ESTIMASI MULTIVARIATE ADAPTIVE REGRESSION SPLINES (MARS) PADA INDEKS HARGA SAHAM GABUNGAN (IHSG)
ESTIMASI MULTIVARIATE ADAPTIVE
REGRESSION SPLINES (MARS) PADA INDEKS HARGA
SAHAM GABUNGAN (IHSG)
Skripsi
disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
oleh
Elisa Desi Asriani 4111412007
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2016
(2)
(3)
(4)
(5)
v
MOTTO DAN PERSEMBAHAN
MOTTO
Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan (QS. Al-Insyirah: 6). Maka nikmat Tuhan kamu manakah yang kamu dustakan? (QS. Ar-Rahman: 55) Bukanlah hidup kalau tidak ada masalah, bukanlah sukses kalau tidak melalui rintangan, bukanlah lulus kalau tidak ada ujian, dan bukanlah berhasil kalau tidak berusaha.
PERSEMBAHAN
Untuk kedua orang tua tercinta Ibu Surati dan Bapak Santoso
Untuk Kakak dan Adikku tersayang, Elina Ninda Pamela dan Elfan Handi Ardana
Untuk keluarga besar tercinta
Untuk sahabat-sahabatku Septi, Rizki, Vera, Nina, Uus Untuk teman-teman Matematika Angkatan 2012 Untuk teman-teman Kos “Wisma Purnama Indah” Untuk teman-teman PKL BPS Kabupaten Jepara
Untuk teman-teman KKN Alternatif 2A Hidroponik Boja Untuk Universitas Negeri Semarang (UNNES)
(6)
vi
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah memberikan nikmat dan karunia-Nya serta kemudahan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Estimasi Multivariate Adaptive Regression Splines (MARS) pada Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG)”.
Penyusunan skripsi ini dapat diselesaikan berkat kerjasama, bantuan, dan dorongan dari berbagai pihak. Oleh karena itu penulis mengucapkan terima kasih kepada :
1. Prof. Dr. Fathur Rokhman, M.Hum., Rektor Universitas Negeri Semarang. 2. Prof. Dr. Zaenuri, S.E., M.Si., Akt., Dekan FMIPA Universitas Negeri
Semarang.
3. Drs. Arief Agoestanto, M.Si., Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Semarang.
4. Drs. Mashuri, M.Si., Ketua Prodi Matematika FMIPA Universitas Negeri Semarang.
5. Drs. Sugiman, M.Si., selaku Dosen Pembimbing I yang telah memberikan bimbingan, pengarahan, nasehat, saran dan dorongan selama penyusunan skripsi ini.
6. Putriaji Hendikawati, S.Si., M.Pd., M.Sc., selaku Dosen Pembimbing II yang telah memberikan bimbingan, pengarahan, nasehat, saran dan dorongan selama penyusunan skripsi ini.
(7)
vii
7. Drs. Arief Agoestanto, M.Si., selaku Dosen Penguji yang telah memberikan penilaian dan saran dalam perbaikan skripsi ini.
8. Prof. Dr. St. Budi Waluya, M.Si., selaku Dosen Wali saya sejak Semester 1 hingga sekarang yang telah memberikan bimbingan dan arahan.
9. Staf Dosen Matematika Universitas Negeri Semarang yang telah membekali penulis dengan berbagai ilmu selama mengikuti perkuliahan sampai akhir penulisan skripsi ini.
10. Staf Tata Usaha Universitas Negeri Semarang yang telah banyak membantu penulis selama mengikuti perkuliahan dan penulisan skripsi ini.
11. Ibu dan Bapak tercinta, Ibu Surati dan Bapak Santoso yang senantiasa memberikan dukungan dan doa yang tiada putusnya.
12. Kakak dan Adik tersayang, Elina Ninda Pamela dan Elfan Handi Ardana yang selalu memberikan semangat dan doa.
13. Sahabat dan teman terbaikku, Nur Septiani yang setia membantu, menemani, selalu ada dalam susah maupun senang, serta selalu memberikan motivasi, semangat, dan doa.
14. Sahabat dan teman terbaik di kos, Rizki Nurul Anifah yang setia membantu, menemani disaat susah maupun senang, menghibur, memberikan semangat, nasehat, dan doa.
15. Adik kos ku tersayang, Verannita Octaviani yang setia membantu, menemani disaat susah maupun senang, menghibur, memberikan semangat, dan doa. 16. Teman sekamarku Nina Faradina dan Uswatun Khasanah yang senatiasa
(8)
viii
17. Kakak-kakak Rizal Yunianto Ghofar, Kishartini, dan Yani Puspita Kristiani yang membantu dalam skripsi ini, memberikan pengarahan, motivasi, semangat, dan doa.
18. Teman-teman Matematika angkatan 2012 yang berjuang bersama untuk mewujudkan cita-cita.
19. Teman-teman kos “Wisma Purnama Indah” yang memberikan dukungan, semangat, dan doa.
20. Teman-teman PKL BPS Kabupaten Jepara yang memberikan semangat dan doa.
21. Teman-teman KKN Alternatif 2A 2015 Hidroponik, Dusun Segunung, Banjarejo, Boja, Kendal yang memberikan semangat dan doa.
22. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu yang telah memberikan bantuan.
Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan skripsi ini masih terdapat banyak kekurangan. Oleh karena itu, penulis mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari pembaca.
Semarang, 9 Februari 2016
(9)
ix
ABSTRAK
Asriani, Elisa Desi. 2016. Estimasi Multivariate Adaptive Regression Splines (MARS) pada Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG). Skripsi, Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang. Pembimbing Utama Drs. Sugiman, M.Si. dan Pembimbing Pendamping Putriaji Hendikawati, S.Si., M.Pd., M.Sc.
Kata kunci: Regresi Nonparametrik, Estimasi, IHSG, MARS, GCV.
Analisis regresi nonparametrik digunakan apabila salah satu asumsi parameter regresi tidak terpenuhi dan tidak diketahui bentuk kurva regresi. Indeks harga saham gabungan (IHSG) merupakan suatu rangkaian informasi historis mengenai pergerakan saham gabungan sampai tanggal tertentu, digunakan para investor untuk melihat kenaikan atau penurunan harga saham. Variabel ekonomi yang mempengaruhi IHSG diantaranya yaitu inflasi, tingkat suku bunga di Indonesia, nilai tukar (kurs) rupiah terhadap dolar Amerika, indeks saham Dow Jones, indeks saham Nikkei 225, dan indeks saham Hang Seng. Metode MARS merupakan salah satu metode yang menggunakan pendekatan regresi nonparametrik dan data berdimensi tinggi yaitu data yang memiliki jumlah variabel prediktor sebesar dan sampel data yang berukuran . MARS merupakan salah satu metode yang sangat cocok untuk menganalisis IHSG karena nonparametrik untuk data berdimensi tinggi. Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui: (1) estimasi terbaik MARS pada variabel prediktor IHSG menggunakan kriteria GCV; (2) besar tingkat pentingnya variabel-variabel prediktor terhadap model terbaik yang diperoleh.
Metode analisis MARS pada IHSG dengan melakukan pengujian parameter model regresi nonparametrik, standarisasi, dan model MARS diperoleh dari kombinasi nilai fungsi basis (BF), Maksimum Interaksi (MI), dan Minimum Observasi (MO) secara trial and error. Hasil penelitian estimasi MARS terbaik pada IHSG adalah BF=18, MI=1, dan MO=1, GCV terkecil 0,05640 dengan bentuk
persamaan Y = − , + , ∗BF − , ∗BF − , ∗BF +
, ∗BF + , ∗BF − , ∗BF + , ∗BF −
, ∗BF . Variabel prediktor yang tingkat pentingnya secara signifikan yaitu
Inflasi ; nilai tukar (kurs) tengah rupiah terhadap dolar Amerika ; indeks saham Dow Jones ; tingkat suku bunga di Indonesia ; dan indeks saham Nikkei 225 dengan tingkat pentingnya masing-masing sebesar 100%; 86,54114%; 84,31259%; 38,18755%; dan 32,75410%.
Penelitian lanjutan dapat menggunakan metode MARS apabila regresi nonparametrik dan data berdimensi tinggi. Model terbaik MARS dapat dilihat dari kriteria GCV terkecil, apabila memiliki nilai GCV terkecil yang sama dapat dilihat dengan pertimbangan nilai MSE terkecil, dan apabila masih memiliki nilai MSE yang sama maka dapat dilihat dengan pertimbangan nilai terbesar.
