PEMBAHASAN SOAL UN MATEMATIKA SMA 1
Penyelesaian:
1. Untuk dapat mengerjakan soal ini, diperlukan 2 langkah pengerjaan. Langkah
pertama adalah penarikan kesimpulan dari premis-premis, dan langkah
berikutnya adalah menentukan ingkaran kesimpulan yang diperoleh pada
langkah pertama.
Langkah Pertama: Penarikan Kesimpulan
Premis Misal
p adalah kalimat “saya giat belajar”
q adalah kalimat “saya bisa meraih juara”
r adalah kalimat “saya boleh ikut bertanding”
Maka premis-premis di atas dapat disusun dalam kalimat logika berikut.
Jika saya giat belajar maka saya bisa meraih juara : p →q
Jika saya bisa meraih juara maka saya boleh ikut bertanding : q → r
Dari premis-premis di atas, gunakan silogisme untuk penarikan kesimpulan.
Ingat kembali
konsep penarikan kesimpulan menggunakan silogisme, yakni:
Sehingga diperoleh kesimpulan premis-premis di atas adalah; p
Langkah Kedua: Menentukan Ingkaran dari Kesimpulan
Kesimpulan yang diperoleh pada langkah sebelumnya adalah
implikasi: p
r Ingat kembali konsep ingkaran dari pernyataan
implikasi, yakni :
ingkaran dari kesimpulan kedua premis di atas adalah
r.
Jadi ingkaran dari kesimpulan kedua premis di atas adalah p ˄ r, yakni “saya
giat belajar dan saya tidak boleh ikut bertanding”
Jawaban: A
2. misalkan:
p : ada ujian sekolah
q : semua siswa belajar rajin
maka pernyataan “Jika ada ujian sekolah maka semua siswa belajar dengan
rajin” dapat ditulis
sebagai p→ q. Mengingat p→ q ↔
p V q maka diperoleh
(
p V q) ↔ p ˄
p
negasi dari pernyataan “Jika ada ujian sekolah maka semua siswa belajar
dengan rajin” adalah
“Ada ujian sekolah dan beberapa siswa tidak belajardengan rajin”
Jawaban: B
3.
Jawaban: A
4.
Jawaban: B
5. Untuk mengerjakan soal ini, diperlukan sifat-sifat logaritma berikut:
X
6.
2
α
+ 4� +
=0
P +1= X 1
P –1= X 2
X1 − X2
P+1+p–
2p
P
Maka X 1
X1
3.1
3
=4
1
=4
=4
=4
X 2 =1
=3
. X2
= α
= α
= α
Jawaban: D
7.
X
2
+ (2 α
+ 3) + ( α
+ 5) = 0
X1
X2
X 1 − X 2 =3
a2 +2 α −¿ 12=….?
Penyelesaian:
X1 − X2 =
√D
α
(2 α +3) −4(1)(α +5)
3= √
1
9= 4 α 2 +12 α +9−4 α −20
0= 4 α 2 +8 α −20
0= α 2 +2 α −5
5= α 2 +2 α
2
Maka:
2
a +2 α −¿ 12 = 5−12
+ -7
Jawaban: C
8.
Dari permasalahan di atas dapat dimodelkan dalam sistem persamaan
matematika:
5 I + 4 II = 5.500.000
3 I + 2 II = 3.000.000
Penyelesaian dari sistem persamaan di atas :
3 I + 2 II = 3.000.000 x 2
5 I + 4 II = 5.500.000 x 1
I = 500.000 II = 750.000
6 I + 2 II = 6 x 500.000 + 2 x 750.000 = 4.500.000
Toko C harus membayar Rp4.500.000,00.
Jawaban: C
9. Titik (4, -1) pada lingkaran L ≡ �2 + y2 + 6� – 4y – 45 =0 karena 16+1+24+445=0. Persamaan garis singgung di titik (4, -1) adalah
(4)�+y(-1)+3 (�+4) 2(y-1)-45=0
7�-3y-31=0
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah 7�-3y-31=0
Jawaban: A
10. Ingat Teorema Sisa 1: Jika suku banyak f(x) dibagi (x-k) , maka sisa
pembagiannya adalah f(k) .
dibagi dibagi
sisanya 6, dan dibagi
sisanya 2.
