PENYELESAIAN MASALAH TAKLINEAR DENGAN HOMOTOPY ANALYSIS METHOD

(1)

(2)

ABSTRAK

PENYELESAIAN MASALAH TAKLINEAR DENGAN HOMOTOPY ANALYSIS METHOD

Oleh

Dwi Siska Febriyanti

Masalah taklinear dideskripsikan dalam bentuk persamaan taklinear. Banyak persoalan dalam bidang teknik dan sains terutama yang berkaitan dengan masalah taklinear cukup sulit untuk dipecahkan terutama secara analitik. Saat ini kebanyakan teknik analitik untuk menyelesaikan masalah taklinear kurang memuaskan.

Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji metode analitik untuk memecahkan masalah taklinear yang cukup populer dikalangan ilmuwan yaitu Homothopy Analysis Method (HAM). Jika dibandingkan dengan metode analitik lainnya, HAM memiliki keunggulan yakni tetap valid walaupun masalah taklinear tidak mengandung parameter dan metode ini juga mampu menjamin kekonvergenan dari aproksimasi daerah penyelesaiannya. Selain itu, untuk semakin mempertegas hasil penelitian ini dilakukan juga investigasi numerik yang divisualisasikan dalam bentuk kurva. Dari investigasi numerik tersebut diperoleh kesimpulan bahwa solusi dari metode HAM akan konvergen dan mendekati solusi eksak untuk nilai ℎ= −0.5 .

Kata kunci : HAM, Masalah Taklinear, Parameter Kontrol Kekonvergenan, Investigasi Numerik.


(3)

(4)

(5)

(6)

DAFTAR ISI

DAFTAR GAMBAR... xiii

I. PENDAHULUAN ... 1

1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Batasan Masalah ... 2

1.3 Tujuan ... 3

1.4 Manfaat ... 3

II. TINJAUAN PUSTAKA ... 4

2.1 Definisi Masalah Taklinear ... 4

2.2 Solusi Masalah Taklinear ... 4

2.3 Kekontinuan Fungsi pada Selang... 5

2.4 Konsep Dasar Homotopi ... 5

2.5 Parameter Kontrol Kekonvergenan ... 8

III. METODOLOGI PENELITIAN... 9

3.1 Waktu dan Tempat ... 9

3.2 Metodologi ... 9

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN ... 12

V. KESIMPULAN DAN SARAN .... 21 DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN


(7)

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Masalah taklinear dideskripsikan dalam bentuk persamaan taklinear. Banyak persoalan dalam bidang teknik dan sains terutama yang berkaitan dengan masalah taklinear cukup sulit untuk dipecahkan. Meskipun perkembangan komputer membuat penyelesaian numerik masalah taklinear semakin mudah, namun masih sulit untuk memberikan aproksimasi secara analitik.

Saat ini kebanyakan teknik analitik untuk menyelesaikan masalah taklinear kurang memuaskan. Contohnya, meskipun teknik perturbasi telah banyak diterapkan untuk menganalisis masalah taklinear dalam sains, semuanya sangat bergantung kepada parameter kecil yang disebut kuantitas perturbasi (perturbation quantity). Untuk masalah taklinear yang rumit, yang tidak memuat parameter kecil, teknik perturbasi menjadi tidak valid. Karena tidak semua masalah taklinear memuat parameter kecil, maka dikembangkan teknik nonperturbasi. Teknik nonperturbasi tidak bergantung pada parameter kecil. Ada beberapa teknik nonperturbasi yang


(8)

telah berkembang seperti metode parameter bantu kecil (artificial small parameter), metode ekspansi-δ, dan metode dekomposisi Adomian. Akan tetapi pada kenyataannya kedua teknik tersebut, baik perturbasi maupun nonperturbasi, tidak dapat memberikan jaminan kekonvergenan dari aproksimasi daerah penyelesaiannya. Sehingga tampaknya perlu untuk memperkenalkan sebuah teknik analisis baru yang dapat menutupi kekurangan metode-metode tersebut.

Beberapa tahun terakhir, Metode Analisis Homotopi (Homotopy Analysis Method) sangat populer di kalangan ilmuwan sebagai solusi pemecahan masalah taklinear ini. Awalnya metode ini diperkenalkan oleh Liao di tahun 1992 pada disertasinya saat mengambil gelar Ph.D. Liao menggunakan ide-ide dasar homotopi dari topologi untuk mengusulkan suatu metode penyelesaian masalah taklinear secara umum. Keunggulan dari metode ini yaitu tetap valid walaupun masalah taklinear tersebut tidak mengandung parameter dan metode ini juga mampu menjamin kekonvergenan dari aproksimasi daerah penyelesaiannya. Berdasarkan latar belakang tersebut maka penulis mencoba untuk mempelajari Homotopy Analysis Method (HAM) dan menerapkan metode ini untuk menyelesaikan masalah tak linear yang ditemukan.

1.2 Batasan Masalah

Dalam karya tulis ini, penulis membatasi pembahasan mengenai penerapan metode HAM pada persamaan tak linear tunggal.


(9)

1.3 Tujuan

Berdasarkan latar belakang di atas, maka tujuan dari karya ilmiah ini adalah :

a. Memberikan penjelasan tentang Homotopy Analysis Method.

b. Mempelajari langkah-langkah penyelesaian metode ini dan menerapkannya dalam menyelesaikan persamaan taklinear sederhana. c. Membandingkan solusi yang diperoleh melalui metode HAM dengan

solusi eksak berdasarkan investigasi numerik.

