BAB IV TEGANGAN, REGANGAN, DAN DEFLEKSI - BAB 04 Tegangan Regangan defleksi _hari_

BAB IV TEGANGAN, REGANGAN, DAN DEFLEKSI

4.1. Tegangan

Salah satu masalah fundamental dalam mechanical engineering adalah menentukan pengaruh beban pada komponen mesin atau peralatan. Hal ini sangat essensial dalam perancangan mesin karena tanpa diketahuinya intensitas gaya di dalam elemen mesin, maka pemilihan dimensi, material, dan parameter lainnya tidak dapat dilakukan. Intensitas gaya dalam pada suatu benda didefinisikan sebagai tegangan (stress). Gambar 4.1 menunjukkan sebuah benda yang mendapat beban dalam bentuk gaya-gaya. Untuk mengetahui intensitas gaya di dalam benda maka dapat dilakukan dengan membuat potongan imaginer melalui titik O. Untuk menjaga prinsip kesetimbangan, tentu pada penampang potongan imajiner tesebut terdapat gaya-gaya dalam yang bekerja. Kalau penampang imaginer tersebut dibagi menjadi elemen-elemen yang sangat kecil

∆A, maka pada masing masing ∆A tersebut akan bekerja gaya dalam sebesar ∆F.

Gambar 4.1 Konsep intensitas gaya dalam sebuah benda yang mendapat beban Definisikan vektor tegangan ( Stress vector)

Δ P dF

(4.1)

T lim = ≈

Δ A → Δ A dA

Vektor tegangan ini adalah intensitas gaya pada seluruh penampang dan arahnya tidak harus sama antara satu dengan yang lain. Dari definisi ini jelas bahwa tegangan pada suatu elemen mesin terjadi karena adanya beban yang bekerja pada elemen tersebut.

4.2. Pengaruh Beban Terhadap Kondisi Tegangan

Dalam analisis elemen mesin masing-masing jenis beban perlu dipelajari pengaruhnya terhadap tegangan, regangan, maupun deformasi yang ditimbulkan. Berdasarkan lokasi dan metoda aplikasi beban serta arah pembebanan, beban dapat diklasifikasikan menjadi : beban normal, beban geser, beban lentur, beban torsi, dan

beban kombinasi. Pengaruh jenis-jenis pembebanan tersebut terhadap tegangan,

regangan maupun defleksi elemen mesin dapat ditentukan secara analitik untuk komponen yang sederhana. Sedangkan untuk komponen yang kompleks, dapat digunakan metoda numerik maupun metoda eksperimental.

4.2.1. Kasus I : Beban uniaksial

Pembebanan uniaksial pada suatu elemen mesin sering terjadi pada suatu elemen mesin seperti ditunjukkan pada gambar 4.2. Tegangan yang terjadi pada elemen yang mendapat beban uniaksial adalah tegangan normal yang arahnya selalu tegak lurus penampang. Distribusi tegangan normal akibat ganya uniaksial dapat diasumsikan terdistribusi secara seragam. Formula sederhana untuk menghitung tegangan normal akibat beban uniaksial adalah

(4.2)

σ = A

dengan P = beban uniaksial dan A = luas penampang tegak lurus arah beban

Gambar 4.2 Distribusi tegangan normal akibat beban uniaksial

Untuk kondisi elastis linear, karakteristik beban dan deformasi pada beberapa jenis material ditunjukkan pada gambar 4.3.

Gambar 4.3 Karakteristik beban – deformasi benda elastis linear

Dari definisi tegangan dan regangan maka hubungan tegangan regangan elemen yang mengalami beban uniaksial dapat diformulasikan menjadi Hukum Hooke satu dimensi.

(4.3) ;

σ E = ε ε = L Perpindahan yang terjadi pada elemen yang mengalami beban uniaksial diilustrasikan pada gambar 4.4. Formulasi untuk menghitung perpindahan dapat dilakukan dari definisi deformasi δ = u − u dan dengan menggunakan hukum Hooke, maka

B A

dapat diturunkan bahwa

(4.4)

= (u − u ) = δ _{B A} AE

Gambar 4.4 Gaya dan perpindahan pada elemen yang mengalami beban uniaksial

Studi Kasus 1:

Pada gambar E.1, batang rigid DHC digantung pada kawat elastis AD dan BC (modulus elastisitas E, dimensi pada gambar). Beban P bekerja pada H. Berapa jarak x supaya batang rigid tetap horisontal? (Abaikan massa batang rigid dan kawat)