Berdasar Teorema Sisa 1 diperoleh
Dari (i) dan (ii)
Jawaban: E
11. (gof)(x)= g(f(x))
= g (2x – 3)
=(2x – 3)2 + 2(2x−3) – 3
= 4x2 – 8x
Jawaban: E
12. Misalkan:
X = sepeda gunung
Y = sepeda balap
Dari permasalahan di atas dapat disusun model matematika sebagai berikut
X + y = 25; 1500000x + 2000000y ≤ 42000000; x ≥ 0; y ≥ 0 yang
ekuivalen dengan X + y = 25; 3x + 4y ≤ 84; x ≥ 0 ; y ≥ 0
Fungsi sasarannya adalah f (x,y) = 500000x + 600000y
Karena mengharuskan x + y = 25 maka daerah penyelesaiannya adalah
→
AB
(ruas garis AB) seperti pada gambar berikut.
Selanjutnya dengan membandingkan hasil di titik A dan B maka diperoleh
nilai maksimum f(x,y) berada pada titik A yaitu f (16,9) = 500000(16) +
600000(9) = 13400000
Jawaban: A
13.
Jadi
Jawaban: C
14.
Jawaban: C
15.
Jawaban: D
16.
Jawaban: C
17.
Karena
transformasi
yang
dilakukan
tidak
memuat
dilatasi
(perbesaran/pengecilan) maka yang perlu diperhatikan hanya titik pusat saja,
sedangkan jari-jari tetap 2.
Lingkaran x 2 + y 2 = 4berpusat di (0,0). Oleh pencerminan terhadap garis
x=2 pusat berpindah ke
titik (4,0). Selanjutnya, oleh translasi
persamaan lingkaran yang baru adalah
titik pusat bergeser ke titik (1,4) Jadi
18.
jawaban: A
Perhatikan gambar terlihat bahwa grafik tersebut menggambarkan hubungan
y – 1 = 3 x . Dengan mengganti y= f(x) maka diperoleh
f(x) – 1 = 3 x
f(x) = 3 x + 1
jawaban: D
19.
Atau
jawaban: D
20. U20 = S20 – S19
=202 + 3.20 – (192 + 3.19)
=42
Jawaban: B
21. Soal di atas merupakan contoh soal deret aritmatika dengan:
Suku pertama,U1= a= 1960 ;
Beda, b = −120
Ditanyakan total produksi pada tahun ke-16, yakni S n dengan n = 16
jawaban: C
22. Rasio, r = 2
U7 = αr 6 =384
Suku ke-10,
Jawaban: B
23. Dari U3 =16 diperoleh αr 3 =16
(1)
U7 = 256 diperoleh αr 6 =256
6
4
(2)
αr . r = 256
Persamaan (1) disubstitusikan ke persamaan (2), diperoleh
16. r 4 =256 ↔ r=2 atau r=-2
Karena pilihan yang diberikan semua bernilai positif, maka diambil r=2.
Sehingga berlaku:
Jawaban: C
24.
Panjang EG = panjang AC = panjang diagonal sisi = 8
Panjang AT =
1
.8
2
√2
=4
√2
√2
Panjang GT = panjang ET =
Luas segitiga ETG = Luas ACGE – luas ATE – luas TCG
jawaban: E
25.
Perhatikan segitiga EAT.
Jawaban: C
26.
Setiap segitiga di dalam segienam beraturan merupakan segitiga sama sisi
karena sudut sudutnya sama besar (60˚).
Menggunakan rumus sinus untuk luas segitiga, diperoleh:
luas masing-masing segitiga
Sehingga luas segienam keseluruhan
Jawaban: B
27. Cos (4x) + 3sin (2x) = -1
1 – 2sin2 2x = 3sin (3x) = -1
↔ 2sin2 (2x) – 3sin (2x) -2 =0
Misal y= sin(2x)
↔ 2y2 – 3y – 2 =0
↔ (y – 2)(2y + 1) = 0
↔ y=2 V
y=-
1
2
Karena y = sin (2x) tidak mungkin bernilai 2, maka akan ditentukan nilai x
yang Memenuhi y = sin (2x) = Sin (2x) = -
1
2
1
2
2x = 210 °
↔ x = 105 °
Atau 2x = 330 °
↔ x = 165 °
Jawaban: D
28.
Dengan menggunakan rumus sin A – sin B ...
jawaban: D
29.
karena garis dan grafik bersinggungan, maka berlaku:
Menggunakan sifat garis singgung grafik fungsi kuadrat, maka berlaku nilai
diskriminan (D) pada
persamaan *) adalah 0, sehingga:
Jawaban: D
30.
