GARIS IMBAS - DAYA RICEH DAN MOMEN LENTUR

  GARIS IMBAS - UNIT DAYA RICEH DAN MOMEN LENTUR

8 Objektif Am

  Memahami konsep garis imbas di dalam menentukan daya riceh dan momen lentur maksima pada bahagian-bahagian tertentu apabila rasuk dikenakan beban bergerak.

  Objektif Khusus

  Di akhir unit ini pelajar sepatutnya dapat

  a. mengira daya riceh maksima (maksima positif dan negatif) pada bahagian-bahagian tertentu dengan menggunakan gambarajah garis imbas apabila rasuk dikenakan beban bergerak jenis i. beban tumpu ii. beban teragih seragam iii. gabungan beban-beban di atas

  b. menentukan momen lentur maksima (maksima positif dan negatif) pada bahagian-bahagian tertentu dengan menggunakan gambarajah garis imbas apabila rasuk dikenakan beban bergerak jenis i. beban tumpu ii. beban teragih seragam iii. gabungan beban-beban di atas.

  INPUT 8.1 DAYA RICEH Pengenalan

  Jika sebelum ini (unit 7) kita telah tahu cara untuk melakar gambarajah garis imbas sama ada untuk daya tindakbalas, daya riceh atau momen lentur bagi rasuk boleh tentu, maka dalam unit ini pula kita akan pelajari cara untuk mengira nilai daya riceh dan momen lentur jika dikenakan beban sebenar .

  Takrifan

  Nilai daya riceh bagi rasuk boleh tentu bergantung kepada beban yang dikenakan . Di antaranya ialah :- i. beban tumpu ii. beban teragih seragam iii. gabungan beban-beban di atas

  Beban tumpu

  Penyelesaian rasuk akibat dari beban titik untuk daya riceh dan momen lentur berbeza kerana ianya bergantung kepada bentuk gambarajah garis imbas yang dilakar. Kita bincangkan dahulu untuk mendapatkan nilai daya ricih sebenar menggunakan gambarajah garis imbas bagi beban pada kedudukan tertentu.

  Pertimbangkan rasuk dalam Rajah 8.1 di bawah:-

  Rajah 8.1

  W

1 W

  3 W

  W

  2 n

  A B

  o

  x a b

  b L

  y n (+)

  Gambarajah garis imbas bagi daya riceh di titik x

  (-) y

  1 ( G.I V ) _X

  y

  2

  y

  

3

a L

  Daya riceh di x = W

  1 y 1 + W 2 y 2 + W 3 y 3 n y n _n + …+ W

   V X = W y _{n n}  ₁ Di mana W = beban kenaan

  y = odinit garis imbas

  Contoh 8.1

  Kirakan daya riceh di titik x untuk rasuk di bawah (Rajah 8.2) jika dikenakan beban titik berikut.

  50 kN 20 kN 20 kN

  Rajah 8.2

  A B

  o

  x 4 m 1 m 1 m 2 m 2 m

  Penyelesaian :-

  50 kN 20 kN 20 kN A

  B

  

o

  x 1 m 1 m 4 m 2 m 2 m

  2

  10 y

  3 G.I. V _X

  y

  1

  y

  2

  8

  10 Menentukan nilai y

  1 , y 2 dan y 3 ( gunakan segitiga sebentuk ) y ₁

  2 y = 0.2 

  1 .

  8

  8

  y ₂

  4 y = 0.4 

  2 .

  8

  8

  y ₃

  1 y = 0.1 

  3 .

  2

  2 Maka :- _n

  V =

  X W y _{n n}  ₁ V X = 50 (-0.2) + 20 (-0.4) + 20 (0.1)

  = -16 kN

  

  Beban Teragih Seragam

  Penyelesaian rasuk akibat dari beban teragih seragam untuk daya riceh dan momen lentur berbeza kerana ianya bergantung kepada bentuk gambarajah garis imbas yang dilakar. Perbincangan akan dimulakan dahulu untuk beban teragih seragam pada kedudukan tertentu. Pertimbangkan rasuk di bawah (Rajah 8.3) :-

  Rajah 8.3

  w / panjang unit dx A o B a b

  L

  b L

  (+)

G.I.V

  _x

  (-)

  a L

  Jumlah beban pada panjang dx = w dx Daya ricih = (w dx) * odinit pada gambarajah

  Garis Imbas = (w dx) * y _x

  Jumlah daya ricih = = w y dx  w dx y _x 

  Tetapi y dx = luas gambarajah garis imbas di bawah beban 

  Maka Jumlah daya ricih = beban * luas gambarajah garis imbas dibawah beban

  Contoh 8.2

  Dapatkan daya ricih pada titik C untuk rasuk di bawah (Rajah 8.4) jika ia dikenakan beban teragih seragam.