(10)
x
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ... i
PENYATAAN KEASLIAN TULISAN ... iii
HALAMAN PENGESAHAN ... iv
MOTTO DAN PERSEMBAHAN ... v
KATA PENGANTAR ... vi
ABSTRAK ... ix
DAFTAR ISI ... x
DAFTAR TABEL ... xiv
DAFTAR SIMBOL ... xv
DAFTAR GAMBAR ... xvii
DAFTAR LAMPIRAN ... xix
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Rumusan Masalah ... 7
1.3 Batasan Masalah ... 7
1.4 Tujuan Penelitian ... 7
(11)
xi BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG) ... 10
2.1.1 Inflasi ... 10
2.1.2 Tingkat Suku Bunga di Indonesia ... 11
2.1.3 Nilai Tukar (Kurs) Rupiah ... 13
2.1.4 Indeks Dow Jones ... 13
2.1.5 Indeks Nikkei 225 ... 14
2.1.6 Indeks Hang Seng ... 15
2.2 Skala Pengukuran ... 16
2.3 Analisis Regresi ... 17
2.3.1 Regresi Nonparametrik ... 18
2.3.1.1Regresi Splines ... 19
2.3.1.2Basis B-Spline ... 20
2.3.1.3Recursive Partitioning Regression (RPR) ... 24
2.3.1.4Multivariate Adaptive Regression Splines (MARS) ... 26
2.4 Pengujian Parameter Model Regresi ... 35
2.5 Estimasi Parameter ... 38
2.6 Generalized Cross Validation (GCV) ... 40
2.7 Algoritma MARS ... 40
2.8 Pemilihan Model MARS Terbaik ... 43
2.9 Pengujian Signifikansi Model MARS ... 45
2.10Penelitian Terdahulu ... 47
(12)
xii BAB 3 METODE PENELITIAN
3.1 Studi Pustaka ... 57
3.2 Perumusan Masalah ... 58
3.3 Pengumpulan Data ... 58
3.4 Pemecahan Masalah ... 59
3.4.1 Variabel Penelitian ... 59
3.4.2 Software yang Digunakan ... 60
3.4.3 Metode Analisis ... 60
3.4.4 Flowchart Penentuan Model MARS ... 62
3.5 Penarikan Kesimpulan ... 63
BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Hasil ... 64
4.1.1 Statistik Deskriptif Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG) di Indonesia... 64
4.1.2 Statistik Deskriptif Inflasi di Indonesia ... 66
4.1.3 Statistik Deskriptif Suku Bunga di Indonesia ... 67
4.1.4 Statistik Deskriptif Kurs Tengah Rupiah terhadap Dolar Amerika ... 69
4.1.5 Statistik Deskriptif Indeks Dow Jones ... 71
4.1.6 Statistik Deskriptif Indeks Nikkei 225 ... 73
4.1.7 Statistik Deskriptif Indeks Hang Seng ... 75
4.1.8 Uji Asumsi Model Regresi ... 77
(13)
xiii
4.1.8.2Uji Homoskedastisitas ... 80
4.1.8.3Uji Autokorelasi ... 81
4.1.8.4Uji Multikolinieritas ... 82
4.1.9 Estimasi Model MARS ... 84
4.1.10 Model MARS Terbaik ... 85
4.1.11 Pengujian Signifikansi Model MARS ... 86
4.1.11.1 Pengujian Koefisien Regresi Simultan ... 87
4.1.11.2 Pengujian Koefisiensi Regresi Parsial ... 88
4.1.12 Interpretasi Model MARS ... 90
4.1.13 Tingkat Kepentingan Variabel Prediktor ... 92
4.2 Pembahasan ... 93
BAB 5 PENUTUP 5.1 Kesimpulan ... 98
5.2 Saran ... 99
DAFTAR PUSTAKA ... 100
(14)
xiv
DAFTAR TABEL
Tabel Halaman
Tabel 4.1 Statistik Deskriptif Variabel IHSG ... 65
Tabel 4.2 Statistik Deskriptif Variabel Inflasi ... 66
Tabel 4.3 Statistik Deskriptif Variabel Suku Bunga di Indonesia ... 68
Tabel 4.4 Statistik Deskriptif Variabel Kurs Tengah Rupiah ... 69
Tabel 4.5 Statistik Deskriptif Variabel Indeks Dow Jones ... 71
Tabel 4.6 Statistik Deskriptif Variabel Indeks Nikkei 225 ... 73
Tabel 4.7 Statistik Deskriptif Variabel Indeks Hang Seng ... 75
Tabel 4.8 One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test ... 79
Tabel 4.9 Koefisien Korelasi Pada Regresi... 81
Tabel 4.10 Model Summary ... 82
Tabel 4.11 ... 83
Tabel 4.12 Hasil seleksi Model MARS Menggunakan Kriteria GCV ... 84
Tabel 4.13 MARS Regression ... 87
Tabel 4.14 MARS Regression ... 88
(15)
xv
DAFTAR SIMBOL
: data Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG) di Indonesia : data Inflasi di Indonesia
: data Suku Bunga di Indonesia
: data Kurs (Tengah) Rupiah terhadap Dollar Amerika di Indonesia : data Indeks Saham Dow Jones
: data Indeks Saham Nikkei 225 : data Indeks Saham Hang Seng
: data Standarisasi Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG) di Indonesia
: data Standarisasi Inflasi di Indonesia : data Standarisasi Suku Bunga di Indonesia
: data Standarisasi Kurs (Tengah) Rupiah terhadap Dollar Amerika di Indonesia
: data Standarisasi Indeks Saham Dow Jones : data Standarisasi Indeks Saham Nikkei 225 : data Standarisasi Indeks Saham Hang Seng BF : fungsi basis (Basis Function)
MI : maksimum Interaksi MO : minimum Observasi
n : jumlah Sampel
p : jumlah Prediktor
LLt : laju Inflasi di Periode Waktu ke t
IHKt : nilai Indeks Harga Konsumen di Periode Waktu ke-t
IHKt− : nilai Indeks Harga Konsumen di Periode Waktu ke t −
: variabel respon pada amatan ke- : fungsi smooth yang tidak diketahui
: error ke- yang saling bebas : Fungsi basis Induk
(16)
xvi : koefisien dari fungsi basis ke m : maksimum fungsi basis
: derajat Interaksi ke m
: nilai 1 atau -1 jika data berada di sebelah kanan atau kiri knot , : variabel prediktor dari p dengan observasi ke n
: nilai knot dari variabel prediktor , : semua fungsi basis untuk satu variabel
, : semua fungsi basis untuk interaksi antar dua variabel , , : semua fungsi basis untuk interaksi antar tiga variabel [ ] : elemen Matriks Hat ke ii
(17)
xvii
DAFTAR GAMBAR
Gambar Halaman
Gambar 2.1 Menu Utama SPM 7 ... 53
Gambar 2.2 Tampilan Membuka Dokumen... 54
Gambar 2.3 Tampilan Variabel-variabel... 54
Gambar 2.4 Data dalam SPM 7... 55
Gambar 2.5 MARS dalam SPM 7 ... 55
Gambar 2.6 Model dalam SPM 7 ... 56
Gambar 2.7 Options and Limits dalam SPM 7 ... 56
Gambar 3.1 Flowchart Penentuan Model Akhir ... 62
Gambar 4.1 Grafik IHSG di Indonesia ... 65
Gambar 4.2 Grafik Inflasi di Indonesia... 66
Gambar 4.3 Scatterplot antara IHSG dengan Inflasi ... 67
Gambar 4.4 Grafik Suku Bunga di Indonesia ... 68
Gambar 4.5 Scatterplot antara IHSG dengan Suku Bunga di Indonesia .... 69
Gambar 4.6 Grafik Kurs Tengah Rupiah di Indonesia ... 70
Gambar 4.7 Scatterplot antara IHSG dengan Kurs Tengah Rupiah ... 72
(18)
xviii
Gambar 4.9 Grafik Indeks Nikkei 225 ... 74
Gambar 4.10 Scatterplot antara IHSG dengan Indeks Nikkei 225 ... 75
Gambar 4.11 Grafik Indeks Hang Seng ... 76
Gambar 4.12 Scatterplot antara IHSG dengan Indeks Hang Seng ... 77
(19)
xix
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran Halaman
1. Data Penelitian Asli ... 103
2. Output Pengolahan Data Menggunakan SPSS 16 ... 105
3. Tabel Durbin-Watson dengan = , ... 108
4. Tabel F dengan = , ... 109
5. Data Penelitian setelah Standarisasi ... 110
6. Output Simulasi Model MARS trial and error ... 115
7. Output Simulasi Model MARS terbaik ... 212
(20)
(21)
1
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Di era globalisasi ini, hampir semua negara menaruh perhatian besar terhadap pasar modal karena memiliki peranan strategis bagi penguatan ketahanan ekonomi suatu negara. Pasar modal yang ada di Indonesia merupakan pasar yang sedang berkembang yang dalam perkembangannya sangat rentan terhadap kondisi makroekonomi secara umum. Krisis ekonomi yang dimulai tahun 1998 merupakan awal runtuhnya pilar-pilar perekonomian nasional Indonesia. Ini ditandai dengan turunnya kepercayaan masyarakat terhadap perbankan Indonesia dalam bentuk penarikan dana besar-besaran (rush) oleh deposan untuk kemudian disimpan di luar negeri. Dampak lain dari menurunnya kepercayaan masyarakat berimbas sampai ke pasar modal. Harga-harga saham menurun secara tajam sehingga menimbulkan kerugian yang cukup signifikan bagi investor.
Pertumbuhan ekonomi yang terjadi di Indonesia cukup pesat dan telah mengubah pola pikir masyarakat di bidang ekonomi dan investasi. Investasi dalam bentuk saham merupakan investasi yang banyak dipilih para investor. Salah satu indikator yang menunjukkan pergerakan harga saham adalah Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG). Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG) sering digunakan sebagai acuan para investor untuk melihat representasi harga saham keseluruhan sehingga untuk menganalisis kemungkinan kenaikan atau penurunan harga saham
(22)
2
diperlukan suatu metode analisis (Sunariyah dalam Astuti et al., 2013).
Metode analisis sebelumnya pada pergerakan indeks harga saham di suatu negara tidak terlepas dari kondisi perekonomian negara itu secara makro. Indeks harga saham sangat dipengaruhi variabel-variabel makro seperti tingkat suku bunga di Indonesia, nilai tukar (kurs) rupiah terhadap dolar Amerika, dan Inflasi. Pada umumnya bursa efek yang berada dalam satu kawasan juga dapat mempengaruhi karena letak geografisnya yang saling berdekatan seperti Nikkei 225 di Jepang dan Hang Seng di Hongkong yang memiliki pengaruh yang kuat terhadap kinerja Bursa Efek Indonesia (Astuti et al., 2013).
Analisis regresi merupakan salah satu metode statistika yang dapat menggambarkan ketergantungan atau mencari hubungan fungsional antara satu variabel respon (variabel dependen) dengan satu atau lebih variabel prediktor (variabel independen). Dalam hal ini, indeks harga saham gabungan (IHSG) adalah variabel respon dan variabel prediktornya adalah faktor-faktor yang mempengaruhi indeks harga saham gabungan (IHSG) yaitu inflasi, tingkat suku bunga di Indonesia, nilai tukar (kurs) tengah rupiah bulanan terhadap dolar Amerika, indeks saham Dow Jones, indeks saham Nikkei 225, dan indeks saham Hang Seng.
Penelitian sebelumnya mengenai indeks harga saham gabungan telah dilakukan oleh beberapa penelitian seperti Puspitasari et al. (2012) dan Astuti et al. (2013). Penelitian yang dilakukan oleh Puspitasari et al. (2012) membandingkan hasil peramalan data IHSG menggunakan metode time series klasik, regresi parametrik linier, dan regresi nonparametrik kernel. Hasil analisis regresi nonparametrik kernel lebih baik dari kedua metode lainnya karena mempunyai
(23)
nilai MSE terkecil. Pada metode regresi nonparametrik kernel, pemilihan bandwidth optimal lebih penting dibanding pemilihan fungsi yang digunakan.
Penelitian yang dilakukan oleh Astuti et al. (2013) melakukan analisis pengaruh antara variabel tingkat suku bunga di Indonesia, nilai tukar (kurs), inflasi, Indeks Nikkei 225, dan Indeks Hang Seng. Hasilnya bahwa variabel tingkat suku bunga di Indonesia, nilai tukar (kurs), dan inflasi memiliki pengaruh signifikan terhadap IHSG. Artinya jika variabel tersebut mengalami peningkatan maka akan diikuti peningkatan nilai IHSG dan begitu sebaliknya.
Berdasarkan penelitian Puspitasari et al. (2012) dan Astuti et al. (2013) dalam menjelaskan pola hubungan variabel respon dengan variabel prediktor dapat digunakan pendekatan kurva regresi. Pendekatan kurva regresi yang sering digunakan adalah pendekatan regresi parametrik, dimana diasumsikan bentuk kurva regresi diketahui (seperti linier, kuadratik, dan kubik) berdasarkan teori yang dapat memberikan informasi hubungan (Draper dan Smith, 1992). Namun, tidak semua pola hubungan dapat didekati dengan pendekatan parametrik, karena tidak adanya suatu informasi mengenai bentuk hubungan variabel respon dan variabel prediktor. Jika bentuk kurva tidak diketahui dan pola menyebar maka kurva regresi dapat diduga menggunakan pendekatan model regresi nonparametrik. Apalagi tes nonparametrik tidak memerlukan pengukuran seperti yang dibutuhkan untuk menyelesaikan tes parametrik, tes nonparametrik paling berlaku untuk data dalam skala ordinal, dan berlaku juga untuk sampel data skala nominal. Regresi nonparametrik memiliki fleksibilitas yang tinggi dalam mengestimasi kurva regresi. Dalam pandangan regresi nonparametrik data diharapkan mencari sendiri
(24)
4
estimasi kurva regresi, tanpa dipengaruhi oleh faktor subyektifitas dari perancangan penelitian (Eubank, 1988).