1.4 Manfaat

Adapun manfaat dari karya ilmiah ini adalah sebagai berikut:

a. Diharapkan mampu memberikan penjelasan tentang Homotopy Analysis Method sebagai metode analitik dalam pemecahan masalah taklinear.

b. Diharapkan dapat menerapkan Homotopy Analysis Method tidak hanya untuk masalah taklinear yang sederhana tetapi juga masalah taklinear yang rumit.


(10)

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Definisi Masalah Taklinear (Urroz, 2001)

Masalah taklinear dalam sains dan teknik dituliskan dalam bentuk persamaan taklinear. Persamaan tersebut dituliskan dalam bentuk fungsi yang jika digambarkan ke dalam bentuk kurva maka kurva yang dihasilkan tidak berbentuk garis lurus melainkan garis lengkung.

Persamaan taklinear dibedakan menjadi persamaan aljabar yang mencangkup fungsi polinomial dan persamaan transenden yang mencakup fungsi trigonometri, hiperbolik, eksponensial, dan logaritma.

2.2 Solusi Masalah Taklinear (Heath, 2002)

Jika diberikan fungsi dan mencari nilai � yang menyebabkan � = 0 , � merupakan akar dari persamaan taklinear atau jika � disubtitusikan ke dalam fungsi akan menghasilkan nol. Sehingga dalam mencari solusi


(11)

persamaan taklinear lebih di kenal sebagai penemuan akar (root finding) atau penemuan nol (zero finding).

2.3 Kekontinuan Fungsi pada Selang (Purcell, 1987)

Dikatakan fungsi kontinu pada selang terbuka ( , ) jika kontinu di setiap titik ( , ).

kontinu pada selang tertutup [ , ] jika kontinu pada ( , ), kontinu kanan di , dan kontinu kiri di .

2.4 Konsep Dasar Homotopi (Liao, 2012)

Homotopi dideskripsikan sebagai variasi kontinu atau deformasi di matematika. Sebuah lingkaran dapat dideformasikan secara kontinu menjadi elips, dan bentuk dari cangkir kopi dapat dideformasikan secara kontinu menjadi bentuk donat. Pada intinya, homotopi didefinisikan sebagai suatu penghubung antara benda yang berbeda di matematika yang memiliki karakteristik yang sama di beberapa aspek.

C[a,b] dinotasikan sebagai himpunan fungsi real kontinu dalam interval ≤ � ≤ . Secara umum, jika suatu fungsi ∈ �[ , ] dapat


(12)

dideformasikan secara kontinu ke fungsi kontinu ∈ � , lain maka dapat terbentuk suatu homotopi

ℋ: (�)~ �

ℋ �;� = 1− � [ � − � ]− � � ,� ∈ 0,1. (2.1)

Definisi 1.

Suatu homotopi dua fungsi yang kontinu (�) dan (�) dari suatu ruang topologi ke ruang topologi dinotasikan sebagai fungsi kontinu ℋ: × 0,1 → dari produk ruang dengan interval [0,1] ke sedemikian sehingga jika � ∈ maka ℋ �, 0 = (�) dan ℋ �, 1 = (�).

Definisi 2.

Parameter benaman � ∈ [0,1] di dalam suatu fungsi atau persamaan homotopi disebut parameter homotopi.

Definisi 3.

Diberikan suatu persamaan ℇ1, yang mempunyai paling sedikit satu solusi . Ambil ℇ0 sebagai persamaan awal yang solusinya diketahui 0. Jika itu dapat dikonstruksikan ke dalam bentuk persamaan homotopi ℇ � :ℇ0~ℇ1

sedemikian sehingga parameter homotopi � ∈[0,1] naik dari 0 menuju 1, ℇ � dideformasikan secara kontinu dari persamaan awal ℇ0 ke persamaan asli ℇ1di mana solusinya berubah secara kontinu dari solusi yang diketahui


(13)

0 dari ℇ0 ke solusi yang tidak di ketahui dari ℇ1. Jenis dari persamaan

homotopi ini disebut persamaan deformasi orde-nol.

Definisi 4.

Diberikan suatu persamaan taklinear dinotasikan dengan ℇ1 yang mempunyai paling sedikit satu solusi (�, ) dimana � dan merupakan variabel bebas. Ambil parameter homotopi � ∈ [0,1] dan ℇ � persamaan deformasi orde-nol yang menghubungkan persamaan asli ℇ1 ke persamaan awal ℇ0 dengan aproksimasi awal yang diketahui 0 (�, ). Asumsikan bahwa persamaan deformasi orde-nol ℇ � memiliki solusi dan analitik di � = 1, sehingga diperoleh homotopi deret Maclaurin :

� �, ,� ~ 0 �, + � �, ��, +∞

�=1

� ∈ 0,1 (2.2) dan deret homotopi:

� �, , 1 ~ 0 �, + � �, +∞

�=1

. (2.3)

Persamaan yang berubungan dengan �, yang nilainya tidak diketahui disebut persamaan deformasi orde ke-n.

Definisi 5.