Jawaban: A
31.
Jawaban: E
32. Jelas bahwa kurva melalui (1,9) karena titik ini memenuhi persamaan kurva.
Kemudian dicari persamaan garis singgung kurva yang melalui titik ini sebagai
berikut:
Gradien garis singgung kurva m(x) di peroleh dari m(x) = y’ = 4x(x2+2). Berarti
m(1) = 12 sehingga persamaan garis singgung yang melalui titik (1,9) adalah y
– 9 = 12 (x – 1). Pada persamaan garis ini, untuk nilai x = 0 (memotong sumbu
Y) akan diperoleh y = -3. Jadi garis singgung ini akan melalui titik (0,–3).
Jawaban : C
33.
Jawaban : A
34.
Jawaban: C
35.
Jawaban: E
36. misal f(x) = x2 + 3x +4 dan g (x) = 1 – x
Batas daerah yang dibatasi kedua kurva ditentukan sebagai berikut:
f(x) = g (x)
x2 + 3x +4 = 1 – x
x2 + 4x +3 = 0 ↔ (x+3)(x+1) = 0 ↔ x = -3 V x =-1
Diperoleh luas=
Jawaban: B
37.
Untuk menentukan volume benda putar antara dua kurva, ditentukan terlebih
dahulu titik potong dua kurva.
Titik potong antara
Jawaban: C
38.
Jawaban: A
39.
Jawaban: D
40.
Jawaban: E
1. Untuk dapat mengerjakan soal ini, diperlukan 2 langkah pengerjaan. Langkah
pertama adalah penarikan kesimpulan dari premis-premis, dan langkah
berikutnya adalah menentukan ingkaran kesimpulan yang diperoleh pada
langkah pertama.
Langkah Pertama: Penarikan Kesimpulan
Premis Misal
p adalah kalimat “saya giat belajar”
q adalah kalimat “saya bisa meraih juara”
r adalah kalimat “saya boleh ikut bertanding”
Maka premis-premis di atas dapat disusun dalam kalimat logika berikut.
Jika saya giat belajar maka saya bisa meraih juara : p →q
Jika saya bisa meraih juara maka saya boleh ikut bertanding : q → r
Dari premis-premis di atas, gunakan silogisme untuk penarikan kesimpulan.
Ingat kembali
konsep penarikan kesimpulan menggunakan silogisme, yakni:
Sehingga diperoleh kesimpulan premis-premis di atas adalah; p
Langkah Kedua: Menentukan Ingkaran dari Kesimpulan
Kesimpulan yang diperoleh pada langkah sebelumnya adalah
implikasi: p
r Ingat kembali konsep ingkaran dari pernyataan
implikasi, yakni :
ingkaran dari kesimpulan kedua premis di atas adalah
r.
Jadi ingkaran dari kesimpulan kedua premis di atas adalah p ˄ r, yakni “saya
giat belajar dan saya tidak boleh ikut bertanding”
Jawaban: A
2. misalkan:
p : ada ujian sekolah
q : semua siswa belajar rajin
maka pernyataan “Jika ada ujian sekolah maka semua siswa belajar dengan
rajin” dapat ditulis
sebagai p→ q. Mengingat p→ q ↔
p V q maka diperoleh
(
p V q) ↔ p ˄
p
negasi dari pernyataan “Jika ada ujian sekolah maka semua siswa belajar
dengan rajin” adalah
“Ada ujian sekolah dan beberapa siswa tidak belajardengan rajin”
Jawaban: B
3.
Jawaban: A
4.
Jawaban: B
5. Untuk mengerjakan soal ini, diperlukan sifat-sifat logaritma berikut:
X
6.
2
α
+ 4� +
=0
P +1= X 1
P –1= X 2
X1 − X2
P+1+p–
2p
P
Maka X 1
X1
3.1
3
=4
1
=4
=4
=4
X 2 =1
=3
. X2
= α
= α
= α
Jawaban: D
7.
X
2
+ (2 α
+ 3) + ( α
+ 5) = 0
X1
X2
X 1 − X 2 =3
a2 +2 α −¿ 12=….?
