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Documenta Mathematica
Gegründet 1996 durch die
Deutsche Mathematiker-Vereinigung

Decomposing the trefoil knot
into two linked twisted unknotted filaments
by crossover collision, see page 695ff.

Band 5 · 2000

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Title Page: Decomposing the trefoil knot into two linked twisted unknotted

filaments by crossover collision, see page 695ff.
ISSN 1431-0635 (Print), ISSN 1431-0643 (Internet)
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Documenta Mathematica
Band 5, 2000

Atallah Affane
Formules de Représentation Intégrale
pour les Domaines de Cartan

1–13

Karl-Heinz Hoffmann, Victor N. Starovoitov
Zur Bewegung einer Kugel
in einer zähen Flüssigkeit

15–21

A. Iliev and D. Markushevich
The Abel-Jacobi Map for a Cubic Threefold
and Periods of Fano Threefolds of Degree 14

23–47

N. Christopher Phillips
A Classification Theorem
for Nuclear Purely Infinite Simple C∗ -Algebras

49–114

Eva Maria Feichtner and Günter M. Ziegler
The Integral Cohomology Algebras of
Ordered Configuration Spaces of Spheres

115–139

Laurent Bonavero and Shigeharu Takayama
Some Boundedness Results for
Fano-Like Moishezon Manifolds

141–150

Jinya Nakamura
On the Milnor K-Groups of
Complete Discrete Valuation Fields

151–200

Elke Wilczok

New Uncertainty Principles
for the Continuous Gabor Transform
and the Continuous Wavelet Transform

201–226

Claudia Wulff
Transitions from Relative Equilibria
to Relative Periodic Orbits

227–274

Jens Lieberum
The Number of
Independent Vassiliev Invariants in
the Homfly and Kauffman Polynomials

275–299

Heinz König

On the Inner Daniell-Stone
and Riesz Representation Theorems

301–315

iii

Erez Lapid and Jonathan Rogawski
Stabilization of periods of Eisenstein series and
Bessel distributions on GL(3) relative to U (3)

317–350

Andrew Baker
In -Local Johnson-Wilson Spectra
and their Hopf Algebroids

351–364

Hans-Georg Rück and Ulrich Tipp

Heegner Points and L-Series of Automorphic
Cusp Forms of Drinfeld Type

365–444

J. F. Jardine
Motivic Symmetric Spectra

445–552

Ivan Kausz
A Modular Compactification
of the General Linear Group

553–594

Ralph J. Bremigan
Pseudokähler Forms on Complex Lie Groups

595–612

Michael Brinkmeier
Strongly Homotopy-Commutative
Monoids Revisited

613–624

Robert Lauter, Bertrand Monthubert, Victor Nistor
Pseudodifferential Analysis
on Continuous Family Groupoids

625–655

M. V. Bondarko
Local Leopoldt’s Problem
for Rings of Integers in Abelian p-Extensions
of Complete Discrete Valuation Fields

657–693

Bernold Fiedler and Rolf M. Mantel
Crossover Collision of Scroll Wave Filaments

695–731

iv

1

Documenta Math.

Formules de Représentation Intégrale
pour les Domaines de Cartan
Atallah Affane
Received: May 31, 1999
Communicated by Joachim Cuntz

Abstract. For a bounded, symmetric and circled domain D in
Cn , considered as the unit ball of some Jordan triple system V , we
give Koppelman-Leray and Cauchy-Leray formulas. These formulas

supply us integral operators for solving the equation ∂u = f when
f is a closed (0, q) form with coefficients in C 0 (D). These operators,
constructed by the help of the generic norm of V , are invariant by
some Lie subgroup in the group of biholomorphic transformations of
D and the solutions obtained satisfy an estimation of growth at the
boundary.
2000 Mathematics Subject Classification: 32M15, 32F20.
Keywords and Phrases: ∂-problem, bounded symmetric domains.
1. introduction.
Nous appellerons domaine de Cartan tout ouvert borné D de Cn qui soit
• symétrique, c’est à dire que pour tout z de D, il existe une transformation
biholomorphe involutive ϕ ∈ Aut(D) dont z est un point fixe isolé.
• cerclé, c’est à dire qu’il contient l’origine et qu’il est stable par les transformations du type z −→ eit z, t ∈ R.
Un domaine de Cartan est dit irréductible s’il n’est pas produit de deux
autres domaines. La classification de tels domaines fournit quatre classes
dénombrables et deux domaines exceptionnels, le premier dans C16 , le second
dans C27 . Pour la classe des boules de Lie et le premier domaine exceptionnel,
des formules de représentation intégrale ont été établies par Roos [7]. Plus tard,
Hachaichi [2] a donné, pour la classe du disque généralisé, une formule permettant de résoudre le ∂-problème avec une estimation de croissance au bord. Dans
ce travail, nous mettons à profit une approche algébrique, approche développée
dans [5] et qui consiste à considérer un domaine de Cartan D comme la boule
unité d’un système triple de Jordan V (associé canoniquement) pour obtenir
deux formules générales, la première du type Koppelman-Leray, la seconde du
Documenta Mathematica 5 (2000) 1–13

2

Atallah Affane

type Cauchy-Leray. Ces formules, construites à l’aide de la norme générique
de V , fournissent des opérateurs de résolution f −→ T f du ∂-problème avec
une donnée dans C 0 (D) et vérifiant des estimations de la forme:
sup | T f (z)d(z, ∂D)N |≤ C sup | f (z) |

z∈D

z∈D

où d est la distance usuelle et N un entier positif fonction de la dimension, du
rang et du genre de V . Il s’avère que T est invariant par un certain sous groupe
de Lie H du groupe des automorphismes de V , c’est à dire:
T (h∗ f ) = h∗ (T f ) ∀h ∈ H.

Lorsque D est irréductible, H n’est autre que le stabilisateur de l’ origine
dans Aut(D). Dans la seconde section, nous rappellons certains éléments de la
théorie des systèmes triples de Jordan qui permettent d’une part de prouver
que les domaines de Cartan sont à pseudo-bord, de l’autre de construire de
manière naturelle des sections de Leray. Dans les sections suivantes, nous
donnons les formules annoncées et comme tous les éléments intervenant dans
leur élaboration sont invariants par le stabilisateur de l’origine dans Aut(D),
l’invariance des opérateurs de résolution sera assurée.
2. Les domaines de Cartan et les systèmes triples de Jordan.
La référence pour toutes les notions introduites dans cette section est [4], [5]
et [6]. Nous appellerons système triple de Jordan (en abrégé ST J) un espace
vectoriel V de dimension finie sur C muni d’ un triple produit
V
x

× V
y

×

V
z

−→
−→ {

V
x y

z

}

C-bilinéaire et symétrique en (x, y), C-antilinéaire en z et vérifiant l’identité
{xy{uvz}} − {uv{xyz}} = {x{yuv}z} − {{uvx}yz}.

Dans la suite, nous utiliserons les notations suivantes:
{xyz} = D(x, y)z = Q(x, z)y ; Q(x) =

1
Q(x, x)
2

B(x, y) = 1 − D(x, y) + Q(x)Q(y)
et nous désignerons par Aut(V ) le groupe des isomorphismes h de V tels que:
h({xyz}) = {h(x)h(y)h(z)}

∀x, y, z ∈ V.

