ξ, terdapat 3 polinomial L
buah
L
para arah η juga terdapat 3
(ξ) dan
1
1
( η ) ,
L1 (ξ) =
η (η - 1)
ξ (ξ - 1) y a i t u L1 (η) =
2
2
L2 (η) = (1 - η )
2
L2 (ξ) = (1 - ξ 2)
L3 (η) =
1
η (η + 1)
2
Persamaan
(3.7),
1
ξ (ξ + 1)
2
L3 (ξ) =
berdasarkan
(3.8), dan (3.9) maka
y1
∫ ∫
x1
F9x) dx dy =
y1
1
x 2 - x1 y 2 - y 1
2
2
1
9
∫ ∫∑
- 1 - 1 i =1
Li (ξ, η) Fi dξ dη
x 2 - x1 y 2 - y 1 9
Ci Fi
(4.2)
∑
2
2
i =1
x 2 - x1
y - y1
dimana dx =
dξ dan dy = 2
dη.
2
2
=
Dengan menggunakan koefisien-koefisien integrasi
tersebut maka integrasi pada domain bidang dapat
dengan mudah diselesaikan, yaitu sebagai berikut
Dengan demikian polinomial Lagrange pada titik-titik
polinomial seperti terlihat pada Gambar 4.4 adalah
L1 (ξ, η) = L1 (ξ) L1(η) ; L2 (ξ, η) = L2 (ξ) L1(η)
L3 (ξ, η) = L3 (ξ) L1(η) ; L4 (ξ, η) = L1 (ξ) L2(η)
L5 (ξ, η) = L2 (ξ) L2(η) ; L6 (ξ, η) = L3 (ξ) L2(η)
1
1
∫ ∫
C1 =
-1
-1
1
1
∫ ∫
; C2 =
- 1 -1
1
1
∫ ∫
C3 =
-1 -1
1 1
;C4
∫ ∫
-1
-1
1
C5 =
yaitu
; C6 =
1
∫ ∫
-1 -1
1 1
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
-1
-1
4
9
L6 (ξ, η) dξ dη =
L7 (ξ, η) dξ dη =
L8 (ξ, η) dξ dη =
-1 -1
1 1
C9 =
Dengan cara yang sama, dapat
diturunkan koefisien integrasi untuk
polinomial Lagrange 4 titik polinomial,
pada bidang integrasi akan terdapat 16
13
15
14
π π
2
2
∫ ∫ sehingga
0 0
t i t i k
16
K o e f i s i e n
1 integrasi dapat
9 dengan mudah
4 diperoleh dengan
= L4 (ξ, η) dξ dη =
mengintegrasikan
9
Li (ξ,
η) pada
Persamaan
16 (4.1a) sampai
L5 (ξ, η) dξ dη =
dengan (4.1i),
9
- 1 -1
1 1
; C8 =
η) = L (ξ)
L3 (ξ, η) dξ dη =
-1 -1
1 1
C7 =
L (ξ,
1
1 7
L3(η) ; L8 (ξ, η) =
9 L2 (ξ) L3(η)
4 L9 (ξ, η) = L3 (ξ
L2 (ξ, η) dξ dη =
9 ) L3(η)
L1 (ξ, η) dξ dη =
L9 (ξ, η) dξ dη =
1
9
4
9
1
9
9
10
11
12
5
6
7
8
1
3
2
4
Gambar 4.5. Bidang integrasi dengan 16 titik
polinomial
(0, π/2) (π/4, π/2)
7
(0, π/4) 4
1
(0, 0)
8
(π/4, π/4)
5
2
(π/4, 0)
(π/2, π/2)
9
6 (π/2, π/4)
3
(π/2, 0)
Gambar 4.6. Koordinat 9 titik polinomial
Vol. 12 No. 2 April 2005 119
Integrasi Numeris dengan Menggunakan Polinomial Lagrange
dy, dengan 9 dan 16 titik integrasi
polinomial seperti terlihat pada Gambar (4.5).