Salah satu metode regresi nonparametrik adalah Multivariate Adaptive Regression Splines (MARS) yang pertama kali dipopulerkan oleh Friedman (1991). Karena MARS merupakan metode regresi nonparametrik sehingga model MARS tidak bergantung pada asumsi tertentu. Model MARS berguna untuk mengatasi permasalahan data yang berdimensi tinggi, yaitu data yang memiliki jumlah variabel prediktor sebesar dan sampel data yang berukuran
. MARS merupakan pengembangan dari pendekatan Recursive Partitioning Regression (RPR) yang dikombinasikan dengan metode Spline sehingga model yang dihasilkan kontinu pada knot yaitu garis regresi selalu menyambung, dimana tiap knot selalu menyambung dengan fungsi basisnya.
MARS merupakan metodologi regresi komputasional yang menyediakan pendekatan sistematik membangun model regresi yang menghasilkan model kontinu untuk data berdimensi tinggi dimana data tersebut mengandung Multiple Partitions dan interaksi antara variabel prediktor. Metode MARS mengatasi kelemahan Recursive Partitioning Regression (RPR) dimana sebelumnya model yang dihasilkan RPR tidak kontinu terhadap knots, sedangkan MARS mampu menghasilkan model yang kontinu terhadap knots. MARS banyak diadopsi oleh bidang ilmu komputer sebagai Conpetitor metode lain seperti jaringan syaraf tiruan dan Generalized Adaptive Models (Hastie dan Tibsjirani dalam Souri, 2009).
Salah satu penelitian mengenai model MARS yaitu penelitian yang dilakukan oleh Wasis Wicaksono et al. (2014) melakukan analisis pada
(25)
faktor penyebab penyakit diare diantaranya variabel prediktornya meliputi persentase keluarga yang memiliki jamban sehat , persentase keluarga yang menggunakan air bersih , persentase TUPM (Tempat Umum dan Pengelolaan Makanan) sehat , rata-rata lama sekolah , persentase melek huruf penduduk usia di atas 10 tahun , rata-rata jiwa per rumah tangga , dan persentase penduduk miskin . Dapat diketahui bahwa variabel yang berpengaruh terhadap pemyakit diare adalah persentase keluarga yang menggunakan air bersih , persentase TUPM (Tempat Umum dan Pengelolaan Makanan) sehat , dan persentase melek huruf penduduk usia di atas 10 tahun . Penelitian yang dilakukan guna menekan angka penyebaran diare menggunakan pendekatan kurva regresi nonparametrik menggunakan model Multivariate Adaptive Regression Splines (MARS) karena data berdimensi tinggi dan memodelkan variabel-variabel prediktor yang mempengaruhi kesakitan diare. Untuk mendapatkan model MARS terbaik dilakukan dengan cara mengkombinasikan Maksimum Fungsi basis (BF), Maksimum Interaksi (MI), dan Minimum Observasi (MO) secara trial and error dan melihat Generalized Cross Validation (GCV) minimum.
Berdasarkan penelitian yang dilakukan oleh Wasis Wicaksono et al. (2014) menggunakan model MARS untuk memodelkan dan mengetahui faktor-faktor yang mempengaruhi kesakitan diare termasuk ke dalam data yang berdimensi tinggi. Dan berdasarkan penelitian yang dilakukan oleh Puspitasari et al. (2012) dan Astuti et al. (2013) mengenai faktor-faktor yang mempengaruhi IHSG dibidang makro ekonomi yaitu variabel inflasi, nilai tukar (kurs), dan suku
(26)
6
bunga di Indonesia, sedangkan yang mempengaruhi IHSG dibidang mikro ekonomi yaitu variabel indeks Dow Jones, indeks Nikkei 225, dan indeks Hang Seng menggunakan pendekatan regresi nonparametrik kernel karena data berdimensi tinggi. Oleh karena itu, berdasarkan penelitian yang dilakukan oleh Wasis Wicaksono et al. (2014), Puspitasari et al. (2012), dan Astuti et al. (2013) tersebut maka model MARS juga cocok digunakan untuk data Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG) dan faktor-faktor yang mempengaruhi IHSG dalam bidang makro maupun mikro dengan pendekatan regresi nonparametrik, dengan skala nominal, dan data berdimensi tinggi.
Sehingga, penulis akan menganalisis faktor-faktor yang mempengaruhi indeks harga saham gabungan (IHSG) menggunakan model Multivariate Adaptive Regression Splines (MARS), karena dengan pendekatan kurva regresi nonparametrik data tersebut berdimensi tinggi, memodelkan variabel-variabel prediktor yang mempengaruhi IHSG, dan pemilihan model terbaik pada Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG) model MARS menggunakan kriteria Generalized Cross Validation (GCV) minimum.
Berdasarkan uraian tersebut penulis mengambil judul “Estimasi
Multivariate Adaptive Regression Splines (MARS) pada Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG)”. Harapannya dengan adanya penelitian ini dapat menekan kerugian para investor dan meningkatkan kepercayaan investor terhadap perbankan negara.
(27)
1.2
Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan, maka permasalahan penelitian ini dirumuskan sebagai berikut.
1. Bagaimana estimasi Multivariate Adaptive Regression Splines (MARS) pada variabel prediktor Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG) terbaik menggunakan kriteria Generalized Cross Validation (GCV) ?
2. Berapa besar tingkat pentingnya variabel-variabel prediktor terhadap model terbaik yang diperoleh ?
1.3
Batasan Masalah
Berdasarkan permasalahan yang telah diuraikan, batasan masalah dalam penelitian ini yaitu hanya mengkaji faktor ekonomi yang mempengaruhi IHSG yaitu inflasi, tingkat suku bunga di Indonesia, nilai tukar (kurs) tengah rupiah bulanan terhadap dolar Amerika, indeks saham Dow Jones, indeks saham Nikkei 225, dan indeks saham Hang Seng dari Bulan September 2010 hingga September 2015.
1.4
Tujuan Penelitian
Berdasarkan permasalahan di atas, maka tujuan penelitian ini adalah sebagai berikut.
1. Mengetahui estimasi Multivariate Adaptive Regression Splines (MARS) pada variabel prediktor Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG) terbaik menggunakan kriteria Generalized Cross Validation (GCV).
(28)
8
2. Mengetahui besar tingkat pentingnya variabel-variabel prediktor terhadap model terbaik yang diperoleh.
1.5
Manfaat Penelitian
Manfaat yang akan diperoleh dari penelitian ini adalah sebagai berikut.
1. Bagi penulis
a. Menambah dan memperkaya pengetahuan mengenai model Multivariate Adaptive Regression Splines (MARS) serta penerapannya pada Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG).
b. Membantu mengaplikasikan ilmu yang telah diperoleh selama di perkuliahan sehingga menunjang kesiapan untuk terjun ke dalam dunia kerja.
2. Bagi Mahasiswa Matematika
a. Menambah pengetahuan mengenai model Multivariate Adaptive Regression Splines (MARS).
b. Memberikan suatu metode alternatif untuk melakukan pemodelan regresi nonparametrik menggunakan model Multivariate Adaptive Regression Splines (MARS).
3. Bagi Jurusan Matematika
a. Sebagai bahan studi kasus bagi pembaca dan acuan bagi mahasiswa serta dapat memberikan bahan referensi bagi pihak perpustakaan.
b. Sebagai bahan bacaan yang dapat menambah ilmu pengetahuan bagi pembaca dalam hal ini mahasiswa yang lain.
(29)
4. Bagi Bank Indonesia
a. Pemodelan kasus Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG) dapat membantu untuk melihat representasi harga saham keseluruhan dan variabel prediktor yang mempengaruhinya.
b. Sebagai acuan dan informasi para investor mengenai naik turunnya harga saham.
5. Bagi peneliti selanjutnya
Diharapkan dengan adanya penelitian ini dapat digunakan sebagai bahan informasi dan bahan pengembangan penelitian selanjutnya.
(30)
10
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1
Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG)
Menurut Sunariyah dalam Astuti et al. (2013) indeks harga saham gabungan (IHSG) adalah suatu rangkaian informasi historis mengenai pergerakan saham gabungan sampai tanggal tertentu dan mencerminkan suatu nilai yang berfungsi sebagai pengukur kinerja suatu saham gabungan di bursa efek. Beberapa faktor makro dan mikro ekonomi yang mempengaruhi indeks harga saham gabungan (IHSG) yaitu inflasi, tingkat suku bunga di Indonesia, nilai tukar (kurs) tengah rupiah bulanan terhadap dolar Amerika, indeks saham Dow Jones, indeks saham Nikkei 225, dan indeks saham Hang Seng.
2.1.1 Inflasi
Menurut Insukindro (1987) inflasi merupakan kecenderungan kenaikan harga secara umum dan terus menerus. Jika hanya terjadi kenaikan harga-harga pada satu atau dua sektor, maka belum bisa dikatakan sebagai kenaikan inflasi. Kenaikan inflasi terjadi jika hampir semua sektor mengalami kenaikan harga. Terdapat beberapa cara untuk menghitung inflasi, yaitu.
a. Menggunakan Harga Umum b. Menggunakan Angka Deflator
c. Menggunakan Indeks Harga Konsumen d. Menggunakan Harga yang diharapkan
(31)
e. Menggunakan Indeks Harga dalam Negeri dan Luar Negeri
Dari kelima cara di atas, cara yang paling efektif untuk menghitung inflasi yaitu menggunakan indeks harga konsumen (IHK) karena mudahnya mendapatkan harga konsumen dari waktu ke waktu. Berikut rumus untuk menghitung inflasi dengan menggunakan indeks harga konsumen.
= − −
−
dimana :
: laju inflasi di periode waktu ke-t
: nilai indeks harga konsumen di periode waktu ke-t
− : nilai indeks harga saham konsumen di periode waktu ke- −
2.1.2 Tingkat Suku Bunga di Indonesia
Menurut Kasmir (1998) suku bunga dapat diartikan sebagai balas jasa yang diberikan oleh bank berdasarkan prinsip konvensional kepada nasabah yang membeli atau menjual produknya. Sedangkan tingkat suku bunga atau BI rate menurut publikasi yang dilakukan oleh Bank Indonesia yaitu suku bunga kebijakan yang mencerminkan sikap kebijakan moneter yang ditetapkan oleh Bank Indonesia dan diumumkan kepada publik (www.bi.go.id/id/moneter/bi-rate/penjelasan/ contens/default.aspx).
Tingkat bunga, Sunariyah (2006: 80), dinyatakan sebagai presentase uang pokok per unit waktu. Bunga merupakan suatu ukuran harga sumber daya yang digunakan oleh debitur yang harus dibayarkan kepada kreditur. Unit waktu
(32)
12
biasanya dinyatakan dalam satuan tahun (satu tahun investasi) atau bisa lebih pendek dari satu tahun. Uang pokok berarti jumlah uang yang diterima dari kreditur kepada debitur. Menurut ekonom klasikal, permintaan dan penawaran investasi pada pasar modal menentukan tingkat bunga.
Tingkat bunga akan menentukan keseimbangan antara jumlah tabungan dan permintaan investasi. Tingkat bunga itu sendiri ditentukan oleh dua kekuatan, yaitu penawaran tabungan dan permintaan investasi modal (terutama dari sektor bisnis). Tingkat bunga pada dasarnya berperan sebagai pendorong utama agar masyarakat bersedia menabung. Jumlah tabungan akan ditentukan oleh tinggi rendahnya tingkat bunga. Semakin tinggi suku bunga, akan semakin tinggi pula minat masyarakat untuk menabung, dan sebaliknya. Tinggi rendahnya penawaran dana investasi ditentukan oleh tinggi rendahnya suku bunga tabungan masyarakat.
