getdoc1e40. 328KB Jun 04 2011 12:04:09 AM

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Θs,t (X) =
(Xr − Xs ) ⊗ dXr ✒ ✌ Θs,t (X) =
(Xr − Xs ) ⊗ ◦dXr .
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✌✒ ❏ ❏ Θ(X)
✠ ✄ ✄❑❋ ✷ ☛ ✁ ✞ ✠ ✷ ☛ ✑✓ ✶ ❍ ✱✰✞ ✒ ❆ ✄ ✞ ❆ ☛ ✄ ✗ ✌ ✓ p ✒ ❆ ✠ ✒ ✞ ✞ ☛ ❆ ✌ ✷ ✭ ✄❑✷ ✌ ✄ ✶ ✼
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❺ ❆ ✄ ❍ ✒ ✎ ✌ ✎ ❏❚✄ ✒ ☛ ✞ ❆ ✄ ✱ ✠ ☛✿☛ ✎ ✷ ✞ ☛ ✑ ✷❇✄ ✒ X ✆ ☛ ✌ ✞ ✎ ✌ ✑ ☛ ✑ ✷ ✠ ✒ ✌ ❏ ☛ ❍ ✞ ✎⑧❍ ✄ ✼ ✆ ❆ ✒ ✌ ✶ ✄
✷ ✆ ❆ ✞ ❆ ✒ ✞ X = X + M + V ✠ ✄ ❍ ✒ ✎ ✌ ✷ ✒ ✷❇✄ ❍✍✎❷✼➤❍ ✒ ✠ ✞ ✎ ✌ ✶✫✒ ✁ ✄ ✒ ✌ ❏❮✷ ✑ ✆ ❆ ✞ ❆ ✒ ✞
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✞ ☛ ✱ ❶☛ ✄ ☛ ✶ ✗✄ ✞ ☛ ✄ (X,✓ Θ(X))
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f (X(n)s ) dX(n)s

✥ ✠ ✄❑✷ ✱ ✚ Y (n) = Y + g(Y (n) ) dX(n) )
✞ ☛ ✞ ❆ ✄✝⑥ ✞ ✠ ✒ R✞ ☛ ✌ ☛ ❶✿✎ ✆ ❆ ✎ ✌ ✞ ✄ ✶ ✠ ✒ ✥ ✁Ï✄❑✥ ✷ ✠ ✄✸✷ ✚ ✱ ✚ ✞ ❆ ✄⑤✷ ✞ ☛ ✆ ❆ R✒ ✷ ✞ ✎ ✆ ❏ ✎ ✄ ✠ ✄ ✌ ✞ ✬✽✎ ✚ ✒ ✁ ✄ ⑦ ✑ ✒ ✞ ✎ ☛ ✌ ✬
Z = Z + f (X ) ◦ dX ✠ ✱ Y = Y + g(Y ) ◦ dX
➜ ✷ ✎⑧❍✍✎⑧✁ ✒ ✠ ✆ ☛ ✌ ❶ ✄ ✠ ✶ ✄ ✌ ✆ ✄ ✠ ✄✸✷✓ ✑ ✁ ✞ ✎ ✷ ✒ ✁ ✷ ☛ ✶ ✎❷❶ ✄ ✌ ✓ ☛ ✠ ➝ ✞ ✺✹ ✷ ✎ ✌ ✞ ✄ ✶ ✠ ✒ ✁ ✷ ✒ ✌ ❏ ➝ ✞ ✺✹ ✷✺⑥✵❿❄❾♦✷ ✚
❺ ❆ ✄ ✎ ✆ ✁ ✆ ✷❇✄ ❆ ✄ ➟ ✎ ❍ ✎ ✷ ✁ ✄ ❏
✥ ⑥➉✄✸✄ ✧★✣✵✭
✜ ✭❷✚ ✚❷✚❊✬ ✒ ✌ ✱✰❏ ✒ ✠ ❋✢✞ ✒ ✓ ✷❄✑ ❏❚✒ ✄ ✠ ❶ ✄ ✒ ✁ ☛ ✱ ✄✸☛ ❏ ✞✎ ✌ ✎ ✞ ✎ ✒ ✁ ✠ ✁ ☛ ✗ ❋ ✎ ✌✌ ✒ ✧ ✌ ✹ ✚❄☛ ➝ ✞ ✌ ☛ ✞ ✌ ❆ ✎❋✢✷ ✒ ✯ ❆ ✒ ✚ ❿ ✠ ✚ ✒ ✞ ❆ ✗ ✄❑✷ ✎ ✌✷ ✭ ☛ ❋✞ ❆ ✌ ✎ ✷ ✓ ❍ ✄ ✞ ❆ ☛ ❏
✆ ✒ ✌ ✖ ✄ ✑ ✷❼✄✸❏ ☛ ✠ ❍ ✒ ✠ ✞ ✎ ✌ ✶✩✒ ✁ ✄✸✷ ❋ ✎ ✞ ❆ α✼ ✩✁ ❏❚✄ ✠ ✆ ☛ ✌ ✞ ✎ ✌ ✑ ☛ ✑ ✷ ✞ ✠ ✒ ▲❼✄ ✆ ✞ ☛ ✠ ✎ ✄✸✷ ☛ ✠ α <
✚í❺ ❆ ✑ ✷ ✭ ✞ ❆ ✄✸✷❼✄ ✒ ✁⑧❍ ☛ ✷ ✞ ✼ ✷ ✑ ✠ ✄ ☛ ✌ ✶ ✼ ✒ ✒ ✎ ✠ ✄✸✷ ✑ ✁ ✞ ✷ ✒ ✠ ✄ ✌ ☛ ✞ ✷ ✑ ✠ ✱ ✠ ✎ ✷ ✎ ✌ ✶ ✚ ✄ ✠ ✄ ✓ ✭
1/2
❋ ✄✢✄ ✞ ✄ ✌ ❏ ✞ ❆ ✎ ✷ ✠ ✄✸✷ ✑ ✁ ✞Ï✞ ☛ ✒❄✶ ✄ ✌ ✄ ✠ ✒ ✁ ✆ ☛ ✌ ✞ ✎ ✌ ✑ ☛ ✑ ✷➦✷❼✄ ❍✍✎❷✼▼❍ ✒ ✠ ✞ ✎ ✌ ✶✩✒ ✁ ✄✸✷ ✭ ✒ ✌ ❏ ☛ ✑ ✠ ✱ ✠ ☛✿☛
✹✴✻ ✳
t