π π
π
2 2
∫∫
sin x sin y dy dx =
0 0
Li (ξ, η) dη dξ =
π2
16
2
-0
2
π
2
-0
2
1
a. Perhitungan dengan 9 titik polinomial
1
∫ ∫
-1 -1
9
∑
Ci Fi
i =1
Selanjutnya dengan
mengintegrasikan
masing-masing suku pada polinomial Lagrange akan
diperoleh harga koefisien integrasi sebagai berikut
C1 = 0.0625 ; C2 = 0.1875 ; C3 = 0.1875 ; C4 = 0.0625
C5 = 0.1875 ; C6 = 0.5625 ; C7 = 0.5625 ; C8 = 0.1875
π π
2
2
∫∫
C9 = 0.1875 ; C10 = 0.5625 ; C11 = 0.5625 ; C12 =
0.1875
2 16
sin x sin y dy dx =
0 0
π
16
= 0.1875 ; C15 = 0.1875 ;
∑
i =1
Ci Fi
C16 =
C13 =
0.0625 ; C14
0.0625
∂u
= F(u) dimana Fi = sin xi sin yi. Dengan (5.1)
hasil eksak 1.0, maka kesalahan
∂t
metoda numeris adalah |1.004565 - 1| 100% =
0.4565%. Selanjutnya hasil perhitungan dapat dilihat
pada Tabel 4.1.
b.
Perhitungan dengan 16 titik
∂u
t
integrasi
= F (u )
∂t t
Contoh (4) : integrasi fungsi sinusoidal sin x sin y dx
Tabel 4.1. Perhitungan contoh (4) dengan 9 titik
polinomial
Titik
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
0
π/4
π/2
0
π/4
π/2
0
π/4
π/2
y
0
0
0
π/4
π/4
π/4
π/2
π/2
π/2
sin xi
0.000000
0.000000
0.000000
0.707107
0.707107
0.707107
1.000000
1.000000
1.000000
sin yi
0.000000
0.707107
1.000000
0.000000
0.707107
1.000000
0.000000
0.707107
1.000000
Fi
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.500000
0.707107
0.000000
0.707107
1.000000
Ci
0.111111
0.444444
0.111111
0.444444
1.777778
0.444444
0.111111
0.444444
0.111111
Ci Fi
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.888889
0.314270
0.000000
0.314270
0.111111
∂u
∂t
= F (u
t + δt
t+δt
)
Adapun hasil perhitungan
disajikan pada Tabel 4.2 di
bawah
Dengan hasil eksak 1.0, maka kesalahan metoda
numeris adalah |1.002011 - 1| 100% = 0.2011%.
5. Penggunaan pada Penyelesaian
Persamaan Differensial Waktu Orde 1
Nonlinier
1.004565
Persamaan differensial waktu nonlinier orde 1, dapat
ditulis dengan bentuk umum sebagai berikut.
Catatan : Fi = sin xi sin yi
Tabel 4.2. Perhitungan contoh (4) dengan 16 titik polinomial
Titik
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
x
0
π/6
π/3
π/2
0
π/6
π/3
π/2
0
π/6
π/3
π/2
0
π/6
π/3
π/2
y
0
0
0
0
π/6
π/6
π/6
π/6
π/3
π/3
π/3
π/3
π/2
π/2
π/2
π/2
sin xi
0.000000
0.500000
0.866025
1.000000
0.000000
0.500000
0.866025
1.000000
0.000000
0.500000
0.866025
1.000000
0.000000
0.500000
0.866025
1.000000
sin yi
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.500000
0.500000
0.500000
0.500000
0.866025
0.866025
0.866025
0.866025
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
Fi
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.250000
0.433013
0.500000
0.000000
0.433013
0.750000
0.866025
0.000000
0.500000
0.866025
1.000000
Ci
0.062500
0.187500
0.187500
0.062500
0.187500
0.562500
0.562500
0.187500
0.187500
0.562500
0.562500
0.187500
0.062500
0.187500
0.187500
0.062500
Ci Fi
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.140625
0.243570
0.093750
0.000000
0.243570
0.421875
0.162380
0.000000
0.093750
0.162380
0.062500
1.002011
Catatan : Fi = sin xi sin yi
120 Jurnal Teknik Sipil
Hutahaean, dkk.
t +δt
∫ F (u)
(5.2b) menjadi
t0
∂u
= F(ut)
∂t
(5.2a)
P e n y e l e s a i an s e c ar a
explicit adalah dengan mengerjakan Persamaan
(5.1) pada saat t = t. Jadi ut+δt hanya ditentukan oleh
kondisi F (ut) saja.
