BAB V1 PROSES BERPIKIR KOMBINATORIK
BAB V1
PROSES BERPIKIR KOMBINATORIK
6.1
Permutasi Tanpa Pengulangan
Permutasi yang dalam bahasa inggrisnya “permutation” memiliki arti
perubahan urutan. Apabila kita memiliki himpunan beberapa objek, misalnya
{1, 2, 3, 4, 5} dan kita akan menyusun suatu bilangan yang terdiri atas 2 angka
dari angka-angka pada himpunan itu, maka kemungkinan bilangan yang dapat
terbentuk adalah
12. 21, 13, 31, 23 dst.
Perubahan urutan angka-angka 12, 21, 13, 31 menyatakan bilangan yang
berbeda, dan dari sini kita dapat mengatakan bahwa perubahan urutan itu
merupakan suatu permutasi.
Berdasarkan bilangan yang dapat terbentuk dari angka-angka di atas, kita
dapat membedakan dua jenis permutasi, yaitu permutasi objek-objek yang
berbeda dan permutasi yang membolehkan adanya objek yang sama. Untuk
menghitung banyaknya permutasi yang dapat terjadi dari masing-masing
permutasi akan diuraikan di bawah ini.
1.
Permutasi r Objek Berbeda
Untuk merumuskan aturan menghitung banyaknya permutasi r objek
yang berbeda dari himpunan yang terdiri atas n objek, kita akan memprosesnya
secara induktif.
Proses Induktif
a.
Permutasi 2 objek dari 5 objek.
Perhatikan bagaimana proses menghitung banyaknya bilangan yang terdiri
atas 2 angka berbeda yang diambil dari himpunan bilangan {1, 2, 3, 4, 5}.
Semua kemungkinan dari bilangan itu dapat disusun sebagai berikut:
2
1
1
3
3
2
2
1
1
1
2
2
4
3
4
4
4
3
5
5
5
5
5
3
4
Berdasarkan rangkaian proses pembentukan bilangan di atas dan pengertian
hasil kali dua bilangan, maka kita dapat menghitung banyaknya bilangan
yang terdiri atas dua angka berbeda itu sebagai berikut:
4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 5 x 4 = 20 bilangan
Kita akan menotasikan banyaknya permutasi dua angka berbeda dari lima
angka-angka di atas dengan
b.
. Sehingga
Permutasi 3 objek dari 5 objek
Selanjutnya kita perhatikan bagaimana menentukan banyaknya bilangan
yang terdiri atas 3 angka berbeda dari angka-angka {1, 2, 3, 4, 5}. Semua
kemungkinan bilangan itu disajikan di bawah ini.
Dengan demikian, banyaknya permutasi bilangan tiga angka berbeda dari
angka-angka itu adalah
3
2
4
5
3
4x3
1
4
5
}
.
.
.
.
2
.
.
1
3
4
4x3
2
5
3
4
}
= (4 x 3) + (4 x 3) + (4 x 3) + (4 x 3) + (4 x 3) = 5 x 4 x 3 = 60 bilangan
Proses menentukan banyaknya bilangan terdiri atas 3 angka berbeda di atas
dapat disederhanakan dengan menyediakan 3 buah kotak
Kotak pertama diisi dengan bilangan yang menyatakan banyaknya pilihan
angka yang mungkin, yaitu 5 kemungkinan. Kotak kedua diisi dengan
bilangan yang menyatakan banyaknya pilihan angka yang mungkin setelah
satu angka menempati angka pertama. Dalam hal ini terdapat 4 pilihan.
Kotak ketiga diisi dengan bilangan yang menyatakan banyaknya pilihan
angka yang mungkin setelah dua angka berbeda menempati angka pertama
dan kedua. Dalam hal ini terdapat 3 pilihan.
5
Sehingga
c.
4
3
= 5 x 4 x 3 = 60
Permutasi 6 objek dari 9 objek
Dengan penyajian sederhana dari proses menentukan banyaknya bilangan
seperti di atas, kita dapat menentukan banyaknya bilangan yang terdiri atas
6 angka berbeda yang angka-angkanya diambil dari {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9}, yaitu
9
8
7
6
5
4
Sehingga
9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 bilangan
Faktorial
Banyaknya bilangan yang terdiri atas 6 angka berbeda di atas memiliki
bentuk yang menarik. Untuk itu perlu menyatakan bilangan hasil perkalian
bilangan berurutan itu dengan notasi yang sederhana. Dalam hal ini kita
definisikan
9x8x7x6x6x5x4x3x2x1
dengan 9! (dibaca 9 faktorial).
