5db4d matriks dan transformasi linier

Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si. Page 1

MATRIKS

A. Definisi Matriks

1. Definisi Matriks dan Ordo Matriks

Matriks adalah susunan bilangan (elemen) yang disusun menurut baris dan kolom dan dibatasi dengan tanda kurung. Jika suatu matriks tersusun atas m baris dan n kolom, maka matriks berukuran (berordo) m x n. Ordo Matriks adalah banyaknya baris dan banyaknya kolom suatu matriks yang merupakan ukuran dari matriks.

Bentuk umum dari Amxn:

A_mxn =

a₁₁ a₁₂ …

a21 a22 …

⋮ ⋮ …

a_1n a2n ⋮

am 1 am 2 … amn

a_ij disebut elemen dari A yang terletak pada baris i dan kolom j.

2. Jenis – Jenis Matriks

Berdasarkan ordonya, matriks dapat dibedakan menjadi: a) Matriks bujursangkar / matriks persegi

Matriks yang memiliki banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom atau matriks berordo n x n.

Contoh: A_2x2 = 5 8

7 9 dengan elemen diagonal �11 = 5 dan �22 = 9

b) Matriks baris

Matriks yang hanya memiliki 1 baris. Contoh: B1x3 = 6 8 1

c) Matriks kolom

Matriks yang hanya memiliki 1 kolom. Contoh: C3x1 =

5 8 9

d) Matriks tegak

Matriks berordo m x n dengan m > n Contoh: D_3x2 =

1 5

5 6

Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si. Page 2 e) Matriks datar

Matriks berordo m x n dengan m < n Contoh: E2x3 = 6₄ 9₆ 2₅

Berdasarkan elemen – elemen penyusunnya, matriks dapat dibedakan menjadi: a) Matriks nol

Matriks yang semua elemen penyusunnya adalah nol dan dinotasikan dengan O. Contoh: O = 0 0

0 0 , O = 0 0 0

b) Matriks diagonal

Matriks persegi yang semua elemen di atas dan di bawah diagonalnya adalah nol. Contoh: D =

3 0 0

0 2 0

0 0 4

c) Matriks skalar

Matriks diagonal yang semua elemen pada diagonalnya sama. Contoh: A =

3 0 0

0 3 0

0 0 3

d) Matriks simetri

Matriks persegi, yang setiap elemennya, selain elemen diagonal adalah simetri terhadap diagonal utama.

Contoh: C = 5 9

9 7

e) Matriks simetri miring

Matriks simetri yang elemen – elemennya, selain elemen diagonal, saling berlawanan.

Contoh: F =

7 3 −2

−3 7 8

2 −8 7

f) Matriks identitas / satuan

Matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utamanya adalah 1 dan dinotasikan dengan I.

Contoh: I =

1 0 0

0 1 0

Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si. Page 3 g) Matriks segitiga atas

Matriks persegi yang elemen – elemen di bawah diagonal utamanya adalah nol. Contoh: A =

7 3 −2

0 5 8

0 0 −4

h) Matriks segitiga bawah

Matriks persegi yang elemen – elemen di atas diagonal utamanya adalah nol. Contoh: B =

−5 0 0

9 4 0

6 7 3

i) Matriks transpose

Adalah matriks yang diperoleh dari memindahkan elemen – elemen baris menjadi elemen – elemen kolom atau sebaliknya. Transpose matriks A dilambangkan dengan AT.

Contoh: A =

6 4

8 8

5 3

maka AT = 6 8 5

4 8 3

B. Operasi Matriks dan Sifat – Sifatnya

1. Penjumlahan dan Pengurangan Dua Matriks

Jika A + B = C, maka elemen – elemen C diperoleh dari penjumlahan elemen – elemen A dan B yang seletak, yaitu aij + bij = cij untuk elemen C pada baris ke-i dan kolom ke-j. Akibatnya, matriks A dan B dapat dijumlahkan jika memiliki ordo yang sama.

a b

c d +

t u

v w =

a + t b + u

c + v d + w

Contoh:

6 4

8 8

5 3

+

−4 0

2 −8

1 4

=

2 4

10 0

6 7

Sifat – sifat penjumlahan matriks:

a) A + B = B + A (Hukum komutatif untuk penjumlahan) b) A + (B + C) = (A + B) + C (Hukum asosiatif untuk penjumlahan) c) A + O = O + A = A

d) (A + B)T = AT+ BT

Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si. Page 4 Jika A – B = C, maka elemen – elemen C diperoleh dari pengurangan elemen – elemen A dan B yang seletak, yaitu aij −bij = cij atau pengurangan dua matriks ini dipandang sebagai penjumlahan A + (-B)

a b

c d −

t u

v w =

a−t b−u

c−v d−w

Contoh:

−5 0 0

9 4 0

6 7 3

− −12 25 −54

4 3 −1

=

−6 −2 4

11 −1 −5

2 4 4

2. Perkalian Matriks dengan Bilangan Skalar (Real)

Matriks A dikalikan dengan suatu bilangan skalar k, maka kA diperoleh dari hasil kali setiap elemen A dengan k.

Contoh:

S = 2 5

1 3 maka 3S = 3

2 5

1 3 =

6 10

3 9

Sifat – sifat perkalian matriks dengan skalar: a) a(B + C) = aB + aC

b) a(B - C) = aB - aC c) (a + b)C = aC + bC d) (a - b)C = aC - bC e) (ab)C = a(bC) f) (aB)T = aBT

3. Perkalian Dua Matriks

Dua buah matriks A dan B dapat dikalikan jika dan hanya jika banyaknya kolom matriks A sama dengan banyaknya baris matriks B.

Amxn Bnxp = Cmxp

Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si. Page 5 Contoh:

a) Perkalian matriks 1 x p dengan matriks p x 1

A = 2 5 1 dan F = 5 4 2

Maka, AF = [(2x5)+(5x4)+(1x2)] = [32] b) Perkalian matriks p x 1 dengan matriks 1 x p

F = 5 4 2

dan A = 2 5 1

Maka FA =

5x2 5x5 5x1

4x2 4x5 4x1

2x2 2x5 2x1

=

10 25 5

8 20 4

4 10 2

c) Perkalian matriks 2 x p dengan matriks p x 2

B = 1 3 1

0 5 2 dan E =

5 2

1 0

3 1

Maka, BE = 11 3

11 2

d) Perkalian matriks p x 2 dengan matriks 2 x p

E =

5 2

1 0

3 1

dan B = 1 3 1

0 5 2

Maka EB =

5 25 9

1 3 1

3 14 5

Perhatikan hal – hal berikut ini:

a) Pada umumnya AB ≠ BA (tidak berlaku hokum komutatif)

b) Apabila A matriks persegi, maka A2 = AA; A3 = A2A dan seterusnya

c) Apabila AB = BC, maka tidak dapat disimpulkan A = C (tidak berlaku sifat penghapusan)

d) Apabila AB = O, maka tidak dapat disimpulkan bahwa A = O atau B = O

Sifat – sifat perkalian matriks dengan matriks: a) A(BC) = (AB)C

b) A(B+C) = AB +AC c) (B + C)A = BA + CA d) A(B-C) = AB -AC

e) (B - C)A = BA - CA f) A(BC) = (aB)C = B(aC) g) AI = IA = A

Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si. Page 6 C. Kesamaan Matriks

Dua buah matriks disebut sama jika:  Memiliki ordo yang sama

 Memiliki elemen – elemen yang bersesuaian (seletak) sama Contoh:

1. 4 2

1 3 =

12 3

4 2

1 6

2 2. 4 2

1 3 ≠

2 1

4 3 karena walaupun elemen – elemen kedua matriks itu sama,

namun letak elemen – elemen itu berbeda sehingga elemen – elemen yang bersesuaian tidak sama.

D. Determinan Matriks

Matriks bujur sangkar selalu mempunyai suatu besaran skalar yang disebut determinan. Sebaliknya, matriks yang tidak bujur sangkar tidak mempunyai determinan. Determinan adalah nilai real yang dihitung berdasarkan nilai elemen – elemennya menurut rumus tertentu, dilambangkan dengan det (A) atau |A|.

