Analisis Struktur Anatomi Dan Histokimia Tiga Varietas Kumis Kucing (Orthosiphon Aristatus (Blume) Miq.)
ANALISIS KESTABILAN MODEL PENYEBARAN
PENYAKIT DEMAM BERDARAH DENGAN
PENGARUH SUHU
OKTAVIA AINI ZAKARIA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Analisis Kestabilan
Model Penyebaran Penyakit Demam Berdarah dengan Pengaruh Suhu adalah
benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan
dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang
berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari
penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di
bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Maret 2016
Oktavia Aini Zakaria
NIM G54100051
ABSTRAK
OKTAVIA AINI ZAKARIA. Analisis Kestabilan Model Penyebaran Penyakit
Demam Berdarah dengan Pengaruh Suhu. Dibimbing oleh ALI KUSNANTO dan
N K KUTHA ARDANA.
Dalam tulisan ini dipelajari model penyebaran penyakit DBD yang
melibatkan nyamuk Aedes Aegypti. Populasi manusia dikelompokkan dalam tiga
kompartemen, yakni rentan (S), terinfeksi (I) dan sembuh (R), sementara populasi
nyamuk dikelompokan dalam dua kompartemen, yakni rentan (S) dan terinfeksi
(I). Model yang disusun oleh Pongsumpun (2006) ini dimodifikasi dengan
menambahkan pengaruh suhu ke dalam persamaan diferensialnya. Dihasilkan dua
titik tetap, yaitu titik tetap tanpa penyakit dan titik tetap endemik. Analisis
kestabilan bagi titik tetap tersebut ditentukan menggunakan kriteria RouthHurtwiz dan dihasilkan bilangan reproduksi dasar
. Jika
, maka titik
tetap tanpa penyakit bersifat stabil sedangkan jika
, maka titik tetap
endemik bersifat stabil. Peningkatan suhu mengakibatkan
naik sehingga
penyebaran penyakit DBD semakin mudah mewabah dan semakin besar nilai ratarata gigitan nyamuk juga menyebabkan penyebaran penyakit DBD mewabah.
Pada bagian akhir dilakukan
simulasi dengan menggunakan software
Mathematica.
Kata kunci: Analisis kestabilan, bilangan reproduksi dasar, kriteria RouthHurtwiz.
ABSTRACT
OKTAVIA AINI ZAKARIA. Stability Analysis of Transmission Model of
Dengue Fever with Temperature Effect. Supervised by ALI KUSNANTO dan N
K KUTHA ARDANA.
This manuscript studied the spread of dengue hemorrhagic fever (DHF)
models involving the mosquito Aedes Aegypti. The human population is grouped
into three compartments, namely susceptible (S), infected (I) and recovery (R),
while the mosquito population is classified into two compartments, namely
susceptible (S) and infected (I). The model which was developed by Pongsumpun
(2006) has been modified by adding the influence of temperature into a
differential equation. This model produced two equilibrium points, namely the
non-disease and endemic states. Analysis of stability of those equilibrium points
were determined by using the Routh-Hurtwiz criterion and produced the basic
reproduction number
. If
, then the non-disease equilibrium is stable
whereas if
, then the endemic equilibrium is stable. The increase of
which is caused by higher temperature, as well as the increase of average number
of mosquito bites, influence the endemic of dengue. At the end a simulation using
Mathematica software was done.
Keywords: Basic reproduction number, Routh-Hurtwiz criterion, stability
analysis.
ANALISIS KESTABILAN MODEL PENYEBARAN
PENYAKIT DEMAM BERDARAH DENGAN
PENGARUH SUHU
OKTAVIA AINI ZAKARIA
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Februari 2015 ini ialah
Analisis Kestabilan Model Penyebaran Penyakit Demam Berdarah dengan
Pengaruh Suhu.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Drs Ali Kusnanto, MSi dan
Bapak Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc selaku pembimbing, serta Bapak
Dr Paian Sianturi sebagai penguji yang telah banyak memberi saran. Ungakapan
terima kasih dan penghargaan penulis sampaikan kepada Ibu Irun Suswendarwati
yang memberikan semangat, dan doa tiada henti. Di samping itu, ungkapan terima
kasih juga disampaikan kepada Azan, Rizki, Ekki, Matematika 47, staff TU
Matematika dan teman-teman atas doa dan dukungannya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Maret 2016
Oktavia Aini Zakaria
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
2
LANDASAN TEORI
2
Sistem Persamaan Diferensial
2
Titik Tetap
2
Pelinearan
2
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
3
Kestabilan Titik Tetap
3
Kriteria Routh-Hurwitz
3
Bilangan Reproduksi Dasar
4
MODEL PENYEBARAN DBD
5
Penyebaran Virus Demam Berdarah Dengue (DBD)
5
Model Matematika Penyebaran DBD
5
Persamaan Model Penyebaran virus DBD
6
Model Matematika Penyebaran DBD dengan Pengaruh Suhu
8
Penentuan Titik Tetap
9
Analisis Kestabilan Titik Tetap
Perilaku di Sekitar Titik Tetap
Perilaku di Sekitar Titik Tetap
Perilaku di Sekitar Titik Tetap
Perilaku di Sekitar Titik Tetap
10
Model Penyebaran DBD
Model Penyebaran DBD
Model PS
Model PS
SIMULASI NUMERIK
10
12
13
14
15
Nilai Parameter
15
Hasil Simulasi
16
Kasus 1: Dinamika populasi manusia dan nyamuk untuk kondisi
16
Kasus 2: Dinamika populasi manusia dan nyamuk untuk kondisi
18
Kasus 3: Dinamika populasi manusia dan nyamuk untuk kondisi
20
Kasus 4: Dinamika populasi manusia dan nyamuk dengan mengubah
nilai rata-rata gigitan nyamuk
22
SIMPULAN
24
DAFTAR PUSTAKA
25
LAMPIRAN
26
RIWAYAT HIDUP
35
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Skema penyebaran penyakit DBD
Skema penyebaran penyakit DBD dengan pengaruh suhu
Proporsi manusia rentan
tanpa dan dengan pengaruh suhu
untuk
Proporsi manusia terinfeksi
tanpa dan dengan pengaruh suhu
untuk
Proporsi manusia sembuh
tanpa dan dengan pengaruh suhu
untuk
Proporsi nyamuk rentan
tanpa dan dengan pengaruh suhu
untuk
Proporsi nyamuk terinfeksi
tanpa dan dengan pengaruh suhu
untuk
Proporsi manusia rentan
tanpa dan dengan pengaruh suhu
untuk
Proporsi manusia terinfeksi
tanpa dan dengan pengaruh suhu
untuk
Proporsi manusia sembuh
tanpa dan dengan pengaruh suhu
untuk
Proporsi nyamuk rentan
tanpa dan dengan pengaruh suhu
untuk
Proporsi nyamuk terinfeksi
tanpa dan dengan pengaruh suhu
untuk
Proporsi manusia rentan
tanpa dan dengan pengaruh suhu
untuk
Proporsi manusia terinfeksi
tanpa dan dengan pengaruh suhu
untuk
Proporsi manusia sembuh
tanpa dan dengan pengaruh suhu
untuk
Proporsi nyamuk rentan
tanpa dan dengan pengaruh suhu
untuk
Proporsi nyamuk terinfeksi
tanpa dan dengan pengaruh suhu
untuk
Proporsi manusia rentan
pada model tanpa (a) dan dengan
pengaruh suhu (b)
Proporsi manusia terinfeksi
pada model tanpa (a) dan dengan
pengaruh suhu (b)
Proporsi manusia sembuh
pada model tanpa (a) dan dengan
pengaruh suhu (b)
Proporsi nyamuk rentan
pada model tanpa (a) dan dengan
pengaruh suhu (b)
Proporsi nyamuk terinfeksi
pada model tanpa (a) dan dengan
pengaruh suhu (b)
6
8
16
16
17
17
17
18
18
18
19
19
19
20
21
21
21
22
22
22
23
23
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
Penyederhanaan persamaan 7
Penentuan titik tetap
Dinamika populasi manusia dan nyamuk
Proporsi populasi manusia dan nyamuk dengan mengubah
nilai rata-rata gigitan nyamuk (b)
Hubungan rata-rata gigitan nyamuk (b) dengan nilai bilangan
reproduksi dasar
26
27
30
32
34
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Penyakit demam berdarah dengue banyak ditemukan di daerah tropis. Pada
awalnya ditemukan pertama kali di Manila, Filipina pada tahun 1953. Di
Indonesia penyakit ini pertama kali ditemukan di Surabaya pada tahun 1962. Pada
saat itu terjadi 58 orang terinfeksi dan 24 orang diantaranya meninggal dunia
dengan angka kematian (AK: 41.3%) sehingga pada akhirnya menyebar ke
seluruh Indonesia (Kemenkes RI 2010).
Demam berdarah dengue (DBD) atau Dengue haemorrhagic fever (DHF)
adalah penyakit yang disebabkan oleh virus dengue yang ditularkan melalui
gigitan nyamuk Aedes Aegypti dan Aedes albopictus. Penyakit ini memiliki empat
serotipe virus dengue, yaitu DEN-1, DEN-2, DEN-3 dan DEN-4 (WHO 2009).
Virus dengue yang dibawa oleh nyamuk Aedes Aegypti mencari inang untuk
ditempatinya. Ketika virus mendapatkan sel inang untuk melangsungkan
hidupnya, virus akan bereproduksi dan menghasilkan virus-virus baru. Masa
inkubasi (masa mulai saat penularan penyakit masuk ke dalam tubuh sampai saat
timbulnya penyakit) dari infeksi virus dengue ini berkisar 8 sampai 10 hari
(Nuraini et al. 2007).
Suhu transmisi untuk virus dengue di atas
dan tidak dapat tertularkan
pada suhu
. Pada daerah yang mana perubahan suhu sangat berpengaruh,
penularan virus dengue selalu berkurang pada saat suhu dingin. Contohnya,
wabah virus dengue di Australia berhenti karena suhu
pada awal suhu
dingin. Suhu juga dapat memengaruhi pematangan nyamuk, suhu yang tinggi
menghasilkan nyamuk betina kecil yang dipaksa untuk mengambil banyak darah
makanan untuk mendapatkan protein yang dibutuhkkan untuk produksi telur.
Suhu dan kelembaban dianggap memengaruhi periode inkubasi virus (Kuno
1995).
Populasi manusia dibagi menjadi tiga kelas, yaitu manusia yang rentan,
manusia yang terkena infeksi, dan manusia yang sembuh. Manusia yang rentan
adalah manusia yang bukan imun dan tidak terkena infeksi. Manusia yang terkena
infeksi adalah manusia yang terkena virus DBD dan dapat menularkan kepada
individu lain dengan perantara nyamuk. Manusia sembuh adalah manusia yang
sembuh dari penyakit dan tidak dapat tertular lagi. Populasi nyamuk dibedakan
menjadi dua kelas yaitu nyamuk yang rentan dan nyamuk yang terkena infeksi.
Nyamuk yang rentan adalah nyamuk yang rentan terhadap penyakit demam
berdarah dengue. Sedangkan nyamuk terinfeksi adalah nyamuk yang terkena
infeksi dan dapat menularkan kepada individu lain.
Dalam karya ilmiah ini, masa inkubasi dalam tubuh nyamuk (ekstinsik)
dipengaruhi oleh suhu. Oleh karena masa inkubasi ini memengaruhi proses
transmisi virus, maka ini perlu dimasukkan dalam model matematika. Selanjutnya
dilakukan analisis kestabilan pada sistem dan simulasi numerik untuk mengetahui
adanya pengaruh suhu pada masa inkubasi virus.
2
Tujuan Penelitian
Berdasarkan latar belakang di atas, maka tujuan karya ilmiah ini adalah:
1. Merekonstruksi model penyebaran penyakit DBD mengunakan model SIR.
2. Menentukan dan menganalisis kestabilan titik tetap dari model tersebut.
3. Melakukan simulasi numerik terhadap model SIR untuk penyebaran penyakit
DBD serta membandingkan model dengan pengaruh suhu.