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✞

☞

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✞

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✠

✣✢

✡✠

☞

✡

✂

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✶ ✱✰✒
✒ ✒
✷ ✌ ✎ ❍ ✁⑧✎×➞ ✆ ✞ ✎ ☛ ✌ ☛ ✓ ✠ ✄✸✷ ✑ ✌ ✁ ✞ ✷ ✚ ✌
✱➟ ✄✸✷ ✎ ❏❚✒ ✄❑✷ ✭ ✌ ✞ ❆ ✄✸✷❼✄ ✠ ☛✿☛ ✓ ✷è✷ ❆ ☛ ✞ ❆ ✄ ✠ ☛ ✁ ✄ ✁ ✗ ✄✸❏ ✖ ✗ ✩✁ ❏❚✄ ✠ ✆ ☛ ✞ ✎ ✑ ☛ ✑ ✷ ✞ ❆ ✷
❆ ✷ ☛ ✓ ➞ ✱ ✎ ✞ ✄ p✼➤❶ ✠ ✎ ✞❋ ✎ ☛ ✭ ❏ ✞ ❆ ✱ ✞ ✒ ✎ ✞ ✎ ✷ ☛ ✞ ✖ ✎ ❏✵✄ ✌ ✁ ✞ ☛ ✌ ✑ ✷❇✄ ✱✰✩✒ ✁ ❏❚✄ ✠
❍ ☛
✞
✆✒ ☛ ✞ ✌✎ ✶❻✑ ✱✰☛ ✑ ✒ ✷ ✞ ❆ ✎✌ ✷ ✞ ✄ ❏ ✒ ☛ ✓ ✒ ✞ ✌ ❆ ☛✒ ✓✌ ➞ ✎ ✞ ✒ ✄ p✼➤❶ ✠ ✌✎ ✞ ✎ ☛ ✒ ✑ ✶ ✷ ✎ ✒ ✞ ✎ ❍ ✄ ✼ ✆ ❆ ✄ ✚
➙ ☛✌ ✠ ✄ ✌ ☛ ❶ ✄ ✠ ✭ ✞ ✱✰❆ ✒ ✎ ✷ ✞ ✎⑧❍ ✌ ✄ ✼ ✆ ✒❆ ✌ ✄ ✱❚✒ ✎ ❶ ✄❑✷ ✑ ✷ ✌✎ ✌ ✓ ☛ ✠ ❍ ✞ ✒ ✎ ☛ ✌ ✒ ☛ ✌ ✌ ✞ ❆ ✄ ✌ ✶ ✒ ✗ ✞ ☛ ✄ ✞ ✒ ✷ ☛✌ ❍ ✶ ✄
✒ ✎⑧✶ ✁ ✗ ☛ ✶ ✓ ✞ ❆ ✷ ✭ ✷ ✎ ✆ ✄ ✒✄ ✠ ✄ ✠ ✄❑❏ ✑ ✆ ✄❑❏ ❋✢✎ ✒ ✆ ☛ ✞ ✠ ☛ ✶ ✁ ✁⑧✎ ✞ ❆ ✄
✑ ✌ ✎ ✓ ☛ ✠ ❍ ✓ ✆ ☛ ✌ ✞ ✠ ☛ ✁ ✓ ☛ ✠ ✓ ✓ ❍✍
✒
✒
✁ ✄ ✞ ❆ ☛ ✞ ❆ ✄ ✎⑧❍ ✄ ☛ ✞ ❆ ✄ ✞ ✎⑧❍ ✄ ✱✰✎ ✒ ✞ ✄ ✠ ❶ ✁ ☛ ✌ ❋ ❆ ✎ ✆ ✒❆ ✞ ❆ ✄ ✞ ❆ ✎ ✷ ✌ ✎ ✎ ✞ ✎ ✌ ✁ ✁ ✗ ❏✵✄ ✌ ➞ ✶ ✄❑❏ ✚
