BAB 3. LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI - Limit-dan-kontinuitas1
BAB 3. LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI
A. Definisi limit
Sebelum mendefinisikan limit, terlebih dahulu perhatikan gambar berikut !
y
L+ ε
ε
f( x)
f( x) - L
L
ε
f( x) - L
f( x)
L- ε
0
c- δ
x
c
c- x
δ
Gambar 3.1
Dari gambar 1 di atas, perhatikan bahwa
Untuk x < c , maka : 0 < c – x < δ atau 0 > x – c > -δ
Untuk x > c , maka : 0 < c – x < δ
Dari kedua persamaan diatas didapat : 0 < x − c < δ
Untuk f(x) < L, maka L – f(x) < ε atau f(x) – L > -ε
Untuk f(x) > L, maka f(x) – L < ε.
Sehingga didapat :
f ( x) − L < ε
x
x- c
δ
c+ δ
x
Bab 3. Limit dan kekontinuan Fungsi
25
Dari Ilustrasi di atas didapat definisi sebagai berikut :
Pernyataan : lim f ( x) = L , berarti untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0
x →c
sedemikian rupa sehingga jika 0< x - c < δ maka f(x) - L -2
Tentukan lim f(x), jika a d a .
x → −2
Penyelesaian :
lim (1 − 2 x) = 5 (limit kiri)
x→−2−
lim (x + 7) = 5 (limit kanan)
x→−2+
Karena limit kiri = limit kanan = 5, maka lim f ( x) = 5
x→−2
Soal-soal
1. lim 7
x →2
6. lim( x − 1)( x 2 + 5 x + 6)
x→1
7. lim
2. lim 5
x →4
x→ 3
x
x-2
3. lim 3x
8. lim (5 x − 9) 3
4. lim (3 − 5 x)
9. lim x 2 sin
5. lim ( x 2 − 4 x − 12)
⎧2 x − 5 jika x ≤ 4
10. Tentukan lim f ( x) jika f(x) = ⎨
x→4
⎩7-x jika x > 4
x→−5
x→e
x→5
x→π
x→0
1
x2
Bab 3. Limit dan kekontinuan Fungsi
29
C. Limit fungsi trigonometri dan siklometri
Beberapa limit fungsi trigonometri :
sin x
=1
x→0 x
1. lim
Untuk menunjukkan , perhatikan gambar berikut !
y
T
Q
r
θ
0
x
P
π
2
0 < θ<
Gambar 3.2
Luas ∆OPQ < Sektor OPQ < ∆OPT
(*)
Luas ∆OPQ =
(**)
r.
1
1
r sin θ = r 2 sin θ
2
2
Luas sektor OPQ =
1 2
θr
2
Luas ∆OPT = r. 1 r
t an θ =
2
(***)
1 2
r t an θ
2
(****)
Substitusi persamaan (**) s/d (****) ke persamaan (*) didapat :
1
1
1 2
r sin θ < θr 2 < r 2 t an θ
2
2
2
Jika pers. (#) dibagi
1 2
r sin θ
2
(#)
didapat :
1<
θ
1
<
sin θ cos θ
atau
1>
sin θ
> cos θ
θ
Gunakan teorema apit !
lim 1 = 1
θ →0
dan
lim cos θ = 1 ,
θ →0
maka :
sin θ
=1
θ →0 θ
lim
atau
sin x
=1
x →0 x
lim
Bab 3. Limit dan kekontinuan Fungsi
2.
3.
4.
5.
6.
7.
lim cos x = 1
x →0
lim sin x = 0
x →0
lim t an x = 0
x →0
t an x
=1
x
x →0
lim
x
lim
x → 0 t an x
lim
x →0
=1
cos x - 1
=0
x
Beberapa limit fungsi siklometri (invers trigonometri)
1.
arcsin x
=1
x
x →0
lim
Bukti : y = arcsin x ⇔ x = sin y untuk -1 ≤ x ≤ 1 dan -π/2 ≤ y ≤ π/2
Jadi : lim
x→0
2. lim
x→0
1
y
arcsin x
= 1 ( terbukti )
= lim
= lim
y →0 sin y
y →0 sin y
x
y
arctan x
=1
x
3. lim arcsin x = 0
x→0
4. lim arccos x =
x→0
π
2
5. lim arctan x = 0
x →0
6. lim arc cot x = 0
x→0
30
Bab 3. Limit dan kekontinuan Fungsi
31
Soal-soal
Hitung limit berikut, jika ada !
