PENGGUNAAN ANALISIS MULTIVARIAT PADA DAT
PENGGUNAAN ANALISIS MULTIVARIAT PADA DATA SURVEY KEPUASAN PELANGGAN PDAM KOTA BUKITTINGGI SUMATERA BARAT TAHUN 2005 MELLYNA EKA YAN FITRI UNIVERSITAS INDONESIA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM DEPARTEMEN MATEMATIKA DEPOK
PENGGUNAAN ANALISIS MULTIVARIAT PADA DATA SURVEY KEPUASAN PELANGGAN KOTA BUKITTINGGI SUMATERA BARAT TAHUN 2005
Skripsi diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
Oleh: MELLYNA EKA YAN FITRI 0302017029
DEPOK 2005
SKRIPSI : PENGGUNAAN ANALISIS MULTIVARIAT PADA DATA SURVEY KEPUASAN PELANGGAN KOTA BUKITTINGGI SUMATERA BARAT TAHUN 2005
NAMA :
MELLYNA EKA YAN FITRI
NPM :
SKRIPSI INI TELAH DIPERIKSA DAN DISETUJUI DEPOK, Juli 2006
Dra. Titin Siswantining D.E.A. Dra. Yekti Widyaningsih M. Si PEMBIMBING I
PEMBIMBING II
Tanggal lulus Ujian Sidang Sarjana: Juli 2006
Penguji I : Dra. Yekti Siswantingsih M.Si Penguji II : Dra. Dian Lestari Penguji III : Rahmi Rusin, S.Si, M.Sc. Tech
KATA PENGANTAR
Alhamdulillahirabbil’alamin, penuliskan ucapkan puji dan syukur kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya bagi
penulis, hingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini. Penulis sangat bersyukur pada Allah SWT, karena mendapatkan dukungan yang luar biasa dari berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih kepada :
1. Ibu Dra. Titin Siswantining DEA, dan Ibu Dra. Yekti Widyaningsih Msi. sebagai pembimbing I dan pembimbing II, beliau berdua sudah seperti orang tua bagi penulis, banyak membantu, memotivasi, mengajarkan hal- hal positif, kesabaran, pengertian dan perhatian yang beliau berikan selalu membuat penulis terus bersemangat, terima kasih.
2. Bapak Al Haji dan Ibu Titin selaku dosen pembimbing akademik penulis, terima kasih atas perhatian, semangat dan nasehat yang Bapak dan Ibu berikan, sehingga penulis bisa bertahan di Math UI hingga selesai tugas akhir ini.
3. Kepada dosen-dosen penguji seminar tugas akhir penulis, Ibu Sakya, Ibu
Dian, Ibu Ida, Ibu Nur, Uni Milla, Mba Sarini,Mba Rahmi, dan Mba Fevi, terima kasih yang sebesar-besarnya atas semua masukan dan kritikannya. Kepada semua dosen yang telah banyak membantu dan mengajarkan penulis, Ibu Bella, Ibu, Suarsih, Ibu Lingga, Ibu Sri Harini,
Ibu Kasiyah, Ibu Nora, Mba Hellen, Mba Dian, Pak Zuherman, Pak Yudi, Kak Arie, Pak Alhadi dan semua dosen math UI, terima kasih. Kepada Mba Santi, Mba Rusmi, Mas Ratmin, Mas Iwan, Pak Anshori dan Da Salman, terima kasih atas kerjasama yang baik.
4. Orang tercinta, Papa Ir. Mawardi dan Mama Dasnamiwati S.E., yang menjadi tempat mengadu, yang tak henti-hentinya mendoakan, memberikan kepercayaan, mendukung dan selalu menyemangati penulis sampai saat ini. Terima kasih yang sebesar-besarnya atas semua yang diberikan pada penulis. Dan juga terima kasih untuk almarhum Kakek, untuk Nenek, Nek Datuk, Aki Datuk, Ibu, Ayah, Makdang, Maiadang, Makngah, Maketek, Pakngah, Angah, Paketek, Tekti, Ante Des, Ante Id, Uniang, Makuncu, Taci, Ngah Dewi yang selalu memberikan semangat dan doa pada penulis hingga saat ini. Begitu juga kepada adik-adik penulis, Rissa, Rizki, Putri, Repi, Febri, Niva, Rio, Andini, Rasyid, Fikri, Dian, Dedi, Zikri, Andi yang selalu menghibur dan menyemangati penulis.
5. Untuk Paketek Am, Tante Linda, Ibu, Abah, Om Nova dan Ante yang selalu memberikan nasehat dan semangat untuk penulis. Dan terima kasih untuk semua keluarga yang tidak bisa penulis sebutkan satu persatu.
6. Untuk sahabat penulis Ojix yang tak pernah bosan dan yang selalu memarahi dan menyemangati penulis ketika lagi malas serta banyak pelajaran yang penulis dapatkan dari Ojix, terima kasih yang sebesar- besarnya. Untuk Marlina dan Tuti yang selalu memberikan semangat 6. Untuk sahabat penulis Ojix yang tak pernah bosan dan yang selalu memarahi dan menyemangati penulis ketika lagi malas serta banyak pelajaran yang penulis dapatkan dari Ojix, terima kasih yang sebesar- besarnya. Untuk Marlina dan Tuti yang selalu memberikan semangat
7. Untuk Om Budi yang membantu kelancaran tugas akhir penulis ini. Terima kasih yang sebesar-besarnya.
8. PDAM Kota Bukittinggi yang telah bersedia memberikan data hasil Survey Kepuasan Pelanggan tahun 2005.
9. Pak Jonathan yang selalu memberikan pemikiran dan masukan yang positif untuk penulis, dan juga Micha yang sudah penulis anggap sebagai kakak dan selalu memberikan nasehat dan semangat untuk penulis. Terima kasih untuk teman-teman magang PT Indofood, untuk Putri yang
ga bisa diam, untuk Rony “si jam untuk makan siang”, dan Agnes, dan semuanya yang tidak bisa disebut satu persatu.
Penulis sangat berharap skripsi ini dapat bermanfaat bagi para pembaca. Penulis menyadari tulisan ini masih banyak kekurangan, oleh karena itu penulis menerima masukan berupa kritik dan saran atas tulisan ini. Akhir kata, selamat membaca, semoga bermanfaat
Depok, Juli 2006
Penulis
ABSTRAK
Kepuasan adalah perasaan seseorang yang berhubungan dengan kenyamanan atau kekecewaan sebagai akibat perbandingan antara pelayanan yang dirasakan dengan harapannya. Penelitian ini bertujuan untuk mengukur tingkat kepuasan pelanggan PDAM dan menentukan faktor-faktor yang perlu diperhatikan PDAM kota Bukittinggi dalam meningkatkan kualitas pelayanannya dalam penyediaan air bersih. Pengambilan data dalam penelitian ini menggunakan metode survey. Metode statistik yang digunakan untuk menganalisis data adalah analisis faktor, analisis diskriminan dan analisis gap. Dengan analisis faktor, diperoleh tujuh aspek yang mempengaruhi kepuasan pelanggan. Analisis diskriminan dikerjakan pada ketujuh aspek tersebut. Hasilnya terdapat perbedaan pelayanan yang diberikan PDAM pada lima wilayah layanannya. Analisis gap (kesenjangan) memberi kesimpulan bahwa terdapatnya faktor-faktor yang harus ditingkatkan PDAM agar sesuai dengan harapan pelanggan.
Kata kunci : kepuasan, kepentingan, analisis faktor, komponen utama, analisis diskriminan, analisis gap, tingkat kesesuaian.
Xii + 87 hlm.; lamp.
Bibiliografi : 8 (1994-2004)
4.2 Saran………………………………………………………….. 84 DAFTAR PUSTAKA………………………………………………………….. 87
DAFTAR GAMBAR
Gambar Halaman
1 . Diagram kartesius tingkat kesesuaian pelanggan ............................ 47
2 . Diagram berdasarkan karakteristik pendapatan dan pengeluaran
pelanggan PDAM................................................................................ 54
78
3 . Diagram kartesius tingkat kesesuaian pelanggan rumah tangga .....