❺ ❆✌ ✄✶ ✭ ✞ ❆ ✄ ✆ ☛ ❏ ✎ ✒✴✞ ✎✶ ☛ ✷ ❁✺❺ ❏ ❁ ✌ ❽ ✙ ✒ ✄ ✌ ✠ ❋ ✞ ✑ ✠ ✁⑧✁ ✗ ✱✰✎ ✒ ✞ ❆ ✎ ✷ ✆✌ ☛ ✞ ✒ ✄ ✞ ✚ ✌
❃ ✌ ✄ ✆ ✄ ✞ ✠ ✄✸✌ ✷ ✑ ✁ ✞ ✷⑤✷ ✌ ❆ ☛ ✞ ❆ ✒ ✌ ✞❄✞ ❆ ✄ ✩✤☎✴✘✴✒✴✯✰✱❚☎ ✱ ✥✧✩✬✒ ✫ ✁ ✌ ✒☛★✠✄✂ ☎✞✒ ✝✕✯✰☎ ✌ ✌ ✠☞✓✕✝✲✠☞✰☎ ✭ ✞ ✌ ❆ ✞ ✎ ✷ ❍ ✑ ✁❷✼
✞ ✎ ✁ ✎ ✆ ✞ ✎❷❶ ✌ ✄ ✓ ✑ ✌ ✆ ✞ ✎ ☛ ✌ ✁❂✁ ❋ ✗ ✎ ✌ ✒ ✖ ☛ ❶ ✄ ➟ ✠ ☛ ✌ ✎ ✓ ✌ ❍ ☛ ✞ ✎ ☛ ✌ ✭ ✆ ☛ ✑ ✁ ❏ ✖ ✄ ❍ ✒ ✌ ✎ ✒ ✑ ✁ ✞ ✄❑❏
✎ ❍ ✒ ✞ ✎ ✶✍✄ ✒ ❏ ✎ ✒ ❍ ❋ ✗ ✒ ✎ ✞ ✷ ✠ ☛ ✄ ✠ ✞ ✎ ✄❑✷ ✷ ✑ ☛ ✠ ✒✞✡✞ ❆ ✱ ✄ ☛ ✠ ✒ ✄ ❍✦✭
✷ ✱ ✞ ❆ ✄✒ ➟
✱ ✱
✒✁ ✠ ✄⑤❏❚✄ ❶✿✠ ✎ ☛ ❋ ✞ ✎ ✌ ☛ ✒ ✌ ✠ ✄❑✷ ✑ ☛ ✁ ✞ ✭❂☛ ✚❷✌ ✚❷✚ ✠ ⑥➉✶✫✄❑✄ ✒ ✠ ✧★✣✵✌ ✭ ✶ ✹ ✭ ✾ ✒ ✌ ✚ ☛
❈ ✱❚✱
✒ ✶ ✄ ✆ ✄ ✭ ✒ ☛ ✄ ✌ ✆ ☛ ✑ ✁ ❏ ✞ ❆ ✎ ✞ ❆ ✞✡✞ ❆ ✎ ✷ ✞ ✄ ✆ ❆ ✎⑧⑦ ✑ ✄ ☛ ✓ ✑ ✷ ✎
✞ ✎⑧❍ ✄ ✼ ✆ ❆ ✄ ✆ ✑ ✁ ❏
✖ ✄ ✌ ✁ ✎ ✄❑❏ ✞ ☛✌ ✄ ✄ ✠ ✁⑧✆✎ ☎ ✄ ✌ ✁ ❍ ☛ ✷ ✒ ✞ ✎⑧❍✍❍ ✄❑❏ ✎ ✞ ✌ ✄ ✁ ✗ ✞ ☛ ✆ ☛ ✞ ✎ ✌ ✑ ✶í☛ ✒ ✑ ✷✘✷❼✄ ❍✍✎❷✼▼❍ ✒ ✌ ✠ ✶ ✞ ✎ ☛ ✁ ✄✸✷
✷ ☛ ❍ ✒✴✄ ✱❚✱ ✠ ✄✸✷ ✑ ✁ ✞ ✷ ✶ ✎❷❶ ✄✌ ✓ ✒ ☛ ✠ ✞ ❆ ✒ ✄ ➟ ✠ ☛ ✎ ❍ ☛ ✒ ✞ ✎ ☛ ✭ ✷ ✁ ☛ ✌ ✌ ✷ ☛ ✁ ✗ ✞ ❆ ✄ ❍ ✒ ✠ ✞ ✌ ✎ ✶✩✒ ✁ ✄
✒ ✌ ✶✫✒
✠✱ ☛ ✱ ✄ ✠ ✞ ✗ ☛ ✓ ✞ ❆ ✶ ✄ ➟ ✌ ✠ ☛ ❋ ✌ ✎ ✒ ✌ ❍ ☛ ✞ ✎❋ ☛ ✌✌ ✒ ✎ ✷ ✌ ✎ ✌ ❶ ☛ ✁ ❶ ✄❑✌ ❏ ✎ ✒ ✌ ✞ ❆ ✄ ✌ ✎ ✶í✠ ✱✒ ✠ ☛✿☛ ✌ ✓ ✷ ✚
❞❵❡❪❢❭❬❛❣ ✞✦❯✝❲❥❣❝❴
✝
