KORELASI ALJABAR DAN GEOMETRI DALAM PEMB

KORELASI ALJABAR DAN GEOMETRI
DALAM PEMBELAJARAN
Edi Sutomo
e-mail : edisutomo1985@gmail.com
twitter : @ed_1st
Abstrak
Untuk berpikir aljabar, seseorang harus mampu memahami pola,
hubungan dan fungsi, mewakili dan menganalisis situasi matematika
dan struktur menggunakan simbol-simbol aljabar, menggunakan model
matematika untuk mewakili dan memahami hubungan kuantitatif, dan
menganalisis perubahan dalam berbagai konteks. Salah satu hambatan
dalam aljabar adalah bagaimana untuk mewakili ekspresi menggunakan
simbol – simbol. Operasi-operasi dasar yang berlaku pada aritmetika
dan aljabar juga berlaku pada geometri. Dalam ilmu matematika
terdapat salah satu cabang yang mengkorespondensi dan
menghubungkan persamaan matematika secara aljabar dengan tempat
kedudukan secara geometrik sehingga diperoleh suatu permecahan
masalah geometri yang lebih sistematis dan tegas. Pendekatan
pembelajaran yang banyak digunakan untuk mempelajari geometri
secara umum dan terkait dengan geometri analitik adalah teori Van
Hiele.

Kata Kunci : Aljabar, Geometri, Geometri Analitik

1. Pendahuluan

Pengajaran matematika adalah suatu pokok pengajaran yang mempunyai
pengaruh besar dalam bidang studi yang lain. Namun seringkali siswa mengalami
kesulitan dalam mengaplikasikan matematika (khususnya yang paling mendasar
yaitu aljabar) ke bidang studi lain, seperti fisika, kimia, akuntansi, ekonomi, dan
bidang studi lain yang berhubungan dengan matematika. Aljabar tidak bisa
dilepaskan dengan pembelajaran aritmatika, geometri dan beberapa cabang kajian
yang terdapat pada bidang studi matematika itu sendiri.

Konsep aljabar perlu diberikan dan ditanamkan secara efektif dengan
mengajarkan aljabar di sekolah secara benar. Pembelajaran aljabar bertujuan agar
siswa mampu untuk berpikir logis, analitis, sistematis, kritis, kreatif, dan
kerjasama.

Menurut Gagne, dalam belajar matematika siswa akan memperoleh dua objek
yaitu objek langsung dan objek tak langsung, Suherman [7]. Objek-objek
langsung dalam pembelajaran matematika meliputi fakta, konsep, operasi (skill),

dan prinsip, sedangkan objek tak langsung dalam pelajaran matematika dapat
berupa kemampuan menyelidiki dan memecahkan masalah, belajar mandiri,
bersikap positif terhadap matematika, serta mengerti bagaimana seharusnya
belajar. Pembagian objek langsung matematika oleh Gagne menjadi fakta,
konsep, prinsip, dan operasi (skill) dapat dimanfaatkan dalam proses
pembelajaran matematika dengan alasan bahwa materi matematika memang
terkategori seperti itu sehingga proses pembelajaran matematika di kelas menjadi
lebih efektif dan efisien.
Begle seperti yang terdapat dalam Hudojo [3] menyatakan bahwa sasaran
atau objek penelaahan matematika adalah fakta, konsep, operasi, dan prinsip.
Fakta matematika berupa konveksi-konveksi (perjanjian) yang diungkap dengan
simbol-simbol tertentu, Soedjadi [6]. Konsep merupakan suatu ide abstrak yang
memungkikan kita dapat menggelompokkan objek kedalam contoh dan non
contoh, Suherman [7]. Objek matematika yang kompleks, dapat berupa gabungan
beberapa konsep, beberapa fakta, yang dibentuk melalui operasi dan relasi yang
disebut sebagai prinsip, Soedjadi [6].
Matematika tersusun oleh objek-objek abstrak yang dilengkapi dengan
berbagai simbol. Keabstrakan objek matematika diperkaya dengan konsep-konsep
yang

beraneka

ragam.