Un sous-système de V est un sous espace-vectoriel W tel que {W W W } ⊆ W.
Un idéal est un sous-espace vectoriel I tel que {IV V } + {V IV } ⊆ I et nous
Documenta Mathematica 5 (2000) 1–13

Représentation Intégrale pour les Domaines de Cartan

3

dirons que V est simple s’il ne possède pas d’idéal propre, semi simple s’il est
somme d’idéaux simples. Un ST J est dit hermitien positif (en abrégé ST JHP )
si la forme hermitienne hu | vi = trD(u, v) est définie positive. En fait, tout
ST JHP est semi-simple. Pour tout ce qui suit, V désigne un ST JHP de
dimension n et h. | .i son produit hermitien.
Un élément e de V est dit tripotent si Q(e)e = e. Lorsque deux tripotents e et
e′ vérifient l’une des propriétés équivalentes suivantes:
D(e, e′ ) = 0 ; D(e′ , e) = 0 ; {eee′ } = 0 ; {e′ e′ e} = 0
nous dirons qu’ils sont fortement orthogonaux. A tout tripotent e correspond
une décomposition de V dite de Pierce. De fait, D(e, e) est un endomorphisme
de V auto-adjoint pour la forme hermitienne h. | .i et ne peut admettre comme
valeurs propres que 0, 1 et 2. D’où la décomposition orthogonale
V = V0 ⊕ V1 ⊕ V2
Vi (e) étant le sous espace propre associé à la valeur propre i. Chacun des
Vi (e) est un sous système de V et on a la formule:
(1)

{V0 V2 V } = {V2 V0 V } = 0.

Un tripotent e 6= 0 est dit minimal si V2 (e) = Ce. Un repère est une famille
maximale {ei }i=1,...,r de tripotents minimaux fortement orthogonaux deux à
deux. Comme deux repères sont conjugués par Aut(V ), tous les repères ont
même cardinal que nous appellerons rang de V et noterons r. La hauteur d’un
tripotent e sera par définition le rang du sous système V2 (e) qui est aussi le
nombre d’éléments d’une décomposition de e en somme de tripotents minimaux
fortement orthogonaux deux à deux. Voici maintenant trois résultats de la
théorie des ST J qui nous serons utiles.
Théorème 2.1. Un élément x de V s’écrit de manière unique
x = λ1 e1 + ... + λs es
où {ei }i=1,...,s est une famille de tripotents fortement orthogonaux deux à deux
et 0 ≤ λ1 < · · · < λs des nombres réels. Cette écriture s’appelle décomposition
spectrale de x. De plus, la fonction x −→| x |= λs est une norme que nous
appellerons norme spectrale de V . La distance associée sera appellée distance
spectrale et notée δ.
Théorème 2.2. i) La boule unité pour la norme spectrale d’un ST JHP est un
domaine de Cartan, irréductible si et seulement si V est simple.
ii) Un domaine de Cartan est de manière canonique la boule unité d’un ST JHP
V . De plus, V est simple si et seulement si D est irréductible. Le stabilisateur
de l’origine dans Aut(D) est alors exactement Aut(V ).
Documenta Mathematica 5 (2000) 1–13

4

Atallah Affane

Pour tout tripotent e le sous-système V0 (e) est un ST JHP et nous noterons
De sa boule unité ouverte pour la norme spectrale. Comme conséquence de
l’unicité de la décomposition spectrale, les sous ensembles e + De sont disjoints
deux à deux.
Théorème 2.3. Soit pour j = 1, ..., r
Mj l’ensemble des tripotents de hauteur j,
Dj = {e + y; e ∈ Mj et y ∈ De },
pj : Dj −→ Mj l’application qui à x ∈ Dj associe l’unique e ∈ Mj tel que
x ∈ De .
Alors
-Les Mj et les Dj sont des sous variétés analytiques réelles localement fermées
de V et les pj : Dj −→ Mj sont des fibrés analytiques localement triviaux. Les
Mj sont compacts. La frontière ∂D est la réunion des Dj.
-La codimension de Dj est la dimension complexe de V2 (e), e étant un point
quelconque de Mj .
-Mr est la frontière de Shilov de D.
-Aut(V ) est un groupe de Lie compact opérant sur chaque Dj .
Lemme 2.1. Posons D j = Dj ∪ ... ∪ Dr pour j = 1, ..., r. Alors Dj est un
ouvert dense de D j .
Preuve:
i) Montrons que D j+1 est fermé dans D j . Soit s > j et {xl }l≥1 une suite dans
Ds convergente vers x ∈ D j . Puisque Ms est compact, nous pouvons supposer
que xl = yl + el où les el convergent vers e dans Ms , yl ∈ V0 (el ) et | yl |< 1. A
la limite, il vient x = y + e avec y ∈ V0 (e) et | y |≤ 1. Si | y |< 1, alors
x ∈ Ds . Sinon, le théorème 2.1 appliqué à y comme élément du sous-système
V0 (e) donne y = λ1 ε1 + ... + λt εt + εt+1 . Puisque εt+1 ∈ V0 (e), on vérifie à
l’aide de la formule (1) que e+ εt+1 est un tripotent et que V2 (e) ⊆ V2 (e+
εt+1 ); alors x ∈ Dτ , τ ≥ s étant la hauteur de e+ εt+1 . Ainsi, Dj est ouvert
dans Dj .
ii) Soit s > j, x ∈ Ds et λ1 ε1 + · · · + λt εt + εt+1 sa décomposition spectrale;
comme la hauteur de εt+1 est aussi sa hauteur dans le sous-système V2 (εt+1 ), il
possède une décomposition εt+1 = σ1 + · · · + σs en tripotents minimaux fortement orthogonaux deux à deux choisis dans V2 (εt+1 ). D’autre part, la formule
(1) entraine que les εi et les σj sont fortement orthogonaux deux à deux pour
1 ≤ i ≤ t et 1 ≤ j ≤ s. Soit xl = λ1 ε1 +· · ·+λt εt +αl (σj+1 +· · ·+σs )+σ1 +· · ·+
σj où 0 < αl < et lim αl = 1. Par construction, xl ∈ Dj et lim xl = x. Ceci
prouve que D j ⊆ Dj .
Ce lemme et le théorème 2.3 assurent que D est à pseudo-bord au sens de [8]
et que la formule de Stokes y est donc valable.
Dans tout ce qui suit, V sera identifié à Cn par le choix d’une base orthonormale
pour le produit hermitien h. | .i . Alors detB(x, y) est un polynome holomorphe
en x, antiholomorphe en y et relié au noyau de Bergman k(x, y) de D par la
formule:
Documenta Mathematica 5 (2000) 1–13

Représentation Intégrale pour les Domaines de Cartan

(2)

5

det B(x, y) = (volD)−1 k(x, y)−1 ∀x ∈ D, ∀y ∈ D.

Rappellons aussi la formule de transformation:
(3)

k(x, y) = Jϕ(x)k(ϕ(x), ϕ(y))J ϕ(y) ∀ϕ ∈ Aut(D)
(Ici Jϕ désigne le jacobien de ϕ et Jϕ son conjugué).

Une propriété particulière des domaines de Cartan est que:
k(0, z) = k(z, 0) = k(0, 0) ∀z ∈ D.
Par ailleurs, lorsque V est simple, il existe un entier positif g et un polynome
irréductible N (x, y) tel que:
N (0, 0) = 1 et det B(x, y) = N (x, y)g .
N (x, y) s’appelle la norme générique et g le genre. Par construction, N (x, y)
est holomorphe en x, antiholomorphe en y et vérifie:
(4)

N (x, y) = N (y, x) et N (x, 0) = N (0, x) = 1

Si V = V1 ⊕ ... ⊕ Vm où chaque Vi est un idéal simple de norme générique
Ni (xi , yi ), nous poserons:
N ((x1 , ..., xm ), (y1 , ..., ym )) =

Π Ni (xi , yi ),

1≤i≤m

L(x, y) = N (x, y)N (y, x) − N (x, x)N (y, y).
Nous introduisons aussi le groupe de Lie:
Aut′ (V ) = {h = (h1 , ..., hm ); hi ∈ Aut(Vi )}.
Etant donné un repère {ei }i=1,...,r et xj = a1j e1 + ... + arj er pour j = 1, 2 nous
avons la formule:
(5)

N (x1 , x2 ) = (1 − a11 a12 )...(1 − ar1 ar2 ).

