BAB I INTEGRAL A. INTEGRAL TENTU DAN INT

-1-

BAB I

INTEGRAL

A. INTEGRAL TENTU DAN INTEGRAL TAK TENTU
Integral adalah kebalikan dari turunan (diferensial). Oleh karena itu integral disebut juga anti
diferensial. Ada 2 macam integral, yaitu integral tentu dan integral tak tentu. Integral tentu yaitu
integral yang nilainya tertentu, sedangkan integral tak tentu, yaitu integral yang nilainya tak tentu.
Pada integral tentu ada batas bawah dan batas atas yang nanti berguna untuk menentukan nilai
integral tersebut. Kegunaan integral dalam kehidupan sehari-hari banyak sekali, diantaranya
menentukan luas suatu bidang, menentukan voluem benda putar, menentukan panjang busur dan
sebagainya. Integral tidak hanya dipergunakan di matematika saja. Banyak bidang lain yang
menggunakan integral, seperti ekonomi, fisika, biologi, teknik dan masih banyak lagi disiplin ilmu
yang lain yang mempergunakannya.
1. INTEGRAL TAK TENTU
Karena integral merupakan kebalikan (invers) dari turunan, maka untuk menemukan rumus integral
kita beranjak dari turunan. Turunan suatu fungsi y = f(x) adalah y ‘ = f ‘ (x) atau

dy

, sedangkan
dx

notasi integral dari suatu fungsi y = f(x) adalah y dx  f ( x) dx yang dibaca “ integral y
terhadap x ”.
Turunan suatu fungsi konstan adalah 0 atau integral 0 adalah suatu fungsi konstan, biasanya
diwakili oleh notasi c.
Rumus umum integral dari y  ax n adalah

ax

n

dx 

a
x n 1  c
n 1

a

x n 1  c atau ditulis :
n 1

untuk n   1

Contoh 1 : Tentukan :
a.
b.

3

2 x
5 x

4

8

c.

3x

d.

2 x

dx

4



 3 x 3  6 x 2  7 x  2 dx
dx
x dx

Penyelesaian :
3

2

1
dx  x 4  c  x 4  c
4
2

a.

2 x

b.

5 x

c.

3x

d.

2 x x dx 2 x 2 dx 

4

8
4

8
8
dx   x  4 dx 
x 3
3
3(  3)
3

LATIHAN SOAL
1. Integralkan !
Mazhendnandez1

3 4
7

x  2x 3  x 2  2x  c
4
2
8
 c 
c
9x 3

 3 x 3  6 x 2  7 x  2  dx  x 5 

5

5

2 2
4
x c  x2 c
5
5
2

-2a.

5

b.

2 x dx
5 x dx

c.



d.

3x  4 x  2 x  5 x  7 dx
6  2 x  3x  8 x dx
 2 x  3 dx
x  x  6 dx

1  x  x dx

e.
f.
g.
h.

4

1
dx
x
4

3

2

2

3

2

2

i.

x3  5 x 2  4
dx
 x2

j.

1 

 x x  x x  dx

2

2. PEMAKAIAN INTEGRAL TAK TENTU
Pada integral tak tentu terdapat nilai konstanta c yang tidak tentu nilainya. Untuk menentukan
fungsi f dari suatu fungsi turunan, maka harus ada data yang lain sehingga harga c dapat diketahui.
Contoh 1 :

Diketahui f ‘(x) = 5x – 3 dan f(2) = 18. Tentukan f(x) !

Penyelesaian :
5
f ( x )  (5 x  3) dx  x 2  3 x  c
2
5
f (2) 18  (2) 2  3.2  c 18
2

 10  6  c 18
 16  c 18
 c 2
5
Jadi f ( x)  x 2  3 x  2

2

Contoh 2 : Jika gradien garis singgung di titik (x,y) pada sebuah kurva yang melalui titik (3,4)
ditentukan

dy
3 x 2  8 x  5 , maka tentukan persamaan kurva tersebut !
dx

Penyelesaian :
f ( x)  (3 x 2  8 x  5) dx  x 3  4 x 2  5 x  c
f (3) 4  33  4.3 2  5.3  c 4

 27  36  15  c 4
 c  2

Jadi f(x) = x 3  4 x 2  5 x  2
LATIHAN SOAL
1. Tentukan rumus f(x) jika diketahui :
a. f ‘(x) = 2x dan f(4) = 10
b. f ‘(x) = 8x – 3 dan f(-1) = 10
1
1
2
c. f ‘(x) = x  2 dan f(1) =
3
x
d. f ‘(x) = x - x dan f(4) = -3
Mazhendnandez1

-3-

e. f ‘(x) = 1 -

1
dan f(4) = 1
x2

2. Diketahui titik (3,2) terletak pada kurva dan gradien garis singgung di titik (x,y) pada kurva
tersebut didefinisikan 2x – 3. Tentukan persamaan kurva tersebut !
3. Gradien suatu kurva pada setiap titik (x,y) ditentukan oleh

dy
3 x 2  2 x dan kurva itu melalui
dx

titik (-3,2). Tentukan persamaan kurva itu !
4. Kecepatan suatu benda bergerak dinyatakan oleh v(t ) 12t 2  6t  1 . Setelah benda itu bergerak 1
detik, jarak yang ditempuh 4 m. Tentukan persamaan gerak dari benda itu !
5. Diketahui rumus percepatan a(t)= t 2  1 dan kecepatan v(0) = 6. Tentukanlah rumus kecepatan v(t)
jika a(t)=

dv
dt

3. INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI
Kita telah mempelajari turunan fungsi trigonometri yang secara ringkas dapat digambarkan sebagai
berikut :
sin x  cos x   sin x   cos x  sin x

tan x  sec 2 x
cot x   cos ec 2 x

 artinya turunan.

Karena integral adalah invers dari turunan maka :

Contoh 1

: Tentukan :
a.
b.

(5 sin x  2 cos x) dx
( 2 cos x  4 sin x  3) dx

Penyelesaian :
a.
b.

(5 sin x  2 cos x) dx  5 cos x  2 sin x  c
( 2 cos x  4 sin x  3) dx  2 sin x  4 cos x  3x  c

LATIHAN SOAL
1. Tentukan integral fungsi berikut !
a.
b.
c.
d.
e.

5 sin x dx
 sin x  cos x  dx
 8 cos x  6 sin x  dx
 2  x  sin x  dx
 x  2 sin x  dx
2

4. INTEGRAL DENGAN SUBSTITUSI
Mazhendnandez1

-4-

Cara menentukan integral dengan menggunakan cara substitusi-1 yaitu dengan mengubah bentuk
integral tersebut ke bentuk lain dengan notasi lain yang lebih sederhana sehingga mudah
menyelesaikannya. Cara ini digunakan jika bagian yang satu ada kaitan turunan dari bagian yang
lain.
Contoh 1 :Tentukan integral dari :
a.
b.

2

10

2 x(4 x  1) dx
2 sin x cos x dx
5

Penyelesaian :
a. Misal
: u 4 x 2  1
Maka:
du
8 x
dx
du
 dx 
8x

Sehingga :

2 x(4 x

2

 1)10 dx 2 x.u 10 .

du
1
1
1
 u 10 du 
u 11  c  (4 x 2  1)11  c
8x
4
4.11
44

b. Misal u = sin x
du
cos x
dx
du
 dx 
cos x

Sehingga :

2 sin

5

x cos x dx 2u 5 . cos x

du
2
1
2u 5 du  u 6  c  sin 6 x  c
cos x
6
3

LATIHAN SOAL
Tentukan integral dari fungsi –fungsi berikut dengan menggunakan metode substitusi !