LANDASAN TEORI
Sistem Persamaan Diferensial
Sistem persamaan diferensial orde satu dengan
persamaan dan
fungsi yang tak diketahui
dapat ditulis sebagai berikut
buah
(1)
dengan
dan
Jika
linear maka sistem persamaan diferensial (1) disebut linear dan
sebaliknya jika
taklinear.
(Tu 1994)
Titik Tetap
Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial sebagai berikut
maka suatu titik
yang memenuhi
disebut titik keseimbangan atau
titik tetap dari sistem persamaan difernsial tersebut.
(Tu 1994)
Pelinearan
Analisis kestabilan untuk sistem persamaan diferensial taklinear dilakukan
dengan menggunakan teknik pelinearan. Sistem persamaan diferensial taklinear
didefinisikan sebagai berikut
(2)
Dengan menggunakan ekspansi Taylor di sekitar titik tetap x*, maka sistem
persamaan (2) dapat ditulis sebagai
(3)
dengan A adalah matriks Jacobi,
3
dan
merupakan suku berorde tinggi yang mempunyai sifat
. Bentuk sistem persamaan diferensial taklinear (3) setelah dilakukan pelinearan
menjadi sebagai berikut
(Tu 1994)
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Misalkan A adalah matriks berukuran
, maka suatu vektor taknol x di
Rn disebut vektor eigen dari A dan suatu skalar disebut nilai eigen dari A jika
berlaku hubungan berikut
Vektor x disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen . Nilai eigen
dari matriks A berukuran
dapat diperoleh dengan
(4)
di mana I adalah matriks identitas. Persamaan (4) mempunyai solusi taknol jika
dan hanya jika
(5)
Persamaan di atas disebut persamaan karakteristik.
(Anton dan Rorres 2004)
Kestabilan Titik Tetap
Diberikan sistem persamaan diferensial sembarang
Analisis kestabilan lokal pada titik kesetimbangan ditentukan oleh tanda bagian
real dari akar-akar karakteristik sistem dari matriks Jacobian yang dihitung di
sekitar titik kesetimbangan. Titik kesetimbangan disubstitusikan ke dalam
persamaan matriks Jacobi sehingga diperoleh nilai-nilai eigennya
dengan i =
1, 2, 3, ... n dari persamaan karakteristik (5)
det
.
secara umum kestabilan titik kesetimbangan mempunyai tiga sifat sebagai berikut:
1. Stabil, jika
a. Setiap nilai eigen real adalah negatif (
untuk semua j).
b. Ada komponen bagian real dari nilai eigen kompleks bernilai nol (Re
untuk suatu j ) dan Re
untuk suatu
.
2. Takstabil, jika
a. Ada nilai eigen real yang positif (
untuk suatu j).
b. Ada komponen bagian real dari nilai eigen kompleks, lebih besar dari nol
(Re
untuk suatu j )
(Tu 1994)
Kriteria Kestabilan Routh – Hurwitz
Kriteria Routh-Hurwitz adalah sebuah prosedur analitik ketika nilai eigen
persamaan karakteristik tidak dapat ditentukan dengan mudah. Misal matriks J
pada persamaan (3) berukuran
, maka persamaan karakteristiknya adalah
. Didefinisikan k buah matriks sebagai
berikut:
4
dengan syarat setiap unsur (l,m) pada matriks Hk adalah
Dengan demikian, titik tetap stabil jika dan hanya jika det Hj > 0, untuk
setiap j = 1, 2, ..., k.
Untuk k = 2, 3, 4, maka berdasarkan kriteria Routh-Hurtwitz titik tetap
stabil jika dan hanya jika
(Edelstein-Keshet 1988)
Bilangan Reproduksi Dasar
Bilangan reproduksi dasar dinotasikan dengan
merupakan suatu ukuran
potensi penyebaran penyakit dalam suatu populasi. Bilangan reproduksi dasar
didefinisikan sebagai nilai harapan banyaknya populasi rentan yang menjadi
terinfeksi selama masa infeksi berlangsung.
Kondisi yang dapat terjadi adalah
1. Jika
, maka satu nyamuk terinfeksi akan menginfeksi kurang dari satu
manusia rentan atau satu manusia terinfeksi akan menginfeksi kurang dari satu
nyamuk rentan, sehingga penyakit DBD akan hilang dari populasi.
2. Jika
, maka satu nyamuk terinfeksi akan menginfeksi lebih dari satu
manusia rentan atau satu manusia terinfeksi akan menginfeksi lebih dari satu
nyamuk rentan, sehingga penyakit DBD akan bertahan di dalam populasi.
(van den Driessche dan Watmough 2002)
5
MODEL PENYEBARAN PENYAKIT DBD
Penyebaran Virus Demam Berdarah Dengue (DBD)
DBD adalah penyakit yang disebabkan oleh virus dengue yang ditularkan
melalui gigitan nyamuk Aedes Aegypti dan Aedes albopictus. Virus DBD
memerlukan waktu 8 sampai 10 hari untuk menyelesaikan masa inkubasi virus
dengue dari lambung ke kelenjar ludah nyamuk. Pada daerah-daerah di mana
terjadi perubahan suhu dalam setiap suhunya, transmisi virus demam berdarah
selalu berkurang pada suhu rendah. Contohnya mewabahnya virus pada demam
berdarah di daerah dingin berhenti pada suhu yang turun ke
pada awal
suhu dingin. Hal ini disebabkan masa inkubasi ekstrinsik didalam suhu rendah itu
adalah lebih lama dari masa inkubasi ekstrinsik di dalam suhu yang tinggi,
padahal rata-rata hidup nyamuk 14 hari. Masa inkubasi ekstrinsik (Extrinsic
Incubation Period – EIP) adalah masa di mana mulai saat masuknya gametosit ke
dalam tubuh nyamuk sampai terjadinya stadium sporogami dalam nyamuk yaitu
terbentuknya sporozoid yang kemudian masuk ke dalam kelenjar liur, atau dengan
kata lain masa sampai virus bisa ditularkan oleh nyamuk. Nyamuk-nyamuk tidak
pernah sembuh dari infeksi karena terinfeksi mereka berakhir dengan kematian
(Gubler 1998).
Penularan virus ini dapat dikelompokkan menjadi dua mekanisme.
Mekanisme pertama, transmisi vertikal dalam tubuh nyamuk, di mana virus dapat
ditularkan oleh nyamuk betina pada telurnya dan juga dapat ditularkan dari
nyamuk jantan ke nyamuk betina melalui kontak seksual, tetapi tidak berlaku
sebaliknya (Malavige et al. 2004). Mekanisme kedua, transmisi dari nyamuk ke
dalam tubuh manusia dan sebaliknya. Penularan dari manusia kepada nyamuk
hanya dapat terjadi bila nyamuk menggigit manusia yang sedang mengalami
viremia, yaitu 2 hari sebelum panas sampai 5 hari setelah demam timbul. Setelah
virus berada dalam tubuh nyamuk, virus yang sampai ke dalam lambung nyamuk
akan berkembang biak, kemudian akan migrasi yang akhirnya akan sampai di
kelenjar ludah memerlukan waktu 8-10 hari untuk menyelesaikan masa inkubasi
ekstrinsik. Virus yang berada pada lokasi ini setiap saat sudah dapat ditularkan
kembali kepada manusia.
Model Matematika Penyebaran DBD
Populasi manusia dibagi menjadi tiga kelas, yaitu kelas yang rentan
(susceptible) di mana manusia dalam populasi tidak terinfeksi tetapi berisiko
terinfeksi virus, kelas yang terinfeksi (infected) di mana manusia telah terinfeksi
dan dapat menularkannya, dan kelas yang disembuhkan (recovered) di mana
manusia tidak bisa lagi terjangkit penyakit ini karena telah disembuhkan.
Populasi nyamuk dibedakan menjadi dua kelas yaitu nyamuk yang rentan
(susceptible) di mana nyamuk dalam populasi tidak terinfeksi tetapi berisiko
terinfeksi virus, kelas yang terinfeksi (infected) di mana nyamuk yang terinfeksi
dan dapat menularkannya
Pada bagian ini akan dibahas persamaan model DBD, penentuan titik tetap,
dan analisis kestabilan titik tetap.
6
Persamaan Model Peyebaran virus DBD
Model penyebaran virus DBD menggunakan asumsi:
1. Total populasi nyamuk dan total populasi manusia adalah konstan sehingga
laju kelahiran sama dengan laju kematian.
2. Populasi manusia dan nyamuk adalah populasi yang tertutup.
3. Rata-rata gigitan nyamuk pada manusia per hari
adalah konstan.
4. Nyamuk tidak pernah sembuh setelah terinfeksi.
Skema yang menggambarkan pola penyebaran penyakit demam berdarah dengue
dalam model SIR diberikan oleh Gambar 1.
Keterangan:
perpindahan
pengaruh
Gambar 1 Skema Penyebaran penyakit DBD
Dari asumsi-asumsi tersebut, proporsi perpindahan manusia rentan
ke
manusia terinfeksi
dipengaruhi oleh peluang kontak antara nyamuk terinfeksi
dengan manusia rentan
, dengan nilai peluang transmisi virus dari
dengan banyaknya inang yang menjadi
nyamuk terinfeksi ke manusia rentan
sumber makanan nyamuk
dikalikan dengan rata-rata gigitan nyamuk pada
manusia per hari
, dinyatakan sebagai berikut:
. manusia terinfeksi setiap
hari yang meninggal secara alami sebanyak
.
Proporsi perpindahan nyamuk rentan
akibat menggigit manusia
terinfeksi
per hari dipengaruhi oleh nilai peluang transmisi virus demam
berdarah dari manusia ke nyamuk
dengan banyaknya inang yang menjadi
sumber makanan nyamuk
dikalikan dengan rata-rata gigitan nyamuk pada
manusia per hari
dan banyaknya manusia yang terinfeksi
, dinyatakan
Nyamuk rentan mati secara alami sebanyak
per hari.
sebagai berikut:
7
Skema Gambar 1 dapat dimodelkan menggunakan sistem persamaan
diferensial:
(6)
dengan
sehingga:
(7)
di mana:
: total populasi manusia,
: total populasi nyamuk,
: manusia sembuh
: laju kelahiran manusia (per hari),
: laju kelahiran nyamuk.
: laju kematian manusia.
: laju kematian nyamuk.
: rata-rata gigitan nyamuk pada manusia (per hari),
: peluang transmisi virus demam berdarah dari nyamuk ke manusia,
: peluang transmisi virus demam berdarah dari manusia ke nyamuk,
: laju kesembuhan manusia terinfeksi (per hari).
Sistem persamaan (6) dan kondisi (7) dapat disederhanakan dengan pemisalan
,
,
,
, dan
, maka diperoleh sistem
persamaan:
(9)
di mana
,
dengan tiga kondisi
, dan
.
8
Model Matematika Penyebaran DBD dengan Pengaruh Suhu (PS)
Pada model yang kedua, diasumsikan bahwa hanya nyamuk terinfeksi yang
dapat menularkan virus pada populasi manusia. Misalkan c merupakan banyak
nyamuk terinfeksi yang belum menularkan penyakit.
Keterangan:
perpindahan
pengaruh
Gambar 2 Skema Penyebaran penyakit DBD dengan pengaruh suhu
Skema Gambar 2 dapat dituliskan dalam sistem persamaan diferensial
sebagai berikut
(9)
Variasi di dalam masa inkubasi ekstinstik disebabkan oleh perubahanperubahan suhu, semakin rendah suhu masa inkubasi semakin lama ini adalah
penyebab pola suhu dalam penyebaran penyakit demam berdarah. Pada kasus ini
pengaruh suhu masuk kedalam sistem persamaan (Pongsumpun 2006) karena
bergantung pada c, sehingga fraksi nyamuk yang terinfeksi dituliskan sebagai:
di mana adalah periode masa inkubasi virus di dalam nyamuk (dalam hari).