t + δt
u pred
Dengan menggunakan skema backward difference
pada ∂u/∂τ, maka akan diperoleh harga Selanjutnya
harga ut+δt adalah
t
u
t +δt
-u
2 δt
ut+δt = u t0 +
t −δ t
+ δt
u tpred
(5.2b)
Jadi baik metoda explisit maupun metoda implisit
terdapat suatu kekurangan, dimana seharusnya harga
ut+δt ditentukan oleh F(ut) dan F (ut+δt).
t + δt
t
u -u
Untuk mengatasi kekurangan
= F(ut+δt)
atau kelemahan dari metoda
δt
explisit dan implisit maka dikerjakan
metoda prediktor korektor, yaitu
t +δt
u kor
a. Prediktor
(5.5)
Dengan harga ut+δt yang baru tersebut, diulang langkah
korektor,
y a i t u
dengan
t-δt
t
Gambar 5.1. Integrasi dengan 3 titik polinomial
mengerjakan Persamaan (5.2b) dan (5.2c) lagi.
Langkah ini diulang-ulang sampai diperoleh harga ut+δt
yang konvergen, dimana
4
1 ⎞
⎛1
+δt
= u t −2δt + δ t ⎜ F t −2δt + F t −δt + F t ⎟ (5.6)
u tpred
3
3 ⎠
⎝3
harga δt diperoleh dari b - a = t - (t - 2 δ t ) = δt
2
2
dimana ε adalah
bilangan yang sangat kecil.
∂u/∂τ dapat dinyatakan dengan skema forward maupun
central difference. Dengan
t +δ t
t +δ t
u old
+ u new
< ε Persamaan (5.2a) tersebut akan
diperoleh harga . Bila
diselesaikan dengan central difference, maka
Persamaan (5.2a) menjadi
0.5
(5.2c)
t-2δt
∂u
= F (ut+δt) Dalam hal ini harga ut+δt
∂t
ditentukan oleh F (ut+δt).
=
t0
t
F(u ) Penyelesaian secara implisit
adalah dengan mengerjakan
Persamaan (5.1) pada saat t = t+δt.
ut+δt
∫ F (u) dt
t + δt
ut+δt = u pred
Metoda prediktor korektor
ini, dapat
juga dikerjakan dengan cara integrasi yaitu sebagai
berikut. Persamaan (5.1) dapat juga ditulis dalam
bentuk
l a i n
yaitu :
∂ u = F t-2δt
t-δt
t
t+δt (u) dt
Gambar 5.2. Integrasi dengan 4 titik polinomial
(5.3)
b. Korektor
Dengan harga ut+δt = (hasil langkah prediktor),
dikerjakan skema implisit yaitu
t +δt
∫ du
t +δt
=
t0
∫ F (u)
t0
t +δt
u
t+δt
dt
= +
∫ F(u)
t0
Bila diselesaikan dengan
backward difference,
dt
maka Persamaan (5.4)
Persamaan (5.3) ini dapat diselesaikan dengan
metoda integrasi yaitu
ut+δt =
3
t-2δt
t-2δt
t-δt
t
2 u +δ t (0.25 F + 0.75 F + 0.75 F
+ 0.25 Ft+δt)
harga δ t
(5.7)
3
b- a t +δ t - (t - 2δ t)
=
diperoleh dari = δ t
2
2
2
3
=
δt
2
Vol. 12 No. 2 April 2005 121
Integrasi Numeris dengan Menggunakan Polinomial Lagrange
dengan skema 4 titik.