Mazhendnandez1

-51.
2.

 2 x  3
6  x  4

5

dx

5

2

dx

3.

 5 x  1

4.

  2 x  4 dx
4 x  x  4 dx
12 x  x  5 dx
6 x 6  x dx
sin 5 x dx
cos x.sin x dx
cos x 1  sin x dx

5.
6.
7.
8.
9.
10.

4

dx
3

5

2

2

6

3

4

2

3

5. INTEGRAL PARSIAL
Bagaimana jika dua bagian pada suatu integral tidak ada kaitan turunan antara bagian yang satu
dengan bagian lainnya ? Untuk itu perlu ada cara lain untuk menyelesaikannya yaitu dengan
integral parsial.
Seperti telah kita ketahui pada turunan jika y = uv maka y ‘ =u ’ v + uv ’. Jika kita integralkan
kedua rua, maka akan didapat :

y ' dx  u ' v dx  uv ' dx



uv ' dx y  u ' v dx uv  u ' v dx

Rumus di atas sering disingkat dengan :

u dv uv  v du
Contoh 1 :

Tentukan :
a.
b.

2 x(5 x  1)
x sin x dx

6

dx

Penyelesaian : a. Misal 2x = u maka 2 dx = du
1 1
 5 x  1 7  1 (5 x  1) 7
5 7
35
1
1
6
2
7
2 x(5 x  1) dx 2 x. 35 (5 x  1)  35 (5 x  1) .2 dx
2x
2 1 1

(5 x  1) 7 
. . (5 x  1)8  c
35
35 5 8
2x
1

(5 x  1) 7 
(5 x  1)8  c
35
700

6
Misal dv =  5 x  1 dx  v  .

b. Misal x = u maka dx = du
Misal dv = sin x dx maka v = -cos x

x sin x dx  x. 

cos x 



cos x dx   x cos x  sin x  c

LATIHAN SOAL
Tentukan integral berikut dengan metode parsial !

Mazhendnandez1

-6-

3.

6 x x  2 dx
8 x1  2 x  dx
x 2 x  4 dx

4.



5.

x sin x dx
x cos x dx
 2 x  1 sin 2 x dx
6 x x  1 dx
x cos  3x  1 dx
x sin  2 x  6

1.
2.

6.
7.
8.
9.
10.

5

3

x
dx
x 1
2

3

2

3

2

5

dx

6. INTEGRAL TENTU
Perhatikan gambar di bawah ini :
Y

Y = f(x)
P

Q

R
S
f(x) f(x+h)
T
0

a

x

h
U
x+h

X
b

Luas daerah dari x = a hingga x = b adalah L(b) – L(a) ….. (1)
Luas RSUT  Luas RQUT  Luas PQUT
h.f(x)  L(x+h) – L(x)  h.f(x+h)
L ( x  h)  L ( x )
f ( x) 
 f ( x  h)
h
Untuk h  0 maka :
Lim
Lim
Lim
L ( x  h)  L ( x )

f(x) 
f(x+h)
h 0
h 0
h 0
h
f ( x )  L' ( x)  f ( x ) 

L' ( x)  f ( x )

L( x)  f ( x) dx  F ( x)  c

Dari (1) maka :
b

L  f ( x) dx  L(b)  L( a) ( F (b)  c)  ( F ( a)  c)  F (b)  F ( a)
a

b

Jadi :

f ( x) dx  F ( x)

b
a

 F (b)  F (a )

a

3

Contoh 1 :

Hitunglah

(3x

2

 x  1) dx

1

Penyelesaian:
3

(3x

2





 4 x  1) dx  x 3  2 x 2  x 1 33  2.3 2  3  13  2.12  1 12

1

Mazhendnandez1

3

-7-

LATIHAN SOAL
1. Tentukan nilai integral di bawah ini :
3

a.

4 x dx
0

1

b.

6 x

2

dx

2
4

c.

12 x

x dx

0

1

d.

5 

2 x  6 x 2  dx

1

2

2

e.

1

 x   dx

x
1

2. Tentukan nilai a jika diketahui :
a

a.

x dx 18


0

2a

b.

1

x

2

dx 

1

1
2
2

3. Tentukan a jika

 2 x  a  dx   6

1

4. Tunjukkan dengan arsiran, luas daerah yang dinyatakan dengan integral berikut :
4

a.

3x dx
0

3

b.

x

2

dx

2
3

c.

 x



2

 4 dx

3

dx

3
2

d.

x

2

5. Tentukan nilai integral dari :

Mazhendnandez1

-83

a.

  2 x  3

5

dx

1

2

b.

6  x  4

5

dx

2
1

c.

2

 x  1

4

dx

0

3

d.

  2 x  4
5

3

dx

2

6. Tentukan nilai integral berikut ini :
1

2

a.

cos x dx
0



b.

2 cos 2 x dx

1

2



c.



1 

sin x  3   dx
0

2

d.

(sin x  cos x) dx
0

1

2

e.

 4 cos x  1 dx

1

3

B. LUAS DAN VOLUME BENDA PUTAR
1. DAERAH ANTARA BEBERAPA KURVA
Mazhendnandez1

-9-

Daerah antara dua kurva yaitu daerah yang dibatasi oleh dua kurva tersebut dengan selang batas
tertentu. Selang batas tersebut bisa batas yang ditentukan atau titik potong kedua kurva tersebut.
Contoh 1 : Lukislah daerah antara garis y = x dan kurva y  x 2 !
Penyelesaian :

Y
y = x2
y=x

1

X
1

LATIHAN SOAL
Lukislah daerah antara beberapa kurva di bawah ini :
1.
2.

x   2, x 3, y   2 dan y 3
y  x, y   x dan y 3

3.

y  x 2 dan y   x 2  2

4.

y  x dan y  x 3

5.

y  x 2  4 x dan y   x 2  4 x

6.
7.

y  x 2 dan y  x
y  2 x  1, x  4 dan sumbu X

8.

y  x 2  2 x  8, , x   4 dan x 5

3
y sin x, 0  x  
2
10. y sin x , y  cos x ,   x  2
9.

2. LUAS DAERAH ANTARA KURVA DAN SUMBU KOORDINAT
Luas daerah antara kurva y = f(x) dengan sumbu koordinat X pada selang a  x b dimana
b

daerahnya ada di atas atau di bawah sumbu X adalah :

L

f ( x) dx
a

Mazhendnandez1

-10b

Begitupun untuk daerah dengan batas sumbu koordinat Y, yaitu :

L

f ( y ) dy
a

Contoh 1 : Tentukan luas daerah antara kurva y = x 3 , sumbu X , x = -1 dan x = 1 !

Penyelesaian :

Y

-1

0

1

0

0

L 

X

1

1
1
1
1
1 
1 
3
x
dx

x 3 dx    x 4    x 4    (0  )  (  0)  satuan luas.


