BAB I - Matriks dan Vektor
BAB I VEKTOR DAN MATRIKS
Kompetensi Vektor dan Matriks Mahasiswa mampu: 1.
Memberikan contoh macam-macam vektor dan Matriks
2. Mengoperasikan jumlahan, pengurangan
dan perkalian vektor ataupun matriks Pengantar
Untuk mengawali belajar Aljabar Linear dan Matriks
perlu diingat kembali pengertian dari vektor serta
matriks, macam-macam vektor serta matriks
kemudian melakukan operasi aljabar atas vektor dan
matriks. Vektor dan matriks melandasi dalam belajar
Aljabar, karena permasalahan-permasalah yang ada
dibawa dulu dalam bentuk vektor atau matriks,
kemudian diselesaikan secara aljabar, misalnya
dipakai untuk menyelesaikan Sistem Persamaan
Linear, Transformasi Linear.PENDAHULUAN
Tidak secara lengkap terdefinisi sampai besar dan arahnya ditentukan
- Contoh :
pergerakan angin menunjukkan laju dan arah
Laju angin dan arah angin membentuk
besaran vektor yang disebut : KECEPATAN Vektor dapat disajikan secara geometris
sebagai ruas garis berarah atau panah
Ekor panah disebut ttk pangkal
Arah panah menentukan arah vektor
Panjang panah menentukan arah vektor
Ujung panah disebut ttk ujung
Maka vektor v = V = AB
VEKTOR EKUIVALEN
Vektor-vektor yang panjang dan arahnya sama v = w = z
OPERASI VEKTOR
VEKTOR NOL
- Vektor yang panjangnya nol
- Dinyatakan dengan O
PENJUMLAHAN VEKTOR
- +
VEKTOR NEGATIF
Adalah vektor yang besarnya sama
tetapi arahnya terbalik/berlawananPENGURANGAN VEKTOR
Jika v dan w adalah 2 vektor sebarang, maka selisih w dari v didefinisikan sebagai : v – w = v + (-w)
- -
PERKALIAN VEKTOR
Jika v adalah suatu vektor tak nol dan k adalah suatu bilangan real tak nol (skalar), maka hasil kali kv didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya (k*panjang v)dan yang arahnya sama dengan arah v jika k>0 dan berlawanan arah dengan v jika k< 0
MACAM-MACAM VEKTOR
Vektor adalah larik berdimensi satu
Vektor a dengan cacah n elemen ditulis : biasa disebut vektor kolom atau vektor saja dengan notasi ditulis: a = (a
i
)
n a a a a
. .
2
1
MACAM-MACAM VEKTOR
VEKTOR NOL
- adalah vektor dengan semua elemennya bernilai nol
.
. a
VEKTOR BASIS
- adalah vektor dengan anggota ke I bernilai 1 dan elemen lainnya bernilai nol
1
2 e
SIFAT OPERASI VEKTOR
Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor dalam
ruang berdimensi 2 atau 3 dan k serta l adalah skalar, maka hubungan berikut ini berlaku :- u + v = v + u
- (u + v) + w = u + (v + w)
- u + 0 = 0 + u = u
- U + (-u) = 0
- k (lu) = (kl) u
- K (u+v) = ku + kv
- (k + l)u = ku + lu
- 1.u = u
NORMA SUATU VEKTOR
Panjang suatu vektor u sering disebut sebagai Norma u dan
dinyatakan dengan ||u||
2
2 u u u
1
2
Jika P1(x1,y1,z1) dan P2(x2,y2,z2) adalah 2 titik di dlm ruang
berdimensi 3 maka jarak d antara kedua titik tersebut adalah
norma vektor karena P P 1 2 P P ( x x , y y , z z )
1
2
2
1
2
1
2
1 maka
2
2
2 d x x y y z z
2
1
2
1
2
1
HASIL KALI TITIK
Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 2 atau 3 dan θ adalah sudut
antara u dan v, maka hasil kali titik atau hasil
kali dalam Euclidean u.v didefinisikan sebagai : u v cos jika u dan v u . v
jika u dan v
atau u . v u v u v
1
1
2
2
MENCARI SUDUT ANTAR
v u v u . . cos
VEKTOR
Jika u dan v adalah vektor-vektor tak nol dan adalah sudut
antara kedua vektor tersebut, maka- Θ lancip jika dan hanya jika u.v > 0
- Θ tumpul jika dan hanya jika u.v < 0
- Θ =π/2 jika dan hanya jika u.v = 0
MATRIKS
•
•
Kompetensi
Mahasiswa mampu:- Mendefinisikan matriks
- Memberikan contoh macam-macam matriks
- Mengoperasikan jumlahan, pengurangan dan perkalian matriks.