BI Rate adalah suku bunga kebijakan yang mencerminkan sikap atau stance kebijakan moneter yang ditetapkan oleh Bank Indonesia dan diumumkan kepada publik. BI Rate diumumkan oleh Dewan Gubernur Bank Indonesia setiap Rapat Dewan Gubernur bulanan dan diimplementasikan pada operasi moneter yang dilakukan Bank Indonesia melalui pengelolaan likuiditas (liquidity management) di pasar uang untuk mencapai sasaran operasional kebijakan moneter.
Sasaran operasional kebijakan moneter dicerminkan pada perkembangan suku bunga Pasar Uang Antar Bank Overnight (PUAB O/N). Pergerakan di suku bunga PUAB ini diharapkan diikuti oleh perkembangan di suku bunga deposito, dan pada gilirannya suku bunga kredit perbankan. Dengan mempertimbangkan pula faktor-faktor dalam perekonomian, Bank Indonesia pada umumnya akan
(33)
menaikkan BI Rate apabila inflasi ke depan diperkirakan melampaui sasaran yang telah ditetapkan, sebaliknya Bank Indonesia akan menurunkan BI Rate apabila inflasi ke depan diperkirakan di bawah sasaran yang telah ditetapkan.
2.1.3 Nilai Tukar (Kurs) Rupiah
Menurut Mankiw yang diterjemahkan oleh Liza dan Nurmawan (2006) menyebutkan bahwa kurs antar dua negara adalah tingkat harga yang disepakati penduduk kedua Negara untuk saling melakukan perdagangan. Kurs dibedakan menjadi kurs nominal dan kurs riil. Kurs nominal yaitu harga relatif dari mata uang dua Negara. Sedangkan kurs riil adalah harga dari barang-barang diantara dua Negara. Kurs riil menyatakan tingkat dimana bisa memperdagangkan barang-barang dari suatu Negara untuk barang-barang-barang-barang dari Negara lain. Menurut publikasi bank Indonesia, nilai kurs dibedakan menjadi dua, yaitu Kurs Transaksi BI dan Kurs Uang Kertas Asing (UKA) BI. Kurs transaksi BI disajikan dalam bentuk kurs jual dan kurs beli valas terhadap rupiah, digunakan sebagai acuan transaksi BI dengan pihak ketiga seperti pemerintah. Sedangkan kurs UKA BI adalah kurs yang digunakan sebagai indikasi transaksi bank antara Bank Indonesia dengan pihak ketiga (www.bi.go.id/id/moneter/informasi-kurs/contens/default.aspx).
2.1.4 Indeks Dow Jones
Dow Jones Industrial Average (DJIA) adalah salah satu indeks pasar saham yang didirikan oleh editor The Wall Street Journal dan pendiri Dow Jones dan Company Charles Dow. Dow membuat indeks ini sebagai suatu cara untuk mengukur performa komponen industri di pasar saham Amerika.
(34)
14
Cara penghitungan indeks Dow Jones sebagai berikut.
= ∑
Dimana ∑ adalah jumlah seluruh harga saham dan divisor adalah angka yang ditentukan oleh Dow Jones sebagai pembagi. Angka pembagi ini selalu diperbaharui dan disesuaikan dengan perkembangan pasar yang terjadi seperti stock split, pembayaran dividen, pengumuman bonus, dan berita ekonomi lain.
2.1.5 Indeks Nikkei 225
Nikkei 225 adalah sebuah indeks pasar saham di Bursa Efek Tokyo. Indeks ini telah dihitung oleh harian Nihon Keizai Shimbun (Nikkei) sejak 7 September 1950. Metode perhitungannya menggunakan perhitungan harga rata-rata (unit dalam yen), dan komponen saham perusahaan yang tercantum dalam indeks akan ditinjau setahun sekali. Saham perusahaan yang tercatat dalam Indeks Nikkei 225 merupakan saham yang paling aktif diperdagangkan dalam bursa efek Tokyo. Saat ini, Nikkei adalah indeks yang paling banyak digunakan sebagai panduan bagi investor ketika akan berinvestasi.
Indeks ini merupakan gabungan dari 225 perusahaan yang terpilih, dengan persyaratan tertentu. Perusahaan yang terpilih merupakan perusahaan yang memiliki aset yang besar dan memiliki kredibilitas yang baik di market. Metode Perhitungan Indeks Nikkei 225 menggunakan rumus sebagai berikut.
(35)
Dimana ∑ jumlah seluruh harga saham yang tercatat di Indeks Nikkei 225 dan divisor adalah angka yang ditentukan oleh otoritas bursa sebagai bilangan pembagi. Nilai divisor berdasar perhitungan otoritas bursa per April 2009 adalah sebesar 24.656. Bagi saham-saham yang harganya kurang dari 50 yen, maka harga sahamnya akan dihitung 50 yen (www.en.wikipedia.org).
2.1.6 Indeks Hang Seng
Hang Seng Index (HSI) adalah indeks komulatif dari 38 saham blue chip dari Hong Kong stock Market yang merupakan salah satu indeks saham terpercaya, digunakan para investor dan fund manager untuk berinvestasi. Ke-38 constituent stock yang dijadikan indikator berasal dari berbagai sektor seperti Industri, Finance, Properties, dan sebagainya. Keseluruhan dari nilai saham-saham ini merupakan 70% dari nilai kapitalisasi seluruh nilai saham yang tercatat pada The Stock Exchange of Hong Kong Ltd. (SEHK). Karena itu naik atau turunnya indeks HIS merupakan refleksi performance dari keseluruhan saham-saham yang diperdagangkan. Pemilik lisensi dari Hang Seng Stock index adalah HIS Service Limited, yang merupakan subsidiary dari Hang Seng Bank. HIS pertamakali diperdagangkan pada 24 November 1969.
Hang Seng merupakan indeks saham utama Hongkong yang dihitung memakai metode value weighted. Indeks Hang Seng dihitung berdasarkan nilai dasar 100 pada tanggal 31 Juli 1964. Indeks ini dibagi menjadi empat subindeks, yaitu perdagangan dan industri, keuangan, utilitas, dan properti. Hang Seng merupakan indeks saham kedelapan terbesar di dunia dengan market capitalization sebesar US$2,7 triliun pada tahun 2012 (Forbes dalam Andrew Hartanto, 2013).
(36)
16
2.2
Skala Pengukuran
Dalam analisis regresi data dibedakan menjadi dua jenis yaitu kuantitatif dan kualitatif. Variabel kuantitatif adalah variabel yang dilaporkan dalam bentuk angka atau metrik. Sedangkan variabel kualitatif adalah variabel yang dilaporkan tidak dalam keadaan angka atau tidak dalam metrik (Widarjono, 2010).
Menurut Santoso dan Ashari (2005), pengukuran data adalah pemberian angka pada suatu peristiwa sesuai dengan aturan-aturan tertentu. Dalam pengukuran akan membentuk suatu skala dan kemudian mentransfer pengamatan terhadap ciri-ciri kepada skala tersebut. Secara umum, skala pengukuran dikelompokan menjadi 4 sebagai berikut.
1. Skala Nominal
Skala nominal adalah pemberian skala dimana skala digunakan hanya untuk membedakan suatu ukuran dari ukuran yang lain tanpa memberikan atribut lebih besar atau lebih kecil. Skala ini bersifat sejajar atau sama antara masing-masing skala.
2. Skala Ordinal
Skala ordinal digunakan untuk menyatakan suatu objek untuk memiliki satu sifat yang dapat dibandingkan dengan objek yang lain. Skala ini lebih baik daripada skala nominal karena memberikan nilai lebih besar dan lebih kecil, tetapi tidak dapat mencari selisih atau perbedaan antar skala.
3. Skala Interval
Skala interval adalah skala yang memiliki ciri-ciri skala ordinal tetapi jarak dari masing-masing data bisa diukur. Skala ini dapat digunakan untuk
(37)
mancari perbedaan atau jarak dari masing-masing skala. Pengukuran dari skala ini biasanya menggunakan alat ukur sehingga jarak masing-masing bisa dicari. Kelemahan dari skala ini adalah tidak memiliki asal mula yang unik karena nilai nol bukan merupakan nilai yang mutlak.
4. Skala Rasio
Skala rasio merupakan pengukuran suatu objek dalam dua tolok ukur yang berbeda berkaitan satu sama lain dengan rasio tetap. Skala rasio mencerminkan nilai sebenarnya dari data.
Berdasarkan skala pengukuran dalam analisis regresi tersebut, data Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG) merupakan data skala nominal yang termasuk ke dalam pendekatan regresi nonparametrik.
2.3
Analisis Regresi
Istilah “regresi” pertama kali dikemukakan oleh Sir Francis Galton (1822-1911), seorang antropolog dan ahli meteorologi terkenal dari Inggris. Dalam makalahnya yang berjudul “Regression towards mediocrity in hereditary stature”, yang dimuat dalam Journal of the Anthropological Institute, volume 15, halaman 246 sampai dengan 263, tahun 1885.
Galton menjelaskan bahwa biji keturunan tidak cenderung menyerupai biji induknya dalam hal besarnya, namun lebih medioker (lebih mendekati rata-rata) lebih kecil daripada induknya, kalau induknya besar dan lebih besar daripada induknya, kalau induknya sangat kecil (Draper dan Smith, 1972).
(38)
18
Dalam analisis regresi, diperlukan suatu model yang digunakan untuk mengetahui hubungan antara variabel tidak bebas (respon) dengan satu atau lebih variabel bebas (prediktor) dan untuk melakukan peramalan terhadap variabel respon. Model regresi dapat diperoleh dengan melakukan estimasi terhadap parameter-parameternya menggunakan metode tertentu. Adapun metode yang dapat digunakan untuk mengestimasi parameter model regresi, khususnya parameter model regresi linier (sederhana dan berganda) adalah dengan metode kuadrat terkecil (least square) dan metode kemungkinan maksimum (maximum likelihood), (Kutner et al., 2004).
2.3.1 Regresi Nonparametrik
Menurut Eubank (1988), pendekatan nonparametrik merupakan metode pendugaan model yang dilakukan berdasarkan pendekatan yang tidak terikat asumsi bentuk kurva regresi tertentu dimana kurva regresi hanya diasumsikan smooth (mulus), artinya termuat di dalam suatu ruang fungsi tertentu sehingga regresi nonparametrik memiliki fleksibilitas yang tinggi karena data diharapkan mencari sendiri bentuk estimasi kurva regresinya tanpa dipengaruhi oleh faktor subyektifitas peneliti. Penggunaan statistik nonparametrik mengabaikan asumsi-asumsi yang melandasi penggunaan metode statistika parametrik. Tidak semua pola hubungan dapat didekati dengan pendekatan parametrik, karena tidak adanya suatu informasi mengenai bentuk hubungan variabel respon dan variabel prediktor. Jika bentuk kurva tidak diketahui dan pola menyebar maka kurva regresi dapat diduga menggunakan pendekatan model regresi nonparametrik. Apalagi tes nonparametrik tidak memerlukan pengukuran seperti yang dibutuhkan untuk menyelesaikan tes
(39)
parametrik, tes nonparametrik paling berlaku untuk data dalam skala ordinal, dan berlaku juga untuk sampel data skala nominal. Secara umum model regresi nonparametrik dapat dituliskan sebagai berikut.