4
4
2
 4  1  4 0
1
0

LATIHAN SOAL
1. Tentukan luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini :
a.
Y
b.
y=x+2

Y
y = x2

2
X
-2

0

X

2

Y

0

3

y = x3

c.
X
-4

4

2. Tentukan luas daerah antara kurva berikut dan sumbu koordinat atau garis yang ditentukan :
a. y  2 x  1 , sumbu X, x = -2 dan x = 3
b. y  x 2 , sumbu X, x = 0 dan x = 2
c. y  x 2  1 dan sumbu X
d. y 8 x  x 2 , sumbu X dan x = 4
e. y  x 3 , sumbu X, x = -1 dan x = 3
f. y  x , sumbu X, x = 1 dan x = 4

Mazhendnandez1

-11-

3. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y  x 3  3x 2 , sumbu X, x = -1 dan x = 3

3. LUAS ANTARA DUA KURVA
Untuk menentukan luas daerah antara dua kurva, kita berdasarkan luas antara kurva dan sumbu
koordinat.
Perhatikan gambar di bawah ini :
Y

y = f(x)
y = g(x)
0

a

b

X

Luas daerah yang diarsir adalah :
b

b

L  f ( x) dx 
a

b

g ( x) dx  ( f ( x)  g ( x)) dx
a

a

b

Jadi : L   f ( x)  g ( x) 
a

Contoh 1: Tentukan luas daerah antara kurva y  x 2  3x dan y = 2x + 2 !
Penyelesaian :
Titik potong kedua kurva yaitu :
x 2  3x 2 x  2 

 x  2( x  1) 0 

x   2 atau x 1

Y

-2

1
0

1





X

1

L  ( 2 x  2)  ( x 2  3x) dx  (2  x  x 2 ) dx  4
2

2

1
satuan luas.
2

LATIHAN SOAL
1. Hitunglah luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini :
a.
b.
Y
y = 2x
y = x2
Y=x

Mazhendnandez1

Y

-12-

0

2

X

X
y=x

0

1

2. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva berikut :
a.

y  x 2 dan y  x  2

b.

y 9  x 2 dan x  y  3  0

c.

y  x 2 dan

d.

y  2  x 2 dan x  y  0

e.

y  x 2 , y  x  6 dan sumbu Y

y 2 x  x2

f.

y  x dan y  x 2

g.

y  x 2  4 x  3 dan x  y  1  0

4. VOLUME BENDA PUTAR
4.1 VOLUME BENDA PUTAR ANTARA KURVA DAN SUMBU KOORDINAT
Y
y = f(x)

0

X
a

b

Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = f(x), x = a, x = b dan sumbu X yang diputar
b
2
sejauh 360 mengelilingi sumbu X adalah : V  y dx
a

Begitu juga pada kurva x = f(y) yang diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360 dan dibatasi oleh
b

x 2 dy
y = a, y = b, sumbu Y dan kurva itu sendiri maka volumenya : V  
a

Contoh 1 : Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y  x 2 ,
sumbu X dan garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360 !
Jawab

:

Y

0

Mazhendnandez1

2

X

-13V   x
2

0

2



2

2

1 
 32
 32
dx  x dx   x 5   
 0    satuan volume.
0
5
5 0
 5

4

4

LATIHAN SOAL
1. Pada gambar di bawah, hitunglah volume benda putarnya jika diputar mengelilingi sumbu X sejauh
360 !
a.

Y

b.

Y

y=x+2

Y= x 2

2
X
-2

0

X
2

0

3

2. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva yang
diketahui diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360 !
a. y = x, x = 1 dan x = 10
b. y = x 2 , sumbu X, sumbu Y dan x = 6
c. y = x , sumbu X, sumbu Y dan x = 9
d. y = x 2  1 , x = 0 dan x = 1
e. y = x 3 , sumbu X, x = -3 dan x = 3
3. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva yang
diketahui diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360 !
a. y = x dan y = 6
b. y = x dan y = 1
c. y = x 2  1 , y = 0 dan y = 1
Quiss :
1
r
2
1. Tentukan rumus volume kerucut V   r t dari persamaan garis y = x yang diputar
3
t

mengelilingi sumbu X sejauh 360
4
3
2. Tentukan rumus volume bola V   r dari persamaan seperempat lingkaran x 2  y 2  r 2 yang
3

diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360

4.2 VOLUME BENDA PUTAR ANTARA DUA KURVA
y

y = f(x)
y = g(x)

0

a

Mazhendnandez1

b

X

-14-

Volume benda putar yang diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360 yang dibatasi oleh kurva y =
f(x), y = g(x), x = a dan x = b adalah :
b

2

2

dimana y1  f ( x ), y2  g ( x ) dan y1  y2

V  ( y1  y2 ) dx
a

Begitupun untuk benda putar yang diputar mengelilingi sumbu Y.
Contoh 1: Hitunglah isi benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y  x 2 dan y =
2x diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360 !
2

4
3

 (2 x)2  ( x 2 )2  dx  4 x 2  x 4  dx   x3 
Jawab : V  
0
2

0

2

1 5
64
x   
5  0 15

LATIHAN SOAL
1. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh dua kurva diputar sejauh
360 mengelilingi sumbu koordinat yang disebutkan !
a. y = x dan y = x 2 mengelilingi sumbu X
b. y = x 2 dan y 2  x mengelilingi sumbu Y
c. y = x 2 , y = x , mengelilingi sumbu Y
d. y = x 2 dan y = x 4 mengelilingi sumbu X
e. y = x 2 dan y = 6 x  x 2 mengelilingi sumbu X
f. y = 1  x 2 dan y = 9  x 2 mengelilingi sumbu X

PROGRAM LINIER
Program linier adalah suatu metode untuk mencari nilai maksimum atau minimum dari bentuk linier
pada daerah yang dibatasi oleh grafik-grafik fungsi linier.
1. SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINIER

Mazhendnandez1

-15-

Mazhendnandez1

-16-

Mazhendnandez1

-17-

Contoh Soal :

LATIHAN SOAL
1. Lukislah garis berikut :
a). x + 2y = 6
b). -2x + 5y = 10

c). -3x + 4y = -12
d).

1
x  4 y  18
2

2. Arsirlah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier :
a)  3x  2 y  6
 2 x  y 12
d)

x 0

x  y 5 
2 x  y 6
g)

x 0 
y 0 

c)

3 x  4 y 12

x 0
e)


y 0

2 x  y 10
x  y 18 
h)

x 8 
y 8 

 x  2 y  6

x 0
f)