Selanjutnya, subtitusi ke dalam peluang transmisi penyebaran virus dari nyamuk
9
ke manusia
.
sinusoidal sedemikian, sehingga
ini dapat dinyatakan sebagai suatu variasi
(Pongsumpun 2006)
di mana adalah ukuran pengaruh suhu pada proses transmisi. Dengan demikian
model matematika karena pengaruh suhu dapat dinyatakan oleh persamaan
diferensial sebagai berikut:
(10)
Sistem persamaan (10) dapat disederhanakan dengan pemisalan
,
, dan
,
,
, maka diperoleh sistem persamaan:
(11)
di mana
,
, dan
dengan tiga kondisi
Penentuan Titik Tetap
Titik tetap diperoleh dengan menyelesaikan sistem persamaan (8) dari
sehingga sistem persamaan (8) menjadi:
(12)
Sistem persamaan (8) memiliki dua jenis titik tetap, yaitu titik tetap tanpa
penyakit dan titik tetap endemik. Titik tetap tanpa penyakit yang memuat nilai
10
, sedangkan titik tetap endemik yang memuat nilai
. Diperoleh titik tetap tanpa penyakit, yaitu
dan titik tetap endemik, yaitu
dengan
(13)
Untuk penyederhanaan, dituliskan
Titik tetap tanpa penyakit sistem persamaan diferensial Model Pengaruh
Suhu (11) adalah
dan titik tetap endemik, yaitu
dengan
(14)
untuk penyederhanaan, dituliskan
Penentuan titik-titik tetap di atas dapat dilihat pada Lampiran 2.
Analisis Kestabilan Titik Tetap
Analisis kestabilan akan dilakukan Model Penyebaran DBD (9) dan Model
PS (12). Analisis kestabilan di sekitar titik tetap ditentukan dengan langkahlangkah sebagai berikut:
1. Menentukan matriks Jacobi sistem persamaan diferensial.
2. Menentukan matriks Jacobi pada titik tetap.
3. Menentukan nilai eigen
, dengan menyelesaikan
. Jika
semua nilai eigennya real negatif maka titik tetap tersebut stabil, jika nilai
eigennya tidak mudah untuk diselesaikan maka digunakan kriteria RouthHurwitz.
Perilaku di Sekitar Titik Tetap
Model Penyebaran DBD
Misalkan sistem persamaan (12) ditulis sebagai
(15)
11
Dengan melakukan pelinearan terhadap sistem persamaan (11), diperoleh
matriks Jacobi
(16)
Kestabilan dari suatu titik tetap dapat dilihat dari nilai eigennya. Nilai eigen
sendiri dapat dicari dari persamaan karakteristik yang merupakan determinan dari
matriks Jacobi. Selanjutnya, kestabilan di sekitar titik tetap diperiksa. Titik tetap
disubtitusikan ke dalam persamaan matriks Jacobi persamaan (16),
sehingga dihasilkan matriks Jacobi
(17)
Dengan menyelesaikan persamaan karakteristik det
nilai eigen untuk matriks
, yaitu:
, diperoleh
Karena semua parameter bernilai positif, maka
. Nilai eigen kedua dan
ketiga bergantung pada nilai
dan
dengan persamaan
Titik tetap bebas penyakit bersifat stabil jika
persamaan
sehingga diperoleh
(18)
Titik tetap bebas penyakit bersifat sadel jika
persamaan
sehingga diperoleh
(19)
Dari persamaan (19) dan (20) diperoleh bilangan reproduksi dasar sebagai berikut
(20)
Titik tetap tanpa penyakit bersifat stabil jika
.
dan bersifat takstabil jika
12
Perilaku di Sekitar Titik Tetap
Model Penyebaran DBD
Menentukan kestabilan titik tetap endemik dilakukan menyubtitusikan
ke dalam matriks Jacobi, sehingga dihasilkan matriks Jacobi
Sistem akan stabil jika semua nilai eigen yang diperoleh oleh matriks Jacobi
mempunyai bilangan real negatif. Nilai eigen matriks Jacobi dapat ditentukan
dengan menyelesaikan det
. Denagn demikian diperoleh
persamaan karakteristik dari
, yaitu
(21)
dengan
yaitu
Nilai eigen
dari persamaan (15) sulit ditentukan, maka kestabilan di
sekitar titik tetap
akan diselidiki dengan menggunakan kriteria Routh-Hurwitz.
Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz kestabilan sistem pada titik tetap
akan stabil jika dan hanya jika memenuhi syarat-syarat berikut:
Berdasarkan kondisi tersebut, jika
maka diperoleh
. Dengan demikian kriteria Routh-Hurwitz terpenuhi jika
, dengan kata lain titik tetap
stabil jika
. Nilai
adalah nilai bilangan reproduksi dasar penyebaran penyakit DBD.
13
Perilaku di Sekitar Titik Tetap
Model PS
Misalkan sistem persamaan (15) ditulis sebagai
(22)
Dengan melakukan pelinearan terhadap sistem persamaan (15), diperoleh
matriks Jacobi
(23)
Kestabilan dari suatu titik tetap dapat dilihat dari nilai eigennya. Nilai eigen
sendiri dapat dicari dari persamaan karakteristik yang merupakan determinan dari
matriks Jacobi. Selanjutnya, kestabilan di sekitar titik tetap diperiksa.
Titik tetap
disubtitusikan ke dalam persamaan matriks Jacobi
persamaan (23), sehingga dihasilkan matriks Jacobi
(24)
Dengan menyelesaikan persamaan karakteristik det
nilai eigen untuk matriks
, yaitu:
Karena semua parameter bernilai positif, maka
ketiga bergantung pada nilai
dan
, diperoleh
. Nilai eigen kedua dan
dengan persamaan
Titik tetap bebas penyakit bersifat stabil jika
persamaan
sehingga diperoleh
(25)
Titik tetap bebas penyakit bersifat sadel jika
persamaan
sehingga diperoleh
14
(26)
Dari persamaan (25) dan (26) diperoleh bilangan reproduksi dasar sebagai berikut
(27)
Titik tetap tanpa penyakit bersifat stabil jika
dan bersifat takstabil jika
. Nilai bilangan reproduksi dasar diberikan oleh Teorema 2.
Perilaku di Sekitar Titik Tetap
Model PS
Menentukan kestabilan titik tetap endemik dilakukan menyubtitusikan
ke dalam matriks Jacobi, sehingga dihasilkan matriks Jacobi
.
Sistem akan stabil jika semua nilai eigen yang diperoleh oleh matriks Jacobi
mempunyai bilangan real negatif. Nilai eigen matriks Jacobi dapat ditentukan
dengan menyelesaikan det
. Dengan demikian diperoleh
persamaan karakteristik dari
, yaitu
(28)
dengan
yaitu
Nilai eigen
dari persamaan (22) sulit ditentukan, maka kestabilan di
sekitar titik tetap
akan diselidiki dengan menggunakan kriteria Routh-Hurwitz.
Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz kestabilan sistem pada titik tetap
akan stabil jika dan hanya jika memenuhi syarat-syarat berikut:
15
Berdasarkan kondisi tersebut, jika
maka diperoleh
. Dengan demikian kriteria Routh-Hurwitz terpenuhi jika
, dengan kata lain titik tetap
stabil jika
. Nilai
adalah nilai bilangan reproduksi dasar penyebaran penyakit DBD.
SIMULASI NUMERIK
Salah satu tujuan dalam karya ilmiah ini adalah melakukan simulasi
numerik pada model penyebaran DBD. Simulasi ini dilakukan karena pengamatan
terhadap sistem sulit dilakukan secara langsung dan dapat mempermudah untuk
dipelajari hal-hal yang terjadi dalam dinamika populasi.
Simulasi dilakukan merujuk pada analisis kestabilan yang telah dilakukan
sebelumnya. Simulasi dilakukan untuk melihat kestabilan di sekitar titik tetap
tanpa penyakit ketika
dan stabil di sekitar titik tetap endemik ketika
. Simulasi juga dibuat dengan melakukan perubahan rata-rata gigitan
nyamuk per hari (b).
Nilai Parameter
Nilai-nilai parameter yang akan dimasukkan dalam simulasi adalah
yaitu laju kematian populasi manusia dengan
per hari
sesuai dengan harapan hidup manusia 70 tahun. Nilai laju kelahiran populasi
manusia
sesuai dengan asumsi awal, yaitu sama dengan laju kematian
populasi manusia. Rata-rata hidup nyamuk adalah 14 hari (Pongsumpun 2006),
maka laju kematian nyamuk
per hari. Laju kematian sama
dengan laju kelahiran (
Nilai parameter seluruhnya ditunjukkan pada
Tabel 1.
Tabel 1 Nilai-nilai Parameter
Parameter
Definisi
Nilai
Laju kelahiran manusia per hari
0.0000391
Laju kelahiran nyamuk per hari
0.071
Laju kematian manusia per hari
0.0000391
Laju kematian nyamuk per hari
0.071
Peluang transmisi virus demam berdarah dari 0.5
nyamuk ke manusia
Peluang transmisi virus demam berdarah dari 0.7
manusia ke nyamuk
Rata-rata gigitan nyamuk per hari
0.6*
0.07**
Laju kesembuhan manusia terinfeksi per hari
1/3
Perbandingan populasi nyamuk dengan populasi 10
manusia
Ket: *Nilai b untuk
**Nilai b untuk
16
Hasil Simulasi
Simulasi ini dilakukan dengan syarat awal bahwa terdapat sejumlah
populasi individu dan nyamuk yang sudah terinfeksi. Nilai-nilai parameter pada
Tabel 1 disubtitusikan ke sistem persamaan dengan nilai
Proporsi awal populasi individu rentan
(0), manusia terinfeksi
(0)]= 0.3, dan nyamuk terinfeksi
.
Kasus 1 : Dinamika populasi manusia dan nyamuk untuk kondisi
Gambar 3 Proporsi manusia rentan
tanpa dan dengan pengaruh suhu untuk
Gambar 3 menunjukkan bahwa dinamika populasi manusia rentan pada
model tanpa pengaruh suhu ini meningkat dan sebaliknya model dengan pengaruh
suhu menurun. Hal ini disebabkan karena pada saat kondisi ini penyakit tidak
mewabah sehingga dengan pengaruh suhu proporsi manusia rentan menjadi
menurun.
Gambar 4 Proporsi manusia terinfeksi
tanpa dan dengan pengaruh suhu untuk
Gambar 4 menunjukkan bahwa dinamika populasi manusia terinfeksi pada
model tanpa pengaruh suhu ini menurun ke nilai stabil dan model dengan
pengaruh suhu menurun lebih cepat dan menuju nilai yang lebih rendah. Hal ini
disebabkan karena pada saat kondisi ini penyakit tidak mewabah sehingga dengan
pengaruh suhu proporsi manusia rentan menjadi menurun lebih cepat dengan nilai
yang lebih rendah.
17
Gambar 5 Proporsi manusia sembuh
tanpa dan dengan pengaruh suhu untuk
Gambar 5 menunjukkan bahwa dinamika populasi manusia sembuh pada
model tanpa pengaruh suhu ini menurun dan sebaliknya model dengan pengaruh
suhu meningkat. Hal ini disebabkan karena pada saat kondisi ini penyakit tidak
mewabah sehingga dengan pengaruh suhu proporsi manusia rentan menjadi
meningkat.
Gambar 6 Proporsi nyamuk rentan
tanpa dan dengan pengaruh suhu untuk
Gambar 6 menunjukkan bahwa dinamika populasi nyamuk rentan pada
model pengaruh suhu ini meningkat lebih cepat dibandingkan model tanpa
pengaruh suhu. Hal ini disebabkan karena pada saat kondisi penyakit tidak
mewabah populasi nyamuk rentan menjadi banyak karena pada model pengaruh
suhu nyamuk menjadi banyak tetapi belum tentu menularkan penyakitnya.