Jika solusi � �, ,� dari persamaan deformasi orde-nol ℇ � ∶ ℇ0 ~ ℇ1 ada dan analitik di dalam � ∈ [0,1] , maka diperoleh solusi deret homotopi dari persamaan asli ℇ1 :


(14)

�, = 0 �, + � �, +∞

�=1

, (2.4)

dan aproksimasi homotopi orde ke-n

�, ≈ 0 �, + � �, +∞

�=1

. (2.5)

2.5 Parameter Kontrol Kekonvergenan (Liao, 2012)

Karena pada deret Maclaurin tidak ada jaminan bahwa deret konvergen pada � = 1 melainkan hanya asumsi , sehingga Liao memodifikasi konsep homotopi dengan memperkenalkan ℏ sebagai parameter kontrol kekonvergenan.

ℏ membangun persamaan deformasi orde-nol sebagai berikut:

ℋ �,� = 1− � [ℇ1− ℇ0]− �ℏ ℇ1 (2.6)


(15)

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1Waktu dan Tempat

Penelitian ini dilaksanakan pada semester ganjil tahun ajaran 2013/2014 bertempat di Gedung Matematika, Universitas Lampung.

3.2Metodologi

Adapun metodologi penelitian yang digunakan dalam menyelesaikan karya tulis ini adalah sebagai berikut:

1. Mencari literatur dari berbagai sumber seperti buku dan jurnal di internet dan perpustakaan.

2. Menemukan masalah taklinear dalam bentuk persamaan atau fungsi taklinear.

3. Menguraikan langkah-langkah penyelesaian metode HAM dalam mencari solusi masalah taklinear yang ditemukan.


(16)

Adapun langkah-langkah penyelesaian metode HAM adalah sebagai berikut:

Misal diberikan persamaan taklinear

� � � = 0 ,� ∈ ∆ . . . (3.1) � suatu operator taklinear dan �(�)solusi fungsi taklinear yang bergantung pada peubah bebas � .

a) Menganalisis sifat asimtotik

Jika masalah taklinear tersebut memiliki kondisi batas tak hingga maka akan sulit untuk menganalisis sifat asimtotiknya, jadi ini dilakukan jika memungkinkan.

b) Menentukan aproksimasi awal �0 � dan operator bantu linear �. c) Mengkontruksikan fungsi � �,� ∶ ∆× 0,1 → ℝ dan masukkan ke

dalam bentuk persamaan homotopi berikut,

1− � � � �,� − �0 � = �ℏ�[� �;� ] . . . (3.2)

dengan ℏ ≠0 merupakan parameter kontrol kekonvergenan dan� ∈ 0,1 merupakan parameter benaman.

Untuk �= 0 maka � �, 0 =�0 � . Sedangkan untuk �= 1, maka � �, 1 = � � . Ini menunjukkan bahwa � �,� merupakan variasi kontinu dari aproksimasi awal �0 � ke solusi � � dengan � naik dari 0 ke 1. Sehingga persamaan (3.2) dengan syarat batas disebut persamaan deformasi orde-nol.


(17)

d) Menyatakan kedalam bentuk persamaan deformasi orde tinggi

Dengan melakukan diferensiasi pada persamaan deformasi orde nol sebanyak � kali terhadap � kemudian masukkan nilai �= 0 sehingga diperoleh persamaan deformasi orde ke- �.

�0 � �,ℎ =

��(,,)

���

�=0

. . . (3.3)

e) Mengekspansi ke dalam bentuk deret

Persamaan deformasi orde-� pada �= 0 berkorespondensi dengan deret Maclaurin

�0 � +

�0 � �,ℎ �!

��

�=1

…(3.4) konvergen di �= 1, maka

� � = �0 � +

�0 � �,ℎ

�! …(3.5)

�=1


(18)

V. KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan uraian pada bab-bab sebelumnya, adapun kesimpulan yang dapat diambil dari karya tulis ilmiah ini adalah sebagai berikut:

a. Homotopy Analysis Method (HAM) merupakan metode analisis untuk menyelesaiakan masalah taklinear dengan keunggulan yakni tetap valid walaupun masalah taklinear tersebut tidak mengandung parameter dan metode ini juga mampu menjamin kekonvergenan dari aproksimasi daerah penyelesaiannya. Adapun langkah-langkah penyelesaian metode HAM adalah sebagai berikut:

1. Menganalisis sifat asimtotik.

2. Menentukan aproksimasi awal dan operator bantu linear. 3. Mengkontruksikan kedalam bentuk persamaan homotopi. 4. Menyatakan kedalam bentuk persamaan deformasi orde tinggi. 5. Mengekspansi ke dalam bentuk deret.


(19)

b. Solusi dari persamaan taklinear (4.1) yang diperoleh berdasarkan metode HAM akan konvergen dan mendekati solusi eksak jika nilai ℎ di pilih secara tepat di ruaskonvergensinya.

c. Melalui investigasi numerik diperoleh bahwa solusi dari metode HAM konvergen dan mendekati solusi eksak khususnya pada nilai ℎ =−0.5 .

5.2 Saran

Pada penelitian ini penulis hanya membatasi pada masalah taklinear sederhana, karena itu penelitian ini masih bisa dilanjutkan untuk mengkaji masalah taklinear yang lebih rumit .


(20)

DAFTAR PUSTAKA

Liao, Shijun. 2002. On Homotopy Analysis Method for Nonlinear Problem. Shanghai: Elsevier Inc.

