Jika ingin meng materi ini klik tulisan ini : Handout Matriks Vektor Terbaru 2

VEKTOR A.

   Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah.

  Dilambangkan dengan :

  Keterangan :

  Titik A disebut titik Pangkal Titik B disebut titik Ujung Dinotasikan : ⃗⃗⃗⃗⃗ atau B.

   Vektor di R2 ( Ruang Dimensi Dua ) Panjang Vektor, Vektor Nol, Vektor Satuan dan Vektor Basis 1.

   Panjang Vektor adalah jarak antara titik pangkal dan titik ujung vektor.

  Misalkan diketahui titik

  ⃗⃗⃗⃗⃗

  ( ) dan titik ( ). Panjang vektor dinotasikan .

  | ⃗⃗⃗⃗⃗ | | ⃗⃗⃗⃗⃗ | ( − ) + ( − )

2. Vektor Nol adalah suatu vektor yang ukurannya nol dan arahnya sembarang.

  Dinotasikan :

  ⃗ ( )

  3.

   Vektor Satuan adalah suatu vektor yang panjangnya satu satuan. Hanya vektor nol

• yang tidak memiliki satuan. Jika + maka vektor satuan ke arah

  ( ) ⃗⃗⃗

  adalah . Secara aljabar dan .

  ⃗ | ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ |

  ⃗ ⃗

  | ⃗⃗⃗ |

• √ 4.

   Vektor Basis adalah vektor-vektor yang saling tegak lurus. Pada bidang koordinat

  kartesius terdapat dua vektor basis yang dinyatakan dalam dan ̂ ̂. Secara aljabar vektor dan

  ̂ + *

  ̂ * +. Jika diketahui suatu vektor maka kombinasi linear vektor

  dalam vektor basis ̂ dan ̂ adalah :

  ̂ + ̂ 5.

   Vektor Posisi

  Misalkan diketahui titik . Vektor posisi yang diwakili oleh ⃗⃗⃗⃗⃗

  ( )

  adalah vektor posisi dari titik

  )

  . Vektor posisi dari titik (

• adalah +.

  ) ( Vektor Posisi

  Ruas Garis berarah ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗

  ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ −

  ( ) −

  ⃗⃗⃗⃗⃗ * + −

  ⃗ 6.

   Operasi Pada Vektor a.

   Secara Geometri 1.

   Penjumlahan Aturan segitiga : jumlah vektor dan dapat ditentukan

  ⃗

  dengan cara memindah vektor ⃗ ( tanpa mengubah besar dan arahnya )

  Aturan jajarangenjang : jumlah vektor dan dapat ⃗

  ditentukan dengan cara memindah vektor ( tanpa mengubah

  ⃗

  besar dan arahnya ), tetapi titik pangkal vektor berimpit dengan

  ⃗

  titik pangkal vektor

Aturan poligon : penjumlahan tiga buah vektor atau lebih.

  Sifat – sifat operasi penjumlahan vektor

Sifat Bentuk

  Komutatif

• ⃗ ⃗ +

  Asosiatif

  ( + ⃗ ) + + ( ⃗ + )

  Elemen identitas , dengan

  ⃗ ⃗ + + ⃗

  Negatif ( lawan ) , dengan

  − (− ) + + (− ) ⃗ yaitu menggunakan aturan segitiga, jajarangenjang maupun poligon.

  2.

   Pengurangan Metode penyelesaiannya : sama seperti penjumlahan vektor

b. Secara Aljabar 7. Perkalian Suatu Skalar dengan Vektor

• * +

• − ⃗ *
• − * + * − −
• ⃗ *
• 1.

  Misalkan : diketahui suatu skalar dan vektor * + Secara Aljabar vektor

  [ ] Jika diketahui suatu skalar k, skalar l, vektor dan vektor ⃗ maka berlaku sifat :

  Penjumlahan dan pengurangan dua vektor secara aljabar dilakukan dengan menjumlahkan maupun mengurangkan masing-masing komponen yang bersesuaian. Misalkan diketahui vektor

  dan

  ⃗ * +

  maka :

  ( ) ( ) 2. ( + ) + 3.

