Diseksi Persegi yang Sempurna sumardyono sigit tri G Yuliawanto
Sumardyono, M.Pd.
Diseksi atau dissection adalah istilah matematis untuk operasi atau kegiatan memotong-motong
suatu bangun datar menurut syarat-syarat tertentu. Masalah diseksi yang terkenal dan menjadi cikal
bakal berkembangnya topik ini adalah puzzle atau teka-teki memotong-motong suatu bangun datar
sedemikian hingga seluruh potongan yang ada dapat disusun kembali membentuk bangun datar
yang lain.
Puzzle Diseksi dari Dudeney (1857-1930)
Sumber: http://www.craftsmanspace.com/sites/default/files/free-plansarticles/haberdashers_problem_puzzle_drawing_cutting_diagram_2.gif
Salah satu masalah diseksi yang berguna adalah diseksi suatu persegi pada sisi miring suatu segitiga
siku-siku menjadi dua persegi pada sisi-sisi penyiku segitiga. Tentu masalah ini terkait erat dengan
pembuktian Teorema Pythagoras.
Contoh pembuktian Teorema Pythagoras lewat diseksi
Sumber: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9a/Pythagorean_proof_(1).svg/220pxPythagorean_proof_(1).svg.png
Dalam artikel kali ini, penulis ingin membahas suatu masalah diseksi yang khusus pula, yaitu diseksi
persegi yang sempurna. Diberikan suatu persegi, maka tujuannya adalah memotong-motong persegi
tersebut menjadi sejumlah berhingga persegi lain yang semuanya berbeda ukuran.
Tampaknya masalah geometri di atas ekuivalen dengan masalah aritmetika: menyatakan sebuah
bilangan kuadrat ke dalam penjumlahan beberapa bilangan kuadrat. Namun jika pun masalah
aritmetika tersebut dapat kita selesaikan tidak berarti masalah diseksi persegi yang sempurna itu
terpecahkan.
Contoh. Jelas bahwa 132 = 52 + 122. Tetapi jelas pula bahwa persegi 52 dan persegi 122 tidak dapat
disusun membentuk persegi 132 tanpa memotong-memotong kembali kedua persegi tersebut.
Masalah diseksi persegi mungkin pertama kali muncul sekitar tahun 1902. Henry Dudeney tahun
1902 dalam teka-teki yang diberi nama Lady Isabel`s Castel terkait diseksi sebuah persegi menjadi
beberapa persegi berbeda ukuran dan sebuah persegipanjang. Teka-teki ini muncul dalam Strand
Magazine Januari 1902, halaman 584. Juga muncul dalam buku Canterbury Puzzles tahun 1907.
Masalah diseksi persegi yang sempurna termasuk masalah yang cukup sulit, bahkan matematikawan,
Lusin, pernah beranggapan bahwa masalah tersebut tidak mungkin dipecahkan. Beberapa
matematikawan berhasil mengkonstruksi persegipanjang yang sempurna, sebagai masalah diseksi
sejenis yang lebih mudah. Berikut beberapa hasil untuk persegipanjang.
Sumber: http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/PerfectRectangles_1000.gif
Persegipanjang sempurna ukuran 33 × 32 yang terdiri dari 9 persegi di atas ditemukan oleh Moron
tahun 1925.
Reichert dan Toepkin tahun 1940 membuktikan bahwa sebuah persegipanjang tidak dapat dipotong
menjadi kurang dari 9 buah persegi berbeda.
Berikut ini salah satu contoh diseksi persegi yang sempurna, dengan orde 24 (artinya terdiri dari 24
persegi) yang ditemukan oleh Willcocks tahun 1948.
Namun persegi sempurna di atas termasuk apa yang disebut compound (campuran) karena terdapat
subset persegi yang membentuk suatu persegipanjang. Perhatikan bahwa persegi 55, 39, 16, 9, 14,
4, 5, 3, 1, 56, 18, 20, dan 38 membentuk suatu persegipanjang.
Suatu persegi sempurna disebut “sederhana” bila tidak ada subset dari persegi-persegi yang dapat
membentuk sebuah persegipanjang.
Di bawah ini persegi sempurna orde 21 yang merupakan orde terkecil untuk persegi sempurna
sederhana, yang ditemukan oleh Duijvestijn tahun 1978. Persegi sempurna orde-21 ini bersisi 112.
Hanya ada satu buah persegi sempurna sederhana orde 21.
Terdapat sebuah cara pelambangan sederhana yang kadang disebut “kode Bouwkamp” yang dapat
mendeskripsikan sebuah persegi sempurna. Caranya kelompokkan persegi yang paling atas dan
paling kanan dengan semua persegi yang sisi atasnya sama, kemudian kelompokkan kembali persegi
yang ada mulai dari yang paling kanan dan paling atas beserta semua persegi yang sama sisi atasnya,
demikian seterusnya.
Untuk persegi sempurna sederhana orde-21 di atas maka notasinya adalah [50,35,27], [8,19],
[15,17,11], [6, 24], [29, 25, 9, 2], [7, 18], [16], [42], [4, 37], [33].
Bauwkmp (kiri) dan Duijvestijn (kanan)
Sumber: http://www.squaring.net/history_theory/gfx/cjb_ajw.jpeg
Untuk persegi sempurna sederhana orde 22 ada sebanyak 8 buah. Salah satunya dengan kode [60,
50], [23, 27], [24, 22, 14], [7, 16], [8, 6], [12, 15], [13], [2, 18], [26], [4, 21, 3], [18], [17] disajikan di
bawah ini.
Salah satu persegi sempurna orde 23 disajikan di bawah ini dengan kode [80, 59], [21, 38], [26, 19,
15, 14, 27], [1, 13], [16], [18, 20], [7, 12], [33], [32, 8], [28], [24, 2], [22]. Total ada sebanyak 12
persegi sempurna sederhana orde 23.
Total ada sebanyak 26 persegi sempurna sederhana orde 24. Salah satu persegi sempurna orde 24
disajikan di bawah ini dengan kode [47,32,41], [15,17], [8,33], [19,20,23], [25], [14,5], [4,13,3],
[10,16], [9], [12,46], [40,6], [34].
Banyak persegi sempurna sederhana dengan orde-n , n ≥ 21 adalah 1, 8, 12, 26, 160, 441, 1152,
3001, 7901, ... (barisan A006983, Sloane).
Skinner tahun 1993 memberikan barisan panjang sisi terkecil persegi sempurna sederhana, yaitu
110, 112, 120, 139, 140, ..... . Juga barisan banyak persegi paling sedikit untuk tiap persegi sempurna
sederhana di atas berturut-turut: 22, 21, 24, 22, 23, ...
Hanya ada 3 persegi sempurna sederhana dengan panjang sisi 110 yaitu:
•
•
•
[60, 50], [23, 27], [24, 22, 14], [7, 16], [8, 6], [12, 15], [13], [2, 28], [26], [4, 21, 3], [18], [17]
(orde 22; ditemukan oleh A. J. W. Duijvestijn);
[60, 50], [27, 23], [24, 22, 14], [4, 19], [8, 6], [3, 12, 16], [9], [2, 28], [26], [21], [1, 18], [17]
(orde 22; ditemukan oleh T. H. Willcocks); dan
[44, 29, 37], [21, 8], [13, 32], [28, 16], [15, 19], [12,4], [3, 1], [2, 14], [5], [10, 41], [38, 7], [31]
(orde 23; ditemukan oleh A. J. W. Duijvestijn).
Penelaahan persegi sempurna baik yang sederhana maupun yang campuran, kini telah banyak
menggunakan teknologi super komputer. Sebagai contoh pada Oktober hingga NOpember 2012,
Stuart Anderson menggunakan super komputer the Amazon EC12 untuk mendapatkan sebanyak 412
buah persegi sempurna campuran dengan orde 29.
Salah satu manfaat menelaah tema ini di sekolah adalah untuk membangkitkan minat dan
kesenangan dengan matematika. Persegi-persegi sempurna dapat dibuat menjadi sebuah alat
peraga atau alat permainan dengan tugas menyusun kembali semua persegi untuk membentuk
persegi yang lebih besar.
Daftar Pustaka dan Bacaan
Weisstein, Eric W. Perfect Square Dissection. MathWorld--A Wolfram Web Resource. dalam
http://mathworld.wolfram.com/PerfectSquareDissection.html
Bouwkamp, C.J, & Duijvestijn, A.J.W. 1992. Catalogue of Simple Perfect Squared Squares of order 21
through 25. Eindhoven: Eindhoven University of Technology.
Anderson, S. Perfect Rectangles, Perfect Squares. dalam http://www.squaring.net/.
Sloane, N. J. A. and Plouffe, S. 2013. The Encyclopedia of Integer Sequences. San Diego: Academic
Press, 1995.
Diseksi atau dissection adalah istilah matematis untuk operasi atau kegiatan memotong-motong
suatu bangun datar menurut syarat-syarat tertentu. Masalah diseksi yang terkenal dan menjadi cikal
bakal berkembangnya topik ini adalah puzzle atau teka-teki memotong-motong suatu bangun datar
sedemikian hingga seluruh potongan yang ada dapat disusun kembali membentuk bangun datar
yang lain.
Puzzle Diseksi dari Dudeney (1857-1930)
Sumber: http://www.craftsmanspace.com/sites/default/files/free-plansarticles/haberdashers_problem_puzzle_drawing_cutting_diagram_2.gif
Salah satu masalah diseksi yang berguna adalah diseksi suatu persegi pada sisi miring suatu segitiga
siku-siku menjadi dua persegi pada sisi-sisi penyiku segitiga. Tentu masalah ini terkait erat dengan
pembuktian Teorema Pythagoras.
Contoh pembuktian Teorema Pythagoras lewat diseksi
Sumber: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9a/Pythagorean_proof_(1).svg/220pxPythagorean_proof_(1).svg.png
Dalam artikel kali ini, penulis ingin membahas suatu masalah diseksi yang khusus pula, yaitu diseksi
persegi yang sempurna. Diberikan suatu persegi, maka tujuannya adalah memotong-motong persegi
tersebut menjadi sejumlah berhingga persegi lain yang semuanya berbeda ukuran.
Tampaknya masalah geometri di atas ekuivalen dengan masalah aritmetika: menyatakan sebuah
bilangan kuadrat ke dalam penjumlahan beberapa bilangan kuadrat. Namun jika pun masalah
aritmetika tersebut dapat kita selesaikan tidak berarti masalah diseksi persegi yang sempurna itu
terpecahkan.
Contoh. Jelas bahwa 132 = 52 + 122. Tetapi jelas pula bahwa persegi 52 dan persegi 122 tidak dapat
disusun membentuk persegi 132 tanpa memotong-memotong kembali kedua persegi tersebut.
Masalah diseksi persegi mungkin pertama kali muncul sekitar tahun 1902. Henry Dudeney tahun
1902 dalam teka-teki yang diberi nama Lady Isabel`s Castel terkait diseksi sebuah persegi menjadi
beberapa persegi berbeda ukuran dan sebuah persegipanjang. Teka-teki ini muncul dalam Strand
Magazine Januari 1902, halaman 584. Juga muncul dalam buku Canterbury Puzzles tahun 1907.
Masalah diseksi persegi yang sempurna termasuk masalah yang cukup sulit, bahkan matematikawan,
Lusin, pernah beranggapan bahwa masalah tersebut tidak mungkin dipecahkan. Beberapa
matematikawan berhasil mengkonstruksi persegipanjang yang sempurna, sebagai masalah diseksi
sejenis yang lebih mudah. Berikut beberapa hasil untuk persegipanjang.
Sumber: http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/PerfectRectangles_1000.gif
Persegipanjang sempurna ukuran 33 × 32 yang terdiri dari 9 persegi di atas ditemukan oleh Moron
tahun 1925.
Reichert dan Toepkin tahun 1940 membuktikan bahwa sebuah persegipanjang tidak dapat dipotong
menjadi kurang dari 9 buah persegi berbeda.
Berikut ini salah satu contoh diseksi persegi yang sempurna, dengan orde 24 (artinya terdiri dari 24
persegi) yang ditemukan oleh Willcocks tahun 1948.
Namun persegi sempurna di atas termasuk apa yang disebut compound (campuran) karena terdapat
subset persegi yang membentuk suatu persegipanjang. Perhatikan bahwa persegi 55, 39, 16, 9, 14,
4, 5, 3, 1, 56, 18, 20, dan 38 membentuk suatu persegipanjang.
Suatu persegi sempurna disebut “sederhana” bila tidak ada subset dari persegi-persegi yang dapat
membentuk sebuah persegipanjang.
Di bawah ini persegi sempurna orde 21 yang merupakan orde terkecil untuk persegi sempurna
sederhana, yang ditemukan oleh Duijvestijn tahun 1978. Persegi sempurna orde-21 ini bersisi 112.
Hanya ada satu buah persegi sempurna sederhana orde 21.
Terdapat sebuah cara pelambangan sederhana yang kadang disebut “kode Bouwkamp” yang dapat
mendeskripsikan sebuah persegi sempurna. Caranya kelompokkan persegi yang paling atas dan
paling kanan dengan semua persegi yang sisi atasnya sama, kemudian kelompokkan kembali persegi
yang ada mulai dari yang paling kanan dan paling atas beserta semua persegi yang sama sisi atasnya,
demikian seterusnya.
Untuk persegi sempurna sederhana orde-21 di atas maka notasinya adalah [50,35,27], [8,19],
[15,17,11], [6, 24], [29, 25, 9, 2], [7, 18], [16], [42], [4, 37], [33].
Bauwkmp (kiri) dan Duijvestijn (kanan)
Sumber: http://www.squaring.net/history_theory/gfx/cjb_ajw.jpeg
Untuk persegi sempurna sederhana orde 22 ada sebanyak 8 buah. Salah satunya dengan kode [60,
50], [23, 27], [24, 22, 14], [7, 16], [8, 6], [12, 15], [13], [2, 18], [26], [4, 21, 3], [18], [17] disajikan di
bawah ini.
Salah satu persegi sempurna orde 23 disajikan di bawah ini dengan kode [80, 59], [21, 38], [26, 19,
15, 14, 27], [1, 13], [16], [18, 20], [7, 12], [33], [32, 8], [28], [24, 2], [22]. Total ada sebanyak 12
persegi sempurna sederhana orde 23.
Total ada sebanyak 26 persegi sempurna sederhana orde 24. Salah satu persegi sempurna orde 24
disajikan di bawah ini dengan kode [47,32,41], [15,17], [8,33], [19,20,23], [25], [14,5], [4,13,3],
[10,16], [9], [12,46], [40,6], [34].
Banyak persegi sempurna sederhana dengan orde-n , n ≥ 21 adalah 1, 8, 12, 26, 160, 441, 1152,
3001, 7901, ... (barisan A006983, Sloane).
Skinner tahun 1993 memberikan barisan panjang sisi terkecil persegi sempurna sederhana, yaitu
110, 112, 120, 139, 140, ..... . Juga barisan banyak persegi paling sedikit untuk tiap persegi sempurna
sederhana di atas berturut-turut: 22, 21, 24, 22, 23, ...
Hanya ada 3 persegi sempurna sederhana dengan panjang sisi 110 yaitu:
•
•
•
[60, 50], [23, 27], [24, 22, 14], [7, 16], [8, 6], [12, 15], [13], [2, 28], [26], [4, 21, 3], [18], [17]
(orde 22; ditemukan oleh A. J. W. Duijvestijn);
[60, 50], [27, 23], [24, 22, 14], [4, 19], [8, 6], [3, 12, 16], [9], [2, 28], [26], [21], [1, 18], [17]
(orde 22; ditemukan oleh T. H. Willcocks); dan
[44, 29, 37], [21, 8], [13, 32], [28, 16], [15, 19], [12,4], [3, 1], [2, 14], [5], [10, 41], [38, 7], [31]
(orde 23; ditemukan oleh A. J. W. Duijvestijn).
Penelaahan persegi sempurna baik yang sederhana maupun yang campuran, kini telah banyak
menggunakan teknologi super komputer. Sebagai contoh pada Oktober hingga NOpember 2012,
Stuart Anderson menggunakan super komputer the Amazon EC12 untuk mendapatkan sebanyak 412
buah persegi sempurna campuran dengan orde 29.
Salah satu manfaat menelaah tema ini di sekolah adalah untuk membangkitkan minat dan
kesenangan dengan matematika. Persegi-persegi sempurna dapat dibuat menjadi sebuah alat
peraga atau alat permainan dengan tugas menyusun kembali semua persegi untuk membentuk
persegi yang lebih besar.
Daftar Pustaka dan Bacaan
Weisstein, Eric W. Perfect Square Dissection. MathWorld--A Wolfram Web Resource. dalam
http://mathworld.wolfram.com/PerfectSquareDissection.html
Bouwkamp, C.J, & Duijvestijn, A.J.W. 1992. Catalogue of Simple Perfect Squared Squares of order 21
through 25. Eindhoven: Eindhoven University of Technology.
Anderson, S. Perfect Rectangles, Perfect Squares. dalam http://www.squaring.net/.
Sloane, N. J. A. and Plouffe, S. 2013. The Encyclopedia of Integer Sequences. San Diego: Academic
Press, 1995.