FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

1. RELASI DAN FUNGSI

2. Dengan himpunan pasangan berurutan R:{(1,2),(2,3),(3,4)}

A B Himpunan A disebut daerah asal (domain) 1 a Himpunan B disebut daerah kawan (kodomain) 2 b 3 c Himpunan {a,b,c} disebut daerah hasil (Range) d e



dan x A



4. Dengan rumus y = x + 1 jika y B

1 A 1 2 3

3. Dengan grafik/diagram B

Relasi himpunan A ke himpunan B yaitu korespondensi/hubungan semua anggota A dengan semua anggota B. Relasi khusus yang menghubungkan setiap anggota himpunan A dengan tepat ke satu anggota himpunan B disebut fungsi/pemetaan dari himpunan A ke B.

Cara menyatakan relasi ada 4 cara, yaitu :

A B

4. Dengan rumus Contoh 1: Diketahui himpunan A:{1,2,3) dan B:{1,2,3,4,5}. Nyatakan relasi “kurang satu dari” dari himpunan A ke himpunan B dengan 4 cara di atas ! Jawab : 1. Dengan diagram panah

3. Dengan grafik/diagram

2. Dengan himpunan pasangan berurutan

1. Dengan diagram panah

Tidak semua daerah asal (Df) dan daerah hasil (Rf) terdefinisi. Misal a hanya terdefinisi jika

a a  0 dan pecahan terdefinisi jika b  0 b

Contoh 2: Tentukan Df dan Rf yang terdefinisi dari fungsi :

x 

a) f(x) = x  3

b) f(x) =

 2 x

3 Jawab : a) f(x) = x  3 terdefinisi jika x   3 0 atau .....

Jadi Df : {x/........…….. } Karena a  0 maka Rf : {y/…….........}

 x

1 b) f(x) = terdefinisi jika x   atau ......

2 3 0  2 x

3 Jadi Df:{x/.………...... }   x 1 x

f(x) =  y =

  2 x 3 2 x

3  y(2x -3) = x + 1  2xy - 3y = x + 1  2xy - x = 3y + 1  x(2y - 1) = 3y + 1 

3 y

1 

x =

 2 y

1   Syarat pecahan di atas terdefinisi jika ........... atau y ......

Jadi Rf:{y/.....………. }

LATIHAN SOAL

1. Nyatakan relasi berikut dengan rumus ! A B

a. -1 -1

b. R : {(-3,-3),(-2,-1),(-1,1),(0,3),(1,5),(2,7)}

c. Y

3 X 2 4 7

2. Mana yang merupakan fungsi ? Beri alasannya ! A B A B f A B f a. 1 a

d. y =

x  



c. y =

  x

x x

5. Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari :

2  4 

e. y = x  2 f.

2  

 x x x y

a. Fungsi Konstan Suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi konstan jika setiap elemen himpunan A berpasangan dengan tepat dengan sebuah elemen himpunan B.

Fungsi konstan secara umum dinyatakan dengan y = f(x) = c, dengan c konstanta dan R x  .

a. y = x + 1 b. y x

0 X 0 X 0 X

b. 1 f c. 1 a 2 b 2 a 2 b 3 c 3 b 3 c 4 d 4 c 4 d

2 1 

3. Mana yang merupakan fungsi di bawah ini ? Beri alasannya !

a. R : {(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4)}

b. R : {(1,2),(3,4),(5,6),(7,8)}

c. R : {(0,0),(1,1),(2,2),(3,3)}

d. R : {(-1,1),(1,3),(2,4),(1,5)}

4. Mana yang merupakan fungsi di bawah ini ? Beri alasannya !

a. Y b. Y y =

y = x + 1

4  

X X

c. y x

1   

d. e Y Y Y

x y 

x y

2. MACAM-MACAM FUNGSI

Contoh 1: Lukislah garis y = 5 Jawab : Y

b. Fungsi Identitas Suatu fungsi disebut fungsi identitas jika untuk setiap anggota daerah asal dipasangkan dengan dirinya sendiri di daerah kawan.

Secara umum dapat dinyatakan dengan y = f(x) = x

c. Fungsi Modulus (Mutlak) Suatu fungsi disebut fungsi modulus jika setiap anggota daerah asal dipasangkan ke harga modulus/mutlaknya di daerah kawan.