Oleh karena itu, untuk bilangan asli n, maka
n ! = n x (n – 1) x (n – 2) x . . . x 2 x 1.
Sekarang, bilangan
d.
dapat dinyatakan dalam bentuk faktorial,
Permutasi r objek dari n objek
Secara umum banyaknya permutasi r unsur dari n unsur yang berlainan
dapat dirumuskan sebagai berikut
Contoh 1
Proses Berpikir
Sifat 1 : 0! = 1
Pembuktian
Untuk permutasi n unsur dari n unsur yang berlainan diperoleh
Apabila permutasi ini dihitung dengan menggunakan rumus permutasi
sebelumnya diperoleh
Dari sini tampak bahwa kita memperoleh bilangan 0!. Untuk menentukan nilai
dari 0!, kita bandingkan kedua nilai dari
di atas,
Dengan demikian, kita memperoleh bahwa nilai dari
0! = 1
Contoh 2
Terdapat 6 orang, 4 diantaranya kakak beradik dengan 2
diantaranya kembar, duduk pada 6 kursi yang berderet. Banyaknya cara mereka
duduk agar adik kakak duduk berdampingan dengan posisi si kembar duduk
diapit oleh saudara yang lainnya adalah . . . .
Proses Berpikir
Agar keempat bersaudara duduk berdampingan, maka dari
6
tempat
duduk tersebut kita memandang hanya terdapat 3 posisi tempat duduk (satu
posisi akan ditempati oleh 4 bersaudara). Dari ketiga posisi tempat duduk itu,
akan terdapat
= 3! = 6 cara kedua orang dan empat saudara duduk. Tiga cara
duduk disajikan di bawah ini:
A1
S
S
S
S
A2
Tempat duduk anak 1
A1
S
A2
S
S
S
Tempat duduk 4 bersaudara
Tempat duduk anak 2
S
A2
S
S
S
A1
Karena dua diantara empat bersaudara itu kembar dan posisi duduknya
diapit oleh dua saudara yang lainnya, maka hanya ada
2 cara mereka
duduk, yaitu
S1
SK
SK
S2
S2
SK
SK
S1
Dengan demikian, terdapat
6 x 2 = 12 cara
keenam orang itu duduk dengan posisi dua anak kembar diapit oleh dua saudara
lainnya.
2.
Permutasi memuat unsur yang sama
Asumsi yang digunakan di dalam permutasi r unsur dari n unsur yang
dibahas di atas adalah unsur-unsur yang ada adalah berlainan. Apabila dari n
unsur itu terdapat unsur yang sama, maka banyaknya permutasi r unsur dari n
unsur itu tentu saja akan berbeda (lebih sedikit). Untuk menghitung banyaknya
permutasi ini, perhatikan bagaimana menentukan banyaknya kata (tidak perlu
bermakna) yang dapat disusun dari hurup-hurup pada kata
ALAMA
Misalkan terdapat x buah banyaknya susunan hurup (kata) yang berbeda. Untuk
menghitung nilai x ini, kita akan membedakan ketiga hurup A pada kata
1
AAALM
A1A2A3LM A1A3A2LM A2A1A3LM A2A3A1LM A3A1A2LM A3A2A1LM
2
AAAML
A1A2A3ML A1A3A2ML A2A1A3ML A2A3A1ML A3A1A2ML A3A2A1ML
3
AALAM
A1A2LA3M A1A3LA2M A2A1LA3M A2A3LA1M A3A1LA2M A3A2LA1M
4
AAMAL
A1A2MA3L A1A3MA2L A2A1MA3L A2A3MA1L A3A1MA2L A3A2MA1L
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
MLAAA
MLA1A2A3 MLA1A3A2 MLA2A1A3 MLA2A3A1 MLA3A1A2 MLA3A2A1
ALAMA dengan A1, A2 dan A3. Kata-kata yang akan terbentuk dengan masingmasing kata memperhatikan hurup A yang berbeda disajikan pada tabel di atas.
Berdasarkan susunan hurup-hurup di atas, apabila kita memandang ketiga
hurup A itu berbeda maka untuk masing-masing susunan hurup yang terbentuk
akan terdapat 6 banyaknya susuna hurup yang berbeda. Sehingga jumlah semua
susunan hurup yang terbentuk adalah
⏟
6x = 5!
x=
x=
Dengan menggunakan gagasan yang terdapat pada illustrasi di atas, kita
dapat menerapkan gagasan ini pada masalah yang lebih umum. Apabila kita
memiliki n unsur dan dari n unsur itu terdapat k jenis dengan masing-masing
jenis terdiri atas n1, n2, . . . , nk unsur sehingga n1 + n2 + . . . + nk = n, maka
banyaknya permutasi dari n unsur itu adalah
Contoh 4 Tentang permutasi dengan unsur yang sama
Latihan 6.1
1. Banyaknya susunan huruf dari huruf pada {B, I, O, L, A} sehingga tidak ada
dua huruf hidup yang berturutan adalah . . . .