  Rajah 8.4

  10 kN/m

  o

  A B C

  2 m 3 m 5 m

  Penyelesaian :- 5  .

  5

  10 G.I. V C A B C Y 5  .

  5

  10 Tentukan nilai Y (Gunakan segitiga sebentuk)

  Y

  2 Y = 0.2  .

  5

  5 Daya riceh di titik C = beban x luas di bawah beban

  1

  1 V C = 10 [ ( 5 x . 5 )  ({ . 5  . 2 }) x 3 ]

  2

  2 V = 2 kN

  C

  Nota: Nilai (-) dan (+) pada gambarajah garis imbas diambilkira.

  

Gabungan Beban Titik dan Beban Teragih Seragam

  Bagi rasuk yang mengalami kedua-dua jenis beban iaitu beban titik dan beban teragih, penyelesaiannya adalah gabungan antara kedua-dua kaedah di atas. Mari kita lihat contoh di bawah sebagai panduan:-

  Contoh 8.3

  Bagi rasuk di dalam Rajah 8.5 , kirakan i) R

  B

  ii) V

  C Rajah 8.5

  10 kN 5 kN/m

  o

  A B C

  4 m 5 m 1 m

  Penyelesaian :-

  1.0 i)

  0.6

  0.5 G.I. R B R B = 10 (0.5) + 5[ ½ (0.5 + 1.0) 5 ] R B = 23.75 kN

  

  0.4 ii) (+)

  G.I. V C

  (-)

  0.5

  0.6 V C = -10(0.5)

• – 5[ ½ (0.5 + 0.6) 1] + 5 [½ x 0.4 x 4)

  AKTIVITI 8.1

  Untuk memahirkan anda mengira daya riceh dan momen lentur dengan menggunakan konsep gambarajah garis imbas, cuba aktiviti-aktiviti berikut :- Jawab setiap soalan dan kemudian semak dengan jawapan di halaman berikutnya.

  S1 Dapatkan daya riceh untuk titik C bagi rasuk yang disokong mudah di bawah jika ia dibebani dengan beban-beban berikut.

  20 kN 5 kN/m B A C

  2 m 2 m 3 m 1 m

  S2 Kirakan daya riceh di tengah rentang apabila ia dikenakan beban

  seperti di atas. Beban 5 kN dikenakan di tengah rentang. Jarak antara beban ialah 2 m.

  10 kN 5 kN 20 kN

  B A R B R A 5 m 15 m 5 m

  S3 Untuk rasuk berikut, kirakan nilai daya ricih dan momen lentur pada titik B jika ianya dikenakan beban mati seperti gambarajah di bawah.

  60 kN 10 kN/m C A

  D B 2 m 4 m 4 m 4 m

  S4 Satu rasuk ditupang mudah yang rentangnya 20 m dan berat sendiri

  rasuk ialah 60 kN/m dikenakan beban-beban mati berikut. Tentukan a. daya tindakbalas pada A b. daya tindakbalas pada B c. daya ricihnya pada pertengahan rentang.

  120 kN 80 kN 150 kN R B R A

  6 m 7 m 3 m 4 m

  MAKLUM BALAS AKTIVITI 8.1 Sila semak jawapan yang anda perolehi dengan jawapan di bawah. S1

  V C = 5/2 kN (daya ricih negatif)

  S2

  V = 5.46 kN

  tengah rentang S3

  V B = 22 kN (daya ricih negatif)

  S4

  a. R A = 763 kN

  b. R B = 787 kN

  c. V tengah rentang = 43 kN

  INPUT 8.2 MOMEN LENTUR Pengenalan

  Jika sebelum ini kita telah tahu cara mengira nilai daya riceh jika dikenakan beban sebenar . Maka dalam bahagian ini kita akan mempelajari pula cara mengira nilai momen lentur jika dikenakan beban sebenar samada ada beban tumpu atau beban teragih seragam.

  Takrifan

  Nilai momen bagi rasuk boleh tentu bergantung kepada beban yang dikenakan . Di antaranya ialah :- i. beban tumpu ii. beban teragih seragam iii. gabungan beban-beban di atas

  Beban tumpu

  Penyelesaian rasuk akibat dari beban titik untuk daya riceh dan momen lentur berbeza kerana ianya bergantung kepada bentuk gambarajah garis imbas yang dilakar. Kita bincangkan dahulu untuk mendapatkan momen lentur menggunakan gambarajah garis imbas bagi beban pada kedudukan tertentu.

