FILSAFAT PENDIDIKAN MATEMATIKA ESTETIKA pdf
FILSAFAT PENDIDIKAN
MATEMATIKA
ESTETIKA MATEMATIKA
Mei 2015
Kelompok IX
2012 C
1. Indah Wahyu Utami
(12030174036)
2. M. Alfian Mukti P.
(12030174063)
3. Hanggana Raras N.
(12030174237)
4. Hana Fransiska
(12030174262)
Universitas Negeri Surabaya
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Jurusan Matematika
2015
Estetika Matematika
A. Pengertian Estetika
Pada sebagian besar abad ke-21, apresiasi estetika karya seni telah difokuskan
pada sifat formal seperti harmoni, warna, dan irama (Eaton, 1998). Eaton menunjukkan
bahwa apresiasi estetika mempengaruhi seni pada pengamat, daripada sifat-sifat objek
seni tersebut, karena nilai estetika bergantung pada periode budaya dan waktu tertentu.
Sebuah pengalaman estetis adalah pengalaman emosional (menyenangkan dan / atau
menyakitkan) dan berwawasan dari interaksi dengan apa pun.
B. Pengertian Estetika Matematika
Berikut ini beberapa alasan mengapa seseorang menyenangi belajar matematika, sebab:
a. menghargai keindahan matematika, khususnya keindahan logika dan pola abstrak.
b. menikmati penemuan pola abstrak dalam penelitiannya khususnya pola yang cukup
sulit.
c. mempunyai aplikasi dan peran yang luas di berbagai bidang ilmu pengetahuan dan
teknologi termasuk matematika sendiri.
d. dapat mengungkap berbagai fenomena alam dan fenomena dalam kehidupan seharihari
e. merupakan ilmu yang konsisten, tidak ada kontradiksi di dalamnya.
Dapat digarisbawahi salah satu alasannya yaitu karena menghargai keindahan
matematika. Keindahan matematika inilah yang menarik minat seseorang dalam belajar
matematika. Tidak heran jika menurut Prof. Ir. RMJT Soehakso, profesor Matematika
pertama di Indonesia, Matematika mempunyai pola yang sangat menarik, begitu
menariknya, beliau sering mengatakan bahwa Matematika bagaikan gadis tercantik di
seluruh dunia. Dalam hal ini, yang dimaksud cantik adalah polanya termasuk pola
abstraknya, sedang yang dimaksud di seluruh dunia adalah kebaharuan Matematika
bersifat universal di seluruh dunia, misalnya penemuan rumus abc dalam penyelesaian
persamaan kuadrat dan penemuan rumus kosinus oleh Al Khawarizmi berlaku untuk
seluruh dunia. Begitu pula semua penemuan penelitian misalnya disertasi doktor
Matematika, unsur kebaharuannya berlaku secara universal di manapun.
Estetika Matematika | 1
Keindahan dalam matematika tidak didefinisikan secara komprehensif dan
sempurna. Sebagaimana, ketika kita memutuskan untuk mengatakan suatu konsep
tertentu indah? Apa sifat dari konsep itu yang membuatnya menjadi indah? . Ada banyak
macam pertanyaan yang masih diperdebatkan dalam filsafat dan filsafat matematika
(Adam, 2003).
Unsur-unsur seperti simetri, kesederhanaan, abstraksi, konkrit, produk dan
temuan, orisinalitas, koneksi, harmoni, atau kombinasi dari semua atau beberapa dari
mereka dapat dianggap sebagai standar menjadi keindahan untuk sepotong karya seni
atau sebuah konsep matematika, teorema , bukti, atau pernyataan (Eisner, 1999; Betts,
2003).
Namun, masing-masing aspek keindahan matematika tersebut mustahil memiliki
keburukan. Misalnya, Hardy dalam bukunya yang terkenal, A Mathematician’s Apology,
menekankan bahwa, "Pola hasil karya seorang matematikawan, seperti pelukis atau
penyair harus cantik, ide-ide, seperti warna atau kata-kata harus cocok dengan cara yang
harmonis. Kecantikan adalah hal pertama; tidak ada tempat permanen di dunia ini untuk
matematika yang jelek. "
Eaton (1989) menjelaskan bahwa dalam sebagian besar abad ke-19 dan ke-20
estetika apresiasi karya seni difokuskan pada sifat harmoni, bentuk dan warna. Dan dia
menunjukkan
bahwa
perasaan
pengamat
diabaikan
dan
salah
satu
harus
memperhitungkan pengaruh karya seni pada pengamat. Selanjutnya, arti kecantikan tidak
hanya percobaan menyenangkan dan lucu dalam pikiran. Escher (1989) menegaskan
bahwa "Apapun yang menggugah emosional juga dapat dikatakan seni". Mereka
berpendapat bahwa isu utamanya adalah bahwa konsep kecantikan dan historis terutama
terletak pada bidang filsafat dan seni daripada matematika. Akibatnya ia bekerja pada
konsep keindahan dari pendekatan komparatif antara seni dan matematika. Oleh karena
itu, dapat dikatakan, pengalaman estetik dalam emosional (menyenangkan / menyakitkan)
dan berwawasan pengalaman dari interaksi dengan apa pun (Betts & McNaughton, 2004).
Aristoteles percaya bahwa manusia secara alami menikmati belajar meskipun harus
bersusah payah dalam hal pembelajaran dan pemahaman.
Dengan demikian, dapat dijelaskan, pertama, tindakan mengerjakan matematika
memiliki komponen emosional. Dari semua frustrasi, trial and error, buntu dan akhirnya
Estetika Matematika | 2
sukses, ada kepuasan yang mendalam dari proses mencari pengetahuan baru (Stipek,
2002). Kedua, setiap matematikawan terlibat dalam kritik matematika ketika memutuskan
bahwa teorema, dugaan atau bukti adalah indah. Hardy (1992) menyatakan bahwa
matematika adalah indah dan bahwa tidak ada matematika yang buruk. Ketiga, ada
interaksi sejarah dan budaya dengan matematika dalam hal apa yang dihargai oleh
matematikawan. Produksi dan pembenaran matematika tertanam dalam konteks pribadi,
budaya dan sejarah (Lakatos, 1976). Akhirnya, matematikawan membuat penilaian
tentang apa yang indah dan nilai dalam matematika, dan penilaian ini didasarkan pada
asumsi tentang sifat matematika (Davis & Hersh,1981). Singkatnya, matematikawan
menemukan matematika itu cantik dan memiliki nilai dalam budaya dan konteks historis
dengan melakukan dan memahami matematika.
Estetika merupakan sukacita dan atau rasa sakit dari proses melakukan matematika
dan dalam keberhasilan dari proses itu ada wawasan keindahan matematika dan
keindahan alam semesta melalui pola matematika yang berakar pada pengaruh budaya
dan sejarah.
C. Contoh Keindahan Matematika
Berdasarkan uraian bahwa matematika memiliki nilai dalam budaya dan konteks
historis, berikut beberapa contoh keindahan matematika yang memiliki nilai budaya dan
konteks historis:
1. Bilangan Fibonacci
Bilangan Fibonacci ditemukan oleh Leonardo of Pisa pada tahun 1170-1240.
Penemuan bilangan ini dikenal dengan Liber abbaci yaitu masalah kelinci, dimana ia
menarik sebuah pertanyaan: "Berapa banyak pasang kelinci yang dibuat oleh satu
pasangan dalam satu tahun? Seorang mempunyai sepasang kelinci diletakkan dalam
suatu tempat tertutup, dan seseorang ingin tahu berapa banyak yang dibuat dari
pasangan tersebut dalam satu tahun dimana pada setiap bulan masing-masing
pasangan menghasilkan satu pasang kelinci baru, dan pasangan kelinci baru akan
menghasilkan setelah bulan ke 2"
Estetika Matematika | 3
Leonardo mulai menghitung:
“Setelah bulan pertama akan ada dua pasang, setelah yang kedua, akan ada tiga. Pada
bulan ketiga, akan menghasilkan dua pasang, sehingga pada akhir bulan itu akan ada
lima pasang. Pada bulan keempat, akan menghasilkan tiga pasang, sehingga akan ada
delapan. Melanjutkan dengan cara ini, dapat ditunjukkan bahwa akan ada 377 pasang
pada akhir bulan kedua belas. Daftar urutannya 1, 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 ,
144 , 233 , 377”
Leonardo mencatat bahwa setiap nomor akan ditemukan dengan menjumlahkan dua
angka sebelumnya, dan “dengan demikian kamu dapat melakukannya untuk
menghitung jumlah-jumlah pada bulan berikutnya yang tak terbatas". Barisan ini,
dihitung secara rekursif, yang dikenal sekarang sebagai barisan Fibonacci. Barisan
Fibonacci secara lengkap adalah 0, 1, 1, 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , 233 ,
377,… .