✄ ✠ ✄ ✓ ✄ ✠ ✞ ❆ ✄ ✠ ✄ ❏❚✄ ✠ ✞ ☛ ✧➉✜✴✭❂✜✤➡ ☛ ✠ ✜ ✻ ✓ ☛ ✠ ❏❚✄ ✞ ✎⑧✁ ✄✸❏ ✎ ✷ ✎ ❆ ✞ ☛ ✞ ❆ ✄ ✞ ❆ ✄ ☛ ✠ ✗ ☛ ✓
✌ ✶ ✌
✠ ☛ ✑ ✶ ❆ ✱✰✒ ✞ ❆ ✷ ✒ ✌ ✒❏ ✞ ❆ ✄ ☛ ✖ ▲❼✄ ✆ ✞ ✷ ❋ ✄ ✎ ✌ ✞ ✠ ☛ ❏ ✑ ✆ ✄ ✒ ✌ ☛ ❋ ✚ ✒
❅ ✄ ✞ N ✖ ✄ ➞ ➉✄✸❏ ✎ ✞ ✄ ✄ ✠ ✚✟❺ ❆ ✠ ☛ ✑ ❆ ☛ ✑ ✞ ✁⑧✁ ✞ ❆ ✎ ✷ ✠ ✞ ✎ ✆ ✁ ✄ ✭ ✄ ✆ ☛ ✷ ✎ ❏✵✄ ✠ ✷❇✄ ❍ ✎×✼
❍ ✠ ✞ ✎ ✁ ✄✸✷ ✒ ✎ ✞ ❆ ❶ ✁ ✑ ✌ ✄❑✷ ✶ ✎ RN ✭ ✶ ❏ ✄ ✒ ❏✵✄ ☛ ✞ ✄ ✒ ✖ ✗ | · | ❋ ✞ ❆ ✄ ✌ ☛ ✠ ❍ |x| =
✌
✌
✌
✒ ✌ ✶✩✒ ❋ ✓ ✒
✒✌ ❋
1
N ✚
supk=1,...,N |xk | ☛ ✠ x =
(x
,
.
.
.
,
x
)
➄ ☛ ✠ ✆ ☛ ✞ ✎ ✑ ☛ ✑ ✷ ✓ ✑ ✆ ✞ ✎ ☛ x ✓ ✠ ☛ ❍ [0, T ] ✞ ☛ RN ✭ ✄✝❏❚✄ ☛ ✞ ✄ ✖ ✗ Var (x)
p,[0,T ]
✌
❋
✎ ✞ ✷ p✼✛❶ ✠ ✒ ✎ ✞ ✎ ☛✌ ✌ ❏✵✄ ➞ ✄❑❏ ✖ ✌ ✗ ✥Ø✜✤✌✬✮✚
✌
✌
✓
✓
❿❄✄ ✒ ☛ ✞ ✒ ✄ ✖ ✗ Vp([0, T ]; RN ) ✞ ❆ ✄ ➟ ✆ ❆ ✷ ✆ ✄ ☛ ✆ ☛ ✞ ✎ ✑ ☛ ✑ ✷ ✑ ✆ ✞ ✎ ☛ ✷ ☛ ✓
✌ ✌ N
➞ ✎ ✞ ✄ p✌ ✼✛❶ ✠ ✎ ✞ ✎ ☛ ✎ ✞ ❆ ✞ ❆ ✄ ☛ ✠ ❍ Var ✒ ✌ ✒ (·) +✱✰k✒ · k ✚ ❸ ☛ ✌ ✞ ✄ ✌ ✞ ❆ ✞ Vp([0,
T ]; R )
∞
p,[0,T
]
✌
✒
✎ ✷ ✌ ☛ ✞ ✷❼✄ ✒ ✠ ✒ ✖ ✁ ✄ ✌ ✚ ❋
✌ ⑥➉✄ ✞ ✱✰+✒ ✒
✚
∆ = { 0 ≤ s ✓≤ t ≤ T } ✓
➄ ✠ ✆ ✞✎ ✑ ✑ ✷ ✑ ✆✞✎
✠ ❍ + ✞ N ✭ ❏❚✄ ✌ ☛ ✞ ✄ ✒ ✁ ✷ ☛ ✖ ✗ Varp,[0,T ](x)
✎ ✞ ✷ p✼✛☛ ❶ ✠ ✒ ✎ ✞ ☛ ✎ ☛ ✌ ✭ ✌ ✞ ❆ ☛ ✞ ✎ ✷ ✌ ☛ ✌ x ☛ ∆ ☛ R
✒ ✒ ✌ ✒
✛✚
✂