= +
dengan :
: variabel respon pada amatan ke-
: fungsi smooth yang tidak diketahui
: error ke- yang saling bebas
Fungsi regresi hanya diasumsikan termuat dalam suatu ruang fungsi tertentu, dimana pemilihan ruang fungsi tersebut biasanya dimotivasi oleh sifat kemulusan (smoothness) yang dimiliki oleh fungsi tersebut. Salah satu pendekatan dalam regresi nonparametrik adalah regresi spline. Spline mempunyai keunggulan dalam mengatasi pola data yang menunjukkan naik atau turun yang tajam dengan bantuan titik-titik knot, serta kurva yang dihasilkan relatif mulus (Hardle, 1990).
2.3.1.1 Regresi Spline
Regresi spline merupakan salah satu metode regresi nonparametrik yang bertujuan untuk memperkecil keragaman dan mengestimasi perilaku data yang cenderung berbeda. Pendekatan spline memiliki kemampuan untuk mengatasi pola data yang menunjukkan naik turun yang tajam dengan bantuan titik-titik knot, serta kurva yang dihasilkan relatif mulus. Titik-titik knot ialah perpaduan bersama yang (2.1)
(40)
20
menunjukkan terjadinya perubahan spline untuk menyesuaikan diri secara efektif terhadap karakteristik lokal dari suatu fungsi atau data. Spline merupakan potongan (piecewise) polinomial orde dan memiliki turunan yang kontinu dengan knot sampai orde − (Friedman, 1991). Dalam spline univariat dengan K knot memiliki fungsi basis sebagai berikut.
{ } , { − +} Sehingga model spline dapat ditulis menjadi
= + + + + ∑ − +
=
dimana dan , , … , merupakan titik-titik knot. Sedangkan fungsi dari truncated power − + adalah
− + = { − ; − ; − >
dimana menunjukkan orde polinomial dari fungsi spline. Di setiap titik knot, diharapkan adanya dari fungsi basis antar satu region dengan region lainnya. Oleh karena itu pada umumnya fungsi basis yang dipilih adalah berbentuk polinomial dengan turunan − yang kontinu disetiap titik knot.
2.3.1.2 Basis B-Spline
Model regresi = + ∶ = , , . . , , merupakan residual dan adalah kurva regresi. B-Spline mengatasi kelemahan regresi spline yaitu saat order spline tinggi, knot yang banyak dan knot yang terlalu dekat akan membentuk matriks dalam perhitungan yang hampir singular, sehingga persamaan tidak dapat diselesaikan. Apabila digunakan pendekatan kurva spline truncated dikatakan
.
. .
(41)
regresi nonparametrik, maka kurva regresi dapat ditulis sebagai berikut (Eubank, 1988).
= ∑ − +
=
∑ − +−
=
dengan , = , , . . , , dengan < < < adalah titik knot dan (integer non negatif). Nilai m menunjukkan derajat spline truncated, yang juga merupakan potongan polinomial berderajat − dengan − turunan kontinu di titik knot. Jika kurva regresi g didekati dengan fungsi B–Spline maka g dapat ditulis menjadi.
= ∑ − ,
+ =
dengan − , merupakan basis B-Spline.
Cara membangun fungsi B-spline orde m dengan titik-titk knot < < < < adalah dengan terlebih dahulu mendefinisikan knot tambahan sebanyak 2m, yaitu − − , … , − , , … , + dimana − − = = = dan + =
= + = , biasanya diambil dari nilai minimum t dan diambil dari nilai
maksimum t. Fungsi B-Spline didefinisikan secara rekursif sebagai berikut. (Botella dan Shariff, 2003).
− = −
+ − − , − +
+ −
+ − + + , − , = { , <, < , +
dengan m adalah derajat dari B–Spline. Untuk = memberikan fungsi B–Spline linier = memberikan fungsi B–Spline kuadratik dan = memberikan
.
.
. .
(42)
22
fungsi B–Spline kubik. Untuk mengestimasi koefisien γ dapat didefinisikan matriks sebagai berikut.
� = , = ,…,
=− − ,…,�
atau dapat ditulis sebagai berikut.
� = [ − − , − − , ,
− − , − − , ,
] Jadi � adalah sebuah matriks berukuran × + .
Sebagai gambaran untuk menjelaskan fungsi B–Spline, misalnya B–Spline linier = ), dengan satu titik knot, pada = , dengan nilai minimum 1 dan nilai maksimum 10. Maka langkahnya adalah menentukan knot tambahan sebanyak , yaitu diambil dari nilai minimum 1 dan maksimum 10, sehingga knot menjadi − = = , = , = = , maka matriks yang akan dibentuk adalah � = − , , , , , , = , , … , yaitu sebuah matriks dengan ukuran × . Dengan persamaan (2.7), − , dapat ditulis sebagai berikut.
− , = −− − , + −− ,
− , didefinisikan bernilai 0 karena − = (Eubank, 1988). Dan ,
akan bernilai 1 pada t bernilai = sampai dengan = , dan bernilai 0 untuk yang lain, sehingga dapat ditulis seperti persamaan (2.8) sebagai berikut.
− , = {
−
, < , <
.
.
. .
(43)
Sedangkan untuk basis , dengan menggunakan persamaan (2.10) dapat ditulis sebagai berikut.
, = −− , + −− ,
dan dapat juga ditulis seperti persamaan (2.12) sebagai berikut.
, = {
−
, < −
, <
Untuk basis , dapat menggunakan persamaan (2.11) dan dapat ditulis sebagai berikut.
, = −− , + −− , , = −− ,
dan dapat ditulis juga seperti persamaan (2.10) sebagai berikut.
, = {
, < −
, <
Untuk kurva B–Spline kuadratik dengan 2 titik knot, misalnya pada = dan = dapat dicari dengan cara yang serupa, dengan hasil sebagai berikut.
− , =
{
− −
, <
[ − ] , <
, <
Dengan cara sama, dapat dibuat kurva B–Spline dengan berbagai dan beberapa titik knots.
.
.
.
. .
(44)
24
2.3.1.3 Recursive Partitioning Regression (RPR)
Perhitungan komputasi sangat diperlukan dalam pengolahan data, karena akan selalu memperoleh hasil yang sesuai dengan algoritmanya. Recursive Partitioning Regression (RPR) merupakan salah satu dari program komputasi yang memiliki keunggulan dalam mengolah data yang berdimensi tinggi. Tujuan dari RPR adalah menggunakan data untuk mengestimasi subregion dan parameter yang berasosiasi pada setiap subregion.
Pendekatan RPR dimulai dengan menghasilkan model yang memiliki sejumlah fungsi basis untuk meningkatkan kecocokan model.
̂ = ∑
=
merupakan koefisien dari fungsi basis ke- dan fungsi basis diambil dari
= [ ]
dimana adalah fungsi indikator yang memiliki nilai satu jika dan bernilai 0 untuk .
Misalkan � adalah prosedur perhitungan lack-of-fit dan fungsi dan [ ] adalah fungsi yang memiliki nilai positif, yaitu
[ ] = { ,,
Maka menurut Friedman (1991), RPR dapat diimplementasikan ke dalan forward stepwise sesuai dengan algoritma berikut.
.
.
(45)
Algoritma 1
←
= � �o: ∗ ← ∞
= − �o: = : { , ( ) > }
← ∑ + [+ − ] + [− − ]
≠
← min ,…, +
< ∗, ℎ ∗← ; ∗← ; ∗ ← ; ∗←
�n� for �n� for �n� for
← ∗ [− ∗− ∗ ]+
+ ← ∗ [+ ∗− ∗ ]+
�n� for �n� algorithm Fungsi basis pada RPR memiliki bentuk
= ∏ [ . ( , − )]
=
dengan :
: dejarat interaksi
: tanda pada titik knot (nilainya ± 1)
(46)
26
, : variabel prediktor
: nilai knots dari variabel prediktor ,
Fungsi basis pada persamaan (2.21) ternyata masih memiliki kelemahan yaitu tidak kontinu pada knot. Namun fungsi basis tersebut memiliki kesamaan bentuk dengan fungsi basis dari truncated power pada orde = . Sehingga diperoleh persamaan fungsi basis spline multivariate sebagai berikut.
= ∏ [ . ( , − )]
=
2.3.1.4 Multivariate Adaptive Regression Splines (MARS)
Beberapa modifikasi dilakukan Friedman untuk mengatasi kelemahan metode Recursive Partitioning Regression (RPR). Dalam mengatasi kelemahan Recursive Partitioning Regression (RPR)untuk mengidentifikasi fungsi linier dan aditif, Friedman mengusulkan untuk tidak menghapus fungsi basis awal atau induk (parent) selama pemilihan subregion berlangsung. Jadi, pada iterasi berikutnya parent dan pilahan subregion dapat dipilah lebih lanjut, sehingga diperoleh subregion yang saling tumpah tindih. Dengan modifikasi ini, Recursive Partitioning Regression (RPR)dapat menghasilkan model linier dengan pemilihan berulang pada peubah prediktor yang berbeda. Disamping itu dihasilkan pula model yang lebih fleksibel. Untuk mengatasi adanya diskontinu pada titik knot yang disebabkan perkalian fungsi peubah tunggal H[η], Friedman mengusulkan untuk mengganti H[η] dengan regresi linier splines berordo satu dengan sisi kiri (-) dan sisi kanan (+) (Friedman, 1991).
(47)
Spline adalah salah satu jenis potongan polinomial, yaitu polinomial yang memiliki sifat tersegmen. Sifat tersegmen ini memberikan fleksibilitas lebih dari polinomial biasa, sehingga memungkinkan untuk menyesuaikan diri secara lebih efektif terhadap karakteristik lokal dari suatu fungsi atau data. Secara umum, fungsi spline berorde adalah sembarang fungsi yang dinyatakan sebagai berikut.
| = ∑ +
− =
∑ − +−
ℎ =
��ngan, − +−
= { − , − , < dengan :
�an adalah konstanta riil , … , ℎ adalah titik-titik knot.
Maka fungsi spline di atas menunjukkan fungsi S merupakan potongan polinomial berorde k pada subinterval [ , + ], memiliki turunan kontinu tingkat − , − merupakan fungsi tangga dengan titik–titik lompatan , … , ℎ, dan fungsi adalah adalah suatu polinomial dengan orde di luar
[ , ].
Recursive Partitioing Regression (RPR) merupakan pendekatan dari fungsi f(t) yang tidak diketahui.
̂ = ∑
=
.
(48)
28
dengan, = [ ], I[. ] menunjukkan fungsi indikator yang mempunyai nilai 1 (satu) jika pernyataan benar dan 0 (nol) jika salah, merupakan koefisien (konstanta) yang ditentukan dalam subregion.
Penentuan knots pada regresi dummy atau regresi kategori dilakukan secara manual, karena memiliki dimensi data yang rendah dan hal ini tidak akan mengalami kesulitan, sedangkan untuk data yang berdimensi tinggi terdapat kesulitan. Untuk mengatasi hal tersebut digunakan model Recursive Partitioning Regression (RPR)karena penentuan knots tergantung (otomatis) dari data. Namun demikian model ini masih terdapat kelemahan yaitu model yang dihasilkan tidak kontinu pada knots, dan untuk mengatasinya digunakan model MARS.