Gambar E.1 Contoh soal 1 f

4 F F

4 x

e Dari persamaan b dan e :

4A L F E A L F = ⇔ =

4 F E

AD ^AD ^{1 BC} ^{1 AD} F

Dari persamaan a dan b dan A BC =4A AD , didapat : _{AD BC}

c Supaya batang rigid tetap horisontal, maka u _C =u _D . d

⎝ ⎛ = AE

Penyelesaian Diagram benda bebas :

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

dan _AD

FL u _C

⎝ ⎛ = AE

BC ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

b Langkah selanjutnya adalah mencari deformasi pada C dan D (u C dan u D ).

( ) _{AD BC H} L xF x F H = − ⇔ = ∑

Gambar E.2 Diagram benda bebas P F F F _{BC AD y} = + ⇔ = ∑

x L x _AD _BC = ⇔ = =

4.2.2. Kasus II : Beban torsi

Beban torsi akan menimbulkan efek “puntiran” atau deformasi sudut (angular deformation) seperti ditunjukkan pada gambar 4.5. Poros adalah salah satu contoh elemen mesin yang mengalami beban puntir. Tegangan yang terjadi akibat beban torsi adalah tegangan geser dengan distribusi yang bervariasi linear dari titik tengah penampang ke permukaan.

Tegangan geser yang terjadi pada suatu elemen poros pada jarak r dari sumbu dan diakibatkan adanya torsi T, diformulasikan sebagai berikut :

(4.5)

τ = J

J adalah momen inersia polar, besarnya tergantung pada dimensi dan bentuk penampang. Nilai J untuk berbagai macam penampang bisa dilihat pada tabel 4.1.

Gambar 4.5 Poros penampang lingkaran dengan panjang L dan jari-jari a, diputar dengan torsi T

Elemen yang diberi beban torsi akan mengalami tegangan geser sebesar τ yang akan mengakibatkan terjadinya regangan geser sebesar γ, hubungannya seperti pada formulasi Hukum Hooke untuk tegangan geser berikut :

G τ = γ (4.6) dengan G=modulus geser,

( ) υ

2 E G

= Deformasi sudut yang diakibatkan adanya torsi bisa dilihat pada gambar 4.6.

Besarnya adalah :

GJ TL = Φ − Φ = Φ _{A B}

(4.7)

Tabel 4.1 Sifat penampangGambar 4.6 Sebuah poros dengan panjang L yang diberi beban torsi T

Studi Kasus 2:

Momen torsi bekerja pada poros 2 segmen, segmen AB dan BC seperti pada gambar. Masing-masing segmen berbeda material dan momen inersia polar. Tentukan :

Gambar E.3 Contoh soal 2

a. momen puntir masing-masing segmen,

b. deformasi sudut karena beban torsi, Penyelesaian Diagram benda bebas :

GJ T − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

( ) ( ) ( ) _{BC AB} ^AB ^BC L GJ L GJ L GJ T -

( ) ( ) ( ) _{BC AB} ^AB ^AB L GJ L GJ L GJ T T

e Dari b, c, dan e didapat momen torsi tiap segmen :

( ) ( ) _{BC AB L}

L GJ

d Dari persamaan a, b, c dan d, didapat :

= Φ = Φ _{C A}

c Karena poros fix di A dan C, maka :

⎝ ⎛ =

( ) _{B C} _BC _BC

Φ Φ

⎜ ⎝ ⎛ =

− ⎟ ⎠ ⎞

( ) _{A B} _AB _{AB Φ Φ} L GJ T

a Dari diagram benda bebas sebelah kanan :

T T T _{BC AB}

Pada bagian B :

Gambar E.4 Diagram benda bebas

= T Φ _B

= dan
=

Tanda minus pada T BC menandakan bahwa arahnya terbalik dari gambar diagram benda bebas.

4.2.3. Kasus III : Beban bending

Contoh sederhana pembebanan bending pada beam ditunjukkan pada gambar

4.7. Tegangan yang terjadi pada pembebanan momen bending M yang diakibatkan oleh beban P adalah tegangan normal dan tegangan geser. Besarnya tegangan normal yang terjadi bervariasi semakin membesar menjauhi sumbu netral dan besarnya adalah:

(4.8)

σ = x

I _z

y adalah jarak titik yang ditinjau dari sumbu netral, I adalah momen inersia, sedangkan A adalah luas penampang melintang beam. Nilai I untuk berbagai macam penampang bisa dilihat pada tabel 4.1.