y 0


y 2 x 

j) x  2 y 8
y  0 

2. MENYELESAIKAN MASALAH PROGRAM LINIER

Mazhendnandez1

x  y 5

y 0 

b)  2  x  4

3 x  4 36

i) 2  x 8 
0  y  6 

-18-

Dalam kehidupan sehari-hari sering kita dihadapkan dengan permasalahan yang berhubungan
dengan nilai optimal (maksimum/minimum). Program linier mempunyai tujuan untuk dapat
memanfaatkan bahan-bahan (materi) yang tersedia secara efisien dengan hasil yang optimum.
Karena itu program linier banyak digunakan dalam bidang ekonomi, industri, perusahaan dan
bidang usaha lain.
a. Model Matemátika dari Permasalahan Program Linier
Sebagai ilustrasi perhatikan contoh berikut :
PT. Samba Lababan memproduksi ban motor dan ban sepeda. Proses pembuatan ban
motor melalui tiga mesin, yaitu 2 menit pada mesin I, 8 menit pada mesin II, dan 10
menit pada mesin III. Adapun ban sepeda diprosesnya melalui dua mesin, yaitu 5 menit
pada mesin I dan 4 menit pada mesin II. Tiap mesin ini dapat dioperasikan 800 menit
per hari. Untuk memperoleh keuntungan maksimum, rencananya perusahaan ini akan
mengambil keuntungan Rp40.000,00 dari setiap penjualan ban motor dan Rp30.000,00
dari setiap penjualan ban sepeda. Berdasarkan keuntungan yang ingin dicapai ini, maka
pihak perusahaan merencanakan banyak ban motor dan banyak ban sepeda yang akan
diproduksinya dengan merumuskan berbagai kendala sebagai berikut. Perusahaan
tersebut memisalkan banyak ban motor yang diproduksi sebagai x dan banyak ban
sepeda yang diproduksi sebagai y, dengan x dan y bilangan asli. Dengan menggunakan
variabel x dan y tersebut, preusan itu membuat rumusan kendala-kendala sebagai
berikut.
Pada mesin I : 2x + 5y ≤ 800 …. Persamaan 1
Pada mesin II : 8x + 4y ≤ 800 .… Persamaan 2
Pada mesin III : 10 x ≤ 800 .… Persamaan 3
x, y bilangan asli : x  0, y  0 .… Persamaan 4
Fungsi tujuan (objektif) yang digunakan untuk memaksimumkan keuntungan adalah
f(x, y) = 40.000x + 30.000y. Dalam merumuskan masalah tersebut, PT. Samba Lababan
telah membuat model matematika dari suatu masalah program linear.
b. Nilai Optimum Fungsi Obyektif
Untuk menentukan nilai optimum fungsi objektif ini, ada dua metode, yaitu metode uji titik
pojok dan metode garis selidik.
b.1. Metode Uji Titik Pojok
Untuk menentukan nilai optimum fungsi objektif dengan menggunakan metode uji titik
pojok, lakukanlah langkah-langkah berikut.
1. Ubah masalah tersebut ke dalam model matematika yaitu dengan membuat tabel, fungsi
pembatas dan fungsi tujuan.Tabel di sini untuk mempermudah membaca data. Fungsi
pembatas/kendala yaitu beberapa pertidaksamaan linier yang berhubungan dengan
permasalahan tersebut. Fungsi tujuan/objektif yaitu suatu fungsi yang berhubungan
dengan tujuan yang akan dicapai. Biasanya fungsi tujuan dinyatakan dengan
f(x,y) = ax + by atau z = ax + by
2. Lukislah daerah penyelesaian dari fungsi pembatasnya
3. Tentukan koordinat-koordinat titik ujung daerah penyelesaian
4. Ujilah masing-masing titik ujung daerah penyelesaian
5. Tentukan nilai terbesar/terkecilnya sesuai dengan tujuan yang akan dicapai
Sebagai contoh dalam dari masalah produksi ban PT. Samba Lababan di atas diperoleh model
matemátika sebagai berikut :
I
: 2x + 5y ≤ 800 …. Persamaan 1
II
: 8x + 4y ≤ 800 .… Persamaan 2
III
: 10 x ≤ 800 .… Persamaan 3
IV
: x  0, y  0 .… Persamaan 4
Fungís Obyektif : f(x, y) = 40.000x + 30.000y
Gambar grafik daerah penyelesaian dari model matemática tersebut hádala sebagai berikut :
Mazhendnandez1

-19-

Mazhendnandez1

-20-

LATIHAN SOAL
1. Suatu pesawat udara mempunyai tempat duduk tidak lebih dari 48 penumpang. Setiap penumpang
kelas utama boleh membawa bagasi 60 kg, sedangkan kelas ekonomi dibatasi 20 kg. Pesawat itu
hanya dapat membawa bagasi 1440 kg. Jika tiket setiap penumpang kelas utama Rp.100.000 dan
kelas ekonomi Rp.50.000, maka tentukan keuntungan maksimum yang dapat diperolehnya ?
2. Luas daerah parkir 360 m 2 . Luas rata-rata untuk parkir sebuah mobil sedan 6 m 2 dan untuk
sebuah bus 24 m 2 . Daerah parkir tidak dapat memuat lebih dari 30 kendaraan. Jika biaya parkir
untuk sebuah mobil sedan Rp.250 dan sebuah bus Rp.750, maka tentukan banyaknya tiap-tiap jenis
kendaraan agar diperoleh pendapatan maksimum ?
3. Seorang pengusaha kendaraan roda dua akan memproduksi sepeda balap dan sepeda biasa. Banyak
sepeda balap yang akan diproduksi sedikitnya 10 unit dan paling banyak 60 unit perbulannya.
Sedangkan untuk sepeda biasa paling banyak diproduksi 120 unit sebulannya. Total produksi
perbulannya adalah 160 unit. Harga jual sepeda balap Rp.700.000/unit dan sepeda biasa
Rp.300.000/unit. Tentukan banyaknya masing-masing jenis sepeda yang membuat keuntungan
maksimal !
4. Sebuah butik memiliki 4 m kain satin dan 5 m kain prada. Dari bahan tersebut akan dibuat 2 baju
pesta. Baju pesta I memerlukan 2 m kain satin dan 1 m kain prada. Sedangkan baju pesta II
memerlukan 1 m kain satin dan 2 m kain prada. Harga jual baju pesta I sebesar Rp.500.000 dan
baju pesta II Rp.400.000. Berapa jenis baju pesta yang akan dibuat agar diperoleh harga jual yang
setinggi-tingginya ?
5. Seorang petani membutuhkan pupuk N, P, dan K berturut-turut 10, 12, dan 12 unit untuk
menyuburkan tanamannya. Kebutuhan itu dapat dipenuhinya dari pupuk berupa cairan yang
mengandung 5 unit N, 2 unit P dan 1 unit K tiap botol dan dari pupuk berbentuk tepung yang
mengandung 1 unit N, 2 unit P dan 4 unit K tiap kantong. Berapa banyaknya tiap jenis pupuk dapat
dibeli agar biaya pembelian pupuk seminimal mungkin ?

Mazhendnandez1

-21-

b.2 Metode Garis Selidik

Mazhendnandez1

-22-

LATIHAN SOAL
1. Tentukan nilai maksimum dan minimum 4x + y dengan menggunakan garis selidik dari daerah
sistem pertidaksamaan linier x  y 6, 2 x  y 8, x 6 dan y 8
2. Dengan menggunakan garis selidik, tentukan nilai maksimum 4x + 2y pada daerah himpunan
penyelesaian x 8, y 6, x  4 y 8 dan 2 x  y 8
3. Dengan menggunakan garis selidik, tentukan nilai maksimum dan minimum 2x – y pada
pertidaksamaan x  y  4, x  y 6, x  4 dan y  x  4
4. Dengan menggunakan garis selidik, tentukan nilai maksimum dan minimum q = 6x + 10y pada
himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan x  y 16, x  2 y 10, x 2 dan y 0
5. Dengan menggunakan garis selidik, tentukan nilai maksimu dan minimum q = 16x – 2y + 40 dari
daerah penyelesaian 6 x  8 y  48, 0  y 4 dan 0  x 7

Mazhendnandez1

-23-

MATR I K S

A. PENGERTIAN DAN NOTASI MATRIKS
1. PENGERTIAN BARIS, KOLOM DAN ELEMEN SUATU MATRIKS
Matriks yaitu himpunan bilangan-bilangan yang tersusun menurut baris dan kolom berbentuk
persegi panjang dan ditulis diantara tanda kurung ( ) atau [ ].
Nama matriks dengan menggunakan huruf besar. Elemen-elemen suatu matriks dengan huruf kecil
sesuai nama matriks dengan indeks sesuai letak elemennya.
 1

Contoh 1: Diketahui matriks A =  3
 0

2
3

4 
 5 
 2

 4

Tentukan :
a. banyak baris
b. banyak kolom
c. elemen-elemen baris ke-2

d. elemen-elemen kolom ke-3
e. b3.2
f. b1.3

Penyelesaian :
a.
b.
c.
d.