Multivariate Adaptive Regression Splines (MARS) merupakan pendekatan untuk regresi multivariate nonparametrik yang dikembangkan oleh Friedman. Model MARS merupakan salah satu metode yang fleksibel untuk pemodelan regresi dengan data berdimensi tinggi dengan variabel prediktor ( ) dimana
dan ukuran sampel . MARS merupakan pengembangan dari pendekatan Recursive Partitioning Regression (RPR) dan rekursif. Beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam menggunakan model MARS sebagai berikut (Nisa’ dan Budiantara, 2012).
1. Knot
Knot yaitu akhir dari sebuah garis regresi (region) dan awal dari sebuah garis regresi (region) yang lain. Di setiap titik knot, diharapkan adanya kontinuitas dari fungsi basis antar satu region dengan region lainnya.
(49)
2. Basis Function / Fungsi Basis (BF)
Basis Function yaitu suatu fungsi yang digunakan untuk menjelaskan hubungan antara variabel respon dan variabel prediktor. Fungsi basis ini merupakan fungsi parametrik yang didefinisikan pada tiap region. Pada umumnya fungsi basis yang dipilih adalah berbentuk polinomial dengan turunan yang kontinu pada setiap titik knot. Friedman menyarankan jumlah maksimum fungsi basis (BF) adalah 2-4 kali jumlah variabel prediktornya. 3. Interaction / Interaksi
Interaksi merupakan hasil perkalian silang antara variabel yang saling berkorelasi. Friedman membatasi jumlah maksimum interaksi (MI) yang diperbolehkan yaitu 1, 2, dan 3. Apabila terdapat lebih dari 3 interaksi, maka akan menimbulkan interpretasi model yang sangat kompleks dan sulit untuk diinterpretasikan. Maksimum interaksi (MI) yaitu untuk maksimum garis BF yang dapat melewati knotnya. MI = artinya bahwa di dalam modelnya maksimum garis BF dapat melewati 1 titik knot, MI = artinya bahwa di dalam modelnya maksimum garis BF dapat melewati 2 titik knot, dan MI =
artinya bahwa di dalam modelnya maksimum garis BF dapat melewati 3 titik knot.
Pemodelan MARS ditentukan berdasarkan trial and error untuk kombinasi BF, MI, dan MO untuk mendapatkan nilai dari parameter pemulus yang minimum. MO yaitu minimum jarak antara knot atau minimum observasi antara knot (MO) sebesar 0, 1, 2, dan 3. M = artinya bahwa di dalam modelnya jarak antara titik knot 0, M = artinya bahwa di dalam modelnya minimum jarak antara
(50)
30
titik knot 1, M = artinya bahwa di dalam modelnya minimum jarak antara titik knot 2, dan M = artinya bahwa di dalam modelnya minimum jarak antara titik knot 3 (Nisa’ dan Budiantara, 2012).
Didefinisikan variabel respon dan variabel prediktor , , �an maka estimator model MARS dapat ditulis sebagai berikut (Otok et al., 2008).
̂ = + ∑ ∏[ . ( , − )]
= =
dengan :
: fungsi basis induk
: koefisien dari fungsi basis ke-m
: maksimum fungsi basis (nonconstant fungsi basis) : derajat interaksi ke m
: nilainya atau − jika data berada di sebelah kanan atau kiri titik knot
, : variabel prediktor dari dengan observasi m
: nilai knots dari variabel prediktor ,
MARS merupakan pengembangan dari pendekatan Recursive Partitioning Regression (RPR) yang dikombinasikan dengan metode spline, menggunakan algoritma forward stepwise untuk memperoleh fungsi basis dengan cara memodifikasi Algoritma 1 dengan fungsi basis truncated power pada orde = seperti yang terlihat pada Algoritma 2 berikut.
Algoritma 2 ← ; ←
> �∶ ∗ ← ∞
(51)
= − �o:
{ , ⃒
{ ⃒ ( ) > }
← ∑ + [+ − ]++ + [− − ]+
− =
← min ,…, +
< ∗ ← ; ∗ ← ; ∗← ; ∗ ← �n� if
�n� for �n� for �n� for
← ∗ [+ ∗− ∗ ]+
+ ← ∗ [− ∗− ∗ ]+
�n� loop �n� algorithm
setelah mendapatkan sejumlah fungsi basis pada Algoritma 2, maka untuk menyederhanakan fungsi basis dilakukan algoritma backward stepwise agar memenuhi fungsi basis yang memiliki kontribusi kecil terhadap respon dari forward stepwise seperti yang tertera pada Algoritma 3.
Algoritma 3
∗ = [ , , … ,
�]; ∗ ← ∗ ∗ ←
{� ⃒ ∗} (∑ ∗
(52)
32
= � to �o; � ← ∞; ← ∗
= ; ← − { } ←
⃒ �LOF ( ∑∗ )
< , ℎ ← ; ∗ ←
< ∗, ℎ ∗← ; ; ∗ ←
�n� for �n� for �n� for
← ∗ [+ ∗− ∗ ]+
+ ← ∗ [− ∗− ∗ ]+
�n� loop �n� algorithm
sehingga model MARS dinyatakan dalam persamaan berikut:
= + ∑ ∏[ . ( , − )]
= =
+ i
= + ∑ + i
=
dengan = ∏ = [ . ( , − )]
Dari model MARS pada persamaan (2.22) dalam bentuk matriks dapat ditulis sebagai berikut (Otok et al., 2008).
= � +
.
(53)
dengan :
= . , , … , = , , , … ,
� =
[
∏[ . ( , − )]
=
… ∏[ . ( , − )]
=
∏[ . ( , − )]
=
… ∏[ . ( , − )]
=
⋱
∏[ . ( , − )]
=
… ∏[ . ( , − )]
= ]
Menurut Budiantara et al. (2006) penjabaran model MARS yaitu
̂ = + ∑ = ∏ = [ . ( , − )]
̂ = + ∑ [ . ( , − )]
=
+ ∑ [ . ( , − )][ . ( , − )]
=
+ ∑ [ . ( , − )]
=
[ . ( ,
− )][ . ( , − )] +
̂ = + + ( , ) + ( , , ) +
Misal diambil BF = 6 dan MI = 2, maka persamaan (2.30) dapat ditulis sebagai berikut.
̂ = + ∑ ∏[ . ( , − )]
= =
. .
(54)
34
̂ = + [ . ( , − )] + [ . ( , − )]
+ [ . ( , − )] + [ . ( , − )]
+ [ . ( , − )] + [ . ( , − )]
+ [ . ( , − )][ . ( , − )]
+ [ . ( , − )][ . ( , − )]
+ [ . ( , − )][ . ( , − )]
+ [ . ( , − )][ . ( , − )]
+ [ . ( , − )][ . ( , − )]
+ [ . ( , − )][ . ( , − )]
Menurut Budiantara et al. (2006) dari persamaan (2.28) menunjukkan bahwa penjumlahan pertama meliputi semua fungsi basis untuk satu variabel, penjumlahan kedua meliputi semua fungsi basis untuk interaksi antara dua variabel, penjumlahan ketiga meliputi semua fungsi basis untuk interaksi antara tiga variabel dan seterusnya. Dari model MARS pada persamaan (2.27) dapat dijabarkan berikut.
= ∑
=
merupakan penjumlahan semua fungsi basis untuk satu variabel dan merupakan spline dengan derajat = yang merepresentasikan fungsi univariat. Setiap fungsi bivariat dapat ditulis sebagai berikut.
( , ) = ∑ ( , )
=
. .
(55)
yang merepresentasikan penjumlahan semua fungsi basis dua variabel �an . Untuk fungsi trivariat pada penjumlahan yang ketiga diperoleh dengan menjumlahkan semua fungsi basis untuk tiga variabel, yang dituliskan sebagai berikut.
( , , ) = ∑ ( , , )
=
2.4
Pengujian Parameter Model Regresi
Regresi parametrik memiliki asumsi-asumsi yang harus terpenuhi dan apabila salah satu asumsi tidak terpenuhi maka merupakan regresi nonparametrik. Asumsi regresi klasik terdiri dari sebagai berikut.
1. Normalitas
Apabila asumsi ini terpenuhi, berarti data yang diambil berasal dari populasi normal yang berarti bahwa ~ , � . Asumsi kenormalan data diuji dengan menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov.
- Hipotesis :
: Residual berdistribusi normal : Residual tidak berdistribusi normal - Tingkat signifikansi =0,05
- Statistik uji :
D = supremum |Sx− F |
Sx = probabilitas kumulatif normal
F = probabilitas kumulatif empiris
- Daerah kritis : di tolak apabila nilai D > Dt e ,� atau sign < . .
(56)
36
Kenormalan distribusi dari residual dapat pula dilakukan dengan melihat grafik Normal P-P Plot. Jika asumsi kenormalan dipenuhi, maka harga-harga residual akan didistribusikan secara random dan terkumpul disekitar garis lurus yang melalui titik nol.
2. Kesamaan Varian (Homoskedastisitas)
Uji Heterokedastisitas bertujuan menguji apakah dalam model regresi terjadi ketidaksamaan variansi dari residual satu pengamatan yang lain. Jika variansi dari residual satu pengamatan ke pengamatan lain tetap, maka disebut dengan Homoskedastisitas. Sedangkan, apabila antara pengamatan satu ke pengamatan lain berbeda disebut dengan Heteroskedastisitas. Model yang baik adalah model yang Homoskedastisitas dan tidak terjadi Heterokedastisitas.
Ada beberapa cara untuk mendeteksi ada atau tidaknyaheterokedastisitas : a. Uji Glejser
Uji Glejser menggunakan nilai mutlak dari residual (absolut residual) sebagai variabel dependen untuk diregresikan dengan variabel independen. Jika nilai signifikansi antara variabel independen dengan absolut residual lebih dari 0,05 maka tidak terjadi masalah heteroskedastisitas.
- Hipotesis :
: Tidak ada gejala heteroskedastisitas : Ada gejala heteroskedastisitas - Tingkat signifikansi = , - Statistik uji : | | = + +
(57)
3. Autokorelasi
Autokorelasiadalah ketergantungan antara residual yang ada sedangkan pada asumsi kenormalan dinyatakan bahwa residual ( = − ̂ ) pada variabel-variabel random todak saling berkorelasi atau independen. Salah satu cara untuk mengetahui apakah error berkorelasi atau tidak adalah dengan pengujian stastistik Durbin-Watson.
- Hipotesis :
: Tidak terjadi autokorelasi : Terjadi autokorelasi - Tingkat signifikansi = ,
- Statistik uji : =∑= � −�−
∑= �
- Daerah kritis :
Jika < atau > − , berarti terdapat autokorelasi Jika < < − , berarti tidak terdapat autokorelasi
Jika < < atau − < < − , tidak ditarik kesimpulan. 4. Multikolinieritas
Multikolinieritas adalah kejadian yang menginformasikan terjadinya hubungan antara variabel-variabel bebas dan yang terjadi adalah hubungan yang cukup erat. Sehingga informasi yang dihasilkan dari variabel-variabel yang saling berhubungan (kolinier) sangat mirip dan sulit dipisahkan pengaruhnya. Hal ini juga akan mengahasilkan perkiraan keberatian koefisien yang diperoleh. Cara mengetahui adanya multikolinieritas, dengan memakai harga Faktor Inflasi Varian (VIF) yang didefinisikan dengan rumus :
(58)
38
= − dimana = , , , … ,
= koefisien determinasi ke- (kuadrat dari koefisien korelasi).