  Pertimbangkan rasuk di dalam Rajah 8.6 di bawah:- W

1 W

  3 W

  W

  2 n Rajah 8.6

  B A o x a b

  B

  G.I. M _{X A}

  y

  1 y n

  y

  2

  y

  3 ab L

  Momen lentur di x = W y + W y + W y + ..+ W y _n

  1

  1

  2

  2

  3 3 n n M X = W y _{n n}

   ₁ Di mana W = beban kenaan

  y = odinit garis imbas

  Contoh 8.4

  Kirakan momen lentur di titik x untuk rasuk di bawah (Rajah 8.7) jika dikenakan beban titik berikut.

  50 kN 30 kN 30 kN

  Rajah 8.7

  B A

  o

  x 5 m 1 m 1 m 3 m 3 m

  Penyelesaian :

  x A

  o B G.I. M _X

  y

  1

  y

  3

  y

  2

  ( 11 )( 2 )

  22 1 . 692  

  13

  13 Tentukan nilai y

  1 , y 2 dan y 3 ( gunakan segitiga sebentuk ) y ₁

  3  y

  1 = 0.461

  1 . 692

  11

  y ₂

  6  y

  2 = 0.923

  1 . 692

  11

  y ₃

  1 y = 0.846 

  

3

  1 . 692

  2 _n Maka ; M = W y = 50 (0.461) + 30( 0.923) + 30 (0.846)

  X  M _{n n}

  X  ₁

  = 76.12 kNm

  



Beban Teragih Seragam

  Penyelesaian rasuk akibat dari beban teragih seragam untuk daya riceh dan momen lentur berbeza kerana ianya bergantung kepada bentuk gambaRajah garis imbas yang dilakar. Perbincangan akan dimulakan dahulu untuk beban teragih seragam pada kedudukan tertentu. Pertimbangkan rasuk (Rajah 8.8) di bawah :-

  Rajah 8.8

  w / panjang unit dx A o B a b

  L (+)

  ab Jumlah beban pada panjang dx = w dx Momen = (w dx) * odinit pada Gambarajah Lentur garis Imbas

  = (w dx) * y Jumlah momen =  w dx y lentur _x

  =

  w y dx _x  Tetapi y dx = luas gambaRajah garis imbas di

   bawa beban

  Maka Jumlah momen = beban * luas gambarajah lentur garis imbas dibawah beban

  Contoh 8.5

  Dapatkan momen lentur pada titik C untuk rasuk di Rajah 8.9, jika ia dikenakan beban teragih seragam.

  Rajah 8.9

  10 kN/m

  o

  A B C

  2 m 3 m 5 m

  Penyelesaian :- G.I. M _C

  y ( 5 )( 5 )

   2 .

  5

  10

  2 y = 1 y 

  2.5

5 Momen lenturdi titik C = beban x luas di bawah

  beban

  1

  

1

M C = 10 [ ( 2 . 5 x 5 )  ( 1 .  2 . 5 ) x 3 ]

  2

  

2

M C = 115 kNm 

Gabungan Beban Tumpu dan Beban Teragih Seragam

  Bagi rasuk yang mengalami kedua-dua jenis beban iaitu beban titik dan beban teragih, penyelesaiannya adalah gabungan antara kedua-dua kaedah di atas.

  Contoh 8.6

  Bagi rasuk di dalam Rajah 8.10, kirakan momen lentur pada titik C 10 kN

  Rajah 8.10

  5 kN/m

  

o

  A B C

  4 m 5 m 1 m

  G.I. M C

  2.0

  2.4 M = 10(2) + 5[½(2 + 2.4) 1 ] + 5 [ ½ x 4 x 2.4 ]

  C

  M C = 55 kNm

  

  AKTIVITI 8.2

  Untuk memahirkan anda mengira daya riceh dan momen lentur dengan menggunakan konsep gambaRajah garis imbas, cuba aktiviti-aktiviti berikut :- Jawab setiap soalan dan kemudian semak dengan jawapan di halaman berikutnya.

  

S1 Dapatkan momen lentur untuk titik C bagi rasuk yang disokong mudah

di bawah jika ia dibebani dengan beban-beban berikut.

  20 kN 5 kN/m B A C

  2 m 2 m 3 m 1 m

  S2 Kirakan momen lentur di tengah rentang apabila ia dikenakan beban

  seperti di atas. Beban 5 kN dikenakan di tengah rentang. Jarak antara beban ialah 2 m.