Secara umum dapat dinyatakan dengan y = f(x) = x dibaca “harga mutlak x” yang besarnya :

x ,   x jika x

 x

   x , jika x



Misal :

2 

2 0       3 (

3 )

3 Contoh 2: Lukislah kurva y = 2  x

5 Jawab : Dengan menggunakan bantuan tabel :

1 2 2,5

5 y … … … … … … … Kurvanya : Y

X d. Fungsi Linear Fungsi linear yaitu fungsi yang berderajat satu atau pangkat tertinggi dari variabel/peubahnya hanya satu.

Secara umum dapat dinyatakan dengan y = f(x) = mx + c, dimana m adalah gradien/arah/kemiringan garis dan c adalah konstanta. Fungsi linear berupa garis lurus. Contoh 3: Lukislah garis y = 2x + 3 Jawab : Untuk melukis suatu garis tertentu syaratnya minimal diketahui dua titik.

Misal x = 0 maka y = …. atau melalui titik ( … , … ) Misal y = 0 maka x = …. atau melalui titik ( … , … ) Y

0 X

e. Fungsi Kuadrat Fungsi kuadrat yaitu suatu fungsi yang berderajat dua atau pangkat tertingi dari variabelnya dua.

2    

Secara umum dapat dinyatakan dengan y = f(x) = ax bx c , dimana a , a , b , c R

2   

Contoh 4: Lukislah kurva y x x

8 Jawab : Cara melukisnya :

1. Titik potong dengan sumbu X jika y = …

2      x x

2 8 (......... ...)(..... ........)

x = … , x = …

2. Titik potong dengan sumbu Y jika x = … y = ….

3. Titik Puncak = TP = ( …. , ….. ) = ….

4. Beberapa titik bantu jika perlu.

X -2 -1

4 Y … … … … … … … Kurvanya :

0 X

3. SIFAT-SIFAT FUNGSI

Sifat-sifat fungsi ada 4 , yaitu :

1 A a f a f maka a a a a

LATIHAN SOAL

2 x untuk x x untuk x x untuk x y

2    x y h.

   

   5 ,

6 5 ,1 x untuk x untuk x y i.

      

    6 ,

6 3 , 3 ,

  

Misalkan diketahui dua fungsi f(x) dan g(x) yang akan dioperasikan secara aljabar, maka berlaku sifat-sifat sebagai berikut : 1.  

) ( ) ( ) ( x g x f x g f    2. ) ( ) ( ) )( ( x g x f x g f

3. ) ( ). ( ) )( . ( x g x f x g f



4. ) ( ,

) ( ) ( ) (  

   

  x g x g x f x g f

Contoh 1: Diketahui f(x) = x + 2 dan g(x) = 2x – 1. Tentukan :

3 g.

a. Fungsi Injektif (Satu-satu) Jika ) ( ) ( , ,

  

b. Fungsi Surjektif (Onto) Jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f sama dengan himpunan B (daerah kawan).

c. Fungsi Bijektif (Korespondensi Satu-satu) Jika dan hanya jika fungsi f bersifat injektif dan surjektif.

1. Fungsi-fungsi berikut termasuk fungsi into, fungsi onto, fungsi satu-satu atau fungsi korespondensi satu-satu dari : a. 1 a b. 1 a c. 1 a d. 1 a 2 b

2 b 2 b 2 b 3 c 3 c 3 c 3 c d

2. Lukislah fungsi-fungsi berikut ini : a.

4 f. y x  

2 3   x y b.

4   y x c.

5  y d. y x x   

e. y x x

  

4. ALJABAR FUNGSI

  f

a. (f + g)(x)

b. (f – g)(x)

c. (f x g)(x)

d. (x )

  g

  Jawab : a. (f + g)(x) = ….

b. (f – g)(x) = ….

c. (f x g)(x) = ….

  f d. (x ) = ….

  g

 

LATIHAN SOAL

1. Tentukan rumus f + g, f – g , g – f dan f x g, untuk f dan g pada R dengan ketentuan sebagai berikut : f(x) = 2x + 3 , g(x) = 3 – 5x

f f

2. Tentukan lalu tentukan domainnya agar merupakan fungsi dari :

g g

a. f(x) = 2 – 3x, g(x) = 3 + 5x

b. f(x) = x, g(x) = x  x

2 

c. f(x) = x

1 , g(x) = x + 1

3. Jika f(x) = 2x – 5 dan g(x) = x + 7 dengan f dan g fungsi-fungsi pada bilangan real, maka tentukan :

a. rumus f + g, g – f dan f x g

b. (f + g)(5), (f – g)(2) dan (f x g)(-1)

c. Gambar grafik f + g, g – f dan f x g

4. Fungsi f(x), g(x) dan h(x) di definisikan sebagai berikut : f(x) = {(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)} g(x) = {(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)} h(x) = {(2,1),(3,2),(4,3),(5,4)} Tentukan :