Proposition 2.1. i) N (x, y) 6= 0 ∀x ∈ D, ∀y ∈ D.
ii) N (y, y) = 0 ∀y ∈ ∂D.
iii) ∀x ∈ D, ∀y ∈ D, L(x, y) ≥ 0 avec égalité si et seulement si x = y.
Documenta Mathematica 5 (2000) 1–13

6

Atallah Affane

Preuve:
Il suffit de l’établir dans le cas où le système V est simple.
i) On a d’après la définition de B(x, y), B(x,λy) = B(λx, y) pour tout λ dans
R ce qui donne:
(6)

N (x, λy) = N (λx, y) ∀λ ∈ R, ∀x ∈ V, ∀y ∈ V.

Soit x ∈ D et y ∈ D; puisque D est une boule centrée en l’origine, il existe
λ ∈ R, y ′ ∈ D tels que λx ∈ D et y = λy ′ . Nous aurons donc N (x, y) =
N (x, λy ′ ) = N (λx, y ′ ). Or d’après (2), N (λx, y ′ ) 6= 0.
ii) C’est une application de la formule (5) en observant que l’un des facteurs
du terme de droite est nul.
iii) Soit h., .i le produit hermitien usuel de l 2 (N), {ϕp }p∈N une base hilbertienne de l’espace des fonctions holomorphes de carré intégrables et Φ : D −→
l2 (N) définie par Φ(x) = {ϕp (x)}p∈N . On sait que:
k(x, y) = hΦ(x), Φ(y)i ∀x ∈ D, ∀y ∈ D.
L’inégalité à établir n’est autre que celle de Cauchy-Schwartz et l’égalité n’a
lieu que si Φ(x) et Φ(y) sont colinéaires, ce qui exige x = y. Enfin, pour x ∈ D
et y ∈ ∂D, d’après les points i) et ii), on a L(x, y) > 0.
Lemme 2.2. On a l’inégalité:
inf | N (x, y) |≥ δ(x, ∂D)r ∀x ∈ D.

y∈D

Preuve:
Soit x un point de D. Si x = 0, il suffit d’appliquer la formule (4). Soit donc
x 6= 0 et considérons sur D × D la fonction Ψ(u, y) = N (| x | u, y)−1 . C’est une
fonction holomorphe en u, antiholomorphe en y et continue sur D × D d’après
le i) de la proposition 2.1. Pour u fixé dans D, le principe du maximum donne
un point t dans Mr tel que:
| Ψ(u, y) |≤| Ψ(u, t) | ∀y ∈ D.
Toujours, par le principe du maximum appliqué maintenant à la fonction
w −→ Ψ(w, t), il existe un point s ∈ Mr tel que | Ψ(u, y) |≤| Ψ(s, t) | . Mais en
combinant la formule (6) et le iii) de la proposition 2.1, on obtient:
1

1

1

1

1

| Ψ(s, t) |≤ (N (| x | 2 s, | x | 2 s)N (| x | 2 t, | x | 2 t))− 2 .
Or, d’après la formule (5), le terme de droite de cette inégalité vaut
x
et de remarquer que
(1− | x |)−r . Pour conclure, il suffit de prendre u =
|x|
D étant la boule unité, l’inégalité 1− | x |≥ δ(x, ∂D) a lieu.
Nous adopterons la notation suivante:
Documenta Mathematica 5 (2000) 1–13

Représentation Intégrale pour les Domaines de Cartan

(u, v) =

X

1≤j≤n

7

uj v j ; hu | vi = (u, v) pour u et v dans Cn

et µ désignera la forme de Cauchy-Leray:
µ(u, v) =

(n − 1)! X
uj
j+1
Λ dum Λ dv k
(−1)
1≤k≤n
(2iπ)n
(u, v)n m6=j
1≤j≤n

définie sur {(u, v) 6= 0}. On sait que µ est fermée.
Nous terminerons cette section par le fait que toutes les notions qui y sont
introduites1 sont invariantes par le groupe Aut′ (V ).
3. La formule de Koppelman-Leray.
Dans cette section, nous adaptons aux domaines de Cartan qui en général ne
sont ni strictement pseudo-convexes, ni de classe C 1 par morceaux la démarche
de [3]. Le développement de Taylor du polynome holomorphe u −→ N (u, t) au
point u = v s’écrit
N (u, t) = N (v, t) + (α(u, v, t), (v − u))

(7)
où

k

α (u, v, t) = −

Z1
0

∂N
(u + s(v − u), t)ds.
∂xk

k

Les α (u, v, t) sont des polynomes holomorphes en (u, v) et antiholomorphes
en t. Posons alors ω(z, ξ) = α(z, ξ, ξ); par construction et d’après les points
i) et ii) de la proposition 2.1, ω est une section de Leray pour le domaine D
holomorphe en z c’est à dire ( ω(z, ξ), ξ − z) 6= 0 pour tout z dans D et ξ dans
∂D. On introduit la section de Bochner-Martinelli σ(z, ξ) = ξ − z et la section
d’homotopie:
η(z, ξ, λ) = (1 − λ)

σ(z, ξ)
ω(z, ξ)
+λ
(ω(z, ξ), ξ − z)
(σ(z, ξ), ξ − z)

définie pour ξ 6= z, (ω(z, ξ), ξ − z) 6= 0 et 0 ≤ λ ≤ 1. A l’aide de ces sections,
on construit les formes différentielles:

Ω=

j
ξ − zj
(n − 1)! X
m
j+1
Λ (dξ − dz m ) Λ dξ k
(−1)
n
n
1≤k≤n
(2iπ)
(σ(z, ξ), ξ − z) m6=j
1≤j≤n

1 norme

spectrale, produit hermitien, norme générique, composantes D j etc..
Documenta Mathematica 5 (2000) 1–13

8

Atallah Affane

Ω=

(n − 1)! X
(−1)j+1 η j (z, ξ, λ) Λ (∂ z,ξ + dλ )η m (z, ξ, λ) Λ dξ k .
1≤k≤n
m6=j
(2iπ)n
1≤j≤n

Remarque 3.1. Pour une transformation h ∈ Aut′ (V ), une section
ρ(z, ξ) telle que ρ(h(z), h(ξ)) = h(ρ(z, ξ)) et une section ρ′ (z, ξ) vérifiant
ρ′ (h(z), h(ξ)) = h(ρ′ (z, ξ)), la forme différentielle
X

(−1)j+1 ρj (z, ξ) Λ dρm
m6=j

1≤j≤n

Λ dρ′k

1≤k≤n

est invariante par la transformation e
h(z, ξ) = (h(z), h(ξ)).

Ceci provient seulement du fait que si h ∈ Aut′ (V ) alors | det h |= 1. D’autre
part, pour h ∈ Aut′ (V ) l’identité N (h(z), h(ξ)) = N (z, ξ) donne après calcul
direct:
(8)

α(h(z), h(ξ), h(t)) = h(α(z, ξ, t)).

Etant donnée une (0, q) forme f à coefficients continus sur D, on définit par
intégration partielle par rapport à ξ les formes différentielles:

BD f (z) =

Z

f (ξ)ΛΩ(z, ξ)

ω
R∂D
f (z) =

Z1

dλ

0

ξ∈D

Z

f (ξ)ΛΩ(z, ξ, λ)

ξ∈∂D

ω
T f = (−1)q (BD f + R∂D
f ).
ω
Pour q = 0, on a BD f = 0 et R∂D
f = 0 tandis que pour q ≥ 1, on obtient des
formes de type (0, q − 1) en z.

ω
Lemme 3.1. Les opérateurs BD et R∂D
sont invariants par Aut′ (V ) c’est à
dire:

h∗ BD f = BD h∗ f

et

ω
ω
h∗ R∂D
f = R∂D
h∗ f ∀h ∈ Aut′ (V ).

