FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN (1)

SPESIFIKASI KEADAAN DARI SEBUAH SISTEM

Disusun oleh :
KELOMPOK : IX
NAMA

: NOVYA AFRYANTY
SAHIRA AWANIS
ROSAYANI SIREGAR
RAJA INDRA ALAMSYAH

KELAS

: DIK FISIKA D 2015

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU
PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
2017

1

KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Alah SWT, karena atas berkat dan
rahmatnya penulis mampu menyelesaikan makalah yang berjudul “Karakteristik
Sistem Makroskopik” ini. Makalah ini dibuat untuk memenuhi tugas yang
diajukan oleh bapak M. Aswin Rangkuti selaku dosen mata kuliah Fisika Statistik.
Makalah ini juga bermanfaat untuk menambah pengetahuan pembaca khususnya
penulis.
Penulis mengucapkan terimakasih kepada bapak M. Aswin Rangkuti selaku
dosen pengampu matakuliah Fisika Statistik, kepada orangtua penulis, kepada dan
terimakasih kepada seluruh teman-teman terkasih Fisika Dik D 2015 yang telah
memberikan bantuan dan masukan dalam penyelesaian makalah ini. Serta penulis
mengucapkan terimakasih kepada seluruh pihak yang turut andil dalam penulisan
makalah ini yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.
Semoga makalah ini dapat berguna untuk pembaca, khususnya kepada penulis.
Penulis sangat mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari para
pembaca demi perbaikan di masa yang akan datang.

Medan, 6 Marer 2017

Penulis

2

DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR.......................................................................................2
DAFTAR ISI.....................................................................................................3
BAB I PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang....................................................................................4
1.2. Rumusan Masalah...............................................................................4
1.3. Tujuan.................................................................................................5
BAB II PEMBAHASAN
2.1...............................................................................................................Spesi
fikasi Keadaan Sistem...........................................................................6
2.2...............................................................................................................Proba
bilitas.....................................................................................................8
2.3...............................................................................................................Juml
ah Keadaan yang Diizinkan Untuk Sebuah Sistem Makroskopik........11
BAB III PENUTUP
3.1. Kesimpulan. .........................................................................................14

Daftar pustaka ..................................................................................................15

3

BAB I
PENDAHULUAN
1.2. LATAR BELAKANG
Kebolehjadian (probability) merupakan konsep penting dalam statistik.
Kebolehjadian adalah ukuran kuantitatif akan terealisasinya suatu harapan atau
kemungkinan (possibility). Sebagai contoh,dalam suatu percobaan acak misalnya
pelemparan dadu terdapat 6 kemungkinan. Kebolehjadian munculnya angka 4
(ditulis P(4)) adalah 1/6. Makna fisis dari P(4) = 1/6 adalah bahwa jika dadu
dilemparkan N kali, maka angka 4 akan muncul kurang lebih sebanyak P(4).N =
(N/6) kali. Untuk 600 kali lemparan, angka empat muncul sekitar 100 kali. Semua
kemungkinan dari suatu percobaan acak membentuk himpunan yang disebut
ruang cuplikan (sample space). Untuk contoh yang disebutkan di atas, ruang
cupilkan memiliki 6 anggota yaitu: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Ruang cuplikan untuk
dua kali lemparan adalah S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), · · · , (2, 1), (2, 2),
· · · , (6, 6)} yang terdiri atas 36 anggota. Ruang cuplikan yang terakhir ini sama
dengan ruang cuplikan pelemparan secara bersamaan dua buah dadu. Elemen (1,

1) dari ruang cuplikan pertama adalah representasi dari dua kali lemparan,
sedangkan (1, 1) untuk yang ke- dua adalah representasi dari sebuah lemparan.
Hal ini berarti bahwa dua percobaan acak berbeda dapat meiliki ruang cuplik yang
sama. Jika menggunakan bahasa teori relativitas (sistem koor- dinat ruang-waktu
(4D)), (1, 1) untuk yang pertama adalah representasi dari dua buah peristiwa
(event), sedangkan (1, 1) untuk yang kedua adalah sebuah peristiwa. Konsep
peristiwa/kejadian dalam statistik, sebagaimana akan disinggung, berbeda dengan
konsep peristiwa dalam Teori Relativitas.
1.2. RUMUSAN MASALAH
Untuk membatasi ruang lingkup pembahasan, maka penulis merumuskan
beberapa permasalahan yang akan dibahas, yaitu:
a. Apa itu sfesifikasi keadaan sistem ?
b. Apa itu probabilitas ?