Gambar 4.7 Beam dengan beban bending

Tegangan normal dan tegangan geser akibat beban bending ditunjukkan pada

gambar 4.8. Beban bending mengakibatkan terjadinya regangan seperti pada gambar

4.9. Besar regangan pada elemen beam berjarak y dari sumbu netral adalah :

Gambar 4.8 Beam dengan beban bending

My = −

ε _x (4.9)

EI _z

Gambar 4.9 Regangan yang terjadi pada beam

4.2.4. Kasus IV : Beban geser

Beban geser akan menimbulkan tegangan geser pada bidang yang sejajar dengan arah bekerjanya beban. Beban geser bisa ditemui pada elemen mesin paku keling seperti pada gambar 4.10. Diasumsikan beban geser terdistribusi merata pada bidang kerja, sehingga tegangan yang terjadi pada bidang itu nilainya seragam:

Gambar 4.10 Paku keling yang

dibebani dengan beban geser Tegangan geser yang diakibatkan adanya beban P pada sebuah paku keling dengan luas penampang A, diformulasikan sebagai berikut :

P P

(4.10)

= = τ A

Khusus pada pembebanan transversal pada beam, seperti pada gambar 4.11, akan terjadi kombinasi tegangan bending dan tegangan geser.

Gambar 4.11 Pembebanan pada beamGambar 4.12 Segmen beam

Dari gambar 4.12 di atas, besarnya tegangan geser dihitung :

F = F -F _{xy 2x 1x} ^{c c} ( M dM ) y My + b dx = dA − dA τ

∫ ∫ _y _{1 y} _c

I _{1 (4.11)}

I dM

1 = ydA τ

∫ dx Ib _y ₁

dengan b adalah tebal penampang. dM/dy adalah gaya geser pada setiap titik, V, sehingga :

ydA

= τ xy

(4.12)

∫ _c Ib _y ₁

dengan Q = ydA , maka ∫ _y ₁ VQ

= τ _xy

(4.13)

Untuk beam dengan penampang persegi panjang : _{c c} ₂

b ⎛ h

^{2 ⎞} Q = ydA = b ydy = − y _{1 (4.14)} ⎜⎜ ⎟⎟

∫ ∫ _y _{1 y} ₁

4 ⎝ ⎠

Sehingga : ₂ V ⎛ h ⎞

₂

τ = − y ₁ (4.15) ⎜⎜ ⎟⎟

2 I

4 ⎝ ⎠

Tegangan geser bervariasi seperti pada gambar 4.13. Pada y ₂ ₃ ^{1 =h/2, τ=0. Pada y} ^{1 =0,} τ max =Vh /8I. Untuk penampang persegi panjang, I=bh /12, sehingga :

3 V τ = (4.16) _max

2 A

Gambar 4.13 Distribusi tegangan geser pada beam persegi panjang

Studi Kasus 3:

Geometry “brake lever” sepeda diberikan pada gambar E.5. Rata-rata tangan manusia dapat menimbulkan gaya cengkeram sekitar 267 N. Tangan yang sangat kuat dapat memberikan gaya cengkeram sekitar 712 N. Diameter pin pivot 8 mm. Hitung tegangan pada posisi kritis pada brake lever.

Gambar E.5 Contoh soal 3

Idealisasi : Ö Kegagalan terjadi pada 2 lubang pin dan pada pangkal kantilever (brake lever) Ö Penampang berebentuk lingkaran Analisis :

a. Handle dimodelkan sebagai batang kantilever dengan diameter 14.3 mm, seperti pada gambar:

a b

Gambar E.6 Model handle sebagai batang kantilever

Dari studi kasus 3, bab 3, didapat R ^{1 =712 dan M} ^{1 =54.6 Nm.}

b. Buat DBB brake lever (Asumsi berat dan konsentrasi tegangan diabaikan)

Gambar E.7 Diagram benda bebas

Tegangan tarik bending pada pangkal kantilever akan maksimal pada sisi paling luar (titik P), nilainya :

. 0143 ⎛ ⎞ 54 .

6 Nm m ⎜ ⎟ My

2 ⎝ ⎠ = = = 190 MPa a σ _x ₄ I . 0143 _z π ( )

₄

c. Dihitung tegangan geser :

4V 4 712 N ( )

6 MPa τ = = = _xy ₂

3 14 .