banyak baris = 3 baris
banyak kolom = 3 kolom
celemen-elemen baris ke-2 = 3, 3, - 5
elemen-elemen kolom ke-3 = 4, - 5, - 2

e. b3.2 = elemen baris ke-3 kolom ke-2 = - 4
f. b1.3 = elemen baris ke-1 kolom ke-3 = 4
1

Contoh 2: Diketahui X   2
 3

4
5 
6 

Tentukan letak elemen 2 dan 6 !
Penyelesaian :
elemen 2 = x 21.
elemen 6 = x 32.
2. ORDO MATRIKS
Yaitu banyaknya baris dan kolom yang menyatakan suatu matriks.
Amxn artinya matriks A berordo m x n yaitu banyaknya baris m buah dan banyaknya kolom n buah.
1

3

Contoh 3: Diketahui P  
5 0

 2
2

Tentukan ordo matriks P
Penyelesaian : Ordo matriks P = 2 x 4

3. JENIS-JENIS MATRIKS

Mazhendnandez1

4
3

-24-

1. Matriks Nol
Yaitu matriks yang setiap elemennya nol.
0
0

0
0

Misal : A  

2. Matriks Baris
Yaitu matriks yang hanya mempunyai satu baris
Misal : B   1 0 2 3

3. Matriks Kolom
Yaitu matriks yang hanya mempunyai satu kolom.
2
 
Misal : C    1
 0 

4. Matriks Bujur sangkar
Yaitu suatu matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama.
Ordo matriks n x n sering disingkat dengan n saja.
 1

Misal : D   0
  2

2
2
3

3
1
0

5. Matriks Diagonal
Yaitu matriks persegi yang semua elemennya nol, kecuali elemen-elemen diagonal utamanya.
 1
0
E

Misal :

 0

0
2
0

0
0
3

6. Matriks Satuan (Identitas)
Yaitu matriks persegi yang semua elemen diagonal utamanya satu, dan elemen lainnya nol.
1

Misal : F  0
 0

0
1
0

0
0
1

7. Matriks Skalar
Yaitu matriks persegi yang semua elemen pada diagonal utamanya sama, tetapi bukan nol dan
semua elemen lainnya nol.
3

Misal : G  0
 0

0
3
0

0
0
3

8. Matriks Segitiga Atas
Yaitu matriks yang semua elemen di bawah diagonal utamanya nol.
2

Misal : H   0
 0

1
1
0

 3
4 
5 

9. Matriks Segitiga Bawah
Yaitu matriks yang semua elemen di atas diagonal utamanya nol.
3

Misal : K   4
 1

0
4
 3

0
0 
2

LATIHAN SOAL
1

1. Diketahui P  0
1

Tentukan :
Mazhendnandez1

1

2

4

3
0

2
1

5
3

5
3
5

-25-

a.
b.
c.
d.
e.
f.

elemen-elemen baris ke-2
elemen-elemen kolom ke-2
elemen-elemen kolom ke-4
elemen baris ke-1 kolom ke-3
elemen baris ke-3 kolom ke-5
ordo P

 2

2. Diketahui X   3
  4

 3
1

5
4

0

 2

1
0
6

Tentrukan :
a. ordo X
b. elemen-elemen baris ke-2
c. x2.3
d. x3.1
e. x3.2
2
0
3. Diketahui A  
1

3

4
 2
5
2

6 
 5
1 

 4

Tentukan letak elemen :
a. –2
b. 5
c. 6
d. 3
4. Berikut ini termasuk jenis matriks apa ?
1
0

a. A  

 3
 1
C

c.

 4

2
1 
0
3
3

e. 0

b. B   1 0 2
0
0
3

4
0
D

d.

 0

0
4
0

0
0
4

5. Berikan contoh lain dari matriks :
a. skalar
b. segitiga bawah
c. segitiga atas
d. Diagonal

4. KESAMAAN DUA MATRIKS
Dua matriks dikatakan sama jika ordo dan elemen-elemen yang seletak sama.
Contoh 1: Mana matriks yang sama ?
1
A 
3

Mazhendnandez1

2
4

2
B 
1

4
3

1
C 
3

2
4

 1
D 
 9

4

22 

-26-

Penyelesaian : Matriks yang sama yaitu matriks A dan C
3

1 

3

x 

Contoh 2: Tentukan x dan y dari 
 

0  5  2 y  5
Penyelesaian :

x =1
2y = 0
 y=0

5. TRANSPOSE MATRIKS
Transpose (putaran) matriks A yaitu matriks yang diperoleh dari matriks A dengan menukarkan
elemen-elemen pada baris menjadi kolom dan sebaliknya elemen-elemen pada kolom menjadi
baris.
Transpose matriks A dinyatakan dengan AT atau A’.
1

2

3

T
Contoh 3: Jika P  
 maka tentukan P
4
5
6



1
2
t
P

Penyelesaian :

 3

4
5
6

LATIHAN SOAL
1. Tentukan x dan y dari :
3

3x 

3

a. 
 
8  5  2 y
 4

c. 
 2x

1
x
b.  2
 0


 9
 5

y  1   4

3   x  5

2 y  x
3 


1  4 1



y  3  0 x 

 x  2 y

1

d. 
  
 x  y   4

2. Tentukan a, b, c dan d dari :
5
a. 
3b

2a  6  5

4  6

2b 
4 


  3 a  c
d  3

d
 b
c. b  1

5 
2   a  2

 10

2c    a  6 


b.
b
8 
 a  2 bd   c


 a c

d. 
  b  3d

3b  4d  1 15

2a  c  8 5 

3. Tentukan transposenya dari :
 1
a. A  
4

2
5

4
5
B

b.

  1

3
0
 4a
 2b

4. Tentukan c jika A  

Mazhendnandez1

4
 c  6b
, B 

3c 
 4a  2

2
0
2

1
3
5

2a 
dan A  BT
2b  14

-27-

B. OPERASI MATRIKS
1. PENJUMLAHAN MATRIKS
Dua matriks dapat dijumlahkan jika ordonya sama. Yang dijumlahkan yaitu elemen-elemen yang
seletak.
3
 1

4
 3
dan B  

2
 0

Contoh 1: Jika A  

2
maka tentukan A + B
5

Penyelesaian : A + B = …
Contoh 2: Jika A  

2
1

0
3
, B 

3
2

a. A + B

b. B + A

Penyelesaian :

1
5
dan C  

4
4

c. A + (B + C)

 2
, tentukan :
0 

d. (A + B) + C

a. A + B = …

b. B + A = …

c. A + (B + C) = …

d. (A + B) + C = …

1
3

Contoh 3: Diketahui A  

2
 1
,  A 

4
 3

Tunjukkan : a. A + (-A) = (-A) + A = O
b. A + O = O + A = A
Penyelesaian : a. A + (-A) = …

(-A) + A = …

b. A + O = …

O+A=…
Sifat-sifat penjumlahan matriks :
Mazhendnandez1

 2
0
dan O  

 4
0

0
.
0

-28-

1.
2.
3.
4.

A + B = B + A (bersifat komutatif)
A + (B + C) = (A + B) + C (bersifat asosiatif)
A + O = O + A = A (O matriks identitas dari penjumlahan)
A + (-A) = (-A) + A = O (-A matriks invers penjumlahan)

2. PENGURANGAN MATRIKS
Dua matriks dapat dikurangkan jika ordonya sama. Yang dikurangkan elemen-elemen yang seletak.
2
 1

Contoh 4: Jika A  

 3
4
dan B  
4 
3

a. A – B




1
, maka tentukan :
5

b. B – A

Penyelesaian : a. A – B = …

b. B – A = …

Sifat-sifat Pengurangan matriks :
1. A – B  B – A (tidak komutatif)
2. A – (B – C) = (A – B) – C (asosiatif)

LATIHAN SOAL
1. Sederhanakanlah !
 10 

  3

2

a.     
  2  5 
0

2

 2

 5

4  7

 1  0

d. 
 