Kekayaan

konsep-konsep

dalam

matematika

dikembangkan dengan berbagai manipulasinya. Objek-objek abstrak dalam
matematika ada yang mudah dipelajari namun ada juga yang sebaliknya. Salah
satu cabang matematika yang cukup fundemantal adalah aljabar yang sering
dianggap sebagai kajian yang abstrak dan sulit.
Untuk berpikir aljabar, seseorang harus mampu memahami pola, hubungan
dan fungsi, mewakili dan menganalisis situasi matematika dan struktur
menggunakan simbol-simbol aljabar, menggunakan model matematika untuk
mewakili dan memahami hubungan kuantitatif, dan menganalisis perubahan

dalam berbagai konteks. Salah satu hambatan dalam aljabar adalah bagaimana
untuk mewakili ekspresi menggunakan simbol – simbol.

Standar aljabar menekankan hubungan antara kuantitas, termasuk fungsi, cara
untuk mewakili hubungan matematika, dan analisis perubahan. Hubungan
fungsional dapat dinyatakan dengan menggunakan notasi simbolis, yang
memungkinkan ide-ide matematika yang kompleks untuk diungkapkan secara
singkat.
Dalam aljabar, simbol dapat digunakan untuk mewakili generalisasi.
Misalnya, + 0 = adalah representasi simbolis bagi gagasan bahwa ketika nol
ditambahkan dengan bilangan manapun tetap sama. Mempelajari dan mewakili
hubungan juga merupakan bagian penting dari aljabar. "Bahasa aritmatika
berfokus pada jawaban sedangkan bahasa aljabar berfokus pada hubungan."
Proses berpikir aljabar dapat diamati ketika siswa menyelesaikan masalah aljabar
dan mungkin dipengaruhi oleh minat belajar pada matematika, Kieran [4]. Bahasa
aritmatika fokus pada jawaban siswa sedangkan bahasa aljabar fokus pada
hubungan masing-masing kuantitas.
Menurut Piaget, Carin & Sund [1] ; Dahar [2] perkembangan kognitif
seseorang tediri dari empat tahap secara berurutan, yaitu (a) tahap sensori motor
dalam rata-rata usia sekitar 0-2, tahap ketika anak belajar tentang sekeliling

mereka dengan menggunakan indera dan kemampuan motor mereka (b) tahap
praoperasional dalam rata-rata usia sekitar 2-7 tahun, tahap ketika anak-anak
belajar melambangkan segala sesuatu dalam pikiran (c) tahap operasional konkrit
dalam rata-rata usia sekitar 7-11 tahun, tahap ketika anak-anak mengembangkan
kemampuan bernalar logis dan (d) tahap operasional formal dalam rata-rata usia
sekitar 11 tahun keatas, tahap ketika seseorang dapat menghadapi situasi hipotesis
dengan abstrak dan dapat bernalar logis.
Dari tahapan taraf berfikir diatas merupakan tahapan berfikir konkrit menuju
ke tahap abstrak. Masa transisi dari tahap berpikir konkrit menuju tahap berpikir
abstrak memerlukan latihan-latihan tertentu untuk dapat melalui tahap tersebut
agar dapat mencapai tahap berpikir abstrak. Tanpa latihan, perkembangan
intelektual seseorang besar kemungkinan tidak dapat mencapai tahap berpikir
abstrak. Banyak individu yang tidak dapat melewati tahap transisi sehingga tidak
dapat memasuki tahap berpikir abstrak. Dengan demikian, intervensi dini sangat
baik untuk dilakukan pada saat anak sedang belajar di kelas IV SD hingga kelas
VII SMP.