Liao, Shijun. 2012. Homotopy Analysis Method in Nonlinear Defferential Equations. Beijing: Higher Education Press.

E. Urroz, Gilberto. 2001. Solution of Nonlinear Equations with SCILAB. www.infoclearinghouse.com/files/scilab/scilab6a.pdf

J. Purcell, Edwin. 1987. Kalkuus dan Geometri Analitik Jilid 1 edisi ke 5. Jakarta : Erlangga.

T. Heath, Michael. 2002. Scientific Computing: An Introductory Survey, chapter 5 – Nonlinear Equations. Urbana: Department of Computer Science


(21)

(22)

Digunakan persamaan (4.3) tanpa parameter ℎdengan memasukkan nilai �= 0, maka

1−0 �� , 0

� = 0.

�� , 0

� + 2 �2( , 0)

�� , 0

� = 0

�� , 0

� = 0

� , 0 =�

Karena 0 = 1 , sehingga

� 0,0 =�

1 =�

Jadi, diperoleh

� , 0 = 1.

Dengan memasukkan nilai �= 1 , maka

1−1 �� , 1

� = 1.

�� , 1

� + 2 �2( , 1)

0 = �� , 1


(23)

�� , 1

�2( , 1)=−2 � �� , 1

�2( , 1)= −2 � − 1

� , 1 =− 2+

� , 1 = 21 +�

Karena 0 = 1 , sehingga

� 0,1 = 1 0 +�

1 = 1 0 +�

�= 1

Jadi, diperoleh

� , 1 = ( ) = 21 + 1.


(24)

Untuk �= 1, persamaan deformasi orde-nol diturunkan satu kali terhadap � menjadi

1− � �� ,�,ℎ

� =�ℎ

�� ,�,ℎ

� + 2 �2( ,�,ℎ)

1− � �� ,�,ℎ

� =�ℎ

�� ,�,ℎ

� +�ℎ 2 �2( ,�,ℎ) diturunkan terhadap �, menjadi

1− � �

�� ,�,ℎ

�� −

�� ,�,ℎ

=�ℎ �

�� ,�,ℎ

�� +ℎ

�� ,�,ℎ

� +�ℎ

�(2 �2( ,�,ℎ))

�� +ℎ 2 �2( ,�,ℎ) �

�� ,�,ℎ

�� − � � �

�� ,�,ℎ

�� −

�� ,�,ℎ

=�ℎ �

�� ,�,ℎ

�� +ℎ

�� ,�,ℎ

� +�ℎ

�(2 �2( ,�,ℎ))

�� +ℎ 2 �2( ,�,ℎ) masukkan nilai �= 0

� �

�� ,�,ℎ

�� =0

�� ,�,ℎ

=0 =ℎ

�� ,�,ℎ

=0+ ℎ 2 �2( ,�,ℎ) �=0

karena

0 � ,ℎ = �

[�]( ,,)

��[�]

�=0

� , 0,ℎ = 1 sehingga �2 , 0,ℎ = 1 1− � �� ,�,ℎ

� =�ℎ

�� ,�,ℎ

� + 2 �2( ,�,ℎ) , jika �= 0 maka

�� ,�,ℎ

=0= 0

sehingga

� 0 (1)

( ,ℎ)


(25)

1− � �

� � ,�,ℎ

��2 −

� �

�� ,�,ℎ

�� − � �

�� ,�,ℎ

��

=�ℎ �

�2 ,,

��2 + ℎ

� �

�� ,�,ℎ

�� +ℎ

� �

�� ,�,ℎ

��

+�ℎ �

2(2 2 ,,)

��2 +ℎ

�(2 �2 ,�,ℎ )

�� +ℎ

�(2 �2 ,�,ℎ )

��

1− � �

�2 ,,

��2 −2

� �

�� ,�,ℎ

��

=�ℎ �

�2 ,,

��2 + 2ℎ

� �

�� ,�,ℎ

�� +�ℎ

�2(2 2 ,,)

��2 + 2ℎ�(2 �

2 ,,)

�� masukkan nilai �= 0

� �

�2 ,,

��2

�=0

− 2 �

�� ,�,ℎ

�� =0= 2ℎ � �

�� ,�,ℎ

�� =0+ 2ℎ

�(2 �2 ,,)

�� =0

� 0

(2) ,

� −2

� 0 1 ,ℎ

� = 2ℎ

� 01 ,ℎ

� + 2ℎ

�(2 �2 ,,)

�� =0

� 0

(2)( ,)

� = 2

� 0 1 ,ℎ

� + 2ℎ

� 01 ,ℎ � + 2ℎ

�(2 �2 ,,)

�� =0

� 0

(2)( ,)

� = 2(1 +ℎ)

� 01 ,ℎ

� + 2ℎ

�(2 �2 ,�,ℎ )

�� =0

� 0 (2)

( ,ℎ)

� = 2 (1 +ℎ)

� 0 1 ,ℎ

� +ℎ

�(2 �2 ,�,ℎ )

�� =0

karena

�(2 �2 ,�,ℎ )

�� =4 .� ,�,ℎ .

