ANALISA BEBAN RUNTUH COLLAPSE

50

BAB III ANALISA BEBAN RUNTUH COLLAPSE

III.1. Umum Faktor beban, atau yang sering kita sebut sebagai faktor keamanan safety factor dapat dirumuskan dalam beberapa cara. Umpamanya pada teori elastis, faktor ini dirumuskan sebagai tegangan leleh di bagi dengan tegangan izin, σ y σ; atau dapat pula dirumuskan sebagai beban pada kondisi tegangan leleh dibagi dengan beban kerja. Beban kerja didefinisian sebagai beban yang menimbulkan tegangan izin maksimum. Rumusan yang digunakan pada teori plastis menyatakan bahwa faktor keamanan merupakan hasil pembagian antara kapasitas beban maksimum dengan beban kerja; yang ekivalen dengan momen plastis dibagi dengan momen elastis, MpM. Dari uraian sebelumnya, kita ketahui bahwa momen plastis sama dengan σ y. Z = σ y .S.f, dan momen elastis sama dengan σ y .S. Sehingga dengan mensubstitusikan harga-harga ini kedalam persamaan MpM, akan kita peroleh: Faktor beban atau faktor keamanan = Harga faktor beban load faktor untuk balok diatas dua tumpuan sederhana dapat kita lihat dalam tabel 3.1. Dari table ini dapat diinterpretasikan bahwa sebuah balok persegi panjang yang didesain dengan metode elastis yang tegangan izinnya sebesar 20 ksi, tidak akan runtuh hingga beban yang bekerja tersebut mencapai 2,48 kali beban yang direncanakan. Universitas Sumatera Utara 51 Table 3.1. faktor beban untuk beberapa penampang Penampang σksi MPa σ y σ Faktor bentuk Faktor beban Rolled 20 138 3320 1,12 1,85 Segi-empat 20 138 3320 1,50 2,48 Segi-empat 24 165 3324 1,50 2,06 Segi-empat 26 179 3324 1,50 1,90 lingkaran 30 207 3330 1,70 1,87 Sedangkan bila direncanakan untuk tegangan tegangan izin sebesar 26 ksi, akan kita peroleh faktor 1,90. Demikian juga, dapat kita lihat bahwa penampang lingkaran dengan tegangan izin 30 ksi, akan mempunyai faktor beban 1,87 yang mendekati hasil sebelumnya. Bagian 2.1 dari AISC 18 menggunakan faktor beban 1,70 untuk balok yang terletak diatas dua tumpuan maupun balok menerus. Sedangkan faktor beban untuk portal adalah 1,85 bila menahan beban mati dan beban hidup saja; dan 1,4 bila struktur tersebut menahan beban ini ditambah beban gempa ataupun beban angin. Faktor koefisien 1,70 ini diambil berdasarkan pada tegangan izin sebesar 0,66 σ y , dan faktor bentuknya adalah 1,12 yang berasal dari penampang rolled w shapes. Jadi, sf = σ y σ . f = σ y 0,66σ y . 1,12 = 1,70. Universitas Sumatera Utara 52 Dengan sf adalah factor keamanan atau factor beban. Harga ini dipakai dalam desain plastis, dimana beban rencana atau beban kerja dapat diperoleh dari beban plastis beban runtuh dibagi dengan faktor beban. III.2.Analisis tahap demi tahap Struktur pertama yang kita tinjau adalah sebuah balok dengan kedua ujung terjepit, seperti tergambar dibawah. Geometri dan beban dari struktur ini dinyatakan tanpa satuan, yaitu panjangnya dinyatakan dengan L, momen plastis penampang Mp, dan beban meratanya ditetapkan sebesar w per panjang satuan. Selanjutnya, tingkah laku struktur terhadap peningkatan bebannya akan diperhatikan. Gambar 3.1. balok yang kedua ujungnya terjepit Pertama, kita ketahui bahwa sampai beban tertentu, struktur masih bersifat elastis. Sehingga dengan menerapkan analisis elastis, kita dapat menentukan besarnya momen tumpuan, M A = M B = wL 2 12. Sedangkan momen ditengah bentangnya adalah M C = wL 2 24. Dengan menggunakan momen-momen ini, kita dapat menggambarkan diagram momen, seperti gambar 1.7. Selanjutnya bila kedua momen terbesar pada kedua tumpuan A dan B telah mencapai kapasitas A B C wsatuan panjang L Universitas Sumatera Utara 53 momen plastisnya, akan kita peroleh beban w sebesar 12MpL 2 , yang mengakibatkan terjadinya sendi plastis pada kedua ujung tumpuan ini . Kemudian dengan penambahan beban berikutnya, nilai momen kedua tumpuan tersebut tidak berubah; tetapi dititik ini akan terjadi rotasi. Keadaan ini menunjukkan bahwa sturktur tersebut bertingkah laku seperti balok statis tertentu, dimana bidang momen yang bersesuaian dapat kia gambarkan pada gambar 1.7.b. Tampak bahwa momen pada kedua tumpuan adalah sebesar nol dan momen ditengah bentang adalah w’L28. Sedangkan w’ adalah faktor beban yang baru. Dengan memperhatikan gambar tersebut, kita dapat mengetahui bahwa nilai momen maksimum di titik C adalah: M C = Mp2 + w’L 2 8 dimana momen ini akan menjadi sama dengan kapasitas momen plastis Mp, bila w’ mencapai 4 MpL 2 atau w sebesar 16 MpL 2 .dengan terbentuk tiga buah sendi plastis ini, dapat kita pastikan bahwa struktur tersebut akan mengalami keruntuhan collapse. Jadi, dari contoh ini dapat disimpulkan bahwa beban runtuhnya adalah: Wc = 16 MpL 2 Meskipun dari analisa contoh ini belum dapat kita ketahui kisaran nilai factor beban load factor, namun disini kita bisa langsung mengetahui nilai beban runtuhnya, dengan terlebih dahulu mengetahui dimensi gelagar dari struktur tersebut, sehingga kita bisa menghitung kapasitas momen plastis penampang tersebut berdasarkan persamaan 2.13 : Mp = f . My Dimana : f = faktor bentuk penampang My = y . S Universitas Sumatera Utara 54 a. kondisi pertama b. kondisi kedua Gambar 3.2. Peningkatan momen dalam Selain dengan uraian diatas, kita dapat pula menggunakan metode moment area untuk menggambarkan analisis semacam itu. Metode ini menggunakan persamaan-persamaan berikut ini sebagai persamaan dasarnya - - ………………………………………………………. 3.1 - - ……………………………………………………… 3.2 ∆c = - - …………………………………………………..... 3.3 dengan , , dan ∆c berturut -turut menyatakan besarnya rotasi di titik A, B, dan lendutan defleksi di titik C. Syarat kompatibilias pada kondisi elastis menghendaki bahwa di titik A, dan B tidak terjadi rotasi, sehingga , bernilai nol. Dengan memasukkan harga-harga ini kedalam persamaan diatas, kita peroleh: M A = M B = wL 2 12 …………………………………………………………... 3.4 wl’ A B A C L wL 2 8 wL 2 12 Mp2 Mp A B C wl’ L w’L 2 8 Mp Mp Universitas Sumatera Utara 55 Selanjutnya, dengan meninjau keseimbangan momen ditengah bentang, akan kita peroleh : M C = wL 2 8 – M A + M B 2 = wL 2 24……………………………………… 3.5 Sedangkan besarnya lendutan yang terjadi dititik ini dapat kita tentukan dengan mensubstitusikan harga kedua momen tersebut kedalam Persamaan 3.3, dan menghasilkan : ∆ c = wL 4 348EI……………………………………………………………….. 3.6 yang merupakan lendutan pada kondisi elastis. Dengan memperhatikan diagaram momennya, dapat kita pastikan bahwa secara serentak akan terjadi sendi plastis pada tumpuan A dan B, dimana bebannya mencapai 12MpL 2 . Hal ini juga berarti bahwa momen pada kedua tumpuan tersebut sama dengan kapasitas momen plastis dari penampangnya, Mp. Selanjutnya dari persamaan 3.3 dapat kita tentukan besarnya lendutan ditengah bentang, yakni : ∆ c = – = ……………………………………… 3.7 Gambar 3.3. Diagram momen kondisi ketiga Adanya penambahan beban berikutnya dapat menyebabkan terbentuknya sendi plastis yang ketiga, dan dari gambar ini dapat kita pastikan letak sendi Mp Mp C M C M A w L 2 8 M B Universitas Sumatera Utara 56 tersebut adalah ditengah bentangan. Dengan demikian, momen dititik ini sama dengan Mp, dan kita hasilkan : Mp = wL 2 8 – Mp Atau Mp = wL 2 16 Maka w = 16 MpL 2 ………………………………………………………… 3.8 bila kita substitusikan harga w dan M A = M B = Mp ini kedalam Persamaan 3.3, kita dapat tentukan bahwa : ∆ c = ……………………………………………………………. 3.9 yang merupakan besarnya lendutan pada kondisi plastis, sebelum struktur tersebut mengalami keruntuhan. a lendutan b mekanisme runtuh Gambar 3.4. Bentuk lendutan dan mekanisme runtuhnya y b c Universitas Sumatera Utara 57 Dengan menggabungkan bentuk ledutan dari semua kondisi tersebut, akan terlihatlah peningkatan lendutan seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 3.4. Selama proses dari kondisi kedua hingga kodisi ketiga tidak terjadi perubahan momen pada tumpuannya, tetapi telah kita ketahui bahwa beban dan momen ditengah bentangannya masih dapat bertambah. Keadaan ini dimungkinkan karena adanya redistribusi momen dalam struktur. Hubungan antara beban w terhadap lendutan ditengah bentangan ∆ c , yang dinyatakan oleh kurva oycb yang terdapat pada gambar 3. 5 berikut : Ternyata garis lendutan yang terjadi setelah titik C adalah horizontal. Ini sesuai dengan kenyataan, bahwa lendutan pada kondisi plastis akan terus bertambah tanpa memerlukan penambahan beban lagi. Keadaan ini menunjukkan bahwa struktur telah mencapai mekanisme runtuhnya. Gambar 3.5. hubungan beban lendutan 16MpL 12MpL oy : elastis yc : elastoplastis cb : keruntuhan plastis beban lendutan y c b o Universitas Sumatera Utara 58 Untuk lebih jelasnya, disini penulis akan memaparkan beberapa metode yang umum digunakan dalam penentuan nilai factor beban perbandingan beban batasruntuh terhadap beban layan dari beberapa jenis struktur yang ditinjau khususnya struktur bentang, baik dari bentang sederhana hingga ke bentang menerus yang menjadi pokok bahasan kita. III.3. Metode statis Metode yang sering disebut juga dengan cara grafostatis ini berdasarkan teorema batas bawah, dimana distribusi momen disetiap penampangnya tidak ada yang melampaui kapasitas momen plastisnya. Besarnya faktor beban, kita tentukan dari diagram momen yang sesuai. III.3.1. Balok sederhana Sesuai dengan persamaan 2.17, struktur ini hanya memerlukan sebuah sendi plastis untuk mencapai mekanisme runtuhnya. Mekanisme dan diagram momen yang bersesuaian dapat dilihat pada gambar 3.6 Sedangkan kurva beban-lendutannya kita gambarkan pada gambar 3.7. Daerah elastis dibatasi sampai titik leleh saja, yaitu hingga titik yang mempunyai nilai momen maksimum sama dengan momen leleh yield moment yang dalam gambar tersebut dinyatakan oleh titik a. Beban pada kondisi ini disebut sebagai beban leleh ; Wy = 4MpL = 4Mpf.L = Wcf……………………………………….……… 3.9 Universitas Sumatera Utara 59 Dimana : My = mommen leleh Mp = momen plastis Wc = beban keruntuhan f = factor bentuk penampang shape factor. Gambar 3.6. Mekanisme dan diagram momen yang bersesuaian untuk balok sederhana Dari persamaan 3.9, ternyata bahwa perbandingan antara Wc dengan Wy akan sama dengan faktor bentuk f. Daerah dalam garis c - b merupakan daerah cBidang momen wL4 c Struktur pembebanan L2 L2 w b Mekanisme runtuh Universitas Sumatera Utara 60 plastis, dimana rotasi maupun lendutan struktur bertambah terus tanpa adanya penambahan beban lagi. Gambar 3.7. Hubungan beban lendutan III.3.2. Balok bertumpuan sendi dan jepit Umumnya, diagram momen dari struktur statis tak tentu dapat dipisahkan dalam dua bagian, yaitu momen yang ditimbulkan oleh beban luar dengan menganggap struktur sebagai konstruksi statis tertentu; dan yang diakibatkan oleh momen dalam atau reaksi perletakan. Diagram yang pertama disebut momen bebas free moment, dan yang kedua sebagai momen reaktan reactant moment, yang berturut-turut diperlihatkan pada gambar 3.8 c dan d, sebagai berikut : 4MpL 4MpfL o oc : elastis cb : keruntuhan plastis w a c b L 2 Universitas Sumatera Utara 61 Gambar 3.8. Diagram momen yang bersesuaian untuk balok bertumpuan sendi dan jepit dengan beban terpusat Dari syarat keseimbangan, dapat kita turunkan persamaan momen dibawah titik beban sebagai : Mp + bL Mp = W.a.bL Mp = W.a.bL+b Atau kita peroleh beban runtuh : Wc = L + b Mpa.b…………………………………………...….. 3.10 a Struktur pembebanan P a b L WabL c Momen bebas Mp d Momen reaktan b Momen resultan Mp Mp Universitas Sumatera Utara 62 Dengan demikian, dari penyelesaian diatas dapat ditarik kesimpulan bahwa secara umum sendi plastis akan terbentuk pada tumpuan jepit dan dibawah beban titik. Sedangkan, bila struktur ini menahan beban terbagi rata, perlu dianalisa lagi letak momen maksimum yang terjadi padanya, karena secara otomatis letak sendi plastis dibentangan akan terjadi tepat dibawah momen maksimum,dan permasalahan ini tak dapat diselesaikan hanya dengan persamaan matematik sederhana. Tetapi telah kita ketahui, bahwa momen maksimum terjadi, bila dMxdx = 0 telah terpenuhi pada suatu penampang berjarak x dari tumpuan yang kita tinjau, karena gaya lintang pada titik ini bernilai nol. Sekarang kita perhatikan terlebih dahulu gambar berikut : Gambar 3.9. Letak momen maksimum pada balok bertumpuan sendi dan jepit dengan pembebanan terbagi rata A L astruktur B wsatuan panjang Mp x bbidang momen Mp Mp Mp x wsatuan panjang L - x Universitas Sumatera Utara 63 Dengan menetapkan keseimbangan terhadap titik A, kita peroleh : 12 W l – x 2 – Mp – Mp = 0 12 W l – x 2 = 2Mp Dari keseimbangan terhadap titik B, dihasilkan : 12 W x 2 – Mp = 0 12 W x 2 = Mp Dengan menyamakan kedua persamaan ini, kita peroleh : 12 W l – x 2 = Wx 2 + 2Lx – L 2 = 0 dan bila persamaan ini diselesaikan, akan kita peroleh letak momen maksimum yang diukur dari tumpuan B, yaitu : x = 2 – 1 L = 0,4142 L Selanjutnya beban runtuh dapat ditentukan dengan memasukkan harga x = 0,4142L ini kedalam persamaan sebelumnya, sehingga : 0,5W 0,4142L 2 = Mp Atau : Wc = 11,66 MpL 2 …………………………………………….……. 3.11 III.3.3. Balok yang kedua tumpuannya jepit Untuk kondisi beban terpusat seperti yang ditunjukkan pada gambar 3.10, terdapat persamaan momen elastis yang ditunjukkan oleh gambar 3.10.b, dimana a dan b berturut-turut menyatakan jarak dari masing- masing tumpuannya. Universitas Sumatera Utara 64 Gambar 3.10 Diagram momen yang bersesuaian untuk balok bertumpuan jepit dengan pembebanan terpusat Sehingga besar momen dititik beban dapat dirumuskan sebagai berikut : Mp + Mp = Wab L 2Mp = WabL Sehingga, beban runtuhnya adalah : Wc = 2 MpLab…………………………………………………………..…3.12 Sedangkan bila struktur tersebut memikul beban merata, bidang momen ketika terjadi keruntuhan dapat kita tetapkan seperti gambar 3.11.c. letak momen - Mp e Momen reaktan WabL + e Momen bebas c Mekanisme runtuh b Diagram momen elastis Wab 2 L 2 Wa 2 b 2 L 2 Wa 2 bL 2 - + - d Momen resultan Mp Mp Mp b Struktur pembebanan w a b L Universitas Sumatera Utara 65 maksimum ataupun sendi plastisnya tentunya ditengah bentangan. Dengan demikian, persamaan momen pada titik ini adalah : Mp + Mp = WL 2 8 Dan Wc = 16MpL 2 ……………………………………………………………..…3.13 Gambar 3.11. Mekanisme runtuh dan diagram momen pada balok dengan perletakan jepit-jepit III.3.4.Balok menerus Balok menerus dapat pula dianalisis dengan menggunakan prinsip sebelumnya. Akan tetapi terdapat beberapa hal penting yang perlu kita perhatikan, antara lain : A B C wsatuan L d Struktur pembebanan b Mekanisme runtuh Mp wL 2 8 wL 2 12 Mp c Momen resultan Universitas Sumatera Utara 66 • Setiap bentangan dapat memiliki bentuk atau ukuran penampang yang berbeda, sehingga mungkin momenplastis penampangnya juga berlainan. Keadaan ini dapat menyebabkan kapasitas momen plastis dititik sebelah kiri dan kanan dari suatu tumpuan tidak sama. • Setiap bentangan tergantung kondisi bebannya, mungkin tidak akan runtuh secara bersamaan, sehingga bentangan tersebut harus kita periksa tersendiri. Dalam keadaan tertentu, dimana kita inginkan suatu struktur dengan pemakaian bahan yang relatuf hemat tergantung pada biaya penyambungan dan sebagainya, kita perlu menetapkan ukuran penampang dari bentangan tersebut sedemikian rupa sehigga akan terjadi mekanisme runtuh yang bersamaan. Perhatikanlah suatu balok menerus pada gambar 3.12, dimana kapasitas momen plastis bentangan tengah dan tepi berbeda. Mula-mula, akan kita tinjau mekanisme pada bentang A – B dan C – D. Bidang momen untuk kedua mekanisme ini diperlihatkan pada gambar 3.12 b dan c, dimana persoalannya akan menyerupai persoalan sebuah balok yang memiliki tumpuan jepit dan sendi. Universitas Sumatera Utara 67 0,5Mp 0,75M 1,5Mp + + + - - bMekanisme runtuh pada bentang pinggir fMekanisme runtuh saat bentangan tengah runtuh aStruktur dan pembebanan c – eBidang momen A L L L L 1.5L 1.5L w 2w Mp 1.5w B C D 1.5Mp Mp c d e + - - - + - + Mp Mp Mp Mp gBidang momen saat bentangan tengah runtuh Gambar 3.12. Mekanisme runtuh dan bidang momen yang bersesuaian pada balok menerus untuk beban terpusat Universitas Sumatera Utara 68 Persamaan keseimbangan dititik beban pada bentang A – B, adalah : Mp + 0,5 Mp = 0,5 wL Mp = 0,33 wL Atau : W c = 3MpL Sedangkan untuk bentang C – D adalah : Mp + 0,5 Mp = 0,75 wL Mp = 0,50 wL Maka : W c = 2 MpL Seandainya mekanisme runtuh terjadi pada bentang B – C, momen dalam tumpuan B tidak akan lebih besar dari Mp. Bidang momen untuk mekanisme ini diperlihatkan pada gambar 3.12 c, dan kita ketahui bahwa problemanya akan menyerupai problema suatu balok yang kedua tumpuannya jepit. Persamaan keseimbangannya adalah : Mp + 1,5 Mp = 32 wL Maka : Mp = 0,6 wL Atau : W c = 5 Mp3L……………………………………………...................3.14 Universitas Sumatera Utara 69 Dengan membandingkan ketiga beban runtuh tersebut, dapat kita tentukan bahwa mekanisme runtuh yang pertama kali terjadi akan terletak pada bentang B – C dengan nilai beban runtuhnya ditunjukkan pada persamaan 3.14. Dengan demikian, bentang ini merupakan bentang kritis. Ternyata bila kita membandingkan momen plastisnya, bentang B – C merupakan bentang yang memiliki nilai Mp terbesar. Kesimpulannya, bila pada suatu tumpuan terdapat kapasitas momen plastis yang tidak sama besar, sendi plastis akan terjadi pada titik yang terletak pada bentangan yang lebih lemah yang mempunyai kapasitas momen plastis penampang yang lebih kecil. Untuk balok menerus yang memikul beban merata dapat kita lihat gambar 3.13. Berdasarkan kesimpulan tersebut, sendi plastis ditumpuan B dan C berturut-turut akan terletak pada bentang B – A dan C – D. Persamaan untuk bentang A – B : 2 Mp + 0,5 Mp = 1,5 wL 2 Sehingga kita peroleh beban runtuh : W c = 1,67 MpL 2 Untuk bentang B – C, lihat gambar 3.13 c. Mp + Mp = 18 3 wL 2 Mp = 916 wL 2 Universitas Sumatera Utara 70 Maka : W c = 1,77 MpL 2 Selanjutnya, untuk bentang C – D gambar 3.13.d : 2 Mp + 43 Mp = 4 wL 2 Mp = 1,2 wL 2 Sehingga : W c = 0,833 MpL 2 ……………………………………………………3.15 Perhatikan bahwa beban runtuh w c pada bentang C – D merupakan nilai yang terkecil. Jadi, sekali lagi dapat kita katakan bahwa bentang C – D merupakan bentang kritis. Universitas Sumatera Utara 71 2L 3L 2Mp Mp 2Mp 3wL 6wL B C D A wsatuan panjang L L L aStruktur dan pembebanan b – dBidang momen fMekanisme keruntuhan + Mp 2Mp Mp + - - - + 2Mp 2Mp Mp b c d Gambar 3.13. Mekanisme runtuh dan bidang momen yang bersesuaian pada balok menerus untuk beban kombinasi Universitas Sumatera Utara 72 III.4. Metode Kerja Virtual Dapat kita lihat dari uraian sebelumnya, bahwa metode statis sangat baik untuk menyelesaikan berbagai problema keruntuhan pada balok dan struktur yang hanya memiliki satu atau dua redundan. Akan tetapi, metode ini akan banyak memakan waktu bila diterapkan pada struktur yang mempunyai beberapa redundan. Cara lain yang dapat kita lakukan adalah meninjau keseimbangan energi dari struktur tersebut ketika mengalami mekanisme runtuhnya. Proses penyelesaian yang berdasarkan prinsip ini akan lebih cepat. Pada saat runtuh collapse, struktur akan mengalami deformasi, sehingga beban luar w akan menjalani kerja-luar sebesar w. Kerja-luar total dari seluruh beban adalah ∑wδ, yang diserap oleh setiap sendi plastis melalui perubahan sudut θ. Energy dari masing-masing sendi plastis yang disebut sebagai kerja dalam adalah sebesar Mp θ. Dengan demikian, kerja dalam untuk seluruh sendi menjadi ∑ Mpθ. Kondisi keseimbangan menghendaki kerja luar harus sama dengan kerja dalam, sehingga menghasilkan persamaan : ∑wδ = ∑ Mpθ…………………………………………………….………….3.16 Dalam metode ini, kita perlu memperkirakan letak sendi plastisnya, dan mencoba beberapa mekanisme yang mungkin terjadi. Karena metode ini berdasarkan teorema batas atas, beban runtuh yang dihasilkan akan sama ataupun lebih besar dari nilai yang sebenarnya. Dengan demikian, inti persoalan dalam metode ini adalah menentukan harga faktor beban yang paling kecil atau kapasitas momen plastis yang terbesar. Universitas Sumatera Utara 73 Mekanisme pada struktur kerangka dapat dibagi menjadi : • Mekanisme balok beam mechanism • Mekanisme panel sway mechanism • Mekanisme kombinasi combine mechanism, dan • Mekanisme gable, yaitu mekanisme khusus yang terjadi pada portal beratap lancip gable frame. Karena dalam tugas akhir ini penulis hanya membahas mengenai struktur balok menerus, maka disini kita hanya akan membahas tentang mekanisme balok sway mechanism saja. III.4.1. Balok bertumpuan sendi-jepit Gambar 3.14. Mekanisme keruntuhan dan sudut rotasi pada balok bertumpuan sendi-jepit Dari gambar tersebut, dengan mengacu pada persaman 3.16, dihasilkan formulasi beban runtuh : α Θ Θ+α L - x X A L astruktur B wsatuan panjang Universitas Sumatera Utara 74 w c = ………………………………………...…………….3.17 Letak momen maksimum, yang juga merupakan letak sendi plastisnya dapat kita tentukan dengan cara mendiferensiasikan persamaan ini terhadap x. sehingga, kita peroleh : x 2 – 4Lx + 2L 2 = 0……………………………………………………………3.18 persamaan kuadrat ini akan mempunyai jawab x = 0,5878 L Dengan mensubstitusikan harga x ini kedalam persamaan 3.17, akan dihasilkan beban runtuh w c = 11,66 MpL 2 . Ternyata, baik metode statis maupun metode kerja virtual metode kinematis, memberikan hasil penyelesaian yang sama besar, yang artinya penyelesaian ini memenuhi teorema unik. III.4.2. Balok yang kedua tumpuanya jepit Diasumsikan bahwa semua penampangnya memiliki kapasitas momen plastis yang sama besar. Dari persamaan kerja : wδ = - Mp -θ + Mp 2θ – Mp -θ w θ L2 = 4Mpθ kita peroleh : w c = 8MpL jika a = b = L2, disubstitusikan kedalam persamaan 3.12, akan kita peroleh hasil yang sama besar. Universitas Sumatera Utara 75 Gambar 3.15. Mekanisme keruntuhan dan sudut rotasi pada balok tumpuan jepit-jepit III.4.3. Balok menerus Disini akan kita gunakan contoh yang ada pada pasal III.3.4. untk bentang A – B : kerja luar = kerja dalam 3wLδ = 2Mp 2θ – Mp-θ 3wL 2 θ = 5Mp θ hingga diperoleh : w c = 1,66MpL 2 Untuk bentang B – C : kerja luar = kerja dalam w3δL2 = -Mp -θ + Mp 2θ – Mp -θ menghasilkan : w c = 1,77MpL 2 Untuk bentang C – D, terbentuk persamaan : 6wL = -Mp - θ + 2Mp 3θ2 – 2Mp -θ2 dimana : w c = 0,833 wL 2 yang menentukan keruntuhan struktur ini θ + - - Mp Mp w L2 L2 L θ 2 θ Universitas Sumatera Utara 76 Perhatikan gambar berikut ini : Gambar 3.16. Mekanisme keruntuhan dan sudut rotasi pada balok menerus 2L 3L 2Mp Mp 2Mp 3wL 6wL B C D A wsatuan panjang L L L θ 2 θ θ θ θ2 3θ2 θ 2 θ θ Universitas Sumatera Utara 77

BAB IV APLIKASI