3 π ( ) ²

4 Tegangan geser maksimal terjadi pada sumbu netral (titik Q). Tegangan utama

pada sisi luar bagian atas σ _{max =95 MPa.} ^{1 = σ x =190 MPa, σ} ^{2 = σ} ^{3 =0, sehingga dari lingkaran Mohr :} τ

Gambar E.8 Lingkaran Mohr

d. Dilakukan juga pengecekan pada lokasi lain yang memungkinkan terjadinya kegagalan, yaitu pada dua lubang pin. Material di antara 2 lubang harus di dicek terhadap 3 mode kegagalan, yaitu tegangan bearing, tegangan geser langsung dan tearout. e. Tegangan bearing yang terjadi adalah tekan, bekerja pada area proyeksi lubang. ₂ c

A = dia × ketebalan = 8 ×

2 ×

6 . 4 = 102 mm _bearing ( ) F ₁₂ 2993

σ = = = _bearing

30 MPa 102 A _bearing tearout bisa dilihat pada gambar :

f. Kegagalan Pada kasus ini, kegagalan terjadi pada area dengan ketebalan 4(6.4) mm dengan lebar 7.1 mm. ₂ e

A lebar ketebalan 7 .

4 6 . 4 181 mm _tearout = × = × ( × ) = F 2993 ₁₂

17 MPa τ = = = _tearout A 181 _tearout g. Tegangan bearing dan tearout yang terjadi kecil.

h. Kegagalan yang terjadi karena beban kabel adalah pada bagian C pada gambar E.7, Bagian ini dimodelkan sebagai batang kantilever dengan lebar penampang (25- 5)/2=10 mm dan lebar 5 mm (konservatif tanpa mempertimbangkan adanya kenaikan lebar karena adanya jari-jari lubang). Lengan momen diasumsikan sama dengan jari-jari pin, 4 mm. Gaya yang bekerja pada setengah lebarnya adalah setengah gaya total. Tegangan bending yang terjadi sebesar :

2858

5 ⎛ ⎞

⎜ ⎟

2 ⎝ ⎠ 137 MPa = = = g

σ x ₃ I _{z ( )}

12 Tegangan geser karena pembebanan transversal pada sumbu netral :

3V 3 2858 ( )

76 MPa τ = = = _xy

5 ( )( )

4.3. Tensor Tegangan

Vektor tegangan T yang bekerja pada bidang potongan imajiner dapat diuraikan sebagai berikut :

T = σ + i τ + j τ k

(4.17)

x xy xz

Gambar 4.14 Komponen tegangan pada bidang x-y

Komponen tegangan yang bekerja tegak lurus terhadap bidang disebut tegangan

normal, sedangkan komponen yang bekerja dalam arah bidang kerja disebut tegangan

geser.

Jika potongan imajiner dilakukan untuk bidang-bidang yang lain maka akan didapatkan elemen tegangan 3 dimensi seperti ditunjukkan pada gambar 4.15. Komponen-komponen tegangan yang lengkap untuk tiga dimensi adalah merupakan

tensor orde 2. Tensor tegangan untuk elemen tiga dimensi dapat dituliskan dalam bentuk

matrik pada persamaan 4.18.

⎡ ⎤ σ τ τ _{x xy xz} ⎢ ⎥ = σ τ σ τ (4.18) _{ij yx y yz} ⎢ ⎥

⎢ ⎥ τ zx τ zy σ z ⎣ ⎦

Gambar 4.15 Komponen tegangan tiga dimensi

Subskrip untuk tegangan normal adalah menandakan arah tegangan. Sedangkan untuk tegangan geser subskrip pertama menandakan bidang kerja tegangan, dan subskrip kedua menandakan arah tegangan. Konvensi tanda untuk tegangan adalah sebagai berikut : Ö Tegangan normal berhaga positif jika arahnya keluar dari bidang (tarik), dan berharga negatif untuk sebaliknya Ö Tegangan geser berharga positif jika : _o _o Pada bidang positif searah sumbu positif Pada bidang negatif searah sumbu negatif.