Dalam bahasa matematika dapat didefinisikan secara rekursif sebagai berikut:
Fibonacci berurutan:
Keunikan lain dari barisan Fibonacci adalah perbandingan suku n dengan suku n+1
adalah hampir mendekati 1:1.618, berlaku untuk suku 13 ke atas . Misal perbandingan
suku ke-12 dengan suku ke-13 yaitu 144:233 = 1:1.618 yang merupakan golden ratio.
2. Geometri Proyektif
Geometri proyektif mulai dipelajari pada
periode Renaissance abad ke 14 sampai 16.
Geometri proyektif ini muncul ketika senimanseniman mencoba teknik baru untuk memperoleh
hasil yang bagus dalam memindahkan objek 3D ke
Gambar 1 Perspektif 2 Titik Lenyap
bentuk 2D. Sebelum adanya geometri proyektif,
pelukis susah menampilkan bagaimana melukis
garis sejajar di atas kanvas. Salah satu seniman
yang juga merasakan kesusahan itu adalah
Albrecht Durer, seniman terkenal di Jerman. Durer
berkeinginan untuk menampilkan secara nyata
Gambar 2 Perspektif 1 Titik Lenyap
Estetika Matematika | 4
semua yang ada disekitarnya, sehingga Durer memutuskan untuk mempelajari
geometri. Durer merupakan penemu aturan geometri untuk merubah objek 3D ke
bentuk 2D. Hal ini merupakan ide dasar di balik gambar perspektif.
Pada gambar perspektif terkenal dengan istilah titik lenyap atau titik hilang,
hal ini pun didefinisikan dalam geometri proyeksi. Dalam geometri proyeksi, titik
lenyap didefinisikan sebagai pencil of line yaitu himpunan garis yang insiden dengan
sebuah titik. Sifat lainnya yang mengasikkan adalah, pada geometri proyeksi dua garis
sejajar berpotongan di tak hingga.
3. Geometri Fraktal
Istilah fraktal ini pertama kali diperkenalkan oleh Mandelbrot pada tahun
1975. Geometri Fraktal memberikan gambaran dan model matematika kejadian
kompleks di alam yang berbeda dengan geometri Euclid. Dimensi fractal memiliki
sifat self-similarity, yaitu setiap bagian dari fraktal menyerupai keseluruhan bagian
yang lebih besar namu dalam skala yang berbeda. Ini artinya, bagian dari objek akan
terlihat identik dengan objek itu sendiri bila dilihat secara keseluruhan. Sifat ini juga
dimiliki oleh alam, misalnya cabang-cabang pohon menyerupai pohonnya, bentuk
daun brokoli, kobaran api, dan sebagainya. Oleh karena itu geometri fraktal sering
disebut Geometri Alam.
Gambar 3 Contoh Geometri Fraktal di alam
4. Geometri Origami
Origami adalah kesenian melipat kertas
yang diperkenalkan sejak kertas pertama kali
ditemukan di Tiongkok, Cina pada 105 M. Seni
melipat kertas ini berkembang dan tetap lestari
hingga
sekarang.
Origami
menjadi
satu
Gambar 4 Beberapa Bentuk Origami
Estetika Matematika | 5
kebudayaan orang Jepang dalam keagamaan Shinto sejak zaman Heian (741-1191).
Salah satu tokoh Geometri Origami adalah Humiaki Huzita. Humi terkenal dengan
formulanya tentang aksioma dasar geometri dari paper folding (seni melipat kertas).
Salah satu model yang terkenal tentang origami adalah Tsuru (Burung
Bangau). Burung bangau memiliki sifat yang kuat, manis, cantik, dan mempunyai
suara yang istimewa, sehingga orang Jepang sangat menghargai arti pentingnya
burung bangau ini. Oleh karena itu, bentuk Tsuru merupakan bentuk origami paling
tradisional dan paling indah serta menjadi subjek favorit dari origami.
5. Bilangan yang Unik
Dalam sistem desimal terdapat angka 0,1,2,3,4,5,6,7,8,dan 9 . Susunan angkaangka tersebut bisa membentuk bilangan. Berbeda dengan hitungan pada umumnya,
berikut ini disajikan hitungan dengan untaian angka dari 1 sampai dengan 9 yang
menghasilkan 100.
√
Perhatikan pula bentuk kuadrat tanpa menggunakan angka nol seperti susunan
Dudeney berikut :
(bilangan
yang
terkecil)
dan
(bilangan yang terbesar).
Tidak kurang menarik adalah bentuk kuadrat yang diuntai oleh Harry L. Nelson .
Seperti susunan Dudeney tetapi Nelson memasukkan angka 0. Berikut bentuk kuadrat
Nelson:
(bilangan yang terkecil) dan
(bilangan yang terbesar)
Adapun beberapa operasi berikut ini sangat menawan karena menggunakan
sembilan angka yang berurutan:
(1)
123 – 45 – 67 + 89 = 100
(2)
123 + 4 – 5 + 67 – 89 = 100
(3)
123 + 45 – 67 + 8 – 9 = 100
(4)
1 + 2 + 34 – 5 + 67 – 8 + 9 = 100
(5)
1 + 23 – 4 + 5 + 6 + 78 – 9 = 100
Estetika Matematika | 6
(6)
1 + 23 -4 + 56 + 7 + 8 + 9 = 100
(7)
12 – 3 – 4 + 5 – 6 + 7 + 89 = 100
(8)
12 + 3 + 4 + 5 – 6 – 7 + 89 = 100
(9)
12 + 3 – 4 + 5 + 67+ 8 + 9 = 100
(10) 123 – 4 – 5 – 6 – 7 + 8 – 9 = 100
(11) 1 + 2 + 3 – 4 + 5 + 6 + 78 + 9 = 100
(12) 1 + 2 – 3 + 4 + 5 + 6 + 78 + 9 = 100
(13) (1)(2)(3)(4) + 5 + 6 + (7)(8) + 9 = 100
(14) 1 + (23)(4) – 5 + 6 + 7 + 8 – 9 = 100
(15) 1 + (23)(4) + 5 – 6 + 7 – 8 + 9 = 100
(16) (1 + 2 – 3 – 4)(5 – 6 – 7 – 8 – 9) = 100
(17) 12 + 3,4 + 5,6 + 7 + (8)(9) = 100
(18) 12(3,4 + 5,6) – 7 + 8 – 9 = 100
(19) 1^23 + 4 + 5 – 6 + 7 + 89 = 100
(20) 1^2345 + 6(7 + 8) + 9 = 100
Hitungan tersebut diatas dan hitungan berikut ini yang merupakan urutan terbalik
adalah gubahan Madachy:
1. 98 -76 + 54 + 3 + 21 = 100
2. 9 – 8 + 76 + 54 – 32 + 1 = 100
3. 9 – 8 + 7 + 65 – 4 + 32 – 1 = 100
4. 9 – 8 + 76 – 5 + 4 + 3 + 21 = 100
5. 98 – 7 – 6 – 5 – 4 + 3 + 21 = 100
6. 9 + 8 + 76 + 5 + 4 – 3 + 2 – 1 = 100
7. 9 + 8 + 76 + 5 – 4 + 3 + 2 + 1 = 100
8. 98 + 7 + 6 -5 – 4 – 3 + 2 – 1 = 100
9. 98 + 7 – 6 + 5 – 4 – 3 + 2 + 1 = 100
10. 98 + 7 – 6 + 5 – 4 + 3 – 2 – 1 = 100
11. 98 + 7 – 6 – 5 + 4 + 3 – 2 + 1 = 100
12. 98 – 7 + 6 + 5 + 4 – 3 – 2 – 1 = 100
13. 98 – 7 = 6 + 5 – 4 + 3 – 2 + 1 = 100
14. 98 – 7 + 6 – 5 + 4 + 3 + 2 – 1 = 100
15. 98 – 7 – 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 100
Estetika Matematika | 7
16. – 9 + 8 + 7 + 65 – 4 + 32 + 1 = 100
17. – 9 + 8 + 76 + 5 – 4 + 3 + 21 = 100
18. – 9 – 8 + 76 – 5 + 43 + 2 + 1 = 100
19. (akar 9)(8) + 76 +akar(5+4) – 3 ! + 2 + 1 = 100
20. – (akar 9) – 8 + 7 + (6 ! – 5^4 + 3^2)(1) = 100
Catatan : Yang dimaksud dengan 3 ! adalah 3 ! = (3)(2)(1)
dan 6 ! = (6)(5)(4)(3)(2)(1) sedangkan 5^4 adalah 5 pangkat 4
6. Fakta angka 9
Fakta dari angka sembilan sebagai angka tertinggi dan ganjil adalah sebagai
berikut.