✛✚
✂

✣✢

✞

✠

☞

✂

✞

✠

✠

✞

✡✠

✢

Varp,[0,T ] (x) =

➝✓

x(s, t) = y(t) − y(s)
✚
Varp,[0,T ] (y)

Ã

☛ ☞✘✍✑✏✆✒✕✏✆✒✕✔✎✖

sup
{ti }i=1,...,j

✔✘✗

j−1
X

[0, T ] i=1

|x(ti , ti+1 )|p

✓ ✠ ✷ ❍ ✄ ✆ ✞✎ ✑ ✑ ✷ ✓✑ ✆ ✞✎ ✭ ✞❆ ✄
☛ ☛
☛✌ ✌ ☛
✌ ☛✌ y ✌
✹✴✻★➂

!1/p

.

Varp,[0,T ] (x) =

✄è✄ ⑦ ✑ ✎ RN ⊗ RN ✎ ✞ ❆
☛ ✠ ❍ k · kR ⊗R ✷ ✑ ✆ ❆ ✞ ❆ ✒ ✞ kx ⊗ ykR ⊗R ≤
✌
✓ ✠✱ ✗
❋
✒
✚
|x| × |y| ☛ ✒ ✌ x, y ∈ RN
✄✢❏❚✄ ☛ ✞ ✄ ✖ ✗ MVp([0, T ]; RN ) ✞ ❆ ✄☞✷ ✆ ✄ ☛ ✓◆✓ ✑ ✆ ✞ ✎ ☛ ✷ (x , x1 , x2 )
✌ ✌ 0 s,t s,t (s,t)∈∆
✱✰✒
✷✑ ✆❆ ✞❆ ✞✌
✒
✓
✥✛✧ ✬
✷ ✓ ✑ ✆ ✞ ✎ ☛ x ✓ ✠ ☛ ❍ [0, T ] ✞ ☛ RN ,
✆ ✎
1
xs,t = xt − xs ☛ ✠ ✒ ☛ ✌ ✞ ✌ ✑ ☛ ✑
✌
✌
✓
✎ ✷ ✆ ☛ ✞ ✎ ✑ ☛ ✑ ✷ ✠ ☛ ❍ ∆+ ✞ ☛ RN ⊗ RN ,
✥➔✧ ✖ ✒ ✬
x2
✌ ✌
✥✛✧ ✆ ✬
Varp,[0,T ] (x1 ) < +∞,
✥✛✧ ❏ ✬
Varp/2,[0,T ] (x2 ) < +∞,
✓ ✠
✥➔✧ ✄ ✬
2,i,j
1,j
2,i,j
1,i
☛ i, j ∈ { 1, . . . , N }
x2,i,j
s,t = xs,u + xu,t + xs,u · xu,t
✓ ✠ ✁✁
❍ ✄✸✷ ✭♦✎ ✞ ✆ ☛ ✑ ✁ ❏ ✖ ✄ ✑ ✷❼✄ ✓ ✑ ✁ ✞ ☛ ✑ ✷❇✄ ✞ ✄ ✷ ☛ ✠
☛ ❏ ✒ ✆ 0 ≤ s ✎≤ u✷ ✎ ≤✷ t✄ ≤❏ T ✓ ✚ ✎ ⑥ ❏✵☛ ✄❍ ➉✄ ✄✸✞ ✷ ✎ ✚ù
❺ ❆ ✎ ✷ ❍ ✄ ✷ ✞ ❆ ✞ x = (x1 , x2 ✌ ) ✎ ✷
✠✱ ☛ ✑ ✞ ✌ ☛ ✞ ✒ ✞ ☛ ✌ ✌ ✞ ✒ ☛ ✌
✷❇✄❑✄ ✷ x = 1 + x1 + x2 ∈ R ⊕ RN ⊕ (RN )⊗2✒ ✌ ✥ ✄ ✠ ✒✄ ✭ ✞ ❆ ✄✍✷ ✞ ✠ ✞ s,t✎ s,t☛ ✎ ✞
✌ ✓ ✒ ✎ ✷ s,t
s,t
✬✮✚ ➜ ✆✸✆ ☛ ✠ ❏ ✎ ✁ ✗ ✭✲✥✛✧ ✄ ✬ ✆ ☛ ✑ ✁ ❏ ✖ ✄ ✠✒ ✄ ✠✌ ✎ ✶✦
✄ s,t✎
✆❑✆
✞❼✞ ✱✄ ✌ ✌ ✷
x0 ☛ x ✌ ☛ ✞✟✞ ✒ ✌ ✌ ✞ ☛ ✒ ☛ ✑ ✌ ✞
✌
✶
❋
✒
✚
x2s,t = x2s,u + x2u,t + x1s,u ⊗ x1u,t
✓
✓
❆ ✄ ✞ ❆ ✄ ✠ ✄ ✎ ✷ ☛ ❍ ✖ ✎ ✑ ✎ ✞ ✗ ✭ ✄ ✎ ❏❚✄ ✞ ✎ ✗ (x , x1) ✎ ✞ ❆ x ✭ ✞ ❆ ✞ ✎ ✷ ✑ ✆ ✞ ✎ ☛
0
✌
✌
✓ ✌
✒ 1 ✒ 2 ✌ ✎ ✷ ✁ ✷ ✌☛
☛❏❚✌ ✄ ∆+✄✸❏ ✒ ✌ ✖ ❏ ✒ ✷ ✞ ✒ ✠ ✞ ✎ ✚❳✌ ❺ ✶⑤✒ ❆ ✱ ✄✢☛ ✎✄ ✌ ✁ ✄✞ ✶ ❍ ❋ ✄ ✎ ✞ ❆ ✷ ❋ ✒ ✓ ✑ ✌ ✆ ✞ ✎ ☛ ✌ ☛ ✌ [0, T ] ✚➦❋ ❺ ❆ ✄ ✑ ✆ ✷ ✭ ✁⑧(x
0, x , x )
✁ ✄✸❏ ✌✏✂✙✎✒✓✱✝ ✎✒✝✲✥✬✯✰✒ ✓✕✝✣✭✰✩
✞ ✗ (x, x2)
✞ ☛ MVp([0, T ]; RN ) ✠
☛
✌
✌
✒
✒
✟✍✂✙☎ ✥✤✓✱✝✲✠☞☎ ✯✰✎ ✳✽✚
❺ ❆ ✄ ✞ ☛ ☛ ✁ ☛ ✗ ✄ ✑ ✷❼✄✸❏ ☛ MVp([0, T ]; RN ) ✎ ✷ ✞ ❆ ✄ ☛ ✄ ✎ ❏ ✑ ✆ ✄❑❏ ✖ ✗ ✞ ❆ ✄ ☛ ✠ ❍
✌ ✌
✌
✌
✱ ✶ ❋
✠