81
4 . Diagram kartesius tingkat kepuasan pelanggan non rumah tangga.
DAFTAR TABEL
Tabel Halaman
1. Interpretasi dari nilai KMO..……………………………………………… ....28
2. Struktur data dalam analisis diskriminan.................................. ......... 35
51
3. Karakteristik pelanggan berdasarkan pendidikan terakhir.................
52
4. Karakteristik pelanggan berdasarkan jenis pekerjaan ......................
5. Pemanfaatan sumber selain PDAM.................................................... 54
54
6. Alasan pelanggan menggunakan sumber air selain PDAM................
7. Karakteristik berdasarkan jenis kegiatan usaha /
sosial................................... .............................................................. 55
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Salah satu ciri perekonomian dinamis ditandai dengan keikutsertaan perusahaan-perusahaan yang berperan aktif dalam menunjang pembangunan. Tujuan perusahaan adalah memenuhi kebutuhan sosial masyarakat dan mempertahankan hidup perusahaan tersebut. Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM) adalah salah satu perusahaan yang memiliki tujuan tersebut.
Perusahaan Daerah Air Minum bertujuan untuk memberikan pelayanan umum berupa jasa kepada masyarakat dengan jalan memenuhi dan mengusahakan kebutuhan air minum yang bersih dan sehat bagi kesehatan masyarakat. PDAM sebagai perusahaan daerah yang eksistensi dan fungsinya sangat penting bagi masyarakat dan pemerintahan daerah, pimpinan dan segenap karyawannya harus mempunyai komitmen yang tinggi dalam mengembangkan, meningkatkan, serta memperbaiki sistim manajemen yang ada dengan cara yang profesional dan jelas, serta berkesinambungan.
Pelanggan merupakan hal yang sangat penting dalam suatu lingkungan usaha, karena produsen tergantung pada pelanggan dan Pelanggan merupakan hal yang sangat penting dalam suatu lingkungan usaha, karena produsen tergantung pada pelanggan dan
Secara umum, kepuasan adalah nilai yang diperoleh pelanggan dengan membandingkan manfaat yang dirasakan terhadap harga yang dikeluarkan saat membeli suatu produk. Jika manfaat yang dirasakan pelanggan semakin besar dibandingkan biaya yang dikeluarkan, maka nilai dari tingkat kepuasan akan semakin besar, sehingga perusahaan akan selalu memperbesar manfaat, apabila harga tetap atau tidak dapat diturunkan.
Menurut Kotler (1997), kepuasan adalah perasaan seseorang yang berhubungan dengan kenyamanan atau kekecewaan sebagai akibat dari perbandingan antara pelayanan yang dirasakan dengan harapannya. Jadi kepuasan tergantung pada kinerja yang ditawarkan, yang dikaitkan dengan terpenuhi atau tidak terpenuhinya harapan pelanggan.
Sehubungan dengan tingkat kepuasan, banyak perusahaan yang berusaha untuk mencapai tingkat kepuasan pelanggan yang tinggi. Karena jika pelanggan sudah sangat puas maka mereka tidak mudah untuk berpindah kepada suatu penawaran lain yang lebih baik.
Konsep kepuasan pelanggan lebih diutamakan pada tingkat ekspektasi atau harapan pelanggan, dan tidak hanya pada kebutuhan dan kemauan pelanggan, tapi lebih jauh pada harapan pelanggan. Sehubungan dengan hal ini, negara kita memiliki undang-undang perlindungan hak konsumen, yaitu
1. Undang-Undang tentang perlindungan konsumen (No.8 Th.1999)
2. Surat edaran Menteri Dalam Negeri melalui Dirjen PUMDA, No.690/947/PUMDA, tentang Buku Petunjuk Pelaksanaan Survey Kepuasan Pelanggan (SKP) bagi PDAM di Indonesia.
Sejak dikeluarkannya undang-undang tentang perlindungan hak konsumen, disadari oleh pihak PDAM bahwa hak-hak konsumen sebagai pengguna produk akan dilindungi dengan hukum yang pasti. Kesadaran masyarakat akan hak-hak konsumen selama ini kurang mendapat perhatian untuk menjadikannya sebagai faktor utama yang mendorong PDAM dalam menjalankan kebijakan di bidang manajemen, baik internal maupun eksternal. Dengan didasari oleh undang-undang perlindungan hak konsumen, maka PDAM seluruh Indonesia, khususnya Bukittinggi melakukan suatu survey untuk mengukur kepuasan pelanggan. Melalui Survey Kepuasan Pelanggan (SKP), PDAM mengharapkan untuk memperoleh umpan balik secara langsung dari pelanggan, dan sekaligus memberikan upaya positif bagi PDAM untuk meningkatkan pelayanannya.
Berdasarkan uraian di atas, tulisan ini akan membahas lebih lanjut tentang “ Penggunaan Analisis Multivariat pada Data Survey Kepuasan Pelanggan Kota Bukittinggi Sumatera Barat Tahun 2005”.
1.2 Perumusan Masalah
Permasalahan dalam penelitian ini, adalah
1. Bagaimanakah tingkat kepuasan atas pelayanan yang diberikan PDAM selama ini.
2. Apakah ada perbedaan kepuasan pelanggan PDAM pada lima wilayah layanan di Bukittinggi dan wilayah layanan manakah yang harus ditingkatkan.
1.3 Pembatasan Masalah
Penelitian ini hanya berlaku untuk PDAM Daerah Tingkat II Kota Bukittinggi, Sumatera Barat.
1.4 Hipotesis
Hipotesis dalam penelitian ini adalah: Ada perbedaan tingkat kepuasan pelanggan PDAM di tiap wilayah layanan Daerah Tingkat II Kota Bukittinggi.
1.5 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian adalah sebagai berikut:
1. Untuk mengetahui faktor-faktor yang mempengaruhi kepuasan pelanggan PDAM Bukittinggi, dilakukan dengan menggunakan analisis faktor.
2. Untuk mengetahui tingkat kepuasan pelanggan di tiap wilayah layanan dilakukan, dengan menggunakan analisis diskriminan.
3. Untuk mengetahui kesesuaian antara pelayanan yang diharapkan dengan pelayanan yang dirasakan pelanggan, dilakukan dengan menggunakan analisis gap.
1.6 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini dapat memberikan saran-saran dan perbaikan pelayanan bagi PDAM Bukittinggi.
1.7 Metode Penelitian
Penelitian ini menggunakan data sekunder dari PDAM Bukittinggi. Kuisioner terbagi atas tiga jenis yaitu kuisioner 1 untuk pelanggan rumah tangga, kuisioner 2 untuk non pelanggan dan kuisioner 3 untuk pelanggan non rumah tangga. Wilayah survey meliputi lima wilayah administrasi Daerah Tingkat II Bukittinggi. Jumlah responden yang diperoleh dalam survey ini sebanyak 1331 yaitu 946 reponden untuk pelanggan rumah tangga, 95 responden untuk non pelanggan dan 90 responden untuk pelanggan non Penelitian ini menggunakan data sekunder dari PDAM Bukittinggi. Kuisioner terbagi atas tiga jenis yaitu kuisioner 1 untuk pelanggan rumah tangga, kuisioner 2 untuk non pelanggan dan kuisioner 3 untuk pelanggan non rumah tangga. Wilayah survey meliputi lima wilayah administrasi Daerah Tingkat II Bukittinggi. Jumlah responden yang diperoleh dalam survey ini sebanyak 1331 yaitu 946 reponden untuk pelanggan rumah tangga, 95 responden untuk non pelanggan dan 90 responden untuk pelanggan non
1.8 Sistimatika Pembahasan
Agar pembahasan permasalahan dapat dibahas dengan lebih jelas, maka penulis menyajikannya dalam susunan bab sebagai berikut: Bab I, pendahuluan yang berisi penjelasan mengenai dasar pemilihan judul, perumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian dan metode penelitian yang dipilih. Bab II, berisi landasan teori mengenai analisis faktor dengan metode komponen utama, analisis diskriminan dan analisis gap (kesenjangan). Bab III, merupakan latar belakang PDAM kota Bukittinggi, analisis karakteristik responden dan analisis data kepuasan pelanggan PDAM. Bab IV, merupakan suatu kesimpulan dan saran-saran untuk perbaikan yang bermanfaat bagi perusahaan.