Fakta Pertama
Setiap angka yang dikalikan dengan angka 9 lalu hasilnya dijumlahkan maka hasilnya
kembali ke angka 9.
1 x 9 = 09 ( 0 + 9 = 9 )
2 x 9 = 18 ( 1 + 8 = 9 )
3 x 9 = 27 ( 2 + 7 = 9 )
4 x 9 = 36 ( 3 + 6 = 9 )
5 x 9 = 45 ( 4 + 5 = 9 )
6 x 9 = 54 ( 5 + 4 = 9 )
7 x 9 = 63 ( 6 + 3 = 9 )
8 x 9 = 72 ( 7 + 2 = 9 )
9 x 9 = 81 ( 8 + 1 = 9 )
Fakta Kedua
Parkalian angka kembar doble dengan angka 9 maka hasilnya terdapat angka 9
ditengahnya. Begitu juga dengan angka kembar triple yg dikalikan angka 9 akan
menghasilkan angka yg mengandung 99 ditengahnya.
22 x 9 = 198 (2x9=18 | 198)
33 x 9 = 297 (3x9=27 | 297)
44 x 9 = 396 (4x9=36 | 396)
55 x 9 = 495 (5x9=45 | 495)
Estetika Matematika | 8
66 x 9 = 594 (6x9=54 | 594)
77 x 9 = 693 (7x9=63 | 693)
88 x 9 = 792 (8x9=72 | 792)
99 x 9 = 891 (9x9=81 | 891)
Khusus angka 11, angka 9 terletak sebelum dari hasil perkalian tersebut. 11 x 9 = 99
(1x9=9 | 99)
222 x 9 = 1998
333 x 9 = 2997
444 x 9 = 3996
555 x 9 = 4995
666 x 9 = 5994
777 x 9 = 6993
888 x 9 = 7992
999 x 9 = 8991
Masih sama khusus angka 111, angka 99 terletak sebelum dari hasil perkalian
tersebut. 111 x 9 = 999 (1x9=9 | 999)
Fakta Ketiga
Setiap angka yg dijumlahkan dengan 9, lalu hasilnya dijumlahkan maka hasilnya
kembali ke angka semula.
1 + 9 = 10 ( 1 + 0 = 1 )
2 + 9 = 11 ( 1 + 1 = 2 )
3 + 9 = 12 ( 1 + 2 = 3 )
4 + 9 = 11 ( 1 + 3 = 4 )
5 + 9 = 14 ( 1 + 4 = 5 )
6 + 9 = 15 ( 1 + 5 = 6 )
7 + 9 = 16 ( 1 + 6 = 7 )
8 + 9 = 17 ( 1 + 7 = 8 )
9 + 9 = 18 ( 1 + 8 = 9 )
Fakta Keempat
Angka 12345679 (tanpa angka 8) dikalikan dengan 9 dan kelipatannya maka hasilnya
adalah sembilan angka yang sama.
Estetika Matematika | 9
12345679 x 09 = 111111111
12345679 x 18 = 222222222
12345679 x 27 = 333333333
12345679 x 36 = 444444444
12345679 x 45 = 555555555
12345679 x 54 = 666666666
12345679 x 63 = 777777777
12345679 x 72 = 888888888
12345679 x 81 = 999999999
Fakta Kelima
Angka yang berurutan antara 1 sampai 9 bila dikalikan 9 lalu ditambahkan 1 - 9
secara berurutan, maka hasilnya mengandung angka 1.
1 x 9 + 1 = 10
12 x 9 + 2 = 110
123 x 9 + 3 = 1110
1234 x 9 + 4 = 11110
12345 x 9 + 5 = 111110
123456 x 9 + 6 = 1111110
1234567 x 9 + 7 = 11111110
12345678 x 9 + 8 = 111111110
123456789 x 9 + 9 = 1111111110
Fakta Keenam
Ini agak sulit dijelaskan, lihat saja penampakannya.
1 x 18 + 1 = 19
12 x 18 + 2 = 218
123 x 18 + 3 = 2217
1234 x 18 + 4 = 22216
12345 x 18 + 5 = 222215
123456 x 18 + 6 = 2222214
1234567 x 18 + 7 = 22222213
12345678 x 18 + 8 = 222222212
123456789 x 18 + 9 = 2222222211
Estetika Matematika | 10
Fakta Ketujuh
Setiap angka 1 sampai 9 dari yang terkecil sampai terbesar bila dikalikan dengan
angka 9, maka hasilnya angka pertama semakin membesar dan angka kedua semakin
mengecil.
1 x 9 = 09
2 x 9 = 18
3 x 9 = 27
4 x 9 = 36
5 x 9 = 45
6 x 9 = 54
7 x 9 = 63
8 x 9 = 72
9 x 9 = 81
Fakta Kedelapan
Tak kalah unik fakta ini juga menarik.
9 x 99 = 891
9 x 999 = 8991
9 x 9999 = 89991
9 x 99999 = 899991
9 x 999999 = 8999991
9 x 9999999 = 89999991
9 x 99999999 = 899999991
9 x 999999999 = 8999999991
9 x 9999999999 = 8999999991
Fakta Kesembilan
Setiap bilangan berapapun yang tidak habis dibagi 9, maka menimbulkan angka
desimal yg berulang di bekakang koma.
10 : 9 = 1,11111111111111
20 : 9 = 2,22222222222222
29 : 9 = 3,11111111111111
39 : 9 = 4,33333333333333
Estetika Matematika | 11
46 : 9 = 5,11111111111111
58 : 9 = 6,44444444444444
64 : 9 = 7,11111111111111
77 : 9 = 8,55555555555555
82 : 9 = 9,11111111111111
D. Kontribusi Matematika dan Aplikasinya
1. Matematika di Dunia Kerja
Dalam dunia kerja matematika digunakan hampir di semua aspek mulai dari
proses seleksi pegawai maupun dalam perhitungan dalam materi pekerjaan di
perusahaan atau instansi tertentu misalnya pembukuan, penjumlah stockbarang dan
lain-lain. Beberapa penerapan matematika dalam bidang kerja tertentu dapat
disampaikan sbb :
1. (Kalkulus) Bidang Kedokteran , Matematika berperan dalam menghitung volume
kanker. dan koordinat-koordinatnya dengan penerapan kalkulus (bisa integral
cakram, cincin, lipat 2, bahakan lipat 3), karena umumnya sel kanker tidak
mungkin bebentuk prisma, tabung, kerucut atau limas yang mudah sekali dihitung
volumenya
2. (Trigonometri) pada teknik sipil, seorang insinyur menggunakan trigonometri
untuk perhitungan sudut-sudut yang super akurat, dengan sistem kurva yang
benar-benar yang tak dijumpai kesalahan.
3. (Peluang) pada ilmu Ekonomi dengan ilmu ini kita belajar menghitung peluang di
berbagai kasus asuransi,
4. (Program Linear) pada Ilmu Manajemen , Pendekatan yang dilakukan dengan
pendekatan permodelan matematika, analisis stastistik, dan teori optimasi
matematis.
