Model Optimasi Penjadwalan Kereta Api (Studi Kasus Pada Jadwal Kereta Api Di Pt Kereta Api Indonesia (Persero) Daop 2 Bandung Lintasan Bandung - Cicalengka).

MODEL OPTIMASI PENJADWALAN KERETA API

(Studi Kasus pada Jadwal Kereta Api di PT Kereta Api Indonesia (Persero) Daop 2 Bandung Lintasan Bandung – Cicalengka)

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Sebagian dari Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika Konsentrasi Terapan

Oleh

DWI AGUSTINA SAPRIYANTI 0902313

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

DWI AGUSTINA SAPRIYANTI

MODEL OPTIMASI PENJADWALAN KERETA API (STUDI KASUS PADA JADWAL KERETA API

DI PT KERETA API INDONESIA (PERSERO) DAOP 2 BANDUNG LINTASAN BANDUNG - CICALENGKA)

DISETUJUI DAN DISAHKAN OLEH PEMBIMBING :

Pembimbing I

Khusnul Novianingsih, S.Si., M.Si. NIP. 197711282008122001

Pembimbing II

Husty Serviana Husain, S.Si., M.Si. NIP. 198009182008122002

Mengetahui,

Ketua Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA UPI

Drs. Turmudi, M.Ed., M.Sc., Ph.D. NIP. 196101121987031003

MODEL OPTIMASI PENJADWALAN KERETA API

(Studi Kasus pada Jadwal Kereta Api di PT Kereta Api Indonesia (Persero) Daop 2 Bandung Lintasan Bandung – Cicalengka)

Oleh

Dwi Agustina Sapriyanti

Sebuah skripsi yang diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana pada Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

© Dwi Agustina Sapriyanti 2013 Universitas Pendidikan Indonesia

Agustus 2013

Hak Cipta dilindungi undang-undang.

Skripsi ini tidak boleh diperbanyak seluruhya atau sebagian, dengan dicetak ulang, difoto kopi, atau cara lainnya tanpa ijin dari penulis.

MODEL OPTIMASI PENJADWALAN KERETA API (STUDI KASUS PADA JADWAL KERETA API

DI PT KERETA API INDONESIA (PERSERO) DAOP 2 BANDUNG LINTASAN BANDUNG - CICALENGKA)

ABSTRAK

Kereta api merupakan angkutan umum yang banyak diminati oleh masyarakat khususnya di daerah Bandung, oleh karena itu diperlukan penjadwalan yang tepat agar dapat mengoptimalkan waktu tempuh kereta api. Pada skripsi ini dibangun sebuah model optimasi penjadwalan kereta api dengan pendekatan integer programming yang meminimumkan waktu keterlambatan di lintasan Bandung – Cicalengka. Untuk menyelesaikan optimasi tersebut digunakan algoritma branch and bound. Branch and bound secara sistematis mengabaikan sekumpulan kandidat solusi yang tidak potensial menuju solusi optimal dengan menggunakan estimasi batas atas dan batas bawah (upper and lower estimated bounds) dari kuantitas yang dioptimasi. Berdasarkan model optimasi yang telah dibangun, waktu keterlambatan yang diperoleh di lintasan Bandung – Cicalengka adalah sebesar 630 menit.

OPTIMIZATION MODEL OF TRAIN SCHEDULING (A CASE STUDY OF TRAIN SCHEDULE

IN PT KERETA API INDONESIA (PERSERO) DAOP 2 BANDUNG PATH BANDUNG – CICALENGKA)

ABSTRACT

Train is public transportation which attracts many people especially in Bandung area, due to that reason the precise scheduling is needed in order to optimalize train scheduling through integer programming approach which minimizes delay in path Bandung-Cicalengka. To solve the optimization, branch and bound is systematically neglect a group of solution candidate which is not potential towards optimum solution by using upper and lower estimated bounds from optimized quantity. Based on optimization model which has been built, delay which is acquired in path Bandung-Cicalengka as much 630 minutes.

DAFTAR ISI

PERNYATAAN ……….. ABSTRAK ………... ABSTRACT ……….... KATA PENGANTAR ………. UCAPAN TERIMAKASIH ……… DAFTAR ISI ………... DAFTAR GAMBAR ………... DAFTAR TABEL ………... DAFTAR LAMPIRAN ………... BAB I PENDAHULUAN ………

1.1Latar Belakang ………..