4.4. Tegangan Bidang (Plane Stress)

Umumnya elemen mesin mengalami kondisi tegangan tiga dimensi, tetapi untuk beberapa kasus terdapat elemen yang bisa diidealisasikan dengan kondisi tegangan dalam bidang dua dimensi. Untuk kondisi plane stress ini, semua tegangan tegak lurus bidang berharga nol ( σ z = τ xz = τ yz = 0). Contohnya adalah elemen pelat yang mendapat beban pada bidang pelat sendiri, tegangan pada elemen tipis seperti straingage, dll. Untuk tegangan bidang x-y, tensor tegangan dapat disederhanakan menjadi

⎡ σ τ ⎤ _{x xy} = σ _ij

(4.19)

⎢ ⎥ τ yx σ y ⎣ ⎦

Gambar 4.16 Elemen tegangan bidang (plane stress x-y)

4.5. Tegangan Utama

Untuk menentukan kekuatan suatu elemen mesin maka diketahui tegangan maksimum yang terjadi pada elemen tersebut. Nilai atau besar suatu tegangan pada elemen tegangan sangat tergantung pada orientasi dari sistem koordinat. Pada suatu orientasi tertentu terdapat kondisi dimana tegangan normal berharga maksimum dan

Gambar 4.17 Tegangan utama

tiga dimensi

semua tegangan geser berharga nol. Kondisi ini disebut dengan Principal stress atau

tegangan utama. Nilai tegangan utama dan orientasinya dapat ditentukan dari

persamaan karakteristik berikut :

⎡ ⎤ n σ − σ τ τ ⎧ ⎫ _{x p xy xz x} ⎢ ⎥ ⎪ ⎪

(4.20)

n τ σ − σ τ = _{yx y p yz y} ⎨ ⎬

⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ n

τ τ σ − σ _{zx zy y p z} ⎩ ⎭ ⎣ ⎦

n (normal terhadap principal plane). Supaya

dimana n x , n y , n z adalah arah cosinus vektor persamaan (4.20) memiliki solusi maka determinant matrik koefisien haruslah bernilai nol. Dengan demikian maka nilai tegangan utama dapat dihitung dari akar persamaan pangkat tiga berikut

I ² I − ¹ I = σ σ σ _p _{1 p} _{2 p} ₃

(4.21)

dengan

σ σ σ ₂ ₂ ₂ I _{2 σ x σ y σ x σ z σ y σ z τ xy τ xz τ yz} = − − − + + σ x τ xy τ xz I = _{3 xy y yz} τ σ τ τ τ σ _{xz yz z}

= _{1 x y z}

Setelah nilai tegangan utama didapatkan ( p1 , p2 , p3 ) maka arah orientasi tegangan σ σ σ utama (n x , n y , n z ) dapat dihitung dengan memasukkan nilai tegangan utama ke persamaan (4.20). Arah ketiga tegangan utama pasti saling tegak lurus.

Tegangan geser maksimum atau sering disebut “ tegangan utama geser” dapat dihitung dengan menggunakan persamaan

σ − σ σ − σ σ − σ

(4.22)

τ = τ = τ =

2 Perlu dicatat bahwa pada saat tegangan geser bernilai maksimum, tegangan normal

belum tentu bernilai nol. Orientasi tegangan geser maksimum adalah 45 terhadap arah tegangan utama.

Untuk kasus tegangan bidang (2D), persamaan (4.21) diatas dapat disederhanakan menjadi ₂

− σ σ ⎛ σ σ ⎞ _{x y x y}

₂

(4.23)

= ± σ τ _{1,2 xy} ⎜⎜ ⎟⎟

2 ⎝ ⎠

dan orientasi tegangan utama adalah

⎛

2 ⎞

^{1 xy}

⎜ ⎟ (4.24) tan = θ p

⎜ ⎟

+
2
σ x σ y

⎝ ⎠

Sedangkan tegangan geser maksimum untuk kasus dua dimensi juga dapat disederhanakan menjadi : ₂

− ⎛ − ⎞

_{x y}

₂

1 − ¹

⎜ ⎟ = = tan −

(4.25)

^{x y}

_{max xy s}

⎜ ⎟

2 τ _xy ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4.6. Lingkaran Mohr

Untuk memberikan gambaran kondisi tegangan pada berbagai arah dalam bentuk grafis, Otto Mohr (1914) memperkenalkan Mohr’s Circle. Lingkaran Mohr ini sangat reperestatif untuk kondisi tegangan dua dimensi. Sedangkan untuk kasus tiga dimensi, lingkaran Mohr cukup kompleks kecuali untuk kasus-kasus tertentu seperti misalnya saat salah satu tegangan utama berhimpit dengan salah satu sumbu koordinat.

Langkah-langkah untuk menggambar Lingkaran Mohr (lihat gambar 4.19) adalah sebagai berikut :

1. Hitung kondisi tegangan dua dimensi untuk mendapatkan nilai x , y , xy σ σ τ

2. Buat sumbu datar σ dan sumbu vertikal τ

σ + σ ⎛ ⎞ x y

3. Buat titik pusat lingkaran Mohr

2 ⎝ ⎠

4. Buat dua titik yang saling berlawanan yaitu ( σ x , - τ xy ) dan ( σ y , τ xy ). Lingkaran dapat digambar dengan titik pusat pada step 2

5. Radius lingkaran dapat dihitung dengan persamaan

(4.26)

r = τ _xy ⎜⎜ ⎟⎟ 2 ⎝ ⎠

6. Tegangan utama terletak pada posisi garis lingkaran memotong sumbu σ (σ ^{1 , σ} ^{2 )}

7. Tegangan geser maksimum sama dengan radius lingkaran

8. Sudut orientasi tegangan utama adalah = setengah dari sudut yang dibentuk oleh garis yang menghubungkan titik ( σ x , - τ xy ) dan ( σ y , τ xy ) dengan sumbu datar

9. Untuk mendapatkan nilai tegangan pada arah tertentu ( φ) : gambar busur 2φ dari garis yang menghubungkan titik ( σ x , - τ xy ) dan ( σ y , τ xy ).

4.7. Konsentrasi Tegangan

Adanya diskontinuitas geometri pada elemen mesin seperti lubang, fillet, notch, inclusi dan lain-lain akan menaikkan nilai tegangan yang terjadi disekitar diskontinuitas tersebut. Gambar 4.20 menunjukkan distribusi tegangan disekitar pelat yang berlubang dan diberi beban tarik. Diskontinuitas ini sering disebut stress raiser dan kenaikan nilai tegangan ini diberi istilah stress concentration (konsentrasi tegangan). Parameter yang digunakan untuk merepresentasikan konsentrasi tegangan adalah Faktor Konsentrasi

Tegangan (K _{c ) dengan definisi :} Tegangan maksimum yang terjadi K _c =

(4.27)

Tegangan nominal

Nilai tegangan maksimum yang terjadi pada bagian diskontinuitas sangat sulit untuk dihitung secara analitik. Metoda yang umum untuk analisis tegangan pada stress raiser adalah metoda numerik (Finite Element method, Boundary Element Method), dan metoda ekperimental seperti photoelastic, straingage dan lain-lain.

Tegangan disekitar pelat berlubang yang mendapat beban tarik

Untuk memudahkan penggunaan aspek kosentrasi tegangan oleh para engineer dalam perancangan elemen mesin, faktor konsentrasi tegangan telah dibuat dalam bentuk grafik. Grafik konsentrasi tegangan pertama dibuat oleh Peterson (1951). Parameter-parameter geometri dibuat dalam varibel non dimensional. Beberapa grafik faktor konsentrasi tegangan yang umum digunakan dalam perancangan elemen mesin untuk berbagai pembebanan ditunjukkan pada gambar 4.21-4.24.

Studi Kasus 4:

Plat datar terbuat dari material britle, tinggi mayor H=4.5 in., tinggi minor h=2.5 in., Jari-jari fillet r=0.5 in. Tentukan Faktor konsentrasi tegangan dan tegangan maksimal untuk kondisi :

a. Pembebanan aksial,

b. Bending murni, c. Pembebanan aksial dengan jari-jari fillet dirubah menjadi 0.25 in.

Analisis :

a. Pembebanan aksial 4 .

5 .

5 H r = = 1 . 8 = = .

2 h 2 . 5 h 2 .

5 Dari gambar 4.22-a, K c =1.8. Dari persamaan 4.27, Tegangan maksimalnya adalah :

8 P

⎛ ⎞

8 σ = = _max

⎜ ⎟

A bh

⎝ ⎠

b. Bending murni. Dari gambar 4.22-b, K c =1.5. Tegangan maksimalnya adalah :

9 M = 1 .

5 M =

_max

₂

bh bh

1 = = h 2 .

2 P σ = _max bh

Bisa dilihat, dengan mengurangi jari-jari fillet menjadi setengahnya, akan menaikkan tegangan maksimal satu stengah kalinya.

4.8. Regangan Elastis

Benda elastis yang mendapat beban-beban luar seperti ditunjukkan pada gambar 4.1 akan mengalami deformasi. Nilai deformasi dibagi dengan dimensi awal benda sebelum dibebani didefinisikan sebagai Regangan (strain). Parameter regangan sangat penting dalam dunia teknik karena dapat diukur langsung dalam eksperimen. Sedangkan tegangan adalah paremeter yang tidak dapat diukur secara langsung dari eksperimen.

Dengan menggunakan hubungan tegangan-regangan selanjutnya akan dapat ditentukan tegangan yang terjadi pada komponen mesin.

Jika sebuah benda isotropik dan elastis linear seperti ditunjukkan pada gambar 4.25 diberikan beban tarik dalam arah sumbu x (uniaksial), maka benda tersebut akan mengalami deformasi dalam arah x (memanjang) dan arah y, z (memendek). Jadi regangan normal dapat didefinisikan sebagai

dx dy dz

ε = Lim ε = Lim ε = Lim

(4.28)

x y z → → →

x y z

regangan untuk benda yang mengalami beban tarik uniaksial

Jika benda isotropik pada gambar 4.25 diberi beban geser murni dalam pada bidang y dalam arah x, maka benda tersebut hanya akan mengalami deformasi geser seperti ditunjukkan pada gambar 4.26. Dari deformasi geser tersebut didefinisikan

regangan geser atau shear strain

γ = Lim = tan θ ≈ θ

(4.29)

xy → y

Dengan cara yang sama, regangan γ xz dan γ yz dapat ditentukan dengan memberikan beban geser murni dalam arah y dan z.

mengalami regangan geser murni

Dari definisi di atas, jelaslah bahwa strain adalah tensor orde dua sehingga dapat dituliskan dalam bentuk

⎡ ⎤

ε γ γ

xx xy xz

⎢ ⎥

(4.30)

ij yx yy yz

⎢ ⎥

γ γ ε

zx zy zz

⎣ ⎦

dengan menggunakan prinsip kesetimbangan selanjutnya dapat dibuktikan bahwa γ xz = γ zx dan γ yz = γ zy sehingga tensor regangan untuk 3 dimensi juga memiliki 6 komponen. Untuk kasus regangan 2 dimensi yang juga disebut regangan bidang ( plain strain), elemen regangan ditunjukkan pada gambar 4.27. Tensor regangan dapat disederhanakan menjadi

ε γ ⎡ ⎤ xx xy

ε =

(4.31)

ij ⎢ ⎥ γ ε yx yy

⎣ ⎦

Nilai regangan maksimum serta arahnya untuk suatu elemen regangan dapat dicari dengan menggunakan lingakaran Mohr seperti pada analisis tegangan.

4.9. Hubungan Tegangan-Regangan

Hubungan antara tegangan dan regangan untuk benda elastis linear pertama kali diusulkan oleh Hooke, sehingga sering disebut dengan hukum Hooke. Untuk kasus regangan bidang hukum Hooke dapat dituliskan

1 xy

ε = σ − ν ( σ ) γ = σ + [ ] x x y z xy

E G 1 τ

(4.32)

ε = σ − ν ( σ σ ) γ = [ ] y y x z xz

E G τ

ε = σ − ν ( σ σ ) γ = [ ] z z x y yz

E G

= _{xy xy} G γ τ = λe
= _{yz yz} G γ τ =

(4.35)

dengan E adalah modulus elastisitas dan G adalah modulus geser. Hubungan modulus geser dan modulus elastisitas adalah

) ( ν +

2 E G

(4.33) Dalam analisis eksperimental, parameter yang dapat diukur adalah regangan. Regangan biasanya diukur dengan straingage. Dengan demikian formula (4.32) perlu diubah menjadi

λe

2G ε σ _{xx x}

= _{xz xz} G γ τ = (4.34) λe

2G ε σ _{yy y}

2G ε σ zz z

dengan e adalah dilatasi dan λ konstanta Lame :

zz yy xx e ε + ε + ε =

1 E

2 ij

2. Tentukanlah nilai dan arah tegangan utama untuk kondisi tegangan berikut (satuan Mpa). Untuk material baja (E = 210 Gpa, ν = 0,3) tentukanlah juga kondisi regangan dan regangan utama benda tersebut.

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎢ ⎣ ⎡

− − − = σ

8 ij

= σ

Soal-Soal Latihan

1. Untuk kondisi tegangan dibawah ini, gambarlah diagram Mohr, tentukan tegangan utama normal dan geser, serta gambarkan elemen tegangan (satuan Mpa).

⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡ = σ

12 ij b.

⎣ ⎡ − − − −

) )( ( ν − ν + ν = λ

⎣ ⎡

−

16 ij c.