dt
Pada Persamaan (5.4) tersebut
tidak dapat diselesaikan karena
t +δ t
t +δ t
u old
+ u new
< ε. harga ut+δt tidak diketahui. Untuk
mengatasi hal tersebut, maka
dikerjakan metoda prediktor-korektor, sebagai
berikut :
a. Prediktor
Sebagai langkah prediktor adalah
∂η
∂ (uH )
+
=0
∂t
∂x
(5.8a)
Integrasi
(5.5)
dapat
diselesaikan
∂u
∂u
∂η
+u
+g
= 0 d e n g a n (5.8b)
∂t
∂x
∂x
integrasi
t +δt
∫∂ n =
t − 2 δt
t
∫δF (u, H) dt + δ t F
t
t −2 t
D e n g a n
menggunakan
⎛ 1 t −2δt 4 t −δt 1 t ⎞
+ F + F ⎟ +δ t Ft
F
3 ⎠
3
⎝3
ηt+δt = ηt-2δt + δ t ⎜
koefisien
∂ (uH )
∂x
∂ (uH )
∂x
t −δt
t − 2δt
Ft-2δt = -
; Ft-δt = -
∂ (uH )
∂x
t
; Ft = -
integrasi dari bab terdahulu, maka penyelesaiaan
numeris dari Persamaan (5.6) adalah ∂ (uH )
∂x
sebagai berikut
numeris
dengan polinomial Lagrange
3 titik, yaitu berdasarkan Gambar 5.1, dimana t0 = t –
2δt.
t + δt
Dengan diketahuinya ut-2δt , ut-δt dan ut dari perhitungan
sebelumnya, maka dapat dihitung Ft-2δt = F (ut-2δt), Ft-δt
=
F (ut-δt) dan Ft = F (ut), dan
dη
∂ (uH )
atau Persamaan (5.5) dapat
=diselesaikan secara numeris
∂t
∂x
dengan koefisien integrasi seperti
dη
(5.9a)
= F (u, H) yang diebutkan pada
∂t
b a g i a n
∂ (uH ) terdahulu.
dimana F (u, H) = -
∫∂ u =
t − 2 δt
t
∫δG (u,η ) dt + δ t G
t
t −2 t
ut+δt
Dengan
yang
t-2δt
G
t − 2δ t
baru,
t −δt
∂η ⎞
∂η ⎞
⎛ ∂u
⎛ ∂u
= ⎜- u
-g
-g
; Gt-δt = ⎜ - u
⎟ ; Gt =
⎟
x
∂
∂ x⎠
∂
∂
x
x
⎝
⎠
⎝
t
∂η ⎞
⎛ ∂u
-g
⎜- u
⎟
∂ x ⎠ diulang perhitungan korektor
⎝ ∂x
Persamaan 5.7, sampai dicapai
konvergensi dimana:
∂x
b. Korektor
Dengan diketahuinya harga
∂u
= G (u, η) maka dapat dihitung Ft+δt = (5.9b)
δ t
∂t
)
d a n
F(u t+
∂u
η
∂
Persamaan
-g
dimana G (u, η) = - u
∂x
∂ x (5.5) dapat
diselesaikan
secara
n u m e r i s
Sebagai contoh pemakaian akan diselesaikan
persamaan gelombang Airy satu dimensi, yaitu [Dean,
Dalrymple] :
ηt+δt = ηt-2δt +
(
3
δ t 0,25 F t −2δt + 0.75 F t −δt + 0.75 F t + 0,25 F t +δt
2
∂ (uH )
=∂t
t + δt
t+δt
F
)
a. Persamaan kontinuitas
z
x
η
Muka air diam
b. Persamaan momentum
t +δt
∂n
3t −∫2δt
u =u +
δ t (0.25 Gt−2δt + 0.75 Gt−δt + 0.75 Gt + 0.25 Gt+δt )
2
t − 2δt
∂η ⎞
⎛ ∂u
t+δt
u
g
⎟
dimana G = ⎜
∂ x⎠
⎝ ∂x
η
=
t+δt
h
Gambar 5.3. Variabel pada persamaan gelombang
Airy
122 Jurnal Teknik Sipil
t-2δt
fluktuasi
u = kecepatan arus pada arah x
h = kedalaman perairan
muka air
Hutahaean, dkk.
dimana
g = percepatan gravitasi
H = h+η
ut-2δt, ηt-2δt, ut-δt, ηt-δt, ut dan ηt diperoleh dari hasil
perhitungan sebelumnya. Sedangkan ∂u/∂x dan ∂η/∂x
pada penelitian ini dihitung dengan metoda selisih
hingga.