BAB II LANDASAN TEORI
2.1 Analisis Komponen Utama
2.1.1 Pengertian
Analisis komponen utama adalah suatu teknik untuk membentuk variabel baru yang merupakan kombinasi linier dari variabel mula-mula. Variabel-variabel baru yang terbentuk ini disebut juga komponen utama. Secara geometri, kombinasi linier ini mewakili pemilihan sistim koordinat baru yang diperoleh dengan merotasi sistim koordinat mula-mula, dengan variabel mula-mula sebagai sumbu koordinat. Masing-masing sumbu koordinat diusahakan dapat memberikan informasi sebanyak mungkin mengenai variasi-variasi di dalam variabel-variabel mula-mula. Oleh sebab itu, diinginkan agar hasil proyeksi data pada masing-masing sumbu koordinat menjadi maksimum.
Variabel baru dalam komponen utama merupakan kombinasi linier dari variabel mula-mula, yang koefisien-koefisiennya merupakan vektor eigen dari matriks kovariansi (matriks korelasi) variabel mula-mula.
2.1.2 Model Matematik dan Struktur Kovariansi
Pandang vektor acak X ' = [ X 1 , X 2 ,..., X p ] memiliki matriks kovariansi
Σ (matriks definit positif) dengan nilai eigen λ 1 ¡Ý λ 2 ¡Ý ... ¡Ý λ p ¡Ý 0 . Maka
Y 1 = a 1 X = a 11 X 1 + a 12 X 2 + ... + a 1p X p
Y 2 = a 2 X = a 21 X 1 + a 22 X 2 + ... + a 2p X p M
Y p = a p X = a p1 X 1 + a p2 X 2 + ... + a pp X p (2.1-1) dengan
Y j = nilai komponen ke-j
X i = nilai variabel acak mula-mula ke-i
a ij = koefisien variabel acak mula-mula ke-i terhadap komponen ke-j
i, j = 1, 2, ..., p dalam bentuk persamaan matriks
Var(Y i ) = a i Σa i i = 1, 2, …, p (2.1-2) Cov(Y '
i , Y k ) = a i Σa k i, k = 1, 2, …, p (2.1-3)
Komponen utama yang terbentuk memiliki variansi maksimum, sedangkan antar komponen tidak berkorelasi. Komponen ke-1 memiliki variansi terbesar pertama, komponen ke-2 memiliki variansi terbesar kedua setelah komponen ke-1, komponen ke-i memiliki variansi terbesar ke-i setelah komponen ke-k jika k < i.
Komponen utama ke-1 = kombinasi linier a ’
1 X yang memaksimumkan
Var(a ’
1 X) dengan a 1 a 1 =1
Komponen utama ke-2 = kombinasi linier a ’
2 X yang memaksimumkan
2 X) dengan a 2 a 2 = 1 dan Cov( a 1 X , a 2 X ) = 0 pada langkah ke-i
Var(a '
Komponen utama ke- i = kombinasi linier a ’
X yang memaksimumkan
Var(a '
X) dengan a i a i = 1 dan Cov( a i X , a k X ) = 0
untuk k < i.
Akibat (2-1):
1 , X 2 ,..., X p ] , Misalkan matriks kovariansi Σ memiliki pasangan nilai eigen dan vektor eigen
Pandang ' vektor acak X = [ X
( λ 1 , e 1 )( , λ 2 , e 2 ) ,...., λ p , e p dimana ( ¡Ý ) λ 1 λ 2 ¡Ý ... ¡Ý λ p ¡Ý 0 , maka komponen
ke-i adalah Y '
i =X e i = e i1 X 1 + e i2 X 2 + ... + e ip X p i = 1, 2, …, p (2.1-4) dengan i =X e i = e i1 X 1 + e i2 X 2 + ... + e ip X p i = 1, 2, …, p (2.1-4) dengan
' Cov(Y
Bukti:
Dari Lampiran 1, apabila B = Σ , maka
max ' a Σa
Untuk a = e ’
1, dan vektor eigen ortonormal yaitu e 1 e 1 = 1, sehingga
max ' ' a Σa e
1 Σe 1 '
= e 1 e 1 = Var(Y 1 )
Dengan cara yang sama, max
a ' Σa
= λ k + 1 k = 1, 2, …, p-1
a ⊥ e 1 , e 2 ,..., e k a a
untuk ' a =e k + 1 dengan e k + 1 e i = 0 ; i = 1, 2, …, k dan k = 1, 2, …, p-1, ,maka
Cov(Y '
i , Y k ) = e i Σe k = e i ( λ k e k ) = λ k e i e k = 0 untuk i ≠,0 k λ ‚ diperoleh
i e k = 0 , sehingga komponen-komponen saling tegak lurus dan unik.
Akibat (2-2):
' Pandang vektor acak X = [ X
1 , X 2 ,..., X p ] dengan matriks kovariansi Σ
yang memiliki pasangan nilai eigen dan vektor eigen
( λ 1 , e 1 )( , λ 2 , e 2 ) ,...., ( λ p , e p ) dengan syarat λ 1 ¡Ý λ 2 ¡Ý ... ¡Ý λ p ¡Ý 0 . Misalkan
komponen utama Y ’
1 =e 1 2 X, Y =e 2 X, …, Y p =e p X,, maka
11 + σ 22 + ... + σ pp = ‡” Var(X
i ) = λ 1 + λ 2 + ... + λ p =
Var(Y i )
dengan σ adalah variansi variabel ke-i. ii
Bukti:
Menurut definisi matriks kovariansi Σ , elemen diagonal utama adalah variansi dari masing-masing variabel mula-mula, sehingga
σ 11 + σ 22 + ... + σ pp = tr ( Σ )
Hubungan antara matriks kovariansi Σ, nilai eigen λ dan vektor eigen i e, i
dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan matriks
(pxp) = P (pxp) Λ (pxp) P ( pxp) ;P P = PP =I (pxp)
dengan Σ = matriks kovariansi (p x p) dengan elemen diagonal utama adalah variansi variabel mula-mula
P = matriks (p x p) dengan kolom-kolomnya adalah vektor eigen
Λ = matriks (p x p) dengan elemen diagonal utama adalah nilai eigen dari matriks kovariansi
diperoleh tr ( Σ ) = tr ( P Λ P ' ) = tr ( ΛPP' ) = tr ( Λ ) = λ 1 + λ 2 + ... + λ p
Oleh karena itu dari persamaan (2.1-5) diperoleh hubungan
Var(X ) tr
i = ( Σ ) = tr ( Λ ) = ‡” Var(Y i ) (2.1-6)
atau
1 2 + λ p = Var(Y i ) ∑ i
Var(X i ) = σ 11 + σ 22 + ... + σ pp = λ + λ + ...