1 − cos 2 x
x→0
5x
sin 2 x
x →2 5 x
6. lim
2x
x→0 sin 3 x
7. lim
sin 4 x
x→0 sin 3x
8. lim
1. lim
2. lim
3. lim
4. lim
x→0
5. lim
sin 3 x
x
2
x→0 sin
1- cos 2 x
x→0 sin ( 2 x-π-
9. lim
x→0
x2
2
x →4
7x
tan 3x
4x
arcsin 3x
7x
arctan x
x→0 1 − 7 x
10. lim
D. Limit tak hingga
Jika kita lakukan pengamatan terhadap lim x→c − f ( x) dan lim x→c + f(x)
mungkin akan didapat bahwa f(x) membesar atau mengecil tanpa batas.
Untuk memecahkan limit tak hingga perhatikan teorema berikut !
Misal f(x) =
am x m + am - 1x m −1 + ... + a1x + a0
bn x n + bn - 1x n −1 + ... + b1x + b 0
Jika m < n, maka :
am x m + am - 1x m −1 + ... + a1x + a0
=0
x → ∞ bn x n + bn - 1 x n − 1 + ... + b1 x + b 0
lim
Jika m = n, maka :
am x m + am - 1x m −1 + ... + a1x + a0
a
= m
−
n
n
1
bn
x → ∞ bn x + bn - 1x
+ ... + b1x + b 0
lim
Jika m > n, maka :
am x m + am - 1x m −1 + ... + a1x + a0
=∞
x → ∞ bn x n + bn - 1 x n −1 + ... + b1 x + b 0
lim
Bab 3. Limit dan kekontinuan Fungsi
32
Contoh 3.11
Tentukan lim
2 x 4 + 3x 3 + x − 7
x →∞
5x 4 + x - 4
Penyelesaian :
am = 2 ; bn = 5 ; m = 4 ; n = 4
Karena m = n , maka lim
2 x 4 + 3x 3 + x − 7
x →∞
5x + x - 4
4
=
am
=
bn
2
5
E. Kekontinuan fungsi
Suatu fungsi dikatakan kontinu disuatu titik a jika tiga syarat berikut terpenuhi.
i) lim f ( x) ada
x →a
ii) f(a) terdefinisi
iii) lim f ( x) = f(a)
x→a
Contoh 3.15
Jelaskan apakah fungsi-fungsi berikut kontinu di titik a
1. f(x) =
3
;
x+2
a = -2
⎧ x2 − 9
⎪
jika x ≠ 3
;
2. f(x) = ⎨ x − 3
⎪6
jika x = 3
⎩
a=3
Penyelesaian :
1. lim
x → −2
3
= ∞.
x+2
Karena syarat i) tidak terpenuhi maka f(x) tak kontinu di titik a = -2
x2 − 9
= 6 dan f(3) = 6.
x→3 x − 3
2. lim
Bab 3. Limit dan kekontinuan Fungsi
33
Karena lim f ( x) = f (3) maka f(x) kontinu di titik a =3.
x →3
Telah disebutkan diatas bahwa bila ketiga syarat kekontinuan terpenuhi maka
suatu fungsi dikatakan kontinu di suatu titik a. Akan tetapi bila salah satu syarat tidak
terpenuhi maka fungsi tersebut tak kontinu di titik a. Jika syarat kekontinuan tidak
terpenuhi, tetapi lim f ( x) ada, maka dikatakan bahwa ketakkontinuan f(x) di titik a
x→ a
dapat dihapuskan dengan jalan mendefinisikan f(a) = lim f ( x) maka f(x) menjadi
x→ a
kontinu di titik a. Jika syarat kekontinuan tidak terpenuhi dan lim f ( x) tidak ada
x→ a
maka ketakkontinuan f(x) di titik a tidak dapat dihapuskan.