Untuk menerapkan teori perkembangan Piaget dalam mempelajari aljabar
cara yang paling efektif menerapkan adalah mengembangkan pendekatan yang
dapat membantu meningkatkan kemampuan berpikirnya, misalnya dengan

menggunakan metode demonstrasi dan eksperimen. Penggunaan model-model
konkrit atau analogi untuk membantu siswa memahami konsep-konsep abstrak
juga dapat digunakan sebagai sarana implementasi teori Piaget dalam
pembelajaran.
Seperti diuraikan diatas bahwa standar aljabar menekankan hubungan antara
kuantitas, termasuk fungsi, cara untuk mewakili hubungan matematika, dan
analisis perubahan. Disini diperlukan visualisasai struktur aljabar agar lebih
mudah dipahami oleh siswa.

2. Aljabar
Matematika yang diajarkan di sekolah-sekolah dapat dibagi ke dalam empat
bagian utama, yaitu matematika, aljabar, geometri dan kalkulus, Sucker [5].
Keempat bagian matematika itu masing-masing disebut subbidang studi. Jadi ada
subbidang studi aritmatika, subbidang studi aljabar, subidang studi geometri, dan
sub bidang studi kalkulus.
Aritmetika yang banyak dikenal dengan nama berhitung

telah mulai

diajarkan sejak SD. Obyek-obyek dasar aritmetika adalah bilangan-bilangan

asli yang membentuk sistem bilangan asli 1,2,3, … .
disebut

Bilangan

asli

yang

juga bilangan bulat positif adalah bilangan yang digunakan untuk

menghitung banyaknya suatu obyek, misalnya banyaknya orang, pohon, kursi, dan
sebagainya. Himpunan bilangan asli kemudian diperluas menjadi himpunan
bilangan bulat … , −2, −1,0,1,2, …

yaitu dengan menambahkan bilangan nol

dan bilangan bulat negatif. Bila yang ditambahkan kepada himpunan bilangan asli
hanya bilangan nol, maka himpunan bilangan yang terbentuk disebut himpunan
bilangan cacah0,1,2,3, … . Seterusnya dengan menambah bilangan pecah,

bilangan irrasional, bilangan khayal, maka perluasa himpunan bilangan bulat
menghasilkan himpulan bilangan rasional, himpunan bilangan real, dan himpunan
bilangan kompleks.
Seperti halnya dengan aritmetika, obyek-obyek dasar aljabar adalah
bilangan. Pada dasarnya kedua subbidang studi matematika ini memiliki banyak

persamaan sehingga aljabar sering disebut Arimetika umum (generalized
arithmetics). Perbedaan antara aritmetika dengan aljabar adalah bahwa pada
aritmetika hanya mengoperasikan bilangan tertentu, sedangkan dalam aljabar
disamping bilangan tertentu juga mengoperasikan lambang-lambang yang
menyatakan bilangan. Secara umum obyek aljabar disebut bentuk aljabar. Sebuah
bentuk aljabar dapat merupakan sebuah bilangan, sebuah lambang huruf yang
menyatakan

bilangan, atau kombinasi bilangan dengan huruf, misalnya 3,5, , , 3

+ , 5 + dan sebagiannya. Jika dua bentuk aljabar dihubungkan oleh tanda sama
dengan, maka diperoleh sebuah relasi yang disebut persamaan, misalnya = 3 + .
Demikian pula jika dua bentuk aljabar dihubungkan dengan tanda tidak sama,
maka diperoleh sebuah relasi yang disebut pertidaksamaan, misalnya pada relasi

≠ 3 + , tercakup dua kemungkinan pengertian yaitu lebih dari 3 + atau kurang 3
+ yang masing-masing dikembangkan dengan
> 3 + dan < 3 + . Beberapa bentuk

aljabar dapat membentuk

relasai yang disebut fungsi. Contoh fungsi yang
dilambangkan dengan= ( ) yang menyatakan
bergantung kepada nilai variabel . Relasi

sederhana secara
bahwa nilai

suatu
umum

variabel

dalam bentuk fungsi memegang

peranan yang penting dalam matematika terapan yaitu

untuk membentuk model-

model matematika.