N

N

N

N

✠

+

✣✢

✂

☞

✠

✁

k(x0 , x1 , x2 )k = |x0 | + sup |(x1 , x2 )s,t | + Varp,[0,T ] (x1 ) + Varp/2,[0,T ] (x2 ).

(s,t)∈∆
✄❛✄ ❏ ✞ ❆ ✎ ✷✡✷❼✄ ✆ ✞ ✎ ☛ ✖ ✗ ✑ ✷❇✄ ✓ ✑ ✁❳❅ ✄ ❍
✞ ✌ ✆ ✄ ✎ ✌ ✌ MVp([0, T ]; R✌ N ) ✖ ✒ ✄ ✞ ✄❑✄ ✌ ✞ ☛
❏ ✒ ✎ ✷ ✞ ✆ ✄ ☛ ✓ ✞ ❆ ✄ ✎ ✆ ✠ ✄ ❍ ✄ ✞ ✷ ✖ ✄ ❋ ✞ ✄✸✄ ❋ ❏ ✗
✌
✌
❋ ✌ ✒
✞ ❆ ✒ ✷✌ ✚
✱✰♠♦✒ r
ø r➒r ➤✉◆q r ❂♥ ÏýÝr
♥
+

✣

✠

✄✂☎✂

✝✆✟✞

✩✤✓

1

✡✠

☞☛

✌✂✎✍

✞ ❆ ✞ ✁⑧✁ ☛ ✷
❆ ✒ ✞ ✒ ❆ ✷ ✖❋ ✗
✓
☛✱ ✎ ✱❚✌ ✒ ✞ ✷ ☛ ✞ ❆

❍ ✭
✠ ☛ ✒✑ ✶
❏ ✎✆

✑✏✓✒✕✔✖✆✌✔✖✆✄✗✙✘✛✚✢✜✤✣

✩✤✓

✞ ☛ ✄❑✷ ✞ ✎⑧❍
✑ ✷ ✎✌ ✞ ❆
✄✍❏ ✎ ✶ ✄ ✠ ✄
✆☎

✞ ❆ ✄❛❏ ✎ ✷ ✼
☛ ✎ ✓ ✌ ✞ ❆❋ ✄✸✎ ✷❼✷❇✄✄
☛ ✞

✯✰☎ ✫

γ > p/2 − 1 ✥
(X , X )
(Y , Y ) ✦
MVp ([0, T ]; RN ) ✥
✧ ✘✞✩✤☎
✟✡✠☞☛ ✯✰☎✞★
✑ ✴✯✰☛✤✓✕✝✣✓✕✝✲✠☞☎
✠✄✟
✓✣✘✞✩✤☛✧✩ ✩✫✪ ✝✪✳✤✓✣✳ ✯
0 ≤ s1 ≤ . . . ≤ s k ≤ T
[0, T ] ✩
✥✧✠☞☎✴✳✤✓✲✯✰☎✞✓
✫✙✩✬✞✩✤☎ ✫✰✝✣☎✙✖ ✠☞☎✞✎✒✑ ✠☞☎
✯✰☎ ✫
✳✤✂✞✥✧✘ ✓✣✘✴✯✰✓ ✟✡✠☞☛ n
✩
C
p
γ
tj = jT /2n
k−1
X
i=1

2

|Xs2i ,si+1

✯✰☎ ✫

1

−

Ys2i ,si+1 |p/2
×

X
n≥1

2

✩

✌✏✂✙✎✒✓✱✝✁ ✎✒✝✲✥✬✯✰✓✕✝✣✭✰✩ ✟✍✂✙☎ ✥✤✓✱✝✲✠☞☎ ✯✰✎ ✳

≤C
2n −1

nγ

p > 2

✌

✞✄
✒✄
✆ ✄✱

³X

X³
j=0

n

γ

n≥1

n −1
2X

j=0

|Xt1nj ,tnj+1 − Yt1nj ,tnj+1 |p

|Xt1nj ,tnj+1 |p + |Yt1nj ,tnj+1 |p
+

X
n≥1

✹✴✻ ✪

✝✣☎

n

γ

n −1
2X

j=1

´1/2

´1/2

|Xt2nj ,tnj+1 − Yt2nj ,tnj+1 |p .