  ( + ⃗ ) + ⃗ 4. ( − ⃗ ) − ⃗

  8.

   Perbandingan Vektor

  Misalkan diketahui titik

  ( )

  dan

  ( ).

  jika titik pada garis sedemikian sehingga

  ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

  dengan p dan q masing-masing-masing suatu skalar , maka vektor posisi titik adalah :

• ⃗

• ∙ ⃗ | | ∙ | ⃗ | cos | + ⃗ | | | + | ⃗ | + | || ⃗ |

  cos ⃗ ∙ ⃗ | ⃗ |∙| ⃗ | | − ⃗ | | | + | ⃗ | − | || ⃗ | 1.

9. Perkalian Titik dan Sudut antar Dua Vektor

  Misalkan diketahui vektor

• , ⃗ * + dan sudut antara vektor dan

  adalah .

  Jika

  ∙ ⃗ −| | ∙ | ⃗ |

  berlawanan arah maka

  8. Jika vektor dan ⃗

  ∙ ⃗

  saling tegak lurus maka

  ⃗

  dan

  vektor

  ∙ ⃗ | | ∙ | ⃗ | 7.

  Perkalian titik dua vektor dan

  searah maka

  6. Jika vektor dan ⃗

  ∙ | | 2. ∙ ⃗ ⃗ ∙ 3. ⃗ ∙ ∙ ⃗ ⃗ 4. ( ⃗ + ) ∙ ⃗ + ∙ 5. ( ∙ ⃗ ) ( ) ⃗ ( ⃗ )

  . Berlaku sifat–sifat perkalian skalar dua vektor :

  adalah : Diketahui vektor dan skalar

  ⃗

  biasa disebut dot product dan

  ⃗ (

  ⃗ )

  Contoh Soal :

  1. dan dari vektor-vektor di bawah ini ! Tentukan

• ⃗ − ⃗

  

⃗

a b c d

  2. dari vektor-vektor di bawah ini :

    

  Tentukan

  ⃗

  3. dan Diketahui : titik

  ( ) ( − ) a.

  Nyatakan vektor posisinya dengan bentuk vektor kolom dengan kombinasi linear ̂ dan ̂.

  b. carilah panjang masing – masing vektornya.

  Diketahui : vektor

• 4. , vektor dan
• − − + ⃗ * + +

  a. dan Tentukan

• ⃗ ⃗ + b.

  Periksalah apakah

• ⃗ ⃗ +

  c. dan Tentukan

  ( + ⃗ ) + + ( ⃗ + ) d.

  Periksalah apakah

  ( + ⃗ ) + + ( ⃗ + )

  5. , vektor dan vektor vektor Diketahui : vektor

  − ̂ + ̂ − ̂ + ̂

  . Tentukan vektor-vektor berikut ini ( dalam

  ̂ + ̂ ̂ dan ̂ ).

  a.

  c.

• − +

  d.

  − − ⃗⃗⃗⃗ −

• b.

  6. dan titik . Titik Diketahui : titik

  ( ) ( ) adalah sebuah titik pada

  garis hubung ⃗⃗⃗⃗⃗ sehingga ⃗⃗⃗⃗⃗ a.

  ⃗⃗⃗⃗⃗ Tentukanlah vektor yang diwakili oleh ruas garis berarah b.

  ⃗⃗⃗⃗⃗ Tentukanlah vektor yang diwakili oleh ruas garis berarah c.

  Tentukan koordinat titik 7. , vektor dan vektor . Diketahui : vektor

  ⃗ * *− − +

• Tentukan : a.

  | | b.

  | + ⃗ | 8. , tentukan vektor satuan dari vektor .