2. Nomor polisi mobil-mobil di suatu negara selalu terdiri dari 4 angka. Jika
jumlah keempat angka pada setiap nomor juga harus genap, mobil yang bisa
terdaftar di negara itu paling banyak ada . . . .
3. Banyaknya cara menyusun huruf-huruf pada kata MATEMATIKA dengan
kedua T tidak berdekatan adalah . . . .
4. Empat pasang suami isteri menonton pagelaran orkestra. Tempat duduk
mereka harus dipisah antara kelompok suami dan kelompok isteri. Untuk
masing-masing kelompok disediakan 4 buah tempat duduk bersebelahan
dalam satu barisan. Ada berapa banyak cara memberikan tempat duduk
kepada mereka ?
5. Empat pasang suami-isteri membeli karcis untuk 8 kursi sebaris pada suatu
pertunjukan. Dua orang akan duduk bersebelahan hanya kalau keduanya
pasangan suami isteri atau berjenis kelamin sama. Berapa banyakkah cara
menempatkan keempat pasang suami-isteri ke 8 kursi tersebut ?
6. Diantara 10 orang wakil siswa yang terdiri dari 3 perempuan dan 7 laki-laki
akan dibentuk kepanitiaan yang terdiri dari 4 orang. Banyaknya susunan
kepanitiaan yang dapat dibentuk jika disyaratkan paling banyak 2 perempuan
dalam susunan panitia adalah . . . .
7. Suatu himpunan terdapat 4 objek yang akan ditempatkan pada 4 tempat
dengan posisi yang melingkar. Berikan argumentasi proses menentukan
banyaknya cara berbeda menempatkan keempat objek tersebut.
8. Perumuman dari masalah pada soal nomor 7 untuk himpunan yang terdiri
atas n objek yang akan ditempatkan pada n tempat dengan posisi yang
melingkar.
PROSES BERPIKIR KOMBINATORIK
6.1
Permutasi Tanpa Pengulangan
Permutasi yang dalam bahasa inggrisnya “permutation” memiliki arti
perubahan urutan. Apabila kita memiliki himpunan beberapa objek, misalnya
{1, 2, 3, 4, 5} dan kita akan menyusun suatu bilangan yang terdiri atas 2 angka
dari angka-angka pada himpunan itu, maka kemungkinan bilangan yang dapat
terbentuk adalah
12. 21, 13, 31, 23 dst.
Perubahan urutan angka-angka 12, 21, 13, 31 menyatakan bilangan yang
berbeda, dan dari sini kita dapat mengatakan bahwa perubahan urutan itu
merupakan suatu permutasi.
Berdasarkan bilangan yang dapat terbentuk dari angka-angka di atas, kita
dapat membedakan dua jenis permutasi, yaitu permutasi objek-objek yang
berbeda dan permutasi yang membolehkan adanya objek yang sama. Untuk
menghitung banyaknya permutasi yang dapat terjadi dari masing-masing
permutasi akan diuraikan di bawah ini.
1.
Permutasi r Objek Berbeda
Untuk merumuskan aturan menghitung banyaknya permutasi r objek
yang berbeda dari himpunan yang terdiri atas n objek, kita akan memprosesnya
secara induktif.
Proses Induktif
a.
Permutasi 2 objek dari 5 objek.
Perhatikan bagaimana proses menghitung banyaknya bilangan yang terdiri
atas 2 angka berbeda yang diambil dari himpunan bilangan {1, 2, 3, 4, 5}.
Semua kemungkinan dari bilangan itu dapat disusun sebagai berikut:
2
1
1
3
3
2
2
1
1
1
2
2
4
3
4
4
4
3
5
5
5
5
5
3
4
Berdasarkan rangkaian proses pembentukan bilangan di atas dan pengertian
hasil kali dua bilangan, maka kita dapat menghitung banyaknya bilangan
yang terdiri atas dua angka berbeda itu sebagai berikut:
4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 5 x 4 = 20 bilangan
Kita akan menotasikan banyaknya permutasi dua angka berbeda dari lima
angka-angka di atas dengan
b.