  1 5  4
f. 
 2
h.  2

 1   3

3 
 7 
 3

4 

3

 4
 5

 1
 3


2
5

1
2

2

 1

3 

g. 
4

 4

 3
 1 4 
 x 


5 
 2  3

 5 

c.      1 3
  2

5

e. 
4

 4    5

2
2. Tentukan x jika 
4

Mazhendnandez1

1

b. 

  1 5 10

3   3

 8  3
 7
 5


2 x  y

i. 
 2y

4
 5

2  4

1  1

 1
 7 
 2
0 

x


 3 y  5 x 

3 y
5x


 x 
4 x  y 

-29-

 4
3. Tentukan x jika  x  
 3




1  7

5   6

2
3

4. Tentukan a, b, c dan d dari :
a

b  8

d  1

a. 
c

a  b

b. 
 c

 4 0

5  1

a  4

c  d   3

3
 1

 2  4

5  1

0
5

3. PERKALIAN MATRIKS
3.1 PERKALIAN MATRIKS DENGAN BILANGAN REAL (SKALAR)
Hasil perkalian skalar k dengan sebuah matriks A yang berordo m x n adalah sebuah matriks yang
berordo m x n dengan elemen-elemennya adalah hasil kali skalar k dengan setiap elemen matriks A.
2
3

Contoh 1: Jika A  




a. 2A

1
maka tentukan :
5
1
b.  A
2

2

 1

4

 2

Penyelesaian : a. 2A = 2
 

 3  5  6  10

b. 

1
A =…
2

4
1

Contoh 2: Jika A  

 2
6
dan B  

3 
3

a. 2(A + B)
Penyelesaian : a. 2(A + B)

b. 2A + 2B = …
c. 2(3A) = …

d. 6A = …

Mazhendnandez1

b. 2A + 2B
=…

4
maka tentukan :
 1

c. 2(3A)

d. 6A

-30-

Sifat-sifat perkalian skalar k dengan suatu matriks :
1. k(A + B) = …
2. (k + l)A = …
3. k(lA) = …
LATIHAN SOAL
2
3

 5
 1
dan B  

1 
2

1. Jika A  

a. 2A + 2B

b. 3A – 2B

4
, maka tentukan :
0
1
c. ( A  B)
2

d. –4(A – B)

2. Tentukan matriks X jika:
4
10

 6
8 

5

1

a. 2 X  

3
5

b. 2X  

1

c. 2 X  
 
10 0  2

 2  7

4   3

6
0

 0  3
1 0  1
1


X

 2

1
0

1




2

 3
4 

d. 

3. Tentukan a, b, c dan d dari :
a

2

 1

a. 2 
  3 c
1 d 

a  1

b. 4 
 b

b  5

 3  4

c  1  4b

3a  2  2c  4

a
 2b

7 
 5

8d  2
b  2
3

6 
  4

4
 2c  3b
dan B  

3c 
 a

4. Diketahui A  

c
6

2a  1
. Jika A  2 BT , maka tentukan nilai c !
b  7 

3.2 PERKALIAN MATRIKS DENGAN MATRIKS
Dua matriks A dan B dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks A (matriks kiri) sama dengan
jumlah baris matriks B (matriks kanan).
Ordo hasil perkalian matriks Amxn dengan Bnxp , misalnya matriks C yang akan berordo mxp
(seperti permainan domino).
Cara mengalikan matriks A dan B yaitu dengan menjumlahkan setiap perkalian elemen pada baris
matriks A dengan elemen kolom matriks B dan hasilnya diletakkan sesuai dengan baris dan kolom
pada matriks C (matriks hasil perkalian).
a
c

Misal : A  
a

AB = 
c

b
p
dan B  

d
q

b  p
d   q

Mazhendnandez1

r
s

r
s

t
 ap  bq
= 

u
 cp  dq

t
maka :
u 
ar  bs
cr  ds

at  bu 
ct  du 

-311
3

Contoh 1: Diketahui A  
Terntukan :
a. AB

2
 2
, B    , C  3

4
 4

b. AC

5
5 dan D  
7

6
.
8

c. AD

Penyelesaian : a. AB = …

b. AC tidak dapat dikalikan, karena …

c. AD = …

  1 2
4
, B 

 2 3
2

Contoh 2: Diketahui A  
Tentukan :
a. AB
e. A(B + C)

Penyelesaian : a. AB = …

b. BA = …

c. (AB)C = …

d. A(BC) = …

Mazhendnandez1

b. BA

0
3
dan C  

1
1

c. (AB)C
f. AB + AC g. AI

 2
.
3 

d. A(BC)
h. IA

-32-

e. A(B + C) = …

f. AB + AC = …

g. AI = …

h. IA = …

Sifat-sifat perkalian matriks :
1. Umumnya tidak komutatif (AB

 BA)

2. Asosiatif : (AB)C = A(BC)
3. Distributif kiri : A(B + C) = AB + AC
Distributif kanan : (B + C)A = BA + CA
4. Identitas : IA = AI = A
5. k(AB) = (kA)B

LATIHAN SOAL
1. Sederhanakan !
a.   3

0

d. 
4

 1
g.  4


 5
4  
 2

3

b. 1  2 
0

3  5
 1 1

0
2

3
3 
4
5 
 0

Mazhendnandez1

3

e. 
1


1 
 2
 3

5

h.  4
7

 4
0 

2
6
0

 3
 2


 1
 3
2 

 4

1 
 4

5
1

 1
 4

 2

6 1

c. 

  8  9  2
2

f. 
1

2
1
3

 4
 5
 3

4  2
3  3

1
0



1
3 

4
2

-33 3

 1
. Jika X 2  X . X dan X 3  X . X . X maka tentukan :
4 

2. Diketahui X  
 2
a. X 2

b. X 3

1
3. Jika A  
3

2
4

a. ( BA)T

4
0

dan B    1
2
 0

2
1  maka tentukan :
0 

b. ( AB)T
 1

d

 4

4. Tentukan a jika 

 b 3   3

 5  2

b    4

 1
3 

 2c
c


1 
a  1

C. INVERS MATRIKS
1. INVERS MATRIKS ORDO 2 x 2
1

0

Jika AB = BA = I , dimana I matriks satuan yaitu I  
 maka A dan B dikatakan saling
0 1
invers. Invers matriks A dinotasikan A 1 .
a
c

Misal A  
AB = I 

b
 p q
dan B  

 maka :
d
 r s
 a b   p q  1 0
 ap  br
 c d   r s   0 1   cp  dr


 



ap + br = 1

 p

d
 c
dan r 
ad  bc
ad  bc

cp + dr = 0
aq + bs = 0

 q
cq + ds = 1
Mazhendnandez1

 b
a
dan s 
ad  bc
ad  bc

aq  bs  1 0

cq  ds   0 1

-34p

Karena B  A 1 = 
r

q
maka
s 

A 1 

d
1
ad  bc   c

 b
a 

ad – bc disebut Determinan (D) atau A atau det(A).
Jadi D  A det( A)  ad  bc .
Jika D = 0, maka matriks A tidak mempunyai invers dan matriks A disebut matriks Singular.
Jika ad – bc  0 maka matriks A disebut matriks Non Singular.
2
5

Contoh 1: Tentukan determinan A  

Penyelesaian :




3
1

A ....