  Diketahui : vektor * − + 9.

  Diketahui ruas garis AB dengan koordinat titik ( − ) dan koordinat titik ( ).

  a.

  Tentukan koordinat titik C, jika b. Tentukan koordinat titik D, jika −

  10. dan vektor maka tentukanlah dan Diketahui vektor

  ⃗ * ∙ ⃗

• − + ⃗ ∙ .

  11. dan vektor serta vektor orthogonal Diketahui : vektor

  ⃗ *

• (tegak lurus) terhadap vektor , hitunglah nilai .

  ⃗ Latihan 1

  1. dan . Tentukanlah : Diketahui : vektor-vektor

  ⃗ *

• * + − +

  a.

  b.

  c.

  d.

  | | | ⃗ | | + ⃗ | | − ⃗ |

  2. dan . Tentukan nilai dan sejajar Diketahui : * ⃗ * agar ⃗

• − + dan searah.

  3.

  Koordinat titik ( ) dan ( − ) . Titik R terletak pada garis sehingga ⃗⃗⃗⃗⃗ .

  ⃗⃗⃗⃗⃗ a.

  ⃗⃗⃗⃗⃗ Tentukan vektor yang diwakili oleh ruas garis b.

  ⃗⃗⃗⃗⃗ Tentukan vektor yang diwakili oleh ruas garis berarah c.

  Tentukan koordinat titik .

4. Diketahui : titik ( − ) dan titik (− ) maka tentukanlah koordinat titik

  P, jika 5.

  . Titik C terletak pada Diketahui : titik (− − ) dan titik ( ) perpanjangan ruas garis AB, sehingga ⃗⃗⃗⃗⃗ . Tentukanlah koordinat

  ⃗⃗⃗⃗⃗ titik C.

  6. , vektor dan vektor Tentukan Diketahui : vektor + .

  panjang vektor dan vektor satuan dari vektor .

  7.

  , Diberikan vektor-vektor

  ( − ) + ( + ) ⃗ ( + ) + ( − )

• dan . Jika maka tentukanlah kombinasi linear
• ⃗ + − ⃗ + dalam dan .

  8. dan maka tentukanlah Diketahui : vektor *− ⃗ ∙ .

  ⃗ * + − + 9.

  Tentukan sudut antara vektor dan ⃗ , jika diberikan | | , | ⃗ | dan ∙ ⃗ √ . 10. dan maka tentukan sudut antara vektor

  Diketahui : vektor

  ⃗ * + * + ⃗ dan .

  Diberikan vektor ⃗ dan saling tegak

• 11. dan dan vektor

  ⃗ * + − +

  lurus maka tentukanlah nilai .

VEKTOR C.

   Vektor di R3 ( Ruang Dimensi Tiga )

  Pada dimensi 3 semuanya analog dengan vektor pada dimensi 2 Proyeksi Skalar dan Proyeksi Vektor Ortogonal

  1. Proyeksi skalar ortogonal dari vektor pada arah vektor ,

  ⃗

  ditentukan :

  ⃗ ∙ ⃗ | |

  | ⃗ |

  2. Proyeksi vektor ortogonal dari vektor pada arah vektor ,

  ⃗

  ditentukan :

  ⃗ ∙ ⃗ ∙ ( 2 )

  | ⃗ | Contoh :

  Diketahui :

• – 1. dan . Berdasarkan vektor

  ̂ − ̂ − ̂ ⃗ ̂ + ̂ − ̂

  vektor tersebut maka tentukan : a. pada arah vektor

  Tentukan proyeksi skalar orthogonal dari vektor

  ⃗ b.

  pada arah vektor Tentukan proyeksi skalar orthogonal dari vektor

  ⃗ c.

  pada arah vektor Tentukan proyeksi vektor orthogonal dari vektor

  ⃗

  2. dan vektor . Jika panjang vektor Diketahui : vektor −

  

( ) ( )

−

  .

  pada maka tentukanlah nilai adalah

  Contoh Soal :

  − 1. Diketahui : vektor ⃗ ( ), vektor ( ) dan vektor ⃗⃗ ( )

  − − a. Tentukan :

  ⃗ − + ⃗⃗ b.

