SMART SOLUTION UN MATEMATIKA SMA 2013 (SKL 4.1 ATURAN SINUS ATAU ATURAN KOSINUS)
Smart Solution
UJIAN NASIONAL
TAHUN PELAJARAN 2012/2013
Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013
Matematika SMA
(Program Studi IPA)
Disusun oleh :
Pak Anang
SKL 4. Menggunakan perbandingan, fungsi, persamaan, identitas, dan rumus trigonometri dalam pemecahan masalah.
4. 1.
Menyelesaikan masalah geometri dengan menggunakan aturan sinus atau kosinus.
Nilai Perbandingan Trigonometri
Diperoleh dari sudut pada segitiga siku-siku
Kalau segitiganya nggak siku-siku. Gimana?
adalah sisi di depan sudut
adalah sisi di depan sudut
adalah sisi di depan sudut
Aturan Sinus dan Kosinus
Aturan Sinus
Aturan Kosinus
Ada dua pasangan sudut–sisi yang berhadapan
Diketahui dan ditanyakan sisi dan sudut
?
?
?
sisi – sudut – sudut
(diketahui satu sisi dan
dua sudut)
=
sin
?
sisi – sisi – sudut
sisi – sudut – sisi
(diketahui dua sisi dan
satu sudut di depannya)
sin
=
sisi – sisi – sisi
(diketahui dua sisi dan
sudut yang diapitnya)
=
sin
⇒ cos
(diketahui ketiga sisi
segitiga)
+
−
cos
+
=
−
Luas Segitiga
alas – tinggi
=
sisi – sudut – sisi
×
=
sin
=
⇒ = sin
Halaman 152
satu sisi dan semua sudut
sin
a
b
=
sin A sin B
sin
⇒ =
sin
=
sin sin
sin
=√
sisi – sisi – sisi
−
dimana =
−
−
+ +
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Luas Segitiga
sisi – sudut – sisi
=
sin
Luas Segi-n Beraturan
Misal segidelapan beraturan.
Maka segidelapan beraturan tersusun atas delapan segitiga sama kaki.
Masing-masing segitiga memiliki sudut pusat sebesar
6 °
8
=
°.
Sehingga luas segidelapan beraturan adalah delapan kali luas segitiga tersebut.
Luas dan Keliling
Segi-n Beraturan
�
°
sudut pusat =
=�∙
=� √
���°
�
sin (
− cos
�
°
)
6 °
�
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 153
LOGIKA PRAKTIS Aturan Sinus dan Aturan Kosinus:
Segitiga punya tiga unsur atau komponen penyusun, yaitu 3 sisi dan 3 sudut. Untuk menyelesaikan masalah
segitiga dengan aturan sinus atau kosinus maka perlu diperhatikan acuan sebagai berikut:
Komponen yang diketahui dan ditanyakan dari segitiga adalah 3 sisi dan 1 sudut, maka penyelesaiannya adalah
harus menggunakan aturan kosinus.
Komponen yang diketahui dan ditanyakan dari segitiga adalah 2 sisi dan 2 sudut, maka penyelesaiannya adalah:
-
Jika masing-masing sisi dan sudut saling berhadapan, maka harus menggunakan aturan sinus.
Jika masing-masing sisi dan sudut tidak saling berhadapan, maka periksa dulu apakah:
o Diketahui dua sudut, maka penyelesaiannya harus mencari sudut ketiga dulu menggunakan sifat
sudut segitiga 180°, dan dilanjutkan menggunakan aturan sinus.
o Diketahui satu sudut, maka penyelesaiannya bisa menggunakan aturan kosinus untuk mencari satu
sisi yang lain, lalu dilanjutkan dengan aturan sinus. (Atau apabila ada satu pasangan sisi sudut yang
berhadapan, bisa menggunakan aturan sinus dulu untuk menentukan pasangan sudut yang lain, lalu
menggunakan sifat sudut segitiga 180°)
Atau bisa digambarkan seperti berikut:
Periksa jumlah komponen
yang diketahui dan ditanyakan
3 sisi dan 1 sudut
2 sisi dan 2 sudut
Periksa!