. Sehingga
Permutasi 3 objek dari 5 objek
Selanjutnya kita perhatikan bagaimana menentukan banyaknya bilangan
yang terdiri atas 3 angka berbeda dari angka-angka {1, 2, 3, 4, 5}. Semua
kemungkinan bilangan itu disajikan di bawah ini.
Dengan demikian, banyaknya permutasi bilangan tiga angka berbeda dari
angka-angka itu adalah
3
2
4
5
3
4x3
1
4
5
}
.
.
.
.
2
.
.
1
3
4
4x3
2
5
3
4
}
= (4 x 3) + (4 x 3) + (4 x 3) + (4 x 3) + (4 x 3) = 5 x 4 x 3 = 60 bilangan
Proses menentukan banyaknya bilangan terdiri atas 3 angka berbeda di atas
dapat disederhanakan dengan menyediakan 3 buah kotak
Kotak pertama diisi dengan bilangan yang menyatakan banyaknya pilihan
angka yang mungkin, yaitu 5 kemungkinan. Kotak kedua diisi dengan
bilangan yang menyatakan banyaknya pilihan angka yang mungkin setelah
satu angka menempati angka pertama. Dalam hal ini terdapat 4 pilihan.
Kotak ketiga diisi dengan bilangan yang menyatakan banyaknya pilihan
angka yang mungkin setelah dua angka berbeda menempati angka pertama
dan kedua. Dalam hal ini terdapat 3 pilihan.
5
Sehingga
c.
4
3
= 5 x 4 x 3 = 60
Permutasi 6 objek dari 9 objek
Dengan penyajian sederhana dari proses menentukan banyaknya bilangan
seperti di atas, kita dapat menentukan banyaknya bilangan yang terdiri atas
6 angka berbeda yang angka-angkanya diambil dari {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9}, yaitu
9
8
7
6
5
4
Sehingga
9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 bilangan
Faktorial
Banyaknya bilangan yang terdiri atas 6 angka berbeda di atas memiliki
bentuk yang menarik. Untuk itu perlu menyatakan bilangan hasil perkalian
bilangan berurutan itu dengan notasi yang sederhana. Dalam hal ini kita
definisikan
9x8x7x6x6x5x4x3x2x1
dengan 9! (dibaca 9 faktorial).
Oleh karena itu, untuk bilangan asli n, maka
n ! = n x (n – 1) x (n – 2) x . . . x 2 x 1.
Sekarang, bilangan
d.
dapat dinyatakan dalam bentuk faktorial,
Permutasi r objek dari n objek
Secara umum banyaknya permutasi r unsur dari n unsur yang berlainan
dapat dirumuskan sebagai berikut
Contoh 1
Proses Berpikir
Sifat 1 : 0! = 1
Pembuktian
Untuk permutasi n unsur dari n unsur yang berlainan diperoleh
Apabila permutasi ini dihitung dengan menggunakan rumus permutasi
sebelumnya diperoleh
Dari sini tampak bahwa kita memperoleh bilangan 0!. Untuk menentukan nilai
dari 0!, kita bandingkan kedua nilai dari
di atas,
Dengan demikian, kita memperoleh bahwa nilai dari
0! = 1
Contoh 2
Terdapat 6 orang, 4 diantaranya kakak beradik dengan 2
diantaranya kembar, duduk pada 6 kursi yang berderet. Banyaknya cara mereka
duduk agar adik kakak duduk berdampingan dengan posisi si kembar duduk
diapit oleh saudara yang lainnya adalah . . . .
Proses Berpikir
Agar keempat bersaudara duduk berdampingan, maka dari
6
tempat
duduk tersebut kita memandang hanya terdapat 3 posisi tempat duduk (satu
posisi akan ditempati oleh 4 bersaudara). Dari ketiga posisi tempat duduk itu,
akan terdapat
= 3! = 6 cara kedua orang dan empat saudara duduk. Tiga cara
duduk disajikan di bawah ini:
A1
S
S
S
S
A2
Tempat duduk anak 1
A1
S
A2
S
S
S
Tempat duduk 4 bersaudara
Tempat duduk anak 2
S
A2
S
S
S
A1
Karena dua diantara empat bersaudara itu kembar dan posisi duduknya
diapit oleh dua saudara yang lainnya, maka hanya ada
2 cara mereka
duduk, yaitu
S1
SK
SK
S2
S2
SK
SK
S1
Dengan demikian, terdapat
6 x 2 = 12 cara
keenam orang itu duduk dengan posisi dua anak kembar diapit oleh dua saudara
lainnya.