a. f + g, f + h dan g + h

b. f – g, f – h dan g – h

c. f x g, f x h dan g x h

5. FUNGSI KOMPOSISI Fungsi komposisi berarti gabungan dari beberapa fungsi.

f g f memetakan x ke y ditulis y = f(x) x y z g memetakan y ke z ditulis z = g(y) h memetakan x ke z ditulis z = h(x) h h merupakan komposisi dari fungsi f dilanjutkan g ditulis h = g o f dibaca “g noktah f” atau “g bundaran f” z = h(x) = g(y) = g(f(x)) Karena h(x) = (gof)(x), maka : (gof)(x) = g(f(x))

Begitupun untuk komposisi tiga fungsi akan berlaku :

(gofoh)(x) = g(f(h(x)))

Contoh 1: Jika f(x) = 2x-1 , g(x) = 3x+4 dan h(x) = 3 , maka tentukan : x

a) (fog)(x) b) (fogoh)(x) c) (goh)(-2) Jawab : a) (fog)(x) = …….

b) (fogoh)(x) = ……….

c) (goh)(-2) = g(h(-2)) = ....……….. Contoh 2: Diketahui f(x) = 2x-1 dan (fog)(x) = 6x+5, maka tentukan g(x) ! Jawab : (fog)(x) = f(g(x)) .... = ....

………….

2 Contoh 3: Diketahui f(x) = 3x-2 dan (gof)(x) = 9 x  12 x  7 , maka tentukan g(x) !

Jawab : (gof)(x) = g(f(x)) ... = ....

Misal y = ....  x = .... Sehingga : g(y) = .....

= ..... Jadi g(x) = ....

LATIHAN SOAL

2 

1. Jika f(x) = 5x - 3, g(x) = dan h(x) =

2 x 1 , maka tentukan : x 

a. (foh)(x)

b. (hog)(2)

c. (fogoh)(x)

d. (gofoh)(x)

e. (hofog)(2)

f. (gohof)( )

2. Tentukan : a. Jika f(x) = 4x + 3 dan (fog)(x) = 5x - 1, maka g(x) = ....

b. Jika g(x) = 2x - 3 dan (fog)(x) = 10x+7, maka f(x) = ....

c. Jika f(x) = 2x + 1 dan (gof)(x) =

12  12  1 , maka g(x) = .... x x

d. Jika g(x) = 3x - 5 dan (gof)(x) =

3  9  5 , maka f(x) = .... x x

e. Jika g(x) = x   x

1 dan (gof)(x) = x  5 x  5 , maka f(x) = ....

2  

3. Jika f(x) = 3 - 2x, h(x) = x

2 x 2 dan (hof)(a) = 37, maka tentukan a !

4. Diketahui f(x) = 3x – 4 dan g(x) = 2x + p . Apabila f o g = g o f , maka tentukan nilai p !

2  

5. Jika f(x) = x + 2 dan (gof) (x) =

2 x 4 x 1 , maka tentukan g(2x) !

6. SIFAT-SIFAT FUNGSI KOMPOSISI

Untuk mengetahui sifat-sifat fungsi komposisi, kita gunakan contoh-contoh berikut :

Contoh 1: Misal f(x) = 3x + 2 dan g(x) = x – 1. Tentukan :

a. (fog)(x)

b. (gof)(x) Jawab : a. (fog)(x) = ….

b. (gof)(x) = ….

Jadi bersifat : ….

2 Contoh 2: Jika f(x) = x , g(x) = 2x – 2 dan h(x) = 3x, maka tentukan :

a. ((fog)oh)(x)

b. (fo(goh))(x) Jawab : a. (fog)(x) = … ((fog)oh)(x) = ….

b. (goh)(x) = …. (fo(goh))(x) = ….

Jadi bersifat : …. Contoh 3: Jika f(x) = 2x + 1 dan I(x) = x, maka tentukan :

a. (foI)(x)

b. (Iof)(x) Jawab : a. (foI)(x) = ….

b. (Iof)(x) = ….

Jadi bersifat : …..