1.2Batasan Masalah ………

1.3Rumusan Masalah ………..

1.4Tujuan Penulisan ………...

1.5Manfaat Penulisan ……….

1.5.1 Aspek Teoritis ………

1.5.2 Aspek Praktis ………..

1.6Sistematika Penulisan ………

BAB II KAJIAN TEORI……….. 2.1Linear Programming(Pemrograman Linear) ………....

2.2Integer Linear Programming ……….

2.3Algoritma Branch and Bound ………

BAB III DESKRIPSI DAN PEMODELAN MASALAH ………...

3.1 Deskripsi Permasalahan ………

3.2 Asumsi ………..

3.3 Model Matematika ………

3.3.1 Himpunan, Parameter, dan Variabel ………

3.3.2 Fungsi Tujuan ………..

3.3.3 Kendala –kendala ………

i ii iii iv v vii ix x xi 1 1 2 2 3 3 3 3 3 5 5 7 9 13 13 13 14 14 15 15

3.4 Teknik Penyelesaian ……….

3.5 Contoh Kasus Sederhana ………..

BAB IV STUDI KASUS PENJADWALAN KERETA API PADA JADWAL KERETA API PT KERETA API INDONESIA DAOP 2

BANDUNG LINTASAN BANDUNG – CICALENGKA ……….…

4.1Himpunan dan Parameter ………..…

4.2Hasil ………...

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ……….. DAFTAR PUSTAKA ……….. LAMPIRAN ………

16 17

23 25 28 35 36 37

DAFTAR GAMBAR

Gambar Hal.

Gambar 2.1 Cabang-cabang permasalahan masalah integer programming... Gambar 2.2 Bagan Algoritma Branch and Bound………...

Gambar 3.1 Contoh jalur kereta api antara Stasiun A dan Stasiun B ……….. Gambar 3.2 Lintasan Kereta Api Stasiun A –Stasiun C ………. Gambar 4.1 Lintasan Kereta Api Stasiun Bandung – Stasiun Cicalengka …..

9 12 13 17 23

DAFTAR TABEL

Tabel Hal.

Tabel 3.1 Waktu tinggal minimal untuk masing-masing kereta api pada

setiap rel ………...

Tabel 3.2 waktu tinggal maksimal untuk masing-masing kereta api pada setiap rel ………... Tabel 3.3 Jadwal Keberangkatan dari Stasiun A menuju Stasiun C ………… Tabel 3.4 Jadwal Keberangkatan dari Stasiun C menuju Stasiun A ………… Tabel 4.1 Waktu Kedatangan Kereta Api ………... Tabel 4.2 Jalur yang Ditempuh Masing-masing Kereta Api ………... Tabel 4.3 Selisih minimum antara kereta api k dan l saat menggunakan rel i

secara berurutan ………...

Tabel 4.4 Keterlambatan Masing-masing Kereta Api ………. Tabel 4.5 Jadwal Kereta Api Bandung –Cicalengka ……….. Tabel 4.6 Jadwal Kereta Api Cicalengka –Bandung ………..

19

19 22 22 24 26

28 28 31 33

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran Hal.

Lampiran 1 Syntax LINGO 10 Contoh Kasus Sederhana ………... Lampiran 2. Syntax LINGO 10 Contoh Kasus Sederhana Penjadwalan

Kereta Api ………

Lampiran 2 dan untuk masing-masing kereta api …….……….... Lampiran 4. Output Waktu Kedatangan Kereta Api pada Microsoft Excel …

Lampiran 5. Output Waktu Keberangkatan Kereta Api pada Microsoft Excel

38

40 44 51 56

1

BAB I PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Kereta api adalah sarana transportasi berupa kendaraan dengan tenaga gerak, baik berjalan sendiri maupun dirangkaikan dengan kendaraan lainnya, yang akan ataupun sedang bergerak di rel. Kereta api merupakan alat transportasi massal yang umumnya terdiri dari lokomotif (kendaraan dengan tenaga gerak yang berjalan sendiri) dan rangkaian kereta atau gerbong (dirangkaikan dengan kendaraan lainnya). Rangkaian kereta atau gerbong tersebut berukuran relatif luas sehingga mampu memuat penumpang maupun barang dalam skala besar. Karena sifatnya sebagai angkutan massal efektif, beberapa negara berusaha memanfaatkannya secara maksimal sebagai alat transportasi utama angkutan darat baik di dalam kota, antarkota, maupun antarnegara (Wikipedia: 2013).

Di Indonesia, khusunya di daerah Bandung kereta api merupakan salah satu angkutan darat yang banyak diminati masyarakat, hal ini dikarenakan biaya yang relatif murah dan waktu tempuh yang cepat dibandingkan angkutan darat lainnya. Selain itu, kelebihan kereta api lainnya adalah ramah lingkungan dan relatif aman. Oleh karena itu, diperlukan penjadwalan yang tepat agar dapat mengoptimalkan perjalanan kereta api. Sistem penjadwalan kereta api merupakan masalah yang tidak mudah untuk dipecahkan karena harus memperhatikan banyak aturan dan batasan, salahsatunya adalah jalur yang digunakan merupakan jalur tunggal yaitu jalur yang digunakan untuk dua arah yang berbeda. Jadwal berisi tentang waktu kedatangan dan waktu keberangkatan kereta api pada setiap stasiun yang dilewati kereta api tersebut.

Dalam skripsi ini akan dibahas penyelesaian masalah penjadwalan kereta api dengan pendekatan integer linear programming (ILP). Integer linear programming atau integer programming adalah optimasi matematika untuk menemukan solusi dimana setiap solusinya berupa bilangan bulat. Dalam hal ini akan dibuat sebuah model matematis untuk meminimumkan waktu keterlambatan kereta api dengan tidak melanggar kapasitas jalur yang ada dan memperhatikan

2

beberapa batasan yang lain, diantaranya adalah batasan waktu penggunaan rel kereta api dan aturan selisih waktu untuk dua kereta api agar kedua kereta api tersebut tidak bertabrakan. Untuk menyelesaikan model integer programming

yang telah dibuat digunakan algoritma branch and bound. Menurut Suyanto (2010 : 81) branch and bound adalah suatu algoritma umum untuk pencarian solusi optimal dari berbagai masalah optimasi, khususnya optimasi diskrit. Branch and bound secara sistematis mengabaikan sekumpulan kandidat solusi yang tidak potensial menuju solusi optimal dengan menggunakan estimasi batas atas dan batas bawah (upper and lower estimated bounds) dari kuantitas yang dioptimasi. Metode ini pertama kali diusulkan oleh A. H. Land & A. G. Doig pada tahun 1960.

1.2Batasan Masalah

Batasan-batasan masalah penjadwalan kereta api yang akan dibahas dalam skripsi ini terdiri dari:

1. Jalur kereta api yang digunakan adalah jalur tunggal, yaitu jalur kereta yang dapat dipergunakan untuk dua arah yang berbeda.

2. Parameter penjadwalan yang digunakan adalah jumlah rangkaian kereta api, kapasitas jalur yang tersedia, dan waktu penggunaan rel untuk setiap kereta api.

3. Metode yang digunakan untuk penyelesaian pemodelan integer programming adalah menggunakan metode branch and bound.

1.3Rumusan Masalah

Masalah yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah: 1. Bagaimana memodelkan masalah penjadwalan kereta api?

2. Bagaimana menyelesaikan masalah optimasi dari masalah penjadwalan kereta api?

3. Apakah model matematika yang dibangun pada jadwal di PT Kereta Api Indonesia (Persero) Daop 2 Bandung lintasan Bandung–Cicalengka dapat diaplikasikan?

3

1.4Tujuan Penulisan

Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah:

1. Membangun model optimasi dari masalah penjadwalan kereta api.

2. Menyelesaikan masalah optimasi dari masalah penjadwalan kereta api sehingga diperoleh jadwal kereta api yang dapat meminimumkan waktu keterlambatan.

3. Mendapatkan jadwal kereta api di PT Kereta Api Indonesia (Persero) Daop 2 Bandung lintasan Bandung – Cicalengka yang meminimumkan waktu keterlambatan.

1.5Manfaat Penulisan 1.5.1 Aspek Teoritis

Melalui skripsi ini diharapkan dapat memperkaya, memperluas, dan memperdalam wawasan serta pengetahuan mengenai model optimasi matematika terutama bentuk integer programming.

1.5.2 Aspek Praktis

Manfaat yang diperoleh melalui penulisan skripsi ini adalah dapat menemukan jadwal yang optimal sehingga dapat meminimumkan waktu keterlambatan kereta api dari stasiun asal ke stasiun tujuan sehingga dapat dijadikan referensi jadwal bagi petugas penyelenggara kereta api.