Persamaan kontinuitas dapat ditulis
b. Korektor
Sedangkan persamaan momentum dapat ditulis dalam
bentuk
b.1. Persamaan kontinuitas
dimana ut-δt dan ηt-δt diperoleh dari perhitungan tahap
prediktor.
a. Prediktor
a.1. Persamaan kontinuitas
1
∫
b.2.
n
Persamaan
f (ξ ) dξ = ∑ wi f( ξ i* ) momentum
i =1
-1
dimana
(u, H)t-2δt, (u, H)t-δt, dan (u, H)t, diperoleh dari
perhitungan sebelumnya. Sedangkan
pada
penelitian ini dihitung dengan menggunakan metoda
selisih hingga.
a.2. Persamaan momentum
Sebagai contoh perhitungan, model dikerjakan pada
perhitungan gelombang pada kanal (Gambar 5.3).
Perioda gelombang 6 detik, amplitudo 0.1 m,
sedangkan kedalaman kanal h = 15.0 m. Berdasarkan
kajian Le Mehaute [Mei, Méhauté, 1966], persamaan
gelombang Airy ini untuk gelombang pendek hanya
dapat digunakan untuk tinggi gelombang yang sangat
kecil. Pada perhitungan ini F (u, H) = - ∂(uH)/∂x dan G
(u, η) = - u ∂u/∂x - g ∂η/∂x dihitung dengan
menggunakan metoda selisih hingga. Hasil
perhitungan disajikan pada Gambar 5.4.
Seperti terlihat pada Gambar 5.4, model memberikan
solusi yang stabil, hal ini terlihat pada kurva
gelombang yang stabil pada eksekusi 9 x perioda
gelombang, sering terjadi ketidak stabilan kurva terjadi
setelah eksekusi 3 atau 4 kali perioda gelombang. Hal
Gambar 5.3. Kanal untuk eksekusi model
0,15
0,13
0,10
0,08
0,05
0,03
0,00
-0,03
-0,05
-0,08
-0,10
-0,13
-0,15
muka air (m)
Muka air (m)
sedangkan ut+δt dan ηt+δt diperoleh dari perhitungan
pada tahap prediktor.
0
150
300
450
600
x (m)
Gambar 5.4. Gelombang sinusiodal pada kanal,
hasil simulasi
750
0,15
0,13
0,10
0,08
0,05
0,03
0,00
-0,03
-0,05
-0,08
-0,10
-0,13
-0,15
0
50
100
Hasil model
Hasil teori gelombang linier
150
200
250
300
x (m)
Gambar 5.5. Perbandingan antara teori gelombang
linier dengan model
Vol. 12 No. 2 April 2005 123
Integrasi Numeris dengan Menggunakan Polinomial Lagrange
ξ1*
t +δt
∫
ξ3*
ξ2*
t4
gelombang
;
k
= f (u ) dt b i l a n g a n
gelombang
t
σ = 2π / T = frekuensi sudut ; T = perioda gelombang
ini dapat terjadi akibat metoda numeris (penyelesaian
diferensial waktu) yang kurang baik. Selain itu
perhitungan gelombang pendek dengan persamaan
gelombang Airy adalah jauh lebih sulit daripada
perhitungan gelombang panjang,
Untuk gelombang dengan perioda 6 detik, dan pada
kedalaman perairan 15.0 m, mempunyai panjang
gelombang 53 m berdasarkan teori geombang linier.
Terlihat pada Gambar 5.5., bahwa gelombang yang
dihasilkan model lebih panjang dari teori gelombang
linier. Berdasarkan [Hutahaean, dkk., 2005], panjang
gelombang dari teori gelombang linier memang masih
perlu dilakukan koreksi.
t1
t2
t3
Gambar 6.1. Posisi titik integrasi terhadap titik
waktu (φ) perhitungan
ut+δt = ut +
ηt+δt = ηt +
m i s a l
perioda 24
ut+δt = ut +
δt
(23 G
12
δt
12
δt
(23 F
t
− 16 G t +δt + 5 G t + 2δt
)
t
− 16 F t +δt + 5 F t + 2δt
)
6. Diskusi
gelombang pasang surut dengan
jam atau 86400 detik.