Gambar 7 Proporsi nyamuk terinfeksi
tanpa dan dengan pengaruh suhu untuk
18
Gambar 7 menunjukkan bahwa dinamika populasi nyamuk terinfeksi pada
model pengaruh suhu lebih cepat menuju nilai stabil daripada model tanpa
pengaruh suhu, hal ini pada kondisi penyakit belum mewabah.
Kasus 2 : Dinamika populasi manusia dan nyamuk untuk kondisi
Gambar 8 Proporsi manusia rentan
tanpa dan dengan pengaruh suhu untuk
Gambar 8 menunjukkan bahwa dinamika populasi manusia rentan pada
model tanpa pengaruh suhu terus menurun lebih cepat daripada model dengan
pengaruh suhu. Hal ini disebabkan pada kondisi model tanpa pengaruh suhu
penyakit ini mulai mewabah.
Gambar 9 Proporsi manusia terinfeksi
tanpa dan dengan pengaruh suhu untuk
Gambar 9 menunjukkan bahwa dinamika populasi manusia terinfeksi pada
model tanpa pengaruh suhu meningkat lebih cepat lalu turun landai menuju nilai
stabil dalam kondisi penyakit mewabah dibandingkan dengan model pengaruh
suhu yang terus turun landai lebih cepat.
19
Gambar 10 Proporsi manusia sembuh
tanpa dan dengan pengaruh suhu untuk
Gambar 10 menunjukkan bahwa dinamika populasi manusia sembuh pada
model dengan pengaruh suhu lebih cepat meningkat daripada model pengaruh
suhu. Hal ini disebabkan dinamika populasi tanpa pengaruh suhu pada saat
kondisi penyakit mewabah.
Gambar 11 Proporsi nyamuk rentan
tanpa dan dengan pengaruh suhu untuk
Gambar 11 menunjukkan bahwa dinamika populasi nyamuk rentan pada
model dengan pengaruh suhu ini meningkat dan sebaliknya model tanpa pengaruh
suhu menurun menuju nilai stabil. Hal ini disebabkan karena pada saat kondisi
model tanpa pengaruh suhu penyakit mulai mewabah sehingga proporsi nyamuk
rentan mulai menurun.
Gambar 12 Proporsi nyamuk terinfeksi
untuk
tanpa dan dengan pengaruh suhu
Gambar 12 menunjukkan bahwa dinamika populasi nyamuk terinfeksi pada
model tanpa pengaruh suhu ini meningkat kemudian turun menuju niali stabil dan
sebaliknya model dengan pengaruh suhu menurun drastis. Hal ini disebabkan
20
karena pada model tanpa pengaruh suhu kondisi penyakit mewabah sedangkan
pada model pengaruh suhu tidak mewabah.
Kasus 3 : Dinamika populasi manusia dan nyamuk untuk kondisi
Gambar 13 Proporsi manusia rentan
tanpa dan dengan pengaruh suhu untuk
Gambar 13 menunjukkan bahwa ketika kondisi penyakit mewabah,
dinamika populasi manusia rentan pada model dengan pengaruh suhu lebih cepat
menurun menuju nilai stabil dibandingkan dengan model tanpa pengaruh suhu.
Gambar 14 Proporsi manusia terinfeksi
untuk
tanpa dan dengan pengaruh suhu
Gambar 14 menunjukkan bahwa dinamika populasi manusia terinfeksi pada
model pengaruh suhu menigkat lalu menurun lebih cepat dibandingkan dengan
model tanpa pengaruh suhu, hal ini disebabkan kondisi penyakit mewabah.
Gambar 15 Proporsi manusia sembuh
untuk
tanpa dan dengan pengaruh suhu
21
Gambar 15 menunjukkan bahwa dinamika populasi manusia sembuh pada
model dengan pengaruh suhu lebih cepat berosilasi menuju niali stabil
dibandingkan dengan model tanpa pengaruh suhu, hal ini disebabkan kondisinya
penyakit mewabah.
Gambar 16 Proporsi nyamuk rentan
tanpa dan dengan pengaruh suhu untuk
Gambar 16 menunjukkan bahwa dinamika populasi nyamuk rentan pada
model pengaruh suhu menurun lalu meningkat lebih cepat daripada model tanpa
pengaruh suhu pada kondisi penyakit mewabah.
Gambar 17 Proporsi nyamuk terinfeksi
untuk
tanpa dan dengan pengaruh suhu
Gambar 17 menunjukkan bahwa dinamika populasi nyamuk terinfeksi pada
model pengaruh suhu meningkat lalu menurun lebih cepat dan rendah daripada
model tanpa pengaruh suhu pada kondisi penyakit mewabah.
22
Kasus 4: Dinamika populasi manusia dan nyamuk dengan mengubah nilai
rata-rata gigitan nyamuk
(a)
Gambar 18 Proporsi manusia rentan
pengaruh suhu (b)
(b)
pada model tanpa (a) dan dengan
Gambar 18 menunjukkan bahwa dinamika populasi manusia rentan pada
model tanpa dan dengan pengaruh suhu terus menurun dengan rata-rata ggigitan
nyamuk terinfeksi, ini artinya makin mewabahnya panyakit maka populasi
manusia rentan semakin menurun.
(a)
Gambar 19 Proporsi manusia terinfeksi
pengaruh suhu (b)
(b)
pada model tanpa (a) dan dengan
Gambar 19 menunjukkan bahwa dinamika populasi manusia terinfeksi
pada model tanpa dan dengan pengaruh suhu akan meningkat seiring dengan
meningkatnya rata-rata gigitan nyamuk terinfeksi yang artinya mewabahnya
penyakit ini menyebabkan manusia terinfeksi semakin banyak.
(a)
Gambar 20 Proporsi manusia sembuh
pengaruh suhu (b)
(b)
pada model tanpa (a) dan dengan
23
Gambar 20 menunjukkan bahwa dinamika populasi manusia sembuh pada
model tanpa dan dengan pengaruh suhu akan meningkat seiring makin besarnya
rata-rata gigitan nyamuk terinfeksi, ini artinya mewabahnya penyakit
mengakibatkan manusia menjadi sembuh menjadi banyak setelah terinfeksi.
(a)
(b)
Gambar 21 Proporsi nyamuk rentan
pada model tanpa (a) dan dengan
pengaruh suhu (b)
Gambar 21 menunjukkan bahwa dinamika populasi nyamuk rentan pada
model tanpa dan dengan pengaruh suhu dengan semakin rendah rata-rata gigitan
nyamuknya (b) semakin meningkat populasinya pada kondisi penyakit mewabah.
(a)
Gambar 22 Proporsi nyamuk terinfeksi
pengaruh suhu (b)
(b)
pada model tanpa (a) dan dengan
Gambar 22 menunjukkan bahwa dinamika populasi nyamuk terinfeksi pada
model tanpa dan dengan pengaruh suhu dengan semakin rendah rata-rata gigitan
nyamuknya (b) semakin menurun populasinya pada kondisi penyakit mewabah.
Rata-rata gigitan nyamuk (b) juga memengaruhi nilai bilangan reproduksi
dasar yang menyatakan mewabahnya penyakit, di mana semakin besar nilai ratarata gigitan nyamuk (b) semakin mewabahnya penyakit. Hal ini dibuktikan pada
Lampiran 5.
24
SIMPULAN
Berdasarkan hasil pembahasan, dapat disimpulkan hasil analisis yang telah
dilakukan pada model penyebaran penyakit DBD tanpa dan dengan pengaruh
suhu diperoleh dua titik tetap yaitu titik tetap tanpa penyakit
dan titik tetap endemik
dengan
adalah proporsi
manusia rentan,
adalah proporsi manusia terinfeksi, dan
adalah proporsi
nyamuk terinfeksi. Pada titik tetap
, populasi hanya terdiri dari proporsi
manusia rentan saja. Sedangkan pada titik tetap , populasi terdiri dari tiga kelas.
Analisis kestabilan bergantung pada nilai
, dengan
adalah bilangan
reproduksi dasar. Jika
, maka titik tetap
bersifat stabil. Pada titik tetap
bersifat stabil jika
Bilangan reproduksi dasar ini menentukan mewabah atau tidaknya suatu
penyakit. Hasil simulasi menunjukkan bahwa peningkatan suhu mengakibatkan
naik sehingga penyebaran penyakit DBD semakin mewabah. Hasil
simulasinya lainnya diperoleh bahwa peningkatkan rata-rata gigitan nyamuk
memberikan dampak terhadap populasi manusia. Populasi manusia rentan akan
semakin menurun seiring dengan semakin besar rata-rata gigitan nyamuk
sedangkan populasi manusia terinfeksi akan semakin naik. Sementara populasi
nyamuk terinfeksi akan semakin menurun apabila rata-rata gigitan nyamuk
semakin kecil. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa semakin besar nilai
rata-rata gigitan nyamuk, penyebaran penyakit akan mewabah.
25
DAFTAR PUSTAKA
Anton H, Rorres C. 2004. Aljabar Linear Elementer. Ed ke-8. Indriasari R,
Harmein I, Penerjemah. Jakarta (ID): Erlangga.
Edelstein, Keshet L. 1988. Mathematical Models in Biology. New York (US):
Random House.
Gubler DJ. 1998. Dengue and Dengue Hemorhagic Fever. Clinical Microbiology
Review 11: 450-496.
Kemenkes RI. 2010. Epidemilogi (Demam Berdarah Dengue).[Internet]. [diacu
15 Maret 2015].
Tersedia dari: http://www.depkes.go.id/folder/view/01/structure-publikasipusdatin-buletin.html
Kuno, G. 1995. Review of the factors modulating dengue transmission.
Epidemiology Review, 17, 321-335.
Malavige GN, Fernando S, Fernando DJ, Seneviratne SL. 2004. Dengue viral
infections. Postgrad Med J. 80:588–601. doi: 10.1136/pgmj.2004.019638.
Nuraini N, Soewono E, Sidarto KA. 2007. A mathematical model of dengue
internal transmission process. J. Indones. Math. Soc. (MIHMI) 13(1): 123- 132.
Pongsumpun P. 2006. Transmission model for dengue disease with and without
the effect of extinstic period. KMITL Sci. Tech. J. 6: 74-82
Tu PNV. 1994. Dynamical System, An Introduction with Applications in
Economics and Biology. New York (US): Springer-Verlag
van den Driessche P, Watmough J. 2002. Reproduction numbers and subthreshold endemic equilibria for compartmental models of disease
transmission. Matehmatical Biosciences. 180: 29-48. PII: S00255564(02)00108-6.
[WHO] World Health Organization. 2009. Dengue and dengue hemorhagic fever
[internet]. [diacu 10 Maret 2015]. Tersedia dari: http://www.who.int
/mediacentre/ factsheets/ fs117/en/ index.html.
26
Lampiran 1
Penyederhanaan Persamaan 7
27
Lampiran 2
Penentuan Titik Tetap
dan
28
Penentuan titik tetap sistem persamaan diferensial (15) dengan
Karena
,
, dan
, maka diperoleh
(a)
(b)
(c)
Dari (a), (b), dan (c)
29
30
Lampiran 3
Kondisi
Dinamika Populasi manusia dan nyamuk
31
32
Lampiran 4 Proporsi populasi manusia dan nyamuk dengan mengubah nilai ratarata gigitan nyamuk (b)
33
34
Lampiran 5
Hubungan rata-rata gigitan nyamuk (b) dengan nilai bilangan
reproduksi
.
.
.
.
.
35
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Ciamis pada tanggal 12 Oktober 1992, anak pertama
dari tiga bersaudara, anak dari Bapak Alm. Hamidi R Zakaria dan Ibu Irun
Suswendarwati. Tahun 2010 Penulis lulus dari SMAN 4 Bogor dan pendidikan di
Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
(FMIPA), Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Masuk
IPB (USMI). Selama menjadi mahasiswa IPB, penulis juga aktif menjadi anggota
himpunan profesi Gugusan Mahasiswa Matematika (Gumatika) IPB sebagai
anggota Divisi Kewirausahaan pada periode 2012-2013. Penulis juga pernah
menjadi panitia di berbagai acara yang diselenggarakan oleh Gugus Mahasiswa
Matematika (Gumatika) dan FMIPA IPB.