Pengantar
- Mengawali belajar aljabar linear dan matriks perlu diingatkan kembali pengertian matriks, macam-macam matriks, serta operasi aljabar atas matriks. Hal ini karena persoalan nantinya dibawa kedalam bentuk matriks, kemudian bagaimana menyelesaikannya.
MATRIKS
- Adalah larik berdimensi dua (karena mempunyai baris dan kolom)
- Susunan elemen- elemen yg disusun menurut baris & kolom serta merupakan satu kesatuan.
mn m m n n a a a a a a a a a A
2
1
2
22
21
1
12
11 . . . . .
. . . . . . . . .
) ( ij n x m a A
Baris=m Kolom=n
- Matriks Nol
- – Adalah matriks dengan semua elemennya bernilai nol.
- – O=(0)
- Matriks Bujur Sangkar
2
4
- – Adalah suatu matriks dimana cacah baris dan cacah kolomnya sama
- – A = ( aij ) dengan i = 1, 2, 3, . . . n
j = 1, 2, 3, . . . n
- Matriks Persegi Panjang
3
1
3
2
A
. . . . . . . . .
. . . . .
MACAM-MACAM MATRIKS
1 A
- – Adalah matriks dengan cacah baris dan cacah kolom tidak sama.
- – A = (aij) dengan i = 1, 2, . . n j = 1, 2, . . m
2
8
3
5
1 A
2
3
1
3
4
1
2
3
MACAM-MACAM MATRIKS
- Matriks Diagonal
- – Adalah matriks bujur sangkar dengan elemen- elemen pada diagonal utama bernilai real dan elemen-elemen lainnya bernilai nol
- – A = ( aij ) dengan aij = 0 untuk i ≠ j aij = real untuk i = j
1 A
- Matriks Satuan (identitas)
- – Adalah matriks bujursangkar dengan elemen-elemen pada diagonal utama bernilai 1 dan elemen lainnya bernilai nol
- – A = ( aij ) dengan aij = 1 untuk i = j aij = 0 untuk i ≠ j
- Matriks Segitiga Atas
- – Adalah matriks bujur sangkar dengan elemen-elemen dibawah diagonal utama nol dan elemen-elemen lainnya bernilai real
- – A = ( aij ), dengan aij = 0 untuk i > j aij = untuk i ≤ j, ε Real
5
10
2
5
8
1
6
3
4
MACAM-MACAM MATRIKS
1 A
1
1
1 A MACAM-MACAM MATRIKS
- Matriks Transpose
1
3
- – Adalah matriks dimana susunan
A
6
5
6 elemen-elemen berkebalikan
3
10 8
1
6
3
antara posisi baris dan kolom T
A
5
10 T
=(aji)
- – A=(aij); A
3
6
8
- Matriks Simetris
- – Adalah matriks dimana susunan
1
3
4
elemen-elemen antara matrik
5
6
7
dengan transpose nya sama
A
3
6
8
9
1
3
4
T ; maka A adalah matriks
- – A=A
4
7
9
10 t
5
6
7
A
simetris
3
6
8
9
4
7
9
10 OPERASI ALJABAR ATAS MATRIKS
PERKALIAN DENGAN SKALAR K = 2
1 A
2 =
2
4
6
12
1
6
3
6
k A
2
3
2
PENJUMLAHAN
MATRIKS
2
2
4
1 A = B =
A + B
3
6
3
6 =
3 + + =