1. Determinan Matriks Ordo 2 x 2 Jika matriks A = a b

c d maka det A = A =

a b

c d = ad−bc

Contoh:

S = 3 −4

5 −2 maka det S = S =

3 −4

5 −2 = 3 −2 − −4 5 = 14

2. Determinan Matriks Ordo 3 x 3

Untuk mencari determinan dari matriks ordo 3 x 3 dapat dilakukan dengan menggunakan 2 metode:

a. Metode Sarrus Jika matriks A =

p q r

s t u

v w x

maka

det A = A =

p q r

s t u

v w x

p q

s t

v w

Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si. Page 7 Contoh:

R =

2 3 −1

0 −2 1

3 0 2

maka

det R = R =

2 3 −1

0 −2 1

3 0 2

2 3

0 −2

3 0

= (-8 + 9 + 0) – (6 + 0 + 0) = -5

b. Minor dan Kofaktor

Minor suatu matriks adalah matriks bagian yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen –elemennya pada baris ke-i dan elemen – elemen pada kolom ke-j. Minor suatu matriks dilambangkan dengan Mij.

Kofaktor suatu elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari suatu matriks dilambangkan dengan

Kij = −1 i+j Mij = −1 i+jdet⁡(Mij)

Untuk menghitung determinan cukup mengambil satu ekspansi saja, misal ekspansi baris ke-1.

Contoh:

R =

2 3 −1

0 −2 1

3 0 2

M11 = −₀2 1₂ M12 = ₃0 1₂ M13 = 0₃ −₀2

K₁₁ = −1 2 ₋2 1

0 2 =−4

K12 = −1 3 0₃ 1₂ = 3

K13 = −1 4 0₃ −₀2 = 6

R = q11K11+ q12K12+ q13K13

R = 2 −4 + 3 3 + −1 6 = −5

3. Adjoint Matriks

Adjoint matriks adalah transpose dari kofaktor – kofaktor matriks tersebut, dilambangkan dengan adj A = K_ij T

Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si. Page 8 Misal A adalah sebuah matriks bujur sangkar. Jika ada matriks B sedemikian sehingga AB = I, maka B disebut dengan invers A, dinotasikan dengan A-1. Dan jika AB = I, maka BA = I. Jika terdapat matriks B sedemikian sehingga AB = BA = I, maka A disebut matriks nonsingular. Jika sebaliknya maka A disebut matriks singular.

Teorema:

Jika sebuah matriks mempunyai invers, maka invers tersebut tunggal. Teorema:

Jika A mempunyai invers, maka A-1 mempunyai invers dan (A-1)-1 = A. Teorema:

Jika A dan B matriks nonsingular, maka AB mempunyai invers dan (AB)-1 = B-1 A-1. Hal ini berlaku umum untuk berhingga perkalian matriks.

1. Invers Matriks Ordo 2 x 2

Beberapa metode yang dapat digunakan untuk menghitung invers matriks ordo 2 x 2 adalah:

a. Cara perkalian

Jika A adalah matriks ordo 2x2, maka AA-1=I Contoh:

V = 2 1

0 3

Maka VV−1 = I

2 1

0 3

a b

c d =

1 0

0 1

2a + c =1 (1) 3c = 0 maka c = 0 (2) 2b + d = 0 (3) 3d = 1 maka d = 1

3 (4) Persamaan (1):

2a + c =1

2a = 1 maka a = 1 2 Persamaan (2): 2b + d = 0

Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si. Page 9 2b = −1

3 maka b =− 1 6

V−1 = a b

c d =

1

2 −

1 6

0 1

3

b. Adjoint matriks Jika A = a b

c d maka A

−1 ₌ 1

det A adj A dengan syarat det(A) ≠ 0

= 1

det A

d −b

−c a

Contoh:

V = 2 1

0 3

V = 2 1

0 3 = 6

V−1 =1 6

3 −1

0 2 =

1

2 −

1 6

0 1

3

2. Invers Matriks Ordo 3 x 3 Jika A3x3 maka A−1 =

1

det A adj A dengan syarat det(A) ≠ 0. Contoh:

R =

2 3 −1

0 −2 1

3 0 2

Tentukan invers dari matriks R. Menghitung R

M₁₁ = −2 1

0 2 M12 =

0 1

3 2 M13 =

0 −2

3 0

K11 = −1 2 −₀2 1₂ =−4

K₁₂ = −1 3 0 1

3 2 = 3

K13 = −1 4 0₃ −₀2 = 6

R = q₁₁K₁₁+ q₁₂K₁₂+ q₁₃K₁₃ R = 2 −4 + 3 3 + −1 6 = −5

Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si. Page 10

adj A =

K11 K12 K13

K21 K22 K23

K31 K32 K33

=

K11 K21 K31

K12 K22 K32

K13 K23 K33

M21 = 3₀ −₂1 M22 = ₃2 −₂1 M23 = 2₃ 3₀

M31 = ₋3₂ −₁1 M32 = ₀2 −₁1 M33 = 2_{0 −}3₂

K21 = −1 3 3 −1

0 2 =−6

K22 = −1 4 2₃ −₂1 = 7

K₂₃ = −1 5 2 3

3 0 = 9

K31 = −1 4 ₋3 −1

2 1 = 1

K₃₂ = −1 5 2 −1

0 1 =−2

K33 = −1 6 2_{0 −}3₂ =−4

adj A = −

4 −6 1

3 7 −2

6 9 −4

R−1 = 1

det R adj R

R−1 = 1

−5

−4 −6 1

3 7 −2

6 9 −4

= −

4 5

6

5 −

1 5 3

5 −

7 5

2 5

Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si. Page 6 C. Kesamaan Matriks

Dua buah matriks disebut sama jika:

 Memiliki ordo yang sama

 Memiliki elemen – elemen yang bersesuaian (seletak) sama Contoh:

1. 4 2

1 3 =

12 3

4 2

1 6

2

2. 4 2

1 3 ≠

2 1

4 3 karena walaupun elemen – elemen kedua matriks itu sama,

namun letak elemen – elemen itu berbeda sehingga elemen – elemen yang bersesuaian tidak sama.

D. Determinan Matriks

Matriks bujur sangkar selalu mempunyai suatu besaran skalar yang disebut determinan. Sebaliknya, matriks yang tidak bujur sangkar tidak mempunyai determinan. Determinan adalah nilai real yang dihitung berdasarkan nilai elemen – elemennya menurut rumus tertentu, dilambangkan dengan det (A) atau |A|.

1. Determinan Matriks Ordo 2 x 2 Jika matriks A = a b

c d maka det A = A = a b

c d = ad−bc

Contoh:

S = 3 −4

5 −2 maka det S = S =

3 −4

5 −2 = 3 −2 − −4 5 = 14

2. Determinan Matriks Ordo 3 x 3

Untuk mencari determinan dari matriks ordo 3 x 3 dapat dilakukan dengan menggunakan 2 metode:

a. Metode Sarrus Jika matriks A =

p q r

s t u

v w x

maka

det A = A =

p q r

s t u

v w x

p q s t

v w

Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si. Page 7 Contoh:

R =

2 3 −1

0 −2 1

3 0 2

maka

det R = R =

2 3 −1

0 −2 1

3 0 2

2 3

0 −2

3 0

= (-8 + 9 + 0) – (6 + 0 + 0) = -5

b. Minor dan Kofaktor

Minor suatu matriks adalah matriks bagian yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen –elemennya pada baris ke-i dan elemen – elemen pada kolom ke-j. Minor suatu matriks dilambangkan dengan Mij.

Kofaktor suatu elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari suatu matriks dilambangkan dengan

Kij = −1 i+j Mij = −1 i+jdet⁡(Mij)

Untuk menghitung determinan cukup mengambil satu ekspansi saja, misal ekspansi baris ke-1.