PENYAKIT DEMAM BERDARAH DENGAN
PENGARUH SUHU
OKTAVIA AINI ZAKARIA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Analisis Kestabilan
Model Penyebaran Penyakit Demam Berdarah dengan Pengaruh Suhu adalah
benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan
dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang
berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari
penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di
bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Maret 2016
Oktavia Aini Zakaria
NIM G54100051
ABSTRAK
OKTAVIA AINI ZAKARIA. Analisis Kestabilan Model Penyebaran Penyakit
Demam Berdarah dengan Pengaruh Suhu. Dibimbing oleh ALI KUSNANTO dan
N K KUTHA ARDANA.
Dalam tulisan ini dipelajari model penyebaran penyakit DBD yang
melibatkan nyamuk Aedes Aegypti. Populasi manusia dikelompokkan dalam tiga
kompartemen, yakni rentan (S), terinfeksi (I) dan sembuh (R), sementara populasi
nyamuk dikelompokan dalam dua kompartemen, yakni rentan (S) dan terinfeksi
(I). Model yang disusun oleh Pongsumpun (2006) ini dimodifikasi dengan
menambahkan pengaruh suhu ke dalam persamaan diferensialnya. Dihasilkan dua
titik tetap, yaitu titik tetap tanpa penyakit dan titik tetap endemik. Analisis
kestabilan bagi titik tetap tersebut ditentukan menggunakan kriteria RouthHurtwiz dan dihasilkan bilangan reproduksi dasar
. Jika
, maka titik
tetap tanpa penyakit bersifat stabil sedangkan jika
, maka titik tetap
endemik bersifat stabil. Peningkatan suhu mengakibatkan
naik sehingga
penyebaran penyakit DBD semakin mudah mewabah dan semakin besar nilai ratarata gigitan nyamuk juga menyebabkan penyebaran penyakit DBD mewabah.
Pada bagian akhir dilakukan
simulasi dengan menggunakan software
Mathematica.
Kata kunci: Analisis kestabilan, bilangan reproduksi dasar, kriteria RouthHurtwiz.
ABSTRACT
OKTAVIA AINI ZAKARIA. Stability Analysis of Transmission Model of
Dengue Fever with Temperature Effect. Supervised by ALI KUSNANTO dan N
K KUTHA ARDANA.
This manuscript studied the spread of dengue hemorrhagic fever (DHF)
models involving the mosquito Aedes Aegypti. The human population is grouped
into three compartments, namely susceptible (S), infected (I) and recovery (R),
while the mosquito population is classified into two compartments, namely
susceptible (S) and infected (I). The model which was developed by Pongsumpun
(2006) has been modified by adding the influence of temperature into a
differential equation. This model produced two equilibrium points, namely the
non-disease and endemic states. Analysis of stability of those equilibrium points
were determined by using the Routh-Hurtwiz criterion and produced the basic
reproduction number
. If
, then the non-disease equilibrium is stable
whereas if
, then the endemic equilibrium is stable. The increase of
which is caused by higher temperature, as well as the increase of average number
of mosquito bites, influence the endemic of dengue. At the end a simulation using
Mathematica software was done.
Keywords: Basic reproduction number, Routh-Hurtwiz criterion, stability
analysis.
ANALISIS KESTABILAN MODEL PENYEBARAN
PENYAKIT DEMAM BERDARAH DENGAN
PENGARUH SUHU
OKTAVIA AINI ZAKARIA
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Februari 2015 ini ialah
Analisis Kestabilan Model Penyebaran Penyakit Demam Berdarah dengan
Pengaruh Suhu.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Drs Ali Kusnanto, MSi dan
Bapak Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc selaku pembimbing, serta Bapak
Dr Paian Sianturi sebagai penguji yang telah banyak memberi saran. Ungakapan
terima kasih dan penghargaan penulis sampaikan kepada Ibu Irun Suswendarwati
yang memberikan semangat, dan doa tiada henti. Di samping itu, ungkapan terima
kasih juga disampaikan kepada Azan, Rizki, Ekki, Matematika 47, staff TU
Matematika dan teman-teman atas doa dan dukungannya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Maret 2016
Oktavia Aini Zakaria
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
2
LANDASAN TEORI
2
Sistem Persamaan Diferensial
2
Titik Tetap
2
Pelinearan
2
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
3
Kestabilan Titik Tetap
3
Kriteria Routh-Hurwitz
3
Bilangan Reproduksi Dasar
4
MODEL PENYEBARAN DBD
5
Penyebaran Virus Demam Berdarah Dengue (DBD)
5
Model Matematika Penyebaran DBD
5
Persamaan Model Penyebaran virus DBD
6
Model Matematika Penyebaran DBD dengan Pengaruh Suhu
8
Penentuan Titik Tetap
9
Analisis Kestabilan Titik Tetap
Perilaku di Sekitar Titik Tetap
Perilaku di Sekitar Titik Tetap
Perilaku di Sekitar Titik Tetap
Perilaku di Sekitar Titik Tetap
10
Model Penyebaran DBD
Model Penyebaran DBD
Model PS
Model PS
SIMULASI NUMERIK
10
12
13
14
15
Nilai Parameter
15
Hasil Simulasi
16
Kasus 1: Dinamika populasi manusia dan nyamuk untuk kondisi
16
Kasus 2: Dinamika populasi manusia dan nyamuk untuk kondisi
18
Kasus 3: Dinamika populasi manusia dan nyamuk untuk kondisi
20
Kasus 4: Dinamika populasi manusia dan nyamuk dengan mengubah
nilai rata-rata gigitan nyamuk
22
SIMPULAN
24
DAFTAR PUSTAKA
25
LAMPIRAN
26
RIWAYAT HIDUP
35
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Skema penyebaran penyakit DBD
Skema penyebaran penyakit DBD dengan pengaruh suhu
Proporsi manusia rentan
tanpa dan dengan pengaruh suhu
untuk
Proporsi manusia terinfeksi
tanpa dan dengan pengaruh suhu
untuk
Proporsi manusia sembuh
tanpa dan dengan pengaruh suhu
untuk
Proporsi nyamuk rentan
tanpa dan dengan pengaruh suhu
untuk
Proporsi nyamuk terinfeksi
tanpa dan dengan pengaruh suhu
untuk
Proporsi manusia rentan
tanpa dan dengan pengaruh suhu
untuk
Proporsi manusia terinfeksi
tanpa dan dengan pengaruh suhu
untuk
Proporsi manusia sembuh
tanpa dan dengan pengaruh suhu
untuk
Proporsi nyamuk rentan
tanpa dan dengan pengaruh suhu
untuk
Proporsi nyamuk terinfeksi
tanpa dan dengan pengaruh suhu
untuk
Proporsi manusia rentan
tanpa dan dengan pengaruh suhu
untuk
Proporsi manusia terinfeksi
tanpa dan dengan pengaruh suhu
untuk
Proporsi manusia sembuh
tanpa dan dengan pengaruh suhu
untuk
Proporsi nyamuk rentan
tanpa dan dengan pengaruh suhu
untuk
Proporsi nyamuk terinfeksi
tanpa dan dengan pengaruh suhu
untuk
Proporsi manusia rentan
pada model tanpa (a) dan dengan
pengaruh suhu (b)
Proporsi manusia terinfeksi
pada model tanpa (a) dan dengan
pengaruh suhu (b)
Proporsi manusia sembuh
pada model tanpa (a) dan dengan
pengaruh suhu (b)
Proporsi nyamuk rentan
pada model tanpa (a) dan dengan
pengaruh suhu (b)
Proporsi nyamuk terinfeksi
pada model tanpa (a) dan dengan
pengaruh suhu (b)
6
8
16
16
17
17
17
18
18
18
19
19
19
20
21
21
21
22
22
22
23
23
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
Penyederhanaan persamaan 7
Penentuan titik tetap
Dinamika populasi manusia dan nyamuk
Proporsi populasi manusia dan nyamuk dengan mengubah
nilai rata-rata gigitan nyamuk (b)
Hubungan rata-rata gigitan nyamuk (b) dengan nilai bilangan
reproduksi dasar
26
27
30
32
34
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Penyakit demam berdarah dengue banyak ditemukan di daerah tropis. Pada
awalnya ditemukan pertama kali di Manila, Filipina pada tahun 1953. Di
Indonesia penyakit ini pertama kali ditemukan di Surabaya pada tahun 1962. Pada
saat itu terjadi 58 orang terinfeksi dan 24 orang diantaranya meninggal dunia
dengan angka kematian (AK: 41.3%) sehingga pada akhirnya menyebar ke
seluruh Indonesia (Kemenkes RI 2010).
Demam berdarah dengue (DBD) atau Dengue haemorrhagic fever (DHF)
adalah penyakit yang disebabkan oleh virus dengue yang ditularkan melalui
gigitan nyamuk Aedes Aegypti dan Aedes albopictus. Penyakit ini memiliki empat
serotipe virus dengue, yaitu DEN-1, DEN-2, DEN-3 dan DEN-4 (WHO 2009).
Virus dengue yang dibawa oleh nyamuk Aedes Aegypti mencari inang untuk
ditempatinya. Ketika virus mendapatkan sel inang untuk melangsungkan
hidupnya, virus akan bereproduksi dan menghasilkan virus-virus baru. Masa
inkubasi (masa mulai saat penularan penyakit masuk ke dalam tubuh sampai saat
timbulnya penyakit) dari infeksi virus dengue ini berkisar 8 sampai 10 hari
(Nuraini et al. 2007).
Suhu transmisi untuk virus dengue di atas
dan tidak dapat tertularkan
pada suhu
. Pada daerah yang mana perubahan suhu sangat berpengaruh,
penularan virus dengue selalu berkurang pada saat suhu dingin. Contohnya,
wabah virus dengue di Australia berhenti karena suhu
pada awal suhu
dingin. Suhu juga dapat memengaruhi pematangan nyamuk, suhu yang tinggi
menghasilkan nyamuk betina kecil yang dipaksa untuk mengambil banyak darah
makanan untuk mendapatkan protein yang dibutuhkkan untuk produksi telur.
Suhu dan kelembaban dianggap memengaruhi periode inkubasi virus (Kuno
1995).
Populasi manusia dibagi menjadi tiga kelas, yaitu manusia yang rentan,
manusia yang terkena infeksi, dan manusia yang sembuh. Manusia yang rentan
adalah manusia yang bukan imun dan tidak terkena infeksi. Manusia yang terkena
infeksi adalah manusia yang terkena virus DBD dan dapat menularkan kepada
individu lain dengan perantara nyamuk. Manusia sembuh adalah manusia yang
sembuh dari penyakit dan tidak dapat tertular lagi. Populasi nyamuk dibedakan
menjadi dua kelas yaitu nyamuk yang rentan dan nyamuk yang terkena infeksi.
Nyamuk yang rentan adalah nyamuk yang rentan terhadap penyakit demam
berdarah dengue. Sedangkan nyamuk terinfeksi adalah nyamuk yang terkena
infeksi dan dapat menularkan kepada individu lain.
Dalam karya ilmiah ini, masa inkubasi dalam tubuh nyamuk (ekstinsik)
dipengaruhi oleh suhu. Oleh karena masa inkubasi ini memengaruhi proses
transmisi virus, maka ini perlu dimasukkan dalam model matematika. Selanjutnya
dilakukan analisis kestabilan pada sistem dan simulasi numerik untuk mengetahui
adanya pengaruh suhu pada masa inkubasi virus.
2
Tujuan Penelitian
Berdasarkan latar belakang di atas, maka tujuan karya ilmiah ini adalah:
1. Merekonstruksi model penyebaran penyakit DBD mengunakan model SIR.
2. Menentukan dan menganalisis kestabilan titik tetap dari model tersebut.
3. Melakukan simulasi numerik terhadap model SIR untuk penyebaran penyakit
DBD serta membandingkan model dengan pengaruh suhu.
