Pendugaan nonparametrik bagi fungsi intensitas proses poisson periodik dengan periode ganda:

(1)

FUN

PENDU

GSI INTE

D

SE

INS

UGAAN NO

ENSITAS

DENGAN P

DWIANT

EKOLAH

STITUT P

ONPARA

PROSES

PERIODE

I MARTH

H PASCAS

PERTANIA

BOGOR

2009

AMETRIK

POISSON

E GANDA

HALENA

SARJANA

AN BOGO

K BAGI

N PERIOD

A

OR

(2)

PENDUGAAN NONPARAMETRIK BAGI

FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK

DENGAN PERIODE GANDA

DWIANTI MARTHALENA

Tesis

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada

Program Studi Matematika Terapan

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2009

(3)

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Pendugaan Nonparametrik bagi Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Periode Ganda adalah karya saya dengan arahan komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun yang tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.

Bogor, Mei 2009 Dwianti Marthalena NRP G551070221

(4)

Function of a Doubly Periodic Poisson Process. Supervised by I WAYAN MANGKU and SISWANDI

In this thesis, a nonparametric estimation for the intensity function of a doubly periodic Poisson process is discussed. It is assumed that only a single realization of the Poisson process is observed in a bounded window, and the period of the intensity function is known. There are two cases to be considered. First, it is assumed that the amplitudes of the intensity function are known. Second, the amplitudes of the intensity function are not assumed to be known. Estimators for both cases have been formulated. The conditions of consistent estimators have been determined. Moreover, their Mean Square Errors converge to zero when the length of observation interval goes to infinity. Finally, asymptotic approximations to the biases, variances and Mean Square Errors of those estimators have been formulated.

Keywords: double periodic Poisson process, intensity function, nonparametric estimation, consistency, bias, variance

(5)

Proses Poisson Periodik dengan Periode Ganda. Dibimbing oleh I Wayan Mangku dan Siswandi

Terdapat banyak fenomena dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dijelaskan dengan suatu proses stokastik. Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik.

Fungsi intensitas dari proses Poisson merupakan laju dari proses Poisson tersebut. Fungsi intensitas dapat dibedakan menjadi dua, yaitu fungsi intensitas lokal dan fungsi intensitas global. Fungsi intensitas lokal menyatakan laju proses Poisson di titik tertentu, sedangkan fungsi intensitas global menyatakan rata-rata laju dari suatu proses Poisson pada suatu selang dengan panjang menuju tak hingga. Pendekatan yang dipakai pada pendugaan fungsi intensitas lokal dari suatu proses Poisson di titik s ialah menaksir rata-rata terjadinya kejadian proses Poisson tersebut dalam selang waktu di sekitar titik s. Ada beberapa metode nonparametrik untuk menduga fungsi intensitas pada suatu titik yang diberikan, diantaranya adalah metode penduga tipe kernel.

Pendugaan fungsi intensitas ini dibedakan berdasarkan periodenya, yaitu periode yang diketahui dan periode yang tidak diketahui. Pada tesis ini dikaji pendugaan nonparametrik bagi fungsi intensitas proses Poisson periodik dengan periode ganda dengan menggunakan metode penduga tipe kernel umum. Sedangkan pendugaan nonparametrik bagi fungsi intensitas proses Poisson periodik dengan periode ganda dengan menggunakan tipe kernel seragam telah dikaji pada Helmers et al. (2007).

Sebagai alur dari penelitian ini, pertama merumuskan penduga. Kemudian membuktikan penduga adalah penduga yang konsisten ketika ukuran window diperluas sampai tak hingga. Selanjutnya menghitung aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan, varian dan MSE penduga yang diperoleh.

Alur dari penelitian ini adalah sebagai berikut. Pertama dirumuskan penduga. Kemudian dibuktikan kekonsistenan penduga ketika ukuran selang pengamatan menuju tak hingga. Selanjutnya ditentukan aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan, varian dan MSE penduga yang diperoleh.

Untuk menduga fungsi intensitas pada suatu titik dari suatu proses Poisson periodik dengan periode ganda yang diamati pada interval tertutup dibedakan menjadi dua kasus, yaitu untuk amplitudo dari fungsi intensitas periodik diketahui dan amplitudo dari fungsi intensitas periodik yang tidak diasumsikan diketahui.

Dari hasil pengkajian yang dilakukan dengan suatu syarat tertentu, diperoleh hasil sebagai berikut:

(i) Penduga λ _{, ,} adalah penduga bagi fungsi intensitas periodik untuk kasus amplitudo diasumsikan diketahui. Penduga tersebut tak bias asimtotik bagi λ dan ragam dari λ _{, ,} konvergen menuju nol,

(6)

(ii) Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan λ _{, ,} adalah

Eλ _{, ,} λ λ′′ _,

untuk ∞.

(iii) Aproksimasi asimtotik bagi ragam λ _{, ,} adalah

λ _{, ,} λ _,

untuk ∞.

(iv) Aproksimasi asimtotik bagi MSEλ _{, ,} adalah

λ _{, ,} λ

4 λ 4 _,

untuk ∞.

(v) Penduga λ _{, ,} adalah penduga bagi fungsi intensitas periodik untuk kasus amplitudo diasumsikan tidak diketahui. Penduga tersebut adalah penduga yang konsisten bagi λ .

(vi) Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan λ _{, ,} adalah

E , , λ

, untuk ∞.

(vii) Aproksimasi asimtotik bagi ragam λ _{, ,} adalah

, ,

untuk ∞.

(viii) Aproksimasi asimtotik bagi MSEλ _{, ,} adalah

λ _{, ,} λ

4 λ 4 _,

untuk ∞.

(ix) Penduga _, adalah penduga bagi fungsi intensitas dan penduga tersebut adalah penduga yang konsisten bagi .

(7)

E , λ

Ι ( τ≤< τ _,

untuk ∞.

Kata kunci: proses Poisson periodik ganda, fungsi intensitas, penduga nonparametrik, kekonsistenan, bias, varian

(8)

© Hak Cipta milik IPB, tahun 2009

Hak Cipta dilindungi Undang-Undang

1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya.

a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya tulis ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah.

b. Pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor.

2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apa pun tanpa izin Institut Pertanian Bogor.

(9)

(10)

NRP : G551070221

Disetujui Komisi Pembimbing

Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. Drs. Siswandi, M.Si.

Ketua Anggota

Diketahui

Ketua Program Studi Dekan Sekolah Pascasarjana IPB Matematika Terapan

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S.

(11)

karuniaNya sehingga tesis ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Desember 2008 ini ialah fungsi intensitas proses Poisson periodik, dengan judul Pendugaan Nonparametrik bagi Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Periode Ganda.

Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. dan Bapak Drs. Siswandi, M.Si. selaku pembimbing. Terima kasih juga penulis sampaikan kepada rekan-rekan kelompok belajar penulis: Adrina Lony, Ayu Tsurayya, Deliana Hastuti Chaniago, Eviliyanida serta Santiarini Hidayah yang telah banyak membantu selama proses belajar hingga terselesaikannya tesis ini. Di samping itu, penghargaan penulis sampaikan kepada Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan beasiswa pendidikan pascasarjana dan Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan Muhammadiyah Pringsewu Tanggamus Lampung yang telah membantu selama pendidikan. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada uni, mas serta seluruh keluarga, atas segala doa dan kasih sayangnya.

Semoga tesis ini bermanfaat.

Bogor, Mei 2009

(12)

1972 dari ayah (almarhum) Mahmud Somad dan ibu (almarhumah) Hasnah Tamin. Penulis merupakan puteri kelima dari enam bersaudara.

Pendidikan sarjana ditempuh pertama di Jurusan Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Islam Bandung, lulus pada tahun 1995 dan yang kedua di Program Studi Pendidikan Matematika Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan Muhammadiyah Pringsewu Tanggamus Lampung, lulus tahun 2001. Kesempatan untuk melanjutkan ke program magister pada program studi Matematika Terapan Departemen Matematika IPB diperoleh pada tahun 2007. Beasiswa pendidikan pascasarjana diperoleh dari Departemen Agama Republik Indonesia.

Penulis bekerja sebagai Guru Mata Pelajaran Matematika di Madrasah Aliyah Negeri Kedondong Lampung Selatan sejak tahun 1999 dan Dosen pada Program Studi Pendidikan Matematika Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan Muhammadiyah Pringsewu Tanggamus Lampung sejak tahun 2001.

(13)

Halaman

DAFTAR ISI ………... ii

I PENDAHULUAN ……….. 1

1.1 Latar Belakang ……….. 1

1.2 Tujuan Penelitian ……….. 2

II TINJAUAN PUSTAKA ………. 3

2.1 Proses Poisson Periodik ………. 3

2.2 Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik ………….. 6

2.3 Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik Ganda Tipe Kernel Seragam ………. 8

III PENDUGAAN TIPE KERNEL BAGI λ PADA PROSES POISSON PERIODIK DENGAN PERIODE GANDA UNTUK KASUS DIKETAHUI ………... 10

3.1 Perumusan Penduga ………... 10

3.2 Kekonsistenan λ _{, ,} ………. 12

3.3 Sifat-sifat Statistika λ _{, ,} ………. 19

IV PENDUGAAN TIPE KERNEL BAGI λ PADA PROSES POISSON PERIODIK DENGAN PERIODE GANDA UNTUK KASUS TIDAK DIKETAHUI ………... 24

4.1 Perumusan _, dan Laju Kekonsistenannya ………. 24

4.2 Perumusan λ _{, ,} dan Kekonsistenannya ………. 28

4.3 Sifat-sifat Statistika λ _{, ,} ……… 29

V PENDUGAAN TIPE KERNEL BAGI FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN PERIODE GANDA …….. 37

(14)

5.2 Sifat-sifat Statistika λ ………. 38

VI KESIMPULAN DAN SARAN ……….. 41

DAFTAR PUSTAKA ……….. 45

(15)

1.1 Latar Belakang

Terdapat banyak fenomena dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dijelaskan dengan suatu proses stokastik. Proses stokastik merupakan model yang berkaitan dengan suatu aturan-aturan peluang. Proses stokastik mempunyai peranan penting dalam berbagai bidang pada kehidupan sehari-hari seperti untuk memodelkan proses kedatangan pelanggan pada suatu pusat pelayanan (bank, kantor pos, supermarket, dan sebagainya).

Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Fenomena yang dapat dimodelkan dengan proses Poisson periodik, di antaranya pada bidang komunikasi, asuransi dan seismologi.

Sebagai contoh, untuk menghitung besarnya klaim peserta asuransi akibat terjadinya bencana alam seperti banjir, angin topan maka dapat dimodelkan dengan suatu proses Poisson periodik dengan periode tunggal. Tetapi jika bencana alam tersebut mempunyai kecenderungan terjadi berulang setiap tahun dalam jangka waktu tertentu dengan intensitas yang berbeda, maka model yang lebih tepat adalah proses Poisson periodik dengan periode ganda.

Pada tesis ini dikaji perumusan pendugaan nonparametrik bagi fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dengan periode ganda dengan menggunakan metode tipe kernel umum. Agar suatu penduga layak untuk dipertimbangkan, maka penduga tersebut harus konsisten. Untuk memperoleh informasi tentang laju kekonsistenannya, maka perlu dirumuskan sifat-sifat statistikanya.

(16)

1.2 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah :

(i) Merumuskan penduga tipe kernel bagi fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dengan periode ganda serta mengembangkan penduga yang telah ada dengan menggunakan fungsi kernel umum.

(ii) Membuktikan kekonsistenan penduga yang diperoleh. (iii) Menentukan bias asimtotik penduga yang diperoleh. (iv) Menentukan ragam asimtotik penduga yang diperoleh.

(17)

2.1 Proses Poisson Periodik

Definisi 1 (Proses stokastik)

Proses stokastik X _{= {}_X(t)_,_{t T}∈ _{} adalah suatu himpunan dari peubah acak yang}

memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state S.

(Ross 2007)

Dengan demikian, X(t) merupakan suatu peubah acak untuk setiap t pada himpunan indeks T, dengan t menyatakan waktu dan X(t) kita sebut sebagai keadaan (state) dari proses pada waktu t. Dalam hal ini ruang state S dapat berupa himpunan bilangan bulat (atau himpunan bagiannya) atau dapat juga berupa himpunan bilangan real (atau himpunan bagiannya).

Definisi 2 (Proses stokastik dengan waktu kontinu)

Suatu proses stokastik X disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika T adalah suatu interval.

(Ross 2007)

Definisi 3 (Inkremen bebas)

Suatu proses stokastik {X(t), t T∈ } dengan waktu kontinu disebut memiliki inkremen bebas jika untuk semua t₀ <t₁<t₂ <...<t_n, peubah acak X(t1)-X(t0),

) (t2

X -X(t1), … ,X(tn)-X(tn−1) adalah bebas.

(Ross 2007)

Dengan kata lain, suatu proses stokastik X dengan waktu kontinu disebut memiliki inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang tidak tumpang tindih (tidak overlap) adalah bebas.

(18)

Definisi 4 (Inkremen stasioner)

Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {X (t), t ∈T} disebut memiliki inkremen stasioner jika X(t + s) - X(t) dengan s∈ T, memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai t.

(Ross 2007)

Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X disebut memiliki inkremen stasioner jika sebaran dari perubahan nilai antara sembarang dua titik hanya tergantung pada jarak antara kedua titik tersebut, dan tidak bergantung pada lokasi titik- titik tersebut.

Proses Poisson merupakan salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu. Untuk proses Poisson, kecuali dinyatakan secara khusus, kita anggap bahwa himpunan indeks T adalah interval bilangan nyata tak negatif, yaitu [0, ∞).

Definisi 5 (Proses pencacahan)

Suatu proses stokastik {N(t), t ≥ 0} disebut proses pencacahan jika N(t)

menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu t. Proses

pencacahan N(t) harus memenuhi syarat-syarat sebagai berikut. a. N(t)≥ 0 untuk semua t [0, ∞).

b. Nilai N(t) adalah integer (bilangan bulat). c. Jika s < t maka N(s)≤N(t), s, t ∈ [0, ∞).

d. Untuk s < t maka N(t) - N(s), sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval (s, t].

(Ross 2007)

Definisi 6 (Proses Poisson)

Suatu proses pencacahan {N(t), t≥ 0} disebut proses Poisson dengan laju λ, λ > 0, jika dipenuhi tiga syarat berikut.

a. N(0) = 0.

(19)

c. Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t, memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan λt. Jadi untuk semua t, s > 0,

P λ _! , , , ….

Dari syarat (c) bisa kita ketahui bahwa proses Poisson memiliki inkremen yang stasioner. Dari syarat ini juga kita peroleh bahwa

E(N(t)) = λt

yang juga menjelaskan kenapa λ disebut laju dari proses tersebut.

(Ross 2007)

Definisi 7 (Proses Poisson homogen)

Proses Poisson homogen adalah proses Poisson dengan laju λ yang merupakan konstanta untuk semua waktu t.

(Ross 2007)

Definisi 8 (Proses Poisson tak homogen)

Proses Poisson tak homogen adalah suatu proses Poisson dengan laju λ pada

sembarang waktu t yang merupakan fungsi tak konstan dari t yaitu λ(t).

(Ross 2007)

Definisi 9 (Fungsi intensitas)

Laju dari suatu proses Poisson tak homogen {N(t), t 0}, yaitu λ(t) disebut fungsi intensitas proses Poisson pada t.

(Ross 2007)

Definisi 10 (Intensitas lokal)

Intensitas lokal dari suatu proses Poisson tak homogen N dengan fungsi intensitas λ pada titik s Ρ adalah λ(s), yaitu nilai fungsi λ di s.

(20)

Definisi 11 (Fungsi intensitas global)

Misalkan N([0, n]) adalah proses Poisson pada interval [0, n]. Fungsi intensitas global dari proses Poisson ini didefinisikan sebagai

→∞ E , jika limit di atas ada.

(Cressie 1993)

Definisi 12 (Fungsi periodik)

Suatu fungsi λ disebut periodik jika λ(s + l ) = λ(s)

untuk semua s Ρ dan l Ζ, dengan Ζ adalah himpunan bilangan bulat.

Konstanta terkecil yang memenuhi persamaan di atas disebut periode dari fungsi λ tersebut.

(Browder 1996)

Definisi 13 (Proses Poisson periodik)

Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik.

(Mangku 2001)

Definisi 14 (Proses Poisson periodik ganda)

Proses Poisson periodik ganda adalah suatu proses Poisson yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik dengan periode ganda.

(Helmers et al. 2007)

2.2 Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik

Fungsi intensitas dari proses Poisson merupakan laju dari proses Poisson tersebut. Fungsi intensitas dapat dibedakan menjadi dua, yaitu fungsi intensitas

(21)

lokal dan fungsi intensitas global. Fungsi intensitas lokal menyatakan laju proses Poisson di titik tertentu, sedangkan fungsi intensitas global menyatakan rata-rata laju dari suatu proses Poisson pada suatu interval dengan panjang menuju tak hingga.

Pendekatan yang dipakai pada pendugaan fungsi intensitas lokal dari suatu proses Poisson di titik s ialah menaksir rata-rata terjadinya kejadian proses Poisson tersebut dalam interval waktu di sekitar titik s. Secara matematis,

misalkan , jika n → ∞ dan N[0,t] menyatakan banyaknya kejadian yang

terjadi pada [0,t], maka intensitas lokal di titik s dapat dihampiri oleh

, .

Sedangkan pendekatan yang dipakai pada pendugaan fungsi intensitas global dari suatu proses Poisson ialah menaksir rata-rata terjadinya kejadian proses Poisson tersebut pada interval waktu [0, n]. Secara matematis, intensitas global dapat dihampiri dengan

, .

Pada proses Poisson periodik, ada beberapa metode nonparametrik untuk menduga fungsi intensitas pada suatu titik yang diberikan, diantaranya adalah

penduga tipe kernel dan metode penduga titik terdekat (nearest neighbor

estimation).

Pendugaan fungsi intensitas ini dapat dibedakan berdasarkan diketahui atau tidaknya periode dari proses tersebut. Untuk periode yang tidak diketahui, pendugaan fungsi intensitas lebih sulit dibandingkan jika periodenya diketahui. Meskipun demikian, sifat-sifat statistika untuk penduga tersebut dengan pendekatan tipe kernel telah dirumuskan pada Helmers et al. (2005). Selain itu, pembuktian kekonsistenan penduga fungsi intensitas lokal menggunakan metode titik terdekat telah dikaji pada Mangku (1999). Pemodelan suatu fenomena dengan proses Poisson periodik berkembang dengan menyertakan tren linear (Helmers dan Mangku 2007) maupun menggunakan periodik ganda dalam fungsi intensitasnya. Penduga nonparametrik pada fungsi intensitas Poisson periodik ganda dengan menggunakan tipe kernel seragam telah dikaji pada Helmers et al. (2007).

(22)

2.3 Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik Ganda Tipe Kernel Seragam

Pendugaan fungsi intensitas proses Poisson periodik dengan periode ganda dengan menggunakan metode tipe kernel seragam telah dikaji oleh Helmers et al. (2007). Dalam kajiannya beliau telah mengkontruksi dan menyelidiki penduga konsisten nonparametrik tipe kernel seragam bagi fungsi intensitas proses Poisson periodik ganda dengan asumsi hanya sebuah realisasi proses Poisson yang diamati pada sebuah window terbatas. Membuktikan penduga adalah konsisten ketika ukuran window diperluas sampai tak hingga. Kemudian menghitung bias asimtotik dan varian asimtotik penduga.

