Googol dan Googolplex sumardyono sigit tri G Yuliawanto
GOOGOL DAN GOOGOLPLEX
Sumardyono, M.Pd.
Pengertian
Terkadang untuk suatu kepentingan, kita perlu memberi nama untuk suatu bilangan tertentu.
Contohnya bilangan hasil bagi keliling sebarang lingkaran dengan diameternya, kita beri nama “pi”.
Nah, “googol” dan “googolplex” juga adalah nama untuk bilangan-bilangan tertentu.
Googol adalah nama untuk suatu bilangan super besar. Satu googol sama dengan 10100 yaitu
bilangan dengan angka 1 diikuti oleh 100 angka nol. Sementara googolplex lebih besar lagi, 1
googolplex sama dengan 10googol.
Jika dituliskan,
1 googol = 1000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000
10googol = 1010000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
Sejarah
Bilangan googol diciptakan atau diungkapkan oleh
matematikawan, Edward Kasner (1878-1855) [ada juga
referensi yang menulis 1878 – 1955] untuk mengilustrasikan
perbedaan
antara
bilangan
superbesar
yang tak
“terbayangkan” dengan ketakhinggaan (infinity). Nama
“googol” sendiri diberikan oleh kemenakan laki-lakinya yang
berusia 9 tahun, Milton Sirotta, pada tahun 1938, ketika ia
ditanya oleh Kasner untuk memberikan nama untuk bilangan
super besar itu. Nama googol mungkin terinspirasi dari karakter
Barney Google pada sebuah buku kartun. Sementara nama
“googolplex” adalah nama yang kemudian diberikan oleh
Kasner sendiri. Kasner mempopulerkan kedua nama untuk
bilangan super besar ini pada buku, Mathematics and the
Imagination pada tahun 1940, karangan Edward Kasner dan
James Newman.
Berikut kover buku “Mathematics and the Imagination” dan beberapa buku terbitan yang terbaru.
Sumber: http://designarchives.aiga.org, http://www.mr-damon.com, dan
http://en.wikipedia.org
Sifat Matematis
Berikut ini beberapa sifat bilangan googol dan googolplex:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Bilangan 1 googol memang tidak memiliki arti penting dalam matematika, namun berguna
untuk memberikan gambaran begitu tak terbayangkan besarnya dari “tak-hingga” itu
dengan melihat atau membandingkan dengan 1 googol. Walaupun bilangan googol sangat
besar namun, konsep ketakhinggaan lebih tak terbayangkan, seperti dinyatakan oleh
Carl Sagan dalam serial TV, “Cosmos”, bahwa “satu googolplex jauhnya dengan takhingga sama jauhnya dengan bilangan 1 ke tak-hingga”.
Bilangan 1 googol hampir sama dengan 70! = 1,19785716699698917960727837.... ×
10100.
1 googol ≈ 2332,19 .
Faktor prima dari googol maupun googolplex hanyalah 2 dan 5.
Satu googolplex ditambah 1 bukanlah bilangan prima. Salah satu faktornya adalah
316912650057057350374175801344000001
Bilangan prima pertama setelah 1 googol adalah googol + 267.
Bilangan prima tepat sebelum googol adalah googol – 797
1 Googol! = 16294043324593373734179346529835421728218884267148....000.
(diakhiri dengan (10101)/8 – 18 angka nol, dan angka terakhir yang tak-nol adalah 6).
Bilangan
1
googol
faktorial
tersebut
terdiri
dari
99565705518096748172348871081083394917705602994196333433885546216834
1353507911292252707750506615682568 angka atau lebih dari 9,9 × 10101 angka.
Sisa pembagian 1 googol jika dibagi n untuk n = 1, 2, 3, .... menghasilkan barisan berikut
ini. (Barisan A066298 dalam web Sloane)
•
0, 0, 1, 0, 0, 4, 4, 0, 1, 0, 1, 4, 3, 4, 10, 0, 4, 10, 9, 0, 4, 12, 13, 16, 0, 16, 10, 4, 16, 10, 5, 0, 1,
4, 25, 28, 10, 28, 16, 0, 1, 4, 31, 12, 10, 36, 27, 16, 11, 0, 4, 16, 28, 10, 45, 32, 28, 16, 16,
40, 47, 36, 46, 0, 55, 34, 10, 4, 13, 60, 20, 64, 72, 10, 25, 28, 67, 16, 67, 0, ....