2.
Permutasi memuat unsur yang sama
Asumsi yang digunakan di dalam permutasi r unsur dari n unsur yang
dibahas di atas adalah unsur-unsur yang ada adalah berlainan. Apabila dari n
unsur itu terdapat unsur yang sama, maka banyaknya permutasi r unsur dari n
unsur itu tentu saja akan berbeda (lebih sedikit). Untuk menghitung banyaknya
permutasi ini, perhatikan bagaimana menentukan banyaknya kata (tidak perlu
bermakna) yang dapat disusun dari hurup-hurup pada kata
ALAMA
Misalkan terdapat x buah banyaknya susunan hurup (kata) yang berbeda. Untuk
menghitung nilai x ini, kita akan membedakan ketiga hurup A pada kata
1
AAALM
A1A2A3LM A1A3A2LM A2A1A3LM A2A3A1LM A3A1A2LM A3A2A1LM
2
AAAML
A1A2A3ML A1A3A2ML A2A1A3ML A2A3A1ML A3A1A2ML A3A2A1ML
3
AALAM
A1A2LA3M A1A3LA2M A2A1LA3M A2A3LA1M A3A1LA2M A3A2LA1M
4
AAMAL
A1A2MA3L A1A3MA2L A2A1MA3L A2A3MA1L A3A1MA2L A3A2MA1L
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
MLAAA
MLA1A2A3 MLA1A3A2 MLA2A1A3 MLA2A3A1 MLA3A1A2 MLA3A2A1
ALAMA dengan A1, A2 dan A3. Kata-kata yang akan terbentuk dengan masingmasing kata memperhatikan hurup A yang berbeda disajikan pada tabel di atas.
Berdasarkan susunan hurup-hurup di atas, apabila kita memandang ketiga
hurup A itu berbeda maka untuk masing-masing susunan hurup yang terbentuk
akan terdapat 6 banyaknya susuna hurup yang berbeda. Sehingga jumlah semua
susunan hurup yang terbentuk adalah
⏟
6x = 5!
x=
x=
Dengan menggunakan gagasan yang terdapat pada illustrasi di atas, kita
dapat menerapkan gagasan ini pada masalah yang lebih umum. Apabila kita
memiliki n unsur dan dari n unsur itu terdapat k jenis dengan masing-masing
jenis terdiri atas n1, n2, . . . , nk unsur sehingga n1 + n2 + . . . + nk = n, maka
banyaknya permutasi dari n unsur itu adalah
Contoh 4 Tentang permutasi dengan unsur yang sama
Latihan 6.1
1. Banyaknya susunan huruf dari huruf pada {B, I, O, L, A} sehingga tidak ada
dua huruf hidup yang berturutan adalah . . . .
2. Nomor polisi mobil-mobil di suatu negara selalu terdiri dari 4 angka. Jika
jumlah keempat angka pada setiap nomor juga harus genap, mobil yang bisa
terdaftar di negara itu paling banyak ada . . . .
3. Banyaknya cara menyusun huruf-huruf pada kata MATEMATIKA dengan
kedua T tidak berdekatan adalah . . . .
4. Empat pasang suami isteri menonton pagelaran orkestra. Tempat duduk
mereka harus dipisah antara kelompok suami dan kelompok isteri. Untuk
masing-masing kelompok disediakan 4 buah tempat duduk bersebelahan
dalam satu barisan. Ada berapa banyak cara memberikan tempat duduk
kepada mereka ?
5. Empat pasang suami-isteri membeli karcis untuk 8 kursi sebaris pada suatu
pertunjukan. Dua orang akan duduk bersebelahan hanya kalau keduanya
pasangan suami isteri atau berjenis kelamin sama. Berapa banyakkah cara
menempatkan keempat pasang suami-isteri ke 8 kursi tersebut ?
6. Diantara 10 orang wakil siswa yang terdiri dari 3 perempuan dan 7 laki-laki
akan dibentuk kepanitiaan yang terdiri dari 4 orang. Banyaknya susunan
kepanitiaan yang dapat dibentuk jika disyaratkan paling banyak 2 perempuan
dalam susunan panitia adalah . . . .
7. Suatu himpunan terdapat 4 objek yang akan ditempatkan pada 4 tempat
dengan posisi yang melingkar. Berikan argumentasi proses menentukan
banyaknya cara berbeda menempatkan keempat objek tersebut.
8. Perumuman dari masalah pada soal nomor 7 untuk himpunan yang terdiri
atas n objek yang akan ditempatkan pada n tempat dengan posisi yang
melingkar.