Untuk merumuskan penduga λ, pertama mendefinisikan , l = 2, 3, …, L dan pada titik s ∈ [0, τ) secara berturut-turut sebagai berikut :

, ,

dan

⏐ ⏐ ,

[ τ _, τ ] )

Dengan l = 1, 2, …, L, _, , ; untuk

setiap i = 1, 2, …, L, dan merupakan barisan bilangan real

positif yang konvergen ke 0, yaitu : ↓ untuk n→∞. Penduga λ pada titik s∈ [0, Lτ) adalah

, , Ι ( τ≤ < τ .

Pembuktian bahwa penduga yang diperoleh adalah penduga yang konsisten dan menghitung bias asimtotik serta varian asimtotik penduga, hal ini diperoleh melalui tiga teorema sebagai berikut :

(23)

Misalkan fungsi intensitas ∑ λ Ι ( τ≤ < τ dan terintegralkan lokal. Jika ↓ dan | |→∞ maka

untuk n → ∞, asalkan s adalah titik Lebesque bagi λ. Dengan kata lain

adalah penduga konsisten bagi .

Teorema 2.2 (Pendekatan asimtotik bagi nilai harapan)

Misalkan fungsi intensitas ∑ λ Ι ( τ≤ < τ dan

terintegralkan lokal. Jika memiliki turunan kedua terhingga di s,

↓_dan _{| |}→∞ maka untuk s ∈ [0, Lτ),

E λ ₆ Ι ( τ≤< τ

untuk n→∞.

Teorema 2.3 (Pendekatan asimtotik bagi ragam)

Misalkan fungsi intensitas ∑ λ Ι ( τ≤ < τ dan

terintegralkan lokal. Jika ↓ dan | |→∞ maka untuk s ∈ [0, Lτ), _{| |}λ Ι ( τ≤< τ

| | untuk n → ∞, asalkan s adalah titik Lebesque bagi . (Lihat Definisi 35 pada Lampiran 1).

(24)

POISSON PERIODIK DENGAN PERIODE GANDA UNTUK

KASUS

DIKETAHUI

3.1 Perumusan Penduga

Misalkan N_{adalah proses Poisson yang diamati pada interval} ,

dengan fungsi intensitas λ yang tidak diketahui. Fungsi ini diasumsikan terintegralkan lokal dan periodik dengan periode T > 0 sehingga berlaku λ

λ untuk setiap dan dengan adalah himpunan bilangan bulat. Misalkan pula untuk setiap , kita dapat menulis λ sebagai:

λ(s) =

λ _{; jika}0≤<τ λ _{; jika}τ≤< τ

≈

λ _{; jika} τ≤<Τ

λ Ι ( τ≤< τ dengan

Ι ( τ≤< τ _{; jika}_{; selainnya}( τ≤ < τ

dan T = Lτ, λ adalah fungsi periodik dengan periode τ > 0 dan > 0, l = 2, 3, … , L adalah kontanta positif yang tidak diketahui; L diasumsikan diketahui. Tanpa mengurangi keumuman, dapat diasumsikan = 1. Hal ini dapat dijelaskan sebagai berikut:

λ λ Ι ( τ≤< τ

λ Ι ( τ≤< τ _, dengan = 1. Oleh karena itu diasumsikan = 1. Dalam bahasan ini tidak diasumsikan suatu bentuk parametrik dari λ kecuali bahwa λ adalah periodik dengan periode τ yaitu persamaan:

(25)

λ τ λ _, berlaku untuk setiap , ∞ . dan .

Misalkan untuk suatu ω ∈ Ω, kita hanya memiliki sebuah realisasi N(ω)

dari proses Poisson N yang terdefinisi pada suatu ruang peluang (Ω, Φ, P) dengan fungsi intensitas λ seperti (1) yang diamati pada interval terbatas [0, n] ⊂ [0, ∞). Kita mengasumsikan bahwa s adalah titik Lebesque dari λ, sehingga

berlaku:

lim |λ λ _|dx _. Syarat cukup agar s merupakan titik Lebesque dari λ adalah fungsi λkontinu di s. Karena λ adalah fungsi periodik dengan periode T = Lτ (diketahui) maka untuk

menduga λ pada dapat direduksi menjadi masalah mendugaλ pada , .

Pada bahasan ini dapat dilihat dua kasus, yaitu pertama kita asumsikan diketahui dan kedua tidak diasumsikan diketahui. Kita mulai pada Bab III ini dengan kasus pertama, yaitu diasumsikan diketahui.

Misalkan , ∞ merupakan fungsi bernilai real, yang disebut

kernel, yang memenuhi sifat-sifat berikut:

(K.1) K merupakan fungsi kepekatan peluang (K.2) K terbatas

(K.3) K memiliki daerah definisi pada [-1, 1] (Lihat Helmers et al. 2003, 2005).

Misalkan juga merupakan barisan bilangan real positif yang konvergen ke 0, yaitu:

↓₄

untuk ∞.

Dengan notasi di atas, dapat didefinisikan penduga λ pada titik , sebagai berikut:

λ _{, ,} τ τ ,

(26)

Ide di balik penyusunan dari penduga tipe kernel λ _{, ,} dari λ dapat dijelaskan sebagai berikut:

Dari (1) dan (2) untuk setiap titik s dan maka

λ λ τ λ τ (( τ≤< τ)_{. 6}

Nilai fungsi λ τ di titik s dapat didekati dengan nilai rataan dari banyaknya kejadian disekitar titik s, yaitu pada interval [ τ , τ ], serta dengan menggunakan (4) dan (6) dapat ditulis

λ _{, ,} τ E [ τ , τ ])_.

Dengan mengganti E [ τ , τ ]) dengan padanan

stokastiknya [ τ , τ ]), persamaan (7) dapat ditulis:

λ _{, ,} τ [ τ , τ ])

I , [ τ , τ ]) dx

τ τ

dimana I _, . Agar penduga lebih umum, maka digunakan fungsi kernel umum K yang memenuhi (K.1), (K.2) dan (K.3). Akhirnya kita peroleh persamaan (5).

3.2 Kekonsistenan λ _{, ,}

Lema 1 (Ketakbiasan asimtotik)

Misalkan diketahui fungsi intensitas λ seperti (1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3), ↓ dan →∞ maka

(27)

untuk ∞, asalkan s adalah titik Lebesque bagi λ .

Bukti:

Untuk membuktikan persamaan (9) akan ditunjukkan bahwa

lim →∞E λ , , λ .

Dari persamaan (5) maka

Eλ _{, ,} _E τ τ

τ τ E

τ τ

λ (_x∈_, _.

Dengan mengganti variabel, misalkan τ , sehingga persamaan (11) dapat ditulis menjadi

λ τ (_y τ∈_,

(_y τ∈_, _.

Dengan melihat bahwa

(_y τ∈_, _τ Ο(1)_,

akibatnya diperoleh

Eλ _{, ,} τ

τ Ο(1) τ

(28)

τ Ο(1) , 4 Karena kernel K memenuhi kondisi (K.2) maka

, adalah konstanta.

Sehingga suku pertama dari persamaan (14) dapat ditulis τ _τ Ο(1)

τ _τ Ο(1)

τ Ο(1) | | .

Karena adalah titik Lebesque dari maka ruas kanan (15) adalah , jika ∞.

Karena K juga memenuhi kondisi (K.1) dan dengan mengganti variabel yaitu misal: , maka suku kedua ruas kanan 4 dapat ditulis τ

τ Ο(1) λ Ο

λ _{. 6} Dari (15) dan (16) maka (14) dapat ditulis

λ _. untuk ∞.

Sehingga kita peroleh persamaan (9). Dengan demikian Lema 1 terbukti.

(29)

Misalkan diketahui fungsi intensitas λ seperti (1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3), ↓ dan → ∞ untuk

∞, maka

λ _{, ,} →_, untuk ∞, asalkan s adalah titik Lebesque bagi λ .

Bukti:

λ _{, ,} τ τ _.

Untuk n yang cukup besar, karena ↓ untuk ∞, maka interval [

τ _, τ ] dan [ τ , τ ], untuk

≠ tidak saling tumpang tindih (tidak overlap). Sehingga untuk semua ≠ , τ

dan τ

adalah bebas. Jadi varian bagi λ _{, ,} dapat ditentukan sebagai berikut

λ _{, ,} τ τ .

(20) Karena N adalah proses Poisson, maka Var(N) = E(N) sehingga ruas kanan persamaan (20) dapat ditulis

τ τ

τ λ Dengan mengganti variabel, misalkan τ , maka (21) dapat ditulis

(30)

τ∈_, τ

τ∈_, _.

Dengan (13), maka (22) dapat dituliskan menjadi τ

τ Ο(1) τ

τ Ο(1) . Karena adalah titik Lebesque dari dan kernel K terbatas maka

, untuk ∞, sehingga suku pertama ruas kanan (23) adalah

τ Ο(1)

, 4 untuk ∞.

Selanjutnya kita perhatikan suku kedua (23). Dengan mengganti variabel dan karena fungsi kernel K memenuhi (K.3) maka suku kedua (23) dapat dituliskan menjadi

τ Ο(1)

τ Ο

(31)

τλ

Ο , untuk ∞.

Dengan mensubtitusikan (24) dan (25) ke (23), maka diperoleh

λ _{, ,} 1 τλ

τλ

, 6 untuk ∞. Sehingga untuk membuktikan (18) cukup ditunjukkan

τλ

, untuk ∞.