Seperti telah disebutkan bahwa metoda yang
dikembangkan adalah serupa dengan metoda
Gaussian-quadrature yang berbentuk [Burden,
Douglas, 1985]
(
)
(
)
9 G t +δt + 19 G t - 5 G t +δt + G t + 2δt
24
Solusi
δt
ηt+δt = ηt +
9 F t +δt + 19 F t - 5 F t +δt + F t +2δt
24
dimana wi disebut dengan koefisien bobot, sedangkan
ξi* adalah titik integrasi. Berdasarkan [Frank, 1986],
titik integrasi pada metoda Gaussian-quadrature adalah
seperti disajikan pada Tabel 6.1. Seperti terlihat pada
Tabel 6.1. tersebut, koordinat titik integrasi bukan
berupa bilangan yang sederhana, demikian juga
dengan intervalnya. Sehingga untuk penggunaannya
pada integrasi waktu sulit untuk mengkaitkannya
analitik
berdasarkan teori gelombang linier dapat ditulis dalam
bentuk sinusoidal : η (x, t) = A sin (kx – σt)
dimana :
=
A
u
t+δt
t
-u =
t + δt
∫
t
∂u
dt =
∂t
t + δt
amplitudo
∫ f (u ) dt
t
Tabel 6.1. Titik integrasi pada metoda Gaussian-quadrature
1
∫
-1
n
f (ξ ) dξ = ∑ wi f( ξ i* )
i =1
ξ1*
wi
2.000000000000000
0.000000000000000
n=1
+ 0.577350269189626
n=2
0.000000000000000
+ 0.774596669241483
n=3
0.888888888888889
0.555555555555556
+ 0.339981043584856
+ 0.861136311594053
n=4
0.652145154862546
0.347854845137454
0.000000000000000
+ 0.538469310105683
+ 0.906179845938664
n=5
+ 0.238619186083197
+ 0.661209389466265
+ 0.932469514203152
n=6
124 Jurnal Teknik Sipil
1.000000000000000
0.568888888888889
0.478628670499366
0.236926885056189
0.467913934572691
0.360761573048139
0.171324492379170
Hutahaean, dkk.
dengan posisi t1, t2, t3 ….. dst. seperti terlihat pada
Gambar 6.1., maka terlihat bahwa titik integrasi tidak
tepat berada pada titik waktu perhitungan.
Oleh karena itu bila digunakan metoda Gaussianquadrature, perlu dilakukan interpolasi untuk
menghitung harga-harga f (ξ1*),f (ξ2*),f (ξ3*)….. dst.
Hal ini selain menambah proses perhitungan juga akan
mengurangi ketelitian. Metoda prediktor-korektor
yang dikembangkan mirip dengan metoda prediktorkorektor dari Adams – Bashforth – Moulton yang
digunakan oleh Y.S Li, dkk [Li, Liu, Yu, Lai, 1999]
serta Nwogu [Nwogu, 1993] dalam menyelesaikan
persamaan Boussinesq. Adapun bentuk persamaan dari
Adams – Bashforth – Moulton tersebut adalah
[Burden, Douglas, 1985], [Li, Liu, Yu, Lai, 1999], dan
[Nwogu, 1993].
Prediktor :
Korektor :
Perbedaan dengan metoda yang dikembangkan adalah
pada harga koefisien integrasi. Metoda Adams –
Bashforth – Moulton ini juga diturunkan berdasarkan
metoda integrasi, yaitu
Selanjutnya penyelesaian
diselesaikan
metoda backward-difference dari Newton, dan
diperoleh koefisien-koefisien integrasi. Untuk
penjelasan lebih rinci, dapat dilihat pada ref [Burden,
Douglas, 1985]. Mengenai metoda yang mana yang
lebih baik, diluar lingkup penelitian ini. Maksud dari
paper ini hanyalah mengemukakan alternatif metoda
penyelesaian persamaan diferensial waktu nonlinier.
7. Kesimpulan
Dari penelitian yang telah dilakukan, dapat diambil
kesimpulan bahwa
a. Metoda integrasi numeris yang dikembangkan
memberikan hasil yang cukup baik, sangat dekat
dengan hasil eksak, dengan kesalahan 0.0002% 0.5%.
b. Semakin banyak titik polinomial atau titik integrasi
yang digunakan diperoleh hasil integrasi yang
semakin baik.
c. Persamaan differensial waktu dapat diselesaikan
dengan metoda integrasi, dimana integrasi waktu
dapat dilakukan secara numeris.
Vol. 12 No. 2 April 2005 125
Integrasi Numeris dengan Menggunakan Polinomial Lagrange
126 Jurnal Teknik Sipil