2. Matematika dan Ilmu TIK
Teknik informatika dan matematika sangat erat hubungannya. Karena inti
dasar teknik informatika adalah pembuatan software dan di dalam pembuatannya itu
membutuhkan perhitungan dan logika yang pasti. Oleh karena itu, matematika sangat
Estetika Matematika | 12
penting dalam rangka sebagai dasar dan pengembangan dalam majunya teknik
informatika khususnya pembuatan software. Dalam pembuatan software tersebut
menggunakan sistem bilangan biner dan kode bilangan. Semua disusun dengan urutan
tertentu sehingga menghasilkan suatu software yang dapat diguanakan untuk
mempermudah aktivitas kita.
Pemanfaatan teknologi elektronik dalam pembelajaran memberi penguatan
terhadap pola perubahan paradigma pembelajaran. Penggunaan teknologi informasi
dan multimedia menjadi salah satu cara yang efektif dan efisien dalam menyampaikan
informasi kepada peserta didik. Komputer merupakan salah satu teknologi informasi
yang memiliki potensi besar untuk meningkatkan kualitas pembelajaran, khususnya
dalam pembelajaran matematika. Banyak hal abstrak atau imajinatif yang sulit
dipikirkan oleh peserta didik dapat dipresentasikan melalui simulasi komputer.
Latihan dan percobaan-percobaan eksploratif matematika dapat dilakukan peserta
didik dengan menggunakan program-program sederhana untuk penanaman dan
penguatan konsep, membuat permodelan matematika, dan menyusun strategi dalam
memecahkan masalah.
3. Matematika untuk pembuatan Game
Pada kenyataannya, matematika dapat digunakan untuk pembuatan game.
Berikut sedikit ulasan penggunaan matematika untuk pembuatan game:
1. Koordinat Grafik
Dalam bidang Computer Graphics (termasuk game dan animasi), sistem
koordinat kartesian adalah ilmu dasar yang perlu dikuasai, karena semua objek
yang muncul di layar adalah sebuah gambar yang memiliki posisi tertentu.
Game
2D
seperti
Angry
Birds
menggunakan sistem koordinat yang berbeda
dengan game 3D seperti Ace Combat. Perbedaan
2D dan 3D adalah jumlah dimensinya, 2D
memiliki posisi horizontal (kanan-kiri) dan posisi
vertikal (atas-bawah), sedangkan 3D memiliki
Gambar 5 Tampilan Angry Birds
Estetika Matematika | 13
satu informasi posisi lagi, yaitu kedalaman (jauh-dekat objek dari layar).
2. Transformasi
Transformasi adalah fungsi/operasi untuk mengubah suatu posisi di sistem
koordinat. Tiga fungsi transformasi utama adalah translasi, rotasi, dan dilatasi.
Dalam game, yang paling umum digunakan adalah translasi dan rotasi.
Translasi adalah fungsi perpindahan
dari satu titik ke titik lain. Contohnya
titik (10,0) diberikan fungsi translasi
(3,4) akan menjadi (13,4). Terkadang
kita perlu menentukan fungsi translasi
jika diketahui titik awal dan akhir.
Rotasi adalah fungsi perputaran, biasa
Gambar 6 Game Sepak Bola
digunakan untuk mengubah arah hadap
pemain dalam game sepakbola. Informasi rotasi biasa dituliskan dalam bentuk
nilai derajat perputaran objek, misalnya 0 berarti menghadap ke kanan, 45 ke
kanan atas, 90 ke atas, begitu seterusnya sampai derajat 360 yang berarti
menghadap ke kanan juga. (satu lingkaran penuh sama dengan 260 derajat)
Dilatasi berarti fungsi skala, misalnya digunakan dalam menghasilkan
tampilan minimap dalam game sepakbola. Posisi-posisi permain di lapangan
akan diubah ke posisi yang sesuai dalam skala lebih kecil.
4. Memecahkan Masalah dengan Berbagai Kemungkinan (Aplikasi Penggunaan
Suku Banyak)
Ternyata kecelakaan pesawat itu disebabkan oleh banyak sekali faktor.
Beberapa di antaranya yaitu kesalahan manusia, masalah navigasi, cuaca,
kerusakan mesin, body pesawat yang sudah tidak memenuhi syarat, dan lain-lain.
Jika factor-faktor tersebut diberi nama suku x1, x2, x3, …., xn maka terdapat
banyak suku dalam satu kesatuan. Dalam ilmu Matematika, hal demikian
dinamakan suku banyak. Pada hal ini, kamu akan belajar lebih lanjut mengenai
aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah. Dengan mempelajarinya, kamu
akan dapat menggunakan algoritma pembagian suku banyak untuk mencari hasil
Estetika Matematika | 14
bagi dan sisa, serta menggunakan teorema sisa dan teorema faktor dalam
pemecahan masalah.
5. Jual-beli dan sebagainya (Aplikasi penggunaan Aljabar)
Tanpa disadari, kita sering menggunakan perhitungan aljabar dalam
kehidupan sehari-hari. Banyak manfaat yang dapat diambil. Kita bisa dengan
cepat menyelesasikan masalah persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel,
masalah aritmetika sosial, bahkan kita juga bisa menggunakan perbandingan
untuk menyelesaikan suatu masalah. Misalnya saja ada seorang developer yang
ingin membeli tanah untuk membangun perumahan, developer itu bisa
memperkirakan berapa luas tanah yang harus dibeli, dan berapa jumlah rumah
yang harus dibangun supaya bisa mendapat keuntungan.
6. Penyajian Data dalam Berbagai Bidang (Aplikasi Penggunaan Statistika)
Biasanya di papan informasi terdapat gambar lingkaran, grafik garis,
batang, atau balok-balok. Grafik-grafik itu merupakan gambaran mengenai
pencacahan penduduk, perhitungan pajak, dan perkembangan kemajuan sekolah.
Contoh-contoh tersebut merupakan salah satu aplikasi dari konsep statistika.
Dalam perkembangannya, statistika sekarang banyak dimanfaatkan dalam
berbagai bidang seperti bidang ekonomi, kedokteran, pertanian dan sebagainya.
Penelitian jenis manapun dirasa kurang lengkap apabila tidak memanfaatkan
perhitungan-perhitungan statistika. Dalam hal ini kamu akan belajar menggunakan
aturan statistika, sehingga dapat membaca dan menyajikan data dalam bentuk
table dan berbagai diagram serta menghitung ukuran pemusatan, ukuran letak, dan
ukuran penyebaran data beserta penafsirannya.
7. Mencari Kapasitas Penonton Dalam Stadion (Aplikasi Barisan dan Deret)
Konsep barisan dan deret bilangan sangat penting peranannya dalam ilmu
pengetahuan dan teknologi serta dalam kehidupan sehari-hari, seperti uraian
berikut ini. Sebuah stadion olahraga yang baru dibangun mempunyai 100 tempat
duduk pada barisan paling depan di tribun barat dan timur, serta 60 tempat duduk
pada barisan paling depan di tribun utara dan selatan. Setiap baris tempat duduk
tersebut 4 kursi lebih banyak daripada baris di depannya. Nah kemudian dicari
kapasitas penonton dalam stadion tersebut jika terdapat 25 baris tempat duduk
dengan menggunakan konsep barisan dan deret.
Estetika Matematika | 15
E. SUMBER RUJUKAN
Anonim. Matematika Untuk Membuat Game. Web: gedebuk.org
Anonim.
2013.
Penerapan
Matematika
dalam
Kehidupan.
Web:
matematrick.blogspot.com
Betts, Paul & McNaughton, Kathryn. Adding an Aesthetic Image to Mathematics
...........Education
Gygyh. 2013. Keunikan Angka. (gigyhardians.wordpress.com diakses pada 18 Mei 2015)
Harjanto.
2013.
Keterkaitan
antara
Matematika
dengan
TIK.
Web:
totok3harjanto.wordpress.com
Hewitt, D. 2006. Proceedings of the British Society for Research into Learning
Mathematics
Karim.
2013.
26(1). bsrlm.org.uk
Fakta
Keistimewaan
dan
Keunikan
Angka
Sembilan.
(elzivian.mywapblog.com diakses pada 18 Mei 2015)
Teguh, Mega. 2014. Sistem Geometri. Surabaya:UNESA Unipress.