Karena τ adalah konstanta, ∑ untuk , l = 1, 2, …, L, ↓ dipenuhi dan →∞ untuk ∞, maka didapatkan (27). Dengan demikian Lema 2 terbukti.

Teorema 1 (Kekonsistenan λ _{, ,} )

Misalkan diketahui fungsi intensitas λ seperti (1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3), ↓ dan →∞ maka

λ _{, ,} λ untuk ∞, asalkan s adalah titik Lebesque bagi λ . Dengan kata lain, λ _{, ,} adalah penduga konsisten dari λ .

Bukti:

Untuk membuktikan (28), berdasarkan definisi maka akan diperlihatkan untuk setiap ε berlaku

P λ_{, ,} λ >ε →0_,

untuk ∞.

(32)

P λ_{, ,} λ >ε

P λ_{, ,} _Eλ _{, ,} _Eλ _{, ,} λ >ε _.

Dengan ketaksamaan segitiga maka, persamaan (30) menjadi

≤_P λ_{, ,} _Eλ _{, ,} Eλ_{, ,} λ

P λ_{, ,} _Eλ _{, ,} _Eλ _{, ,} λ .

Berdasarkan Lema (1) yaitu Eλ _{, ,} →λ , jika ∞ maka ada N

sehingga

Eλ _{, ,} λ ≤ ε

untuk semua n>N.

Dengan mensubstitusikan (32) ke ruas kanan (31) maka (31) menjadi P Eλ _{, ,} λ ε _.

Kemudian dengan menggunakan ketaksamaan Chebysev (Lema 11 dalam Lampiran 1), maka

P Eλ _{, ,} λ ≤ ε ≤4 λ , ,

ε .

Berdasarkan Lema (2) yaitu λ _{, ,} → , untuk ∞ , maka 4 λ _{, ,}

ε →0 .

Sehingga (29) terbukti benar. Dengan demikian Teorema 1 terbukti.

Teorema 2 (Kekonvergenan MSE)

Misalkan diketahui fungsi intensitas λ seperti (1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3), ↓ dan →∞ maka

λ _{, ,} →_, untuk ∞, asalkan s adalah titik Lebesque bagi λ .

(33)

Berdasarkan definisi dari MSE, Teorema di atas merupakan akibat dari Lema 1 tentang ketakbiasan asimtotik bagiλ _{, ,} dan Lema 2 tentang kekonvergenan ragam bagi λ _{, ,} .

Karena Eλ _{, ,} →λ , yang berarti jika ∞ maka

Eλ _{, ,} λ →0 dan karena λ _{, ,} → , akibatnya dengan menggunakan definisi dari MSE maka diperoleh

λ _{, ,} λ _{, ,} λ _{, ,} →_,

untuk ∞.

Jadi Teorema 2 terbukti.

3.3 Sifat-sifat Statistika λ _{, ,}

Teorema 3 (Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan penduga)

Misalkan diketahui fungsi intensitas λ seperti (1) dan terintegralkan lokal. Misalkan pula ↓ dan → ∞ untuk ∞, serta λ memiliki turunan kedua yang bernilai berhingga di sekitar s. Jika kernel K memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3) dan simetrik, maka

Eλ _{, ,} λ λ _{, 4}

untuk ∞.

Bukti:

Berdasarkan bukti Lema 1 mengenai ketakbiasan asimtotik maka nilai harapan dari λ _{, ,} dapat ditulis

Eλ _{, ,} τ τ _E _.

(34)

Eλ _{, ,} τ (_y τ∈_, _.

Dengan menggunakan persamaan (13) maka persamaan tersebut di atas dapat ditulis

Eλ _{, ,} τ

τ Ο(1)

Ο _.

Karena memiliki turunan kedua pada s maka kontinu pada s, mengakibatkan memiliki nilai yang terbatas disekitar s. Dengan formula Young kita peroleh

! ! , 6

λ λ

! , untuk ∞.

Substitusikan (37) ke (35) sehingga diperoleh

Ο λ λ

! .

(38) Dengan mengganti variabel, maka (38) dapat ditulis

λ λ

! Ο

λ λ λ

Ο _,

untuk →∞.

Karena K adalah simetrik dan memenuhi kondisi (K.1) dan (K.3) maka (39) dapat ditulis

(35)

λ λ Ο

λ λ Ο _,

untuk →∞. Karena ∞, maka ruas kanan persamaan di atas dapat ditulis menjadi

λ λ _{, 4}

untuk →∞. Dengan demikian kita peroleh persamaan (34). Jadi Teorema 3 terbukti.

Teorema 4 (Aproksimasi asimtotik bagi ragam penduga)

Misalkan diketahui fungsi intensitas λ seperti (1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3) dan ↓ maka

λ _{, ,} λ _{, 4}

untuk ∞, asalkan s adalah titik Lebesque bagi λ .

Bukti:

Pada dasarnya pembuktian Teorema 4 ini sama dengan pembuktian Lema 2 mengenai kekonvergenan ragam. Pada pembuktian Lema 2 tersebut telah kita peroleh persamaan (26) yaitu

λ _{, ,} λ

untuk ∞, yang secara langsung telah membuktikan juga persamaan (41). Sehingga Teorema 4 terbukti.

(36)

Corollary 1 (Aproksimasi asimtotik bagi MSE penduga)

Misalkan diketahui fungsi intensitas λ seperti (1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3) dan simetrik, ↓ dan

∞ serta λ memiliki turunan kedua yang bernilai berhingga di sekitar s, maka

λ _{, ,} λ

4 λ 4 _{, 4}

untuk ∞.

Bukti:

Berdasarkan definisi MSE maka

λ _{, ,} λ _{, ,} λ _{, ,} _{, 4}

dengan Bias λ _{, ,} Eλ _{, ,} λ .

Dengan menggunakan Teorema 3 dan Teorema 4 maka diperoleh

λ _{, ,} λ

dan

λ _{, ,} λ _.

Sehingga diperoleh

λ _{, ,} λ

(37)

4 λ 4 , untuk ∞. Dengan demikian kita peroleh persamaan (42). Jadi Corollary 1 terbukti.

(38)

POISSON PERIODIK DENGAN PERIODE GANDA UNTUK

KASUS

TIDAK DIKETAHUI

4.1 Perumusan _, dan Laju Kekonsistenannya

Pada kasus kedua bahwa tidak diasumsikan diketahui. Dari kondisi ini, sebelum merumuskan suatu penduga dari λ kita perlu merumuskan terlebih dulu penduga yang konsisten.

Penduga dari , , , … , dapat diformulasikan sebagai berikut:

, ,

, , 44

dengan _, , , . Sehingga penduga dari λ

untuk kasus kedua ini dapat diformulasikan seperti pada (5) dengan mengganti nilai pada persamaan tersebut dengan _, .

Lema 3

Misalkan fungsi intensitas λ seperti (1) dan terintegralkan lokal. Maka untuk setiap dan untuk setiap , , … ,

, , 4

untuk ∞.

Bukti:

Untuk setiap , , … , dapat ditulis

, ,

, /

, / , 46

(39)

Pertama ditunjukkan bahwa untuk setiap dan untuk setiap , , , … ,

, _{, 4}

untuk ∞, dengan .

Untuk membuktikan (47) cukup periksa untuk setiap dan untuk setiap , , , … ,

, E , _{, 4}

dan

E , _{, 4}

untuk ∞.

Untuk bukti (48) dan (49), pertama ditunjukkan bahwa untuk setiap , , , … ,

E , _Ο _,

untuk ∞.

Untuk membuktikan (50), untuk setiap , , , … ,

E , E τ, ,

λ τ (x τ∈ ,

λ _x τ∈_, _.

Dengan melihat bahwa

(_x τ∈_,

τ Ο(1), untuk ∞, akibatnya diperoleh

(40)

τ Ο(1)

Ο Ο _,

untuk ∞. Sehingga (50) terbukti.

Dengan (50) ruas kiri (49) dapat ditulis menjadi

E , _Ο

Ο Ο

, untuk ∞. Sehingga (49) terbukti.

Untuk membuktikan (48) maka akan diperlihatkan untuk setiap dan , , , … , berlaku

P , E , . 4

Peluang pada ruas kanan (54) sama dengan

P , E ,

berdasarkan ketaksamaan Chebysev (Lema 4 dalam Lampiran 1) dan dengan menggunakan (50), maka ruas kanan (55)

, E _,

Ο _,

yang konvergen ke 0, untuk ∞, karena . Sehingga (54) terbukti. Akibatnya kita dapatkan (47) dan untuk setiap , , , … ,

(41)

, _{, 6}

untuk ∞. Selanjutnya substitusikan (56) untuk pada penyebut ruas kanan (46) dan untuk , , … , pada pembilang ruas kanan (46) dan

sehingga ruas kiri (45) dapat ditulis menjadi

, , /

, /

. Sehingga (43) terbukti. Dengan demikian Lema 3 terbukti.

4.2 Perumusan _{, ,} dan Kekonsistenannya

Pada kasus kedua formulasi penduga _{, ,} tidak berbeda jauh dengan formulasi penduga pada kasus pertama, hanya mengganti pada kasus pertama dengan _, . Sehingga penduga _{, ,} pada kasus kedua ini dapat diformulasikan sebagai berikut:

λ _{, ,} τ

, dengan , i = 1, 2, …, L, K adalah suatu kernel, dan adalah barisan bilangan real positif yang konvergen ke nol, yaitu ↓ untuk n → ∞

serta _, adalah penduga bagi .

Ide di balik penyusunan penduga tipe kernel λ _{, ,} bagi λ sama dengan penyusunan penduga _{, ,} bagi λ pada kasus pertama.