Contoh 3.16
Diketahui f(x) =
x2 − 4
. Tentukan ketakkontinuan fungsi tersebut.
x+2
Penyelesaian :
x2 − 4
= lim ( x − 2) = −4 ,
x→−2 x + 2
x→−2
f(-2) tak terdefinisi
lim
Jadi f(x) tak kontinu di titik a = -2. Akan tetapi ketakkontinuan tersebut dapat
dihapuskan karena lim f ( x) ada.
x → −2
Selanjutnya lakukan definisi ulang
lim ( x − 2) = f (−2) = −4 . Sehingga f(x)
x → −2
dapat ditulis menjadi :
⎧ x2 − 4
⎪
jika x ≠ -2
f(x) = ⎨ x + 2
⎪- 4
jika x = - 2
⎩
Contoh 3.17
Diketahui f(x) =
Penyelesaian :
1
. Tentukan ketakkontinuan fungsi tersebut.
x−9
Bab 3. Limit dan kekontinuan Fungsi
34
1
= ∞, maka f(x) tak kontinu di titik a = 9 dan ketakkontinuan tersebut tidak
x →∞ x − 9
lim
dapat dihapuskan.
Soal-soal
Tentukan apakah fungsi-fungsi berikut kontinu di titik a
⎧ x 2 − 1 jika x < 3
⎪
jika x = 3 a = 3
1. f(x) = ⎨8
⎪x + 5 jika x > 3
⎩
⎧x
jika x < 1
⎪
jika x = 1
2. f(x) = ⎨3
⎪2 - x jika x > 1
⎩
2
a=1
⎧⎪ x 2 - 1 jika x < 0
3. f(x) = ⎨
⎪⎩cos 2x jika x ≥ 0
a=0
⎧4
jika x < −2
⎪ 2
x
⎪⎪
jika x = −2
4. f(x) = ⎨1
⎪
⎪
⎪⎩x + 3 jika x > - 2
a = -2
Tentukan apakah fungsi-fungsi berikut kontinu atau tak kontinu di titik a. Jika tak
kontinu tentukan apakah ketak kontinuan tersebut dapat dihapuskan atau tidak.
5. f(x) =
6. f(x) =
7. f(x) =
x −3
;a=9
x−9
1
; a = 4 dan a = -4
x−4
x2 − 9
x − 81
4
;a=3
8. f(x) =
9. f(x) =
10. f(x) =
x2 + x − 6
; a = 4 dan a = -4
x+4
( x + 1)( x 2 − x − 12)
x2 - 5 x + 4
x+3
x − x − 12
2
; a = -1
; a = -3
A. Definisi limit
Sebelum mendefinisikan limit, terlebih dahulu perhatikan gambar berikut !
y
L+ ε
ε
f( x)
f( x) - L
L
ε
f( x) - L
f( x)
L- ε
0
c- δ
x
c
c- x
δ
Gambar 3.1
Dari gambar 1 di atas, perhatikan bahwa
Untuk x < c , maka : 0 < c – x < δ atau 0 > x – c > -δ
Untuk x > c , maka : 0 < c – x < δ
Dari kedua persamaan diatas didapat : 0 < x − c < δ
Untuk f(x) < L, maka L – f(x) < ε atau f(x) – L > -ε
Untuk f(x) > L, maka f(x) – L < ε.
Sehingga didapat :
f ( x) − L < ε
x
x- c
δ
c+ δ
x
Bab 3. Limit dan kekontinuan Fungsi
25
Dari Ilustrasi di atas didapat definisi sebagai berikut :
Pernyataan : lim f ( x) = L , berarti untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0
x →c
sedemikian rupa sehingga jika 0< x - c < δ maka f(x) - L -2
Tentukan lim f(x), jika a d a .
x → −2
Penyelesaian :
lim (1 − 2 x) = 5 (limit kiri)
x→−2−
lim (x + 7) = 5 (limit kanan)
x→−2+
Karena limit kiri = limit kanan = 5, maka lim f ( x) = 5
x→−2
Soal-soal
1. lim 7
x →2
6. lim( x − 1)( x 2 + 5 x + 6)
x→1
7. lim
2. lim 5
x →4
x→ 3
x
x-2
3. lim 3x
8. lim (5 x − 9) 3
4. lim (3 − 5 x)
9. lim x 2 sin
5. lim ( x 2 − 4 x − 12)
⎧2 x − 5 jika x ≤ 4
10. Tentukan lim f ( x) jika f(x) = ⎨
x→4
⎩7-x jika x > 4
x→−5
x→e
x→5
x→π
x→0
1
x2
Bab 3. Limit dan kekontinuan Fungsi
29
C. Limit fungsi trigonometri dan siklometri
Beberapa limit fungsi trigonometri :
sin x
=1
x→0 x
1. lim
Untuk menunjukkan , perhatikan gambar berikut !
y
T
Q
r
θ
0
x
P
π
2
0 < θ<
Gambar 3.2
Luas ∆OPQ < Sektor OPQ < ∆OPT
(*)
Luas ∆OPQ =
(**)
r.
