DERET HITUNG DAN DERET UKUR (1)

Deret Ukur dan Deret Hitung
A. Deret Hitung
1. Pengertian Deret Hitung
Deret hitung ialah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan
terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret
hitung ini dinamakan pembeda. Pembeda dapat ditentukan dari selisih 2 suku yang
berurutan.
Contoh :
a. 4,7,10,13,16,19 (pembeda = 3)
b. 45,40,35,30,25 (pembeda = -5)
2. Suku ke-n dari Deret Hitung
Besarnya nilai suku tertentu (ke-n) dari sebuah derert hitung dapat dihitung
melaluhi rumus.
4

7

10

13

16

19

S1

S2

S3

S4

S5

S6

S1 = 4 = a
S2 = 7 = a + (2 – 1)b
S3 = 10 = a + (3 – 1)b
S4 = 13 = a + (4 – 1)b

S5 = 16 = a + (5 – 1)b
S6 = 19 = a + (6 – 1)b

Sn = a + (n – 1)b
Maka didapat
rumus:

Dimana :
a : suku pertama atau S1
b : pembeda
n : indeks suku

Berdasarkan rumus diatas, dengan mudah dan cepat kita dapat menghitung nilainilai suku tertentu. Sebagai contoh, nilai suku ke-25 dari deret hitung diatas masingmasing adalah:

1

S25 = a + (n – 1)b = 4 + (25 - 1) 3 = 4 + 72

= 76

S25 = a + (n – 1)b = 45 + (25 – 1) -5 = 45 + (-120) = - 75
3. Jumlah suku ke-n
Jumlah sebuah deret hitung sampai dengan suku tertentu tak lain adalah jumlah
nilai suku-sukunya, sejak suku pertama (S1 atau a) sampai dengan suku ke-n (Sn) yang
bersangkutan.
S i=¿ S1 + S2 +…+ S n
n

J n= ∑ ¿
i=1

S i=¿ S1 + S2 + S3 + S4
4

J 4= ∑ ¿
i=1

S i=¿ S1 + S2 + S3 + S4 + S 5
4

J 4 =∑ ¿
i=1

Berdasarkan rumus Sn = a + (n-1) b, maka masing-masing S dapat diuraikan:
J4 = a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b) = 4a + 6b
J5 = a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b) + (a+4b)= 5a + 10b
Kemudian masing-masing J dapat ditulis ulang dalam bentuk :
4
J 4 =4 a+6 b=4 a+ ( 4−1 ) b
2
5
J 5=5 a+10 b=5 a+ (5−1 ) b
2
n
J n=na+ ( n−1 ) b
2

2

n

J n= { 2a+(n−1)b }
2
J n=

n
{a+Sn }
2

B. Deret Ukur
1. Pengertian Deret Ukur
Deret ukur adalah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian
terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membeda-bedakan suku –suku
sebuah deret ukur dinamakan pengganda , yaitu merupakan hasil bagi nilai suatu suku
terhadap nilai suku di depannya.
Contoh :
a) 3,9,27,81 (pengganda  p= 3)

2. Suku ke-n deret ukur
S1

=3

=a

S2

=9

= ap

S3

= 27 = app

= ap2 = ap3-1

S4

= 81 = appp

= ap3

= ap2-1

= ap4-1

Sn = apn-1
Dimana :

Maka didapat rumus

a

: suku pertama atau S1

b

: pembeda

n

: indeks suku

Berdasarkan rumus di atas, dapat di hitung nilai suku ke-8 dari deret ukur
dalam contoh a dan b di atas.

3

a) S8

= (3)(3)8-1 = (3)(2187)= 6561

3. Jumlah n Suku
Jumlah sebuah deret ukur sampai suku tertentu adalah jumlah nilai sukunya
sejak suku pertama sampai suku ke-n yang bersangkutan.
S i=¿ S1 + S2 +…+ S n
n

J n= ∑ ¿
i=1

Berdasarkan rumus Sn = apn-1, maka masing-masing S dapat diuraikan:
J n=a+ap+ ap2 +ap 3+ …+ap n−2+ apn−1 (pers. 1)
2

3

4

n−1

pJ n=ap+ap + ap +ap +…+ ap

+ap

n

(pers. 2)

Maka selisih dari kedua persamaan diatas adalah

J n− p J n=a−apn
n

J n (1− p)=a(1− p )