Apakah kedua pasangan
sisi dan sudut tersebut
saling berhadapan
Gunakan aturan kosinus
Halaman 154
Saling berhadapan
Ada yang tidak berhadapan
Gunakan aturan sinus
Periksa!
Berapa jumlah sudut
yang diketahui
Dua sudut
Satu sudut
Cari sudut ketiga, lalu
gunakan aturan sinus
Gunakan aturan kosinus
dilanjutkan dengan
aturan sinus
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Tipe Soal yang Sering Muncul
Menentukan unsur atau komponen segitiga menggunakan aturan sinus atau kosinus.
Contoh Soal:
Diberikan segi empat ABCD seperti gambar di bawah!
Panjang BC adalah ….
√ cm B
a. √ cm
A
60°
b. √ cm
c.
√ cm
30°
45°
d. √ cm
D
C
e. √ cm
Penyelesaian:
Pertama kita mempertimbangkan apakah kita akan menggunakan aturan sinus atau aturan kosinus.
Lalu pada segitiga yang mana kita akan menerapkan aturan sinus atau kosinus tersebut.
Perhatikan gambar, terlihat ada dua segitiga.
1. ∆
dengan diketahui 1 sisi dan 1 sudut.
2. ∆
dengan diketahui 1 sisi dan 2 sudut.
Nah, ternyata ∆
tidak bisa kita terapkan aturan sinus atau kosinus, karena aturan sinus dan kosinus
bisa digunakan jika minimal diketahui 3 atau lebih unsur atau komponen dari segitiga!
Sekarang amati ∆
ternyata sudah diketahui 3 komponen segitiga, sehingga agar ∆
minimal 3 komponen maka kita harus mencari panjang
terlebih dahulu.
Perhatikan ∆
,
A
?
D
30°
45°
C
Diketahui 1 sisi dan 2 sudut, ditanyakan 1 sisi . (2 sisi dan 2 sudut)
Periksa apakah kedua pasang sisi dan sudut saling berhadapan?
Ya! Maka pada ∆
berlaku aturan sinus:
sin
=
sin
⇒
=
=
sin
=
√
=
√
=
Nah, sekarang perhatikan ∆
√ cm B
A
60°
?
× sin
sin
=
√ cm
tepat diketahui
°
×
√
×
√
× sin
√
√
°
rasionalisasi penyebut bentuk akar
= √ cm
,
Diketahui 2 sisi dan 1 sudut, ditanyakan 1 sisi
Pasti berlaku aturan kosinus pada ∆
:
=
=(
C
=
Jadi,
=
=
=√
+
−
cos
√ ) +( √ ) − (
+
−
cm
=√
−
∙
√ = √ cm
. (3 sisi dan 1 sudut)
√ )( √ ) cos
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 155
Menentukan luas segi-n beraturan.
Contoh Soal:
Luas segi-12 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 8 cm adalah ….
a. 192 cm2
b. 172 cm2
c. 162 cm2
d. 148 cm2
e. 144 cm2
Penyelesaian:
Ingat luas segitiga:
sisi – sudut – sisi
=
sin
Segi-12 beraturan terdiri atas 12 segitiga yang kongruen, jadi kita cukup mencari luas salah satu segitiga
penyusun segi-12 beraturan tersebut.
Perhatikan ∆ � ,
∆ � = � � sin ∠ �
O
�
A
B
=
=
=
∙ ∙ ∙ sin
∙
°
cm
Jadi, luas segi-12 beraturan adalah:
× ∆ �
���−
�
� =
=
∙
=
cm
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Ingat luas segi-n beraturan dengan jari-jari lingkaran luar adalah:
°
sin
=
∙ ∙ ∙ sin ° =
cm
���−� �
� =�∙
�
Halaman 156
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menentukan keliling segi-n beraturan.
Contoh Soal:
Keliling segi-12 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 8 cm adalah ….
√ + √ cm
a.
b.
c.
d.
√ − √ cm
√ + √ cm
√ − √ cm
e. √
− √ cm
Penyelesaian:
Segi-12 beraturan terdiri atas 12 segitiga yang kongruen, jadi kita cukup mencari panjang keliling pada
salah satu segitiga penyusun segi-12 beraturan tersebut, yaitu panjang sisi
.
