Persamaan yang dipakai dalam implementasi Double Exponential Smoothing ditunjukkan oleh persamaan berikut.
= +
Makridakis, 1999 :88. Dengan m adalah jumlah periode ke muka yang diramalkan. Nilai
t-1
dan
t-1
tersedia, tetapi pada saat t=1, nilai-nilai tersebut tidak tersedia. Jadi nilai-nilai ini harus ditentukan pada awal periode. Hal ini dapat dilakukan dengan hanya
menetapkan
t
dan
t
menggunakan nilai pertama sebagai nilai awal.
2.7 Forecasting dengan model Box-Jenkins ARIMA
Model Autoregresive Integrated Moving Average ARIMA merupakan model yang dikembangkan oleh George Box dan Gwilym Jenkins. Model ARIMA
berbeda dengan model peramalan lainnya karena model ini tidak mensyaratkan suatu pola data tertentu , dengan kata lain model ARIMA dapat digunakan untuk
semua tipe pola data. Model ini dapat bekerja dengan baik apabila data runtun waktu yang digunakan bersifat dependen atau berhubungan satu sama lain secara
statistik. Alat-alat untuk menganalisis data deret berkala, yakni:
1. Plot data
Langkah pertama dalam menganalisis data deret berkala adalah memplot data tersebut secara grafis. Hal ini berguna untuk memplot berbagai versi data
moving average untuk menetapkan adanya trend penyimpangan nilai tengah Makridakis, 1999 :337.
2. Autokorelasi dan Autokovariansi
Autokorelasi adalah hubungan antar deret pengamatan suatu deret waktu. Sedangkan autokovariansi adalah variansi bersama dari variabel yang sama
yaitu data runtun waktu itu sendiri. Suatu runtun waktu adalah himpunan observasi berurut dalam waktu dan dapat dipandang sebagai suatu realisasi dari
suatu proses statistik stokastik, yaitu kita dapat mengulang kembali keadaan untuk memperoleh himpunan observasi serupa seperti yang telah dikumpulkan.
Setiap himpunan Z
t
, misal Z
t1
, Z
t2
, ..., Z
tr
mempunyai fkp bersama fZ
t1
, Z
t2
, ..., Z
tr
. Jika suatu proses statistik mempunyai fkp bersama fZ
t+n1
, Z
t+n2
, ..., Z
t+nm
yang independen dengan t, sebarang bilangan bulat m dan sebarang pilihan n
1
, n
2
, ..., n
m
, maka struktur probabilistiknya tidak berubah dengan berubahnya waktu. Proses seperti ini dinamakan stasioner. Ciri lain data
stasioner secara kasarnya harus sepanjang sumbu waktu atau data berada di sekitar suatu nilai rata-rata yang konstan. Jika tidak demikian, maka proses itu
dinamakan takstasioner Iriawan, 2006: 342. Jika proses tersebut berlaku, tetapi dengan pembatasan m
≤ p, di mana p bilangan bulat positif, maka stasioneritas tersebut dinamakan stasioneritas
tingkat p. Didefinisikan bahwa fungsi kepadatan peluang disingkat fkp yang berkaitan dengan sebarang himpunan waktu adalah stasioneritasnya hanya
memerlukan stasioneritas tingkat dua yang dinamakan stasioneritas lemah dengan asumsi normalitas berlaku, yaitu
E Z
t
= μ dan Kov Z
t
, Z
t-k
= γ
k.
dengan μ dan γ
k
untuk semua k adalah konstan, μ adalah mean proses tersebut
dan γ
k
adalah autokovariansi pada lag k. Proses ini mempunyai variansi konstan yaitu Var Z =
σ
z 2
= γ
o.
Untuk semua bilangan bulat k berlaku : γ
-k
= γ
k
, karena Kov Z
t
, Z
t+k
= Kov Z
t+k
, Z
t
= Kov Z
t
, Z
t-k
= γ
k
Soejoeti, 1987:
2. 4
sehingga perlu ditentukan γ
k
untuk k ≥ 0. Himpunan { γk; k = 0,1,...}
dinamakan fungsi autokovarian. Fungsi autokorelasi disingkat FAK, dibentuk dengan himpunan {
ρk; k = 0,1,...} dengan
ρ = 1. Autokorelasi pada lag k didefinisikan sebagai berikut.