  10 kN 5 kN 20 kN

  B A R

  B

  R A 5 m 15 m 5 m

  

S3 Untuk rasuk berikut, kirakan nilai momen lentur pada titik B jika ianya

dikenakan beban mati seperti gambarajah di bawah.

  60 kN 10 kN/m C A

  D B 2 m 4 m 4 m 4 m

  S4 Satu rasuk ditupang mudah yang rentangnya 20 m dan berat sendiri

  rasuk ialah 60 kN/m dikenakan beban-beban mati berikut. Tentukan i. daya tindakbalas pada A ii. daya tindakbalas pada B iii. momen lentur pada pertengahan rentang.

  120 kN 80 kN 150 kN R B R A

  6 m 7 m 3 m 4 m

  MAKLUM BALAS AKTIVITI 8.2 Sila semak jawapan yang anda perolehi dengan jawapan di bawah. S1

  M C = 30 kNm

  S2

  M tengah rentang = 101.25 kNm

  S3

  M B = 168 kNm

  S4

  a. R = 763 kN

  A

  b. R B = 787 kN

  c. M tengah entang = 4270 kNm

  INPUT 8.3 BEBAN TITIK BERGERAK Pengenalan

  Kebanyakan struktur seperti rasuk atau jambatan sering ditindaki beban titik yang bergerak sama ada beban satu titik atau beban titik bersiri. Bagi satu beban titik yang bergerak pengiraannya adalah agak mudah kerana kita hanya mempertimbangkan satu beban sahaja dan kita boleh agak dari gambarajah garis imbas pada kedudukan mana yang dapat memberikan nilai daya ricih dan momen lentur yang maksima.

  Tetapi untuk beban titik yang bersiri adalah agak sukar kerana kita terpaksa membuat beberapa pertimbangan tentang susunan beban dan pada kedudukan mana yang dapat memberikan nilai daya ricih dan momen lentur yang maksima.

  Contoh 8.7

  Rajah 8.11 di bawah menunjukkan rasuk tergantung pada satu hujung ditindaki satu beban titik 10 kN yang akan bergerak dari titik C ke B. Lukiskan gambarajah garis imbas bagi daya riceh dan momen lentur di D. Seterusnya tentukan daya riceh maksimum dan momen lentur maksimum pada titik tersebut.

  10kN

  Rajah 8.11

  A D B

   o

  C 2 m 2 m 2 m

  Penyelesaian

i) Daya riceh

  y

  G.I. V _{D A}

  D B C

  0.5 Menentukan nilai y (guna segitiga sebentuk) y .

  5  y = 0.5

  2

2 Maka daya riceh maksimum di titik D

  V D = 10 (0.5) = 10 kN Nilai maksimun diperolehi jika beban tersebut di

   letakkan pada odinit yang maksimum.

ii) Momen Lentur

  y (-)

  D A

  G.I. M _D

  B

   o

  C (+)

  ( 2 )( 2 ) 1 .

  

  4 Tentukan nilai y , (Gunakan segitiga sebentuk)

  Y 1 .

   Y = 1.0

  

  2

  2 Momen Lentur maksimum di titik D M D = 10 (1.0) = 10 kNm

   Nilai maksimun diperolehi jika beban tersebut di

  Beban Titik Bersiri dan Beban Teragih Seragam (BTS)

  Untuk menentukan nilai daya riceh dan momen lentur maksima pada satu titik rasuk melalui kaedah garis Imbas, langkah-langkah berikut boleh dijadikan panduan: Langkah 1 Lakarkan G.I. yang berkaitan. Langkah 2 Menyusun kedudukan beban supaya memberikan nilai maksima melalui beberapa percubaan: (a). Untuk beban tumpu berjujukan (beban titik bersiri), nilai maksima diperolehi apabila salah satu daripada beban tumpu berada dipuncak G.I. (b). Untuk beban teragih seragam (BTS) yang mana cerun G.I. berubah dari +ve ke

• –ve atau sebaliknya, kedudukan BTS yang memberikan nilai luas maksima adalah apabila mematuhi peraturan di bawah:-

  q kN/m Menentukan a _{1 2 1} S a ₁ a  _{1 2} s s a _{1 2 1 1} a ( s ) a  ₂ s a ₂ S ₂

  Contoh 8.8.