�� ,�,ℎ

�� =0


(26)

= 4 ℎ 2

= 4ℎ 3

maka

� 0(2)( ,ℎ)

� = 2 (1 +ℎ)

� 0 1 ,ℎ

� + 2ℎ 2 0 1 ,ℎ

� 0(2)( ,ℎ)

� = 2 (1 +ℎ)

� 0 1 ,ℎ

� + 4ℎ2 3)

0 2 ,ℎ = 2 1 +ℎ ℎ 2+ℎ2 4

= 2 ℎ 2+ℎ2 2+ℎ2 4

= 2ℎ 2+ 2ℎ2 2+ 2ℎ2 4

Untuk �= 3, persamaan deformasi orde-nol diturunkan sebanyak 3 kali terhadap � menjadi

1− � �

�3 ,,

��3 −

� �

�2 ,,

��2 −2

� �

�2 ,,

��2 =�ℎ �

�3 ,,

��3 +ℎ

� �

�2 ,,

��2 + 2ℎ

� �

�2 ,,

��2 +�ℎ �

3(2 2 ,,)

��3 +ℎ

�2(2 2 ,,)

��2 + 2ℎ

�2(2 2 ,,)

��2

� �

�3 ,,

��3 − �

� �

�3 ,,

��3 −3

� �

�2 ,,

��2 =�ℎ �

�3 ,,

��3 + 3ℎ

� �

�2 ,,

��2 +�ℎ

� �

�3(2 2 ,,)

��3 + 3ℎ �

2(2 2 ,,)


(27)

� �

� � ,�,ℎ

��3 �=0−

3 �

� � ,�,ℎ

��2 �=0

=3ℎ�

� � ,�,ℎ

��2 �=0

+3ℎ � (2 � ,�,ℎ )

��2 �=0

� 0

(3) ,

� −3

� 0(2) ,ℎ

� = 3ℎ

� 0(2) ,ℎ

� +3ℎ

�2(2 2 ,,)

��2

�=0

� 0

(3) ,

� = 3

� 0(2) ,ℎ

� + 3ℎ

� 0(2) ,ℎ

� +3ℎ

�2(2 2 ,,)

��2

�=0

� 0

(3) ,

� = 3 (1 +ℎ)

� 0(2) ,ℎ

� + ℎ �

2(2 2 ,,)

��2

�=0

karena

�2(2 2 ,,)

��2 =

� ��

�(2 �2 ,�,ℎ )

��

= �

�� 2

�(�2 ,,)

��

= �

�� 4 .� ,�,ℎ . �� ��

= 4 �

�� � ,�,ℎ . �� ��

= 4 � ,�,ℎ .� 2

��2 +

�� ��

2

�2(2 �2 ,�,ℎ ) ��2

�=0

=4 � ,�,ℎ .� 2

��2 +

�� ��.

�� �� =0

= 4 � , 0,ℎ . 0 2 ,ℎ + 0 1 ,ℎ 2


(28)

= 4 2ℎ + 2ℎ + 3ℎ

= 8ℎ 3+ 8ℎ2 3+ 12ℎ2 5

maka,

� 0 3( ,ℎ)

� = 3 (1 +ℎ) � 0(2)

� + ℎ �

2(2 2 ,,)

��2

�=0

=� 0

3( ,)

� = 3 (1 +ℎ) � 0(2)

� + 2ℎ 2 02 ,ℎ + 2 0 1 ,ℎ 2

= 3 1 +ℎ � 0 2

� +ℎ(8ℎ 3+ 8ℎ2 3+ 12ℎ2 5)

= 3 1 +ℎ � 0 2

� + 8ℎ2 3+ 8ℎ3 3+ 12ℎ3 5

0 3 ,ℎ = 3 1 +ℎ 02 + 2ℎ2 4+ 2ℎ3 4+ 2ℎ3 6

= 3 1 +ℎ 2ℎ 2+ 2ℎ2 2+ 2ℎ2 4 + 2ℎ2 4+ 2ℎ3 4+ 2ℎ3 6

= 32ℎ 2+ 2ℎ2 2+ 2ℎ2 4+ 2ℎ2 2+ 2ℎ3 2+ 2ℎ3 4+ 2ℎ2 4+ 2ℎ3 4+ 2ℎ3 6

= 32ℎ 2+ 4ℎ2 2+ 4ℎ2 4+ 2ℎ3 2+ 4ℎ3 4+ 2ℎ3 6

= 6ℎ 2+ 12ℎ2 2+ 12ℎ2 4+ 6ℎ3 2+ 12ℎ3 4+ 6ℎ3 6

Untuk �= 4, persamaan deformasi orde-nol diturunkan sebanyak 4 kali terhadap � menjadi

1− � �

�4 ,, ��4 −

� �

�3 ,, ��3 −3

� �

�3 ,, ��3

=�ℎ �

�4 ,,

��4 +ℎ

� �

�3 ,, ��3 + 3ℎ

� �

�3 ,, ��3

+�ℎ �

4(3 3 ,,)

��4 +ℎ

�3(3 3 ,,)

��3 + 3ℎ

�3(3 3 ,,) ��3


(29)

=�ℎ �

�4 ,,

��4 + 4ℎ

� �

�3 ,,

��3 +�ℎ

� �

�4(3 3 ,,)

��4 + 4ℎ �

3(3 3 ,,)