4

c. Bagaimana jumlah keadaan yang diizinkan untuk sebuah sistem
makroskopik ?
1.3. TUJUAN
Berdasarkan rumusan masalah di atas, ,aka tujuan dari pemulisan makalah ini

yaitu:
a. Mengetahui sfesifikasi keadaan sistem
b. Mengetahui tentang probabilitas
c. Mengetahui bagaimana jumlah keadaan yang diizinkan untuk sebuah
sistem makroskopik

5

BAB II
PEMBAHASAN
2.1. SPESIFIKASI KEADAAN SISTEM

Sistem ini dapat terdiri dari elektronelektron, atom-atom, atau molekulmolekul. Dapat dideskripsikan dengan kaidah mekanika kuantum sistem dapat
dijelaskan Ψ(q1, q2, q3, q4,…. qf)

fungsi dari f koordinat (termasuk spin)

Bilangan f merupakan derajat kebebasan system
Contoh 1:
Sistem yang terdiri dari partikel tunggal dengan posisi tetap tetapi memiliki spin

½ (yakni momentum angular intrinsik ½h )
Dalam deskripsi mekanika kuantum, keadaan partikel ini dispesifikasi oleh
proyeksi spin pada sumbu tetap (misal z).

6

Contoh 2:
Kalau ada N partikel pada posisi tetap.
Keadaan seluruh sistem dapat dinyatakan dengan bilangan kuantum m1, m2, m3,
…. mN (m bisa ½ atau -½ )

Contoh 3:
Suatu sistem yang terdiri dari harmonik osilator sederhana satu dimensi. Keadaan
kuantum yang mungkin memiliki energi:
En = (n + ½)hω
disini n = 0,1,2,3,4,….

Contoh 4:
Partikel tanpa spin dalam kotak
0 ≤ x≤ Lx

0 ≤ y≤ Ly
0 ≤ z≤ Lz

Memenuhi persamaan Schrodinger

{

}

−ℏ2 ∂2
∂2
∂2
+
+
ψ=Eψ
2 m ∂ x2 ∂ y 2 ∂ z 2
Fungsi gelombang yang memenuhi syarat batas:
nx x
n Y
n Z

sin π y sin π z
Lx
Ly
Lz

( ) (

ψ=sin π

) (

)

Menghasilkan energi yang memenuhi
2
2
2
ℏ 2 2 n x n y nz
E=
π

+ +
2m
L2x L2y L2z

(

)

Keadaan partikel dapat dispesifikasi oleh tiga bilangan kuantum.

7

2.2. PROBABILITAS

A. Pengertian Probabilitas
Probabilitas atau Peluang adalah suatu ukuran tentang kemungkinan suatu
peristiwa (event) akan terjadi di masa mendatang. Probabilitas dapat juga
diartikan sebagai harga angka yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan
suatu peristiwa

terjadi,

di

antara keseluruhan

peristiwa

yang

mungkin

terjadi. Probabilitas dilambangkan dengan P.
P (E) = X/N
P: Probabilitas
E: Event (Kejadian)
X: Jumlah kejadian yang diinginkan (peristiwa)
N: Keseluruhan kejadian yang mungkin terjadi
Probabilitas

yang

rendah

menunjukkan

kecilnya kemungkinan

suatu

peristiwa akan terjadi. Suatu probabilitas dinyatakan antara 0 sampai 1 atau
dalam presentase. Probabilitas 0 menunjukkan peristiwa yang tidak mungkin
terjadi, sedangkan probabilitas 1 menunjukkan peristiwa yang pasti terjadi.
Ada tiga hal penting dalam probabilitas, yaitu:
1. Percobaan adalah pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau proses yang
memungkinkan timbulnya paling sedikit 2 peristiwa tanpa memperhatikan
peristiwa mana yang akan terjadi.
2. Hasil adalah suatu hasil dari sebuah percobaan.
8