  Rasuk dalam Rajah 8.12 di bawah dibebani oleh beban titik bersiri berjarak 3 m antara satu sama lain. Kedua-dua beban boleh bergerak samada dari kiri ke kanan atau sebaliknya dengan daya 4kN mendahului. Tentukan: i) daya ricih maksimum di titik C ii) momen lentur maksimum di titik C 4 kN

  3 kN

  Rajah 8.12

  B A 3 m

  C 4 m 6 m

  Penyelesaian :- (i). V c

  Langkah 1 : Lakarkan G.I V

  

c

  0.6 G.I. V c

• 0.4

  Langkah 2 Susun beban dengan meletakkan salah satu beban berada di puncak G.I. i. Beban bergerak dari B ke A 4 kN

  3 kN

  Percubaan 1

  3 m

  4kN di C

  0.6 Daripada kaedah segitiga sebentuk, y = 0.3

  y V = 4(0.6) + 3(0.3) = 3.30 kN.

  3m c  V = 4(-0.4) + 3(0.3) = 0.70 kN.

  c 

• 0.4
• 0.4

  3m

  c

  y 1m 1m

  0.6

  

  = 3(-0.4) + 4(0.3) = 0.0 kN

  c

  V

  

  Daripada kaedah segitiga sebentuk, y = 0.3 V c = 3(0.6) + 4(0.3) = 3.0 kN

  Percubaan 4 3kN di C

  4 kN 3 kN

   3m

  = 4(-0.4) + 3(-0.1) = -1.90 kN

  V

  

  Daripada kaedah segitiga sebentuk, y = -0.1 V c = 4(0.6) + 3(-0.1) = 2.10 kN

  y Percubaan 3 4kN di C

  0.6

  4 kN 3 kN

  y 3m

  0.6

  3 kN 4 kN Daripada kaedah segitiga sebentuk, y = -0.1 V c = 4(-0.1) + 3(0.6) = 1.40 kN  V c = 4(-0.1) + 3(-0.4) = -1.60 kN 

  Percubaan 2 3kN di C 3m

• 0.4

  Nota: Hasil pengiraan menunjukkan hanya percubaan 1 dan 4 sahaja yang memberikan nilai V C yang lebih tinggi. Oleh itu, bilangan percubaan boleh diminimumkan dengan hanya mengambilkira kesan yang

maksima ke atas rasuk apabila dikenakan beban bergerak.

  cmax = 3.30 kN 

  ii. Beban bergerak dari A ke B V

• 0.4

ii). M c

  Langkah 1 : Lakarkan G.I M

  

c

  Langkah 2 Susun beban dengan meletakkan salah satu beban berada di puncak G.I. i. Beban bergerak dari B ke A

  (Percubaan 1)

  4 kN 3 kN Daripada kaedah 3 m segitiga sebentuk,

  1m 3m G.I. M c

  y = 1.2 dan y

  1 = 0.6 y ¹ y Nota:

  Hasil pengamatan menunjukkan nilai M _C

  2.4

  dari percubaan 1 lebih (Percubaan 2) 4 kN

  3 kN besar. 3 m

  Daripada Percubaan 1: M C = 4(2.4) + 3(1.2) = 13.2kNm

  

  ii. Beban bergerak dari A ke B 3 kN 4 kN

  Daripada kaedah

  (Percubaan 3) 3m

  segitiga sebentuk,

  

3m

1m

  y = 1.2 dan y

  1 = 0.6 y ¹ Nota: y

  Hasil pengamatan menunjukkan nilai M _C

  2.4

  dari percubaan 4 lebih besar.

  3 kN 4 kN

  (Percubaan 4) 3m

  Daripada Percubaan 4: M = 3(2.4) + 4(1.2) = 12.0kNm

  C 

   M Cmax = 13.2kNm 

  Contoh 8.9

  (Percubaan 3) (Percubaan 2)

  2 2m 8m

  y

  1

  0.25 y y

  0.75

  (diabaikan).

  Nota: Hasil pengamatan menunjukkan nilai V _C dari percubaan 3 terkecil

  = 0.125

  2

  y

  1 = 0.5

  Daripada kaedah segitiga sebentuk: y = 0.625 y

  2m 1 kN 4 kN 4 kN

  Tentukan daya ricih dan momen lentur maksima untuk rasuk di bawah (Rajah 8.13) pada titik C jika dikenakan beban seperti yang ditunjukkan.

  4 kN 4 kN 2m

  2m 2m 1 kN

  (Percubaan 1)

  Beban bergerak dari B ke A dengan 1kN mendahului.