��3

masukkan �= 0

� �

�4,, ��4

�=0− 4 �

�3 ,, ��3

�=0

=4ℎ�

�3,, ��3

�=0

+4ℎ �3(3 �3 ,�,ℎ )

��3 �=0

� 0

(4)( ,)

� −4

� 0(3)( ,ℎ)

� = 4ℎ

� 0(3)( ,ℎ)

� +4ℎ

�3(3 3 ,,)

��3

�=0

� 0

(4)( ,)

� = 4

� 0(3)( ,ℎ)

� + 4ℎ

� 0(3)( ,ℎ)

� +4ℎ

�3(3 3 ,,)

��3

�=0

� 0

(4)( ,)

� = 4 (1 +ℎ)

� 0(3)( ,ℎ)

� + ℎ �

3(3 3 ,,)

��3

�=0

karena

�3(3 3 ,,)

��3 =

� ��

�2(3 3 ,,)

��2 = �

�� 4 � ,�,ℎ . �2

��2+

�� ��

2

= 4 �

�� � ,�,ℎ . �2

��2+

�� ��

2

= 4 � ,�,ℎ .� 3

��3+

�� ��.

�2

��2+ 2

�� ��.

�2

��2 = 4 � ,�,ℎ .�

3

��3+

�� ��.

�2

��2+ 2

�� ��.

�2

��2 = 4 � ,�,ℎ .�

3

��3+ 3

�� ��.

�2


(30)

= 4 03 ,ℎ + 3 0 1 ,ℎ . 0 2 ( ,ℎ)

maka,

� 0 4( ,ℎ)

� = 4 (1 +ℎ)

� 0 3( ,ℎ)

� + ℎ �

3(3 3 ,,)

��3

�=0

= 4 (1 +ℎ)� 0

3 ( ,)

� + 2ℎ 2 03 ,ℎ + 6 0 1 ,ℎ . 0 2 ( ,ℎ)

Untuk �= 5, persamaan deformasi orde-nol diturunkan sebanyak 5 kali terhadap � menjadi

1− � �

�5 ,,

��5 −

� �

�4 ,,

��4 −4

� �

�4 ,,

��4 =�ℎ �

�5 ,,

��5 +ℎ

� �

�4 ,,

��4 + 4ℎ

� �

�4 ,,

��4 +�ℎ �

5(4 4 ,,)

��5 +ℎ

�4(4 4 ,,)

��4 + 4ℎ

�4(4 4 ,,)

��4

� �

�5 ,,

��5 − �

� �

�5 ,,

��5 −5

� �

�4 ,,

��4 =�ℎ �

�5 ,,

��5 + 5ℎ

� �

�4 ,,

��4 +�ℎ

� �

�5(4 4 ,,)

��5 + 5ℎ �

4(4 4 ,,)

��4

masukkan �= 0

� �

�5,, ��5

�=0− 5 �

�4 ,, ��4

�=0

=5ℎ�

�4,, ��4

�=0

+5ℎ �4(4 �4 ,�,ℎ )

��4 �=0

� 0

(5)( ,)

� −5

� 0(4)( ,ℎ)

� = 5ℎ

� 0(4)( ,ℎ)

� +5ℎ

�4(4 4 ,,)

��4


(31)

� 0

(5)( ,)

� = 5 (1 +ℎ)

� 0(4)( ,ℎ)

� + ℎ �

4(4 4 ,,)

��4

�=0

karena

�4(4 4 ,,)

��4 =

� ��

�(4 �4 ,�,ℎ )

��

= �

�� 4 � ,�,ℎ . �3

��3+ 3

�� ��.

�2

��2 = 4 �

�� � ,�,ℎ . �3

��3 + 3

�� ��.

�2

��2 = 4 � ,�,ℎ .�

4

��4 +

�� ��.

�3

��3+ 3

�� ��.

�3

��3+ 3

�2

��2.

�2

��2

= 4 � ,�,ℎ .� 4

��4 + 4

�� ��.

�3

��3+ 3

�2

��2 2

�4(4 �4 ,�,ℎ ) ��4

�=0

=4 � ,�,ℎ .� 4

��4 + 4

�� ��.

�3

��3+ 3

�2

��2.

�2

��2

�=0

= 4 0(4) ,ℎ + 4 0(1) ,ℎ . 0 ,ℎ (3)+ 3 0(2) ,ℎ 2

maka, � 0 5( ,ℎ)

� = 5 (1 +ℎ) � 0(4)

� + 2ℎ 2 0(4) ,ℎ + 8 0(1) ,ℎ . 0 ,ℎ (3)+ 6 0(2) ,ℎ 2


(32)

>> h=-1;

>> a=sqrt((2/abs(h))-1); >> t=-a+0.01:0.01:a-0.01; >>

b=1.+(5*h).*t.^2.+(10*h^2).*t.^2.+(10*h^2).*t.^4.+(10*h^3).* t.^2.+(20*h^3).*t.^4.+(10*h^3).*t.^6.+(5*h^4).*t.^2.+(15*h^4 ).*t.^4.+(15*h^4).*t.^6.+(5*h^4).*t.^8.+h^5.*t.^2.+(4*h^5).* t.^4.+(6*h^5).*t.^6.+(4*h^5).*t.^8.+h^5.*t.^10;

>> c=1./((t.^2)+1); >> a

a = 1

>> plot(t,b,'r',t,c,'b')

>> xlabel (‘nilai t’) >> ylabel (‘nilai u(t)’)

>> title (‘Kurva Perbandingan untuk h = - 1.75 |t|<0.7746’)

Untuk memunculkan grafik lainnya tetap menggunakan coding yang sama tetapi dengan nilai ℎ yang berbeda, dengan judul grafik menyesuaikan grafik yang di cari.