  Tentukan :

  ⃗ − ⃗⃗ + 2.

  Diketahui : 3 buah titik yaitu titik ( ), ( ) dan ( − ). Ruas- ruas garis berarah ⃗⃗⃗⃗⃗ masing-masing mewakili vektor , ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ dan ⃗ dan a. , dan

  Nyatakan vektor

  ⃗ dalam vektor kolom

  b. ⃗⃗⃗⃗⃗ dalam vektor kolom Nyatakan ruas garis ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ dan c.

  Tunjukkan bahwa titik dan segaris atau kolinear.

  d. ⃗⃗⃗⃗⃗ Tentukan ⃗⃗⃗⃗⃗

  3. dan . Titik R adalah titik pada garis Diketahui : titik

  ( − ) ( − )

  hubung ⃗⃗⃗⃗⃗ sehingga ⃗⃗⃗⃗⃗

  ⃗⃗⃗⃗⃗ a.

  ⃗⃗⃗⃗⃗ Tentukan vektor yang diwakili ruas garis berarah b.

  ⃗⃗⃗⃗⃗ Tentukan vektor yang diwakili ruas garis berarah c.

  Tentukan koordinat titik 4. ABC adalh bangun geometri segitiga dengan koordinat titik sudutnya

  ( ), ( − ) dan ( − ). Dengan menggunakan rumus jarak, perlihatkan bahwa segitiga ABC adalah segitiga siku-siku di B.

  − 5. Diketahui : vektor ( ), tentukan vektor satuan dari vektor .

  6. dan

  Diketahui : ruas garis dengan koordinat titik ( − ) Titik R membagi ruas garis ( − ). dengan perbandingan . Tentukan koordinat titik R.

  7.

  ⃗⃗⃗⃗⃗ Diketahui : ( ) , (− ) dan ( − ) . Ruas garis berarah mewakili vektor

  ⃗ dan ruas garis berarah ⃗⃗⃗⃗⃗ mewakili vektor . Tentukan .

  ( ⃗ ∙ ) 8.

  dan Diketahui : vektor ⃗ ( ) dan vektor ( ). Vektor ⃗ +

  − − vektor tegak lurus pada vektor . Tentukan nilai

  ⃗ yang mungkin.

  − 9. ) dan vektor ⃗ ( ). Tentukan besar sudut

  Diketahui : vektor ( − − antara vektor dan

  ⃗ .

10. Diketahui : titik ( − ), (− − ) dan vektor ̂ − ̂ + ̂.

  a. pada arah ⃗⃗⃗⃗⃗ Tentukan proyeksi skalar vektor b. pada arah ⃗⃗⃗⃗⃗

  Tentukan proyeksi vektor ortogonal vektor

LATIHAN SOAL VEKTOR

  1.

  , dan Diketahui : vektor ⃗ dan . Jika | ⃗ | | | | ⃗ + | maka nilai

  | ⃗ − | sama dengan…… a.

  d. √ √ b.

  e. √ c.

  √ 2.

  , dan maka Diketahui : vektor-vektor

  ( (− − ) ⃗ ( ) )

  sama dengan……

• ⃗ − a.

  d. ( (−

  − ) ) b.

  e. (− (−

  − ) ) c. ( ) 3.

  , dan . Besar vektor Diketahui : vektor-vektor

  ( − ) ⃗ ( ) ( )

  adalah……

  ⃗ − ( − ) a.

  d. √

  √ b.

  e.

  √ c. √ 4.