  4 kN

  2m 2m 1 kN 4 kN

  G.I. V C

  2m 1 kN 4 kN 4 kN

  4 m 12 m 2m

  Beban bergerak dari B ke A A B C

  Langkah 1 : Lakarkan G.I V c Langkah 2 Susun beban dengan meletakkan salah satu beban berada di puncak G.I.

  Penyelesaian :- (i). V c

  2m 2m Rajah 8.13 Dari percubaan 1: V = 1(0.75) + 4(y) + 4(y )

  C

  1

  =1(0.75) + 4(0.625) + 4(0.5) = 5.25kN

  

  Dari percubaan 2:

  V C = 1(y

  2 ) + 4(0.75) + 4(y)

  =1(-0.125) + 4(0.75) + 4(0.625) = 5.375kN

  

  V Cmax = 5.375kN 

ii). M c

  Langkah 1 : Lakarkan G.I M c Langkah 2 Susun beban dengan meletakkan salah satu beban berada di puncak G.I.

  Beban bergerak dari B ke A 1 kN

  (Percubaan 1) 4 kN

  4 kN Daripada kaedah

  2m 2m segitiga sebentuk:

  8m 2m 2m 2m

  y = 2.5 y

  1 = 2.0

  y = 1.5

  2

  y

  2

  y

  

1

  y

  3 Nota:

  Hasil pengamatan

  1 kN 4 kN 4 kN

  menunjukkan nilai M _C (Percubaan 2) dari percubaan 3 terkecil

  2m 2m (diabaikan).

  1 kN 4 kN 4 kN

  (Percubaan 3)

  2m 2m

  Dari percubaan 1: M C = 1(3.0) + 4(y) + 4(y

  1 )

  =1(3) + 4(2.5) + 4(2.0) = 21.0kNm

  

  Dari percubaan 2: M = 1(y ) + 4(3) + 4(y)

  C

  2

  =1(1.50) + 4(3.0) + 4(2.5) = 23.50kNm

  

  M Cmax = 23.50kNm

  

  AKTIVITI 8.3

  Jawab setiap soalan dan kemudian semak dengan jawapan di halaman berikutnya.

  Soalan1

  Rasuk di bawah dikenakan beban bergerak seperti dalam Rajah . Jika beban bergerak pada sebarang arah, tentukan (dengan menggunakan kaedah garis imbas) : i. Daya tindakbalas maksima di B ii. Daya ricih maksima di C iii. Momen lentur maksima di C.

  40kN 40kN 40kN 40kN 2m

  2m 2m C

  4m 4m 2m

   A D B

  Soalan 2

  Rasuk di bawah dikenakan beban bergerak seperti dalam Rajah . Jika beban bergerak dari B ke A, tentukan (dengan menggunakan kaedah garis imbas) i. Daya tindakbalas maksima di A ii. Daya ricih maksima di C iii. Momen lentur maksima di C.

  15kN 40kN 20kN

  1m 1m

  arah pergerakan B C

  2m 10m

   A

  Soalan 3

  Rasuk selanjar di bawah dikenakan beban titik bersiri seperti dalam Rajah . Jika beban bergerak dari sebarang arah, tentukan (dengan menggunakan kaedah garis imbas): i. Daya tindakbalas maksima di B ii. Daya ricih maksima positif dan negatif di D iii. Momen lentur maksima di D

  20kN 25kN

  30kN

  2m 3m

  arah pergerakan C

  2m B 5m D 3m

   A

  Soalan 4

  Sebuah trak melintasi satu rasuk sokong mudah AB yang mempunyai rentang 20m seperti dalam Rajah di bawah. Tentukan (dengan menggunakan kaedah garis imbas): i. Daya riceh maksima +ve dan

• –ve pada kedudukan 2.5m dari penyokong A ii. Momen lentur maksima +ve dan -ve di titik tersebut.

  (Mendahului)

  50kN 50kN 30kN

  Beban bergerak pada 5m 4m kedua-dua arah

  B 2m A

  D 20m

  MAKLUM BALAS AKTIVITI 8.3 Soalan 1

  i. R B = 140 kN ii.

  V C = -30 kN iii. M D = 80 kNm

  Soalan 2

  i. R A = 69.17 kN ii.

  V C = -56.67 kN iii. M = 113.33 kNm

  C Soalan 3

  i. R B = 71.88 kN (beban bergerak dari A ke C dengan 30kN di A) ii. V = 11.25 kN (beban bergerak dari A ke C dengan 30kN

  D(+ve) di D) iii.