(1)

masukkan �= 0

� �

�3,, ��3

�=0− 3 �

�2 ,, ��2

�=0

=3ℎ�

�2,, ��2

�=0

+3ℎ �

2(2 2 ,,) ��2

�=0

� 0

(3) ,

� −3

� 0(2) ,ℎ

� = 3ℎ

� 0(2) ,ℎ

� +3ℎ

�2(2 2 ,,)

��2

�=0

� 0

(3) ,

� = 3

� 0(2) ,ℎ

� + 3ℎ

� 0(2) ,ℎ

� +3ℎ

�2(2 2 ,,)

��2

�=0

� 0

(3) ,

� = 3 (1 +ℎ)

� 0(2) ,ℎ

� + ℎ �

2(2 2 ,,)

��2

�=0

karena

�2(2 2 ,,)

��2 =

� ��

�(2 �2 ,�,ℎ )

��

= �

�� 2

�(�2 ,,)

��

= �

�� 4 .� ,�,ℎ . �� ��

= 4 �

�� � ,�,ℎ . �� ��

= 4 � ,�,ℎ .� 2

��2 +

�� ��

2

�2(2 �2 ,�,ℎ ) ��2

�=0

=4 � ,�,ℎ .� 2

��2 +

�� ��.

�� �� =0

= 4 � , 0,ℎ . 0 2 ,ℎ + 0 1 ,ℎ 2


(2)

= 4 2ℎ 2+ 2ℎ2 2+ 2ℎ2 4+ℎ2 4

= 4 2ℎ 2+ 2ℎ2 2+ 3ℎ2 4

= 8ℎ 3+ 8ℎ2 3+ 12ℎ2 5

maka,

� 0 3( ,ℎ)

� = 3 (1 +ℎ) � 0(2)

� + ℎ �

2(2 2 ,,)

��2

�=0

=� 0

3( ,)

� = 3 (1 +ℎ) � 0(2)

� + 2ℎ 2 02 ,ℎ + 2 0 1 ,ℎ 2

= 3 1 +ℎ � 0 2

� +ℎ(8ℎ 3+ 8ℎ2 3+ 12ℎ2 5)

= 3 1 +ℎ � 0 2

� + 8ℎ2 3+ 8ℎ3 3+ 12ℎ3 5

0 3 ,ℎ = 3 1 +ℎ 02 + 2ℎ2 4+ 2ℎ3 4+ 2ℎ3 6

= 3 1 +ℎ 2ℎ 2+ 2ℎ2 2+ 2ℎ2 4 + 2ℎ2 4+ 2ℎ3 4+ 2ℎ3 6

= 32ℎ 2+ 2ℎ2 2+ 2ℎ2 4+ 2ℎ2 2+ 2ℎ3 2+ 2ℎ3 4+ 2ℎ2 4+ 2ℎ3 4+ 2ℎ3 6

= 32ℎ 2+ 4ℎ2 2+ 4ℎ2 4+ 2ℎ3 2+ 4ℎ3 4+ 2ℎ3 6

= 6ℎ 2+ 12ℎ2 2+ 12ℎ2 4+ 6ℎ3 2+ 12ℎ3 4+ 6ℎ3 6

Untuk �= 4, persamaan deformasi orde-nol diturunkan sebanyak 4 kali terhadap � menjadi

1− � � �

�4 ,,

��4 −

� �

�3 ,,

��3 −3

� �

�3 ,,

��3 =�ℎ �

�4 ,,

��4 +ℎ

� �

�3 ,,

��3 + 3ℎ

� �

�3 ,,

��3 +�ℎ �

4(3 3 ,,)

��4 +ℎ

�3(3 3 ,,)

��3 + 3ℎ

�3(3 3 ,,)


(3)

� �

�4 ,,

��4 − �

� �

�4 ,,

��4 −4

� �

�3 ,,

��3 =�ℎ �

�4 ,,

��4 + 4ℎ

� �

�3 ,,

��3 +�ℎ

� �

�4(3 3 ,,)

��4 + 4ℎ �

3(3 3 ,,)

��3

masukkan �= 0

� �

�4,, ��4

�=0− 4 �

�3 ,, ��3

�=0

=4ℎ�

�3,, ��3

�=0

+4ℎ �3(3 �3 ,�,ℎ )

��3 �=0

� 0

(4)( ,)

� −4

� 0(3)( ,ℎ)

� = 4ℎ

� 0(3)( ,ℎ)

� +4ℎ

�3(3 3 ,,)

��3

�=0

� 0

(4)( ,)

� = 4

� 0(3)( ,ℎ)

� + 4ℎ

� 0(3)( ,ℎ)

� +4ℎ

�3(3 3 ,,)

��3

�=0

� 0

(4)( ,)

� = 4 (1 +ℎ)

� 0(3)( ,ℎ)

� + ℎ �

3(3 3 ,,)

��3

�=0

karena

�3(3 3 ,,)

��3 =

� ��

�2(3 3 ,,)

��2 = �

�� 4 � ,�,ℎ . �2

��2+

�� ��

2

= 4 �

�� � ,�,ℎ . �2

��2+

�� ��

2

= 4 � ,�,ℎ .� 3

��3+

�� ��.