LANDASAN TEORI
Sistem Persamaan Diferensial
Sistem persamaan diferensial orde satu dengan
persamaan dan
fungsi yang tak diketahui
dapat ditulis sebagai berikut
buah
(1)
dengan
dan
Jika
linear maka sistem persamaan diferensial (1) disebut linear dan
sebaliknya jika
taklinear.
(Tu 1994)
Titik Tetap
Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial sebagai berikut
maka suatu titik
yang memenuhi
disebut titik keseimbangan atau
titik tetap dari sistem persamaan difernsial tersebut.
(Tu 1994)
Pelinearan
Analisis kestabilan untuk sistem persamaan diferensial taklinear dilakukan
dengan menggunakan teknik pelinearan. Sistem persamaan diferensial taklinear
didefinisikan sebagai berikut
(2)
Dengan menggunakan ekspansi Taylor di sekitar titik tetap x*, maka sistem
persamaan (2) dapat ditulis sebagai
(3)
dengan A adalah matriks Jacobi,
3
dan
merupakan suku berorde tinggi yang mempunyai sifat
. Bentuk sistem persamaan diferensial taklinear (3) setelah dilakukan pelinearan
menjadi sebagai berikut
(Tu 1994)
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Misalkan A adalah matriks berukuran
, maka suatu vektor taknol x di
Rn disebut vektor eigen dari A dan suatu skalar disebut nilai eigen dari A jika
berlaku hubungan berikut
Vektor x disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen . Nilai eigen
dari matriks A berukuran
dapat diperoleh dengan
(4)
di mana I adalah matriks identitas. Persamaan (4) mempunyai solusi taknol jika
dan hanya jika
(5)
Persamaan di atas disebut persamaan karakteristik.
(Anton dan Rorres 2004)
Kestabilan Titik Tetap
Diberikan sistem persamaan diferensial sembarang
Analisis kestabilan lokal pada titik kesetimbangan ditentukan oleh tanda bagian
real dari akar-akar karakteristik sistem dari matriks Jacobian yang dihitung di
sekitar titik kesetimbangan. Titik kesetimbangan disubstitusikan ke dalam
persamaan matriks Jacobi sehingga diperoleh nilai-nilai eigennya
dengan i =
1, 2, 3, ... n dari persamaan karakteristik (5)
det
.
secara umum kestabilan titik kesetimbangan mempunyai tiga sifat sebagai berikut:
1. Stabil, jika
a. Setiap nilai eigen real adalah negatif (
untuk semua j).
b. Ada komponen bagian real dari nilai eigen kompleks bernilai nol (Re
untuk suatu j ) dan Re
untuk suatu
.
2. Takstabil, jika
a. Ada nilai eigen real yang positif (
untuk suatu j).
b. Ada komponen bagian real dari nilai eigen kompleks, lebih besar dari nol
(Re
untuk suatu j )
(Tu 1994)
Kriteria Kestabilan Routh – Hurwitz
Kriteria Routh-Hurwitz adalah sebuah prosedur analitik ketika nilai eigen
persamaan karakteristik tidak dapat ditentukan dengan mudah. Misal matriks J
pada persamaan (3) berukuran
, maka persamaan karakteristiknya adalah
. Didefinisikan k buah matriks sebagai
berikut:
4
dengan syarat setiap unsur (l,m) pada matriks Hk adalah
Dengan demikian, titik tetap stabil jika dan hanya jika det Hj > 0, untuk
setiap j = 1, 2, ..., k.
Untuk k = 2, 3, 4, maka berdasarkan kriteria Routh-Hurtwitz titik tetap
stabil jika dan hanya jika
(Edelstein-Keshet 1988)
Bilangan Reproduksi Dasar
Bilangan reproduksi dasar dinotasikan dengan
merupakan suatu ukuran
potensi penyebaran penyakit dalam suatu populasi. Bilangan reproduksi dasar
didefinisikan sebagai nilai harapan banyaknya populasi rentan yang menjadi
terinfeksi selama masa infeksi berlangsung.
Kondisi yang dapat terjadi adalah
1. Jika
, maka satu nyamuk terinfeksi akan menginfeksi kurang dari satu
manusia rentan atau satu manusia terinfeksi akan menginfeksi kurang dari satu
nyamuk rentan, sehingga penyakit DBD akan hilang dari populasi.
2. Jika
, maka satu nyamuk terinfeksi akan menginfeksi lebih dari satu
manusia rentan atau satu manusia terinfeksi akan menginfeksi lebih dari satu
nyamuk rentan, sehingga penyakit DBD akan bertahan di dalam populasi.
(van den Driessche dan Watmough 2002)
5
MODEL PENYEBARAN PENYAKIT DBD
Penyebaran Virus Demam Berdarah Dengue (DBD)
DBD adalah penyakit yang disebabkan oleh virus dengue yang ditularkan
melalui gigitan nyamuk Aedes Aegypti dan Aedes albopictus. Virus DBD
memerlukan waktu 8 sampai 10 hari untuk menyelesaikan masa inkubasi virus
dengue dari lambung ke kelenjar ludah nyamuk. Pada daerah-daerah di mana
terjadi perubahan suhu dalam setiap suhunya, transmisi virus demam berdarah
selalu berkurang pada suhu rendah. Contohnya mewabahnya virus pada demam
berdarah di daerah dingin berhenti pada suhu yang turun ke
pada awal
suhu dingin. Hal ini disebabkan masa inkubasi ekstrinsik didalam suhu rendah itu
adalah lebih lama dari masa inkubasi ekstrinsik di dalam suhu yang tinggi,
padahal rata-rata hidup nyamuk 14 hari. Masa inkubasi ekstrinsik (Extrinsic
Incubation Period – EIP) adalah masa di mana mulai saat masuknya gametosit ke
dalam tubuh nyamuk sampai terjadinya stadium sporogami dalam nyamuk yaitu
terbentuknya sporozoid yang kemudian masuk ke dalam kelenjar liur, atau dengan
kata lain masa sampai virus bisa ditularkan oleh nyamuk. Nyamuk-nyamuk tidak
pernah sembuh dari infeksi karena terinfeksi mereka berakhir dengan kematian
(Gubler 1998).
Penularan virus ini dapat dikelompokkan menjadi dua mekanisme.
Mekanisme pertama, transmisi vertikal dalam tubuh nyamuk, di mana virus dapat
ditularkan oleh nyamuk betina pada telurnya dan juga dapat ditularkan dari
nyamuk jantan ke nyamuk betina melalui kontak seksual, tetapi tidak berlaku
sebaliknya (Malavige et al. 2004). Mekanisme kedua, transmisi dari nyamuk ke
dalam tubuh manusia dan sebaliknya. Penularan dari manusia kepada nyamuk
hanya dapat terjadi bila nyamuk menggigit manusia yang sedang mengalami
viremia, yaitu 2 hari sebelum panas sampai 5 hari setelah demam timbul. Setelah
virus berada dalam tubuh nyamuk, virus yang sampai ke dalam lambung nyamuk
akan berkembang biak, kemudian akan migrasi yang akhirnya akan sampai di
kelenjar ludah memerlukan waktu 8-10 hari untuk menyelesaikan masa inkubasi
ekstrinsik. Virus yang berada pada lokasi ini setiap saat sudah dapat ditularkan
kembali kepada manusia.
Model Matematika Penyebaran DBD
Populasi manusia dibagi menjadi tiga kelas, yaitu kelas yang rentan
(susceptible) di mana manusia dalam populasi tidak terinfeksi tetapi berisiko
terinfeksi virus, kelas yang terinfeksi (infected) di mana manusia telah terinfeksi
dan dapat menularkannya, dan kelas yang disembuhkan (recovered) di mana
manusia tidak bisa lagi terjangkit penyakit ini karena telah disembuhkan.
Populasi nyamuk dibedakan menjadi dua kelas yaitu nyamuk yang rentan
(susceptible) di mana nyamuk dalam populasi tidak terinfeksi tetapi berisiko
terinfeksi virus, kelas yang terinfeksi (infected) di mana nyamuk yang terinfeksi
dan dapat menularkannya
Pada bagian ini akan dibahas persamaan model DBD, penentuan titik tetap,
dan analisis kestabilan titik tetap.
6
Persamaan Model Peyebaran virus DBD
Model penyebaran virus DBD menggunakan asumsi:
1. Total populasi nyamuk dan total populasi manusia adalah konstan sehingga
laju kelahiran sama dengan laju kematian.
2. Populasi manusia dan nyamuk adalah populasi yang tertutup.
3. Rata-rata gigitan nyamuk pada manusia per hari
adalah konstan.
4. Nyamuk tidak pernah sembuh setelah terinfeksi.
Skema yang menggambarkan pola penyebaran penyakit demam berdarah dengue
dalam model SIR diberikan oleh Gambar 1.
Keterangan:
perpindahan
pengaruh
Gambar 1 Skema Penyebaran penyakit DBD
Dari asumsi-asumsi tersebut, proporsi perpindahan manusia rentan
ke
manusia terinfeksi
dipengaruhi oleh peluang kontak antara nyamuk terinfeksi
dengan manusia rentan
, dengan nilai peluang transmisi virus dari
dengan banyaknya inang yang menjadi
nyamuk terinfeksi ke manusia rentan
sumber makanan nyamuk
dikalikan dengan rata-rata gigitan nyamuk pada
manusia per hari
, dinyatakan sebagai berikut:
. manusia terinfeksi setiap
hari yang meninggal secara alami sebanyak
.
Proporsi perpindahan nyamuk rentan
akibat menggigit manusia
terinfeksi
per hari dipengaruhi oleh nilai peluang transmisi virus demam
berdarah dari manusia ke nyamuk
dengan banyaknya inang yang menjadi
sumber makanan nyamuk
dikalikan dengan rata-rata gigitan nyamuk pada
manusia per hari
dan banyaknya manusia yang terinfeksi
, dinyatakan
Nyamuk rentan mati secara alami sebanyak
per hari.
sebagai berikut:
7
Skema Gambar 1 dapat dimodelkan menggunakan sistem persamaan
diferensial:
(6)
dengan
sehingga:
(7)
di mana:
: total populasi manusia,
: total populasi nyamuk,
: manusia sembuh
: laju kelahiran manusia (per hari),
: laju kelahiran nyamuk.
: laju kematian manusia.
: laju kematian nyamuk.
: rata-rata gigitan nyamuk pada manusia (per hari),
: peluang transmisi virus demam berdarah dari nyamuk ke manusia,
: peluang transmisi virus demam berdarah dari manusia ke nyamuk,
: laju kesembuhan manusia terinfeksi (per hari).
Sistem persamaan (6) dan kondisi (7) dapat disederhanakan dengan pemisalan
,
,
,
, dan
, maka diperoleh sistem
persamaan:
(9)
di mana
,
dengan tiga kondisi
, dan
.
8
Model Matematika Penyebaran DBD dengan Pengaruh Suhu (PS)
Pada model yang kedua, diasumsikan bahwa hanya nyamuk terinfeksi yang
dapat menularkan virus pada populasi manusia. Misalkan c merupakan banyak
nyamuk terinfeksi yang belum menularkan penyakit.
Keterangan:
perpindahan
pengaruh
Gambar 2 Skema Penyebaran penyakit DBD dengan pengaruh suhu
Skema Gambar 2 dapat dituliskan dalam sistem persamaan diferensial
sebagai berikut
(9)
Variasi di dalam masa inkubasi ekstinstik disebabkan oleh perubahanperubahan suhu, semakin rendah suhu masa inkubasi semakin lama ini adalah
penyebab pola suhu dalam penyebaran penyakit demam berdarah. Pada kasus ini
pengaruh suhu masuk kedalam sistem persamaan (Pongsumpun 2006) karena
bergantung pada c, sehingga fraksi nyamuk yang terinfeksi dituliskan sebagai:
di mana adalah periode masa inkubasi virus di dalam nyamuk (dalam hari).