Nilai VIF yang semakin besar akan menunjukkan multikolinieritas yang lebih kompleks. Jika nilai VIF < 10, maka secara signifikan dapat disimpulkan bahwa tidak terdapat multikolinieritas (Neter, Wasserman, & Kutner, 1989).
2.5
Estimasi Parameter
Menurut Otok et al., (2008) menjelaskan bahwa misalkan menunjukkan variabel respon tunggal tergantung pada variabel prediktor , dimana =
, … , , maka model regresi dapat ditulis sebagai berikut
= , … , +
atas beberapa domain. , … , ⊂ Variabel random diasumsikan mempunyai rata-rata nol dan variansi ��.
Estimasi dari kurva regresi secara umum diperoleh melalui penalized least squares (PLS) yakni meminimumkan persamaan berikut
∑( − ) + ∫( )
=
dengan = , maka persamaan (2.35) dapat ditulis sebagai berikut
∑( − )
=
Dari persamaan (2.27), maka ̂ = � , sehingga persamaan (2.36) menjadi .
. .
(59)
∑( − � )
=
= ( − � ) ( − � ) =
Untuk memperoleh estinator ̂ digunakan metode kuadrat metode kuadrat terkecil yaitu meminimumkan T, sehingga dinyatakan sebagai berikut.
= ( − � ) ( − � )
= � − ��� − �� + ����
= � − ��� + ����
Untuk memperoleh persamaan normal, dilakukan dengan menurunkan parsial terhadap dengan hasil sebagai berikut.
�
� = − �� + ��� = −�� + ��� =
−�� = ���
Karena � adalah matriks non singular dan parameter smoothing = , maka ̂ = ��� − ��
dengan � = [ , ( , − ) ], = , … , , �an = , … , . Sedangkan estimasi modelnya diperoleh dari persamaan (2.27) yaitu
̂ = �̂ ̂ = � ��� − ��
̂ = �
dengan � = � ��� − �� didefinisikan sebagai matriks Hat berukuran × . .
(60)
40
2.6
Generalized Cross Validation (GCV)
Menurut Jerome H. Friedman (1991) menyebutkan bahwa dalam metode MARS, Generalized Cross Validation (GCV) adalah kriteria yang paling baik untuk seleksi model tebaik. Nilai GCV didefinisikan sebagai berikut.
= ∑ [ − ̂= ]
[ − ( ̂)] dimana:
: variabel respon ke
̂ : nilai taksiran variabel respon pada fungsi basis : banyaknya data
( ̂) : +
: Trace [ − ] +
: nilai ketika setiap fungsi basis mencapai optimasi
2.7
Algoritma MARS
Pembentukan model Multivariate Adaptive Regression Splines (MARS) diawali menentukan knot dan fungsi basis setiap variabel prediktor dengan cara mem-plot setiap variabel prediktor dengan variabel respon. Jumlah knot yang optimum akan menghasilkan model MARS yang baik sehingga kemudian dilakukan tahap maju (forward) dan tahap mundur (backward) algoritma recursive partitioning yang dimodifikasi, dimana jumlah knot yang optimum disesuaikan
(61)
dengan perilaku data. Gambaran secara umum algoritma MARS adalah sebagai berikut (Friedman, 1991).
1. Forward Stepwise
Pada model MARS, pemilihan model menggunaan metode stepwise yang terdiri dari forward dan backward. Forward stepwise dilakukan untuk mendapatkan jumlah fungsi basis maksimum dan kriteria pemilihan fungsi basis adalah meminimumkan Average Sum of Square Residual (ASR). Untuk memenuhi konsep parsemoni dari forward stepwise dengan meminimumkan nilai Generalized Cross-Validation (GCV) (Friedman, 1991).
Pada tahap ini dimungkinkan untuk memasukkan fungsi basis baru ke dalam model. Maksimal fungsi basis yang akan masuk di dalam model ditentukan oleh peneliti. Berikut adalah langkah yang dilakukan dalam forward stepwise.
a. Misalkan = sebagai fungsi basis awal.
b. Tentukan pasangan fungsi basis dan yang merupakan kombinasi prediktor dan knot sehingga model memiliki jumlah kuadrat sisaan minimum.
c. Misalkan adalah salah satu fungsi basis yang sudah ada didalam model sebelumnya. Jika fungsi basis telah dimasukkan, tentukan perkalian dari dengan atau sehingga jika dan ditambahkan ke dalam model maka akan dihasilkan model dengan jumlah kuadrat sisaan terkecil.
d. Ulangi langkah (c) sehingga banyaknya fungsi basis dalam model lebih atau sama dengan maksimum banyaknya fungsi basis yang telah ditetapkan. 2. Backward Stepwise
(62)
42
model dengan fungsi basis dengan jumlah yang sangat banyak. Dalam prakteknya, biasanya maksimum banyaknya fungsi basis yang akan digunakan dalam model dibatasi. Demikian juga dengan derajat interaksi, yang seringkali hanya dibatasi hanya sampai derajat tiga. Dengan pembatasan tersebut, prosedur forward tersebut tetap memberikan model dengan fungsi basis yang sangat banyak. Terkait dengan model yang kompleks ini, harus dilakukan penghapusan beberapa fungsi basis, sehingga dapat dihasilkan model yang lebih sederhana. Prosedur backward dilakukan untuk tujuan ini. Prosedur backward dilakukan dengan tahap-tahap berikut.
a. Mulai dari model yang diperoleh pada tahap prosedur forward yang memiliki m fungsi basis.
b. Hapus salah satu fungsi basis tidak konstan yang memiliki kontribusi terkecil. Berdasarkan kriteria kuadrat terkecil, fungsi basis yang memiliki kontribusi terkecil adalah fungsi basis yang jika dihilangkan dari model sebelumnya akan menyebabkan terjadinya penurunan jumlah kuadrat sisaan terkecil.
c. Ulangi langkah (b), sampai model hanya mengandung fungsi basis konstan.
Model MARS menentukan knot secara otomatis oleh data dan menghasilkan model yang kontinu pada knot. Penentuan knot pada MARS menggunakan algoritma forward stepwise dan backward stepwise. Pemilihan model dengan menggunakan forward stepwise dilakukan untuk mendapatkan jumlah fungsi basis dengan kriteria pemilihan fungsi basis adalah meminimumkan
(63)
Average Sum of Square Residual (ASR). Untuk memenuhi konsep parsimoni (model yang sederhana) dilakukan backward stepwise yaitu membuang fungsi basis yang memiliki kontribusi kecil terhadap respon dari forward stepwise dengan meminimumkan nilai Generalized Cross Validation (GCV). Pada MARS, beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam pemilihan model yang paling optimum (terbaik) adalah jika nilai GCV dari model tersebut mempunyai nilai yang paling rendah (minimum) diantara model-model yang lain. Fungsi GCV minimum didefinisikan sebagai berikut.
=
[ − ( ̂)]
= ∑ [ − ̂= ]
[ − ( ̂)] dengan :
: variabel respon
̂ : nilai taksiran variabel respon pada M fungsi basis : banyaknya pengamatan
( ̂) : +
: Trace [ − ] +
: nilai ketika setiap fungsi basis mencapai optimasi
= [
Π = ( , − ) Π = ( , − )
⋱
Π = ( , − ) Π = ( , − )
]
2.8
Pemilihan Model MARS Terbaik
Pemodelan MARS, pemilihan model digunakan metode stepwise. Forward stepwise dilakukan untuk mendapatkan fungsi dengan jumlah fungsi basis
(64)
44
maksimum. Kriteria pemilihan fungsi basis pada forward adalah dengan meminimumkan Average Square Residual (ASR). Untuk memenuhi konsep parsemoni (model sederhana) dilakukan backward stepwise yaitu memilih fungsi basis yang dihasilkan dari forward stepwise dengan meminimumkan nilai Generalized Cross-Validation (GCV). Model terbaik MARS dapat dilihat dari kriteria GCV terkecil, apabila memiliki nilai GCV terkecil yang sama dapat dilihat dengan pertimbangan nilai MSE terkecil, dan apabila masih memiliki nilai MSE yang sama maka dapat dilihat dengan pertimbangan nilai terbesar. Untuk memperoleh matriks Hat diperlukan Teorema berikut.
Teorema 2.1 Apabila R matriks Kuadratik dengan − − = ∗ ∗ dan − adalah faktor cholesky dari ∗ ∗. Misalkan U dan Q matriks Diagonal sedemikian hingga − = . Selanjutnya = ∗ maka =
∗ dan misalkan �̂ = − = − ̂ maka penyelesaian �̂ adalah
+ �̂ = = ∗
Selanjutnya ∗̂ = �̂ dan matriks Hat, = + − dengan derajat
bebas, [ ] = { + − } = { + − } = ∑ + −
dimana adalah matriks Diagonal ke- dari . Bukti :
∗ ∗+ = − − +
= − − + − −
= − + −
= − + −
dan juga, ∗ ∗+ = +
(65)
ini berarti, ∗ ∗+ ( − ̂) = ∗
atau, + �̂ = ∗ = −
sehingga ̂ = − ̂ = �̂. Jadi, Teorema 2.1 terbukti.
Berdasarkan Teorema 2.1 dapat diperoleh matriks Hat pada persamaan (2.37) yaitu = + − . Selanjutnya pemilihan optimal, yang merupakan parameter pengontrol keseimbangan antara kesesuaian kurva terhadap data dan kemulusan kurva. Dengan diperoleh optimal maka estimator yang diperoleh juga optimal.
Teorema 2.2 (Freidman and Silverman, 1989) Misalkan digunakan model MARS Friedman pada persamaan (2.39) maka optimal diperoleh dengan kriteria GCV sebagai berikut.
= ∑ = − ̂( − , )
{ − ( ̃)} dengan :
( ̃) = + . , nilai � yang t�r�aik ��ra�a �alam int�rval , �an = [ ′ − ′] +1 adalah banyak parameter yang diestimasi.
2.9
Pengujian Signifikansi Model MARS
Apabila telah ditemukan model MARS terbaik, maka dilakukan pengujian untuk mengecek signifikansi parameter untuk mengevaluasi kecocokan model. Pengujian dilakukan dengan menguji koefisien regresi secara simultan maupun secara parsial.
(66)
46
1. Pengujian koefisien regresi simultan a. Rumusan hipotesis :
: = = = = (model tidak signifikan)
: minimal terdapat satu α ≠ ; = , , … , (model signifikan) b. Taraf signifikansi : α
c. Statsitik uji :
ℎ � =
∑ ̂ − ̂� =
∑ ̂ − ̂�
− −
=
d. Daerah kritis :
Tolak jika nilai > α ; − − atau P-Value < α. 2. Pengujian koefisien regresi parsial
a. Rumusan hipotesis:
: α = (koefisien α tidak berpengaruh terhadap model)
: α ≠ ; untuk setiap m, dimana m=1,2,...,M (koefisien α berpengaruh terhadap model)
b. Taraf signifikan : α c. Statistik Uji :
ℎ � = ̂̂
dengan
̂ = √ ̂
(67)
Tolak jika > �, − atau P-Value < .
2.10
Penelitian Terdahulu
Penelitian yang berkaitan Multivariate Adaptive Regression Splines (MARS) diantaranya.