3. Geometri
Berbeda halnya dengan aritmetika dan aljabar, obyek-obyek utama yang
dibahas oleh geometri adalah titik dan garis. Sebuah titik hanya menyatakan
sebuah posisi, jadi tidak memiliki ukuran panjang dan lebar. Demikian pula
sebuah garis tidak memiliki penampang, garis hanya dapat diukur panjangnya.
Oleh karena itu, titik dan garis hanya ada sebagai ide. Operasi-operasi dasar yang
berlaku pada aritmetika dan aljabar juga berlaku pada geometri. Di samping
operasi-operasi itu, pada geometri kita mengenal operasi-operasi perpindahan
tempat yang disebut translasi dan rotasi, serta operasi perubahan bentuk yang
disebut transformasi.
Dalam geometri, akan banyak membicarakan mengenai konsep-konsep titik,
dan sekumpulan atau himpunan titik-titik yang disebut sebagai undefined( sesuatu

objek yang tidak secara eksplisit didefinisikan secara jelas) termasuk garis dan

bidang. Meskipun titik, garis, bidang dan ruang merupakan undefined term, akan
tetapi terdapat beberapa pengertian yang menghubungkan nya dengan objek-objek
yang cukup familier dan mengidentifikasikannya pada representasi yang standar
yang cukup membantu dalam mempelajari geometri.
Geometri menempati posisi khusus dalam kurikulum matematika menengah,
karena banyaknya konsep-konsep yang termuat di dalamnya. Dari sudut pandang
psikologi, geometri merupakan penyajian abstraksi dari pengalaman visual dan
spasial, misalnya bidang, pola, pengukuran dan pemetaan. Sedangkan dari sudut
pandang matematik, geometri menyediakan pendekatan-pendekatan untuk
pemecahan masalah, misalnya gambar-gambar, diagram, sistem koordinat, vektor,
dan transformasi.
Geometri merupakan lingkungan untuk mempelajari struktur matematika.
Sucker [5] mengemukakan bahwa (1) geometri adalah cabang matematika yang
mempelajari pola-pola visual, (2) geometri adalah cabang matematika yang
menghubungkan matematika dengan dunia fisik atau dunia nyata, (3). geometri
adalah suatu cara penyajian fenomena yang tidak tampak atau tidak bersifat fisik,
dan (4). geometri adalah suatu contoh sistem matematika.
Pada dasarnya geometri mempunyai peluang yang lebih besar untuk dipahami
siswa dibandingkan dengan cabang matematika yang lain. Hal ini karena ide-ide
geometri sudah dikenal oleh siswa sejak sebelum mereka masuk sekolah,
misalnya garis, bidang dan ruang.
4. Relasi Aljabar dan Geometri
Dalam ilmu matematika terdapat salah satu cabang yang mengkorespondensi
dan menghubungkan persamaan matematika secara aljabar dengan tempat
kedudukan secara geometrik sehingga diperoleh suatu permecahan masalah
geometri yang lebih sistematis dan tegas.

Permasalahan geometri akan diselesaikan secara aljabar (atau secara analitik).
Sebaliknya gambar geometri sering memberikan pemahaman yang lebih jelas