Variansi total dari populasi adalah σ 11 + σ 22 + ... + σ pp = λ 1 + λ 2 + ... + λ p
dan proporsi variansi total populasi yang diberikan komponen utama ke-k
proporsi variansi total
adalah variabel standardis asi =
dari komponen - k
Akibat (2-3):
Jika komponen utama Y ’
1 =e 1 2 X, Y =e 2 X, …, Y p =e p
X dihasilkan dari
matriks kovariansi Σ yang memiliki pasangan nilai eigen dan vektor eigen
( λ 1 , e 1 )( , λ 2 , e 2 ) ,...., ( λ p , e p ) dengan syarat λ 1 ¡Ý λ 2 ¡Ý ... ¡Ý λ p ¡Ý 0 , maka
adalah koefisien korelasi antara komponen Y i dan variabel X k
Bukti:
Jika a '
k = [0, …, 0, 1, 0, …, 0] maka X k = a k X
Kovariansi antara variabel ke-k, X k dan komponen utama ke-i, Y i adalah
Cov(X '
k , Y i ) = Cov ( a k X, e i X ) = Cov ( a k X ( e i X ))
= ' Cov( a
k XX e i ) = a k Cov (XX )e i = a k Σe i
Jika ' Σe
i = λe i i , maka Cov(X k , Y i ) = a k λ i e i = λ i a k e i = λ i e ik Dari akibat (2-1) diperoleh Var ( Y i ) = λ i dan Var ( X k ) = σ kk , maka diperoleh
Cov(Y i , X k )
λ i e ik
e ik λ i
Var () Y i Var () X k λ i σ kk
i, k =1, 2, …, p
σ kk
Koefisien korelasi ρ Y i , X k memberikan interpretasi besarnya kontribusi
univariat variabel mula-mula terhadap komponen, sedangkan koefisien e ik memberikan interpretasi seberapa pentingnya variabel mula-mula terhadap komponen. Nilai mutlak koefisien e ik yang besar akan memiliki korelasi yang kuat.
2.1.3 Komponen Utama untuk Data yang Distandardisasi
Sekumpulan variabel tidak selalu memiliki satuan pengukuran yang sama. Perbedaan yang sangat besar antara satuan pengukuran akan menyebabkan bias dalam analisis komponen utama. Untuk menghindari bias, sebaiknya variabel standardisasi terlebih dahulu.
Pandang variabel acak X 1 ,X 2 , …, X p dengan mean masing-masing µ 1 , µ 2 ,..., µ p , dan variansi σ 11 , σ 22 ,...., σ pp . Maka bentuk variabel yang
distandardisasi adalah:
dalam notasi matriks,
Z V 2 = ( X − µ ) (2.1-10)
dengan matriks standar deviasi V =
M mean dan
0 0 L σ pp
kovariansi dari variabel yang distandardisasi, Z adalah E(Z) = 0 dan
Cov( Z ) = V V ρ
Berikut ini adalah komponen utama yang merupakan kombinasi linier dari variabel mula-mula yang distandardisasi,
Y=e ’ Z
; Z = [Z 1 Z , 2 … , Z , p ]
dan vektor e adalah vektor eigen dari matriks korelasi ρ.
Akibat (2-4):
Untuk variabel mula-mula yang distandardisasi terlebih dahulu,
i = 1, 2, …, p i
identik dengan persamaan (2.1-6), maka diperoleh
pp
‡” Var(Y i ) = ‡” Var(Z i ) = 1 + 1 + ... + 1 = p
(2.1-11)
dan identik dengan persamaan (2.1-8), diperoleh
Dari persamaan (2.1-11), variansi total populasi dengan variabel yang distandardisasi adalah p, dan
proporsi variansi λ k
dari komponen k
λ adalah nilai eigen dari matriks korelasi k ρ.
2.1.4 Peringkasan Variasi Sampel oleh Komponen Utama
Pandang pengamatan x 1 ,x 2 , …, x p yang saling bebas, yang diambil dari suatu populasi berdimensi p dengan vektor mean µ dan matriks
kovariansi Σ. Dari pengamatan tersebut diperoleh vektor mean sampel x dan matriks kovariansi sampel S (matriks korelasi sampel R). Analisis komponen utama membentuk komponen-komponen yang tidak saling berkorelasi sebagai kombinasi linier dari variabel mula-mula yang memiliki variansi terbesar dalam sampel, komponen-komponen tersebut dinamakan komponen utama sampel.
Misalkan n-nilai dari setiap kombinasi linier, dinyatakan dengan
1 x = a 11 x j1 + a 12 x j2 + ... + a 1p x jp j = 1, 2, …, n
memiliki mean sampel ' a
1 x dan variansi sampel a 1 Sa 1 , untuk pasangan
nilai ' a
x j , a 2 x j memiliki kovariansi sampel a
1 Sa 2 .
Komponen utama ke-1 = kombinasi linier a ’
1 x j yang memaksimumkan
Var(a ’
1 x j ) dengan a 1 a 1 =1
Komponen utama ke-2 = kombinasi linier a ’
2 x j yang memaksimumkan
2 x j ) dengan a 2 a 2 = 1 dan Cov( a 1 x j , a 2 x j ) = 0 pada langkah ke-i
Var(a '
Komponen utama ke-i = kombinasi linier a ’
i x j yang memaksimumkan Var(a i x j )
dengan a '
i a i = 1 dan Cov( a i x j , a k x j ) = 0
untuk k < i
Jika matriks S = { s i k } yang berukuran (p x p) adalah matriks kovariansi sampel yang memiliki pasangan nilai eigen dan vektor eigen λ ˆ , e ˆ ˆ
( )( ) ( ) i i
, λ 2 , e ˆ 2 ,..., λ p , e ˆ p , maka komponen utama sampel dapat dinyatakan dengan persamaan
i =x e ˆ i = e ˆ i1 x 1 + e ˆ i2 x 2 + ... + e ˆ ip x p i =1, 2, …, p dengan λˆ 1 ¡Ý λˆ 2 ¡Ý ... λˆ p ¡Ý 0 dan x adalah nilai pengamatan untuk setiap variabel X 1 ,X 2 ,…, X p .
Variansi sampel ( y ˆ k ) = λˆ k k = 1, 2, …, p (2.1-13)
Kovariansi sampel y ˆ ( i , y ˆ k ) = 0 i ‚ k
Variansi total sampel = ‡” s ii = λˆ 1 + λˆ 2 + ... + λˆ p
Dan korelasi antara komponen utama sampel ke-i dan pengamatan ke-k dari setiap variabel mula-mula adalah
e ˆ λ ˆ ik i r y ˆ i , x k =
i, k, = 1, 2, …, p s kk
Pemusatan pengamatan x j oleh mean sampel x tidak akan mengubah matriks kovariansi sampel S. Maka komponen ke-i adalah
i = e ˆ i ( x - x ) i = 1, 2, …, p
(2.1-14) untuk setiap vektor pengamatan x. Nilai pengamatan komponen utama ke-i
menjadi y ' ˆ
ji = e ˆ i () x j - x j = 1, 2, …, n
(2.1-15) Dengan substitusi tiap pengamatan x j pada persamaan (2.1-14), maka
diperoleh mean sampel tiap komponen nol, yaitu
j = 1 n
y ˆ i = ‡” e ˆ i ( x i - x ) = e ˆ ' i x − x = e ˆ 0 = 0
n j= 1 n
dan variansi sampel tetap yaitu λ i
2.1.5 Penentuan Jumlah Komponen Utama
Secara umum, tujuan dari analisis komponen utama adalah mereduksi jumlah variabel dan menginterpretasikannya. Dalam mereduksi jumlah variabel, banyaknya variabel baru atau komponen utama yang terbentuk dapat mewakili variansi terbesar dari variabel mula-mula.
Prosedur untuk menentukan banyaknya komponen yang diinginkan, salah satunya adalah berdasarkan nilai eigen. Suatu nilai eigen dari matriks kovariansi Σ mewakili besarnya sumbangan variansi dari variabel mula-mula yang dapat dijelaskan oleh setiap komponen utama. Jika nilai eigennya kurang dari satu, maka komponen utama tersebut tidak diiukutsertakan dalam analisis, sebaliknya jika nilai eigen lebih besar dari satu, maka komponen utama tersebut diikutsertakan dalam analisis. Aturan ini didasarkan pada data yang distandardisasi, dimana besarnya variansi variabel mula-mula yang diekstraksi oleh tiap komponen adalah minimum.
Prosedur lainnya adalah berdasarkan persentase variansi, yaitu berdasarkan jumlah kumulatif variansi yang diekstraksi oleh komponen dan mencapai suatu level tertentu yang memuaskan.