Widodo. 2012. Keindahan Matematika. Web: p4tkmatematika.org
Estetika Matematika | 16
MATEMATIKA
ESTETIKA MATEMATIKA
Mei 2015
Kelompok IX
2012 C
1. Indah Wahyu Utami
(12030174036)
2. M. Alfian Mukti P.
(12030174063)
3. Hanggana Raras N.
(12030174237)
4. Hana Fransiska
(12030174262)
Universitas Negeri Surabaya
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Jurusan Matematika
2015
Estetika Matematika
A. Pengertian Estetika
Pada sebagian besar abad ke-21, apresiasi estetika karya seni telah difokuskan
pada sifat formal seperti harmoni, warna, dan irama (Eaton, 1998). Eaton menunjukkan
bahwa apresiasi estetika mempengaruhi seni pada pengamat, daripada sifat-sifat objek
seni tersebut, karena nilai estetika bergantung pada periode budaya dan waktu tertentu.
Sebuah pengalaman estetis adalah pengalaman emosional (menyenangkan dan / atau
menyakitkan) dan berwawasan dari interaksi dengan apa pun.
B. Pengertian Estetika Matematika
Berikut ini beberapa alasan mengapa seseorang menyenangi belajar matematika, sebab:
a. menghargai keindahan matematika, khususnya keindahan logika dan pola abstrak.
b. menikmati penemuan pola abstrak dalam penelitiannya khususnya pola yang cukup
sulit.
c. mempunyai aplikasi dan peran yang luas di berbagai bidang ilmu pengetahuan dan
teknologi termasuk matematika sendiri.
d. dapat mengungkap berbagai fenomena alam dan fenomena dalam kehidupan seharihari
e. merupakan ilmu yang konsisten, tidak ada kontradiksi di dalamnya.
Dapat digarisbawahi salah satu alasannya yaitu karena menghargai keindahan
matematika. Keindahan matematika inilah yang menarik minat seseorang dalam belajar
matematika. Tidak heran jika menurut Prof. Ir. RMJT Soehakso, profesor Matematika
pertama di Indonesia, Matematika mempunyai pola yang sangat menarik, begitu
menariknya, beliau sering mengatakan bahwa Matematika bagaikan gadis tercantik di
seluruh dunia. Dalam hal ini, yang dimaksud cantik adalah polanya termasuk pola
abstraknya, sedang yang dimaksud di seluruh dunia adalah kebaharuan Matematika
bersifat universal di seluruh dunia, misalnya penemuan rumus abc dalam penyelesaian
persamaan kuadrat dan penemuan rumus kosinus oleh Al Khawarizmi berlaku untuk
seluruh dunia. Begitu pula semua penemuan penelitian misalnya disertasi doktor
Matematika, unsur kebaharuannya berlaku secara universal di manapun.
Estetika Matematika | 1
Keindahan dalam matematika tidak didefinisikan secara komprehensif dan
sempurna. Sebagaimana, ketika kita memutuskan untuk mengatakan suatu konsep
tertentu indah? Apa sifat dari konsep itu yang membuatnya menjadi indah? . Ada banyak
macam pertanyaan yang masih diperdebatkan dalam filsafat dan filsafat matematika
(Adam, 2003).
Unsur-unsur seperti simetri, kesederhanaan, abstraksi, konkrit, produk dan
temuan, orisinalitas, koneksi, harmoni, atau kombinasi dari semua atau beberapa dari
mereka dapat dianggap sebagai standar menjadi keindahan untuk sepotong karya seni
atau sebuah konsep matematika, teorema , bukti, atau pernyataan (Eisner, 1999; Betts,
2003).
Namun, masing-masing aspek keindahan matematika tersebut mustahil memiliki
keburukan. Misalnya, Hardy dalam bukunya yang terkenal, A Mathematician’s Apology,
menekankan bahwa, "Pola hasil karya seorang matematikawan, seperti pelukis atau
penyair harus cantik, ide-ide, seperti warna atau kata-kata harus cocok dengan cara yang
harmonis. Kecantikan adalah hal pertama; tidak ada tempat permanen di dunia ini untuk
matematika yang jelek. "
Eaton (1989) menjelaskan bahwa dalam sebagian besar abad ke-19 dan ke-20
estetika apresiasi karya seni difokuskan pada sifat harmoni, bentuk dan warna. Dan dia
menunjukkan
bahwa
perasaan
pengamat
diabaikan
dan
salah
satu
harus
memperhitungkan pengaruh karya seni pada pengamat. Selanjutnya, arti kecantikan tidak
hanya percobaan menyenangkan dan lucu dalam pikiran. Escher (1989) menegaskan
bahwa "Apapun yang menggugah emosional juga dapat dikatakan seni". Mereka
berpendapat bahwa isu utamanya adalah bahwa konsep kecantikan dan historis terutama
terletak pada bidang filsafat dan seni daripada matematika. Akibatnya ia bekerja pada
konsep keindahan dari pendekatan komparatif antara seni dan matematika. Oleh karena
itu, dapat dikatakan, pengalaman estetik dalam emosional (menyenangkan / menyakitkan)
dan berwawasan pengalaman dari interaksi dengan apa pun (Betts & McNaughton, 2004).
Aristoteles percaya bahwa manusia secara alami menikmati belajar meskipun harus
bersusah payah dalam hal pembelajaran dan pemahaman.
Dengan demikian, dapat dijelaskan, pertama, tindakan mengerjakan matematika
memiliki komponen emosional. Dari semua frustrasi, trial and error, buntu dan akhirnya
Estetika Matematika | 2
sukses, ada kepuasan yang mendalam dari proses mencari pengetahuan baru (Stipek,
2002). Kedua, setiap matematikawan terlibat dalam kritik matematika ketika memutuskan
bahwa teorema, dugaan atau bukti adalah indah. Hardy (1992) menyatakan bahwa
matematika adalah indah dan bahwa tidak ada matematika yang buruk. Ketiga, ada
interaksi sejarah dan budaya dengan matematika dalam hal apa yang dihargai oleh
matematikawan. Produksi dan pembenaran matematika tertanam dalam konteks pribadi,
budaya dan sejarah (Lakatos, 1976). Akhirnya, matematikawan membuat penilaian
tentang apa yang indah dan nilai dalam matematika, dan penilaian ini didasarkan pada
asumsi tentang sifat matematika (Davis & Hersh,1981). Singkatnya, matematikawan
menemukan matematika itu cantik dan memiliki nilai dalam budaya dan konteks historis
dengan melakukan dan memahami matematika.
Estetika merupakan sukacita dan atau rasa sakit dari proses melakukan matematika
dan dalam keberhasilan dari proses itu ada wawasan keindahan matematika dan
keindahan alam semesta melalui pola matematika yang berakar pada pengaruh budaya
dan sejarah.
C. Contoh Keindahan Matematika
Berdasarkan uraian bahwa matematika memiliki nilai dalam budaya dan konteks
historis, berikut beberapa contoh keindahan matematika yang memiliki nilai budaya dan
konteks historis:
1. Bilangan Fibonacci
Bilangan Fibonacci ditemukan oleh Leonardo of Pisa pada tahun 1170-1240.
Penemuan bilangan ini dikenal dengan Liber abbaci yaitu masalah kelinci, dimana ia
menarik sebuah pertanyaan: "Berapa banyak pasang kelinci yang dibuat oleh satu
pasangan dalam satu tahun? Seorang mempunyai sepasang kelinci diletakkan dalam
suatu tempat tertutup, dan seseorang ingin tahu berapa banyak yang dibuat dari
pasangan tersebut dalam satu tahun dimana pada setiap bulan masing-masing
pasangan menghasilkan satu pasang kelinci baru, dan pasangan kelinci baru akan
menghasilkan setelah bulan ke 2"
Estetika Matematika | 3
Leonardo mulai menghitung:
“Setelah bulan pertama akan ada dua pasang, setelah yang kedua, akan ada tiga. Pada
bulan ketiga, akan menghasilkan dua pasang, sehingga pada akhir bulan itu akan ada
lima pasang. Pada bulan keempat, akan menghasilkan tiga pasang, sehingga akan ada
delapan. Melanjutkan dengan cara ini, dapat ditunjukkan bahwa akan ada 377 pasang
pada akhir bulan kedua belas. Daftar urutannya 1, 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 ,
144 , 233 , 377”
Leonardo mencatat bahwa setiap nomor akan ditemukan dengan menjumlahkan dua
angka sebelumnya, dan “dengan demikian kamu dapat melakukannya untuk
menghitung jumlah-jumlah pada bulan berikutnya yang tak terbatas". Barisan ini,
dihitung secara rekursif, yang dikenal sekarang sebagai barisan Fibonacci. Barisan
Fibonacci secara lengkap adalah 0, 1, 1, 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , 233 ,
377,… .