1.6Sistematika Penulisan BAB I PENDAHULUAN

Bab ini memberikan penjelasan tentang latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan, manfaat, dan sistematika penulisan skripsi.

BAB II KAJIAN PUSTAKA

Bab ini menguraikan teori dan konsep yang berhubungan dengan masalah yang diangkat dalam topik skripsi ini.

4

BAB III DESKRIPSI DAN FORMULASI PERMASALAHAN

Bab ini berisikan deskripsi dan pemodelan masalah untuk meminimumkan jumlah keterlambatan kereta api.

BAB IV STUDI KASUS PENJADWALAN KERETA API PADA JADWAL KERETA API PT KERETA API INDONESIA DAOP 2 BANDUNG LINTASAN BANDUNG – CICALENGKA

Pada bab ini akan dibahas mengenai studi kasus yang dilakukan terhadap jadwal yang diperoleh dari PT Kereta Api Indonesia (Persero) Daop 2 Bandung.

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

Bab ini berisikan kesimpulan dan rekomendasi dari hasil-hasil penerapan integer programming yang telah dipaparkan dalam bab sebelumnya, serta menjawab rumusan masalah yang telah dikemukakan.

13

BAB III

DESKRIPSI DAN FORMULASI PERMASALAHAN

3.1 Deskripsi Permasalahan

Perjalanan kereta api didefinisikan sebagai kereta api yang bergerak dari stasiun asal ke stasiun tujuan melewati sejumlah rel. Setiap perjalanan diberikan waktu kedatangan awal. Selain itu, setiap perjalanan mempunyai waktu tinggal minimal dan maksimal di setiap rel yang digunakan. Untuk rel yang berada di stasiun, waktu tinggal merupakan waktu untuk menghentikan perjalanan kereta api di stasiun itu. Sedangkan, untuk rel yang tidak berada di stasiun, waktu tinggal adalah waktu tempuh kereta api di rel tersebut. Berdasarkan banyaknya kereta api yang ditugaskan dan kapasitas jalur yang tersedia, akan dibuat sebuah penjadwalan kereta api yang meminimalkan waktu keterlambatan.

Stasiun A Stasiun B

Gambar 3.1 Contoh jalur kereta api antara Stasiun A dan Stasiun B (1, 2, 3, 4, dan 5 adalah rel yang terdapat sepanjang jalur

antara Stasiun A dan Stasiun B)

3.2 Asumsi

Pada skripsi ini digunakan asumsi-asumsi berikut:

1. Jenis kereta api yang digunakan ada empat yaitu kereta kereta api lokal ekonomi, kereta api lokal patas, kereta api ekspres jarak jauh, dan kereta api ekonomi jarak jauh. Kecepatan masing-masing kereta api tergantung kepada jenis kereta api dan dianggap konstan, ini menyebabkan waktu tinggal di setiap rel berbeda-beda, baik di rel yang berada di dalam stasiun maupun di luar stasiun.

2. Jadwal perjalanan kereta api yang akan ditentukan adalah jadwal perjalanan untuk satu hari.

1 2

3

4 5

14

3. Tidak ada prioritas kereta api.

3.3 Model Matematika

Sebelum memodelkan permasalahan penjadwalan kereta api ini diperlukan beberapa definisi dari himpunan, parameter, dan variabel yang diperlukan. Model matematika yang digunakan dalam skripsi ini merupakan kajian dari Transportation research part B, 43:837-851 karangan Yusin Lee dan Chuen-Yih Chen pada tahun 2009.

3.3.1 Himpunan, Parameter, dan Variabel a. Himpunan

: Himpunan kereta api : Himpunan rel

: Himpunan stasiun

: Himpunan dari semua rel yang dilewati oleh kereta api k

: Himpunan rel yang berada di stasiun : Himpunan rel yang berada di luar stasiun b. Parameter

: Waktu minimal yang diperlukan oleh kereta api k untuk menyelesaikan perjalanan

_{: Waktu tinggal minimal untuk kereta api k pada rel i}

_{: Waktu tinggal maksimal untuk kereta api k pada rel i} : Rel pertama yang digunakan oleh kereta api k

: Rel terakhir yang digunakan oleh kereta api k

: Rel yang digunakan oleh kereta api k sebelum menggunakan rel i

: Selisih minimum antara kereta api k dan l saat menggunakan rel i secara berurutan