[ ]
2 1
var .
var ,
k t
t k
t t
k
Z Z
Z Z
kov
− −
= ρ
fungsi autokorelasi FAK ini diestimasi dari data dengan rumus sebagai berikut.
o k
k
c c
r =
dengan
1
1
Z Z
Z Z
N c
k t
N t
t k
− −
=
− =
∑
dan
∑
=
=
N t
t
Z N
Z
1
1
Soejoeti, 1987: 2. 5.
Nilai variansi r
k
dapat dicari dengan rumus Bartlett:
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛ +
≈
∑
= k
i i
k
r N
r Var
1 2
2 1
1 Soejoeti, 1987: 2. 9.
Untuk nilai standar error dapat dicari dengan rumus sebagai berikut.
2 1
1 1
1 1
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− +
= r
r N
C Z
SE
z
z Z
SE σ
= =
var Soejoeti, 1987: 5. 5.
Matrik autokorelasi suatu runtun waktu stasioner yang panjangnya N adalah sebagai berikut.
Soejoeti, 1987: 2. 9. ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
=
− −
− −
− −
1 ...
. .
. .
. .
. .
. .
. .
... 1
... 1
... 1
3 2
1 3
1 2
2 1
1 1
2 1
~
N N
N N
N N
N
P
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
Matrik tersebut merupakan matrik positif definit.
Selain fungsi autokorelasi FAK juga diperlukan fungsi autokorelasi parsial FAKP untuk analisis runtun waktu yang didefinisikan sebagai berikut.
k k
kk
P P
~ ~
ˆ =
φ
dengan adalah matrik autokorelasi k x k dan
adalah dengan kolom
terakhir diganti dengan
k
P
~
k
P
~
k
P
~
Soejoeti, 1987: 2. 10.
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣ ⎡
k
ρ ρ
ρ
. .
.
2 1
Selanjutnya,
N Var
kk
1 ˆ
≈
φ untuk N cukup besar,
dianggap mendekati distribusi normal. Sedangkan nilai batas daerah white noise adalah batas atas =
kk
φˆ
N 2
dan batas bawah = - batas atas.
Autokorelasi dapat digunakan untuk menetapkan apakah terdapat suatu pola AR, MA, ARIMA dalam suatu kumpulan data dan apabila tidak terdapat
kumpulan data tersebut, maka dapat dikatakan bahwa kumpulan data tersebut adalah random. Koefisien autokorelasi untuk beberapa time-lag diuji untuk
melihat apakah nilai tersebut berbeda nyata dari nol. Nilai autokorelasi dari data yang random akan tidak berbeda nyata dari nol.
3. Proses Autoregresif
Bentuk umum suatu proses autoregresi tingkat p AR p adalah
t p
t p
t t
t
a Z
Z Z
Z +
+ +
+ =
− −
−
φ φ
φ
....
2 2
1 1
dengan nilai sekarang suatu proses dinyatakan sebagai jumlah tertimbang nilai- nilai yang lalu ditambah atau sesatan sekarang yakni a
t
dan φ merupakan
parameter autoregresi. Jadi dapat dipandang Z
t
diregresikan pada p nilai Z yang lalu Soejoeti, 1987: 3. 2.
1 Proses AR 1
Model dari proses AR 1 adalah
t t
t
a Z
Z +
=
−1
φ .
dengan suku sesatan ~
. Model ini dianggap stasioner karena a independen dengan Z
t
a
,
2 a
N
σ
t-1
, maka variansinya adalah
2 2
2 2
1 2
a z
z t
t t
a Var
Z Var
Z Var
σ σ
φ σ
φ +
= +
=
−
2 2
2
1
a z
σ σ
φ
= −
Soejoeti, 1987: 3. 3.
Supaya berhingga dan tidak negatif, haruslah -1
2 z
σ φ 1.