Dalam bahasa matematika dapat didefinisikan secara rekursif sebagai berikut:
Fibonacci berurutan:
Keunikan lain dari barisan Fibonacci adalah perbandingan suku n dengan suku n+1
adalah hampir mendekati 1:1.618, berlaku untuk suku 13 ke atas . Misal perbandingan
suku ke-12 dengan suku ke-13 yaitu 144:233 = 1:1.618 yang merupakan golden ratio.
2. Geometri Proyektif
Geometri proyektif mulai dipelajari pada
periode Renaissance abad ke 14 sampai 16.
Geometri proyektif ini muncul ketika senimanseniman mencoba teknik baru untuk memperoleh
hasil yang bagus dalam memindahkan objek 3D ke
Gambar 1 Perspektif 2 Titik Lenyap
bentuk 2D. Sebelum adanya geometri proyektif,
pelukis susah menampilkan bagaimana melukis
garis sejajar di atas kanvas. Salah satu seniman
yang juga merasakan kesusahan itu adalah
Albrecht Durer, seniman terkenal di Jerman. Durer
berkeinginan untuk menampilkan secara nyata
Gambar 2 Perspektif 1 Titik Lenyap
Estetika Matematika | 4
semua yang ada disekitarnya, sehingga Durer memutuskan untuk mempelajari
geometri. Durer merupakan penemu aturan geometri untuk merubah objek 3D ke
bentuk 2D. Hal ini merupakan ide dasar di balik gambar perspektif.
Pada gambar perspektif terkenal dengan istilah titik lenyap atau titik hilang,
hal ini pun didefinisikan dalam geometri proyeksi. Dalam geometri proyeksi, titik
lenyap didefinisikan sebagai pencil of line yaitu himpunan garis yang insiden dengan
sebuah titik. Sifat lainnya yang mengasikkan adalah, pada geometri proyeksi dua garis
sejajar berpotongan di tak hingga.
3. Geometri Fraktal
Istilah fraktal ini pertama kali diperkenalkan oleh Mandelbrot pada tahun
1975. Geometri Fraktal memberikan gambaran dan model matematika kejadian
kompleks di alam yang berbeda dengan geometri Euclid. Dimensi fractal memiliki
sifat self-similarity, yaitu setiap bagian dari fraktal menyerupai keseluruhan bagian
yang lebih besar namu dalam skala yang berbeda. Ini artinya, bagian dari objek akan
terlihat identik dengan objek itu sendiri bila dilihat secara keseluruhan. Sifat ini juga
dimiliki oleh alam, misalnya cabang-cabang pohon menyerupai pohonnya, bentuk
daun brokoli, kobaran api, dan sebagainya. Oleh karena itu geometri fraktal sering
disebut Geometri Alam.
Gambar 3 Contoh Geometri Fraktal di alam
4. Geometri Origami
Origami adalah kesenian melipat kertas
yang diperkenalkan sejak kertas pertama kali
ditemukan di Tiongkok, Cina pada 105 M. Seni
melipat kertas ini berkembang dan tetap lestari
hingga
sekarang.
Origami
menjadi
satu
Gambar 4 Beberapa Bentuk Origami
Estetika Matematika | 5
kebudayaan orang Jepang dalam keagamaan Shinto sejak zaman Heian (741-1191).
Salah satu tokoh Geometri Origami adalah Humiaki Huzita. Humi terkenal dengan
formulanya tentang aksioma dasar geometri dari paper folding (seni melipat kertas).
Salah satu model yang terkenal tentang origami adalah Tsuru (Burung
Bangau). Burung bangau memiliki sifat yang kuat, manis, cantik, dan mempunyai
suara yang istimewa, sehingga orang Jepang sangat menghargai arti pentingnya
burung bangau ini. Oleh karena itu, bentuk Tsuru merupakan bentuk origami paling
tradisional dan paling indah serta menjadi subjek favorit dari origami.
5. Bilangan yang Unik
Dalam sistem desimal terdapat angka 0,1,2,3,4,5,6,7,8,dan 9 . Susunan angkaangka tersebut bisa membentuk bilangan. Berbeda dengan hitungan pada umumnya,
berikut ini disajikan hitungan dengan untaian angka dari 1 sampai dengan 9 yang
menghasilkan 100.
√
Perhatikan pula bentuk kuadrat tanpa menggunakan angka nol seperti susunan
Dudeney berikut :
(bilangan
yang
terkecil)
dan
(bilangan yang terbesar).
Tidak kurang menarik adalah bentuk kuadrat yang diuntai oleh Harry L. Nelson .
Seperti susunan Dudeney tetapi Nelson memasukkan angka 0. Berikut bentuk kuadrat
Nelson:
(bilangan yang terkecil) dan
(bilangan yang terbesar)
Adapun beberapa operasi berikut ini sangat menawan karena menggunakan
sembilan angka yang berurutan:
(1)
123 – 45 – 67 + 89 = 100
(2)
123 + 4 – 5 + 67 – 89 = 100
(3)
123 + 45 – 67 + 8 – 9 = 100
(4)
1 + 2 + 34 – 5 + 67 – 8 + 9 = 100
(5)
1 + 23 – 4 + 5 + 6 + 78 – 9 = 100
Estetika Matematika | 6
(6)
1 + 23 -4 + 56 + 7 + 8 + 9 = 100
(7)
12 – 3 – 4 + 5 – 6 + 7 + 89 = 100
(8)
12 + 3 + 4 + 5 – 6 – 7 + 89 = 100
(9)
12 + 3 – 4 + 5 + 67+ 8 + 9 = 100
(10) 123 – 4 – 5 – 6 – 7 + 8 – 9 = 100
(11) 1 + 2 + 3 – 4 + 5 + 6 + 78 + 9 = 100
(12) 1 + 2 – 3 + 4 + 5 + 6 + 78 + 9 = 100
(13) (1)(2)(3)(4) + 5 + 6 + (7)(8) + 9 = 100
(14) 1 + (23)(4) – 5 + 6 + 7 + 8 – 9 = 100
(15) 1 + (23)(4) + 5 – 6 + 7 – 8 + 9 = 100
(16) (1 + 2 – 3 – 4)(5 – 6 – 7 – 8 – 9) = 100
(17) 12 + 3,4 + 5,6 + 7 + (8)(9) = 100
(18) 12(3,4 + 5,6) – 7 + 8 – 9 = 100
(19) 1^23 + 4 + 5 – 6 + 7 + 89 = 100
(20) 1^2345 + 6(7 + 8) + 9 = 100
Hitungan tersebut diatas dan hitungan berikut ini yang merupakan urutan terbalik
adalah gubahan Madachy:
1. 98 -76 + 54 + 3 + 21 = 100
2. 9 – 8 + 76 + 54 – 32 + 1 = 100
3. 9 – 8 + 7 + 65 – 4 + 32 – 1 = 100
4. 9 – 8 + 76 – 5 + 4 + 3 + 21 = 100
5. 98 – 7 – 6 – 5 – 4 + 3 + 21 = 100
6. 9 + 8 + 76 + 5 + 4 – 3 + 2 – 1 = 100
7. 9 + 8 + 76 + 5 – 4 + 3 + 2 + 1 = 100
8. 98 + 7 + 6 -5 – 4 – 3 + 2 – 1 = 100
9. 98 + 7 – 6 + 5 – 4 – 3 + 2 + 1 = 100
10. 98 + 7 – 6 + 5 – 4 + 3 – 2 – 1 = 100
11. 98 + 7 – 6 – 5 + 4 + 3 – 2 + 1 = 100
12. 98 – 7 + 6 + 5 + 4 – 3 – 2 – 1 = 100
13. 98 – 7 = 6 + 5 – 4 + 3 – 2 + 1 = 100
14. 98 – 7 + 6 – 5 + 4 + 3 + 2 – 1 = 100
15. 98 – 7 – 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 100
Estetika Matematika | 7
16. – 9 + 8 + 7 + 65 – 4 + 32 + 1 = 100
17. – 9 + 8 + 76 + 5 – 4 + 3 + 21 = 100
18. – 9 – 8 + 76 – 5 + 43 + 2 + 1 = 100
19. (akar 9)(8) + 76 +akar(5+4) – 3 ! + 2 + 1 = 100
20. – (akar 9) – 8 + 7 + (6 ! – 5^4 + 3^2)(1) = 100
Catatan : Yang dimaksud dengan 3 ! adalah 3 ! = (3)(2)(1)
dan 6 ! = (6)(5)(4)(3)(2)(1) sedangkan 5^4 adalah 5 pangkat 4
6. Fakta angka 9
Fakta dari angka sembilan sebagai angka tertinggi dan ganjil adalah sebagai
berikut.