15

c. Variabel

: Total waktu keterlambatan untuk kereta api k (menit)

: Waktu ketika kereta api k memasuki rel i (menit) : Waktu ketika kereta api k meninggalkan rel i (menit) : Waktu keterlambatan kereta api k pada rel i (menit)

3.3.2 Fungsi Tujuan

Fungsi tujuan permasalahan ini adalah untuk meminimumkan waktu keterlambatan seluruh kereta api, sehingga dapat dirumuskan dalam fungsi berikut:

Minimumkan ∑ (3.1)

3.3.3 Kendala – kendala

Adapun kendala-kendala yang harus dipenuhi terdiri dari: 1. Setiap kereta api k menempati rel i paling sedikit selama .

(3.2)

2. Jika kereta api k menggunakan rel i lebih dari kelebihan waktu tersebut dianggap sebagai keterlambatan.

(3.3)

3. Aturan penggunaan satu rel oleh dua kereta pada saat yang bersamaan, sehingga harus ada selisih minimum waktu agar kedua kereta tidak bertabrakan.

(3.4)

4. Waktu kereta api k meninggalkan rel yang telah digunakannya tepat sebelum memasuki rel i sama dengan waktu kereta api k memasuki rel i.

(3.5)

5. Waktu saat kereta api k meninggalkan jalur terakhir dikurangi waktu saat kereta api k memasuki jalur pertama sama dengan total keterlambatan kereta api k ditambah dengan waktu minimal yang diperlukan kereta api k

16

(3.6)

6. Variabel bernilai non-negatif dan integer.

dan integer dan integer dan integer

dan integer

(3.7)

Selengkapnya, model matematika dari masalah penjadwalan kereta api dirumuskan dalam model integer programming sebagai berikut:

Minimumkan ∑

berdasar

dan integer dan integer dan integer

dan integer

3.4 Teknik Penyelesaian

Teknik penyelesaian yang digunakan untuk menyelesaikan model integer programming di atas adalah menggunakan algoritma branch and bound. Pada bab sebelumnya telah dipaparkan mengenai algoritma branch and bound, berikut merupakan langkah-langkah algoritma branch and bound menurut Hartanto :

1. Selesaikan integer programming dengan metode simpleks biasa tanpa pembatasan bilangan bulat.

17

2. Teliti solusi optimumnya. Jika variabel basis yang diharapkan bulat, solusi optimum bulat telah tercapai. Jika satu atau lebih variabel basis yang diharapkan bulat ternyata tidak bulat, lanjutkan ke langkah 3. 3. Nilai solusi pecah yang layak dicabangkan ke dalam sub-sub masalah.

Tujuannya adalah untuk menghilangkan solusi kontinyu yang tidak memenuhi persyaratan bulat dalam masalah itu. Pencabangan itu dilakukan melalui kendala-kendala mutually exclusive yang perlu untuk memenuhi persyaratan bulat dengan jaminan tidak ada solusi bulat layak yang tidak diikut sertakan.

4. Untuk setiap sub-masalah, nilai solusi optimum fungsi tujuan ditetapkan sebagai batas atas. Solusi bulat terbaik menjadi batas bawah (pada awalnya, ini adalah solusi kontinyu yang dibulatkan ke bawah). Sub-sub masalah yang memiliki batas atas kurang dari batas bawah yang ada, tidak diikut sertakan pada analisa selanjutnya. Suatu solusi bulat layak adalah sama baik atau lebih baik dari batas atas untuk setiap sub masalah yang dicari. Jika solusi yang demikian terjadi, suatu sub masalah dengan batas atas terbaik dipilih untuk dicabangkan. 5. Kembali ke langkah 3.

3.5 Contoh Kasus Sederhana

Berikut ini disajikan contoh kasus dalam masalah penjadwalan kereta api. Misalkan terdapat tiga stasiun yaitu Stasiun A, Stasiun B, dan Stasiun C. Masing-masing stasiun memiliki kapasitas dua rel dan antar stasiun dihubungkan oleh satu rel seperti disajikan dalam gambar berikut.