Sisa pembagian 1 googolplex jika dibagi n untuk n = 1, 2, 3, .... menghasilkan barisan
berikut ini. (Barisan A067007 dalam web Sloane)
0, 0, 1, 0, 0, 4, 4, 0, 1, 0, 1, 4, 3, 4, 10, 0, 1, 10, 9, 0, 4, 12, 13, 16, 0, 16, 10, 4, 24, 10, 5, 0, 1,
18, 25, 28, 10, 28, 16, 0, 1, 4, 24, 12, 10, 36, 9, 16, 4, 0, 1, 16, 46, 10, 45, 32, 28, 24, 48, 40,
47, 36, 46, 0, 55, 34, 10, 52, 13, 60, 45, 64, 1, 10, 25, 28, 67, 16, 52, 0, ....
2
•
Barisan bilangan eksponensial 10 n untuk n = 1, 2, 3,.... adalah 10, 10000, 1000000000,
... . Bilangan 1 googol merupakan suku ke-10, sementara bilangan 1 googolplex
2
merupakan suku ke•
•
. Karena 10 n berkembang/membesar secara eksponential, ini
memberikan gambaran betapa besar bilangan 1 googolplex tersebut.
Berdasarkan beberapa sistem penamaan bilangan super besar, maka 1 googol sama
dengan 10 duotrigintillion (skala pendek), 10000 sexdecillion (skala panjang), atau 10
sexdecilliard (skala panjang Peletier).
Dengan memikirkan bahwa istilah “plex” dalam “googolplex” berarti “sepuluh pangkat
...”, maka kemudian banyak muncul bilangan super besar lainnya dengan menggunakan
akhiran “plex”, misalnya googolplexplex yaitu sepuluh pangkat googolplex, 10googolplex .
Interpretasi dan relasi dengan fisik/alam
•
•
•
Mungkin cara termudah untuk mendekati interpretasi fisik dari googolplex adalah
dengan menggunakan interpretasi kombinatorik. Sebagai contoh cara untuk menyusun
52 kartu adalah 8,065817... × 1067 atau banyak kombinasi untuk menyusun 46
kromoson dari 5,9 juta pasangan nukleotida adalah 3,01607 × 103576838408.
Satu googol lebih besar dibanding banyaknya atom hidrogen di alam semesta yang kita
kenal, yang diestimasi kira-kira antara 1079 dan 1081.
Carl Sagan, seorang saintis, dalam sebuah episode televisi menyatakan bahwa menulis
bilangan 1 googolplex dalam bentuk desimal (1000....) secara fisik tidaklah mungkin
karena membutuhkan ruang untuk menulis yang lebih besar daripada yang tersedia di
alam semesta yang kita ketahui.
•
•
•
•
•
Rata-rata buku setebal 60 inchi kubik memuat tulisan angka nol sebanyak 5 × 105
(dengan asumsi 5 karakter per kata, 10 kata per baris, 25 baris per halaman, dan ada
sebanyak 480 halaman) atau ada 8,3 × 103 nol per inchi kubik. Alam semesta yang telah
kita ketahui memiliki volum 6 × 1083 inchi kubik (dengan rumus bola, (4/3).π.(14×109
tahun cahaya-dalam inchi)3). Ini artinya jika alam semesta yang kita kenal sejauh ini
disesaki dengan kertas yang ditulisi angka nol maka hanya memuat 5,3 × 1087 angka nol,
masih jauh di bawah 1 googol.
Kenyataannya, hanya terdapat 2,5 partikel dasar dalam alam semesta yang telah kita
ketahui. Dengan demikian, seandainya untuk satu angka nol dibutuhkan satu partikel
dasar, maka alam semesta ini tidak cukup untuk mewakili 1 googol angka.
Anggap kita akan mengetik bentuk desimal 1 googolplex dengan ukuran huruf 1 point-pt
(yaitu 0,535 mm per angka). Untuk itu dibutuhkan 3,5 × 1096 meter untuk menulis 1
googolplex dalam ukuran font 1 pt. Padahal alam semesta yang kita ketahui kira-kira
berdiameter 8,8 × 1026 meter atau 93 juta tahun-cahaya, sehingga jarak yang
dibutuhkan untuk “menulis angka 1 googolplex’ tersebut masih sangat-sangat besar
yaitu 4,0 × 1069 kali jarak alam semesta kita.
Jika saja seseorang (tanpa lelah) dapat menulis 2 angka tiap detik, maka ia
membutuhkan waktu 1,51 × 1092 tahun untuk menulis angka-angka 1 googolplex. Kurun
waktu tersebut kira-kira 1,1 × 1082 kali umur alam semesta kita ini.
Ruang Planck merupakan ruang super kecil dalam studi fisika inti. Volum ruang Planck
kira-kira 4,222 × 10−105 m3 = 4,222 × 10−99 cm3. Jadi, 2,5 cm3 memuat kira-kira 1 googol
ruang Planck. Diketahui alam semesta ini memiliki ukuran hanya ada 3 × 1080 m3 yang
berarti kira-kira memuat 7,1 × 10184 ruang Planck. Jadi, banyak ruang Planck (yaitu
ruang terkecil dalam partikel dasar) di alam semesta ini masih sangat sedikit dibanding 1
googolplex.
Tentang Nama “Google”
Sumber: https://math.byu.edu & http://www.rimanews.com
Nama googol juga menginspirasi nama sebuah mesin pencari di internet yang terkenal, yaitu Google.
Adalah dua orang mahasiswa, Lawrence Page dan Sergey Brin, yang membuat sebuah mesin pencari
di internet dengan nama “BackRub”. Lantaran ingin meningkatkan kemampuan mesin pencari
tersebut maka mereka sepakat mengganti namanya dengan sesuatu yang mendeskripsikan misi
perusahaan yaitu membuat tak hingga indeks konten informasi yang mungkin di jaringan internet.
Salah satu mahasiswa, Sean Anderson, dalam suatu forum mengusulkan nama “googolplex”, namun
kemudian dipilih nama “googol” karena lebih singkat. Celakanya (atau untungnya?), Sean salah
mengetik yang seharusnya “Googol.com” tapi diketik “Google.com” untuk mendaftar nama domain
baru di internet. Keterlanjuran ini dimaklumi oleh Page dan Brin karena mereka sangat menyukai
plesetan nama itu. Jadilah kemudian nama “google” yang terkenal. Markas besar perusahaan
“Google” di Santa Clara County, California sendiri diberi nama “Googleplex”, juga suatu plesetan dari
nama “googolplex”.
Daftar Bacaan
Antonacci,
Katia.
2013.
From
Googol
to
Google.
dalam
http://www.marconimagicbox.net/magic/en/globalvillage/ideas/174-da-googol-a-google.pdf
Origlio, Vincenzo and Weisstein, Eric W. Googol. MathWorld--A Wolfram Web Resource. dalam
http://mathworld.wolfram.com/Googol.html
Page, Don. 2013. How to Get A Googolplex. dalam http://mrob.com/pub/math/numbers.html
Robert Munafo's home pages on HostMDS © 1996-2013 Robert P. Munafo di
Sloane. 2013. Integer sequences. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. dalam
http://oeis.org/search?q=googol&sort=&language=&go=Search
Steven Schwartzman. 1994. The Words of Mathematics. The Mathematical Association of America
Thomas Foregger, Pedro Sanchez, Matte, John Smith. 2012. Googol.. PlanetMath.org. dalam
http://planetmath.org/Googol.html.
Weisstein, Eric W. Googolplex. MathWorld--A
http://mathworld.wolfram.com/Googolplex.html
Wolfram
Web
Resource.
dalam
Wikipedia. 2013. Edward Kasner. dalam http://en.wikipedia.org/wiki/Edward_Kasner
Wikipedia. 2013. Googol. dalam http://en.wikipedia.org/wiki/Googol (diakses Februari 2013)
Wikipedia. 2013. Googolplex. dalam http://en.wikipedia.org/wiki/Googolplex (diakses Februari
2013)
Sumardyono, M.Pd.
Pengertian
Terkadang untuk suatu kepentingan, kita perlu memberi nama untuk suatu bilangan tertentu.
Contohnya bilangan hasil bagi keliling sebarang lingkaran dengan diameternya, kita beri nama “pi”.
Nah, “googol” dan “googolplex” juga adalah nama untuk bilangan-bilangan tertentu.
Googol adalah nama untuk suatu bilangan super besar. Satu googol sama dengan 10100 yaitu
bilangan dengan angka 1 diikuti oleh 100 angka nol. Sementara googolplex lebih besar lagi, 1
googolplex sama dengan 10googol.
Jika dituliskan,
1 googol = 1000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000
10googol = 1010000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
Sejarah
Bilangan googol diciptakan atau diungkapkan oleh
matematikawan, Edward Kasner (1878-1855) [ada juga
referensi yang menulis 1878 – 1955] untuk mengilustrasikan
perbedaan
antara
bilangan
superbesar
yang tak
“terbayangkan” dengan ketakhinggaan (infinity). Nama
“googol” sendiri diberikan oleh kemenakan laki-lakinya yang
berusia 9 tahun, Milton Sirotta, pada tahun 1938, ketika ia
ditanya oleh Kasner untuk memberikan nama untuk bilangan
super besar itu. Nama googol mungkin terinspirasi dari karakter
Barney Google pada sebuah buku kartun. Sementara nama
“googolplex” adalah nama yang kemudian diberikan oleh
Kasner sendiri. Kasner mempopulerkan kedua nama untuk
bilangan super besar ini pada buku, Mathematics and the
Imagination pada tahun 1940, karangan Edward Kasner dan
James Newman.
Berikut kover buku “Mathematics and the Imagination” dan beberapa buku terbitan yang terbaru.
Sumber: http://designarchives.aiga.org, http://www.mr-damon.com, dan
http://en.wikipedia.org
Sifat Matematis
Berikut ini beberapa sifat bilangan googol dan googolplex:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Bilangan 1 googol memang tidak memiliki arti penting dalam matematika, namun berguna
untuk memberikan gambaran begitu tak terbayangkan besarnya dari “tak-hingga” itu
dengan melihat atau membandingkan dengan 1 googol. Walaupun bilangan googol sangat
besar namun, konsep ketakhinggaan lebih tak terbayangkan, seperti dinyatakan oleh
Carl Sagan dalam serial TV, “Cosmos”, bahwa “satu googolplex jauhnya dengan takhingga sama jauhnya dengan bilangan 1 ke tak-hingga”.
Bilangan 1 googol hampir sama dengan 70! = 1,19785716699698917960727837.... ×
10100.
1 googol ≈ 2332,19 .
Faktor prima dari googol maupun googolplex hanyalah 2 dan 5.
Satu googolplex ditambah 1 bukanlah bilangan prima. Salah satu faktornya adalah
316912650057057350374175801344000001
Bilangan prima pertama setelah 1 googol adalah googol + 267.
Bilangan prima tepat sebelum googol adalah googol – 797
1 Googol! = 16294043324593373734179346529835421728218884267148....000.
(diakhiri dengan (10101)/8 – 18 angka nol, dan angka terakhir yang tak-nol adalah 6).
Bilangan
1
googol
faktorial
tersebut
terdiri
dari
99565705518096748172348871081083394917705602994196333433885546216834
1353507911292252707750506615682568 angka atau lebih dari 9,9 × 10101 angka.
Sisa pembagian 1 googol jika dibagi n untuk n = 1, 2, 3, .... menghasilkan barisan berikut
ini. (Barisan A066298 dalam web Sloane)
•
0, 0, 1, 0, 0, 4, 4, 0, 1, 0, 1, 4, 3, 4, 10, 0, 4, 10, 9, 0, 4, 12, 13, 16, 0, 16, 10, 4, 16, 10, 5, 0, 1,
4, 25, 28, 10, 28, 16, 0, 1, 4, 31, 12, 10, 36, 27, 16, 11, 0, 4, 16, 28, 10, 45, 32, 28, 16, 16,
40, 47, 36, 46, 0, 55, 34, 10, 4, 13, 60, 20, 64, 72, 10, 25, 28, 67, 16, 67, 0, ....
Sisa pembagian 1 googolplex jika dibagi n untuk n = 1, 2, 3, .... menghasilkan barisan
berikut ini. (Barisan A067007 dalam web Sloane)
0, 0, 1, 0, 0, 4, 4, 0, 1, 0, 1, 4, 3, 4, 10, 0, 1, 10, 9, 0, 4, 12, 13, 16, 0, 16, 10, 4, 24, 10, 5, 0, 1,
18, 25, 28, 10, 28, 16, 0, 1, 4, 24, 12, 10, 36, 9, 16, 4, 0, 1, 16, 46, 10, 45, 32, 28, 24, 48, 40,
47, 36, 46, 0, 55, 34, 10, 52, 13, 60, 45, 64, 1, 10, 25, 28, 67, 16, 52, 0, ....
2
•
Barisan bilangan eksponensial 10 n untuk n = 1, 2, 3,.... adalah 10, 10000, 1000000000,
... . Bilangan 1 googol merupakan suku ke-10, sementara bilangan 1 googolplex
2
merupakan suku ke•
•
. Karena 10 n berkembang/membesar secara eksponential, ini
memberikan gambaran betapa besar bilangan 1 googolplex tersebut.
Berdasarkan beberapa sistem penamaan bilangan super besar, maka 1 googol sama
dengan 10 duotrigintillion (skala pendek), 10000 sexdecillion (skala panjang), atau 10
sexdecilliard (skala panjang Peletier).
Dengan memikirkan bahwa istilah “plex” dalam “googolplex” berarti “sepuluh pangkat
...”, maka kemudian banyak muncul bilangan super besar lainnya dengan menggunakan
akhiran “plex”, misalnya googolplexplex yaitu sepuluh pangkat googolplex, 10googolplex .
Interpretasi dan relasi dengan fisik/alam
•
•
•
Mungkin cara termudah untuk mendekati interpretasi fisik dari googolplex adalah
dengan menggunakan interpretasi kombinatorik. Sebagai contoh cara untuk menyusun
52 kartu adalah 8,065817... × 1067 atau banyak kombinasi untuk menyusun 46
kromoson dari 5,9 juta pasangan nukleotida adalah 3,01607 × 103576838408.
Satu googol lebih besar dibanding banyaknya atom hidrogen di alam semesta yang kita
kenal, yang diestimasi kira-kira antara 1079 dan 1081.
Carl Sagan, seorang saintis, dalam sebuah episode televisi menyatakan bahwa menulis
bilangan 1 googolplex dalam bentuk desimal (1000....) secara fisik tidaklah mungkin
karena membutuhkan ruang untuk menulis yang lebih besar daripada yang tersedia di
alam semesta yang kita ketahui.
•
•
•
•
•
Rata-rata buku setebal 60 inchi kubik memuat tulisan angka nol sebanyak 5 × 105
(dengan asumsi 5 karakter per kata, 10 kata per baris, 25 baris per halaman, dan ada
sebanyak 480 halaman) atau ada 8,3 × 103 nol per inchi kubik. Alam semesta yang telah
kita ketahui memiliki volum 6 × 1083 inchi kubik (dengan rumus bola, (4/3).π.(14×109
tahun cahaya-dalam inchi)3). Ini artinya jika alam semesta yang kita kenal sejauh ini
disesaki dengan kertas yang ditulisi angka nol maka hanya memuat 5,3 × 1087 angka nol,
masih jauh di bawah 1 googol.
Kenyataannya, hanya terdapat 2,5 partikel dasar dalam alam semesta yang telah kita
ketahui. Dengan demikian, seandainya untuk satu angka nol dibutuhkan satu partikel
dasar, maka alam semesta ini tidak cukup untuk mewakili 1 googol angka.
Anggap kita akan mengetik bentuk desimal 1 googolplex dengan ukuran huruf 1 point-pt
(yaitu 0,535 mm per angka). Untuk itu dibutuhkan 3,5 × 1096 meter untuk menulis 1
googolplex dalam ukuran font 1 pt. Padahal alam semesta yang kita ketahui kira-kira
berdiameter 8,8 × 1026 meter atau 93 juta tahun-cahaya, sehingga jarak yang
dibutuhkan untuk “menulis angka 1 googolplex’ tersebut masih sangat-sangat besar
yaitu 4,0 × 1069 kali jarak alam semesta kita.
Jika saja seseorang (tanpa lelah) dapat menulis 2 angka tiap detik, maka ia
membutuhkan waktu 1,51 × 1092 tahun untuk menulis angka-angka 1 googolplex. Kurun
waktu tersebut kira-kira 1,1 × 1082 kali umur alam semesta kita ini.
Ruang Planck merupakan ruang super kecil dalam studi fisika inti. Volum ruang Planck
kira-kira 4,222 × 10−105 m3 = 4,222 × 10−99 cm3. Jadi, 2,5 cm3 memuat kira-kira 1 googol
ruang Planck. Diketahui alam semesta ini memiliki ukuran hanya ada 3 × 1080 m3 yang
berarti kira-kira memuat 7,1 × 10184 ruang Planck. Jadi, banyak ruang Planck (yaitu
ruang terkecil dalam partikel dasar) di alam semesta ini masih sangat sedikit dibanding 1
googolplex.
Tentang Nama “Google”
Sumber: https://math.byu.edu & http://www.rimanews.com
Nama googol juga menginspirasi nama sebuah mesin pencari di internet yang terkenal, yaitu Google.
Adalah dua orang mahasiswa, Lawrence Page dan Sergey Brin, yang membuat sebuah mesin pencari
di internet dengan nama “BackRub”. Lantaran ingin meningkatkan kemampuan mesin pencari
tersebut maka mereka sepakat mengganti namanya dengan sesuatu yang mendeskripsikan misi
perusahaan yaitu membuat tak hingga indeks konten informasi yang mungkin di jaringan internet.
Salah satu mahasiswa, Sean Anderson, dalam suatu forum mengusulkan nama “googolplex”, namun
kemudian dipilih nama “googol” karena lebih singkat. Celakanya (atau untungnya?), Sean salah
mengetik yang seharusnya “Googol.com” tapi diketik “Google.com” untuk mendaftar nama domain
baru di internet. Keterlanjuran ini dimaklumi oleh Page dan Brin karena mereka sangat menyukai
plesetan nama itu. Jadilah kemudian nama “google” yang terkenal. Markas besar perusahaan
“Google” di Santa Clara County, California sendiri diberi nama “Googleplex”, juga suatu plesetan dari
nama “googolplex”.
Daftar Bacaan
Antonacci,
Katia.
2013.
From
Googol
to
Google.
dalam
http://www.marconimagicbox.net/magic/en/globalvillage/ideas/174-da-googol-a-google.pdf
Origlio, Vincenzo and Weisstein, Eric W. Googol. MathWorld--A Wolfram Web Resource. dalam
http://mathworld.wolfram.com/Googol.html
Page, Don. 2013. How to Get A Googolplex. dalam http://mrob.com/pub/math/numbers.html
Robert Munafo's home pages on HostMDS © 1996-2013 Robert P. Munafo di
Sloane. 2013. Integer sequences. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. dalam
http://oeis.org/search?q=googol&sort=&language=&go=Search
Steven Schwartzman. 1994. The Words of Mathematics. The Mathematical Association of America
Thomas Foregger, Pedro Sanchez, Matte, John Smith. 2012. Googol.. PlanetMath.org. dalam
http://planetmath.org/Googol.html.
Weisstein, Eric W. Googolplex. MathWorld--A
http://mathworld.wolfram.com/Googolplex.html
Wolfram
Web
Resource.
dalam
Wikipedia. 2013. Edward Kasner. dalam http://en.wikipedia.org/wiki/Edward_Kasner
Wikipedia. 2013. Googol. dalam http://en.wikipedia.org/wiki/Googol (diakses Februari 2013)
Wikipedia. 2013. Googolplex. dalam http://en.wikipedia.org/wiki/Googolplex (diakses Februari
2013)