 5

2

Contoh 2: Tentukan invers dari P  

  3  1

Penyelesaian : P  1 ....

 5
 2

Contoh 3: Tentukan x jika A  

6
merupakan matriks singular !
x 

Penyelesaian : ad – bc = 0  …
2

Contoh 4: Tentukan matriks X jika X 
3

 1  13

2    3

Penyelesaian : XA = B  X = BA 1 = …

Jika ada persamaan matriks berbentuk :
AX = B maka X  A 1 B
XA = B maka X = BA 1

LATIHAN SOAL
1. Tentukan determinannya !
Mazhendnandez1

 3
 2

-355
3

3
2

a. A  

4

b. B = 
2

6
3

 2
 3

c. C  

3
 1

 4
 2

d. D  

 5
3 

2. Tentukan inversnya ! (jika ada)
  1 1

 5 3

 5

a. A  

 1
0 

b. B  
 4
 x
 x

3. Tentukan x jika P  

 4

8 

2

4

c. C  

  3  6

10

d. D  
8

 6
 5

 8
singular
2 x 

4. Tentukan matriks X jika :
4

5

8

5

1

3

a. X 
 

 2 0 14 15

b. 
 X   2  1
3 4 



3
c. 
1

2
d. X  4


 2
 28 
X 


4 
  14

8
 1 
 14
1  
10

2 
5 
 2

2. INVERS MATRIKS ORDO 3 x 3
2.1 DETERMINAN MATRIKS ORDO 3 X 3
Cara menentukan determinan matriks ordo 3 x 3 dengan menggunakan diagram SARRUS, yaitu :
1. Salin kolom ke-1 dan ke-2 pada kolom ke-4 dan ke-5
2. Kurangkan jumlah perkalian elemen-elemen pada diagonal ke bawah dengan jumlah perkalian
elemen-elemen pada diagonal ke atas.
 a11
A   a21
 a31

a12
a22
a32

a13 
a23 
a33 

a11

a12

a13 a11

a12

 det (A) = A  a21 a22

a23 a21
a33 a31

a22
a32

a31

=(

…..

)+(

Mazhendnandez1

….

a32

)+(

….

) –(

…

) -(

…

)–(

…

)

-361

Contoh 1: Jika P  1
1

Penyelesaian :

2
3
4

....
P  ....
....

3
4 maka tentukan P
3

....
....
....

.... ....
.... ....
.... ....

....
....
....

=…

=…

MINOR, KOOFAKTOR DAN ADJOINT
Minor yaitu sebuah determinan yang diperoleh dengan cara menghilangkan baris ke-i dan kolom
ke-j, dan ditulis dengan M ij . Sedangkan koofaktor diperoleh dari perkalian M ij dengan   1 i  j
dan ditulis dengan Aij . Sedangkan adjoint yaitu koofaktor yang ditransposekan dan ditulis dengan
Adj(A).
1

Contoh 2: Diketahui M    1
 2

a. M 12

1
1

c. A31

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

... ....
c. A31 =   1
....

Mazhendnandez1

 1
2  . Tentukan :
1 

b. M 22

Penyelesaian : a. M 12 =

b. M 22 =

2

....
....

....

d. A23

e. Adj(M)

-37....

....

.......
d. A23 =   1
....





e. Adj(M) =  





...

...

...
...
...
...
...

...
...
...
...
...



...

...

... 

... ... 
... ... 

... ... 
... ... 
... ... 

T

T

...
...
...

...
...

...


...

= ...

...

...
...

...
...

...


...

...

... ...
... ...
... ...
... ...

... ...

...
...


...

=

....

....

2.3 INVERS MATRIKS ORDO 3 X 3
Untuk menentukan invers matriks A ordo 3 x 3 dengan menggunakan rumus :
A 1 

1
Adj ( A)
A

1

Contoh 3: Tentukan invers dari P  1
1

2

3
4
5

3
4

Penyelesaian :
...
P  ...
...

...
...
...

... ...
... ...
... ...

 ...

 ...
 ...
Adj (P )   
 ...
 ...
 ...


P

1

...
... 
 ...
...
...

...
...
...
...
...
...

...
...

...
... ....
...

... ...
... ...
... ...
... ...
... ...

... ...


...
...
...

...
...
...

... 

... 
... 
... 
... 
... 

=….

...
... ....
...

...

LATIHAN SOAL
1. Tentukan determinan dari :
 1

a. A   3
 0

2
2
3

Mazhendnandez1

0
1
1

 4

b. B    3
 1

 2
3
1

1
0
2

5

c. C    1
 4

 2
0
1

4
3
2

-38-

2. Tentukan x jika

3
4
 2

4

3. Diketahui X   0
 3

x
0
1

1
 1 35
 3

2
1

 2
1  . Tentukan :
 1 

 4

b. M 33

a. M 21

c. A12

d. A22

e. Adj(X)

4. Tentukan inversnya dari :
 4
 1
P

a.

  1

0
3
1

2
2
0 

5
3
Q

b.

 0

 2
3
1

1
4
2

VEKTOR

PENGERTIAN VEKTOR
Vektor adalah suatu besaran yang mempunyai nilai (besar) dan arah. Suatu vektor dapat
digambarkan sebagai ruas garis berarah. Nilai (besar) vektor dinyatakan dengan panjang garis dan
arahnya dinyatakan dengan tanda panah. Notasi vektor biasanya dengan menggunakan tanda anak
panah di atasnya atau bisa juga dengan menggunakan huruf kecil yang tebal. Suatu vektor biasanya
juga bisa dinyatakan dengan pasangan terurut bilangan real atau bisa juga dengan menggunakan
 2
 3

matriks kolom. Misalnya : a  2,3   . Maksudnya vektor tersebut 2 ke arah kanan dan 3 ke arah
atas. Vektor AB berarti titik A sebagai titik pangkal dan titik B sebagai ujung. Vektor BA dengan
vektor AB besarnya (panjangnya) sama, hanya arahnya saling berlawanan. Jadi jika vektor AB
dinyatakan dengan u maka vektor suka dinyatakan dengan - u .
B

B
-u

u

A

A

Dua vektor dikatakan sama jika besar dan arahnya sama. Artinya suatu vektor letaknya bisa di mana
saja asalkan besar dan arahnya sama.

Contoh 1: Pada balok di bawah ini , tentukan vektor lain yang sama dengan vektor
H
E

G
F

D
Mazhendnandez1

C

AB

!

-39-

A

B

Jawab : ……

A. VEKTOR DI RUANG DIMENSI DUA
1. VEKTOR POSISI
Vektor posisi yaitu vektor yang posisi (letaknya) tertentu. Misalnya AB merupakan vektor posisi
dimana pangkalnya di titik A dan ujungnya di titik B. Atau misalnya OA yaitu vektor posisi yang
awalnya di titik pusat dan ujungnya di titik A. Vektor posisi OA, OB, OC dan seterusnya
biasanya diwakili oleh vektor dengan huruf kecil misalnya a, b, c dan sebagainya. Jadi
OA  a, OB b, OC  c .
AB OB  OA b  a

Contoh 3 : Jika titik A(1,2) dan B(5,9) maka tentukan

AB

!

Penyelesaian : ………….