Ketidaksamaan tersebut merupakan syarat agar runtun waktunya stasioner. Secara umum ciri model AR p adalah fungsi autokorelasi parsial FAKP
terputus pada lag-p. 2
Proses AR 2 Model dari proses AR 2 adalah
t t
t t
a Z
Z Z
+ +
=
− −
2 2
1 1
φ φ
Untuk stasioneritasnya dapat disimpulkan μ = 0, maka
2 2
1 1
− −
+ =
k k
k
ρ φ
ρ φ
ρ Soejoeti, 1987: 3. 6.
Variansinya adalah
1 1
1 .
1
2 1
2 1
2 2
2 2
φ φ
φ φ
φ σ
φ σ
− +
− −
+ −
=
a Z
Soejoeti, 1987: 3. 7.
Supaya setiap faktor dalam penyebut positif yang memberikan daerah stasioner haruslah
-1
2
φ
1 1
2 1
2 1
+ −
+
φ φ
φ φ
Soejoeti, 1987: 3. 7.
4. Proses Moving Average
Bentuk umum suatu proses moving average tingkat q MA q adalah
q t
q t
t t
t
a a
a a
Z
− −
−
+ +
+ +
=
θ θ
θ
....
2 2
1 1
.
Nilai varians dari model tersebut adalah
2 2
2 2
2 1
2
... 1
q q
Z
σ θ
θ θ
σ +
+ +
+ =
dengan
q
θ merupakan parameter moving average ke-q dan .
adalah nilai residual sebelumnya. Untuk q terhingga, proses ini selalu stasioner Soejoeti, 1987: 3. 17.
q t
t t
a a
a
− −
−
, ,
2 1
1 Proses MA 1
Model dari proses MA 1 adalah
1 1
−
− =
t t
t
a a
Z θ
, dimana 1
1 −
θ
Mean Z
t
yaitu μ = 0 untuk semua k.
Rumus variansinya adalah
2 2
2
1
a Z
σ θ
γ σ
+ =
=
2 1
a
θσ γ
=
dan =
k
γ , k1 Soejoeti, 1987: 3. 18.
Maka fungsi autokorelasi FAK dan fungsi autokorelasi parsial FAKP adalah
2 1
1
θ θ
ρ
+ =
, 1 ,
= k
k
ρ dan
1 2
2 1
1 1
1
+ −
− −
− =
k k
k kk
θ θ
θ φ
Soejoeti, 1987: 3. 19.
Salah satu sifat MA yaitu fungsi autokorelasi FAK terputus setelah lag 1, tetapi fungsi autokorelasi parsial FAKP tidak terputus.
2 Proses MA 2
Proses ini mempunyai model:
2 2
1 1
− −
+ −
=
t t
t t
a a
a Z
θ θ
.
Untuk mencari fungsi autokorelasi FAK:
2 2
2 1
2 1
1
1 1
θ θ
θ θ
ρ +
+ +
=
2 2
2 1
2 2
1 θ
θ θ
ρ +
+ =
2 ,
= k
k
ρ Soejoeti, 1987: 3. 20.
5. Proses Campuran
Model ARMA p,q berbentuk:
q t
q t
t p
t p
t t
t
a a
a Z
Z Z
Z
− −
− −
−
+ +
+ +
+ +
+ =
θ θ
φ φ
φ
... ...
1 1
2 2
1 1
.
Soejoeti, 1987: 3. 28.
Untuk proses ARMA 1,1 mempunyai model:
1 1
− −
+ +
=
t t
t t
a a
Z Z
θ φ
.
Syarat stasioner dan invertebel yaitu: -1
φ 1
-1 θ 1
Diperoleh E Z
t
= 0 karena φ ≠ 1 Soejoeti, 1987: 3. 29.