2.1.6 Komponen Utama untuk Sampel yang Distandardisasi
Komponen utama sampel bergantung pada skala. Jika skala pengukuran variabel mula-mula sampel berbeda maka dilakukan standardisasi terhadap variabel tersebut, yaitu
matriks data (n x p) dari variabel yang distandardisasi, yaitu ⎡ x 11 − x 1 x 12 − x 1 x 1 p − x 1 ⎤
menghasilkan vektor mean sampel
z = ( 1 ' Z )' = ( Z'1 ) = ⎢ ∑
⎢ n x jp − x p ⎥
⎢ j = 1 ⎣ s pp ⎥ ⎦
dan matriks kovariansi sampel adalah
11' Z Z = − −
11' Z Z
n − 1 ( )( )
Jika z 1 ,z 2 , …, z n adalah pengamatan dari variabel yang
distandardisasi dengan matriks korelasi R, maka komponen utama sampel adalah
i = , 1, 2, …, p Pasangan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks korelasi R adalah
yˆ '
i =z e ˆ i = eˆ i 1 z 1 + eˆ i 2 z 2 + ... + eˆ ip z p
( )( ) ( λˆ i i λˆ 2 2 λˆ p p )
, e ˆ , , e ˆ ,..., , e ˆ dengan
λˆ 1 λˆ 2 ¡Ý ... λˆ p ¡Ý 0 .
Variansi sampel ( yˆ i ) = λ ˆ ik
i =1, 2, …, p (2.1-13)
Kovariansi sampel ( y ˆ i , y ˆ k ) = 0 i ‚ k
Variansi total sampel = tr(R) = p = λ ˆ 1 + λ ˆ 2 + ... + λ ˆ p
Korelasi antara komponen utama ke-k yang distandardisasi yang berasal dari populasi adalah
r yˆ i , z k =e ˆ ik λ ˆ i i, k, = 1, 2, …, p Proporsi variansi total populasi yang diberikan komponen utama ke-k adalah
proporsi variansi
dari komponen - dengan i = i=1, 2, …,p. (2.1-30) p
variabel standardis asi
Nilai eigen kecil yang diperoleh dari matriks kovariansi sampel S (matriks korelasi sampel R) mengindikasikan bahwa sekumpulan data tidak bebas linier, sehingga terjadi pengulangan variabel. Sebaliknya jika nilai eigen yang diperoleh besar, mengindikasikan bahwa sekumpulan data bebas linier sehingga interpretasi menjadi lebih mudah.
2.2 Analisis Faktor
2.2.1 Pengertian
Metode statistik dapat dibagi atas dua kelompok berdasarkan jumlah variabel yang dianalisis yaitu analisis univariat dan analisis multivariat. Analisis univariat adalah analisis yang melibatkan satu variabel, sedangkan analisis multivariat adalah analisis yang melibatkan lebih dari satu variabel. Analisis faktor adalah salah satu analisis multivariat digunakan untuk mereduksi jumlah variabel menjadi dimensi lebih kecil dan masih mengandung informasi data mula-mula. Misalkan jumlah variabel mula-mula
adalah p, setelah dilakukan analisis faktor, diperoleh m variabel yang disebut juga m faktor dengan m < p.
Analisis faktor banyak digunakan pada bidang pemasaran, manajemen, kedokteran, psikologi dan ilmu sosial lainnya. Dalam skripsi ini, analisis faktor digunakan untuk mereduksi variabel-variabel yang dapat mempengaruhi kepuasan pelanggan PDAM kota Bukittinggi.
2.2.2 Model dan Asumsi Analisis Faktor
Secara matematis, analisis faktor mirip dengan regresi linier berganda, yaitu setiap variabel dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari faktor- faktor. Variabel terobservasi X bergantung linier terhadap variabel tak
terobservasi atau common faktor F 1 ,F 2 ,…,F m dan faktor unik ε 1 , ε 2 ,..., ε p
Model faktor dari suatu sistim variabel ganda yang mengandung p
variabel acak X 1 ,X 2 , …, X p , adalah
X 1 − µ 1 = l 11 F 1 + l 12 F 2 + ... + l 1 m F m + ε 1
X 2 − µ 2 = l 21 F 1 + l 22 F 2 + ... + l 2m F m + ε 2 M
X p − µ p = l p1 F 1 + l p2 F 2 + ... + l pm F m + ε p (2.2-1) dengan
X i = variabel terobservasi ke-i µ i = mean variabel terobservasi ke-i
F j = variabel tak terobservasi ke-j atau common faktor ke-j l = koefisien loading dari variabel ke-j dan common faktor ke-j. ij
ε i = faktor unik untuk variabel ke-i
i = 1, 2, …, p j = 1, 2, …,m Persamaan (2.2.-1) dapat dinyatakan dalam bentuk matriks, yaitu
X (px1) − µ (px1) = L (pxm) F (mx1) + ε (px1) (2.2-2) dengan
X = vektor variabel (p x 1) µ = vektor mean (p x 1) L = matriks loading dari faktor (p x m)
F = matriks faktor (m x 1) ε = vektor faktor unik (p x 1)
i = 1, 2, …, p dan j = 1, 2, …, m Analisis faktor akan memberikan hasil yang signifikan jika memenuhi
asumsi, yaitu
1. Terdapat korelasi yang signifikan antar variabel-variabel terobservasi
2. Mean common faktor F dan faktor unik ε adalah nol E(F) = 0 (mx1) dan Cov(FF’) = I (mxm)
E( ε) = 0 (px1) dan Cov( εε’) = Ψ ( pxp ) (2.2-3)
3. Variansi variabel terobservasi dan variansi common faktor adalah satu. Var(X i ) = 1 dan Var(F j ) = 1 dengan i = 1, 2, …, p dan j = 1, 2, …, m
4. Faktor unik ε tidak berkorelasi dengan common faktor F dan antar sesamanya.
Cov( ε,F) = E(εF’) = 0 dan Cov(ε i , ε j ) = 0 untuk i = 1, 2, …, p dan j = 1, 2, …, m.
Dari persamaan X − µ = LF + ε , maka diperoleh
1. Σ = Cov( X ) = LL' + Ψ Atau
2 2 var( 2 X
i ) = l i1 + l i2 + ... + l im + Ψ i (2.2-4) Cov( X i , X k ) = l i1 l k1 + l i2 l k2 + ... + l im l km dengan i = 1, 2, …, p
Bukti:
( ' LF + ε )( LF + ε ) = ( LF )( LF ) + ( LF ) ε + ε ( LF ) + εε'
= LFF' L' + LF ε ' + εF' L ' + εε' Σ = Cov( X - µ ) = Cov ( LL ' + ε)
Σ = E [ ( X - µ )( , X - µ ) ] = E [ ( LF + ε )( , LF + ε ) , ] = E [ LFF' L' + LF ε ' + εF' L ' + εε' ][ = E LFF' L' ][][ + E LF ε ' + E ε' F' L' ][] + E εε'
= L E [] FF' L' + L E [][] F ε ' + E ε' F' L' + E [] εε'
= LL' + Ψ
2. Cov( X , F ) = L atau
Cov( X i , F j ) = l ij dengan i = 1, 2, …, p dan j = 1, 2, …, m
(2.2-5)
Bukti:
Cov( X , F ) = E [ ( X − µ ) F' ]( = E [ LF + ε ) F' ][ = E LFF' + εF' ]
= E [][] LFF' + E εF' = L E [] FF' + 0 = L
Variansi dari variabel terobservasi X berasal dari dua komponen yaitu common faktor F dan faktor unik ε. Variansi yang berasal dari common faktor
F, disebut communality yaitu besarnya kontribusi variansi suatu faktor terhadap variansi seluruh variabel. Dalam hal ini, communality sebut c 2
i sama dengan jumlah kuadrat dari loading faktor, yaitu
i = l i1 + l i2 + ... + l im dengan i = 1, 2, …, p (2.2-6) Sehingga dari persamaan (2.2-4), σ ii = Var( X i ) = communalit y + var( ε i ) dengan i = 1, 2, …,p
Variansi yang berasal dari faktor unik diakibatkan oleh dua faktor yaitu faktor unik dan faktor unreliability. Pengaruh faktor unreliability dapat dikurangi dengan cara mengadakan pengamatan yang berulang-ulang. Tetapi misalnya pengamatan dalam bidang psikologi dan ilmu sosial lainnya tidak memungkinkan bagi peneliti untuk melakukan pengamatan ulang. Maka untuk memudahkan perhitungannya, segala bentuk kesalahan digabung dalam faktor unik.
