Selesaian Khusus Persamaan Takhomogen: Penyelesaian Dengan Metode Variasi Parameter

Penyelesaian: Dari defenisi di atas dan dari fungsi-fungsi yang telah diketahui, maka dapat dihitung: �� 2 , cos �; � = �� 2 cos � 2 � − sin � � = −� 2 sin � − 2� cos � Misalkan bahwa � 1 , � 2 , … , � � merupakan n buah penyelesaian persamaan diferensial 2.4.1. Misalkan juga bahwa fungsi-fungsi tersebut bebas linier pada selang defenisi persamaan diferensial ini. Dikatakan bahwa fungsi-fungsi itu membentuk himpunan fundamental atau sistem fundamental penyelesaian persamaan diferensial tersebut. Sebagai contoh fungsi cos � dan fungsi sin � merupakan suatu himpunan fundamental penyelesaian persamaan diferensial � ′′ + � = 0 . Juga fungsi � � dan � −� membentuk suatu himpunan fundamental penyelesaian persamaan diferensial � ′′ − � = 0.

2.7 Selesaian Khusus Persamaan Takhomogen: Penyelesaian Dengan Metode Variasi Parameter

Metode variasi parameter adalah metode yang dapat digunakan untuk menentukan selesaian khusus PD linier takhomogen dengan koefisien variabel, sehingga lebih umum daripada metode koefisien tak tentu. Perhatikan PD linier orde 2 yang mempunyai bentuk � ′′ + ��� ′ + ��� = �� 2.7.1 dengan p, q, dan r fungsi-fungsi kontinu pada suatu interval buka I. Kita akan menentukan selesaian khusus dari 2.7.1 dengan metode variasi parameter seperti berikut. Kita mengetahui bahwa PD homogen yang bersesuaian, yaitu � ′′ + ��� ′ + ��� = 0 2.7.2 mempunyai suatu selesaian umum � ℎ � pada I yang berbentuk � ℎ � = � 1 � 1 � + � 2 � 2 � 2.7.3 Metode variasi parameter terdiri dari penggantian � 1 dan � 2 dengan fungsi �� dan �� yang akan ditentukan sedemikian hingga fungsi penggantinya, yaitu � ℎ � = ��� 1 � + ��� 2 � 2.7.4 Universitas Sumatera Utara merupakan selesaian khusus dari 2.7.1 pada I. dengan menurunkan 2.7.3 diperoleh � � ′ = � ′ � 1 + �� 1 ′ + � ′ � 2 + �� 2 ′ 2.7.5 Persamaan 2.7.3 memuat dua fungsi � dan �, tetapi syarat bahwa � � memenuhi 2.7.1 mengakibatkan bahwa hanya ada satu syarat pada � dan �. . Karena itu kita bisa menerapkan kondisi syarat sebarang yang ke dua. Perhitungan berikut akan menunjukkan bahwa kita dapat menentukan � dan � sedemikian hingga � � memenuhi 2.7.1 dan � dan � memenuhi, sebagai syarat ke dua, hubungan: � ′ � 1 + � ′ � 2 = 0 2.7.6 Ini mereduksi ekspresi untuk � � ’ ke bentuk � � ’ = �� 1 ’ + �� 2 ’ . 2.7.7 Dengan menurunkan fungsi ini diperoleh � � ” = �’� 1 ’ + �� 1 ” + �’� 2 ’ + �� 2 ” 2.7.8 Dengan mensubstitusikan 2.7.3, 2.7.5 dan 2.7.6 ke dalam 2.7.1 dan mengumpulkan suku-suku yang memuat � dan � akan diperoleh �� 1 ” + �� 1 ’ + �� 1 + �� 2 ” + �� 2 ’ + �� 2 + �’� 1 ’ + �’� 2 ’ = � 2.7.9 Karena � 1 dan � 2 selesaian dari PD homogen 2.7.6, maka persamaan di atas mereduksi ke bentuk i �’� 1 ’ + �’� 2 ’ = � ii �’� 1 + �’� 2 = 0 Persamaan i dan ii merupakan sistem dua persamaan aljabar linier dari fungsi-fungsi �’ dan �’ yang tidak diketahui. Selesaian diperoleh dengan aturan Cramer: � ′ = − � 2 � � � ′ = � 1 � � 2.7.10 Dengan � = � 1 � 2 ′ + � 1 ′� 2 2.7.11 adalah Wronski dari dari � 1 dan � 2 . Jelas bahwa W≠0 karena � 1 , � 2 membangun basis selesaian. Pengintegralan 2.7.7 menghasilkan Universitas Sumatera Utara � = − ∫ � 2 � � �� � = ∫ � 1 � � �� 2.7.12 Integral ini ada karena �� kontinu. Substitusikan ekspresi untuk � dan � ini ke dalam 2.7.3, untuk memperoleh selesaian dari 2.7.1. � � � = −� 1 ∫ � 2 � � �� + � 2 ∫ � 1 � � �� 2.7.13

2.8 Konsep Fungsi Green