6. Runtun Waktu Nonstasioner
Model runtun waktu nonstasioner dikenal sebagai model ARIMA Autoregresi Integrasi Moving average. Jika derajat ARnya p, derajat
selisihnya d dan derajat MAnya q, maka modelnya ditulis ARIMA p,d,q yang mempunyai bentuk umum:
Z
t
= 1+ φ
1
Z
t-1
+ φ
2
- φ
1
Z
t-2
+…+ φ
p
- φ
p-1
Z
t-p
- φ
p
Z
t-p-1
+ a
t
+ θ
1
a
t-1
+ … + θ
q
a
t-q
Soejoeti, 1987: 4. 3. Runtun waktu yang stasioner fungsi autokorelasi FAKnya akan menurun
secara linier dan lambat. Begitu juga dengan fungsi autokorelasi FAK estimasi dari data, apabila ada kecenderungan fungsi autokorelasi FAK
estimasi {r
k
} tidak menurun dengan cepat maka runtun waktunya nonstasioner Soejoeti, 1987: 5. 27.
7. Estimasi Parameter dan Daerah Diterima Beberapa Model
Setelah memperoleh suatu model, maka nilai parameternya dapat diperoleh dengan menggunakan tabel di bawah ini, tetapi sebelumnya diperiksa
dahulu apakah nilai r
1
dan r
2
memenuhi syarat atau tidak untuk model tersebut Soejoeti, 1987: 5. 5.
Tabel 2.1. Daerah diterima, Estimasi awal beberapa proses
Proses Daerah Diterima Estimasi
AR 1 -1 r
1
1
1
ˆ r
= φ
AR 2 -1 r
2
1
1 2
1
2 2
1
+ r
r
2 1
2 1
10
1 1
ˆ r
r r
− −
=
φ
2 1
2 1
2 20
1 ˆ
r r
r −
− =
φ
MA 1 -0,5 r
1
0,5
1 2
1
2 4
1 1
ˆ r
r −
− =
θ
ARMA 1,1 2r
1
- ⏐r
1
⏐ r
2
⏐r
1
⏐
1 2
ˆ r
r =
φ
2 4
ˆ
2
− ±
= b
b θ
dengan
1 2
2
ˆ ˆ
2 1
φ φ
− +
− =
r r
b dan
tandanya dipilih untuk menjamin
ˆ θ 1
Setelah satu atau beberapa model sementara model runtun waktu kita identifikasikan langkah selanjutnya adalah mencari estimasi terbaik atau paling
efisien untuk parameter-parameter dalam model itu. Apabila banyak observasi cukup besar, estimasi yang memaksimumkan fungsi likelihood adalah estimasi
yang efisien.
8. Verifikasi
Langkah ini bertujuan memeriksa apakah model yang dipilih cukup cocok dengan data, yaitu dengan membandingkan dengan model lain yang
mempunyai kemungkinan cocok dengan data. Perbandingan ini di lakukan dengan melihat nilai variansi
dari masing-masing model jika tidak ada perubahan yang berarti dalam artian besarnya hampir sama maka dipilih model
yang paling sederhana prinsip parsimony tetapi jika terjadi perbedaan yang
t
a
2
ˆ
a
σ
cukup besar, maka dipilih model dengan dan MS Mean Squared yang
terkecil. Nilai estimasi jika menggunakan diberikan rumus:
2
ˆ
a
σ
2
ˆ
a
σ
AR p : =
2
ˆ
a
σ ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ −
∑
= p
k k
C
1 2
ˆ 1
φ
MA q : =
2
ˆ
a
σ ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ −
∑
= q
k k
C
1 2
ˆ 1
θ
ARMA 1,1 : =
2
ˆ
a
σ
2 2
ˆ ˆ
ˆ 2
1 ˆ
1 θ
φ θ
φ +
+ −
C Soejoeti, 1987: 5. 9.
Verifikasi juga dapat dilakukan hanya dengan membandingkan nilai Mean Square Error MSE, karena semakin kecil nilai Mean Square Error MSE
yang dihasilkan, maka model semakin baik Iriawan, 2006: 361.
9. Peramalan
Apabila model memadai maka model tersebut dapat digunakan untuk melakukan peramalan. Sebaliknya, apabila model belum memadai maka harus
ditetapkan model yang lain.
2.8 Penggunaan WinQSB 2.0 untuk Proses Peramalan Model Smoothing