LATIHAN SOAL

2 

1. Jika f(x) = 4x - 3, g(x) = , h(x) = x dan I(x) = x, maka buktikan :

x  

a. fog gof b. foh hof c. fo(goh) = (fog)oh

d. go(hof) = (goh)of e. goI = Iog = g f. hoI = Ioh = h

2. Jika f(x) = 10x - 1, g(x) = 3x + 4 dan h(x) = , maka buktikan :



 

a. (fog)(2) (gof)(2) b. (foh)(-1) (hof)(-1)

c. ((fog)oh)(1) = (fo(goh))(1) d. (ho(gof))(m) = ((hog)of)(m)

3. Jika f(x) = 2x + 3, g(x) =

5 x  1 dan h(x) = 6 x  , maka buktikan :

a. (foh) (2)  (hof) (2)

b. (gof) (-1)  (fog) (-1)

c. ((hog)of) (3) = (ho(gof)) (3)

d. (fo(goh)) (s) = ((fog)oh) (s)

7. INVERS SUATU FUNGSI

Perhatikan gambar berikut ini : A B

y merupakan peta dari x oleh fungsi f dan x merupakan



f peta dari y oleh fungsi f maka dikatakan fungsi f dan



1 x y f saling invers. 

1 f



1 Jadi y = f(x) dan x = f y ( )

 1 

1 Sifat invers : fof   x  f of x    I x ( )     Syarat fungsi mempunyai invers jika fungsi itu korespondensi satu-satu.

Cara menentukan invers dari y = f(x) :

1. Ubah y = f(x) menjadi x = g(y)



1 

2. Ubah x = g(y) menjadi f y g y

( ) ( )

3. Ubah y dengan x Contoh 1: Tentukan invers dari y = 5x + 3

 Jawab : y = 5x + 3 5x = ....

x = ....



1  f y .... ( )



1 f x 

( )  3 x

1 

Contoh 2: Tentukan invers dari y

3  2 x 3 x  1  

Jawab : y y( ..... ) = 3x - 1

3  2 x ................ = ..........

................ = .......... x ( ...... ) = ..... x = .....



1  f ( x ) ........

5 Contoh 3: Jika f(x) = , maka tentukan daerah asal dan daerah hasil f ! 

1 x

5  Jawab : f(x) = y = .....



1 x .... = ....

x = .... Jadi daerah asal Df:{x/ ..... } dan daerah hasil Rf: {y/ ....... }

LATIHAN SOAL

1. Tentukan invers dari :



a. f(x) = 4x + 5

e. f(x) =

x 



2 5 x

1 

b. f(x) = x

f. f(x) =

3 3  2 x

3 5 

c. f(x) =

g. f(x) =

4 x  2 x 

3 2  x 5

2 x 

1 

d. f(x) =

h. f(x) =

4 

5 x

2 

1  

2. Jika f(x) =

5 , maka tentukan f ( 2 ) 

3 x



1 2  

3. Jika f(x) = ( x

4 ) dan f a , maka tentukan a ! ( )

4. Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari :

5  x

2  

a. f ( x ) 

b. f ( x )  x 

c. f x x x

( )

4  x

8. INVERS FUNGSI KOMPOSISI

A g o f C



1  1 



B   gof f og f g



1  1 



x y z   fog g of

 

1 f g

1    gof

Contoh 1: Jika f(x) = 5x - 3 dan g(x) = 2 + 4x, maka tentukan :



1  

a)     fog x

b) g of x

  ( )

Jawab : a) fog x  f g x

      

= f(...........) = ....... y = .... x = .....



1     fog x  ......

b) f(x) = 5x - 3 g(x) = 2 + 4x y = 5x - 3 y = 2 + 4x x = .... x = ....

 

  f x g x ( ) ..... ( ) .....

 

1 g of x   ( ) = .....



1 

3 Contoh 2: Diketahui f ( x ) dan g(x) = 4x - 1. Tentukan fog     x 



Jawab :    fog x f  g   x  = ...... y = ..... ...... = .... x = .....

1       fog x ......



1  fog 3 ......

    LATIHAN SOAL

1. Jika f(x) = 2x + 1 dan g(x) = 6x - 7, maka tentukan :

     

a. ( gof ) ( x )

b. ( g of )( x )

c. ( f og )( x )

d. ( fog ) (

5 ) 

1 1   

2. Jika f(x) = x

3 dan ( gof ) ( x ) x 2 , maka tentukan g(x) !

2 

1  

3. Jika f(x) = 3 + 2x, g(x) = 2 + x dan h(x) = 2x, maka tentukan x jika fogoh x

( ) ( )

4. Diketahui f(x) =

5 x  5 dan g(x) = 2x - 3. Tentukan :   

1 fog x g of x

a. ( ) ( )

b. ( )( )



1 1 

5. Jika f(x) = 3x dan g(x) = x

1 , maka tentukan ( fog ) ( 3 )

1 2 

1  

6. Jika f(x) = dan g(x) = maka tentukan fog ( x )

x 

1 3  x

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS