secara umum dapat diperoleh banyak bujursangkar latin yang berbeda, dan juga
banyaknya bujursangkar latin yang terbentuk akan semakin bertambah bergantung pada n.
Walaupun bujursangkar latin telah dipelajari secara rinci dalam matematika banyaknya
bujursangkar latin yang ada telah dihitung hanya untuk
. [Aliprantis, et al 2006]
Diketahui himpunan
populasi , … … … , dengan n agen. Ada tiga
prosedur pembangunan bujursangkar latin yang masing-masing menghasilkan matriks
yang spesifik.
2.2.1 Konstruksi Bujursangkar Latin 1
Bujursangkar latin ini dinotasikan dengan dan baris pertamanya adalah vektor 1, 2, .
. . . , n. Baris lainnya dari dihasilkan
secara rekursif dengan cara menggeser satu tempat ke kiri baris yang sebelumnya secara
siklik. Yang berarti baris kedua diperoleh dengan cara menggeser baris pertama satu
tempat ke kiri, dalam contoh di atas baris kedua adalah 2, 3, . . . . , n, 1 dan baris ke
tiga adalah vektor 3, 4, . . . ., n, 1, 2. Dengan demikian
adalah matriks seperti
berikut : 1
2 ...
2 1
2 3
1 1
3 4
1 2
1 4
3 2
1 3
2 1
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n −
− −
− −
− −
− −
−
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
L L
M M O
M M
M L
L Jika
menggunakan notasi
standar untuk bujursangkar latin ini maka
setiap entri diberikan formula sebagai
berikut: jika
1 dan 1 1
1 1
jika 2 dan
1 1 jika
2 dan 2
j i
j n
a i
j n Y i
j i
j i
i j
n i ij
j n i
i n i
j n
χ =
≤ ≤ = + − −
+ − = + − ≥
≤ ≤ − + − − −
≥ − + ≤ ≤
⎧⎪ ⎨
⎪⎩
di mana :
{0,1} Y N
χ →
adalah fungsi karakteristik dari himpunan
, , …
dengan
1 jika dan
0 jika .
Y k k
Y Y k
k Y
χ χ
= ∈
= ∉
Contoh 2 Saat
konstruksi ini akan menghasilkan bujursangkar latin
1 2 3 4
2 3 4 1 3 4 1
2 4 1
2 3 L
− =
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
.
2.2.2 Konstruksi Bujursangkar Latin 2
Misalkan notasi untuk bujursangkar latin ini adalah
. Matriks ini memiliki baris pertama 1, 2, . . ., n dan konstruksinya dibuat
secara rekursif tepat seperti cara pertama, tetapi satu-satunya perbedaan terletak pada
cara penggeserannya yang ke arah kanan bukan ke arah kiri. Hal ini berarti baris kedua
dari diperoleh dengan cara menggeser baris
pertama ke kanan secara siklik, dalam contoh, baris ke dua adalah vektor n, 1,…, n-2, n-1,
dan baris ketiga adalah vektor n-1, n, 1, …, n
-2, dan seterusnya. Bujursangkar latin yang terbentuk adalah
1 2
2 1
1 3
2 1
1 4
3 2
3 4
1 2
2 3
1 1
n n
n n
n n
n n
n n
n n
L n
n n
− −
− −
− −
− −
− + =
−
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
L L
L M
M O M
M M
L L
Dengan notasi maka formula
untuk entri dari
adalah
jika 1dan1
1 1
1 1 jika
2 dan1 1
1 jika
2 dan j
i j
n a
n j i n Y n
j n i
j i
j i
ij j i
i i
j n
χ
= ≤ ≤
= + + − − + + − =
− + + ≥
≤ ≤ − − +
≥ ≤ ≤
⎧⎪ ⎨
⎪⎩
Contoh 3 Di
mana saat
kita mendapatkan 1
2 3 4 4 1
2 3 3 4 1
2 2 3 4 1
L + =
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
.
2.2.3 Konstruksi Bujursangkar Latin 3
Bujursangkar latin dinotasikan dengan di mana baris pertama adalah n, n-1,
…1 dan baris lainnya dibentuk dengan cara mengikuti prosedur rekursif dengan cara
menggeser baris pertama satu tempat ke kiri, sehingga baris ke dua yang terbentuk adalah
n-1,n-2, …, 1, n. Dengan mengulang proses ini sebanyak
maka diperoleh bujursangkar latin
seperti berikut :
1 2
1 1
2 1
1 3
2 2
1 4
3 1
3 2
n n
n n
n L
n i
n i n i
n i n
− −
− =
− + −
− + − +
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
L L
M M
O M
M L
M M
O M
M M
M
Dengan maka formula untuk
entri dari L adalah
1 jika
1dan1 1
1 1
2 jika
2dan1 1
2 2
jika 2dan
2 n
j i
j n a
n i j
n Y i j n
i j i
j n i ij
n i j
i n i
j n χ
+ − =
≤ ≤ = + − + − +
+ − = + − − ≥
≤ ≤ − + − + −
≥ − + ≤ ≤
⎧⎪ ⎨
⎪⎩
Contoh 4
Saat bujursangkar latin L adalah
seperti berikut :
4 3 2 1 3 2 1
4 2 1
4 3 1
4 3 2 L
=
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Berdasarkan dari ketiga konstruksi bujursangkar latin di atas maka untuk
sembarang populasi berukuran n terdapat beberapa bujursangkar latin yang dapat
dibentuk. Banyaknya bujursangkar latin yang dapat dibentuk dari populasi berukuran n
dapat dilihat dari Tabel 1 berikut:
Tabel 1 Banyak bujursangkar latin dari populasi berukuran n sebarang. Ukuran
Contoh bujursangkar
latin standar
A B C B C A
C A B A B C D
B C D A C D A B
D A B C A B C D E
B A E C D C D A E B
D E B A C E C D B A
A B C D E F B C F A D E
C F B E A D D E A B F C
E A D F C B F D E C B A
A B C D E F G B C D E F G A
C D E F G A B D E F G A B C
E F G A B C D F G A B C D E
G A B C D E F ABC...N
BCD...A CDE...B
. .
. PAB...P-1
Banyaknya bujursangkar
latin standar
1 4 56 9408 16.942.080 ----------
Banyaknya bujursangkar
latin yang terbentuk
12 576 161.280 818.851.200
61.479.419.904.000
Banyaknya bujursangkar
latin standar [Montgomery 2001]
2.3 Fungsi