1
1
r sin θ = r 2 sin θ
2
2
Luas sektor OPQ =
1 2
θr
2
Luas ∆OPT = r. 1 r
t an θ =
2
(***)
1 2
r t an θ
2
(****)
Substitusi persamaan (**) s/d (****) ke persamaan (*) didapat :
1
1
1 2
r sin θ < θr 2 < r 2 t an θ
2
2
2
Jika pers. (#) dibagi
1 2
r sin θ
2
(#)
didapat :
1<
θ
1
<
sin θ cos θ
atau
1>
sin θ
> cos θ
θ
Gunakan teorema apit !
lim 1 = 1
θ →0
dan
lim cos θ = 1 ,
θ →0
maka :
sin θ
=1
θ →0 θ
lim
atau
sin x
=1
x →0 x
lim
Bab 3. Limit dan kekontinuan Fungsi
2.
3.
4.
5.
6.
7.
lim cos x = 1
x →0
lim sin x = 0
x →0
lim t an x = 0
x →0
t an x
=1
x
x →0
lim
x
lim
x → 0 t an x
lim
x →0
=1
cos x - 1
=0
x
Beberapa limit fungsi siklometri (invers trigonometri)
1.
arcsin x
=1
x
x →0
lim
Bukti : y = arcsin x ⇔ x = sin y untuk -1 ≤ x ≤ 1 dan -π/2 ≤ y ≤ π/2
Jadi : lim
x→0
2. lim
x→0
1
y
arcsin x
= 1 ( terbukti )
= lim
= lim
y →0 sin y
y →0 sin y
x
y
arctan x
=1
x
3. lim arcsin x = 0
x→0
4. lim arccos x =
x→0
π
2
5. lim arctan x = 0
x →0
6. lim arc cot x = 0
x→0
30
Bab 3. Limit dan kekontinuan Fungsi
31
Soal-soal
Hitung limit berikut, jika ada !
1 − cos 2 x
x→0
5x
sin 2 x
x →2 5 x
6. lim
2x
x→0 sin 3 x
7. lim
sin 4 x
x→0 sin 3x
8. lim
1. lim
2. lim
3. lim
4. lim
x→0
5. lim
sin 3 x
x
2
x→0 sin
1- cos 2 x
x→0 sin ( 2 x-π-
9. lim
x→0
x2
2
x →4
7x
tan 3x
4x
arcsin 3x
7x
arctan x
x→0 1 − 7 x
10. lim
D. Limit tak hingga
Jika kita lakukan pengamatan terhadap lim x→c − f ( x) dan lim x→c + f(x)
mungkin akan didapat bahwa f(x) membesar atau mengecil tanpa batas.
Untuk memecahkan limit tak hingga perhatikan teorema berikut !
Misal f(x) =
am x m + am - 1x m −1 + ... + a1x + a0
bn x n + bn - 1x n −1 + ... + b1x + b 0
Jika m < n, maka :
am x m + am - 1x m −1 + ... + a1x + a0
=0
x → ∞ bn x n + bn - 1 x n − 1 + ... + b1 x + b 0
lim
Jika m = n, maka :
am x m + am - 1x m −1 + ... + a1x + a0
a
= m
−
n
n
1
bn
x → ∞ bn x + bn - 1x
+ ... + b1x + b 0
lim
Jika m > n, maka :
am x m + am - 1x m −1 + ... + a1x + a0
=∞
x → ∞ bn x n + bn - 1 x n −1 + ... + b1 x + b 0
lim
Bab 3. Limit dan kekontinuan Fungsi
32
Contoh 3.11
Tentukan lim
2 x 4 + 3x 3 + x − 7
x →∞
5x 4 + x - 4
Penyelesaian :
am = 2 ; bn = 5 ; m = 4 ; n = 4
Karena m = n , maka lim
2 x 4 + 3x 3 + x − 7
x →∞
5x + x - 4
4
=
am
=
bn
2
5
E. Kekontinuan fungsi
Suatu fungsi dikatakan kontinu disuatu titik a jika tiga syarat berikut terpenuhi.