2.2.3 Metode Estimasi
Metode estimasi analisis faktor yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah metode analisis komponen utama. Analisis faktor dan analisis komponen utama memiliki tujuan yang sama, yaitu mereduksi sekumpulan variabel menjadi variabel baru yang jumlahnya lebih sedikit. Ada dua perbedaan antara analisis faktor dengan analisis komponen utama. Pertama, analisis komponen utama bertujuan untuk mereduksi sejumlah variabel menjadi beberapa komponen yang dapat menerangkan sebagian besar variansi dari data, sedangkan analisis faktor selain bertujuan untuk mereduksi variabel, juga mengidentifikasi faktor yang muncul karena adanya korelasi yang kuat antar variabel. Kedua, dalam analisis komponen utama, variabel hanya membentuk sebuah indeks, sedangkan dalam analisis faktor, variabel dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari faktor-faktor yang diperoleh disebut juga variabel balikan.
1.2.4 Uji Kesesuaian Model
Langkah awal yang perlu diperhatikan sebelum melakukan analisis faktor adalah memeriksa korelasi antar variabel-variabelnya. Jika korelasi antar variabel cukup tinggi, maka analisis faktor dapat dilakukan pada data tersebut. Pengujian hipotesis untuk korelasi tersebut dilakukan sebagai berikut
H o : Variabel tidak saling berkorelasi dalam populasi
H 1 : Variabel saling berkorelasi dalam populasi Statistik ujinya dinyatakan dengan koreksi Bartlett, yaitu
ln | L ˆ L ˆ ' + Ψ ˆ |
(2.2-7)
dengan L = matriks loading faktor (p x m)
Ψ = matriks kovariansi faktor unik (p x p) S n = matriks kovariansi sampel berukuran n
n = ukuran sampel p = ukuran variabel mula-mula m = ukuran faktor yang diperoleh
Statistik uji (2.2-7) didekati dengan distribusi Chi-square ( 2 χ ) dengan derajat
bebas v = [( p − m ) + p − m ] .
2 Pada tingkat signifikansi α,H 0 ditolak jika koreksi Bartlett lebih besar dari
0 tidak ditolak. H 0 ditolak berarti data tidak sesuai untuk analisis faktor.
χ dan lainnya H 2
Langkah selanjutnya sebelum menggunakan analisis faktor adalah menguji kelayakan data dengan menggunakan statistik uji Keiser Meyer- Olkin, dengan hipotesis,
H o : Sampel belum memadai untuk dianalisis lebih lanjut
H 1 : Sampel sudah memadai untuk dianalisis lebih lanjut
Statistik uji dari Kaiser Meyer-Olkin (KMO), adalah
∑∑ i = 1 j = 1
ij
KMO =
∑∑ ij +
i = 1 j = 1 ∑∑ i = 1 j = 1
a ij
dimana
a ij = korelasi parsial variabel ke-i dengan ke-j r ij = korelasi antara variabel ke-i dengan ke-j Tabel 1 berikut ini memberikan interpretasi dari nilai KMO yaitu
Tabel 1 Interpretasi dari nilai KMO
Nilai KMO Interpretasi
0.90 to 1.00
sangat bagus
Kurang bagus
0.50 to 0.59
Tidak bagus
0.00 to 0.49
Sangat tidak bagus
2.2.5 Penentuan Banyaknya Faktor
Setelah menguji kelayakan data, selanjutnya adalah menentukan jumlah faktor yang akan dibentuk yaitu sesuai dengan metode komponen utama.
Kontribusi variansi faktor yang terbentuk seharusnya besar. Sumbangan variansi sampel dari faktor ke-j terhadap variabel ke-i adalah l 2
ij , maka variansi total sampel yang diberikan oleh faktor-j adalah
λˆ j
untuk ; matriks S
= s 11 + s 22 + ... + s pp
(2.2-8) λˆ j
untuk ; matriks R p
2.2.6 Rotasi Faktor
Rotasi faktor adalah suatu rotasi yang dilakukan pada loading faktor yang bertujuan memudahkan interpretasi faktor yang terbentuk. Prosedur rotasi faktor dilakukan dengan mentransformasikan matriks loading faktor L menjadi matriks L* yang mempunyai sifat yang sama dengan matriks L. Transformasi tersebut dilakukan dengan persamaan
L* = LT dengan L = matriks loading faktor (p x m) L* = matriks loading faktor yang dirotasi
T = matriks orthogonal (m x m) dengan TT’ = T’T =I
Dari persamaan (2.2-2) diperoleh
X − µ = LF + ε = LIF + ε ; I = matriks identitas (m x m)
= L(TT' )F + ε = (LT)(T' F) + ε ; I = T’T = TT’, F* = T’F dan
L* = LT
* * = L F + ε (2.2-9)
Akan ditunjukkan bahwa persamaan (2.2-9) memenuhi asumsi analisis faktor yaitu mean dari F* adalah nol dan kovariansi dari F* adalah I.
Mean dari faktor yang dirotasi adalah E F * E T' F T' E F 0
dan kovariansi dari faktor rotasi adalah
T' F = T' Cov () F T = T' I T = T' T = I (mxm) ()
Cov * F = Cov ()
Selanjutnya matriks kovariansi faktor rotasi adalah
Σ = LL' + Ψ = LIL' + Ψ
= LTT' L + Ψ = (LT)(T' L' ) + Ψ
* = L (L )' + Ψ
dengan jumlah elemen diagonal utama dari matriks * L (L )' adalah communality dari faktor rotasi.
Rotasi faktor dapat dikelompokkan menjadi rotasi orthogonal dan rotasi non orthogonal. Rotasi orthogonal merupakan rotasi faktor yang menghasilkan faktor yang saling orthogonal, sedangkan rotasi non orthogonal merupakan rotasi faktor yang menghasilkan faktor yang tidak orthogonal, dengan kata lain faktor tersebut berkorelasi. Rotasi non orthogonal digunakan jika korelasi antar variabel mula-mula sangat kuat.
Metode rotasi yang sering digunakan adalah rotasi orthogonal yang terbagi menjadi tiga jenis rotasi, yaitu rotasi quartimax, rotasi varimax dan rotasi equamax. Analisis data dalam skripsi ini menggunakan rotasi varimax.
Rotasi Varimax
Rotasi varimax merupakan metode rotasi orthogonal yang meminimumkan jumlah variabel dengan memilih faktor yang memiliki loading
faktor tinggi. Misalkan model faktor F j = l 1 j X 1 + l 2 j X 2 + ... + l p j X p dengan
j = 1, 2, …, m. Tujuan dari rotasi varimax adalah memaksimumkan variansi dari kuadrat loading variabel 2 l
ij , yaitu untuk setiap faktor ke-j, didefinisikan
ij − l . ∑ j )
V j = = (2.2–10) p
dengan
V j = variansi dari communality faktor ke-j l = kuadrat loading dari variabel ke-i dan faktor ke-j 2
ij
l = rata-rata loading kuadrat dari faktor ke-j 2
p = jumlah dari variabel
2.2.7 Menghitung Skor Faktor
Skor faktor umumnya digunakan untuk analisis multivariat selanjutnya. Metode yang digunakan dalam menghitung skor faktor adalah metode regresi linier berganda.