pada pengertian hasil secara aljabar. Khususnya jika bilangan dikaitkan dengan
konsep pokok geometri. Sebagai contoh, panjang suatu segmen garis atau sudut
antara dua garis. Jika garis dan titik secara geometrik diketahui, maka bilangan
yang menyatakan panjang atau besar sudut antara dua garis pada hakekatnya
hanyalah nilai pendekatan dari suatu pengukuran.
Tetapi metode aljabar memandang bilangan itu sebagai perhitungan yang
eksak (bukan sebuah pendekatan). Secara geometri, suatu garis yang titik-titiknya
dikaitkan dengan bilangan-bilangan real disebut garis bilangan. Skala yang
dijelaskan pada garis bilangan disebut koordinat garis. Bilangan yang menyatakan
suatu titik yang diberikan disebut koordinat titik tersebut, dan titik itu disebut
grafik dari bilangan, berangkat dari hal dasar ini munculah apa yang disebut
dengan koordinat kartesius dan polar.
Dalam sistem koordinat tegak lurus setiap pasangan berurutan dari bilangan
real dinyatakan dengan satu dan hanya satu titik pada bidang koordinat, dan setiap
titik pada bidang koordinat berkorespondensi satu dan hanya satu pasangan
berurutan dari bilangan real, koordinat titik-titik yang ditentukan dengan cara ini,
seringkali dikenal sebagai koordinat Cartesius, sebagai penghormatan terhadap
matematikawan dan filosof asal Perancis yang bernama René Descartes yang
hidup dari 1596 sampai 1650. Satu hal yang perlu dicatat adalah dua garis sumbu
koordinat tidak perlu harus berpotongan secara tegak lurus. Namun demikian jika
kedua sumbu berpotongan miring, hasil-hasil secara aljabar menjadi lebih rumit.
Ide utamanya adalah menggunakan sumbu koordinat untuk menyatukan
aljabar serta geometri. Ini adalah sebuah inovasi yang memungkinkan
matematikawan untuk memecahkan masalah yang kompleks dan menciptakan
bentuk-bentuk baru dari matematika seperti kalkulus, yang meletakkan dasar
untuk modernilmu pengetahuan dan teknologi. Pada bidang koordinat, biasanya
disepakati aturan sebagai berikut: (1) Sumbu-sumbu koordinat diambil yang tegak
lurus satu sama lain; (2) Sumbu adalah garis horizontal dengan koordinat positif
arah kanan dari titik pusat, dan sumbu adalah garis vertikal dengan koordinat
positif ke arah atas dari titik pusat koordinat; (3) Digunakan skala yang sama pada
kedua sumbu koordinat.

Gambar 1. Sumbu koordinat Kartesius
Pada

koordinat

kertesius dalam

3 dimensi pada

dasarnya

hanya

menambahkan parameter dalam persamaan, sehingga terdapat 3 garis yang
berpotongan tegak lurus yaitu , dan yang dikenal sebagai sumbu koordinatnya.
Selain koordinat cartesius terdapat juga sistem koordinat polar. Letak suatu
titik dalam koordinat polar ditentukan oleh dua besaran yaitu jari-jari dan sudut

. Jari-jari menyatakan jarak antara suatu titik dengan titik asal 0 sumbu
koordinat, dan menyatakan sudut yang dibentuk oleh sumbu polar dengan garis
hubung antara titik asal dengan suatu titik tersebut.

Gambar 2. Sumbu koordinat Polar
Pada sistem koordinat polar terdapat hubungan dengan koordinat siku-siku
yaitu = cos dan y= sin . Koordinat bola didefinisikan sebagai koordinat yang
memiliki 3 titik koordinat dua sudut ∅ dan dan satu jarak (ƞ). Ketiga sumbu

koordinat ini disebut juga dengan Spherical Coordinates dan titik titiknya ditulis
(ƞ, ∅, θ).

Gambar 3. Kurva dalam Koordinat kartesius 3D

koordinat bola memiliki hubungan dengan koordinat siku-siku, hubungannya
adalah = sin cos ∅ , = sin sin ∅ , = cos .

Dalam kaitannya dengan aljabar, berbagai persoalan aljabar bisa diselesaikan

secara geometris dengan memvisualkan tertlebih dahulu fungsi atau persamaan
yang ada. Ketika ingin mencari solusi atau selesaian dari sistem persamaan linear
jika penyelesaian secara aljabar bisa menggunakan metode mensubstitusi maupun
saling mengeliminasi persamaan dan fungsi – fungsinya. Bila diselesaikan secara
geometri cukup divisualkan persamaan atau fungsi kedalam sistem koordinat yang
ada dan selanjutnya diidentifikasi titik perpotongan antar kurva sebagai selesaian
dari sistem persamaan yang tersedia.