  , dan Diketahui : vektor-vektor

  ̂ − ̂ ̂ + ̂ − ̂ ̂ + ̂

  − + a.

  maka sama dengan……

  d. ̂ + ̂ − ̂ ̂ − ̂ + ̂ b.

  e. ̂ − ̂ + ̂ ̂ − ̂ + ̂ c.

  ̂ − ̂ + ̂

  − 5.

  dan dan . Jika Diketahui : vektor

  ( ) ⃗ ( ) ( ) − −

  | ⃗ | ⃗ − ⃗ +

  maka adalah……

  a.

  d. √ √ b. e. √ √ c.

  √ 6.

  , dan . Nilai Diketahui : vektor

  ( ) ⃗ ( ) ( ) | − ⃗ + | − −

  adalah…… a.

  d. √ b.

  e. √ c.

  7. dan . Titik membagi AB

  Diketahui :

  

( ) ( ) ( )

  dengan perbandingan . Koordinat titik adalah…… a.

  d.

  ( ) ( ) b.

  e. ( ) ( ) c.

  (− ) 8.

  , dan . Titik terletak Diketahui :

  ( ) ( ) ( − )

  sehingga . Panjang adalah…… a.

  d. √

  √ b.

  e.

  √ c. √ 9.

  , dan membagi di luar Diketahui : titik

  ( ) (− − − )

  dengan perbandingan , maka koordinat titik adalah…… a. d.

  ( ) (− − − ) b. e.

  ( ) (− − − ) c.

  (− − − ) 10.

  , dan . Ditentukan koordinat

  ( − ) ( − ) ( )

  membagi sehingga dan membagi di luar dengan perbandingan . Panjang vektor adalah…… a.

  d. √

  √ b.

  e. √ √ c.

  √ 11. dan . Diketahui segitiga dengan ( − ) ( − ) ( )

  Koordinat titik berat adalah…… a.

  d. ( ) (− ) b.

  e.

  (− ) (− ) c.

  (− ) 12.

  , dan . Jika Diketahui : titik – titik

  (− ) ( ) ( )

  dan segaris maka koordinat adalah…… a.

  d.

  ( ) ( ) b.

  e. ( ) ( ) c.

  ( ) 13.

  , dan dan , Jika vektor

  ( ) ( ) ( ) ( − ⃗ ) ∙ ⃗ ∙ −

  maka nilai sama dengan…… a.

  d. − b.

  e. − c.

  14. dan . Ditentukan vektor – vektor

  ⃗ ̂ − ̂ + ̂ ̂ + ̂ − ̂

  

⃗ + ⃗ ⃗ − ∙ ⃗

a.

  Jika vektor dan vektor maka nilai adalah…….

  d. − b.

  e. − c.

  − 15.

  ; dan maka nilai Ditentukan : vektor

  ( ) ⃗ ( ) ( ⃗ )

− −

  bulat yang memenuhi adalah…… a.

  d. − b.

  e. − c.

  16. dan vektor adalah . Sudut antara vektor

  ⃗ ̂ + ̂ + ̂ ̂ + ̂

  Maka nilai adalah…… a. d. atau − atau b. e. atau − − atau − c. − atau 17. tegak lurus terhadap vektor

  Vektor

  ⃗ ̂ + ̂ − ̂ ̂ − ̂ − ̂

  maka nilai adalah…… a. d. atau

  − atau − − b. e. − atau atau

  c. atau

  − 18.

  dengan , dan . Diketahui :

  ( − ) ( − ) ( )

  Tangen sudut antara ⃗⃗⃗⃗⃗ dan ⃗⃗⃗⃗⃗ adalah…… a. d. √ √ b. e. √ c.

  19. dengan , dan . Jika

  Diketahui :

  ( − − ) ( ) ( )

  adalah sudut antara ⃗⃗⃗⃗⃗ dan ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ maka nilai dari

  s a.

  d. √ − √ b. e. √ − √ c.