Gambar 3.2 Lintasan Kereta Api Stasiun A – Stasiun C Stasiun A Stasiun B Stasiun C

1

2

3

4

5

6

7

18

Dalam masalah penjadwalan ini terdapat dua jenis kereta yaitu kereta patas dan kereta ekonomi, kereta patas hanya berhenti di Stasiun A dan Stasiun C, sedangkan kereta ekonomi berhenti di Stasiun A, Stasiun B, dan Stasiun C. Terdapat 2 rangkaian kereta patas yaitu kereta 1 dan 2, dan terdapat 2 rangkaian kereta ekonomi yaitu kereta 3 dan 4. Kecepatan masing-masing kereta diasumsikan sama.

Sebelum memodelkan masalah penjadwalan kereta api ini ke dalam model matematika, perlu didefinisikan mengenai himpunan dan parameter dari permasalahan ini.

a. Himpunan

: {1, 2, 3, 4}

: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

: {Stasiun A, Stasiun B, Stasiun C} : {1, 3, 4, 6, 7}

: {7, 6, 4, 3, 1} : {2, 3, 5, 6, 8} : {8, 6, 5, 3, 2} : {1, 2, 4, 5, 7, 8} : {3, 6}

: {1, 2, 3, 4}

: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} : 24

: 24 : 27 : 27

_{: Waktu tinggal minimal untuk kereta api k pada rel i}

19

Tabel 3.1 Waktu tinggal minimal untuk masing-masing kereta api pada setiap rel Rel

Kereta 1 2 3 4 5 6 7 8

1 6 0 5 3 0 4 6 0

2 6 0 5 3 0 4 6 0

3 0 6 5 0 6 4 0 6

4 0 6 5 0 6 4 0 6

Tabel 3.2 waktu tinggal maksimal untuk masing-masing kereta api pada setiap rel Rel

Kereta 1 2 3 4 5 6 7 8

1 8 0 8 5 0 7 8 0

2 8 0 8 5 0 7 8 0

3 0 8 8 0 8 7 0 8

4 0 8 8 0 8 7 0 8

: {1} : {7} : {2} : {8} : {7} : {1} : {8} : {2}

: 5, = 3 dan 4, = 6

Model penjadwalan ini selanjutnya dapat diformulasikan ke dalam bentuk

integer programming sebagai berikut. Minimumkan ∑

20

Dengan kendala

1.

 Untuk kereta 1

 Untuk kereta 3  Untuk kereta 2

 Untuk kereta 4 2.

 Untuk kereta 1  Untuk kereta 2

 Untuk kereta 3  Untuk kereta 4

3.

21

 Untuk rel 3

 Untuk rel 6 4.

 Untuk kereta 1  Untuk kereta 2

 Untuk kereta 3  Untuk kereta 4

5.

6. dan integer

Model matematika di atas diselesaikan menggunakan software LINGO 10 dan menghasilkan fungsi objektif sebesar 44, ini berarti total keterlambatan seluruh kereta api adalah 44 menit. Kereta api 1 mengalami keterlambatan 8

22

menit, kereta api 2 terlambat 13 menit, kereta api 3 terlambat 8 menit, dan kereta api 4 terlambat 15 menit.

Berikut ini merupakan jadwal yang diperoleh menggunakan software

LINGO 10:

Tabel 3.3 Jadwal Keberangkatan dari Stasiun A menuju Stasiun C

A B C

Dat Ber Dat Ber Dat Ber Menit ke-

Patas 1 5 11 16 27 31 37

Ekonomi 1 10 21 26 35 39 45

Tabel 3.4 Jadwal Keberangkatan dari Stasiun C menuju Stasiun A

C B A

Dat Ber Dat Ber Dat Ber Menit ke-

Patas 2 5 11 15 31 36 42

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1Kesimpulan

Berdasarkan hasil pembahasan yang telah dilakukan, maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut:

1. Masalah penjadwalan kereta api dapat dimodelkan dalam bentuk model

integer programming dengan fungsi objektif meminimumkan total waktu keterlambatan kereta api yang ada.

2. Dengan menerapkan algoritma branch and bound model penjadwalan kereta api dapat diselesaikan sehingga menghasilkan penjadwalan kereta yang optimal, yaitu jadwal kereta api yang akan meminimumkan total waktu keterlambatan kereta api.

3. Implementasi model matematika yang dibangun untuk kasus penjadwalan kereta di PT Kereta Api Indonesia (Persero) Daop 2 Bandung lintasan Bandung – Cicalengka menunjukkan bahwa model tersebut dapat diaplikasikan dengan baik (well implemented).