⎥ ⎦ ⎤ ⎢

3. Sebuah hook terbuat dengan penampang dan geometri seperti ditunjukkan pada gambar. Tentukanlah nilai dan arah tegangan pada bagian dalam dan bagian luar penampang A-A jika beban F yang diberikan adalah 1000 lb. (asumsi tidak ada konsentrasi tegangan).

4. Papan loncat indah menggunakan konstruksi (a) overhang dan (b) cantilever seperti ditunjukkan pada gambar. Tentukanlah tegangan utama yang maksimum pada konstruksi papan jika orang dengan berat 100 kg berdiri diujung papan. Diketahui penampang papan adalah 305 mm x 32 mm, dan modulus elastisitas papan papan adalah E = 10,3 Gpa. Berapakah defleksi maksimum papan ?

5. Sebuah poros mendapat beban tarik, torsi, dan beban melintang seperti pada gambar. Tentukanlah konsentrasi tegangan dan tegangan utama pada bagian poros yang mengalami diskontinuitas.

6. Sebuah “hand crank” mendapat beban statik seperti ditunjukkan pada gambar.

Tentukanlah lokasi dimana terjadi tegangan maksimum. Gambarkan elemen tegangan dan buat diagram Mohr. (asumsi tidak ada konsentrasi tegangan)

7. Sebuah pelat dengan dimensi seperti pada gambar mendapat beban momen M = 300 Nm dan gaya tarik P = 150 kN. Tentukanlah kondisi tegangan pada bagian yang mengalami konsentrasi tegangan. Tentukan juga kondisi regangan yang terjadi.

8. Tentukanlah perpindahan angular dan perpindahan linear pada elemen mesin berikut :

9. Poros dibebani secara aksial seperti pada gambar. Pada segmen yang manakah rata- rata tegangan tekan sama dengan P/A? Pada segmen yang manakah tegangan tekan maksimal sama dengan P/A?

10. Potongan AA sebuah crane hook dianggap berbentuk trapezoidal dengan dimensi seperti pada gambar.

Tentukan resultan tegangan (bending dan tarik) pada titik P dan Q.

11. Poros ditumpu bearing pada lokasi A dan B dan dibebani dangan gaya ke bawah sebesar 1000 N, seperti pada gambar. Tentukan tegangan maksimal pada fillet poros. Fillet berjarak 70 mm dari B.

12. Gambar kondisi tegangan utama dan tegangan geser maksimal secara analitik dan cek hasilnya dengan menggunakan lingkaran Mohr, untuk : σ x σ y σ z τ xy τ yz τ zx a 0 -1500 750 0 0 b 750 500 250 500 0

13. Clamping fixture digunakan untuk membebani sebuah batang hingga mencapai tegangan tarik sebesar 30 kpsi dan disambungkan pada hydrolic ram, dengan menggunakan sambungan clevis. Sambungan clevis seperti pada gambar. Tentukan diameter pin clevis untuk menahan beban yang terjadi. Asumsikan tegangan geser ijin dan tegangan normal ijin masing-masing sebesar 40000 psi. Tentukan pula diameter luar ujung clevis supaya tegangan tearout dan bearing yang terjadi tidak melebihi tegangan ijin jika tebal flens clevis masing- masing 0.8 in.

14. Dua macam kunci roda digunakan untuk mengencangkan mur roda, yaitu kunci roda berbentuk L (a) dan berbentuk T (b). Untuk mengencangkan mur roda dengan masing-masing bentuk, digunakan 2 buah tangan, A dan B, seperti pada gambar. Untuk kedua bentuk, jarak A dan B 1 ft, diameter pemegang 0.625 in. Dibutuhkan 70 ft-lb untuk mengencangkan mur roda. Hitung tegangan utama maksimal dan defleksi maksimal masing-masing bentuk.

15. Sebuah bracket seperti pada gambar dengan data pada tabel, tentukan tegangan bending pada titik A dan tegangan geser karena beban transversal pada titik B. Tentukan juga tegangan geser karena beban torsi pada kedua titik. Tentukan juga tegangan utama pada titik A dan B. catatan (satuan panjang mm; gaya N)

l a t h F OD

ID E a 100 400 10 20 50 20 14 steel b 70 200 6 80 85 20 6 steel

BAB IV TEGANGAN, REGANGAN, DAN DEFLEKSI - BAB 04 Tegangan Regangan defleksi _hari_