Perhatikan ∆ � ,
Diketahui 2 sisi dan 1 sudut ditanyakan 1 sisi
Pasti berlaku aturan kosinus:
= + −
cos �
=
+
−
cos
=
O
=
�
=
A
+
=
Jadi,
−
=√
B
−
−
. (3 sisi dan 1 sudut)
∙ √
√ cm
√ cm
Sehingga, keliling segi-12 beraturan adalah
×
���−
�
� =
=
√
=
× √ − √ cm
=
=
×√
−
√ cm
√ − √ cm
√ − √ cm
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Ingat keliling segi-n beraturan dengan jari-jari lingkaran luar adalah:
���−� �
�
=� √
− cos � =
∙
∙√ ( − √ )=
√ − √ cm
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 157
Menentukan volume bangun ruang menggunakan aturan sinus atau kosinus.
D
Contoh Soal:
Diberikan prisma tegak segitiga ABC.DEF dengan
panjang rusuk
= cm,
= √ cm, dan
= cm.
Tinggi prisma adalah 20 cm. Volume prisma adalah ….
a.
√ cm3
b.
√ cm3
c.
√ cm3
d.
√ cm3
e.
√ cm3
E
A
C
B
Penyelesaian:
Perhatikan prisma tegak segitiga ABC.DEF berikut:
D
F
F
E
A
C
B
Perhatikan ∆
A
,
3 cm
C
6 cm
√ cm
B
Ingat lagi tentang luas segitiga,
alas – tinggi
=
×
sisi – sudut – sisi
=
sin
satu sisi dan semua sudut
=
sin sin
sin
=√
sisi – sisi – sisi
−
dimana =
−
−
+ +
Ternyata kita bisa menggunakan rumus = √
−
−
− .
Yang jadi masalah adalah ada sisi yang memuat bentuk akar. Repot deh perkaliannya nanti.
Pilih saja rumus luas segitiga yang
segitiga tersebut.
=
sin , dengan catatan kita harus tahu salah satu sudut dari
Akan dicari salah satu sudut segitiga (misalkan ∠ ), dengan diketahui 3 sisi segitiga. (3 sisi dan 1 sudut)
Pasti berlaku aturan kosinus, yaitu:
=
+
−
cos
Halaman 158
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Sehingga,
=
+
−
cos
⇒ cos
+
−
∙
∙
+( √ ) −
=
=
+
=
=
=
Jadi,
cos
=
√
√
( √ )
−
√
√
Nilai kosinus tersebut bisa dinyatakan pada segitiga siku-siku berikut,
B
√
√
5
Sehingga akan diperoleh nilai sinus dari ∠ ,
√
sin =
√
Dari nilai sinus ∠ dan panjang sisi
segitiga
, yaitu:
∆
=
=
=
dan
dan rumus luas segitiga
=
sin
diperoleh luas
sin ∠
( √ )
√ cm
√
√
Jadi, volum prisma tersebut adalah:
�=
×
= ∆
= √ ×
=
×
√ cm
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 159
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1.
Diketahui segienam beraturan. Jika jari-jari lingkaran luar segienam beraturan adalah 10 satuan, maka
luas segienam beraturan tersebut adalah ....
�
°
TRIK SUPERKILAT:
A. 150 satuan luas
sin
���−� =
Karena bangunnya adalah segienam, berarti
�
B. 150 2 satuan luas
° sudut pusatnya 60°, sementara jari-jari
sin
⇒ ���−6 =
lingkaran luar adalah bilangan bulat tanpa
C. 150 3 satuan luas
bentuk akar, jadi jawabannya pasti memuat
=
∙
∙
sin
°
D. 300 satuan luas
√ yang berasal dari nilai sin °. Dari sini
=
∙ √
E. 300 2 satuan luas
tanpa menghitung kita akan tahu bahwa
=
2.
A. 06 2 2 cm
�=√
C. 36 2 2 cm
+
−
∙ ∙ ∙ cos
D. 48 2 2 cm
���−�
=�∙� =�∙ √
E.
���−8
=
�
72 2 2 cm ⇒
+
−
�
°
∙ ∙ ∙ cos
√ ( − √ )
∙
�
°
=�∙ √
( − cos
�
°
)
√ − √ cm
=
Luas segi-12 beraturan adalah 192 cm2. Keliling segi-12 beraturan tersebut adalah ....
A. 96 2 3 cm
B. 96 2 3 cm
=
C. 8 2 3 cm
D. 8 2 3 cm
E.
�
4.
jawaban yang benar hanya C saja.
Panjang jari-jari lingkaran luar segidelapan beraturan adalah 6 cm. keliling segidelapan tersebut adalah ....
B. 12 2 2 cm
3.
√
128 3 cm
⇒
∙ ∙
∙ sin (
�=√
+
�
)⇒
− ∙ ∙ ∙ cos
���−�
=�∙� = �∙ √
���−8
=
=
∙
=
+
⇒
�
°
=
⇒
− ∙ ∙ ∙ cos
�
√ ( − √ )
=
°
cm
=�∙ √
( − cos
�
°
)
√ − √ cm
Keliling suatu segienam beraturan adalah 72 cm. Luas segienam tersebut adalah ....
�
°
TRIK SUPERKILAT:
Karena bangun
A. 432 3 cm
sin
���−� =
Karena segienam, berarti sudut
segienam, maka
�
B. 432 cm
pusatnya 60°, sementara jari-jari
segitiga yang
° lingkaran luar adalah bilangan
⇒ ���−6 =
sin
terbentuk adalah
C. 216 3 cm
bulat tanpa bentuk akar, jadi
D.
E.
216 2 cm
216 cm
segitiga sama sisi.
Akibatnya semua sisi
segitiga adalah 12 cm.
=
=
=
∙
∙ sin
∙ √
√ cm
°
jawabannya pasti memuat √
yang berasal dari nilai sin °. Dari
sini tanpa menghitung kita akan
tahu bahwa jawaban yang benar
hanya A atau C saja.
Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal
tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal
20November 2012 yang lalu.
Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html.
Pak Anang.
Halaman 160
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
UJIAN NASIONAL
TAHUN PELAJARAN 2012/2013
Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013
Matematika SMA
(Program Studi IPA)
Disusun oleh :
Pak Anang
SKL 4. Menggunakan perbandingan, fungsi, persamaan, identitas, dan rumus trigonometri dalam pemecahan masalah.
4. 1.
Menyelesaikan masalah geometri dengan menggunakan aturan sinus atau kosinus.
Nilai Perbandingan Trigonometri
Diperoleh dari sudut pada segitiga siku-siku
Kalau segitiganya nggak siku-siku. Gimana?
adalah sisi di depan sudut
adalah sisi di depan sudut
adalah sisi di depan sudut
Aturan Sinus dan Kosinus
Aturan Sinus
Aturan Kosinus
Ada dua pasangan sudut–sisi yang berhadapan
Diketahui dan ditanyakan sisi dan sudut
?
?
?
sisi – sudut – sudut
(diketahui satu sisi dan
dua sudut)
=
sin
?
sisi – sisi – sudut
sisi – sudut – sisi
(diketahui dua sisi dan
satu sudut di depannya)
sin
=
sisi – sisi – sisi
(diketahui dua sisi dan
sudut yang diapitnya)
=
sin
⇒ cos
(diketahui ketiga sisi
segitiga)
+
−
cos
+
=
−
Luas Segitiga
alas – tinggi
=
sisi – sudut – sisi
×
=
sin
=
⇒ = sin
Halaman 152
satu sisi dan semua sudut
sin
a
b
=
sin A sin B
sin
⇒ =
sin
=
sin sin
sin
=√
sisi – sisi – sisi
−
dimana =
−
−
+ +
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Luas Segitiga
sisi – sudut – sisi
=
sin
Luas Segi-n Beraturan
Misal segidelapan beraturan.
Maka segidelapan beraturan tersusun atas delapan segitiga sama kaki.
Masing-masing segitiga memiliki sudut pusat sebesar
6 °
8
=
°.
Sehingga luas segidelapan beraturan adalah delapan kali luas segitiga tersebut.
Luas dan Keliling
Segi-n Beraturan
�
°
sudut pusat =
=�∙
=� √
���°
�
sin (
− cos
�
°
)
6 °
�
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 153
LOGIKA PRAKTIS Aturan Sinus dan Aturan Kosinus:
Segitiga punya tiga unsur atau komponen penyusun, yaitu 3 sisi dan 3 sudut. Untuk menyelesaikan masalah
segitiga dengan aturan sinus atau kosinus maka perlu diperhatikan acuan sebagai berikut:
Komponen yang diketahui dan ditanyakan dari segitiga adalah 3 sisi dan 1 sudut, maka penyelesaiannya adalah
harus menggunakan aturan kosinus.
Komponen yang diketahui dan ditanyakan dari segitiga adalah 2 sisi dan 2 sudut, maka penyelesaiannya adalah:
-
Jika masing-masing sisi dan sudut saling berhadapan, maka harus menggunakan aturan sinus.
Jika masing-masing sisi dan sudut tidak saling berhadapan, maka periksa dulu apakah:
o Diketahui dua sudut, maka penyelesaiannya harus mencari sudut ketiga dulu menggunakan sifat
sudut segitiga 180°, dan dilanjutkan menggunakan aturan sinus.
o Diketahui satu sudut, maka penyelesaiannya bisa menggunakan aturan kosinus untuk mencari satu
sisi yang lain, lalu dilanjutkan dengan aturan sinus. (Atau apabila ada satu pasangan sisi sudut yang
berhadapan, bisa menggunakan aturan sinus dulu untuk menentukan pasangan sudut yang lain, lalu
menggunakan sifat sudut segitiga 180°)
Atau bisa digambarkan seperti berikut:
Periksa jumlah komponen
yang diketahui dan ditanyakan
3 sisi dan 1 sudut
2 sisi dan 2 sudut
Periksa!
Apakah kedua pasangan
sisi dan sudut tersebut
saling berhadapan
Gunakan aturan kosinus
Halaman 154
Saling berhadapan
Ada yang tidak berhadapan
Gunakan aturan sinus
Periksa!
Berapa jumlah sudut
yang diketahui
Dua sudut
Satu sudut
Cari sudut ketiga, lalu
gunakan aturan sinus
Gunakan aturan kosinus
dilanjutkan dengan
aturan sinus
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Tipe Soal yang Sering Muncul
Menentukan unsur atau komponen segitiga menggunakan aturan sinus atau kosinus.
Contoh Soal:
Diberikan segi empat ABCD seperti gambar di bawah!
Panjang BC adalah ….
√ cm B
a. √ cm
A
60°
b. √ cm
c.
√ cm
30°
45°
d. √ cm
D
C
e. √ cm
Penyelesaian:
Pertama kita mempertimbangkan apakah kita akan menggunakan aturan sinus atau aturan kosinus.
Lalu pada segitiga yang mana kita akan menerapkan aturan sinus atau kosinus tersebut.
Perhatikan gambar, terlihat ada dua segitiga.
1. ∆
dengan diketahui 1 sisi dan 1 sudut.
2. ∆
dengan diketahui 1 sisi dan 2 sudut.
Nah, ternyata ∆
tidak bisa kita terapkan aturan sinus atau kosinus, karena aturan sinus dan kosinus
bisa digunakan jika minimal diketahui 3 atau lebih unsur atau komponen dari segitiga!
Sekarang amati ∆
ternyata sudah diketahui 3 komponen segitiga, sehingga agar ∆
minimal 3 komponen maka kita harus mencari panjang
terlebih dahulu.
Perhatikan ∆
,
A
?
D
30°
45°
C
Diketahui 1 sisi dan 2 sudut, ditanyakan 1 sisi . (2 sisi dan 2 sudut)
Periksa apakah kedua pasang sisi dan sudut saling berhadapan?
Ya! Maka pada ∆
berlaku aturan sinus:
sin
=
sin
⇒
=
=
sin
=
√
=
√
=
Nah, sekarang perhatikan ∆
√ cm B
A
60°
?
× sin
sin
=
√ cm
tepat diketahui
°
×
√
×
√
× sin
√
√
°
rasionalisasi penyebut bentuk akar
= √ cm
,
Diketahui 2 sisi dan 1 sudut, ditanyakan 1 sisi
Pasti berlaku aturan kosinus pada ∆
:
=
=(
C
=
Jadi,
=
=
=√
+
−
cos
√ ) +( √ ) − (
+
−
cm
=√
−
∙
√ = √ cm
. (3 sisi dan 1 sudut)
√ )( √ ) cos
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 155
Menentukan luas segi-n beraturan.
Contoh Soal:
Luas segi-12 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 8 cm adalah ….
a. 192 cm2
b. 172 cm2
c. 162 cm2
d. 148 cm2
e. 144 cm2
Penyelesaian:
Ingat luas segitiga:
sisi – sudut – sisi
=
sin
Segi-12 beraturan terdiri atas 12 segitiga yang kongruen, jadi kita cukup mencari luas salah satu segitiga
penyusun segi-12 beraturan tersebut.
Perhatikan ∆ � ,
∆ � = � � sin ∠ �
O
�
A
B
=
=
=
∙ ∙ ∙ sin
∙
°
cm
Jadi, luas segi-12 beraturan adalah:
× ∆ �
���−
�
� =
=
∙
=
cm
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Ingat luas segi-n beraturan dengan jari-jari lingkaran luar adalah:
°
sin
=
∙ ∙ ∙ sin ° =
cm
���−� �
� =�∙
�
Halaman 156
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menentukan keliling segi-n beraturan.
Contoh Soal:
Keliling segi-12 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 8 cm adalah ….
√ + √ cm
a.
b.
c.
d.
√ − √ cm
√ + √ cm
√ − √ cm
e. √
− √ cm
Penyelesaian:
Segi-12 beraturan terdiri atas 12 segitiga yang kongruen, jadi kita cukup mencari panjang keliling pada
salah satu segitiga penyusun segi-12 beraturan tersebut, yaitu panjang sisi
.
Perhatikan ∆ � ,
Diketahui 2 sisi dan 1 sudut ditanyakan 1 sisi
Pasti berlaku aturan kosinus:
= + −
cos �
=
+
−
cos
=
O
=
�
=
A
+
=
Jadi,
−
=√
B
−
−
. (3 sisi dan 1 sudut)
∙ √
√ cm
√ cm
Sehingga, keliling segi-12 beraturan adalah
×
���−
�
� =
=
√
=
× √ − √ cm
=
=
×√
−
√ cm
√ − √ cm
√ − √ cm
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Ingat keliling segi-n beraturan dengan jari-jari lingkaran luar adalah:
���−� �
�
=� √
− cos � =
∙
∙√ ( − √ )=
√ − √ cm
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 157
Menentukan volume bangun ruang menggunakan aturan sinus atau kosinus.
D
Contoh Soal:
Diberikan prisma tegak segitiga ABC.DEF dengan
panjang rusuk
= cm,
= √ cm, dan
= cm.
Tinggi prisma adalah 20 cm. Volume prisma adalah ….
a.
√ cm3
b.
√ cm3
c.
√ cm3
d.
√ cm3
e.
√ cm3
E
A
C
B
Penyelesaian:
Perhatikan prisma tegak segitiga ABC.DEF berikut:
D
F
F
E
A
C
B
Perhatikan ∆
A
,
3 cm
C
6 cm
√ cm
B
Ingat lagi tentang luas segitiga,
alas – tinggi
=
×
sisi – sudut – sisi
=
sin
satu sisi dan semua sudut
=
sin sin
sin
=√
sisi – sisi – sisi
−
dimana =
−
−
+ +
Ternyata kita bisa menggunakan rumus = √
−
−
− .
Yang jadi masalah adalah ada sisi yang memuat bentuk akar. Repot deh perkaliannya nanti.
Pilih saja rumus luas segitiga yang
segitiga tersebut.
=
sin , dengan catatan kita harus tahu salah satu sudut dari
Akan dicari salah satu sudut segitiga (misalkan ∠ ), dengan diketahui 3 sisi segitiga. (3 sisi dan 1 sudut)
Pasti berlaku aturan kosinus, yaitu:
=
+
−
cos
Halaman 158
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Sehingga,
=
+
−
cos
⇒ cos
+
−
∙
∙
+( √ ) −
=
=
+
=
=
=
Jadi,
cos
=
√
√
( √ )
−
√
√
Nilai kosinus tersebut bisa dinyatakan pada segitiga siku-siku berikut,
B
√
√
5
Sehingga akan diperoleh nilai sinus dari ∠ ,
√
sin =
√
Dari nilai sinus ∠ dan panjang sisi
segitiga
, yaitu:
∆
=
=
=
dan
dan rumus luas segitiga
=
sin
diperoleh luas
sin ∠
( √ )
√ cm
√
√
Jadi, volum prisma tersebut adalah:
�=
×
= ∆
= √ ×
=
×
√ cm
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 159
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1.
Diketahui segienam beraturan. Jika jari-jari lingkaran luar segienam beraturan adalah 10 satuan, maka
luas segienam beraturan tersebut adalah ....
�
°
TRIK SUPERKILAT:
A. 150 satuan luas
sin
���−� =
Karena bangunnya adalah segienam, berarti
�
B. 150 2 satuan luas
° sudut pusatnya 60°, sementara jari-jari
sin
⇒ ���−6 =
lingkaran luar adalah bilangan bulat tanpa
C. 150 3 satuan luas
bentuk akar, jadi jawabannya pasti memuat
=
∙
∙
sin
°
D. 300 satuan luas
√ yang berasal dari nilai sin °. Dari sini
=
∙ √
E. 300 2 satuan luas
tanpa menghitung kita akan tahu bahwa
=
2.
A. 06 2 2 cm
�=√
C. 36 2 2 cm
+
−
∙ ∙ ∙ cos
D. 48 2 2 cm
���−�
=�∙� =�∙ √
E.
���−8
=
�
72 2 2 cm ⇒
+
−
�
°
∙ ∙ ∙ cos
√ ( − √ )
∙
�
°
=�∙ √
( − cos
�
°
)
√ − √ cm
=
Luas segi-12 beraturan adalah 192 cm2. Keliling segi-12 beraturan tersebut adalah ....
A. 96 2 3 cm
B. 96 2 3 cm
=
C. 8 2 3 cm
D. 8 2 3 cm
E.
�
4.
jawaban yang benar hanya C saja.
Panjang jari-jari lingkaran luar segidelapan beraturan adalah 6 cm. keliling segidelapan tersebut adalah ....
B. 12 2 2 cm
3.
√
128 3 cm
⇒
∙ ∙
∙ sin (
�=√
+
�
)⇒
− ∙ ∙ ∙ cos
���−�
=�∙� = �∙ √
���−8
=
=
∙
=
+
⇒
�
°
=
⇒
− ∙ ∙ ∙ cos
�
√ ( − √ )
=
°
cm
=�∙ √
( − cos
�
°
)
√ − √ cm
Keliling suatu segienam beraturan adalah 72 cm. Luas segienam tersebut adalah ....
�
°
TRIK SUPERKILAT:
Karena bangun
A. 432 3 cm
sin
���−� =
Karena segienam, berarti sudut
segienam, maka
�
B. 432 cm
pusatnya 60°, sementara jari-jari
segitiga yang
° lingkaran luar adalah bilangan
⇒ ���−6 =
sin
terbentuk adalah
C. 216 3 cm
bulat tanpa bentuk akar, jadi
D.
E.
216 2 cm
216 cm
segitiga sama sisi.
Akibatnya semua sisi
segitiga adalah 12 cm.
=
=
=
∙
∙ sin
∙ √
√ cm
°
jawabannya pasti memuat √
yang berasal dari nilai sin °. Dari
sini tanpa menghitung kita akan
tahu bahwa jawaban yang benar
hanya A atau C saja.
Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal
tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal
20November 2012 yang lalu.
Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html.
Pak Anang.
Halaman 160
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)