5.2Saran

Setelah membahas dan menerapkan pendekatan integer programming

dalam masalah penjadwalan keret api, penulis dapat memberikan saran sebagai berikut.

1. Model penjadwalan kereta api ini dapat dikembangkan misalnya dengan menambahkan kendala supaya dapat meminimumkan biaya operasional, adanya prioritas kereta api, dan lain sebagainya.

2. Menggunakan model linear programming yang lain untuk mencari jadwal kereta api yang optimal.

DAFTAR PUSTAKA

Anonim. (2003). Operation Research : 343. [Online]. Tersedia : http://www.doc.ic.ac.uk/~br/berc/linearprog.pdf

Hartanto, Eko. (t.t). Integer Programming. [Online]. Tersedia : http://eko_hartanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/28374/Integer.pd f [11 Maret 2013]

Kaufmann, Arnold. (1964). Methods and Models of Operations Research. London : Prentice-Hall, Inc

Komarudin. (2012). Algoritma Branch And Bound untuk Programa Integer.

[Online]. Tersedia :

http://staff.blog.ui.ac.id/komarudin74/2012/04/08/algoritma-branch-and-bound-untuk-programa-integer/ [28 Mei 2013]

Lee, Yusin, and Chen, Chuen-Yih. (2009). Modeling and Solving Train Pathing Problem. Transportation research part B, 43:837-851.

Setianto, Dwi. (2011). Penjadwalan Kereta Api Menggunakan Pemrograman Linear Integer. Skripsi pada Departemen Matematika IPB : tidak diterbitkan.

Siswanto. (2007). Operation Research Jilid 1. Jakarta : Penerbit Erlangga.

Suyanto. (2010). Algoritma Optimasi (Deterministik atau Probabilistik). Yogyakarta : Graha Ilmu.

Taha, Hamdy A. (1996). Riset Operasi, Jilid 1. Tangerang : Binarupa Aksara. Tapilouw, Marthen. (t.t). Modul 1 Model Matematika Suatu Program Linear.

Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Pendidikan Indonesia : Tidak diterbitkan.

Wikipedia. (2012). Pemrograman Linear. [Online]. Tersedia : http://id.wikipedia.org/wiki/Pemrograman_linear

Wikipedia. (2013). Kereta Api. [Online]. Tersedia : https://id.wikipedia.org/wiki/Kereta_api

Tabel 3.1 Waktu tinggal minimal untuk masing-masing kereta api pada setiap rel Rel

Kereta 1 2 3 4 5 6 7 8

1 6 0 5 3 0 4 6 0

2 6 0 5 3 0 4 6 0

3 0 6 5 0 6 4 0 6

4 0 6 5 0 6 4 0 6

Tabel 3.2 waktu tinggal maksimal untuk masing-masing kereta api pada setiap rel Rel

Kereta 1 2 3 4 5 6 7 8

1 8 0 8 5 0 7 8 0

2 8 0 8 5 0 7 8 0

3 0 8 8 0 8 7 0 8

4 0 8 8 0 8 7 0 8

: {1} : {7} : {2} : {8} : {7} : {1} : {8} : {2}

: 5, = 3 dan 4, = 6

Model penjadwalan ini selanjutnya dapat diformulasikan ke dalam bentuk integer programming sebagai berikut.

20

Dwi Agustina Sapriyanti, 2013

Model Optimasi Penjadwalan Kereta Api (Studi Kasus Pada Jadwal Kereta Api Di Pt Kereta Api Indonesia (Persero) Daop 2 Bandung Lintasan Bandung – Cicalengka)

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu ` Dengan kendala

1.  Untuk kereta 1

 Untuk kereta 3  Untuk kereta 2

 Untuk kereta 4 2.  Untuk kereta 1

 Untuk kereta 2

 Untuk kereta 3  Untuk kereta 4

3.

 Untuk rel 3

 Untuk rel 6 4.

 Untuk kereta 1  Untuk kereta 2

 Untuk kereta 3  Untuk kereta 4

5.

6. dan integer

Model matematika di atas diselesaikan menggunakan software LINGO 10 dan menghasilkan fungsi objektif sebesar 44, ini berarti total keterlambatan seluruh kereta api adalah 44 menit. Kereta api 1 mengalami keterlambatan 8

22

Dwi Agustina Sapriyanti, 2013

Model Optimasi Penjadwalan Kereta Api (Studi Kasus Pada Jadwal Kereta Api Di Pt Kereta Api Indonesia (Persero) Daop 2 Bandung Lintasan Bandung – Cicalengka)

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu `

menit, kereta api 2 terlambat 13 menit, kereta api 3 terlambat 8 menit, dan kereta api 4 terlambat 15 menit.