Preuve:
Pour h ∈ Aut′ (V ), notons e
h l’endomorphisme de V × V défini par e
h(z, ξ) =
(h(z), h(ξ)). Il est trivial que la remarque 3.1 s’applique aux sections ρ(z, ξ) =
σ(z, ξ) et ρ′ (z, ξ) = ξ. D’après la formule (8), elle est également applicable pour
ρ = η et ρ′ = ξ; on obtient ainsi e
h∗ Ω = Ω et e
h∗ Ω = Ω. Il suffit donc, d’effectuer
∗
ω
dans les intégrales définissant BD h f et R∂D
h∗ f le changement de variable
∗
∗ ω
h(ξ) = τ pour retrouver h BD f et h R∂D f.
Théorème 3.1. Etant donnée une (0, q) forme (q = 1, ..., n) f continue sur D
telle que ∂f soit aussi continue sur D on a:
Documenta Mathematica 5 (2000) 1–13

Représentation Intégrale pour les Domaines de Cartan

9

f = T ∂f + ∂T f.
En particulier, pour q = 1, ..., n et si ∂f = 0, T f est solution de l’équation
∂u = f. De plus, cet opérateur de résolution T vérifie:
T h∗ f = h∗ T f ∀h ∈ Aut′ (V ).
Enfin, il existe C > 0 tel que
sup | T f (z)δ(z, ∂D)r(n−1) |≤ C sup | f (z) | .

z∈D

z∈D

Preuve:
Du moment que l’on a construit ci-dessus une section de Leray holomorphe en
z et que la formule de Stokes est applicable, il suffit de reprendre mutadis mutandis les paragraphes [1.6]-[1.12] de [3] pour avoir la formule de représentation
intégrale annoncée.
La propriété d’invariance de T résulte directement du lemme 3.1.
Pour l’estimation de croissance au bord, toujours suivant [3], on n’a besoin
ω
de l’établir que pour l’opérateur R∂D
. Or d’après les calculs effectués dans le
ω
paragraphe [2.2] de [3], les coefficients de R∂D
f sont des combinaisons linéaires
d’ intégrales de la forme:
E(z) =

Z

fI (ξ)Γ(z, ξ)

ξ∈∂D

Λ dξ
N (z, ξ)n−s−1 hz − ξ | z − ξi(s+1) m6=j

m

Λ dξ k

1≤k≤n

où 0 ≤ s ≤ n − 2, 1 ≤ m ≤ n, fI est un coefficient de f et Γ une expression ne
dépendant que de la section ω et vérifiant une inégalité du type
| Γ(z, ξ) |≤ C | z − ξ | ∀z ∈ D, ∀ξ ∈ D.
Appliquons le lemme 2.2, il vient:
δ(z, ∂D)r(n−1) | E(z) |≤ C sup | f (z) |
z∈D

Z

| z − ξ |−(2n−3)

∀z ∈ D.

ξ∈∂D

Mais
par la formule de Stokes, cette dernière intégrale se majore par
R
| z − ξ |−(2n−2) qui est bornée en z.

ξ∈D

4. La formule de Cauchy-Leray.
Appliquons l’identité (7) pour u = z, v = ξ, t = ξ, puis pour u = z, v = ξ,
t = z, il vient:
Documenta Mathematica 5 (2000) 1–13

10

Atallah Affane

N (z, ξ) = N (ξ, ξ) + (α(z, ξ, ξ), ξ − z) ; N (z, z) = N (ξ, z) + (α(z, ξ, z), ξ − z).

On aura alors L(z, ξ) = (s(ξ, z), ξ − z) avec

s(ξ, z) = N (ξ, z)α(z, ξ, ξ) − N (ξ, ξ)α(z, ξ, z).

Il est évident que s(z, z) = 0 et donc il existe C > 0 tel que:
(9)

| s(ξ, z) |≤ C | ξ − z | ∀z, ξ ∈ D.

Sur l’ouvert { L(z, ξ) 6= 0}, considérons la forme différentielle:

K(ξ, z) =

(n − 1)! X
sj (ξ, z)
j+1
Λ dsm Λ (dξ k − dz k ).
(−1)
1≤k≤n
(2iπ)n
(s(ξ, z), ξ − z)n m6=j
1≤j≤n

C’est l’image réciproque de µ par l’application qui à (z, ξ) associe (s(ξ, z), ξ−z);
elle est donc fermée. Pour 1 ≤ q ≤ n, on note K q la composante de bidegré
(n, n − q) en ξ et de bidegré (0, q − 1) en z.
Lemme 4.1. Soit des ST JHP simples Vi , de boule unité ∆i pour i =
1, ..., m, V = ⊕ Vi et D la boule unité de V. Notons Aut′ (D) = {ϕ =
(ϕ1 , ..., ϕm ); ϕi ∈ Aut(∆i ) ∀i = 1, ..., m.}. Pour un point z de D et ϕ dans
Aut′ (D) telle ϕ(0) = z, on a
L(z, ξ) =| N (z, ξ) |2 L(0, ϕ−1 (ξ)) ∀ξ ∈ D.
Preuve:
Il s’agit d’appliquer plusieurs fois la formule (3) à chacun des systèmes simples
Vi .
Lemme 4.2. i) On a l’inégalité
L(0, τ ) ≥| τ |2 ∀τ ∈ D.

ii) Pour tout point z ∈ D, il existe Cz > 0 et un voisinage Uz tels que:
L(z, ξ) ≥ Cz | z − ξ |2 ∀ξ ∈ Uz .
Preuve:
i) Par la formule (4) on a L(0, τ ) = 1 − N (τ, τ ) pour tout τ dans D. Or, la
décomposition spectrale d’un point τ ∈ D s’ écrit τ = λ1 e1 + ... + λr er où
les ei constituent un repère et | τ |= sup λi ; d’après l’identité (5) on aura
N (τ, τ ) ≤ 1− | τ |2 ce qui suffit.
ii) Soit z ∈ D, puisque Aut′ (D) opère transitivement sur D, choisissons ϕ ∈
Aut′ (D) tel que ϕ(0) = z. D’après le théorème des accroissements finis, il existe
Documenta Mathematica 5 (2000) 1–13

Représentation Intégrale pour les Domaines de Cartan

11

un voisinage W de z et une constante C > 0 tels que | ϕ−1 (ξ) |≥ C | z −ξ | pour
tout ξ dans W. On conclut alors en utilisant le lemme 4.1 et le point i).
Ainsi, pour z ∈ D fixé et tenant compte de l’inégalité (9), la fonction
s(ξ, z)/L(z, ξ)n est intégrable sur D. On peut donc définir pour toute forme
différentelle u de type (0, q − 1), (2 ≤ q ≤ n+ 1), la (0, q − 2) forme:
T u(z) = (−1)q

Z

u(ξ)ΛK q−1 (ξ, z).

ξ∈D

Lemme 4.3. i) ∂ ξ K 1 (ξ, z) = 0 et pour q ≥ 2, on a ∂ ξ K q (ξ, z) =
−∂ z K q−1 (ξ, z).
ii) Pour q ≥ 2, on a K q (ξ, z) = 0 lorsque z ∈ D et ξ ∈ ∂D.
Preuve:
i) Provient du fait que la forme différentielle K est fermée.
ii) En reprenant l’expression de K, on constate que K q provient de la somme:
X

(−1)j+1

1≤j≤n

sj (ξ, z)
Λ ∂sm Λ dξ k .
1≤k≤n
(s(ξ, z), ξ − z)n m6=j

D’autre part, un calcul direct donne:
∂ z si (ξ, z)Λ∂ z sj (ξ, z) = 0 ∀z ∈ D, ξ ∈ ∂D et 1 ≤ i, j ≤ n.