3. Peristiwa adalah kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuah
percobaan atau kegiatan.
Berbicara dengan suatu keadaan pengamatan maka kita terkait dengan
keadaan yang menggambarkan pengamatan sedang berlangsung, misal keadaan
tersebut kita namakan dengan keadaan yang diizinkan. W(E) adalah jumlah
keadaan yang diizinkan ketika pengamatan berlangsung, yaitu ketika sistem yang
kita amati memiliki energi dalam rentang E = E + dE, maka untuk
menggambarkan jumlah peluang suatu keadaan yang sedang berlangsung dapat
kita nyatakan dengan mudah. Misal untuk “i” pengamatan, Wi adalah jumlah
keadaan yang diizinkan ketika sistem memiliki rentang energi dari Ei= Ei + dEi,
maka peluang untuk mendapatkan keadaan ini adalah:
pi=

Ωi
Ω

dengan Ω jumlah semua keadaan yang diizinkan, sehingga nilai rata-rata untuk
parameter y pada keadaan i memenuhi
n

n

1
Ῡ=∑ p i y i = ∑ Ωi yi
Ω i
i

Kebolehjadian dari suatu peristiwa A dapat dihitung dengan prosedur berikut
(a) Susun ruang cuplikan,
(b) Beri nilai kebolehjadian dari setiap elemen (untuk percobaan acak, setiap
elemen bernilai
sama).
(b) Tandai elemen yang bersesuaian dengan peristiwa A, dan jumlahkan
kobolehjadiannya.
Peristiwa A dan B , (a)A ∪ B (b) A ∪ B (c) A dan B eksklusif.
Konsep kebolehjadian yang berhubungan dengan ruang cuplikan (himpunan)
memungkinkan kita menggunakan teori himpunan. Gabungan peristiwa A dan B
9

dituliskan sebagai A ∪ B, dimana anggotanya adalah anggota dari A atau B atau
kedaunya. Irisan antara peristiwa A dan B ditulis A ∩B adalah himpunan yang
aggotanya merupakan anggota dari A dan B . Jika A ∩B = ∅ ( irisan antara A dan
B merupakan himpunan kosong), maka A dan B disebut tidak saling terhubung
(mutually exclusive). Hubungan kebolehjadian dari dua peristiwa berbeda dapat
diperoleh melalui peninjauan ruang cuplikan.
Teorema 4.1 Jika irisan antara A dan B tidak kosong, maka
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
sebaliknya jika keduanya (mutuallay exclusive) maka
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Contoh soal
Peristiwa A dan B dihubungkan dengan pelemparan dua buah koin dengan
definisi:
A: peristiwa dengan hasil lemparan kedua belakang, A = {MB,BB}
B: peristiwa dengan hasil lemparan sedikitnya satu muka, B = MM,MB,BM
selesaikanlah operasi himpunan berikut:
(a) A ∪ B
(b) A ∩ B
(c) A − B
(d) A′ (Complemen dari A).
Solusi
A ∪ B → Union: Elemen dari A atau B atau keduanya = MM, MB, BM, BB
B ∩ A = A ∩ B → Irisan (Intersection): Elemen A dan B = MB
B − A → Selisih (Difference): Elemen B yang bukan A = MM, BM
B′ → komplemen B: bukan B = BB
Penggunaan kata kebolehjadian atau peluang juga sering dijumpai dalam
peramalan, misalnya peramalan cuaca. Jika disebutkan bahwa besok pagi
berpeluang hujan dengan kebolehjadian 70%, tidaklah berarti bahwa kita dapat
membuat ruang cuplikan lalu dari peristiwa yang mungkin kemudian menghitung
kebolehjadian. Dengan perkataan konsep kebolehjadian dalam kaitan dengan

10

ramalan cuaca, dan semacamnya dinamakan Hessian. Disini, kebolehjadian tidak
secara eksplisit berkaitan dengan ruang cuplikan, melainkan lebih pada kuantisasi
dari harapan (expectation).

2.3.

Jumlah Keadaan yang Diizinkan untuk Sebuah Sistem Makroskopik

Gambar diatas adalah suatu sistem dengan N partikel. Mengingat
kekompleksan yang ada pada sistem ini maka kita batasi pengamatan kita pada
variabel yang terukur saja. Untuk memudahkan mengetahui bagaimana keadaan
sistem tersebut maka variabel yang teramati ini dinyatakan dalam fungsi energi
f(E).
Ω(E) adalah jumlah keadaan yang diizinkan oleh sistem yang memiliki
energi E →E + δE. Jika f(E) adalah fungsi energi yang menggambarkan jumlah
keadaan yang diizinkan oleh sistem yang memiliki energi ≤ E, maka f(E + δE)
adalah jumlah keadaan yang diizinkan oleh sistem yang memiliki energi ≤(E +
δE).