Fakta Pertama
Setiap angka yang dikalikan dengan angka 9 lalu hasilnya dijumlahkan maka hasilnya
kembali ke angka 9.
1 x 9 = 09 ( 0 + 9 = 9 )
2 x 9 = 18 ( 1 + 8 = 9 )
3 x 9 = 27 ( 2 + 7 = 9 )
4 x 9 = 36 ( 3 + 6 = 9 )
5 x 9 = 45 ( 4 + 5 = 9 )
6 x 9 = 54 ( 5 + 4 = 9 )
7 x 9 = 63 ( 6 + 3 = 9 )
8 x 9 = 72 ( 7 + 2 = 9 )
9 x 9 = 81 ( 8 + 1 = 9 )
Fakta Kedua
Parkalian angka kembar doble dengan angka 9 maka hasilnya terdapat angka 9
ditengahnya. Begitu juga dengan angka kembar triple yg dikalikan angka 9 akan
menghasilkan angka yg mengandung 99 ditengahnya.
22 x 9 = 198 (2x9=18 | 198)
33 x 9 = 297 (3x9=27 | 297)
44 x 9 = 396 (4x9=36 | 396)
55 x 9 = 495 (5x9=45 | 495)
Estetika Matematika | 8
66 x 9 = 594 (6x9=54 | 594)
77 x 9 = 693 (7x9=63 | 693)
88 x 9 = 792 (8x9=72 | 792)
99 x 9 = 891 (9x9=81 | 891)
Khusus angka 11, angka 9 terletak sebelum dari hasil perkalian tersebut. 11 x 9 = 99
(1x9=9 | 99)
222 x 9 = 1998
333 x 9 = 2997
444 x 9 = 3996
555 x 9 = 4995
666 x 9 = 5994
777 x 9 = 6993
888 x 9 = 7992
999 x 9 = 8991
Masih sama khusus angka 111, angka 99 terletak sebelum dari hasil perkalian
tersebut. 111 x 9 = 999 (1x9=9 | 999)
Fakta Ketiga
Setiap angka yg dijumlahkan dengan 9, lalu hasilnya dijumlahkan maka hasilnya
kembali ke angka semula.
1 + 9 = 10 ( 1 + 0 = 1 )
2 + 9 = 11 ( 1 + 1 = 2 )
3 + 9 = 12 ( 1 + 2 = 3 )
4 + 9 = 11 ( 1 + 3 = 4 )
5 + 9 = 14 ( 1 + 4 = 5 )
6 + 9 = 15 ( 1 + 5 = 6 )
7 + 9 = 16 ( 1 + 6 = 7 )
8 + 9 = 17 ( 1 + 7 = 8 )
9 + 9 = 18 ( 1 + 8 = 9 )
Fakta Keempat
Angka 12345679 (tanpa angka 8) dikalikan dengan 9 dan kelipatannya maka hasilnya
adalah sembilan angka yang sama.
Estetika Matematika | 9
12345679 x 09 = 111111111
12345679 x 18 = 222222222
12345679 x 27 = 333333333
12345679 x 36 = 444444444
12345679 x 45 = 555555555
12345679 x 54 = 666666666
12345679 x 63 = 777777777
12345679 x 72 = 888888888
12345679 x 81 = 999999999
Fakta Kelima
Angka yang berurutan antara 1 sampai 9 bila dikalikan 9 lalu ditambahkan 1 - 9
secara berurutan, maka hasilnya mengandung angka 1.
1 x 9 + 1 = 10
12 x 9 + 2 = 110
123 x 9 + 3 = 1110
1234 x 9 + 4 = 11110
12345 x 9 + 5 = 111110
123456 x 9 + 6 = 1111110
1234567 x 9 + 7 = 11111110
12345678 x 9 + 8 = 111111110
123456789 x 9 + 9 = 1111111110
Fakta Keenam
Ini agak sulit dijelaskan, lihat saja penampakannya.
1 x 18 + 1 = 19
12 x 18 + 2 = 218
123 x 18 + 3 = 2217
1234 x 18 + 4 = 22216
12345 x 18 + 5 = 222215
123456 x 18 + 6 = 2222214
1234567 x 18 + 7 = 22222213
12345678 x 18 + 8 = 222222212
123456789 x 18 + 9 = 2222222211
Estetika Matematika | 10
Fakta Ketujuh
Setiap angka 1 sampai 9 dari yang terkecil sampai terbesar bila dikalikan dengan
angka 9, maka hasilnya angka pertama semakin membesar dan angka kedua semakin
mengecil.
1 x 9 = 09
2 x 9 = 18
3 x 9 = 27
4 x 9 = 36
5 x 9 = 45
6 x 9 = 54
7 x 9 = 63
8 x 9 = 72
9 x 9 = 81
Fakta Kedelapan
Tak kalah unik fakta ini juga menarik.
9 x 99 = 891
9 x 999 = 8991
9 x 9999 = 89991
9 x 99999 = 899991
9 x 999999 = 8999991
9 x 9999999 = 89999991
9 x 99999999 = 899999991
9 x 999999999 = 8999999991
9 x 9999999999 = 8999999991
Fakta Kesembilan
Setiap bilangan berapapun yang tidak habis dibagi 9, maka menimbulkan angka
desimal yg berulang di bekakang koma.
10 : 9 = 1,11111111111111
20 : 9 = 2,22222222222222
29 : 9 = 3,11111111111111
39 : 9 = 4,33333333333333
Estetika Matematika | 11
46 : 9 = 5,11111111111111
58 : 9 = 6,44444444444444
64 : 9 = 7,11111111111111
77 : 9 = 8,55555555555555
82 : 9 = 9,11111111111111
D. Kontribusi Matematika dan Aplikasinya
1. Matematika di Dunia Kerja
Dalam dunia kerja matematika digunakan hampir di semua aspek mulai dari
proses seleksi pegawai maupun dalam perhitungan dalam materi pekerjaan di
perusahaan atau instansi tertentu misalnya pembukuan, penjumlah stockbarang dan
lain-lain. Beberapa penerapan matematika dalam bidang kerja tertentu dapat
disampaikan sbb :
1. (Kalkulus) Bidang Kedokteran , Matematika berperan dalam menghitung volume
kanker. dan koordinat-koordinatnya dengan penerapan kalkulus (bisa integral
cakram, cincin, lipat 2, bahakan lipat 3), karena umumnya sel kanker tidak
mungkin bebentuk prisma, tabung, kerucut atau limas yang mudah sekali dihitung
volumenya
2. (Trigonometri) pada teknik sipil, seorang insinyur menggunakan trigonometri
untuk perhitungan sudut-sudut yang super akurat, dengan sistem kurva yang
benar-benar yang tak dijumpai kesalahan.
3. (Peluang) pada ilmu Ekonomi dengan ilmu ini kita belajar menghitung peluang di
berbagai kasus asuransi,
4. (Program Linear) pada Ilmu Manajemen , Pendekatan yang dilakukan dengan
pendekatan permodelan matematika, analisis stastistik, dan teori optimasi
matematis.