Ceci assure le lemme pour q ≥ 3. Pour q = 2, on constate après calcul que
K 2 est multiple de
X
i≺j

(−1)j+i (si ∂ z sj − sj ∂ z si ) Λ ∂ ξ sk
k6=i,j

et on vérifie que sur {z ∈ D, ξ ∈ ∂D}, on a si ∂ z sj − sj ∂ z si = 0 ∀ 1 ≤ i, j ≤ n.
Lemme 4.4. Il existe C > 0 telle que:
| ϕ(τ ) − ϕ(0) |≤ C | τ | ∀ϕ ∈ Aut(D), ∀τ ∈ D
Preuve:
Comme D est la boule unité, on a | ϕ(τ ) |≤ 1 pour tout τ dans D et ϕ dans
Aut(D). D’après la formule de Cauchy pour les polydisques, il existe C > 0
telle que:
sup
ϕ∈Aut(D), |τ |≤ 21

| Dτ ϕ |≤ C.

Le théorème des accroissements finis donne alors le lemme sur {| τ |≤ 12 }. Sur
le complémentaire {| τ |≥ 12 } l’inégalité à établir est triviale.
Documenta Mathematica 5 (2000) 1–13

12

Atallah Affane

Théorème 4.1. Soit pour 1 ≤ q ≤ n + 1 une (0, q − 1) forme u continue sur
D telle que ∂u soit aussi continue sur D, alors:
i) si q ≥ 2, on a u = (−1)q T ∂u
R + ∂ z T u.
u(ξ)K 1 (z, ξ) − T ∂u(z) ∀z ∈ D.
ii) pour q = 1, on a u(z) =
ξ∈∂D

iii) T (h∗ u) = h∗ (T u) ∀h ∈ Aut′ (V ).
iv) On suppose V = ⊕ Vi et pour tout i, soit ki , gi , ri , δi , ∆i les noyaux
1≤i≤m

de Bergman, genres, rangs, distances spectrales et boules unité de chacun des
STJHP simples Vi . Posons N (i) = ri (2n − gi ); alors il existe C > 0 telle que:
Π δi (zi , ∂∆i )N (i) | T u(z1 , ..., zm ) |≤ C sup | u(z) | .

sup

(z1 ,...,zm )∈D 1≤i≤m

z∈D

Preuve:
Grace au lemme 4.3, on peut reprendre le raisonnement du paragraphe 1 de[1]
et obtenir ainsi les points i) et ii).
iii) Par ailleurs la formule (8) assure que la remarque 3.1 est applicable pour
les sections ρ = s et ρ′ (z, ξ) = ξ − z; on aura ainsi e
h∗ K = K pour tout h
′
′
dans Aut (V ) et après le changement de variables ξ = h(ξ) dans l’intégrale qui
définit T (h∗ u), on retrouve h∗ (T u).
iv) Les coefficients de T u(z)sont des combinaisons linéaires d’intégrales de la
forme:
F (z) =

Z

RI (z, ξ)uI (ξ)sj (ξ, z)
L(z, ξ)n

ξ∈D

où uI est un coefficient de u, RI un polynome et j = 1, ..., n. Soit ϕ ∈
Aut′ (D) telle que ϕ(0) = z; on aura à l’aide du lemme 4.1 et du i) du lemme
4.2 l’inégalité:
| T u(z) |≤ Csup | u(t) |
t∈D

Z

ξ∈D

|

| s(ξ, z) |
N (z, ξ) |2n

ϕ−1 (ξ) |2n |

Effectuons le changement de variable ξ = ϕ(τ ) puis utilisons le lemme 4.4 et la
formule (9), cette intégrale sera majorée par:
Z

| Jϕ(τ ) |2 | τ |1−2n | N (z, ϕ(τ ) |−2n .

τ ∈D

Mais la formule (3) donne:
| Jϕi (τi ) |2 = ki (0, 0)ki (zi , zi ) | ki (zi , ϕi (τi )) |−2
et on conclut alors en appliquant le lemme 2.2 à chaque Vi .
Documenta Mathematica 5 (2000) 1–13

Représentation Intégrale pour les Domaines de Cartan

13

References
[1] P. Charpentier, Formules explicites pour les solutions minimales de
l’équation ∂u = f dans la boule et le polydisque de C n . Ann. Inst. Fourier
30, 4 (1980), 121-154.
[2] M. S. Hachaichi, Formules de représentation intégrale des formes
différentielles et application à la résolution de l’équation de CauchyRiemann dans le disque généralisé de Mn (C). Thèse de Doctorat d’Etat,
U.S.T.H.B. Alger (1998).
[3] G. M. Henkin, J. Leiterer, Theory of functions on complex manifolds.
Birkhauser-Verlag. Basel-Boston-Stuttgart (1984).
[4] O. Loos, Jordan pairs. Lect. Notes in Math. Vol 460 (1975).
[5] O. Loos, Bounded symmetric domains and Jordan pairs. Univ. of California
at Irvine (1977).
[6] G. Roos, La géométrie des domaines hermitiens symétriques et les systèmes
triples de Jordan. Univ. de Poitiers, dpt de Math. Prépublication n◦ 18
(1985).
[7] G. Roos, Fonctions de plusieurs variables complexes et formules de
représentation intégrale. Thèse de Doctorat d’Etat. Paris VII (1983).
[8] L. Schwartz, Cours d’analyse. Hermann. Paris (1967).

Atallah Affane
Institut de Mathématiques
U.S.T.H.B, B.P. 32 El Alia
Bab Ezzouar
Algiers, Algeria.
atallahaffane@hotmail.com

Documenta Mathematica 5 (2000) 1–13

14

Documenta Mathematica 5 (2000)

15

Documenta Math.

Zur Bewegung einer Kugel
in einer zähen Flüssigkeit
Karl-Heinz Hoffmann, Victor N. Starovoitov

Received: March 13, 1997
Communicated by Alfred K. Louis

Abstract. In dieser Arbeit untersuchen wir die Bewegung einer Festkugel im beschränkten Gebiet, das mit einer inkompressiblen zähen
Flüssigkeit gefüllt ist. Wir beweisen, dass die Festkugel die Wand des
Behälters mit der Geschwindigkeit Null erreicht. Als eine Folgerung
wird die Lösbarkeit der Aufgabe gezeigt.
1991 Mathematics Subject Classification: 35Q30

1

Einführung und Hauptergebnisse.

Es sei Ω ein Gebiet im R3 mit Rand ∂Ω. Wir nehmen an, daß Ω mit einer
inkompressiblen Flüssigkeit gefüllt ist, und ein Festkörper darin schwimmt.
Das Ziel dieser Arbeit ist es, diese Bewegung zu beschreiben.
Die Hauptschwierigkeit der Aufgabe besteht darin, daß der Körper an die Wand
des Behälters stoßen kann. Es ist nicht ganz klar, welche Bedingungen man in
diesem Moment erhält. Daher wurde das Problem bisher mathematisch nur für
solche Gebiete betrachtet, die mit dem ganzen Raum übereinstimmen ([1], [2]).
Eine Übersicht über mechanische und numerische Behandlungen des Problems
kann man in [3] finden. In [4] haben wir für den zweidimensionalen Fall bewiesen, daß der Körper die Wand mit der Geschwindigkeit Null erreicht, wenn sein
Rand und der Rand des Gebietes zur Klasse C 2 gehören. Als eine Folgerung
wurde die Lösbarkeit der Aufgabe gezeigt. Jetzt wird dieses Ergebnis auf den
dreidimensionalen Fall erweitert werden. Wir setzen einschränkend voraus, daß
das Gebiet Ω und der Körper Kugeln sind. Die Ergebnisse gelten aber auch,
wenn man mehrere Kugeln im Gebiet betrachtet. Diese Voraussetzung wird eigentlich nur im Satz 2 benutzt. Um die Berechnungen zu vereinfachen, nehmen
wir außerdem an, daß die Dichten der Flüssigkeit und des Körpers beide gleich
eins sind, und keine Volumenkräfte vorhanden sind.
Documenta Mathematica 5 (2000) 15–21

16

K.-H. Hoffmann, V.N. Starovoitov

Es seien V (t) das Gebiet, das der Festkörper einnimmt, und Γ(t) sein Rand
zur Zeit t. Es ist die Aufgabe, das Geschwindigkeitsfeld v̄ der Flüssigkeit, die
Geschwindigkeit ū∗ = dx̄∗ /dt des Schwerpunktes x̄∗ des Festkörpers (des Mittelpunktes der Kugel V ) und seine Winkelgeschwindigkeit ω̄ zu finden, die den
Gleichungen
v̄t + (v̄ · ∇)v̄ = divP,
divv̄ = 0,
x̄ ∈ Ω\V (t)
P = −pI + D(v̄),
R
∗
m dū
P < n̄ > ds,
dt =
Γ(t)
R
J∗ dω̄
(x̄ − x̄∗ ) × P < n̄ > ds,
dt =

(1.1)

(1.2)

Γ(t)

genügen. Hier sind m die Masse des Körpers, J∗ der Tensor des Inertiamomentes des Körpers bezüglich seines Schwerpunktes, P der Spannungstensor, p der
Druck und D(v̄) der Deformationsgeschwindigkeitstensor mit den Komponenten


∂vj
1 ∂vi
.
+
Dij (v̄) =
2 ∂xj
∂xi
Für das Gleichungssystem (1.1)–(1.2) stellen wir folgende Rand- und Anfangsbedingungen
t=0:
Γ(t) :
∂Ω :

v̄ = v̄0 , ū∗ = ū0∗ , ω̄ = ω̄0 , V = V0 ,
v̄(x̄, t) = ū∗ (t) + ω̄(t) × (x̄ − x̄∗ (t)),
v̄ = 0.

(1.3)
(1.4)
(1.5)

Wir nennen (1.1)–(1.5) Aufgabe A.
Nun definieren wir den Begriff der verallgemeinerten Lösung der Aufgabe A.
Es seien

1,
x̄ ∈ V (t),
ϕ(x̄, t) =
0, x̄ ∈ Ω \ V (t),
K(χ) = {ψ̄ ∈ H01 (Ω) | D(ψ̄)(x̄) = 0 für x̄ ∈ S(χ), divψ̄ = 0},
wobei χ die charakteristische Funktion einer Teilmenge von Ω ist, und S(χ) die
Menge der Punkte mit χ = 1 bezeichnet. Mit Lp (0, T ; K(χ)), p ≥ 1, bezeichnen
wir die Menge der Funktionen aus Lp (0, T ; H01(Ω)), die für fast alle t ∈ [0, T ]
zu K(χ) gehören.
Es seien Char(E) die Klasse der charakteristischen Funktionen aller Teilmengen einer Menge E und Q = [0, T ] × Ω für T < ∞.
Definition 1. Ein Paar von Funktionen
v̄ ∈ L∞ (0, T ; L2 (Ω)) ∩ L2 (0, T ; K(ϕ)),
ϕ ∈ Char(Q) ∩ C 1/p (0, T ; Lp (Ω)), 1 < p < ∞,
Documenta Mathematica 5 (2000) 15–21

Zur Bewegung einer Kugel . . .

17

heißt verallgemeinerte Lösung der Aufgabe A, wenn die Integralidentitäten
Z
Z
{v̄(ψ̄t + (v̄ · ∇)ψ̄) − D(v̄) : D(ψ̄)}dx̄dt = − v̄0 · ψ̄0 dx̄,
(1.6)
Q

Ω

Z

Q

ϕ(ηt + v̄ · ∇η)dx̄dt = −

Z

ϕ0 η0 dx̄

(1.7)

Ω

für beliebige Funktionen η ∈ C 1 (Q), η(T ) = 0, ψ̄ ∈ H 1 (Q) ∩ L2 (0, T ; K(ϕ)),
ψ̄(T ) = 0 gelten.
Bemerkung. Wir charakterisieren den Festkörper durch die Bedingung, daß
D(v̄)(x̄) = 0 für x̄ ∈ S(ϕ). Das ist folgendermaßen motiviert. Der Kern des
Operators D besteht aus Funktionen, die die Form v̄ = ā + ω̄ × x̄, ā, ω̄ ∈ R 3 ,
haben ([5], S.18). Damit bewegt sich die Flüssigkeit wie ein Festkörper. Deshalb
nennen wir solche Funktionen auch “starre” Funktionen.
Das Hauptergebnis dieser Arbeit ist der folgende Satz.
Satz 1. Sei v̄0 ∈ L2 (Ω). Wenn Ω und S(ϕ0 ) Kugeln in R3 sind, hat die Aufgabe A mindestens eine verallgemeinerte Lösung.
Außerdem gelten:
1. Es gibt eine Familie von Abbildungen As,t : R3 → R3 , s, t ∈ [0, T ], so daß
S(ϕ(t)) = As,t (S(ϕ(s))) (und S(ϕ(t)) = A0,t (S(ϕ0 ))), As,t (x̄) ist “starr” (im
Sinne obiger Bemerkung), und As,t Lipschitz-stetig bezüglich s und t ist.
2. Wenn h(t) = dist(∂Ω, S(ϕ(t))) und h(t0 ) = 0 für t0 ∈ [0, T ], so gilt
lim h(t)|t − t0 |−1 = 0.
t→t0

3. Für fast alle t ∈ {t ∈ [0, T ] | h(t) = 0} weist ω̄(t) in Richtung von n̄M , und es
gilt v̄M = 0. Ferner sind M = ∂Ω∩∂S(ϕ(t)) ein Punkt, v̄M die Geschwindigkeit
des Punktes des Körpers, der mit M übereinstimmt, und n̄M die Normale der
Fläche ∂S(ϕ(t)) (und ∂Ω) in M .

Bemerkung. Die zweite Behauptung des Satzes bedeutet, daß der Festkörper
die Wand mit Geschwindigkeit Null erreicht.
2

Der Raum K(χ).

Hier untersuchen wir Eigenschaften der Funktionen, die zum Raum K(χ)
gehören. Es wird immer angenommen, daß Ω und S(χ) Kugeln sind, und 0
der Mittelpunkt von Ω ist.
Es sei {As } eine Familie von Abbildungen As : R3 → R3 , die die Form
As (x̄) = ā(s) + B(s) < x̄ >

(2.1)

haben, wobei ā : R → R3 , B : R → R3 × R3 glatte Funktionen sind, B(s) für
jedes s eine lineare orthogonale Abbildung ist, und ā(0) = 0, B(0) = I gilt.
Documenta Mathematica 5 (2000) 15–21

18

K.-H. Hoffmann, V.N. Starovoitov

Satz 2. Es seien χ die charakteristische Funktion einer Kugel S(χ) ⊂ Ω und
χs (x̄) = χ(A−1
s (x̄)), s ≥ 0, d.h. S(χs ) = A(S(χ)). Wenn S(χs ) ⊂ Ω für jedes
s ∈ [0, s0 ], s0 > 0, gilt, dann konvergiert K(χs ) → K(χ) für s → 0 in H01 (Ω),
d.h. für jede Funktion ψ̄ ∈ K(χ) gibt es eine Folge von Funktionen ψ̄s ∈ K(χs )
mit ψ̄s → ψ̄ in H01 (Ω).
Beweis. Weil S(χ) eine Kugel ist, gibt es viele Abbildungen der Art (2.1), die
S(χ) auf S(χs ) abbilden. Wir nehmen ein solches As , so daß |ā(s)| minimal ist.
Es sei ψ̄ eine Funktion aus K(χ). Wir müssen eine Folge von Funktionen ψ̄s ∈
K(χs ) konstruieren, die gegen ψ̄ in H01 (Ω) konvergiert. Zuerst konstruieren wir
eine Folge von Funktionen ζ̄s = B(s) < ψ̄(B −1 (s) < x̄ >) >. Es ist klar,
daß ζ̄s ∈ K(ηs ) ist, und ζ̄s gegen ψ̄ in H01 (Ω) für s → 0 konvergiert, wobei
ηs (x̄) = χ(B −1 (s) < x̄ >) ist. Jetzt haben wir nur zu beweisen, daß eine Folge
von Funktionen ξ¯s ∈ K(µs ) existiert, wobei µs (x̄) = χ(x̄ − ā(s)), die gegen ψ̄ in
H01 (Ω) konvergiert. Wir merken an, daß der Vektor ā in Richtung des Radius
von Ω zeigt.
Es sei ū die “starre” Funktion, die mit ψ̄ in S(χ) übereinstimmt. Wir nehmen
ξ¯s als die Lösung der folgenden Aufgabe:
∆ξ¯s = ∇qs + ∆ψ̄,
divξ̄s = 0,
ξ¯s (x̄) =



0,
ū(x̄),

x̄ ∈ Ω \ S(µs )
x̄ ∈ ∂Ω,
x̄ ∈ ∂S(µs ).

Es ist nicht schwer zu sehen, daß ξ¯s gegen ψ̄ in H01 (Ω) konvergiert. Wenn
nämlich |ā(s)| =
6 0, haben wir [6]:
kψ̄ − ξ̄s kH 1 (Ω\S(µs )) ≤ Ckψ̄ − ūkH 1/2 (∂S(µs )) .

(2.2)

Aber mit dem Spursatz ([6], [7]) gilt die Abschätzung
kψ̄ − ūkH 1/2 (∂S(µs )) ≤ Ckψ̄ − ūkH 1 (S(µs )) = Ckψ̄ − ūkH 1 (S(µs )\S(χ))
mit einer von s unabhängingen Konstante C. Somit,
kψ̄ − ξ¯s kH 1 (Ω) = kψ̄ − ξ¯s kH 1 (Ω\(S(µs )∩S(χ)) ≤
≤ kψ̄ − ξ̄s kH 1 (Ω\S(µs )) + kψ̄ − ξ¯s kH 1 (S(µs )\S(χ)) ≤
≤ Ckψ̄ − ξ¯s kH 1 (S(µs )\S(χ)) .
Die rechte Seite dieser Ungleichung konvergiert aber für s → 0 gegen Null, weil
|S(µs ) \ S(χ)| → 0 gilt.
Damit ist der Satz bewiesen.
Jetzt untersuchen wir Eigenschaften der Funktionen aus K(χ), wenn der
Festkörper (die Festkugel) die Wand berührt.
Documenta Mathematica 5 (2000) 15–21

Zur Bewegung einer Kugel . . .

19

Satz 3. Es seien ψ̄ ∈ K(χ) und ∂S(χ) ∩ ∂Ω 6= ∅. Dann gelten
1. ψ̄(M ) = 0, wobei M der Punkt des Körpers ist, der mit ∂S(χ) ∩ ∂Ω übereinstimmt.
2. ψ̄(x̄) ist ortogonal zu n̄M für alle x̄ ∈ S(χ), wobei n̄M die Normale an ∂Ω
im Punkt M ist.
Bemerkung. Der erste Punkt des Satzes kann schärfer formuliert werden.
Nämlich, es gilt
Z
lim |Rρ |−1 |ψ̄(x̄)|dx̄ = 0,
ρ→0

Rρ

wobei Rρ = {x̄ ∈ S(χ) | dist(x̄, M ) ≤ ρ}.
Beweis des Satzes 3. Es sei ξ̄ = (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) ein solches orthogonales Koordinatensystem, so daß (0, 0, 0) = M , und der Vektor (0, 0, 1) in Richtung von
n̄M zeigt. Nehmen wir an, daß ∂Ω bzw. ∂S(χ) durch Funktionen g bzw. f
beschrieben werden, d.h.
∂Ω = {ξ¯ ∈ R3 | ξ3 = g(ξ1 , ξ2 )},
bzw.

∂S(χ) = {ξ¯ ∈ R3 | ξ3 = f (ξ1 , ξ2 )}.

Es sei Lρ = {(ξ1 , ξ2 ) ∈ R2 | f (ξ1 , ξ2 ) ≤ ρ}. Dann gilt:
Z
Z
|ψ̄(ξ1 , ξ2 , ρ)|2 dξ1 dξ2 = |ψ̄(ξ1 , ξ2 , ρ) − ψ̄(ξ1 , ξ2 , 0)|2 dξ1 dξ2 =
Lρ

Lρ


2

Zρ Z
Z Zρ
 ∂ ψ̄



= 
|∇ψ̄|2 dξ1 dξ2 dξ3 ,
dξ3  dξ1 dξ2 ≤ Cρ
 ∂ξ3

0

Lρ

0 Lρ

wobei ψ̄ mit Null außerhalb Ω fortgesetzt wird. Es gilt aber |Lρ | ≥ Cρ. Daher
erhalten wir die Beziehung
−1

lim |Lρ |

ρ→0

Z

2

|ψ̄| dξ1 dξ2 ≤ C lim

ρ→0

Lρ

Zρ Z

0 Lρ

|∇ψ̄|2 dξ1 dξ2 dξ3 = 0,

und der erste Punkt des Satzes ist bewiesen.
3
¯
Nun seien Gα
ρ = {ξ ∈ R |(ξ1 , ξ2 ) ∈ Lρ , g(ξ1 , ξ2 ) ≤ ξ3 ≤ f (ξ1 , ξ2 ), ξ1 ≤ αξ2 }
α
α
α
α
α
α
für α ∈ R, Fρ = ∂Gρ ∩ ∂S(χ), Wρα = ∂Gα
ρ ∩ ∂Ω und Vρ = ∂Gρ \ (Fρ ∪ Wρ ).
Weil divψ̄ = 0 ist, haben wir
Z
ψ̄ · n̄ds = 0,
∂Gα
ρ

Documenta Mathematica 5 (2000) 15–21

20

K.-H. Hoffmann, V.N. Starovoitov

und folglich

Z

ψ̄ · n̄ds +

Fρα

Aber ψ̄ hat die Darstellung

Z

Vρα

ψ̄ · n̄ds = 0.

¯ = ω̄ × ξ̄
ψ̄(ξ)

für ξ̄ ∈ S(χ), wobei ω̄ ein von ξ̄ unabhängiger Vektor ist. Deshalb gilt
Z
Z
ξ¯ × n̄ds| ≤
|ω̄ ·
|ψ̄|ds.
Vρα

Fρα

Wir merken an, daß

R

Fρα

(2.3)

ξ̄ × n̄ds = k(ρ)τ̄α ist, wobei τ̄α ein von ρ unabhängiger

Tangentialvektor an die Fläche ∂Ω im Punkt M ist, und k(ρ) ≥ Cρ3/2 gilt.
Die Integration der Ungleichung (2.3) von 0 bis σ > 0 bezüglich ρ ergibt

σ 5/2 |ω̄ · τ̄α | ≤


1/2 
= |Gα

σ|

Z

Gα
σ

1/2 
|ψ̄|dξ¯ ≤ |Gα

σ|

Zσ Z
0



Z

Gα
σ

1/2


|ψ̄|2 dξ¯

1/2

Gα
σ (ξ3 )


|ψ̄|2 dξ1 dξ2 dξ3 

=

,

(2.4)

2
α
α
¯
wobei Gα
σ (s) die Menge {ξ ∈ Gσ | ξ3 = s} bezeichnet. Aber es ist |Gσ | ≤ Cσ ,
und, weil ψ̄ gleich Null auf ∂Ω ist, gilt die Abschätzung
Z
|ψ̄|2 dξ1 dξ2 ≤ Ck∇ψ̄k2L2 (Ω) |ξ3 |.
Gα
σ (ξ3 )

So erhalten wir aus (2.4):
|ω̄ · τ̄α | ≤ Cσ 1/2 .