i) lim f ( x) ada
x →a
ii) f(a) terdefinisi
iii) lim f ( x) = f(a)
x→a
Contoh 3.15
Jelaskan apakah fungsi-fungsi berikut kontinu di titik a
1. f(x) =
3
;
x+2
a = -2
⎧ x2 − 9
⎪
jika x ≠ 3
;
2. f(x) = ⎨ x − 3
⎪6
jika x = 3
⎩
a=3
Penyelesaian :
1. lim
x → −2
3
= ∞.
x+2
Karena syarat i) tidak terpenuhi maka f(x) tak kontinu di titik a = -2
x2 − 9
= 6 dan f(3) = 6.
x→3 x − 3
2. lim
Bab 3. Limit dan kekontinuan Fungsi
33
Karena lim f ( x) = f (3) maka f(x) kontinu di titik a =3.
x →3
Telah disebutkan diatas bahwa bila ketiga syarat kekontinuan terpenuhi maka
suatu fungsi dikatakan kontinu di suatu titik a. Akan tetapi bila salah satu syarat tidak
terpenuhi maka fungsi tersebut tak kontinu di titik a. Jika syarat kekontinuan tidak
terpenuhi, tetapi lim f ( x) ada, maka dikatakan bahwa ketakkontinuan f(x) di titik a
x→ a
dapat dihapuskan dengan jalan mendefinisikan f(a) = lim f ( x) maka f(x) menjadi
x→ a
kontinu di titik a. Jika syarat kekontinuan tidak terpenuhi dan lim f ( x) tidak ada
x→ a
maka ketakkontinuan f(x) di titik a tidak dapat dihapuskan.
Contoh 3.16
Diketahui f(x) =
x2 − 4
. Tentukan ketakkontinuan fungsi tersebut.
x+2
Penyelesaian :
x2 − 4
= lim ( x − 2) = −4 ,
x→−2 x + 2
x→−2
f(-2) tak terdefinisi
lim
Jadi f(x) tak kontinu di titik a = -2. Akan tetapi ketakkontinuan tersebut dapat
dihapuskan karena lim f ( x) ada.
x → −2
Selanjutnya lakukan definisi ulang
lim ( x − 2) = f (−2) = −4 . Sehingga f(x)
x → −2
dapat ditulis menjadi :
⎧ x2 − 4
⎪
jika x ≠ -2
f(x) = ⎨ x + 2
⎪- 4
jika x = - 2
⎩
Contoh 3.17
Diketahui f(x) =
Penyelesaian :
1
. Tentukan ketakkontinuan fungsi tersebut.
x−9
Bab 3. Limit dan kekontinuan Fungsi
34
1
= ∞, maka f(x) tak kontinu di titik a = 9 dan ketakkontinuan tersebut tidak
x →∞ x − 9
lim
dapat dihapuskan.
Soal-soal
Tentukan apakah fungsi-fungsi berikut kontinu di titik a
⎧ x 2 − 1 jika x < 3
⎪
jika x = 3 a = 3
1. f(x) = ⎨8
⎪x + 5 jika x > 3
⎩
⎧x
jika x < 1
⎪
jika x = 1
2. f(x) = ⎨3
⎪2 - x jika x > 1
⎩
2
a=1
⎧⎪ x 2 - 1 jika x < 0
3. f(x) = ⎨
⎪⎩cos 2x jika x ≥ 0
a=0
⎧4
jika x < −2
⎪ 2
x
⎪⎪
jika x = −2
4. f(x) = ⎨1
⎪
⎪
⎪⎩x + 3 jika x > - 2
a = -2
Tentukan apakah fungsi-fungsi berikut kontinu atau tak kontinu di titik a. Jika tak
kontinu tentukan apakah ketak kontinuan tersebut dapat dihapuskan atau tidak.
5. f(x) =
6. f(x) =
7. f(x) =
x −3
;a=9
x−9
1
; a = 4 dan a = -4
x−4
x2 − 9
x − 81
4
;a=3
8. f(x) =
9. f(x) =
10. f(x) =
x2 + x − 6
; a = 4 dan a = -4
x+4
( x + 1)( x 2 − x − 12)
x2 - 5 x + 4
x+3
x − x − 12
2
; a = -1
; a = -3