�2

��2+ 2

�� ��.

�2

��2 = 4 � ,�,ℎ .�

3

��3+

�� ��.

�2

��2+ 2

�� ��.

�2

��2 = 4 � ,�,ℎ .�

3

��3+ 3

�� ��.

�2


(4)

�3(3 �3 ,�,ℎ ) ��3

�=0

=4 � ,�,ℎ .� 3

��3 + 3

�� ��.

�2

��2

�=0

= 4 03 ,ℎ + 3 0 1 ,ℎ . 0 2 ( ,ℎ)

maka,

� 0 4( ,ℎ)

� = 4 (1 +ℎ)

� 0 3( ,ℎ)

� + ℎ �

3(3 3 ,,)

��3

�=0

= 4 (1 +ℎ)� 0

3 ( ,)

� + 2ℎ 2 03 ,ℎ + 6 0 1 ,ℎ . 0 2 ( ,ℎ)

Untuk �= 5, persamaan deformasi orde-nol diturunkan sebanyak 5 kali terhadap � menjadi

1− � �

�5 ,,

��5 −

� �

�4 ,,

��4 −4

� �

�4 ,,

��4 =�ℎ �

�5 ,,

��5 +ℎ

� �

�4 ,,

��4 + 4ℎ

� �

�4 ,,

��4 +�ℎ �

5(4 4 ,,)

��5 +ℎ

�4(4 4 ,,)

��4 + 4ℎ

�4(4 4 ,,)

��4

� �

�5 ,,

��5 − �

� �

�5 ,,

��5 −5

� �

�4 ,,

��4 =�ℎ �

�5 ,,

��5 + 5ℎ

� �

�4 ,,

��4 +�ℎ

� �

�5(4 4 ,,)

��5 + 5ℎ �

4(4 4 ,,)

��4

masukkan �= 0

� �

�5,, ��5

�=0− 5 �

�4 ,, ��4

�=0

=5ℎ�

�4,, ��4

�=0

+5ℎ �4(4 �4 ,�,ℎ )

��4 �=0

� 0

(5)( ,)

� −5

� 0(4)( ,ℎ)

� = 5ℎ

� 0(4)( ,ℎ)

� +5ℎ

�4(4 4 ,,)

��4


(5)

� 0

(5)( ,)

� = 5

� 0(4)( ,ℎ)

� + 5ℎ

� 0(4)( ,ℎ)

� +5ℎ

�4(4 4 ,,)

��4

�=0

� 0

(5)( ,)

� = 5 (1 +ℎ)

� 0(4)( ,ℎ)

� + ℎ �

4(4 4 ,,)

��4

�=0

karena

�4(4 4 ,,)

��4 =

� ��

�(4 �4 ,�,ℎ )

��

= �

�� 4 � ,�,ℎ . �3

��3+ 3

�� ��.

�2

��2 = 4 �

�� � ,�,ℎ . �3

��3 + 3

�� ��.

�2

��2 = 4 � ,�,ℎ .�

4

��4 +

�� ��.

�3

��3+ 3

�� ��.

�3

��3+ 3

�2

��2.

�2

��2

= 4 � ,�,ℎ .� 4

��4 + 4

�� ��.

�3

��3+ 3

�2

��2 2

�4(4 �4 ,�,ℎ ) ��4

�=0

=4 � ,�,ℎ .� 4

��4 + 4

�� ��.

�3

��3+ 3

�2

��2.

�2

��2

�=0

= 4 0(4) ,ℎ + 4 0(1) ,ℎ . 0 ,ℎ (3)+ 3 0(2) ,ℎ 2

maka, � 0 5( ,ℎ)

� = 5 (1 +ℎ) � 0(4)

� + 2ℎ 2 0(4) ,ℎ + 8 0(1) ,ℎ . 0 ,ℎ (3)+ 6 0(2) ,ℎ 2


(6)

Lampiran 3. Coding untuk mencari bentuk kurva dari solusi yang diperoleh

>> h=-1;

>> a=sqrt((2/abs(h))-1); >> t=-a+0.01:0.01:a-0.01; >>

b=1.+(5*h).*t.^2.+(10*h^2).*t.^2.+(10*h^2).*t.^4.+(10*h^3).* t.^2.+(20*h^3).*t.^4.+(10*h^3).*t.^6.+(5*h^4).*t.^2.+(15*h^4 ).*t.^4.+(15*h^4).*t.^6.+(5*h^4).*t.^8.+h^5.*t.^2.+(4*h^5).* t.^4.+(6*h^5).*t.^6.+(4*h^5).*t.^8.+h^5.*t.^10;

>> c=1./((t.^2)+1); >> a

a = 1

>> plot(t,b,'r',t,c,'b')

>> xlabel (‘nilai t’) >> ylabel (‘nilai u(t)’)

>> title (‘Kurva Perbandingan untuk h = - 1.75 |t|<0.7746’)

Untuk memunculkan grafik lainnya tetap menggunakan coding yang sama tetapi

dengan nilai

yang berbeda, dengan judul grafik menyesuaikan grafik yang di