(42)

Teorema 5 (Kekonsistenan _{, ,} )

Misalkan fungsi intensitas λ seperti (1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K

memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3), ↓ dan →∞ maka

, , ,

untuk ∞, asalkan s adalah titik Lebesque bagi . Dengan kata lain

, , adalah penduga konsisten bagi . Bukti:

Dengan menggunakan hasil pada Teorema 1 pada bab III bahwa λ _{, ,} λ , maka untuk membuktikan Teorema 5, cukup dibuktikan

, , , , ,

untuk ∞.

Dengan (5) dan (57), maka ruas kiri (59) dapat ditulis menjadi

, , , ,

(60) Berdasarkan (60) maka untuk membuktikan (59) cukup periksa untuk setiap

, , … , ,

, , 6

untuk ∞. Dengan (45) bahwa untuk setiap dan untuk setiap , , … , kita mempunyai untuk ∞, sehingga ruas kiri (61) dapat ditulis menjadi

(43)

untuk ∞. Sehingga (61) terbukti. Dengan demikian ruas kanan (60) dapat ditulis menjadi

τ τ

, 6 untuk ∞. Sehingga (59) terbukti. Akibatnya kita peroleh (58). Dengan demikian Teorema 5 terbukti.

4.3 Sifat-sifat Statistika _{, ,}

Teorema 6 (Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan penduga)

Misalkan diketahui fungsi intensitas λ seperti (1) dan terintegralkan lokal. Misalkan pula ↓ dan ∞ serta λ memiliki turunan kedua yang bernilai berhingga di sekitar s. Jika kernel K memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3) dan simetrik, maka untuk , :

E , , λ

, 64 untuk ∞.

Untuk membuktikan Teorema 6 diperlukan dua Lema berikut:

Lema 4

Misalkan fungsi intensitas λ seperti (1) dan terintegralkan lokal. Maka untuk setiap , , … ,

(44)

dan

, Ο 66

untuk ∞.

Bukti:

Bukti dari Lema 4 ini dapat dilihat pada jurnal Helmers et al 2007 halaman 490.

Lema 5

Misalkan fungsi intensitas λ seperti (1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K

memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3), ↓ dan →∞ maka

E τ τ Ο _{, 6}

dan

E τ τ Ο _{, 6}

untuk ∞.

Bukti:

Untuk membuktikan (67), maka misalkan

τ τ

, 6 dengan kontanta diketahui untuk setiap i = 1, 2, …, L. Sehingga ruas kiri (67) dapat ditulis menjadi

E E . Oleh karena itu untuk membuktikan (67), maka cukup dibuktikan bahwa ruas kiri (70) adalah sama dengan Ο untuk ∞. Pertama menentukan suku kedua ruas kanan (70)

(45)

E E τ τ

E τ τ .

Dengan melihat bahwa

E τ τ E λ _{, ,} _.

Berdasarkan Teorema 3 pada bab III telah diperoleh bahwa

Eλ _{, ,} λ λ _,

untuk ∞. Sehingga ruas kanan (71) dapat ditulis menjadi

λ λ .

Dengan (73), maka suku kedua ruas kanan (70) sama dengan

E λ λ

Ο _{, 4}

untuk ∞.

Selanjutnya menentukan suku pertama ruas kanan (70)

τ τ

. Dengan melihat bahwa

τ τ

(46)

Berdasarkan Teorema 4 pada bab III telah diperoleh bahwa

λ _{, ,} λ _{, 6}

untuk ∞. Sehingga ruas kanan (75) dapat ditulis menjadi λ

. Dengan (77), maka suku pertama ruas kanan (70) sama dengan

Ο _,

untuk ∞.

Kemudian substitusikan (74) dan (78) pada (70), maka diperoleh

E Ο Ο

Ο _,

untuk ∞. Hal ini mengakibatkan (67) terbukti.

Untuk membuktikan persamaan (68), maka lihat pada jurnal Helmers et al 2007 halaman 490. Dengan demikian Lema 5 terbukti.

Bukti Teorema 6:

Untuk membuktikan persamaan (64), maka ruas kiri (64) dapat ditulis menjadi Eλ _{, ,} _Eλ _{, ,} _E λ _{, ,} λ _{, ,} _. Berdasarkan Teorema 3 pada bab III maka suku pertama ruas kanan (80) telah kita dapatkan bahwa

Eλ _{, ,} λ λ _.

Oleh karena itu untuk membuktikan (64) cukup ditunjukkan bahwa suku kedua ruas kanan (80) adalah sama dengan . Sehingga suku kedua ruas kanan (80) dapat ditulis menjadi

(47)

E λ _{, ,} λ _{, ,} E τ , ∞ ∞ τ τ τ E τ , τ . Dengan menggunakan ketaksamaan Cauchy-Schwarz, kita dapatkan ruas kanan (81) tidak akan melebihi

E τ , τ E , E τ τ . Berdasarkan Lema 4 dan Lema 5, maka ruas kanan pertidaksamaan (82) dapat ditulis menjadi Ο Ο Ο √ Ο √ , dengan asumsi ∞, maka persamaan di atas adalah berorde untuk

∞. Dengan demikian suku kedua (80) adalah sama dengan . Hal ini mengakibatkan (64) terbukti. Dengan demikian Teorema 6 terbukti.

Teorema 7 (Pendekatan asimtotik bagi ragam)

Misalkan fungsi intensitas λ seperti (1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K

(48)

, ,

untuk ∞, asalkan s adalah titik Lebesque bagi .

Bukti:

λ _{, ,} λ _{, ,} λ _{, ,} λ _{, ,} λ _{, ,} λ _{, ,} λ _{, ,} λ _{, ,} _, λ _{, ,} λ _{, ,} _{. 4} Suku pertama ruas kanan (84) yaitu λ _{, ,} telah kita peroleh pada kasus pertama yaitu

λ _{, ,} λ ,

untuk ∞.

Oleh karena itu untuk membuktikan (83) cukup ditunjukkan bahwa suku kedua dan ketiga dari (84) adalah sama dengan . Suku kedua (84) dapat ditentukan sebagi berikut

λ _{, ,} λ _{, ,} _E λ _{, ,} λ _{, ,} _{. 6} Dengan (5) dan (57), maka ruas kanan (86) dapat ditulis menjadi

E λ _{, ,} λ _{, ,} E τ

τ τ

E τ

(49)

Dengan menggunakan ketaksamaan Cauchy-Schwarz, kita dapatkan ruas kanan (87) tidak akan melebihi

E τ

, E

τ τ

. Berdasarkan Lema 4 dan Lema 5, maka ruas kanan pertidaksamaan (82) dapat ditulis menjadi

Ο Ο

Ο untuk ∞. Dengan demikian kita peroleh bahwa

λ _{, ,} λ _{, ,} Ο _,

dengan asumsi ∞ untuk ∞, maka (90) dapat ditulis menjadi λ _{, ,} λ _{, ,} _, untuk ∞.

Dari persamaan (85), (91) dan dengan menggunakan ketaksamaan Cauchy-Schwarz, maka suku ketiga (84) tidak akan melebihi

, untuk ∞.

Dengan mensubstitusikan (85), (91) dan (92) ke persamaan (84), kita peroleh

(50)

λ _{, ,} λ λ

, untuk ∞. Sehingga kita peroleh (83). Dengan demikian Teorema 7 terbukti.

Corollary 2 (Aproksimasi asimtotik bagi MSE penduga)

Misalkan fungsi intensitas λ seperti (1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K

memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3) dan simetrik, ↓ dan ∞ serta λ memiliki turunan kedua yang bernilai berhingga di sekitar s, maka

, ,

4 λ 4

4 untuk ∞.

Bukti:

Pada dasarnya pembuktian Corollary 2 ini sama dengan pembuktian Corollary 1 pada bab III. Dengan mengganti λ _{, ,} dengan _{, ,} , maka diperoleh persamaan (94). Dengan demikian Corollary 2 terbukti.

(51)

PROSES POISSON PERIODIK DENGAN PERIODE GANDA

5.1 Perumusan _, dan Kekonsistenannya

Dengan (1), (44) dan (57) kita dapat mendefinisikan penduga dari λ pada titik , sebagai berikut:

λ _, _, λ _{, ,} Ι ( τ≤< τ _.

Teorema 7 (Kekonsistenan _, )

Misalkan fungsi intensitas λ seperti (1) dan terintegralkan lokal. Jika ↓ dan ∞ maka

, , 6

untuk ∞, asalkan s adalah titik Lebesque bagi λ. Dengan kata lain adalah penduga konsisten bagi .

Bukti:

Untuk membuktikan Teorema 7, cukup dibuktikan untuk setiap , , … ,

, , , , , , , , , , ,

dan

, , λ ,

untuk ∞.

Berdasarkan Teorema 1 pada bab III tentang kekonsistenan _{, ,} maka kita telah mendapatkan (99). Sedangkan (98) telah dibuktikan pada (59) bab IV. Jadi untuk membuktikan Teorema 7 hanya tinggal membuktikan persamaan (97). Untuk membuktikan persamaan (97), maka ruas kiri (97) dapat ditulis menjadi

(52)

, , , , , , , , .

Dengan (98) dan (99), maka kita mendapatkan bahwa _{, ,} Ο untuk ∞. Kemudian dengan (45), maka ruas kanan (100) dapat ditulis menjadi

Ο ,

untuk ∞. Sehingga (97) terbukti. Akibatnya kita peroleh (96). Dengan demikian Teorema 7 terbukti.

5.2 Sifat-sifat Statistika

Teorema 8 (Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan penduga)

Misalkan fungsi intensitas λ seperti (1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K

adalah simetrik dan memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3), ↓ dan ∞ serta λ memiliki turunan kedua yang bernilai berhingga di sekitar s, maka untuk , :

E , λ

Ι ( τ≤< τ , untuk ∞.