Metode Regresi Linier Berganda
Skor faktor untuk pengamatan ke-i dan faktor ke–j dinyatakan sebagai berikut
ˆ ij = 1 x i1 + β 2 x i2 + ... + β p x ip (2.2-11) dengan
Fˆ = skor faktor untuk pengamatan ke-i dan faktor ke-j ij
x ip = pengamatan ke-i pada variabel ke-j βˆ = koefisien estimasi skor faktor untuk variabel ke-p p
Persamaan di (2.2-11) dapat disederhanakan dalam bentuk matriks,
F ˆ (nxm) = X (nxp) ˆ β (pxm) (2.2-12) dengan
Fˆ = matriks skor faktor (n x m)
X = matriks variabel (n x p) βˆ = matriks koefisien estimasi skor faktor (p x m)
Untuk variabel yang distandardisasi, maka matriks persamaan skor faktor menjadi,
F ˆ (mxn) = Z (nxp ) ˆ β (pxm) (2.2-13) dengan Z adalah matriks (n x p) dari variabel terobservasi yang
distandardisasi (n x p).
2.3 Analisis Diskriminan
2.3.1 Pengertian dan Tujuan
Analisis diskriminan merupakan salah satu metode analisis multivariat yang membagi variabel ke dalam dua kelompok, yaitu variabel bebas dan variabel tak bebas. Secara teknik, analisis diskriminan mirip dengan analisis regresi. Walaupun demikian, terdapat perbedaan antara analisis diskriminan dan analisis regresi. Dalam analisis diskriminan, variabel tak bebas berupa data non metrik, sedangkan dalam analisis regresi, variabel tak bebas berupa data metrik. Selain itu, analisis regresi memprediksi nilai variabel tak bebas y, sedangkan dalam analisis diskriminan nilai variabel tak bebas y adalah kelompok dan analisis ini memprediksi suatu objek masuk ke dalam kelompok yang tepat.
Analisis diskriminan memiliki tujuan sebagai berikut,
1. Mengidentifikasi sekumpulan variabel yang mampu memisahkan atau mengelompokkan suatu pengamatan.
2. Membentuk fungsi diskriminan untuk menempatkan suatu pengamatan ke dalam kelompok yang sesuai.
2.3.2 Asumsi-Asumsi
Asumsi-asumsi dalam analisis diskriminan adalah
1. Variabel bebas berdistribusi normal multivariat.
2. Matriks kovariansi dari variabel bebas sama untuk setiap kelompok. Jika kedua asumsi dipenuhi maka fungsi diskriminan yang terbentuk
memberikan hasil yang optimal, yaitu memiliki kesalahan pengelompokan yang kecil. Jika asumsi diskriminan tidak dipenuhi, tidak berarti analisis yang dilakukan adalah sia-sia, tetapi hasilnya tidak optimal.
2.3.3 Struktur Data
Struktur data dalam analisis diskriminan, seperti pada Tabel 2 berikut:
Tabel 2 Struktur data dalam analisis diskriminan
Variabel bebas Kelompok Individu
X 32
1 X 111
X 121
X 1 32 1
2 X 112
X 122
X 1 32 1
n 1 X 11n
X 12n 1 X
1 32 n 1
1 X 211
X 221
X 2 32 1
2 X 212
X 222
X 2 32 1
M n 2 X 21n 2 X 22n 2 X 2 32 n 1
1 X 311
X 321
X 3 32 1
2 X 3 1 2 X 322
X 3 32 1
M n 3 X 31n 3 X 32n 3 X 3 32 n 3
1 X 411
X 421
X 4 32 1
2 X 412
X 422
X 4 32 1
M n 4 X 41n 4 X 42n 4 X 4 32 n 4
1 X 511
X 5 2 1 X 5 32 1
2 X 512
X 522
X 5 32 1
M n 5 X 51n 5 X 52n 5 X 5 32 n 5
2.3.4 Mengidentifikasi Variabel secara Univariat
Secara deskriptif perbedaan mean dan standar deviasi variabel bebas tertentu pada setiap kelompok menunjukkan bahwa variabel tersebut berpengaruh pada pengelompokan. Untuk menguji variabel yang signifikan dalam membedakan setiap kelompok secara univariat digunakan uji F. Nilai F dihitung berdasarkan analisis variansi satu arah dengan variabel bebas sebagai variabel kelompok. Model untuk variabel ke-j, yaitu
x ijk = µ k + e ijk
dengan x = nilai pengamatan ke-i untuk variabel ke-j pada kelompok ke-k ijk
µ = mean kelompok ke-k k
ijk e = error, diasumsikan N~ () 0 , σ
Hipotesis ujinya, yaitu
H 0 : Mean dari setiap kelompok adalah sama
H 1 : Minimal terdapat dua mean yang berbeda
MSS Statistik ujinya adalah F = b ,
MSS w
dengan MSS b = mean jumlah kuadrat antar kelompok MSS w = mean jumlah kuadrat dalam kelompok
Ho ditolak pada tingkat signifikansi α dan jika F > F α , g − 1 , n − g dengan F α , g − 1 , n − g adalah suatu nilai dari tabel F yang mempunyai derajat kebebasan (g-1) dan
(n-g) untuk g kelompok dan n observasi. Selain uji F, untuk menguji variabel yang signifikan dalam membedakan kelompok secara univariat dapat digunakan nilai Wilk’s Lambda ( λ ), dengan uji hipotesis sama dengan uji F di atas. H 0 ditolak pada
( n − g ) () 1 − tingkat signifikansi λ
α dan jika
> F α; g − 1, n − g untuk 0 < λ ≤ 1 () .
Jika nilai Lambda mendekati nol berarti variabilitas dalam kelompok kecil dibandingkan variabilitas keseluruhan. Jika nilai Lambda mendekati satu berarti variabel tersebut tidak menunjukkan pebedaan antar kelompok.
Hubungan antara F dan λ adalah berdasarkan definisi SS b
MSS b () g − 1 SS w
dan λ =
MSS w SS w
SS ( t
1 () n − g SS b
Maka F =
g − 1 SS t
dengan SS = jumlah kuadrat antar kelompok b
SS = jumlah kuadrat dalam kelompok w
SS = jumlah kuadrat total t
MSS = rata-rata jumlah kuadrat antar kelompok b
MSS = rata-rata jumlah kuadrat dalam kelompok w
Jadi F dan λ berbanding terbalik. Sehingga semakin kecil nilai λ semakin besar nilai F dan sebaliknya.
2.3.5 Wilk’s Lambda, Nilai Eigen dan Korelasi Kanonikal
Untuk menguji variabel secara multivariat dapat digunakan Wilk’s Lambda yang didekati dengan uji Chi Square. Wilk’s Lambda adalah rasio antar jumlah kuadrat dalam kelompok terhadap jumlah kuadrat total. Nilai Wilk’s Lambda berkisar antara nol dan satu. Jika nilainya mendekati nol menunjukkan bahwa variabel secara bersamaan membedakan kelompok dan fungsi diskriminan yang terbentuk adalah fungsi yang baik dalam membedakan kelompok. Sedangkan jika nilai Wilk’s Lambda mendekati satu menunjukkan bahwa variabel secara bersamaan tidak memberikan perbedaan dalam kelompok. Hipotesis uji adalah
H 0 : Tidak terdapat perbedaan mean antar kelompok untuk tiap variabel
H 1 : Terdapat perbedaan mean minimal untuk dua kelompok
Statistik ujinya adalah Λ = , nilai Wilk’s Lambda didekati dengan
SSCP w
SSCP t
() χ , yaitu χ = − [n − 1 − (p + g)/2)ln Λ dengan derajat
2 distribusi Chi Square 2
2 bebas p(g-1). H 2
0 ditolak pada tingkat signifikan α , jika χ> χ α ; p , g − 1 .
Nilai eigen adalah rasio antara jumlah kuadrat antar kelompok terhadap jumlah kuadrat dalam kelompok. Nilai eigen yang besar menyatakan fungsi diskriminan yang baik.
Korelasi kanonikal adalah akar dari rasio jumlah kuadrat antar kelompok terhadap jumlah kuadrat total. Korelasi kanonikal menunjukkan ukuran tingkat hubungan antara skor diskriminan dengan skor kelompok. Nilai korelasi kanonikal mendekati satu menunjukkan fungsi diskriminan yang baik.