Weil σ eine beliebige Zahl war, ist ω̄ · τ̄α = 0 für alle α ∈ R, und folglich zeigt
ω̄ in Richtung von n̄M .
Damit ist der Satz bewiesen.
3

Beweis des Satzes 1.

Die Lösbarkeit der Aufgabe A und die erste Behauptung des Satzes können
genau wie in [4] bewiesen werden. Für die Lösung gilt die folgende Abschätzung:
Z

Ω

|v̄(x̄, t)|2 dx̄ +

Zt Z

0 Ω

|∇v̄(x̄, s)|2 dx̄ds ≤

Z

|v̄0 (x̄)|2 dx̄.

Ω

Documenta Mathematica 5 (2000) 15–21

(3.1)

Zur Bewegung einer Kugel . . .

21

Das heißt v̄ ∈ H01 (Ω) für fast alle t ∈ [0, T ], und die Behauptung 3 des Satzes
ergibt sich aus dem Satz 3. Es bleibt noch die Behauptung 2 zu beweisen.
Wie in [4] (Aussage 3.4) können wir die Abschätzung


 dh(t) 
1/2


 dt  ≤ Ch (t)(z(t) + 1)

herleiten, wobei z(t) = k∇v̄(t)kL2 (Ω) ist. Wenn h(t0 ) = 0 für ein t0 ∈ [0, T ] ist,
gibt uns die Integration dieser Ungleichung:

 t
 t
1/2

Z
Z


h1/2 (t) ≤ C  (z(s) + 1)ds ≤ C|t − t0 |1/2  (z(s) + 1)2 ds .


t0

t0

Weil die Funktion z zu L2 (0, T ) gehört, ist die Behauptung bewiesen.
Literatur

[1] N. V. Yudakov. On the solvability of the problem on the motion of a solid
body in a viscous incompressible fluid. Dinamika Sploshnoi Sredy, 1974,
v.18, s.249-253.
[2] D. Serre. Chute Libre d’un Solide dans un Fluide Visqueux Incompressible. Existence. Japan Journal of Applied Mathematics, 1987, v.4, N1,
pp.99-110.
[3] R. Hsu, P. Ganatos. The motion of a rigid body in viscous fluid bounded
by a plane wall. Journal of Fluid Mechanics, 1989, v.207, pp.29-72.
[4] K.-H. Hoffmann, V.N.Starovoitov. On a motion of a solid body in a
viscous fluid. Two-dimensional case. Advances in Mathematical Sciences
and Applications, 1999, v.9, N 2, pp.633-648.
[5] R. Temam. Mathematical problems in plasticity. 1985, BORDAS, Paris.
[6] R. Temam. Navier-Stokes Equations. Theory and Numerical Analysis.
1977, North-Holland Pub. Co., Amsterdam - New York - Tokyo.
[7] J. L. Lions, E.Magenes. Non-homogeneous Boundary Value Problems and
Applications. Volume I. 1972, Springer, Berlin.
Karl-Heinz Hoffmann
Institut für Angewandte
Mathematik und Statistik,
Technische Universität
München, Deutschland
hoffmann@caesar.de

Victor N. Starovoitov
Lavrentyev Institut für
Hydrodynamik,
Novosibirsk, 630090
Rußland
star@hydro.nsc.ru

Documenta Mathematica 5 (2000) 15–21

22

Documenta Mathematica 5 (2000)

23

Documenta Math.

The Abel–Jacobi Map for a Cubic Threefold
and Periods of Fano Threefolds of Degree 14
A. Iliev and D. Markushevich
Received: October 15, 1999
Revised: January 17, 2000
Communicated by Thomas Peternell

Abstract. The Abel–Jacobi maps of the families of elliptic quintics
and rational quartics lying on a smooth cubic threefold are studied. It
is proved that their generic fiber is the 5-dimensional projective space
for quintics, and a smooth 3-dimensional variety birational to the
cubic itself for quartics. The paper is a continuation of the recent work
of Markushevich–Tikhomirov, who showed that the first Abel–Jacobi
map factors through the moduli component of stable rank 2 vector
bundles on the cubic threefold with Chern numbers c1 = 0, c2 = 2
obtained by Serre’s construction from elliptic quintics, and that the
factorizing map from the moduli space to the intermediate Jacobian
is étale. The above result implies that the degree of the étale map is
1, hence the moduli component of vector bundles is birational to the
intermediate Jacobian. As an application, it is shown that the generic
fiber of the period map of Fano varieties of degree 14 is birational to
the intermediate Jacobian of the associated cubic threefold.
1991 Mathematics Subject Classification: 14J30,14J60,14J45
Introduction
Clemens and Griffiths studied in [CG] the Abel–Jacobi map of the family of
lines on a cubic threefold X. They represented its intermediate Jacobian J 2 (X)
as the Albanese variety Alb F (X) of the Fano surface F (X) parametrizing lines
on X and described its theta divisor. From this description, they deduced the
Torelli Theorem and the non-rationality of X. Similar results were obtained
by Tyurin [Tyu] and Beauville [B].
One can easily understand the structure of the Abel–Jacobi maps of some
other familes of curves of low degree on X (conics, cubics or elliptic quartics),
in reducing the problem to the results of Clemens–Griffiths and Tyurin. The
first non trivial cases are those of rational normal quartics and of elliptic normal
Documenta Mathematica 5 (2000) 23–47

24

A. Iliev and D. Markushevich

quintics. We determine the fibers of the Abel–Jacobi maps of these families of
curves, in continuing the work started in [MT].
Our result on elliptic quintics implies that the moduli space of instanton vector
bundles of charge 2 on X has a component, birational to J 2 (X). We conjecture that the moduli space is irreducible, but the problem of irreducibility
stays beyond the scope of the present article. As far as we know, this is the
first example of a moduli space of vector bundles which is birational to an
abelian variety, different from the Picard or Albanese variety of the base. The
situation is also quite different from the known cases where the base is P3 or
the 3-dimensional quadric. In these cases, the instanton moduli space is irreducible and rational at least for small charges, see [Barth], [ES], [H], [LP],
[OS]. Remark, that for the cubic X, two is the smallest possible charge, but
the moduli space is not even unirational. There are no papers on the geometry of particular moduli spaces of vector bundles for other 3-dimensional Fano
varieties (for some constructions of vector bundles on such varieties, see [G1],
[G2], [B-MR1], [B-MR2], [SW], [AC]).
The authors of [MT] proved that the Abel–Jacobi map Φ of the family of elliptic
quintics lying on a general cubic threefold X factors through a 5-dimensional
moduli component MX of stable rank 2 vector bundles E on X with Chern
numbers c1 = 0, c2 = 2. The factorizing map φ sends an elliptic quintic C ⊂ X
to the vector bundle E obtained by Serre’s construction from C (see Sect. 2).
The fiber φ−1 ([E]) is a 5-dimensional projective space in the Hilbert scheme
Hilb5n
X , and the map Ψ from the moduli space to the intermediate Jacobian
J 2 (X), defined by Φ = Ψ ◦ φ, is étale on the open set representing (smooth)
elliptic quintics which are not contained in a hyperplane (Theorem 2.1).
We improve the result of [MT] in showing that the degree of the above étale
map is 1. Hence MX is birational to J 2 (X) and the generic fiber of Φ is just
one copy of P5 (see Theorem 3.2 and Corollary 3.3). The behavior of the Abel–
Jacobi map of elliptic quintics is thus quite similar to that of the Abel–Jacobi
map of divisors on a curve, where all the fibers are projective spaces. But we
prove that the situation is very different in