Untuk membuktikan Teorema 8 diperlukan Lema berikut:

Lema 6

Misalkan fungsi intensitas λ seperti (1) dan terintegralkan lokal. Maka untuk setiap , , … ,

E , Ο

(53)

Bukti:

Bukti dari Lema 6 ini dapat dilihat pada jurnal Helmers et al 2007 halaman 490.

Bukti Teorema 8:

Untuk membuktikan persamaan (102), pertama untuk setiap , , , … , maka ruas kanan (102) dapat ditulis menjadi

E , E , λ , , Ι ( τ≤ < τ

E , λ , , Ι ( τ≤ < τ

E , λ , , λ , , λ , , Ι ( τ≤ < τ

E , λ , , λ , , Ι ( τ≤ < τ

E λ _{, ,} Ι ( τ≤< τ _, ₄ Berdasarkan Teorema 6, untuk setiap , , , … , maka suku kedua ruas kanan (104) dapat ditulis menjadi

λ λ Ι ( τ≤< τ

λ λ Ι ( τ≤< τ _,

untuk ∞. Selanjutnya cukup ditunjukkan bahwa suku pertama ruas kanan (104) adalah sama dengan . Sehingga suku pertama ruas kanan (104) dapat ditulis menjadi

(54)

Dengan menggunakan ketaksamaan Cauchy-Schawrz, kita dapatkan

E , λ , , E , E λ , , .

Berdasarkan Teorema 6 dan Teorema 7 maka diperoleh

E λ _{, ,} λ _{, ,} _E λ _{, ,}

λ λ

Ο Ο Ο _,

untuk ∞. Sehingga didapat E _{, ,} Ο .

Dengan menggunakan Lema 6 dan (108), maka ruas kanan (107) dapat ditulis menjadi

Ο Ο

√

√ , untuk ∞.

Dengan asumsi ∞, maka persaman di atas adalah berorde untuk ∞. Sehingga kita peroleh bahwa (114) adalah

E , λ , , Ι ( τ≤ < τ ,

untuk ∞.

Dengan mensubstitusikan (105) dan (109) pada (104) maka diperoleh persamaan (102). Dengan demikian Teorema 8 terbukti.

(55)

6.1 Kesimpulan

Untuk menduga fungsi intensitas

λ Ι ( τ≤< τ

dari suatu fungsi intensitas pada titik , dari suatu proses Poisson periodik dengan periode ganda yang diamati pada interval , dibedakan menjadi dua kasus, yaitu kasus diketahui dan tidak diketahui. Selain itu, diasumsikan periode T = Lτ diketahui sedangkan λ tidak diketahui.

Untuk diketahui digunakan penduga tipe kernel bagi λ pada , sebagai berikut

λ _{, ,} τ τ _,

dengan kontanta diketahui untuk setiap i = 1, 2, …, L, , K adalah suatu kernel, dan adalah barisan bilangan real positif yang konvergen ke nol, yaitu ↓ untuk n →∞.

Dari hasil pengkajian yang dilakukan dengan suatu syarat tertentu, diperoleh hasil sebagai berikut:

(i) Penduga λ _{, ,} adalah penduga tak bias asimtotik bagi λ dan ragam dari λ _{, ,} konvergen menuju nol, sehingga λ _{, ,} merupakan penduga konsisten bagi λ dan λ _{, ,} → untuk ∞.

(ii) Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan λ _{, ,} adalah

Eλ _{, ,} λ λ′′ _,

(56)

(iii) Aproksimasi asimtotik bagi ragam λ _{, ,} adalah

λ _{, ,} λ _,

untuk ∞.

(iv) Aproksimasi asimtotik bagi MSEλ _{, ,} adalah

λ _{, ,} λ

4 λ 4 _,

untuk ∞.

Untuk tidak diasumsikan diketahui digunakan penduga tipe kernel bagi λ pada , sebagai berikut

λ _{, ,} τ

dengan , i = 1, 2, …, L, K adalah suatu kernel, adalah barisan bilangan real positif yang konvergen ke nol, yaitu ↓ untuk n →∞ serta _, adalah penduga bagi .

Penduga _, ,

, adalah penduga konsisten bagi dengan ,

, , .

Dari hasil pengkajian yang dilakukan dengan suatu syarat tertentu, diperoleh hasil sebagai berikut:

(i) Penduga λ _{, ,} adalah penduga yang konsisten bagi λ . (ii) Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan λ _{, ,} adalah

E , , λ

, untuk ∞.

(57)

(iii) Aproksimasi asimtotik bagi ragam λ _{, ,} adalah

, ,

untuk ∞.

(iv) Aproksimasi asimtotik bagi MSEλ _{, ,} adalah

λ _{, ,} λ

4 λ 4 _,

untuk ∞.

Penduga dari λ pada titik , sebagai berikut: λ _, λ _{, ,} Ι ( τ≤< τ _,

dengan _, adalah penduga konsisten bagi dan λ _{, ,} adalah penduga yang konsisten bagi λ .

Dari hasil pengkajian yang dilakukan dengan suatu syarat tertentu, diperoleh hasil sebagai berikut:

(i) Penduga λ adalah penduga yang konsisten bagi . (ii) Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan λ adalah

E λ λ

Ι ( τ≤< τ _,

(58)

6.2 Saran

Penelitian yang telah dilakukan baru menentukan aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan penduga , sehingga perlu dilakukan penelitian lebih lanjut untuk menentukan aproksimasi asimtotik bagi ragam penduga .

(59)

Browder A. 1996. Mathematical Analysis : An Introduction. New York: Springer. Cressie N.A.C. 1993. Statistics for Spatial Data. Revised Edition. New York:

Wiley.

Dudley R.M. 1989. Real Analysis and Probability. California: Wadsworth & Brooks.

Ghahramani S. 2005. Fundamental of Probability. Ed ke-3. New York: Prentice Hall.

Grimmett GR, Stirzaker DR. 2001. Probability and Random Processes. Ed ke-3. Oxford: Clarendon Press.

Helmers R, Mangku IW. 2000. Statistical estimation of Poisson intensity function.

Proceedings of The SEAM – GMU International Conference on Mathematical and Its Applications; Yogyakarta, 26-29 Juli 1999. p. 9-21.

Helmers R, Mangku IW. 2009. Estimating the intensity of a cyclic Poisson process in the precense of Linear Trend. To appear in Annals of Statistical Mathematics, 61.

Helmers R, Mangku IW, Zitikis R. 2003. Consistent estimation of the intensity function of a cyclic Poisson process. Journal of Multivariate Analysis 84: 19-39.

Helmers R, Mangku IW, Zitikis R. 2005. Statistical properties of a kernel-type estimator of the intensity function of a cyclic Poisson process. Journal of Multivariate Analysis 92:1-23.

Helmers R, Mangku IW, Zitikis R. 2007. A nonparametric estimator for the doubly periodic Poisson intensity function. Statistical Methodology 4:481-492. Hogg RV, Mc Kean JW, Craig AT. 2005. Introduction to Mathematical Statistics.

Ed ke-6. New Jersey: Prentice Hall, Upper Saddle River.

Mangku IW. 1999. Nearest neighbor estimation of the intensity function of a cyclic Poisson process. CWI Report PNA-R9914.

Mangku IW. 2001. Estimating The Intensity of a Cyclic Poisson Process. University of Amsterdam, Amsterdam.

Mangku IW. 2006a. Weak and strong convergence of a kernel-type estimator for the intensity of a periodic Poisson process. Journal of Mathematics and Its Applications 5:1-12.

(60)

Mangku IW. 2006b. Asymtotic normality of a kernel-type estimator for the intensity of a periodic Poisson process. Journal of Mathematics and Its Applications 5:14-22.

Purcell EJ, Vanberg D. 1998. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2. Ed ke-5. Jakarta: Penerbit Erlangga.

Ross S. 2007. Introduction to Probability Models. Ed ke-9. Florida: Academic Press Inc. Orlando.

Serfling RJ. 1980. Approximation Theorems of Mathematical Statistics. New York: John Wiley & Sons.

Stewart J. 1999. Kalkulus Jilid 1. Ed ke-4. Jakarta: Penerbit Erlangga.

Wheeden RL, Zygmund A. 1977. Measure and Integral : An Introduction to Real Analysis. New York: Marcel Dekker, Inc.

(61)

Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang

Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, yang hasilnya tidak dapat diprediksi dengan tepat tetapi kita bisa mengetahui semua kemungkinan hasil yang muncul disebut percobaan acak.

Definisi 15 (Ruang contoh dan kejadian)

Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dan dinotasikan dengan Ω. Himpunan bagian dari ruang contoh disebut kejadian.

(Grimmett and Stirzaker 2001)

Definisi 16(Kejadian lepas)

Kejadian A dan B disebut saling lepas jika irisan dari keduanya adalah himpunan kosong (∅).

(Grimmett and Stirzaker 2001)

Definisi 17 (Medan- )

Medan-σ adalah himpunan Φ yang anggotanya merupakan himpunan bagian dari

Ω yang memenuhi syarat-syarat berikut: a. ∅ Φ.

b. Jika Φ maka Φ.

c. Jika , , … ∈Φ maka ∈Φ.

Medan-σ terkecil yang mengandung semua selang berbentuk ∞, , r ∈ Ρ, disebut medan Borel, dan anggotanya disebut himpunan Borel.

(Grimmett and Stirzaker 2001)

Definisi 18 (Ukuran peluang)

Ukuran peluang P pada ruang ukuran(Ω, Φ) adalah fungsi P : Φ → [0,1] yang memenuhi :

(62)

b. Jika , , … adalah himpunan anggota-anggota Φ yang saling lepas, yaitu

∪ ∅ , untuk setiap i, j dengan i ≠ j maka :

P P .