2.3.6 Fungsi Diskriminan Linier
Misalkan pada data terdapat g kelompok dengan p variabel bebas, n i adalah jumlah pengamatan kelompok ke-i. Suatu pengamatan baru akan ditempatkan pada salah satu kelompok berdasarkan fungsi diskriminan, berikut
D i = b 0 + b 1 X i 1 + b 1 X i 2 + ... + b 1 X ip (2.3-1) dengan
D i = skor diskriminan dari pengamatan ke-i
X ij = nilai pengamatan ke-i dari variabel ke-j
b j = koefisien diskriminan dari variabel ke-j Notasikan vektor mean untuk kelompok ke-k adalah µ dan k
asumsikan matriks kovariansi untuk setiap kelompok sama, yaitu Σ.
Selanjutnya, matriks jumlah kuadrat antar kelompok adalah
SSCP b = ( µ k − µ )( µ k − µ ) ∑
Pandang kombinasi linier D = b' X
dengan
D = matriks skor diskriminan (n x p)
b = vektor koefisien diskriminan (1 x n)
X = vektor variabel bebas (1 x p) µ = vektor mean untuk kelompok ke-k k
µ = vektor mean total sampel Maka mean D untuk kelompok ke-k adalah µ ˆ kD = b' µ k dan mean D
∑ kD
untuk keseluruhan adalah µ D =
k = 1 b' µ k
= b' µ . Sedangkan variansi
dari D sama untuk setiap kelompok, yaitu
Var () D = Cov () b' X = b' Cov () X b = b' Σb
maka
kuadrat jarak mean D setiap kelompok dan keseluruha n
Var(D)
b' Σb
( b' µ k − b' µ )( b' µ k − b' µ ) b' ( µ k − µ )( µ k − µ ∑ b
Koefisien b dipilih sedemikian sehingga maksimum.
b' Σb
Didefinisikan nilai = a diperoleh Bb a − Σb = 0 yaitu Bb = a Σb .
b' Bb
b' Σb
Jadi a adalah nilai eigen dari − 1 Σ b sedangkan b adalah vektor eigen yang bersesuaian. Dipilih b 1 adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen terbesar
a 1 dari − 1 Σ b , dan b 2 adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai
eigen terbesar a 1
2 dari − Σ b , dan seterusnya. Karena rank dari − Σ b adalah min(p, g-1) maka diperoleh jumlah fungsi diskriminan sebanyak min(p, g-1). Fungsi diskriminan yang terbentuk digunakan untuk mengelompokkan suatu observasi baru pada salah satu kelompok yang tepat. Jika jumlah kelompok lebih besar dari dua, maka pengelompokan berdasarkan jumlah kuadrat jarak D terhadap ' µˆ , yaitu
( D - µ ˆ k D )( D - µ ˆ k D ) . Suatu observasi
kD
digolongkan ke dalam kelompok ke-k, jika kuadrat jarak D terhadap µ ˆ iD
adalah minimum.
2.3.7 Uji Signifikansi Fungsi Diskriminan
Fungsi diskriminan yang baik memiliki variabilitas antar kelompok yang besar dibandingkan variabilitas dalam kelompok. Hal ini dapat dilihat dari rata-rata skor diskriminan pada setiap kelompok. Jika rata-rata skor diskriminan sama untuk setiap kelompok, berarti fungsi diskriminan tidak mampu memisahkan kelompok.
Hal ini juga dapat dilihat dari nilai Wilk’s Lambda yang telah dijelaskan sebelumnya (pada sub bab 2.3.5). Selanjutnya adalah menentukan fungsi diskriminan yang signifikan memisahkan antara kelompok. Fungsi diskriminan ke-r memiliki variabilitas antar kelompok terbesar dibandingkan dengan fungsi diskriminan ke-(r-1). Dengan hipotesis uji,
H 0 : Hanya fungsi diskriminan ke-r yang berpengaruh dalam pengelompokan
H 1 : Semua fungsi diskriminan berpengaruh dalam pengelompokan
Dapat digunakan statistik uji, yaitu v = { () n − 1 − 1
p + g ) } ln () 1 + b ∑ . j
0 ditolak pada tingkat signifikansi α, jika v > χ α; ( )( ) p − 1 g − 2 .
Jika semua fungsi diskriminan yang terbentuk berpengaruh maka digunakan secara bersamaan.
2.4 Analisis Gap
2.4.1 Pengertian Analisis Gap
Salah satu metode analisis pengukuran kepuasan pelanggan dalam dunia bisnis adalah analisis gap (kesenjangan) yang dikembangkan oleh Berry, Zeithaml dan Parasuraman pada akhir tahun 80-an. Analisis gap diformulasikan dalam riset yang panjang dan mendalam dan disertai dengan cara pengukuran yang mudah dimengerti. Responden ditanya dua kali untuk
setiap faktor pelayanan, yaitu kepuasan dan kepentingan. Kepuasan pelanggan adalah selisih antara pelayanan yang dirasakan dengan pelayanan yang diharapkan, dengan demikian tingkat kepuasan pelanggan ditentukan oleh besarnya gap antara kepentingan.dengan kepuasan.
Gap positif akan diperoleh apabila skor kepuasan lebih besar dari skor kepentingan, sedangkan gap negatif diperoleh apabila skor kepuasan lebih kecil dari skor kepentingan. Semakin besar selisih skor kepentingan dengan skor kepuasan berarti gap semakin besar.
Analisis gap menggunakan data berskala likert, dalam skripsi ini terdapat lima skala likert. Kelima penilaian tersebut diberikan bobot sebagai berikut:
1. Jawaban 1 diberi bobot 1
2. Jawaban 2 diberi bobot 2
3. Jawaban 3 diberi bobot 3
4. Jawaban 4 diberi bobot 4
5. Jawaban 5 diberi bobot 5
2.4.2 Tingkat Kesesuaian
Berdasarkan hasil penilaian tingkat kepentingan dan tingkat kepuasan maka akan dihasilkan suatu perhitungan tingkat kesesuaian antara kepentingan dan kepuasan. Tingkat kesesuaian adalah hasil perbandingan antara skor kepuasan dengan skor kepentingan. Tingkat kesesuaian
menentukan urutan prioritas peningkatan variabel-variabel yang mempengaruhi kepuasan pelanggan. Dalam hal ini terdapat dua variabel yang diwakilkan oleh X dan Y, yaitu X mewakili tingkat kepuasan pelanggan dan Y mewakili tingkat kepentingan pelanggan. Formula yang digunakan adalah
X i TK i = × 100 % (2.4-1) Y i
dengan TK i = Tingkat kesesuaian pelanggan pada variabel ke-i
X i = Skor penilaian kepuasan pelanggan pada variabel ke-i Yi = Skor penilaian kepentingan pelanggan pada variabel ke-i
Setiap variabel yang mempengaruhi kepuasan dan kepentingan, dihitung rata-ratanya, yaitu
X = = dan Y = = (2.4-2) n
dengan
X = skor rata-rata tingkat kepuasan Y = skor rata-rata tingkat kepentingan n = jumlah responden
= 1 j = X 1 = dan Y = (2.4-3)
dengan
X = skor rata-rata dari rata-rata tingkat kepuasan Y = skor rata-rata dari rata-rata tingkat kepentingan
k = jumlah variabel
2.4.3 Pemetaan Hasil Penelitian
Pemetaan variabel-variabel yang ada pada tiap dimensi yang mempengaruhi kepuasan pelanggan dilakukan dengan memplot nilai rata- rata tingkat kepuasan dan rata-rata tingkat kepentingan pada diagram kartesius. Diagram kartesius merupakan diagram yang membagi wilayah atas empat bagian yang dibatasi oleh dua garis yang berpotongan saling tegak
lurus pada suatu titik X , Y . Sumbu koordinat dari diagram kartesius yaitu
sumbu-X adalah tingkat kepuasan dan sumbu-Y adalah tingkat kepentingan. Selanjutnya, langkah untuk mengisi diagram kartesius, sebagai berikut
1. Menjumlahkan nilai kepentingan (Y) setiap variabel dari seluruh pengamatan, kemudian menghitung rata-rata seluruh pengamatan diperoleh rata-rata kepentingan () Y.