❦✂❣❭P ✂➏❡❛❩❝❜❝❘✮❲❨❘❑❡❪❩❝✂
❴ ✁ ❦ ❯❛❩❝❜ ✁☎✄✝✆
✞ ❡✝❱ ❴❂P✘◗ ❘❐❙✰◗ ❯✟❱❳❲❨❘❑❩❭❬❪❯✝❫❑P✡❴
❅ ✄ ✞ X ✖ ✄ ✒ ✆ ☛ ✌ ✞ ✎ ✌ ✑ ☛ ✑ ✷❮✷❼✄ ❍✍✎❷✼▼❍ ✒ ✠ ✞ ✎ ✌ ✶✫✒ ✁ ✄ ❋ ✎ ✞ ❆ ✠ ✄✸✷ ✱ ✄ ✆ ✞❭✞ ☛ ✒ ➞✰✁ ✞ ✠ ✒ ✞ ✎ ☛ ✌ F =
✎ ✞ ❆ ❶ ✒ ✁ ✑ ✄❑✷ ✎ ✌ R ✭ ❋ ❆ ✎ ✆ ❆ ✎ ✷✢❏❚✄ ➞ ✌ ✄❑❏ ☛ ✓ ✌ ✒❻✱ ✠ ☛ ✖ ✒ ✖ ✎ ✁⑧✎ ✞ ✗ ✷ ✱✰✒ ✆ ✄ (Ω, F, P) ✚
(F )
❋
❺ ❆ ✄ ➞✰✁ ✞ ✠ ✒ ✞ ✎ ☛ ✌ F ❍ ✒ ✗ ✖ ✄ ✒ ✷❇✷ ✑ ❍ ✓ ✄❑❏ ✞ ☛ ✷ ✒ ✞ ✎ ✷ ✗ ✞ ❆ ✓✄ ✑ ✷ ✑ ✒ ✁ ✆ ☛ ✌ ❏ ✎ ✞ ✎ ☛ ✌ ✷ ✚ ❺ ❆ ✄ ✠ ✄
✄✦✢ ✎ ✷ ✞ ✷ ✒ ✑ ✌ ✎ ⑦ ✑ ✓ ✄✝❏❚✄ ✆ ☛ ❍ ✱ ✓ ☛ ✷ ✎ ✞ ✎ ☛ ✌ ☛ X ✒ ✷ ✞ ❆ ✄✝✷ ✑ ❍ ☛ ✒ ✁ ☛ ✆ ✒ ✁â❍ ✒ ✠ ✞ ✎ ✌ ✶✫✒ ✁ ✄ M ✒ ✌ ❏
✒X✡✱ =✠ ☛ ✆X✄❑✷❇✷ +VM☛ +✁ ☛ V✆ ✒ ✁⑧✎ ✁ ✷ ✗ ✆ ☛ ✁⑧➞✁ ✄❑✌ ❏ ✎ ✞ ✞ ✄ ❆ ❶ ✄ ✒ ✠ ✎ ✒ ✞ ✎ ☛ ✌ ✭ ✖ ☛ ✞ ❆ F ✼ ✒ ❏ ✒✴✱ ✞ ✄✸❏ ✚❥☛ ❺ ✓ X❆ ✄➵✚ ❏❚✄ ✆ ☛ ❍ ✱ ☛ ✷ ✎ ✞ ✎ ☛ ✌
❽ ☛ ✌ ✷ ✎ ❏❚✄ ✠ ✒ ✷❼✄ ⑦ ✑ ✄ ✌ ✆ ✒ ✄ (X ) ☛ ✓ ✆ ☛ ✌ ✓ ✞ ✎ ✌ ✑ ☛ ✑ ✷ F ✼ ✷❇✄ ❍✍✎❷✼➤❍ ✒ ✠ ✞ ✎ ✌ ✶✩✒ ✁ ✄✸✷ ☛ ✌ ✱ ✠ ☛ ✖ ✼
✒✞ ❆ ✖ ✄ ✎⑧✁⑧✠ ✎ ✄ ✞ ✗ ✎ ✷ ✷ ✱❚✌ ✒☛ ✆ ✄❑❍✷ (Ω✖ ✎ ✑ , ✎ F✞ ✗ ✚ , P ) ✚✝❺ ☛ ✷ ✎ ❍ ✱ ✁ ✎ ✗ ✞ ❆ ✄ ✌ ☛ ✞ ✒ ✞ ✎ ☛ ✌ ✭ ❏❚✄ ✌ ☛ ✞ ✄ P ✖ ✗ P ❋ ❆ ✄ ✌