(Grimmett and Stirzaker 2001) Tripel (Ω, Φ_{, P) disebut dengan ruang peluang.}

Definisi 19 (Kejadian saling bebas)

Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika:

P P P .

Secara umum, himpunan kejadian ; dikatakan saling bebas jika:

P P .

untuk setiap himpunan bagian J dari I.

(Grimmett and Stirzaker 2001)

Peubah Acak dan Fungsi Sebaran

Definisi 20 (Peubah acak)

Peubah acak adalah suatu fungsi X: Ω฀Ρ dengan sifat bahwa {ω∈Ω : X(ω) ≤ x}

∈Φ untuk setiap x ∈Ρ.

(Grimmett and Stirzaker 2001)

Definisi 21 ( Fungsi Sebaran)

Fungsi sebaran dari suatu peubah acak X adalah F: Ρ→ [0, 1], yang didefinisikan

oleh F P .

(Grimmett and Stirzaker 2001)

(63)

Peubah acak X disebut diskret jika himpunan semua kemungkinan nilai {x1, x2,…}

dari peubah acak tersebut merupakan himpunan tercacah.

(Grimmett and Stirzaker 2001)

Suatu himpunan bilangan C disebut tercacah jika C terdiri atas bilangan berhingga atau anggota C dapat dikorespondensikan 1-1 dengan bilangan bulat positif.

Definisi 23 (Fungsi massa peluang)

Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi : Ρ→ , , yang diberikan oleh:

P .

(Grimmett and Stirzaker 2001)

Definisi 24 (Peubah acak Poisson)

Suatu peubah acak X disebut peubah acak Poisson dengan parameter λ, λ , jika fungsi massa peluangnya diberikan oleh

! , untuk , , , … .

(Ghahramani 2005)

Kekonvergenan

Definisi 25 (Kekonvergenan barisan bilangan nyata)

Barisan { } disebut mempunyai limit L dan kita tuliskan limn →∞ = L atau

→ jika n → ∞ apabila untuk setiap ε > 0 terdapat bilangan M sedemikian rupa sehingga jika n > M maka | | . Jika limn → ∞ = L ada, kita

katakan barisan tersebut konvergen. Jika tidak, kita katakan barisan tersebut divergen.

(64)

Terdapat beberapa cara untuk menginterpretasikan pernyataan kekonvergenan barisan peubah acak, untuk n →∞.

Definisi 26 (Kekonvergenan dalam peluang)

Misalkan , , , … adalah peubah acak dalam ruang peluang (Ω, Φ, P). Kita katakan bahwa barisan peubah acak konvergen dalam peluang ke X, dinotasikan , jika untuk setiap ε > 0, P | | >ε →0 untuk n →∞.

(Grimmett and Stirzaker 2001)

Nilai Harapan, Momen dan Ragam

Definisi 27 (Nilai harapan, momen dan ragam)

Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang . Nilai harapan dari X, dinotasikan dengan E(X), adalah

E .

∀

Momen ke-k, dengan k merupakan bilangan bulat positif, dari suatu peubah acak X adalah

E .

Misalkan momen ke-1, E(X) = μ. Maka momen pusat ke-k atau σ dari peubah acak X adalah

σ _E μ_.

Nilai harapan dari peubah acak X merupakan momen pertama dari X, sedangkan ragam merupakan momen pusat ke-2 dari peubah acak X. Ragam (variance) dari X, dinotasikan dengan Var(X) atau σ adalah nilai harapan dari kuadrat perbedaan antara peubah acak X dengan nilai harapannnya yaitu :

E E E

∀

(Hogg et al. 2005)

(65)

Jika X adalah peubah acak maka untuk sembarang konstanta a dan b berlaku .

(Ghahramani 2005)

Bukti:

Dari Definisi 27 kita bisa menuliskan bahwa

E E E E E E E E E E . Jadi Lema 7 terbukti.

Definisi 28

Misalkan X dan Y adalah peubah acak, covariance dari X dan Y didefinisikan

sebagai , E E E .

(Ghahramani 2005)

Lema 8

Misalkan X dan Y adalah peubah acak dan misalkan pula a dan b adalah dua konstanta sebarang, berlaku

, . Jika X dan Y adalah peubah acak yang saling bebas, maka

(Ghahramani 2005)

Bukti:

E E

E E E E E E

(66)

E E E , . Jadi Lema 8 terbukti.

Penduga dan Sifat-sifatnya

Definisi 29 (Statistik)

Statistik adalah suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak tergantung pada satu atau beberapa parameter yang nilainya tidak diketahui.

(Hogg et al. 2005)

Definisi 30 (Penduga)

Misalkan , , … , adalalah contoh acak. Suatu statistik U( , , … , ) yang digunakan untuk menduga fungsi parameter g( ), dikatakan sebagai penduga (estimator) bagi g( ) , dilambangkan oleh .

Bilamana nilai , , … , _, maka nilai U( , , … , ) disebut sebagai dugaan (estimate) bagi g( ).

(Hogg et al. 2005)

Definisi 31 (Penduga tak bias)

a. Suatu penduga yang nilai harapannya sama dengan parameter g( ), yaitu E[U( , , … , )] = g( ) disebut penduga tak bias bagi parameter g( ). Jika sebaliknya, penduga di atas disebut berbias.

b. Jika lim E , , … , , maka U( , , … , ) disebut sebagai penduga tak bias asimtotik.

(Hogg et al. 2005)

(67)

Suatu penduga yang konvergen dalam peluang ke parameter ) , disebut penduga konsisten bagi .

(Hogg et al. 2005)

Definisi 33 (MSE suatu penduga)

Mean Square Error (MSE) dari suatu penduga U bagi parameter didefinisikan sebagai :

E Bias Var ,

dengan E .

(Hogg et al. 2005)

Beberapa Definisi dan Lema Teknis

Definisi 34 (Fungsi terintegralkan lokal)

Fungsi intensitas λ adalah terintegralkan lokal, jika untuk sembarang himpunan Borel terbatas B kita peroleh

λ s ds ∞.

(Dudley 1989)

Definisi 35 (Titik Lebesgue)

Kita katakan s adalah titik Lebesgue dari fungsi λ jika

lim ⏐λ λ ⏐_dx _.

(Wheeden and Zygmund 1977)

(68)

Simbol ‘big-oh’ dan ‘litle-o’ ini merupakan cara untuk membandingkan besarnya dua fungsi u(x) dan v(x) dengan x menuju suatu limit L.

a. Notasi Ο v x , , menyatakan bahwa terbatas untuk .

b. Notasi ο v x , , menyatakan bahwa →_untuk _.

(Serfling 1980)

Dengan menggunakan Definisi 36 kita peroleh hal berikut

a. Suatu barisan bilangan nyata { disebut terbatas dan ditulis Ο untuk ∞ jika ada bilangan terhingga A dan B sehingga < < untuk semua bilangan asli n.

b. Suatu barisan yang konvergen ke 0, untuk ∞ dapat ditulis ο untuk ∞.

(Purcell dan Varberg 1998)

Lema 9 (Formula Young dari Teorema Taylor)

Misalkan g memiliki nilai turunan ke-n yang terhingga pada suatu titik x, maka

! ο | | ,

untuk .

(Serfling 1980) Bukti: Lihat Serfling (1980).

Lema 10 (Ketaksamaan Markov)

Jika X adalah peubah acak, maka untuk setiap t > 0,

P E | |

(Ghahramani 2005)

(69)

Misalkan A himpunan nilai yang mungkin dari peubah acak X dan ∈_; , maka

∈

∈ P sehingga

P E | | . Jadi Lema 10 terbukti.

Lema 11 (Ketaksamaan Chebyshev)

Jika X adalah peubah acak dengan nilai harapan μ dan ragam σ , maka untuk setiap t > 0,

P | | σ .

(Ghahramani 2005)

Bukti:

Karena , dengan ketaksamaan Markov

P ≤E σ _.

Karena adalah eqivalen dengan | | , maka Lema 11 terbukti.

Lema 12 (Ketaksamaan Chauchy-Schwarz)

Jika X dan Y adalah peubah acak, maka berlaku E E E .

(Ghahramani 2005)

(70)

Untuk semua bilangan real , . Oleh karena untuk semua nilai dari

, .

Karena peubah acak nonnegatif mempunyai nilai harapan nonnegatif, maka

E .

Hal ini berimplikasi bahwa

E E E .

Jika ditulis menjadi bentuk polinomial dalam yang berderajat 2, maka kita dapatkan

E E E .

Jika suatu polinomial berderajat 2 adalah positif maka diskriminannya adalah negatif, sehingga pertidaksamaan di atas dapat ditulis

4 E 4E E

E E E E E E . Jadi Lema 12 terbukti.

(71)

FUN

PENDU

GSI INTE

D

SE

INS

UGAAN NO

ENSITAS

DENGAN P

DWIANT

EKOLAH

STITUT P

ONPARA

PROSES

PERIODE

I MARTH

H PASCAS

PERTANIA

BOGOR

2009

AMETRIK

POISSON

E GANDA

HALENA

SARJANA

AN BOGO

K BAGI

N PERIOD

A

OR

(72)

PENDUGAAN NONPARAMETRIK BAGI

FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK

DENGAN PERIODE GANDA

DWIANTI MARTHALENA

Tesis

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada

Program Studi Matematika Terapan

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2009

(73)

Bogor, Mei 2009 Dwianti Marthalena NRP G551070221

(74)

Function of a Doubly Periodic Poisson Process. Supervised by I WAYAN MANGKU and SISWANDI

Keywords: double periodic Poisson process, intensity function, nonparametric estimation, consistency, bias, variance

(75)

1.1 Latar Belakang

(76)

1.2 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah :

(i) Merumuskan penduga tipe kernel bagi fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dengan periode ganda serta mengembangkan penduga yang telah ada dengan menggunakan fungsi kernel umum.