  V D(-ve) = 25kN (beban bergerak dari C ke A dengan 30kN di D) iv. M = 78.125kNm (beban bergerak dari A ke C dengan 30kN di

  D

  D) Soalan 4 i.

  V C(+ve) = 87.75 kN (beban bergerak dari B keD dengan 50kN

  di C) ii.

  V C(-ve) = 6.25kN (beban bergerak dari D ke B dengan 50kN

  diC)

  iii. M = 219.375 kNm (beban bergerak dari B ke D dengan

  C(+ve) 50kN di C)

  iv. M C(-ve) = 87.5 kNm (beban bergerak dari D ke B dengan 50kN

  di D)

BEBAN TERAGIH SERAGAM

  Kedudukan beban untuk ricih negatif maksima di C Kedudukan beban untuk ricih positif maksima di C

  Rajah 8.14

  y

  1

  q kN/m s

  1

  s

  INPUT 8.4

  Bagi rasuk yang ditindaki beban teragih seragam (BTS) , konsep yang sama seperti beban titik digunakan untuk menentukan nilai ricih maksimum dan momen maksima

  Daya Ricih

   A

  

L

b

L a

  B

  q kN/m C A

  1

   y

  

L

b

L

a

  Untuk menghasilkan daya ricih maksima negatif dan positif, kedudukan BTS ditunjukkan seperti dalam Rajah 8.14 di bawah.

  B C

  Momen Lentur Maksima

  Untuk menentukan momen lentur maksimum maksima pula, yang mana cerun G.I. berubah dari +ve ke

• –ve atau sebaliknya, kedudukan BTS yang memberikan nilai luas maksima adalah apabila mematuhi peraturan di bawah:-

  q kN/m Menentukan a ¹ Nota: S _{1 1 2} a

  BTS disusun pada a  a ¹ _{1 2} kedudukan a dari ₁ s s penyokong sebelah _{2 1 1} a ( s ) a  kiri rasuk. ₂ s a ₂ S ₂ Contoh 8.10

  Satu rasuk tersokong mudah ditindaki beban teragih seragam 4 kN/m sepanjang 3 m yang bergerak dari A ke B seperti dalam Rajah 8.15. Tentukan daya ricih dan momen lentur maksimum di titik C.

  Rajah 8.15

  4 kN/m B A C

  3 m 4 m 6 m

  Penyelesaian :- 4kN/m

  a). Daya Ricih Maksima

  0.6

  4kN/m

  0.3 G.I. V _C

  1m 3m

  A B C

  0.1 4  .

  4

  

10

Ricih negatif maksimum di C diperolehi dengan meletakkan hujung kanan beban teragih pada C.

   . 1  . 4   

  V C(-ve) = 4 x 3  3 . kN  

   

  2  

    Ricih positif maksimum di C diperolehi dengan meletakkan hujung kiri beban teragih pada C.

   . 6  . 3   

  V C (+ve) = 4 x 3  5 . 4 kN  

   

  2  

    Oleh itu daya ricih maksimum ialah nilai terbesar antara dua nilai iaitu V maks @ C = 5.4 kN

  b). Momen lentur maksima Momen lentur maksima di C diperolehi dengan meletakkan beban sehingga odinit garis imbas momen lentur pada hujung kiri dan kanan beban teragih adalah sama seperti yang ditunjukkan di bawah.

  4 kN/m B A C

  3 m s ² a ² 1.2m 2.8m 1.8m 4.2m

  G.I. M _c

y

¹

Daripada segitiga y sebentuk: a ¹ y = 1.68

  2.4 y ^{1 = 1.68} s ¹ Menentukan a :

  1

  a

  1 = a 2 (s 1 )/s 2  a 1 = 4(3)/10 = 1.2m

  M cmax = 4(1/2)(1.2)(y + 2.4) + 4(1/2)(1.8)(y

  1 + 2.4)

  = 2(1.2)(1.68+2.4) + 2(1.8)(1.68+2.4) = 24.48 kNm

   Contoh 8.11

  Satu rasuk tupang mudah yang rentangnya 10 m dan berat beban mati seragamnya 60 kN/m dilalui oleh beban hidup 100 kN/m (lebih panjang dari rentang) seperti dalam Rajah 8.16 di bawah. Tentukan a. nilai maksimum daya ricih pada 2.5 m dari tupang A.

  b. nilai momen maksima pada titik yang sama.

  Penyelesaian:- a. Nilai daya ricih maksima pada titik C.