1. Penelitian oleh Noviyanti Santoso Jurusan Statistika ITS Surabaya (2009) yang berjudul “Klasifikasi Kabupaten/Kota di Jawa Timur Berdasarkan Tingkat Pengangguran Terbuka dengan Pendekatan Multivariate Adaptive Regression Splines (MARS)”. Penelitian ini membahas pengangguran di Jawa Timur Indonesia, tingkat pengangguran yang tinggi akan menimbulkan berbagai permasalahan sosial. Pendekatan model MARS dipilih karena beberapa penelitian sebelumnya menyatakan bahwa metode ini lebih baik dibandingkan dengan metode klasifikasi lainnya. Hasil pemodelan dengan Multivariate Adaptive Regression Spline (MARS) terdapat tiga variabel yang berkontribusi dalam pengelompokan, yaitu tingkat investasi daerah, rasio banyaknya perusahaan, dan persentase angkatan kerja berpendidikan SMA keatas. Ketepatan klasifikasi model secara keseluruhan adalah 97,4% dengan nilai GCV yaitu 0,096 dan sebesar 82,9%.
2. Penelitian oleh Nurul Astuty Yensy Program Studi Matematika FKIP Universitas Bengkulu yang berjudul “Penggunaan Regresi Splines Adaptif Berganda untuk Peramalan Indeks ENSO dan Hujan Bulanan”. Penelitian ini membahas metode Regresi Splines Adaptif Berganda (RSAB) yang
(68)
48
digunakan untuk peramalan indeks ENSO dan hujan bulanan melalui proses (stepwise) berdasarkan Recursive Partitioning dengan splines. Dibahas pula metode Adaptive Splines Treshold Autoregression (ASTAR) yaitu analisis deret waktu nonlinier yang berdasarkan algoritma RSAB. RSAB merupakan metode alternatif dari metode kuadrat terkecil bila asumsi bentuk fungsi hubungan model tidak diketahui. Hasil validasi model dari metode ini mampu meramal curah hujan antara % − %. Metode ASTAR mempunyai daya ramal mencapai 60% hingga lebih 90% dalam jangka 3 bulan ke depan.
3. Penelitian oleh Bambang Widjanarko Otok Jurusan Statistika ITS Surabaya, Vol.10 No.2, 107–120 Nopember 2010 yang berjudul “Pendekatan Multivariate Adaptive Regression Spline (MARS) pada Pengelompokkan Zona Musim Suatu Wilayah”. Hasil penelitian menunjukkan bahwa estimasi parameter model MARS untuk variabel respon kontinu dilakukan dengan Penalized Least Square (PLS). Pemilihan model MARS terbaik dilakukan dengan prosedur forward dan backward stepwise didasarkan pada nilai GCV. Hasil kajian juga menunjukkan bahwa GCV dengan potongan regresi linier dapat terbukti bekerja dengan baik dalam menentukan pemilihan model terbaik pada MARS respon kontinu.
4. Penelitian Petra Surabaya oleh I Nyoman Budiantara, dkk. Jurusan Statistika ITS Surabaya yang berjudul “Pemodelan B-Spline dan MARS pada Nilai Ujian Masuk terhadap IPK Mahasiswa Jurusan Disain
(1)
3 0.23084 0.09866 1 2.56522 ZX3 4 0.29082 0.11645 2 5.13043 ZX1 ZX3 5 0.19672 0.12450 2 5.13043 ZX1 ZX2 6 0.26596 0.11968 2 5.13043 ZX3 ZX4 7 0.11265 0.09362 1 2.56522 ZX4 ZX6 8 0.15276 0.09307 1 2.56522 ZX3 ZX5 9 0.08556 0.08081 1 2.56522 ZX1 ZX2 ZX6
=================== Variable Importance ===================
Variable Importance -gcv --- ZX4 100.00000 0.62701 ZX1 49.15402 0.20978 ZX3 29.19796 0.12376 ZX2 27.50216 0.11847 ZX5 17.16705 0.09307 ZX6 14.96964 0.08919
============================== MARS Regression: Training Data ==============================
W: 61.00 R-SQUARED: 0.98508 MEAN DEP VAR: 0.00000 ADJ R-SQUARED: 0.98096 UNCENTERED R-SQUARED = R-0 SQUARED: 0.98508
Parameter Estimate S.E. T-Ratio P-Value
---
Constant | -0.90280 0.11807 -7.64652 0.00000
Basis Function 1 | 0.80706 0.04505 17.91282 0.00000
Basis Function 2 | -0.73857 0.05483 -13.46910 0.00000
Basis Function 3 | -0.56240 0.09699 -5.79858 0.00000
Basis Function 5 | -0.96509 0.19109 -5.05046 0.00001
Basis Function 7 | 2.13650 0.59391 3.59735 0.00077
Basis Function 8 | 1.62298 0.22297 7.27903 0.00000
Basis Function 9 | 0.23521 0.05223 4.50327 0.00004
Basis Function 10 | -1.74015 0.26979 -6.44994 0.00000
Basis Function 12 | 0.41955 0.07136 5.87931 0.00000
Basis Function 13 | 0.19500 0.03179 6.13477 0.00000
Basis Function 15 | -0.25587 0.05480 -4.66915 0.00003
(2)
Basis Function 16 | -1.50088 0.42638 -3.52009 0.00097
Basis Function 21 | 0.82296 0.17791 4.62579 0.00003
---
F-STATISTIC = 238.75890 S.E. OF REGRESSION = 0.13799
P-VALUE = 0.00000 RESIDUAL SUM OF SQUARES = 0.89499
[MDF,NDF] = [ 13, 47 ] REGRESSION SUM OF SQUARES = 59.10501
---
=============== Basis Functions ===============
BF1 = max( 0, ZX4 + 1.64607); BF2 = max( 0, ZX1 + 0.433188); BF3 = max( 0, -0.433188 - ZX1); BF4 = max( 0, ZX3 + 0.482961); BF5 = max( 0, -0.482961 - ZX3); BF7 = max( 0, -0.736034 - ZX3) * BF3; BF8 = max( 0, ZX2 - 1.0372) * BF2; BF9 = max( 0, 1.0372 - ZX2) * BF2; BF10 = max( 0, ZX3 - 1.47214) * BF2; BF12 = max( 0, ZX3 - 0.987405) * BF1; BF13 = max( 0, 0.987405 - ZX3) * BF1; BF15 = max( 0, -0.149037 - ZX6) * BF1; BF16 = max( 0, ZX6 - 0.274351) * BF9; BF21 = max( 0, 0.926771 - ZX5) * BF4;
Y = -0.902801 + 0.807057 * BF1 - 0.738569 * BF2 - 0.562401 * BF3 - 0.965094 * BF5 + 2.1365 * BF7 + 1.62298 * BF8 + 0.235212 * BF9 - 1.74015 * BF10 + 0.419547 * BF12 + 0.195001 * BF13 - 0.255871 * BF15 - 1.50088 * BF16 + 0.822958 * BF21;
MODEL ZY = BF1 BF2 BF3 BF5 BF7 BF8 BF9 BF10 BF12 BF13 BF15 BF16 BF21;
(3)
Lampiran 7.
Output Simulasi Model MARS terbaik
BF=18, MI=1, dan MO=1
MARS Results
============
Forward Stepwise Knot Placement ===============================
BasFn(s) GCV IndBsFns EfPrms Variable Knot Parent BsF
---
0 1.01667 0.0 1.0
1 0.21816 1.0 4.0 ZX4 -1.64607 3 2 0.14359 3.0 8.0 ZX1 -0.43319 5 4 0.09752 5.0 12.0 ZX3 -0.47413 7 6 0.09906 6.0 15.0 ZX3 -0.60949 9 8 0.09422 7.0 18.0 ZX4 0.90332 11 10 0.10574 9.0 22.0 ZX2 1.03720 13 12 0.10901 10.0 25.0 ZX3 1.54402 15 14 0.10902 11.0 28.0 ZX3 0.95253 17 16 0.09547 13.0 32.0 ZX5 0.40898 18 0.11834 14.0 35.0 ZX6 -2.33142
================================================= Final Model (After Backward Stepwise Elimination)
(4)
================================================= Basis Fun Coefficient Variable Parent Knot
---
0 -1.46041
1 0.91013 ZX4 -1.64607 2 -0.46710 ZX1 -0.43319 4 -6.69852 ZX3 -0.47413 6 6.40946 ZX3 -0.60949 10 1.70298 ZX2 1.03720 12 -5.21855 ZX3 1.54402 14 3.10062 ZX3 0.95253 16 -0.98470 ZX5 0.40898
Piecewise Linear GCV = 0.05640, #efprms = 20.42858
======================================== ANOVA Decomposition on 8 Basis Functions ========================================
fun std. dev. -gcv #bsfns #efprms variable --- 1 0.90264 0.14342 1 2.42857 ZX4 2 0.34416 0.17880 1 2.42857 ZX1 3 0.56169 0.14808 4 9.71429 ZX3 4 0.12328 0.07427 1 2.42857 ZX2 5 0.45821 0.06956 1 2.42857 ZX5
=================== Variable Importance ===================
Variable Importance -gcv --- ZX1 100.00000 0.17880 ZX3 86.54114 0.14808 ZX4 84.31259 0.14342 ZX2 38.18755 0.07428 ZX5 32.75410 0.06956 ZX6 0.00000 0.05643
============================== MARS Regression: Training Data ==============================
W: 61.00 R-SQUARED: 0.97464 MEAN DEP VAR: 0.00000 ADJ R-SQUARED: 0.97074 UNCENTERED R-SQUARED = R-0 SQUARED: 0.97464
Parameter Estimate S.E. T-Ratio P-Value
---
Constant | -1.46032 0.06963 -20.97326 0.00000
Basis Function 1 | 0.90996 0.09264 9.82249 0.00000
Basis Function 2 | -0.46712 0.04048 -11.54079 0.00000
Basis Function 4 | -6.70064 0.92777 -7.22235 0.00000
Basis Function 6 | 6.41161 0.94246 6.80303 0.00000
Basis Function 10 | 1.70308 0.34126 4.99057 0.00001
(5)
Basis Function 12 | -5.21865 0.72958 -7.15298 0.00000
Basis Function 14 | 3.10058 0.46185 6.71341 0.00000
Basis Function 16 | -0.98462 0.22013 -4.47284 0.00004
---
F-STATISTIC = 249.78263 S.E. OF REGRESSION = 0.17107
P-VALUE = 0.00000 RESIDUAL SUM OF SQUARES = 1.52176
[MDF,NDF] = [ 8, 52 ] REGRESSION SUM OF SQUARES = 58.47824
---
=============== Basis Functions ===============
BF1 = max( 0, ZX4 + 1.64607); BF2 = max( 0, ZX1 + 0.433188); BF4 = max( 0, ZX3 + 0.474128); BF6 = max( 0, ZX3 + 0.609492); BF10 = max( 0, ZX2 - 1.0372); BF12 = max( 0, ZX3 - 1.54402); BF14 = max( 0, ZX3 - 0.952527); BF16 = max( 0, ZX5 - 0.408982);
Y = -1.46041 + 0.910129 * BF1 - 0.467099 * BF2 - 6.69852 * BF4 + 6.40946 * BF6 + 1.70298 * BF10 - 5.21855 * BF12 + 3.10062 * BF14 - 0.984699 * BF16;
(6)