11

Dari perumusan tersebut, maka jumlahkeadaan yang diizinkan oleh sistem
yang memiliki energi E →E + δE dapat dituliskan menjadi:

Ω(E) = f(E + δE)-f(E)
Harga f(E) dapatdiperoleh dengan melakukan diferensial total
Ω ( E )=

:

d
f ( E ) −d ( E)
dE

Jika harga f(E)telah diperoleh, maka sekarang kita menentukan keadaan yang
diizinkan oleh sistem terdefinisi jika sistem mengalami perubahan dari tingkatan
energi E→ E +δE
Ω ( E )=

yaitu :

df ( E )
δE
dE

Dengan δE

menunjukkan perubahan secara infinitesimal
d L
L 2m
Ω ( E )=
√ 2 Em δE ⇒ Ω ( E )=
dE 2 π
2h π E

(

)

( )

1/2

δE

dengan Ω(E) adalah jumlah keadaan yang diizinkan dari sistem ini dengan adanya
perubahan secara infinitesimal.
Sekarang bagaimana menentukan jumlah keadaan yang diizinkan dari partikel
yang berada dalam kotak 3 dimensi itu? caranya adalah dengan menurunkannya
terhadap fungsi energi sehingga diperoleh :

Ω ( E )=

d
f ( E ) −d ( E)
dE

Ω ( E )=

d 1 L 3
(2 mE )3/ 2 δE
dE 6 π h π

Ω ( E )=

d 1 L
dE 6 π h π

( ( )
( ( )

3

)

1

1

Ω ( E )=

)

1
3
(2 mE ) 2 E 2 δE
2
1

V
(E) 2 (2mE ) 2 δE
2 3
4π h

12

Untuk jumlah partikel yang cukup banyak N, maka kita akan melihat
kesebandingan fungsi energi terhadap satu satuan tingkat energi. Di dalam ruang
energi yang memenuhi eksklusi Pauli, maka satu satuan ruang energi hanya dapat
dimiliki oleh satu partikel, sehingga fungsi energi
yang memenuhi

:
e−e
¿
f (e)α ¿
¿

, dengan α ~ 1.

Dengan demikian hubungan antara energi total dan sub energi pada tingkat
energi dapat dinyatakan dengan E- Eo~ N(e-eo).
Mengingat fungsi ini menggambarkan jumlah keadaan yang diizinkan yang
berkaitan dengan jumlah kombinasi yang diperbolehkan ketika sistem berada
dalam suatu harga variabel, maka untuk menggambarkan hubungan fungsi energi
terhadap fungsi energi untuk satu satuan tingkat energi dapat dinyatakan dengan:

f(E) ~

N

[f ( e ) ]

Sehingga jumlah keadaan yang diizinkan ketika pengukuran berlangsung Ω(E),
memenuhi persamaan:

Ω ( E )=

df ( E )
∆E
dE

~

[f ( e ) ]N −1

df ( e )
∆E
dE

=

f ( e )N −1

df ( e )
∆E
dE

Karena harga N >> 1, maka persamaan di atas menjadi :
ln Ω ( E )= ( N −1 ) ln f ( e ) +ln

df ( e )
∆E
d

BAB III
PENUTUP
3.1. KESIMPULAN
13

Probabilitas atau Peluang adalah suatu ukuran tentang kemungkinan suatu
peristiwa (event) akan terjadi di masa mendatang. Probabilitas dapat juga
diartikan sebagai harga angka yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan
suatu peristiwa

terjadi,

di

antara keseluruhan

peristiwa

yang

mungkin

terjadi. Probabilitas dilambangkan dengan P

DAFTAR PUSTAKA

Ismail, dkk. 2014. Statistika Matematika I. Surabaya: Universitas Negeri
Surabaya

14

Maron, Samuel H dan Jerome B. Lando. Fundamentals of Physical Chemistry.
London: Collier Macmillan Publisher
Walpole, R. E. dan Myers, R. H. 1995. Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur
dan Ilmuwan Edisi Ke-4. Bandung: ITB Press.

15