2. Matematika dan Ilmu TIK
Teknik informatika dan matematika sangat erat hubungannya. Karena inti
dasar teknik informatika adalah pembuatan software dan di dalam pembuatannya itu
membutuhkan perhitungan dan logika yang pasti. Oleh karena itu, matematika sangat
Estetika Matematika | 12
penting dalam rangka sebagai dasar dan pengembangan dalam majunya teknik
informatika khususnya pembuatan software. Dalam pembuatan software tersebut
menggunakan sistem bilangan biner dan kode bilangan. Semua disusun dengan urutan
tertentu sehingga menghasilkan suatu software yang dapat diguanakan untuk
mempermudah aktivitas kita.
Pemanfaatan teknologi elektronik dalam pembelajaran memberi penguatan
terhadap pola perubahan paradigma pembelajaran. Penggunaan teknologi informasi
dan multimedia menjadi salah satu cara yang efektif dan efisien dalam menyampaikan
informasi kepada peserta didik. Komputer merupakan salah satu teknologi informasi
yang memiliki potensi besar untuk meningkatkan kualitas pembelajaran, khususnya
dalam pembelajaran matematika. Banyak hal abstrak atau imajinatif yang sulit
dipikirkan oleh peserta didik dapat dipresentasikan melalui simulasi komputer.
Latihan dan percobaan-percobaan eksploratif matematika dapat dilakukan peserta
didik dengan menggunakan program-program sederhana untuk penanaman dan
penguatan konsep, membuat permodelan matematika, dan menyusun strategi dalam
memecahkan masalah.
3. Matematika untuk pembuatan Game
Pada kenyataannya, matematika dapat digunakan untuk pembuatan game.
Berikut sedikit ulasan penggunaan matematika untuk pembuatan game:
1. Koordinat Grafik
Dalam bidang Computer Graphics (termasuk game dan animasi), sistem
koordinat kartesian adalah ilmu dasar yang perlu dikuasai, karena semua objek
yang muncul di layar adalah sebuah gambar yang memiliki posisi tertentu.
Game
2D
seperti
Angry
Birds
menggunakan sistem koordinat yang berbeda
dengan game 3D seperti Ace Combat. Perbedaan
2D dan 3D adalah jumlah dimensinya, 2D
memiliki posisi horizontal (kanan-kiri) dan posisi
vertikal (atas-bawah), sedangkan 3D memiliki
Gambar 5 Tampilan Angry Birds
Estetika Matematika | 13
satu informasi posisi lagi, yaitu kedalaman (jauh-dekat objek dari layar).
2. Transformasi
Transformasi adalah fungsi/operasi untuk mengubah suatu posisi di sistem
koordinat. Tiga fungsi transformasi utama adalah translasi, rotasi, dan dilatasi.
Dalam game, yang paling umum digunakan adalah translasi dan rotasi.
Translasi adalah fungsi perpindahan
dari satu titik ke titik lain. Contohnya
titik (10,0) diberikan fungsi translasi
(3,4) akan menjadi (13,4). Terkadang
kita perlu menentukan fungsi translasi
jika diketahui titik awal dan akhir.
Rotasi adalah fungsi perputaran, biasa
Gambar 6 Game Sepak Bola
digunakan untuk mengubah arah hadap
pemain dalam game sepakbola. Informasi rotasi biasa dituliskan dalam bentuk
nilai derajat perputaran objek, misalnya 0 berarti menghadap ke kanan, 45 ke
kanan atas, 90 ke atas, begitu seterusnya sampai derajat 360 yang berarti
menghadap ke kanan juga. (satu lingkaran penuh sama dengan 260 derajat)
Dilatasi berarti fungsi skala, misalnya digunakan dalam menghasilkan
tampilan minimap dalam game sepakbola. Posisi-posisi permain di lapangan
akan diubah ke posisi yang sesuai dalam skala lebih kecil.
4. Memecahkan Masalah dengan Berbagai Kemungkinan (Aplikasi Penggunaan
Suku Banyak)
Ternyata kecelakaan pesawat itu disebabkan oleh banyak sekali faktor.
Beberapa di antaranya yaitu kesalahan manusia, masalah navigasi, cuaca,
kerusakan mesin, body pesawat yang sudah tidak memenuhi syarat, dan lain-lain.
Jika factor-faktor tersebut diberi nama suku x1, x2, x3, …., xn maka terdapat
banyak suku dalam satu kesatuan. Dalam ilmu Matematika, hal demikian
dinamakan suku banyak. Pada hal ini, kamu akan belajar lebih lanjut mengenai
aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah. Dengan mempelajarinya, kamu
akan dapat menggunakan algoritma pembagian suku banyak untuk mencari hasil
Estetika Matematika | 14
bagi dan sisa, serta menggunakan teorema sisa dan teorema faktor dalam
pemecahan masalah.
5. Jual-beli dan sebagainya (Aplikasi penggunaan Aljabar)
Tanpa disadari, kita sering menggunakan perhitungan aljabar dalam
kehidupan sehari-hari. Banyak manfaat yang dapat diambil. Kita bisa dengan
cepat menyelesasikan masalah persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel,
masalah aritmetika sosial, bahkan kita juga bisa menggunakan perbandingan
untuk menyelesaikan suatu masalah. Misalnya saja ada seorang developer yang
ingin membeli tanah untuk membangun perumahan, developer itu bisa
memperkirakan berapa luas tanah yang harus dibeli, dan berapa jumlah rumah
yang harus dibangun supaya bisa mendapat keuntungan.
6. Penyajian Data dalam Berbagai Bidang (Aplikasi Penggunaan Statistika)
Biasanya di papan informasi terdapat gambar lingkaran, grafik garis,
batang, atau balok-balok. Grafik-grafik itu merupakan gambaran mengenai
pencacahan penduduk, perhitungan pajak, dan perkembangan kemajuan sekolah.
Contoh-contoh tersebut merupakan salah satu aplikasi dari konsep statistika.
Dalam perkembangannya, statistika sekarang banyak dimanfaatkan dalam
berbagai bidang seperti bidang ekonomi, kedokteran, pertanian dan sebagainya.
Penelitian jenis manapun dirasa kurang lengkap apabila tidak memanfaatkan
perhitungan-perhitungan statistika. Dalam hal ini kamu akan belajar menggunakan
aturan statistika, sehingga dapat membaca dan menyajikan data dalam bentuk
table dan berbagai diagram serta menghitung ukuran pemusatan, ukuran letak, dan
ukuran penyebaran data beserta penafsirannya.
7. Mencari Kapasitas Penonton Dalam Stadion (Aplikasi Barisan dan Deret)
Konsep barisan dan deret bilangan sangat penting peranannya dalam ilmu
pengetahuan dan teknologi serta dalam kehidupan sehari-hari, seperti uraian
berikut ini. Sebuah stadion olahraga yang baru dibangun mempunyai 100 tempat
duduk pada barisan paling depan di tribun barat dan timur, serta 60 tempat duduk
pada barisan paling depan di tribun utara dan selatan. Setiap baris tempat duduk
tersebut 4 kursi lebih banyak daripada baris di depannya. Nah kemudian dicari
kapasitas penonton dalam stadion tersebut jika terdapat 25 baris tempat duduk
dengan menggunakan konsep barisan dan deret.
Estetika Matematika | 15
E. SUMBER RUJUKAN
Anonim. Matematika Untuk Membuat Game. Web: gedebuk.org
Anonim.
2013.
Penerapan
Matematika
dalam
Kehidupan.
Web:
matematrick.blogspot.com
Betts, Paul & McNaughton, Kathryn. Adding an Aesthetic Image to Mathematics
...........Education
Gygyh. 2013. Keunikan Angka. (gigyhardians.wordpress.com diakses pada 18 Mei 2015)
Harjanto.
2013.
Keterkaitan
antara
Matematika
dengan
TIK.
Web:
totok3harjanto.wordpress.com
Hewitt, D. 2006. Proceedings of the British Society for Research into Learning
Mathematics
Karim.
2013.
26(1). bsrlm.org.uk
Fakta
Keistimewaan
dan
Keunikan
Angka
Sembilan.
(elzivian.mywapblog.com diakses pada 18 Mei 2015)
Teguh, Mega. 2014. Sistem Geometri. Surabaya:UNESA Unipress.
Widodo. 2012. Keindahan Matematika. Web: p4tkmatematika.org
Estetika Matematika | 16