Contoh:

R =

2 3 −1

0 −2 1

3 0 2

M11 = −₀2 1₂ M12 = ₃0 1₂ M13 = 0₃ −₀2

K₁₁ = −1 2 ₋2 1

0 2 =−4 K12 = −1 3 0₃ 1₂ = 3

K13 = −1 4 0₃ −₀2 = 6

R = q11K11+ q12K12+ q13K13

R = 2 −4 + 3 3 + −1 6 = −5

3. Adjoint Matriks

Adjoint matriks adalah transpose dari kofaktor – kofaktor matriks tersebut, dilambangkan dengan adj A = K_ij T

Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si. Page 8 Misal A adalah sebuah matriks bujur sangkar. Jika ada matriks B sedemikian sehingga AB = I, maka B disebut dengan invers A, dinotasikan dengan A-1. Dan jika AB = I, maka BA = I. Jika terdapat matriks B sedemikian sehingga AB = BA = I, maka A disebut matriks nonsingular. Jika sebaliknya maka A disebut matriks singular.

Teorema:

Jika sebuah matriks mempunyai invers, maka invers tersebut tunggal. Teorema:

Jika A mempunyai invers, maka A-1 mempunyai invers dan (A-1)-1 = A. Teorema:

Jika A dan B matriks nonsingular, maka AB mempunyai invers dan (AB)-1 = B-1 A-1. Hal ini berlaku umum untuk berhingga perkalian matriks.

1. Invers Matriks Ordo 2 x 2

Beberapa metode yang dapat digunakan untuk menghitung invers matriks ordo 2 x 2 adalah:

a. Cara perkalian

Jika A adalah matriks ordo 2x2, maka AA-1=I Contoh:

V = 2 1 0 3

Maka VV−1 = I 2 1

0 3 a b c d =

1 0 0 1

2a + c =1 (1) 3c = 0 maka c = 0 (2) 2b + d = 0 (3) 3d = 1 maka d = 1

3 (4) Persamaan (1):

2a + c =1

2a = 1 maka a = 1 2 Persamaan (2): 2b + d = 0

Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si. Page 9 2b = −1

3 maka b =− 1 6

V−1 = a b c d =

1 2 − 1 6 0 1 3

b. Adjoint matriks Jika A = a b

c d maka A

−1 ₌ 1

det A adj A dengan syarat det(A) ≠ 0

= 1

det A

d −b

−c a

Contoh:

V = 2 1 0 3 V = 2 1

0 3 = 6

V−1 =1 6

3 −1

0 2 =

1 2 − 1 6 0 1 3

2. Invers Matriks Ordo 3 x 3 Jika A3x3 maka A−1 =

1

det A adj A dengan syarat det(A) ≠ 0.

Contoh:

R =

2 3 −1

0 −2 1

3 0 2

Tentukan invers dari matriks R. Menghitung R

M₁₁ = −2 1

0 2 M12 = 0 1

3 2 M13 =

0 −2

3 0

K11 = −1 2 −₀2 1₂ =−4

K₁₂ = −1 3 0 1 3 2 = 3 K13 = −1 4 0₃ −₀2 = 6

R = q₁₁K₁₁+ q₁₂K₁₂+ q₁₃K₁₃ R = 2 −4 + 3 3 + −1 6 = −5

Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si. Page 10

adj A =

K11 K12 K13

K21 K22 K23

K31 K32 K33

=

K11 K21 K31

K12 K22 K32

K13 K23 K33

M21 = 3₀ −₂1 M22 = ₃2 −₂1 M23 = 2₃ 3₀

M31 = ₋3₂ −₁1 M32 = ₀2 −₁1 M33 = 2_{0 −}3₂

K21 = −1 3 3 −1

0 2 =−6 K22 = −1 4 2₃ −₂1 = 7

K₂₃ = −1 5 2 3

3 0 = 9 K31 = −1 4 ₋3 −1

2 1 = 1

K₃₂ = −1 5 2 −1

0 1 =−2 K33 = −1 6 2_{0 −}3₂ =−4

adj A = −

4 −6 1

3 7 −2

6 9 −4

R−1 = 1

det R adj R

R−1 = 1

−5

−4 −6 1

3 7 −2

6 9 −4

= − 4 5

6

5 −

1 5 3

5 −

7 5

2 5