➝ ✌ ✒ ✁⑧✓ ✁ ✞ ❆ ✒✎ ✷♦✷❇✄ ✆ ✶ ✞ ✎ ☛ ✌ ✭✓ ❋ ✄ ✆ ☛ ✌ ✷ ✎ ❏✵✄ ✠ ✞ ❆ ✄ ✆ ☛ ✌ ❶ ✄ ✠ ✓ ✶ ✄ ✌ ✆ ✄ ☛ ✓ ✷❇✄ ❍✍✎×✼▼❍ ✒ ✠ ✞ ✎ ✌ ✶✫✒ ✁ ✄✸✷ ✎ ✌ ✞ ❆ ✄
✷ ✱❚✒ ✆ ✄ ☛ ✆ ☛ ✌ ✞ ✎ ✌ ✑ ☛ ✑ ✷ ✑ ✌ ✆ ✞ ✎ ☛ ✌ ✷ ❋ ✎ ✞ ❆ ✞ ❆ ✄ ✑ ✌ ✎ ☛ ✠ ❍ ✌ ☛ ✠ ❍ ✚✦❺ ❆ ✄ ✆ ☛ ✌ ❶ ✄ ✠ ✶ ✄ ✌ ✆ ✄ ✎ ✌
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P Varp,[0,hM i iT ] (B i ) > C; hM i iT > K
i=1

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P Varp,[0,T ] (X n ) > C < ε.

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s,t (X); 0 ≤ s ≤ t ≤ T, i, j ∈ { 1, . . . , N })
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Θi,j
s,t (X) =

s

(Xri − Xsi )◦dXrj

= Θi,j
s,t (X) +

¢
1¡ i j
hX , X it − hX i , X j is .
2

❽ ✁ ✄ ✠ ✁ ✗ ✭ (X, Θ(X)) ❏ (X, Θ(X)) ✷ ✞ ✎ ✷ ✓ ✗ ✥✛✧ ✬✮✭✲✥✛✧ ✖ ✬ ❏ ✥➔✧ ✄ ✬✮✚ ✄ ❆ ❶ ✄
✷❇✄❑✄ ✎ ✒ ❅ ✄ ❍✍❍ ✧ ✞ ❆ ✞✟✞✒ ❆ ✌ ✄ ✗ ✁ ✷ ☛ ✷ ✞ ✎ ✷ ✓ ✗ ✒ ✥➔✧ ✆ ✬✮✚è❺ ☛ ✒ ✠ ☛ ❶ ✄ ✞ ✒ ❆ ✌ ✞✝✞ ❆ ✄ ✗ ✖ ✄ ✁ ☛ ✒ ✞ ☛
✌ ✌
✒ ✭❚✎ ✞ ✠✒ ✄ ❍ ✎ ✷ ✒ ✞ ☛ ✠ ☛ ✒ ❶ ✄ ✞ ❆ ✞
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MVp ([0, T ]; RN )
Θ(X)
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