J n=

a(1− pn )
1− p

jika |p| < 1 dan J n=

a( p n−1)
p−1

jika |p| > 1

C. Pengaplikasian Deret Hitung dan Deret Ukur dalam Ekonomi
Dalam masalah ekonomi, tak jarang ditemukan suatu permasalahan yang
berhubungan matematika. Masalah tersebut lah yang nantinya akan diselesaikan

dengan pengaplikasian ilmu matematika dalam ekonomi, atau yang sering disebut
“Matematika Ekonomi”.
Salah satu ilmu yang ada pada matematika ekonomi ialah deret hitung dan
deret ukur. Bagaimana pengaplikasiannya? Perhatikan contoh dibawah ini!
1. PT. YULAN TEXTIL menghasilkan 200 baju pada bulan pertama produksinya.
Dengan penambahan tenaga kerja dan peneingkatan produktivitasnya, PT. YULAN

4

TEXTIL mampu menambah produksinya sebanyak 30 buah setiap bulan. Jika
perkembangan produksinya konstan, berapa banyak baju yang dihasilkan pada bulan
ketujuh? Dan berapa banyak baju yang dihasilkan sampai dengan bulan tersebut?
Jawab:
Diketahui:

a= 200
b = 30
n=

7

S7 = 200 + ( 7 – 1) 30 = 380
J7

= 7/2 ( 200 + 380) = 2030

Jadi jumlah produksi baju pada bulan ketujuh 380 baju dan jumlah keseluruhan yang

dihasilkan sampai bulan tersebut adalah 2030 baju.
Model Bunga Majemuk
Model Bunga majemuk merupakan penerapan deret ukur dalam kasus
Investasi. Dengan model ini bisa dihitung pengembalian kredit dimasa akan datang
berdasarkan tingkat bunganya.
Modal Pokok sebesar P dibungakan secara majemuk dengan suku bunga per
tahun setingkat i, maka jumlah akumulatif modal tersebut di masa datang setelah n
tahun (Fn) dapat di hitung sebagai berikut:
Setelah 1 tahun : F1 = P + P.i = P (1+i)
Setelah 2 tahun : F2 = P (1+i) + P (1+i) = P (1 + i )2
Setelah 3 tahun : F3 = P (1 + i )2 + P (1+i)2 i = P (1 + i )3
Dengan demikian, jumlah masa datang dari jumlah sekarang adalah:
5

Fn= P (1 + i )n
P = Jumlah sekarang
I = tingkat bunga per tahun
n = jumlah tahun
Contoh soal:
1. Nadhia meminjam uang di BCA sebanyak Rp. 5 juta untuk jangka waktu 3
tahun, dengan tingkat bunga 2% per tahun. Berapa jumlah uang yang
dikembalikan pada saat pelunasan? ? Seandainya perhitungan pembayar
bunga bukan tiap tahun, melainkan tiap semester, Berapa jumlah yang harus
dikembalikan Nadhia?
Jawab:
P = 5.000.000
N=3
i = 2 % = 0,02
Fn= P (1 + i )n
F3 = 5.000.000 P (1 + 0,02 )3
= 5.000.000 (1,061208)
= 5.306.040
Jadi pada saat pelunasan, setelah 3 tahun Nadhia harus membayar Rp.
5.306.040
Jika bunga di perhitungkan tiap semester, m = 2

maka:

Fn = (1 + i/m) mn

6

F3 = 5.000.000 (1 + 0,01)(2)(3)
= 5.000.000 (1.0615)
= 5.307.500
Jadi jumlah yang harus dibayar lebih besar yaitu Rp. 5.307.500
Deret dipakai untuk kasus perkembangan dan pertumbuhan.1

DAFTAR PUSTAKA
http://blog.uin-malang.ac.id/syahirulalim/2013/02/28/materi-deret-hitung-deret-ukur/
diakses pada 18 September 2014 pukul 07.05

1 Andi Supangat, Matematika untuk Ekonomi dan Bisnis, (Jakarta : Kencana,

2006) Cet I, hal 189

7

http://wartailmu.blogspot.com/2013/02/deret-hitung-dan-ukur.html diakses pada 18
September pukul 08.16
Supangat, Andi, Matematika untuk Ekonomi dan Bisnis, Jakarta : Kencana, 2006

8