5. Pendekatan Pembelajaran
Pendekatan pembelajaran yang banyak digunakan untuk mempelajari
geometri adalah teori Van Hiele. Menurut Van Hiele, ada tiga unsur utama dalam
pengajaran geometri, yaitu waktu, materi pengajaran, dan metode pengajaran yang
diterapkan. Jika ketiga unsur ditata secara terpadu, akan dapat meningkatkan
kemampuan berpikir anak kepada tahapan berpikir yang lebih tinggi.
Van Hiele menyatakan bahwa terdapat 5 tahap belajar anak dalam belajar
geometri, yaitu; (1) tahap pengenalan, pada tahap ini siswa mulai belajar
mengenal suatu bangun geometri secara keseluruhan namun belum mampu
mengetahui adanya sifat-sifat dari bangun geometri yang dilihatnya; (2) tahap
analisis, ditahap ini siswa sudah mulai mengenal sifat-sifat yang dimiliki bangun
geometri yang diamatinya. Namun, siswa belum mampu mengetahui hubungan
yang terkait antar suatu benda geometri dengan benda geometri lainnya juga
terkait perhitungan secara aljabar; (3) tahap pengurutan, ada tahap ini siswa sudah
mampu mengetahui hubungan keterkaitan antar bangun geometri. Anak yang
berada pada tahap ini sudah memahami pengurutan bangun bangun geometri dan
anak sudah dapat menarik kesimpulan secara deduktif; (4) tahap deduksi, pada
tahap ini siswa sudah dapat menarik kesimpulan secara deduktif. Pengambilan
kesimpulan secara deduktif yaitu penarikan kesimpulan dari hal-hal yang bersifat
khusus ke umum. Pada tahap ini anak belum bisa menjawab pertanyaan mengapa

sesuatu itu disajikan teorema atau dalil; dan (5) tahap akurasi, tahap ini
merupakan tahap tertinggi dalam memahami geometri dan aljabar. Pada tahap ini
anak sudah memahami betapa pentingnya ketepatan dari prinsip-prinsip dasar
yang melandasi suatu pembuktian. Anak pada tahap ini sudah memahami
mengapa sesuatu itu dijadikan postulat atau dalil [8].

6. Penutup
Pentingnya pendekatan yang benar dan tepat dalam proses memahami kajian
aljabar menyebabkan perlunyab mengkoneksikan dan mengkolaborasi dengan
cabang matematika yang lain. Geometri analitik yang merupakan cabang ilmu
matematika yang merupakan kombinasi antara aljabar dan geometri. Dengan
membuat korespondensi antara persamaan matematika secara aljabar dengan
tempat kedudukan secara geometrik diperoleh suatu metoda pemecahan masalah
geometri yang lebih sistematik dan lebih tegas.
Daftar Pustaka
[1] Carin, AA. & Sund, R.B. (1989). Teaching, Science, Through Discovery
– Sixth Edition. Merril Publishing Company: Columbus. Ohio
[2] Dahar, Ratna W. (1996). Teori Belajar. Jakarta; Erlangga
[3] Hudojo,Herman.2005.Pengembangan
Kurikulum
dan
Pembelajaran Matematika. Malang: UM Press
[4] Kieran, Carolyn. (2004). “Algebraic Thinking in the Early Grades: What
Is it?”. The Mathematics Educator. 8, (1), 139-151.
[5] Sucker. Rudy 1987. Mind Tools, The Five Levels of Mathematical Realyti
Boston: Houghton Mifflin Company.
[6] Soedjadi, R. (2000). Kiat Pendidikan Matematika di Indonesia:
Konstatasi Keadaan Masa Kini Menuju Harapan Masa Depan. Jakarta:
Depdikbud.
[7] Suherman, Erman dkk. 2001. Strategi Belajar Mengajar Kontemporer.
Bandung: Depdikbud.
[8] http://www.lelychusna.my.id/2011/07/teori-belajar-van-hiele_24.html