  √ 20. dan . Jika ketiga titik itu

  Diketahui : titik

  

( ) ( ) ( )

  segaris ( kolinear ) maka nilai dan berturut- turut adalah…… a. d. − dan dan − b.

  e. − dan dan − c. dan 21. dan maka proyeksi vektor

  Diketahui :

  ̂ + ̂ + ̂ ⃗ ̂ + ̂ − ̂

  ⃗ a.

  orthogonal vektor pada arah adalah……

  d. [ ] [ ]

  − b.

  e. [ ] [ ]

  − c. [ ]

  −

  − 22.

  dan . Jika dan . Diketahui : vektor

  [ ] [ + ] −

  Proyeksi vektor pada vektor adalah…… a.

  d. [ ] [ ] b.

  e. [ ] [ ] c.

  [ ] 23. dan . Proyeksi ⃗⃗⃗⃗⃗ pada

  Diketahui titik

  

(− ) ( ) ( − )

⃗⃗⃗⃗⃗

  adalah…… a.

  d. ( ̂ − ̂ + ̂) ( ̂ − ̂ + ̂) b.

  e. ( ̂ − ̂ + ̂) ( ̂ − ̂ − ̂) c.

  ( ̂ + ̂ + ̂)

  24. dengan dan . Proyeksi

  Diketahui

  ( − ) ( − ) ( )

  vektor orthogonal dari ⃗⃗⃗⃗⃗ adalah……

  ⃗⃗⃗⃗⃗ pada arah a. d. [ ] [ ] b. e. [ ] [ ]

  − c. [ ]

  −

  pada adalah Panjang proyeksi −

  [ ] ⃗ * √ . Nilai −

• 25.

  a. d. atau

  − atau − b. e. − atau atau c. − atau

  ; dan panjang proyeksi vektor Diketahui vektor

  [ ] ⃗ *

−

• 26.

  √ pada adalah . Jika sudut antara vektor dan lancip, maka nilai

  ⃗ ⃗

  adalah…… a. d. − b. e. − c.

  27. pada vektor

  Panjang proyeksi skalar orthogonal vektor

  ̂ − ̂ + ̂

  ⃗ ̂ − ̂ + ̂ √ a.

  adalah . Nilai yang memenuhi adalah……

  d.

  b. e. c.

  − 28.

  dengan dan vektor . Jika Diberikan vektor

  [ ] ⃗ [ ] √ √

  dan membentuk sudut , maka kosinus sudut antara vektor dan

  ⃗

  adalah……

• ⃗ a.

  d. √ √ b.

  e. √ √ c.

  √ 29. dan . Hasil dari

  Diketahui :

• ⃗ ̂ − ̂ + ̂ | − ⃗ | √ ∙ ⃗ a.

  d.

  b.

  e.

  c.

  30.

  , dan maka Jika | |

  | ⃗ | ( ⃗ ) | + ⃗ | a.

  d.

  b.

  e.

  c.

  Daftar Pustaka Suwah Sembiring dkk, 2012, Matematika Berbasis Pendidikan Karakter Bangsa untuk SMA / MA Kelas XII IPA, YRAMA WIDYA Bandung.

  Sukino, 2004. Matematika untuk SMA Kelas XII IPA, Erlangga. Sartono Wirodikromo,2004. Matematika untuk SMA Kelas XII IPA, Erlangga. Enung S dkk, 2009. Evaluasi Mandiri Matematika Untuk SMA Kelas XII IPA, Erlangga.

  Rignan Wargiyanto dkk, 2008, Buku Kerja Matematika Untuk SMA Kelas XII IPA Semester 1, Erlangga. Willa Adrian, 2008, Matematika Dasar untuk SMA, YRAMA WIDYA Bandung. Joshua Sabandar,2009, Matematika untuk SMA kelas XI IPA, Bailmu Bumi Aksara.

Suwah Sembiring dkk, 2002, Rahasia Pintar Matematika untuk SMA / MA menembus SNM-PTN,

YRAMA WIDYA Bandung.