6
12
6
PENGURANGAN
MATRIKS
2
2
4
1 A = B =
A - B
3
6
3
6
- - -1
= -2 = -
PERKALIAN MATRIKS
A B C
m x n n x k m x k
- A=(aij) dengan i=1,2,3,…,m dan j=1,2,3,…,n
- B=(bjk) dengan j=1,2,3,…,n dan k=1,2,3,…,p Maka : A x B = (aij) x (bjk)
PERKALIAN MATRIKS
4 -4
3
1
2
3
4
5 x x x x x x x x x + + + + + + = = =
13
8
14
1
2
4 x + x + x =
1
1
2
3
4
5
1
2
1
2
16
x + x + x =1
3
1
5
1
2 A B
2
4
1
2
1 = = A x B = -4
4 x + x + x =
9
3
2
5
2
4
1
3
5
2
4
1
2
1
1 -4
Program MATLAB (1)
>> a=[ 2 4 3 6; -12 9 -32 50; 1 4 8 12; 10 3 9 -12] % membentuk matriks a = 2 4 3 6- 12 9 -32 50 1 4 8 12 10 3 9 -12 >> b=diag(a) % Membentuk matriks diagonal dari matriks a b =
2
9
8
- 12
Program MATLAB (2) >> I=eye(4) % Membentuk matriks satuan berukuran 4 I = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 >> c=triu(a) % Membentuk matriks segitiga atas dari a c = 2 4 3 6 0 9 -32 50 0 0 8 12 0 0 0 -12
Program MATLAB (3)
>> d=tril(a) % Membentuk matriks segitiga bawah dari matriks a d = 2 0 0 0- 12 9 0 0 1 4 8 0 10 3 9 -12 >> e=a' % Membentuk transpose matriks e = 2 -12 1 10 4 9 4 3 3 -32 8 9 6 50 12 -12
Program MATLAB (4)
>> f=a+e % Mencari jumlahan matriks f = 4 -8 4 16- 8 18 -28 53 4 -28 16 21 16 53 21 -24
Program MATLAB (5)
>> g=a*f % Mencari perkalian matriks g = 84 290 70 163 552 3804 238 -1587 196 476 272 108- 140 -914 -152 796 >> j=inv(a) % Mencari invers matriks j =
- 0.8878 0.1113 0.3557 0.3756 1.2050 -0.0991 -0.4995 -0.3100 0.0783 -0.0312 0.0344 -0.0566
- 0.3799 0.0446 0.1973 0.1097
Rangkuman
- Dua buah matriks dapat di jumlahkan atau dikurangkan jika matriks tersebut mempunyai ukuran sama.
- Matriks A dapat dikalikan dengan matriks B, jika
jumlah kolom matriks A = dengan jumlah baris matriks
B • Jumlahan matriks berlaku hukum komutatif - Perkalian dua buah matriks belum tentu hukum komutatif berlaku.
- Operasi pembagian dalam matriks tidak ada definisi
1. Tulislah contoh matriks persegi panjang berukuran 5 x 3
Soal-soal (1)
2. Jika diketahui matriks bujur sangkar
berukuran 5, berilah contoh matriks sbb:
- – Matriks bujur sangkar
- – Matriks diagonal
- – Matriks segitiga atas dan matriks segitiga bawah
3. Berilah dua buah contoh matriks simetris
Soal-soal (2)
8
2
3
2
1
7
4
3
2
6
1
1
3
4. Jika diketahui A = ; B = Hitunglah: A + B
7
10
5
9
2
6
6
4
T – A; AB; BA.
T ; B
1