  Rajah 8.16 Arah pergerakan

  100 kN/m 60 kN/m A

  B C 7.5 m

  2.5 m

  100 kN/m 60 kN/m

  0.75 G.I. V C

  0.25 Nilai daya ricih maksima = [ (100+60) (0.75 x 7.5x 0.5) ]

• [60 (0.25 x 2.5 x 0.5)]

  = 450

• – 18.75 kN = 431.3 kN

  b. Nilai momen lentur maksima pada titik C

  Arah pergerakan

  100 kN/m 60 kN/m A

  B C

  G.I. M C

  7.5 m 2.5 m

  (2.5)(7.5)/10 = 1.875

  Momen lentur maksima = [ (100 + 60) (0.5 x 1.875 x 10) ] = 1500 kNm.

  AKTIVITI 8.4

  Jawab setiap soalan dan kemudian semak dengan jawapan di halaman berikutnya.

  S1

  Berpandukan rasuk seperti di bawah, a.

  Kirakan daya ricih maksima positif dan daya ricih maksima negatif di titik C.

  b. Kirakan momen maksima pada titik C 20 kN/m arah pergerakan 3 m

  A B C

  2m 6m

  S2

  Beban teragih seragam 20 kN/m dan panjang 10 m melintasi rasuk seperti gambarajah di bawah. Untuk satu titik di tengah rasuk, tentukan a. daya ricih maksima positif dan daya ricih maksima negatif apabila beban berada di atas rentang.

  b. momen lentur maksima di tengah rentang.

  C A B D

  8m 4 m 16 m

MAKLUM BALAS AKTIVITI 8.4 S1

  a. (max) = 5 kN (nilai negatif)

  C

  i. V ii. V (max) = 33.75 kN (nilai positif)

  C

  b. M C (max) = 73.37 kNm

  S2

  a. C (max) = 40 kN (nilai negatif) i. V ii. V (max) = 37.5 kN

  C

  b. M C (max) = 105.5 kNm

  PENILAIAN KENDIRI

  Anda telah sampai di penghujung Unit 8. Untuk menguji kefahaman anda di unit 8 cuba selesaikan soalan-soalan dalam ujian kendiri di bawah. Jika terdapat sebarang kemusykilan sila semak semula nota ataupun berjumpa terus dengan pensyarah.

  “SELAMAT MENCUBA” Jawab setiap soalan dan kemudian semak dengan jawapan di halaman berikutnya.

  1. Rasuk di bawah dikenakan beban-beban seperti di bawah.

  Tentukan a.

  Kesan riceh maksima di titik D b.

  Kesan momen maksima di titik D c. Kesan tindakbalas maksima di tupang B

  30 kN 30 kN 20 kN 15 kN 30 kN

  10 kN/m A C D B E

  5 m 6 m 6 m 2 m 2 m

  2. Satu rasuk ABCD di tupang mudah di titik A dan B dan terjulur ke D. Rasuk ini menanggung beban bergerak seperti di tunjukkan.

  Binakan gambarajah garis imbas untuk momen di titik C dan tindakbalas di titik A dan B. Dapatkan momen lentur maksima di titik C akibat beban tersebut yang boleh bergerak kedua-dua arah.

  20 kN 30 kN 30 kN 20 kN 2 m 2 m 2 m

  C D A B

  4 m 4 m 2 m

  3. Satu sistem beban akan melalui satu rasuk jambatan 30 m panjang.

  Sistem beban ini akan bergerak dari tupang A melalui rasuk tersebut dengan didahului oleh beban 15 kN. Tentukan momen lentur maksima di titik 8 m dari tupang A disebabkan oleh pergerakan beban seperti di bawah.

  5 kN 20 kN 20 kN 15 kN 10 kN 15 kN 2 m 1 m 2 m 2 m 1 m A

  B 30 m 5 kN 4.

  2 kN/m P Q

  1 m 2 m

  X A B 3 m 5 m

  Berpandukan rasuk di atas, jika beban bergerak dari kedua-dua arah (Q mendahului) , kirakan a. daya riceh maksima positif di titik X b. daya ricih maksima negatif di titik X c. momen lentur maksima di titik X serta tentukan kedudukan beban dan arahnya.

MAKLUM BALAS

  a. V

  X (max) = 134.86 kNm

  c. M

  X (max) = 64.34 kN (nilai negatif)

  b. V

  (max) = 54.75 kN (nilai positif)

  X

  Jawapan 1.

  a. V

  2. M C (max) = 157 kNm

  (max) = 75 kN

  B

  c. R

  b. M D (max) = 87 kNm

  (max) = 45 kN

  D

  3. M C (max) = 107.6 kNm 4.