Selanjutnya, subtitusi ke dalam peluang transmisi penyebaran virus dari nyamuk
9
ke manusia
.
sinusoidal sedemikian, sehingga
ini dapat dinyatakan sebagai suatu variasi
(Pongsumpun 2006)
di mana adalah ukuran pengaruh suhu pada proses transmisi. Dengan demikian
model matematika karena pengaruh suhu dapat dinyatakan oleh persamaan
diferensial sebagai berikut:
(10)
Sistem persamaan (10) dapat disederhanakan dengan pemisalan
,
, dan
,
,
, maka diperoleh sistem persamaan:
(11)
di mana
,
, dan
dengan tiga kondisi
Penentuan Titik Tetap
Titik tetap diperoleh dengan menyelesaikan sistem persamaan (8) dari
sehingga sistem persamaan (8) menjadi:
(12)
Sistem persamaan (8) memiliki dua jenis titik tetap, yaitu titik tetap tanpa
penyakit dan titik tetap endemik. Titik tetap tanpa penyakit yang memuat nilai
10
, sedangkan titik tetap endemik yang memuat nilai
. Diperoleh titik tetap tanpa penyakit, yaitu
dan titik tetap endemik, yaitu
dengan
(13)
Untuk penyederhanaan, dituliskan
Titik tetap tanpa penyakit sistem persamaan diferensial Model Pengaruh
Suhu (11) adalah
dan titik tetap endemik, yaitu
dengan
(14)
untuk penyederhanaan, dituliskan
Penentuan titik-titik tetap di atas dapat dilihat pada Lampiran 2.
Analisis Kestabilan Titik Tetap
Analisis kestabilan akan dilakukan Model Penyebaran DBD (9) dan Model
PS (12). Analisis kestabilan di sekitar titik tetap ditentukan dengan langkahlangkah sebagai berikut:
1. Menentukan matriks Jacobi sistem persamaan diferensial.
2. Menentukan matriks Jacobi pada titik tetap.
3. Menentukan nilai eigen
, dengan menyelesaikan
. Jika
semua nilai eigennya real negatif maka titik tetap tersebut stabil, jika nilai
eigennya tidak mudah untuk diselesaikan maka digunakan kriteria RouthHurwitz.
Perilaku di Sekitar Titik Tetap
Model Penyebaran DBD
Misalkan sistem persamaan (12) ditulis sebagai
(15)
11
Dengan melakukan pelinearan terhadap sistem persamaan (11), diperoleh
matriks Jacobi
(16)
Kestabilan dari suatu titik tetap dapat dilihat dari nilai eigennya. Nilai eigen
sendiri dapat dicari dari persamaan karakteristik yang merupakan determinan dari
matriks Jacobi. Selanjutnya, kestabilan di sekitar titik tetap diperiksa. Titik tetap
disubtitusikan ke dalam persamaan matriks Jacobi persamaan (16),
sehingga dihasilkan matriks Jacobi
(17)
Dengan menyelesaikan persamaan karakteristik det
nilai eigen untuk matriks
, yaitu:
, diperoleh
Karena semua parameter bernilai positif, maka
. Nilai eigen kedua dan
ketiga bergantung pada nilai
dan
dengan persamaan
Titik tetap bebas penyakit bersifat stabil jika
persamaan
sehingga diperoleh
(18)
Titik tetap bebas penyakit bersifat sadel jika
persamaan
sehingga diperoleh
(19)
Dari persamaan (19) dan (20) diperoleh bilangan reproduksi dasar sebagai berikut
(20)
Titik tetap tanpa penyakit bersifat stabil jika
.
dan bersifat takstabil jika
12
Perilaku di Sekitar Titik Tetap
Model Penyebaran DBD
Menentukan kestabilan titik tetap endemik dilakukan menyubtitusikan
ke dalam matriks Jacobi, sehingga dihasilkan matriks Jacobi
Sistem akan stabil jika semua nilai eigen yang diperoleh oleh matriks Jacobi
mempunyai bilangan real negatif. Nilai eigen matriks Jacobi dapat ditentukan
dengan menyelesaikan det
. Denagn demikian diperoleh
persamaan karakteristik dari
, yaitu
(21)
dengan
yaitu
Nilai eigen
dari persamaan (15) sulit ditentukan, maka kestabilan di
sekitar titik tetap
akan diselidiki dengan menggunakan kriteria Routh-Hurwitz.
Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz kestabilan sistem pada titik tetap
akan stabil jika dan hanya jika memenuhi syarat-syarat berikut:
Berdasarkan kondisi tersebut, jika
maka diperoleh
. Dengan demikian kriteria Routh-Hurwitz terpenuhi jika
, dengan kata lain titik tetap
stabil jika
. Nilai
adalah nilai bilangan reproduksi dasar penyebaran penyakit DBD.
13
Perilaku di Sekitar Titik Tetap
Model PS
Misalkan sistem persamaan (15) ditulis sebagai
(22)
Dengan melakukan pelinearan terhadap sistem persamaan (15), diperoleh
matriks Jacobi
(23)
Kestabilan dari suatu titik tetap dapat dilihat dari nilai eigennya. Nilai eigen
sendiri dapat dicari dari persamaan karakteristik yang merupakan determinan dari
matriks Jacobi. Selanjutnya, kestabilan di sekitar titik tetap diperiksa.
Titik tetap
disubtitusikan ke dalam persamaan matriks Jacobi
persamaan (23), sehingga dihasilkan matriks Jacobi
(24)
Dengan menyelesaikan persamaan karakteristik det
nilai eigen untuk matriks
, yaitu:
Karena semua parameter bernilai positif, maka
ketiga bergantung pada nilai
dan
, diperoleh
. Nilai eigen kedua dan
dengan persamaan
Titik tetap bebas penyakit bersifat stabil jika
persamaan
sehingga diperoleh
(25)
Titik tetap bebas penyakit bersifat sadel jika
persamaan
sehingga diperoleh
14
(26)
Dari persamaan (25) dan (26) diperoleh bilangan reproduksi dasar sebagai berikut
(27)
Titik tetap tanpa penyakit bersifat stabil jika
dan bersifat takstabil jika
. Nilai bilangan reproduksi dasar diberikan oleh Teorema 2.
Perilaku di Sekitar Titik Tetap
Model PS
Menentukan kestabilan titik tetap endemik dilakukan menyubtitusikan
ke dalam matriks Jacobi, sehingga dihasilkan matriks Jacobi
.
Sistem akan stabil jika semua nilai eigen yang diperoleh oleh matriks Jacobi
mempunyai bilangan real negatif. Nilai eigen matriks Jacobi dapat ditentukan
dengan menyelesaikan det
. Dengan demikian diperoleh
persamaan karakteristik dari
, yaitu
(28)
dengan
yaitu
Nilai eigen
dari persamaan (22) sulit ditentukan, maka kestabilan di
sekitar titik tetap
akan diselidiki dengan menggunakan kriteria Routh-Hurwitz.
Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz kestabilan sistem pada titik tetap
akan stabil jika dan hanya jika memenuhi syarat-syarat berikut:
15
Berdasarkan kondisi tersebut, jika
maka diperoleh
. Dengan demikian kriteria Routh-Hurwitz terpenuhi jika
, dengan kata lain titik tetap
stabil jika
. Nilai
adalah nilai bilangan reproduksi dasar penyebaran penyakit DBD.
SIMULASI NUMERIK
Salah satu tujuan dalam karya ilmiah ini adalah melakukan simulasi
numerik pada model penyebaran DBD. Simulasi ini dilakukan karena pengamatan
terhadap sistem sulit dilakukan secara langsung dan dapat mempermudah untuk
dipelajari hal-hal yang terjadi dalam dinamika populasi.
Simulasi dilakukan merujuk pada analisis kestabilan yang telah dilakukan
sebelumnya. Simulasi dilakukan untuk melihat kestabilan di sekitar titik tetap
tanpa penyakit ketika
dan stabil di sekitar titik tetap endemik ketika
. Simulasi juga dibuat dengan melakukan perubahan rata-rata gigitan
nyamuk per hari (b).
Nilai Parameter
Nilai-nilai parameter yang akan dimasukkan dalam simulasi adalah
yaitu laju kematian populasi manusia dengan
per hari
sesuai dengan harapan hidup manusia 70 tahun. Nilai laju kelahiran populasi
manusia
sesuai dengan asumsi awal, yaitu sama dengan laju kematian
populasi manusia. Rata-rata hidup nyamuk adalah 14 hari (Pongsumpun 2006),
maka laju kematian nyamuk
per hari. Laju kematian sama
dengan laju kelahiran (
Nilai parameter seluruhnya ditunjukkan pada
Tabel 1.
Tabel 1 Nilai-nilai Parameter
Parameter
Definisi
Nilai
Laju kelahiran manusia per hari
0.0000391
Laju kelahiran nyamuk per hari
0.071
Laju kematian manusia per hari
0.0000391
Laju kematian nyamuk per hari
0.071
Peluang transmisi virus demam berdarah dari 0.5
nyamuk ke manusia
Peluang transmisi virus demam berdarah dari 0.7
manusia ke nyamuk
Rata-rata gigitan nyamuk per hari
0.6*
0.07**
Laju kesembuhan manusia terinfeksi per hari
1/3
Perbandingan populasi nyamuk dengan populasi 10
manusia
Ket: *Nilai b untuk
**Nilai b untuk
16
Hasil Simulasi
Simulasi ini dilakukan dengan syarat awal bahwa terdapat sejumlah
populasi individu dan nyamuk yang sudah terinfeksi. Nilai-nilai parameter pada
Tabel 1 disubtitusikan ke sistem persamaan dengan nilai
Proporsi awal populasi individu rentan
(0), manusia terinfeksi
(0)]= 0.3, dan nyamuk terinfeksi
.
Kasus 1 : Dinamika populasi manusia dan nyamuk untuk kondisi
Gambar 3 Proporsi manusia rentan
tanpa dan dengan pengaruh suhu untuk
Gambar 3 menunjukkan bahwa dinamika populasi manusia rentan pada
model tanpa pengaruh suhu ini meningkat dan sebaliknya model dengan pengaruh
suhu menurun. Hal ini disebabkan karena pada saat kondisi ini penyakit tidak
mewabah sehingga dengan pengaruh suhu proporsi manusia rentan menjadi
menurun.
Gambar 4 Proporsi manusia terinfeksi
tanpa dan dengan pengaruh suhu untuk
Gambar 4 menunjukkan bahwa dinamika populasi manusia terinfeksi pada
model tanpa pengaruh suhu ini menurun ke nilai stabil dan model dengan
pengaruh suhu menurun lebih cepat dan menuju nilai yang lebih rendah. Hal ini
disebabkan karena pada saat kondisi ini penyakit tidak mewabah sehingga dengan
pengaruh suhu proporsi manusia rentan menjadi menurun lebih cepat dengan nilai
yang lebih rendah.
17
Gambar 5 Proporsi manusia sembuh
tanpa dan dengan pengaruh suhu untuk
Gambar 5 menunjukkan bahwa dinamika populasi manusia sembuh pada
model tanpa pengaruh suhu ini menurun dan sebaliknya model dengan pengaruh
suhu meningkat. Hal ini disebabkan karena pada saat kondisi ini penyakit tidak
mewabah sehingga dengan pengaruh suhu proporsi manusia rentan menjadi
meningkat.
Gambar 6 Proporsi nyamuk rentan
tanpa dan dengan pengaruh suhu untuk
Gambar 6 menunjukkan bahwa dinamika populasi nyamuk rentan pada
model pengaruh suhu ini meningkat lebih cepat dibandingkan model tanpa
pengaruh suhu. Hal ini disebabkan karena pada saat kondisi penyakit tidak
mewabah populasi nyamuk rentan menjadi banyak karena pada model pengaruh
suhu nyamuk menjadi banyak tetapi belum tentu menularkan penyakitnya.
Gambar 7 Proporsi nyamuk terinfeksi
tanpa dan dengan pengaruh suhu untuk
18
Gambar 7 menunjukkan bahwa dinamika populasi nyamuk terinfeksi pada
model pengaruh suhu lebih cepat menuju nilai stabil daripada model tanpa
pengaruh suhu, hal ini pada kondisi penyakit belum mewabah.