(ii) Membuktikan kekonsistenan penduga yang diperoleh. (iii) Menentukan bias asimtotik penduga yang diperoleh. (iv) Menentukan ragam asimtotik penduga yang diperoleh.

(77)

2.1 Proses Poisson Periodik

Definisi 1 (Proses stokastik)

Proses stokastik X _{= {}_X(t)_,_{t T}∈ _{} adalah suatu himpunan dari peubah acak yang}

memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state S.

(Ross 2007)

Definisi 2 (Proses stokastik dengan waktu kontinu)

Suatu proses stokastik X disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika T adalah suatu interval.

(Ross 2007)

Definisi 3 (Inkremen bebas)

Suatu proses stokastik {X(t), t T∈ } dengan waktu kontinu disebut memiliki inkremen bebas jika untuk semua t₀ <t₁<t₂ <...<t_n, peubah acak X(t1)-X(t0),

) (t2

X -X(t1), … ,X(tn)-X(tn−1) adalah bebas.

(Ross 2007)

(78)

Definisi 4 (Inkremen stasioner)

Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {X (t), t ∈T} disebut memiliki inkremen stasioner jika X(t + s) - X(t) dengan s∈ T, memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai t.

(Ross 2007)

Definisi 5 (Proses pencacahan)

Suatu proses stokastik {N(t), t ≥ 0} disebut proses pencacahan jika N(t)

menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu t. Proses

pencacahan N(t) harus memenuhi syarat-syarat sebagai berikut. a. N(t)≥ 0 untuk semua t [0, ∞).

b. Nilai N(t) adalah integer (bilangan bulat). c. Jika s < t maka N(s)≤N(t), s, t ∈ [0, ∞).

d. Untuk s < t maka N(t) - N(s), sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval (s, t].

(Ross 2007)

Definisi 6 (Proses Poisson)

Suatu proses pencacahan {N(t), t≥ 0} disebut proses Poisson dengan laju λ, λ > 0, jika dipenuhi tiga syarat berikut.

a. N(0) = 0.

(79)

c. Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t, memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan λt. Jadi untuk semua t, s > 0,

P λ _! , , , ….

Dari syarat (c) bisa kita ketahui bahwa proses Poisson memiliki inkremen yang stasioner. Dari syarat ini juga kita peroleh bahwa

E(N(t)) = λt

yang juga menjelaskan kenapa λ disebut laju dari proses tersebut.

(Ross 2007)

Definisi 7 (Proses Poisson homogen)

Proses Poisson homogen adalah proses Poisson dengan laju λ yang merupakan konstanta untuk semua waktu t.

(Ross 2007)

Definisi 8 (Proses Poisson tak homogen)

Proses Poisson tak homogen adalah suatu proses Poisson dengan laju λ pada

sembarang waktu t yang merupakan fungsi tak konstan dari t yaitu λ(t).

(Ross 2007)

Definisi 9 (Fungsi intensitas)

Laju dari suatu proses Poisson tak homogen {N(t), t 0}, yaitu λ(t) disebut fungsi intensitas proses Poisson pada t.

(Ross 2007)

Definisi 10 (Intensitas lokal)

Intensitas lokal dari suatu proses Poisson tak homogen N dengan fungsi intensitas λ pada titik s Ρ adalah λ(s), yaitu nilai fungsi λ di s.

(80)

Definisi 11 (Fungsi intensitas global)

Misalkan N([0, n]) adalah proses Poisson pada interval [0, n]. Fungsi intensitas global dari proses Poisson ini didefinisikan sebagai

→∞ E , jika limit di atas ada.

(Cressie 1993)

Definisi 12 (Fungsi periodik)

Suatu fungsi λ disebut periodik jika λ(s + l ) = λ(s)

untuk semua s Ρ dan l Ζ, dengan Ζ adalah himpunan bilangan bulat.

Konstanta terkecil yang memenuhi persamaan di atas disebut periode dari fungsi λ tersebut.

(Browder 1996)

Definisi 13 (Proses Poisson periodik)

Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik.

(Mangku 2001)

Definisi 14 (Proses Poisson periodik ganda)

Proses Poisson periodik ganda adalah suatu proses Poisson yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik dengan periode ganda.

(Helmers et al. 2007)

2.2 Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik

Fungsi intensitas dari proses Poisson merupakan laju dari proses Poisson tersebut. Fungsi intensitas dapat dibedakan menjadi dua, yaitu fungsi intensitas

(1)

Jika X adalah peubah acak maka untuk sembarang konstanta a dan b berlaku .

(Ghahramani 2005)

Bukti:

Dari Definisi 27 kita bisa menuliskan bahwa

E E E E E E E E E E . Jadi Lema 7 terbukti.

Definisi 28

Misalkan X dan Y adalah peubah acak, covariance dari X dan Y didefinisikan

sebagai , E E E .

(Ghahramani 2005) Lema 8

Misalkan X dan Y adalah peubah acak dan misalkan pula a dan b adalah dua konstanta sebarang, berlaku

, . Jika X dan Y adalah peubah acak yang saling bebas, maka

(Ghahramani 2005)

Bukti:

E E

E E E E E E

(2)

E E E , . Jadi Lema 8 terbukti.

Penduga dan Sifat-sifatnya

Definisi 29 (Statistik)

Statistik adalah suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak tergantung pada satu atau beberapa parameter yang nilainya tidak diketahui.

(Hogg et al. 2005)

Definisi 30 (Penduga)

Misalkan , , … , adalalah contoh acak. Suatu statistik U( , , … , ) yang digunakan untuk menduga fungsi parameter g( ), dikatakan sebagai penduga (estimator) bagi g( ) , dilambangkan oleh .

Bilamana nilai , , … , _, maka nilai U( , , … , ) disebut sebagai dugaan (estimate) bagi g( ).

(Hogg et al. 2005)

Definisi 31 (Penduga tak bias)

a. Suatu penduga yang nilai harapannya sama dengan parameter g( ), yaitu E[U( , , … , )] = g( ) disebut penduga tak bias bagi parameter g( ). Jika sebaliknya, penduga di atas disebut berbias.

b. Jika lim E , , … , , maka U( , , … , ) disebut

sebagai penduga tak bias asimtotik.

(Hogg et al. 2005)

(3)

Suatu penduga yang konvergen dalam peluang ke parameter ) , disebut penduga konsisten bagi .

(Hogg et al. 2005)

Definisi 33 (MSE suatu penduga)

Mean Square Error (MSE) dari suatu penduga U bagi parameter didefinisikan sebagai :

E Bias Var ,

dengan E .

(Hogg et al. 2005)

Beberapa Definisi dan Lema Teknis

Definisi 34 (Fungsi terintegralkan lokal)

Fungsi intensitas λ adalah terintegralkan lokal, jika untuk sembarang himpunan Borel terbatas B kita peroleh

λ s ds ∞.

(Dudley 1989)

Definisi 35 (Titik Lebesgue)

Kita katakan s adalah titik Lebesgue dari fungsi λ jika

lim ⏐λ λ ⏐_dx _.

(Wheeden and Zygmund 1977)

(4)

Simbol ‘big-oh’ dan ‘litle-o’ ini merupakan cara untuk membandingkan besarnya dua fungsi u(x) dan v(x) dengan x menuju suatu limit L.

a. Notasi Ο v x , , menyatakan bahwa terbatas untuk .

b. Notasi ο v x , , menyatakan bahwa →_untuk _.

(Serfling 1980)

Dengan menggunakan Definisi 36 kita peroleh hal berikut

a. Suatu barisan bilangan nyata { disebut terbatas dan ditulis Ο untuk ∞ jika ada bilangan terhingga A dan B sehingga < < untuk semua bilangan asli n.

b. Suatu barisan yang konvergen ke 0, untuk ∞ dapat ditulis ο untuk ∞.

(Purcell dan Varberg 1998)

Lema 9 (Formula Young dari Teorema Taylor)

Misalkan g memiliki nilai turunan ke-n yang terhingga pada suatu titik x, maka

! ο | | ,

untuk .

(Serfling 1980) Bukti: Lihat Serfling (1980).

Lema 10 (Ketaksamaan Markov)

Jika X adalah peubah acak, maka untuk setiap t > 0,

P E | |

(Ghahramani 2005) Bukti:

(5)

Misalkan A himpunan nilai yang mungkin dari peubah acak X dan ∈_; , maka

∈

P sehingga

P E | | . Jadi Lema 10 terbukti.

Lema 11 (Ketaksamaan Chebyshev)

Jika X adalah peubah acak dengan nilai harapan μ dan ragam σ , maka untuk setiap t > 0,

P | | σ .

(Ghahramani 2005)

Bukti:

Karena , dengan ketaksamaan Markov

P ≤E σ _.

Karena adalah eqivalen dengan | | , maka Lema 11 terbukti.

Lema 12 (Ketaksamaan Chauchy-Schwarz)

Jika X dan Y adalah peubah acak, maka berlaku E E E .

(Ghahramani 2005)

(6)

Untuk semua bilangan real , . Oleh karena untuk semua nilai dari

, .

Karena peubah acak nonnegatif mempunyai nilai harapan nonnegatif, maka

E .

Hal ini berimplikasi bahwa

E E E .

Jika ditulis menjadi bentuk polinomial dalam yang berderajat 2, maka kita dapatkan

E E E .

Jika suatu polinomial berderajat 2 adalah positif maka diskriminannya adalah negatif, sehingga pertidaksamaan di atas dapat ditulis

4 E 4E E

E E E E E E . Jadi Lema 12 terbukti.