2. VEKTOR NEGATIF (VEKTOR INVERS)
Vektor negatif (invers) dari vektor
arahnya berlawanan.

a

b

a

maka

sering ditulis - a yaitu vektor yang panjangnya sama tetapi

b

= -a

3. OPERASI PADA VEKTOR DI RUANG DIMENSI DUA

3.1 PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR

Mazhendnandez1

-40-

Jika k suatu bilangan real maka k a adalah suatu vektor yang panjangnya k kali lipat panjang
Jika k positif maka searah dengan a dan jika k negatif maka berlawanan arah dengan a .

a

.

a

-3 a
2a

3.2 PENJUMLAHAN VEKTOR
Penjumlahan 2 vektor dapat dilakukan dengan 2 cara, yaitu aturan segitiga dan dengan aturan
jajargenjang.
Penjumlahan 2 vektor dengan aturan segitiga yaitu dengan mempertemukan ujung vektor yang satu
( a ) dengan awal vektor yang lain ( b ), sehingga resultan (hasil penjumlahan vektor) kedua vektor
adalah awal vektor yang satu ( a ) ke ujung vektor yang lain ( b ).
Sedangkan penjumlahan dengan aturan jajargenjang yaitu dengan mempertemukan kedua awal
vektor, kemudian membuat vektor kembarannya pada masing-masing ujung kedua vektor sehingga
membentuk suatu bangun jajargenjang. Resultan kedua vektor adalah awal pertemuan kedua vektor
tersebut ke ujung pertemuan kedua vektor tersebut.
Contoh 4 : Tentukan

a b

dari vektor-vektor di bawah ini !

a

b

Penyelesaian : Cara I (aturan segitiga) :
b
a
a b

Cara II (aturan jajargenjang) :

a

a b
b

Penjumlahan untuk 3 vektor atau lebih digunakan aturan poligon yang merupakan pengembangan
dari aturan segitiga.
Contoh 5 : Tentukan

a b c d

dari vektor-vektor di bawah ini :

a
b

Mazhendnandez1

c

d

-41-

Jawab :
c
b
a
d
a b c d

3.3 SELISIH DUA VEKTOR
Selisih dua vektor a dan b ditulis a  b dapat dipandang sebagai penjumlahan
(vektor invers b ). Jadi a  b = a   b 
Contoh 5 : Tentukan

a b

a

dengan - b

jika diketahui :

a
b

Penyelesaian :
-b

a

a b

LATIHAN SOAL
1. Perhatikan gambar berikut :
X
b

Y
c

a
Z
M
W
Jika WX = a, XY = b, dan YZ = c, dan M merupakan titik tengah WZ, nyatakan dalam vektor
a, b dan c untuk vektor-vektor berikut :
a.

WY

b.

ZX

c.

WZ

d.

WM

e.

MY

2. Perhatikan gambar berikut :
Q

b

R

a
P

Mazhendnandez1

F

c

E

-42-

S
Jika PQ = a, QR = b dan RS = c. Titik E dan F berturut-turut titik tengah RS dan QS.
Nyatakan dalam a, b dan c untuk vektor-vektor :
a.

PR

b.

RP

c.

PS

d.

QE

e.

PF

f.

FR

3. Diberikan vektor-vektor berikut :
a

b

c

Jika panjang vektor a = 2 cm, b = 1 cm dan c = 2,5 cm, maka lukislah dengan aturan poligon
vektor-vektor di bawah ini :
a. a + b +c
b. a - 2b + 3c
c. 2a – b – c
4. Diketahui ABCDEF adalah segienam beraturan. Jika
vektor b dan 2a, maka nyatakan vektor-vektor AB, CD

BC

dan FC masing-masing mewakili
dengan a dan b

dan BE

5. P, Q dan R berturut-turut adalah titik tengah sisi AB, BC dan AC suatu segitiga ABC. Jika O adalah
sembarang titik dalam segitiga ABC, maka tunjukkan bahwa OA  OB  OC OP  OQ  OR

B. VEKTOR DI RUANG DIMENSI TIGA

Mazhendnandez1

-43-

Vektor basis (vektor satuan) di ruang dimensi tiga biasanya dinyatakan dengan i, j dan k . i
vektor satuan searah sumbu OX , j vektor satuan searah sumbu OY dan k vektor satuan searah
sumbu OZ . Jadi misalnya vektor OP u  a i  b j  c k dapat digambarkan sebagai berikut :
Z
C
P
0

b

Y

a
X

a
b 
OP

u

Bentuk vektor di atas dapat juga dinyatakan dengan vektor kolom
 
 c 

1. OPERASI PADA VEKTOR DI RUANG DIMENSI TIGA
1.1 PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN DUA VEKTOR
Jika

u  a i  b j  c k dan v  p i  q j  r k

maka :

u  v  a  p  i   b  q  j   c  r  k
u  v  a  p  i   b  q  j   c  r  k

Contoh 2 : Jika

a 5 i  3 j  4k dan b   i  7 j  5k

maka tentukan

Penyelesaian : …….
1.2 PERKALIAN SKALAR DENGAN VEKTOR
Jika

u a i  b j  c k

dan n suatu skalar bilangan real maka :

n u  na i  nb j  nc k

Contoh 3 : Jika

a 3 i  2 j  5k

maka tentukan

10 a

!

Penyelesaian : ……

LATIHAN SOAL
1. Nyatakan dalam vektor-vektor posisi dari titik-titik di bawah ini :
a. A(1,2,3)
b. B(2,-1,-3)
c. C(0,2,4)
d. D(0,1,0)
Mazhendnandez1

a  b dan b  a

!

-44-

2. Diberikan titik P(2,4,3) dan Q(1,-5,2).
a. Nyatakan vektor posisi OP dan OQ dalam vektor satuan i, j dan k
b. Tentukan vektor PQ dalam satuan i, j dan k
3. Ulangi soal no. 2 untuk P(0,-1,5) dan Q(1,0,-2)
4. Ditentukan vektor-vektor r 1 =2i+ 4j – 5k dan r 2 = i + 2j + 3k
Tentukan :
a. r = r 1 + r 2
b. r = 2r 1 - 3r 2
 0
 2
  1  1
 
 

  
5. Carilah nilai a, b dan c jika : a  2   b  1   c  0  1
1
 0
 1   1
 
 

  
 3   1 
 2 

 



6. Buktikan bahwa vektor-vektor   2 ,   3  dan  1  membentuk sebuah segitiga !
 1   5 
  4

 




7. Tunjukkan bahwa vektor yang melalui titik-titik (2,2,3) dan (4,3,2) sejajar dengan vektor-vektor
yang melalui titik-titik (5,3,-2) dan (9,5,-4)
8. Diketahui P(6,4,2), Q(8,6,4) dan R(2,2,2). Tunjukkan bahwa OPQR adalah jajargenjang !

C. RUMUS PERBANDINGAN
Misalkan titik P pada garis AB dengan perbandingan AP : PB = m : n. Perhatikan gambar di bawah
ini !
A

m
P

a

p

n
B

Mazhendnandez1

-45b

O
AP : PB  m : n



p ( m  n)  mb  n a

p a m

n
b p


p



n p  n a  mb  m p

mb  n a
mn

Jadi :
p

mb  n a
mn

Jadi jika titik A( x A1 , y A , z A ) dan B( xB , y B , z B ) maka koordinat :
P(

mx A  nxB my A  nyB mz A  nz B
,
,
)
mn
mn
mn

Titik P bisa membagi AB dengan perbandingan di dalam seperti di atas atau bisa juga dengan
perbandingan di luar, maksudnya titik P di luar ruas garis AB. Jika arah perbandingannya
berlawanan harus dengan menggunakan tanda negatif.
Contoh 1: Diketahui titik A(1,2,3) dan titik B(4,8,12). Jika titik P membagi