Kasus 2 : Dinamika populasi manusia dan nyamuk untuk kondisi
Gambar 8 Proporsi manusia rentan
tanpa dan dengan pengaruh suhu untuk
Gambar 8 menunjukkan bahwa dinamika populasi manusia rentan pada
model tanpa pengaruh suhu terus menurun lebih cepat daripada model dengan
pengaruh suhu. Hal ini disebabkan pada kondisi model tanpa pengaruh suhu
penyakit ini mulai mewabah.
Gambar 9 Proporsi manusia terinfeksi
tanpa dan dengan pengaruh suhu untuk
Gambar 9 menunjukkan bahwa dinamika populasi manusia terinfeksi pada
model tanpa pengaruh suhu meningkat lebih cepat lalu turun landai menuju nilai
stabil dalam kondisi penyakit mewabah dibandingkan dengan model pengaruh
suhu yang terus turun landai lebih cepat.
19
Gambar 10 Proporsi manusia sembuh
tanpa dan dengan pengaruh suhu untuk
Gambar 10 menunjukkan bahwa dinamika populasi manusia sembuh pada
model dengan pengaruh suhu lebih cepat meningkat daripada model pengaruh
suhu. Hal ini disebabkan dinamika populasi tanpa pengaruh suhu pada saat
kondisi penyakit mewabah.
Gambar 11 Proporsi nyamuk rentan
tanpa dan dengan pengaruh suhu untuk
Gambar 11 menunjukkan bahwa dinamika populasi nyamuk rentan pada
model dengan pengaruh suhu ini meningkat dan sebaliknya model tanpa pengaruh
suhu menurun menuju nilai stabil. Hal ini disebabkan karena pada saat kondisi
model tanpa pengaruh suhu penyakit mulai mewabah sehingga proporsi nyamuk
rentan mulai menurun.
Gambar 12 Proporsi nyamuk terinfeksi
untuk
tanpa dan dengan pengaruh suhu
Gambar 12 menunjukkan bahwa dinamika populasi nyamuk terinfeksi pada
model tanpa pengaruh suhu ini meningkat kemudian turun menuju niali stabil dan
sebaliknya model dengan pengaruh suhu menurun drastis. Hal ini disebabkan
20
karena pada model tanpa pengaruh suhu kondisi penyakit mewabah sedangkan
pada model pengaruh suhu tidak mewabah.
Kasus 3 : Dinamika populasi manusia dan nyamuk untuk kondisi
Gambar 13 Proporsi manusia rentan
tanpa dan dengan pengaruh suhu untuk
Gambar 13 menunjukkan bahwa ketika kondisi penyakit mewabah,
dinamika populasi manusia rentan pada model dengan pengaruh suhu lebih cepat
menurun menuju nilai stabil dibandingkan dengan model tanpa pengaruh suhu.
Gambar 14 Proporsi manusia terinfeksi
untuk
tanpa dan dengan pengaruh suhu
Gambar 14 menunjukkan bahwa dinamika populasi manusia terinfeksi pada
model pengaruh suhu menigkat lalu menurun lebih cepat dibandingkan dengan
model tanpa pengaruh suhu, hal ini disebabkan kondisi penyakit mewabah.
Gambar 15 Proporsi manusia sembuh
untuk
tanpa dan dengan pengaruh suhu
21
Gambar 15 menunjukkan bahwa dinamika populasi manusia sembuh pada
model dengan pengaruh suhu lebih cepat berosilasi menuju niali stabil
dibandingkan dengan model tanpa pengaruh suhu, hal ini disebabkan kondisinya
penyakit mewabah.
Gambar 16 Proporsi nyamuk rentan
tanpa dan dengan pengaruh suhu untuk
Gambar 16 menunjukkan bahwa dinamika populasi nyamuk rentan pada
model pengaruh suhu menurun lalu meningkat lebih cepat daripada model tanpa
pengaruh suhu pada kondisi penyakit mewabah.
Gambar 17 Proporsi nyamuk terinfeksi
untuk
tanpa dan dengan pengaruh suhu
Gambar 17 menunjukkan bahwa dinamika populasi nyamuk terinfeksi pada
model pengaruh suhu meningkat lalu menurun lebih cepat dan rendah daripada
model tanpa pengaruh suhu pada kondisi penyakit mewabah.
22
Kasus 4: Dinamika populasi manusia dan nyamuk dengan mengubah nilai
rata-rata gigitan nyamuk
(a)
Gambar 18 Proporsi manusia rentan
pengaruh suhu (b)
(b)
pada model tanpa (a) dan dengan
Gambar 18 menunjukkan bahwa dinamika populasi manusia rentan pada
model tanpa dan dengan pengaruh suhu terus menurun dengan rata-rata ggigitan
nyamuk terinfeksi, ini artinya makin mewabahnya panyakit maka populasi
manusia rentan semakin menurun.
(a)
Gambar 19 Proporsi manusia terinfeksi
pengaruh suhu (b)
(b)
pada model tanpa (a) dan dengan
Gambar 19 menunjukkan bahwa dinamika populasi manusia terinfeksi
pada model tanpa dan dengan pengaruh suhu akan meningkat seiring dengan
meningkatnya rata-rata gigitan nyamuk terinfeksi yang artinya mewabahnya
penyakit ini menyebabkan manusia terinfeksi semakin banyak.
(a)
Gambar 20 Proporsi manusia sembuh
pengaruh suhu (b)
(b)
pada model tanpa (a) dan dengan
23
Gambar 20 menunjukkan bahwa dinamika populasi manusia sembuh pada
model tanpa dan dengan pengaruh suhu akan meningkat seiring makin besarnya
rata-rata gigitan nyamuk terinfeksi, ini artinya mewabahnya penyakit
mengakibatkan manusia menjadi sembuh menjadi banyak setelah terinfeksi.
(a)
(b)
Gambar 21 Proporsi nyamuk rentan
pada model tanpa (a) dan dengan
pengaruh suhu (b)
Gambar 21 menunjukkan bahwa dinamika populasi nyamuk rentan pada
model tanpa dan dengan pengaruh suhu dengan semakin rendah rata-rata gigitan
nyamuknya (b) semakin meningkat populasinya pada kondisi penyakit mewabah.
(a)
Gambar 22 Proporsi nyamuk terinfeksi
pengaruh suhu (b)
(b)
pada model tanpa (a) dan dengan
Gambar 22 menunjukkan bahwa dinamika populasi nyamuk terinfeksi pada
model tanpa dan dengan pengaruh suhu dengan semakin rendah rata-rata gigitan
nyamuknya (b) semakin menurun populasinya pada kondisi penyakit mewabah.
Rata-rata gigitan nyamuk (b) juga memengaruhi nilai bilangan reproduksi
dasar yang menyatakan mewabahnya penyakit, di mana semakin besar nilai ratarata gigitan nyamuk (b) semakin mewabahnya penyakit. Hal ini dibuktikan pada
Lampiran 5.
24
SIMPULAN
Berdasarkan hasil pembahasan, dapat disimpulkan hasil analisis yang telah
dilakukan pada model penyebaran penyakit DBD tanpa dan dengan pengaruh
suhu diperoleh dua titik tetap yaitu titik tetap tanpa penyakit
dan titik tetap endemik
dengan
adalah proporsi
manusia rentan,
adalah proporsi manusia terinfeksi, dan
adalah proporsi
nyamuk terinfeksi. Pada titik tetap
, populasi hanya terdiri dari proporsi
manusia rentan saja. Sedangkan pada titik tetap , populasi terdiri dari tiga kelas.
Analisis kestabilan bergantung pada nilai
, dengan
adalah bilangan
reproduksi dasar. Jika
, maka titik tetap
bersifat stabil. Pada titik tetap
bersifat stabil jika
Bilangan reproduksi dasar ini menentukan mewabah atau tidaknya suatu
penyakit. Hasil simulasi menunjukkan bahwa peningkatan suhu mengakibatkan
naik sehingga penyebaran penyakit DBD semakin mewabah. Hasil
simulasinya lainnya diperoleh bahwa peningkatkan rata-rata gigitan nyamuk
memberikan dampak terhadap populasi manusia. Populasi manusia rentan akan
semakin menurun seiring dengan semakin besar rata-rata gigitan nyamuk
sedangkan populasi manusia terinfeksi akan semakin naik. Sementara populasi
nyamuk terinfeksi akan semakin menurun apabila rata-rata gigitan nyamuk
semakin kecil. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa semakin besar nilai
rata-rata gigitan nyamuk, penyebaran penyakit akan mewabah.
25
DAFTAR PUSTAKA
Anton H, Rorres C. 2004. Aljabar Linear Elementer. Ed ke-8. Indriasari R,
Harmein I, Penerjemah. Jakarta (ID): Erlangga.
Edelstein, Keshet L. 1988. Mathematical Models in Biology. New York (US):
Random House.
Gubler DJ. 1998. Dengue and Dengue Hemorhagic Fever. Clinical Microbiology
Review 11: 450-496.
Kemenkes RI. 2010. Epidemilogi (Demam Berdarah Dengue).[Internet]. [diacu
15 Maret 2015].
Tersedia dari: http://www.depkes.go.id/folder/view/01/structure-publikasipusdatin-buletin.html
Kuno, G. 1995. Review of the factors modulating dengue transmission.
Epidemiology Review, 17, 321-335.
Malavige GN, Fernando S, Fernando DJ, Seneviratne SL. 2004. Dengue viral
infections. Postgrad Med J. 80:588–601. doi: 10.1136/pgmj.2004.019638.
Nuraini N, Soewono E, Sidarto KA. 2007. A mathematical model of dengue
internal transmission process. J. Indones. Math. Soc. (MIHMI) 13(1): 123- 132.
Pongsumpun P. 2006. Transmission model for dengue disease with and without
the effect of extinstic period. KMITL Sci. Tech. J. 6: 74-82
Tu PNV. 1994. Dynamical System, An Introduction with Applications in
Economics and Biology. New York (US): Springer-Verlag
van den Driessche P, Watmough J. 2002. Reproduction numbers and subthreshold endemic equilibria for compartmental models of disease
transmission. Matehmatical Biosciences. 180: 29-48. PII: S00255564(02)00108-6.
[WHO] World Health Organization. 2009. Dengue and dengue hemorhagic fever
[internet]. [diacu 10 Maret 2015]. Tersedia dari: http://www.who.int
/mediacentre/ factsheets/ fs117/en/ index.html.
26
Lampiran 1
Penyederhanaan Persamaan 7
27
Lampiran 2
Penentuan Titik Tetap
dan
28
Penentuan titik tetap sistem persamaan diferensial (15) dengan
Karena
,
, dan
, maka diperoleh
(a)
(b)
(c)
Dari (a), (b), dan (c)
29
30
Lampiran 3
Kondisi
Dinamika Populasi manusia dan nyamuk
31
32
Lampiran 4 Proporsi populasi manusia dan nyamuk dengan mengubah nilai ratarata gigitan nyamuk (b)
33
34
Lampiran 5
Hubungan rata-rata gigitan nyamuk (b) dengan nilai bilangan
reproduksi
.
.
.
.
.
35
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Ciamis pada tanggal 12 Oktober 1992, anak pertama
dari tiga bersaudara, anak dari Bapak Alm. Hamidi R Zakaria dan Ibu Irun
Suswendarwati. Tahun 2010 Penulis lulus dari SMAN 4 Bogor dan pendidikan di
Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
(FMIPA), Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Masuk
IPB (USMI). Selama menjadi mahasiswa IPB, penulis juga aktif menjadi anggota
himpunan profesi Gugusan Mahasiswa Matematika (Gumatika) IPB sebagai
anggota Divisi Kewirausahaan pada periode 2012-2013. Penulis juga pernah
menjadi panitia di berbagai acara yang diselenggarakan oleh Gugus Mahasiswa
Matematika (Gumatika) dan FMIPA IPB.