Berikut ini merupakan jadwal yang diperoleh menggunakan software LINGO 10:

Tabel 3.3 Jadwal Keberangkatan dari Stasiun A menuju Stasiun C

A B C

Dat Ber Dat Ber Dat Ber Menit ke-

Patas 1 5 11 16 27 31 37

Ekonomi 1 10 21 26 35 39 45

Tabel 3.4 Jadwal Keberangkatan dari Stasiun C menuju Stasiun A

C B A

Dat Ber Dat Ber Dat Ber Menit ke-

Patas 2 5 11 15 31 36 42

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1Kesimpulan

Berdasarkan hasil pembahasan yang telah dilakukan, maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut:

1. Masalah penjadwalan kereta api dapat dimodelkan dalam bentuk model integer programming dengan fungsi objektif meminimumkan total waktu keterlambatan kereta api yang ada.

2. Dengan menerapkan algoritma branch and bound model penjadwalan kereta api dapat diselesaikan sehingga menghasilkan penjadwalan kereta yang optimal, yaitu jadwal kereta api yang akan meminimumkan total waktu keterlambatan kereta api.

3. Implementasi model matematika yang dibangun untuk kasus penjadwalan kereta di PT Kereta Api Indonesia (Persero) Daop 2 Bandung lintasan Bandung – Cicalengka menunjukkan bahwa model tersebut dapat diaplikasikan dengan baik (well implemented).

5.2Saran

Setelah membahas dan menerapkan pendekatan integer programming dalam masalah penjadwalan keret api, penulis dapat memberikan saran sebagai berikut.

1. Model penjadwalan kereta api ini dapat dikembangkan misalnya dengan menambahkan kendala supaya dapat meminimumkan biaya operasional, adanya prioritas kereta api, dan lain sebagainya.

2. Menggunakan model linear programming yang lain untuk mencari jadwal kereta api yang optimal.

Dwi Agustina Sapriyanti, 2013

Model Optimasi Penjadwalan Kereta Api (Studi Kasus Pada Jadwal Kereta Api Di Pt Kereta Api Indonesia (Persero) Daop 2 Bandung Lintasan Bandung – Cicalengka)

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu

DAFTAR PUSTAKA

Anonim. (2003). Operation Research : 343. [Online]. Tersedia : http://www.doc.ic.ac.uk/~br/berc/linearprog.pdf

Hartanto, Eko. (t.t). Integer Programming. [Online]. Tersedia : http://eko_hartanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/28374/Integer.pd f [11 Maret 2013]

Kaufmann, Arnold. (1964). Methods and Models of Operations Research. London : Prentice-Hall, Inc

Komarudin. (2012). Algoritma Branch And Bound untuk Programa Integer.

[Online]. Tersedia :

http://staff.blog.ui.ac.id/komarudin74/2012/04/08/algoritma-branch-and-bound-untuk-programa-integer/ [28 Mei 2013]

Lee, Yusin, and Chen, Chuen-Yih. (2009). Modeling and Solving Train Pathing Problem. Transportation research part B, 43:837-851.

Setianto, Dwi. (2011). Penjadwalan Kereta Api Menggunakan Pemrograman Linear Integer. Skripsi pada Departemen Matematika IPB : tidak diterbitkan.

Siswanto. (2007). Operation Research Jilid 1. Jakarta : Penerbit Erlangga.

Suyanto. (2010). Algoritma Optimasi (Deterministik atau Probabilistik). Yogyakarta : Graha Ilmu.

Taha, Hamdy A. (1996). Riset Operasi, Jilid 1. Tangerang : Binarupa Aksara. Tapilouw, Marthen. (t.t). Modul 1 Model Matematika Suatu Program Linear.

Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Pendidikan Indonesia : Tidak diterbitkan.

Wikipedia. (2012). Pemrograman Linear. [Online]. Tersedia : http://id.wikipedia.org/wiki/Pemrograman_linear

Wikipedia. (2013). Kereta Api. [Online]. Tersedia : https://id.wikipedia.org/wiki/Kereta_api