Penyelesaian:
X1 − X2 =
√D
α
(2 α +3) −4(1)(α +5)
3= √
1
9= 4 α 2 +12 α +9−4 α −20
0= 4 α 2 +8 α −20
0= α 2 +2 α −5
5= α 2 +2 α
2
Maka:
2
a +2 α −¿ 12 = 5−12
+ -7
Jawaban: C
8.
Dari permasalahan di atas dapat dimodelkan dalam sistem persamaan
matematika:
5 I + 4 II = 5.500.000
3 I + 2 II = 3.000.000
Penyelesaian dari sistem persamaan di atas :
3 I + 2 II = 3.000.000 x 2
5 I + 4 II = 5.500.000 x 1
I = 500.000 II = 750.000
6 I + 2 II = 6 x 500.000 + 2 x 750.000 = 4.500.000
Toko C harus membayar Rp4.500.000,00.
Jawaban: C
9. Titik (4, -1) pada lingkaran L ≡ �2 + y2 + 6� – 4y – 45 =0 karena 16+1+24+445=0. Persamaan garis singgung di titik (4, -1) adalah
(4)�+y(-1)+3 (�+4) 2(y-1)-45=0
7�-3y-31=0
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah 7�-3y-31=0
Jawaban: A
10. Ingat Teorema Sisa 1: Jika suku banyak f(x) dibagi (x-k) , maka sisa
pembagiannya adalah f(k) .
dibagi dibagi
sisanya 6, dan dibagi
sisanya 2.
Berdasar Teorema Sisa 1 diperoleh
Dari (i) dan (ii)
Jawaban: E
11. (gof)(x)= g(f(x))
= g (2x – 3)
=(2x – 3)2 + 2(2x−3) – 3
= 4x2 – 8x
Jawaban: E
12. Misalkan:
X = sepeda gunung
Y = sepeda balap
Dari permasalahan di atas dapat disusun model matematika sebagai berikut
X + y = 25; 1500000x + 2000000y ≤ 42000000; x ≥ 0; y ≥ 0 yang
ekuivalen dengan X + y = 25; 3x + 4y ≤ 84; x ≥ 0 ; y ≥ 0
Fungsi sasarannya adalah f (x,y) = 500000x + 600000y
Karena mengharuskan x + y = 25 maka daerah penyelesaiannya adalah
→
AB
(ruas garis AB) seperti pada gambar berikut.
Selanjutnya dengan membandingkan hasil di titik A dan B maka diperoleh
nilai maksimum f(x,y) berada pada titik A yaitu f (16,9) = 500000(16) +
600000(9) = 13400000
Jawaban: A
13.
Jadi
Jawaban: C
14.
Jawaban: C
15.
Jawaban: D
16.
Jawaban: C
17.
Karena
transformasi
yang
dilakukan
tidak
memuat
dilatasi
(perbesaran/pengecilan) maka yang perlu diperhatikan hanya titik pusat saja,
sedangkan jari-jari tetap 2.
Lingkaran x 2 + y 2 = 4berpusat di (0,0). Oleh pencerminan terhadap garis
x=2 pusat berpindah ke
titik (4,0). Selanjutnya, oleh translasi
persamaan lingkaran yang baru adalah
titik pusat bergeser ke titik (1,4) Jadi
18.
jawaban: A
Perhatikan gambar terlihat bahwa grafik tersebut menggambarkan hubungan
y – 1 = 3 x . Dengan mengganti y= f(x) maka diperoleh
f(x) – 1 = 3 x
f(x) = 3 x + 1
jawaban: D
19.
Atau
jawaban: D
20. U20 = S20 – S19
=202 + 3.20 – (192 + 3.19)
=42
Jawaban: B
21. Soal di atas merupakan contoh soal deret aritmatika dengan:
Suku pertama,U1= a= 1960 ;
Beda, b = −120
Ditanyakan total produksi pada tahun ke-16, yakni S n dengan n = 16
jawaban: C
22. Rasio, r = 2
U7 = αr 6 =384
Suku ke-10,
Jawaban: B
23. Dari U3 =16 diperoleh αr 3 =16
(1)
U7 = 256 diperoleh αr 6 =256
6
4
(2)
αr . r = 256
Persamaan (1) disubstitusikan ke persamaan (2), diperoleh
16. r 4 =256 ↔ r=2 atau r=-2
Karena pilihan yang diberikan semua bernilai positif, maka diambil r=2.
Sehingga berlaku:
Jawaban: C
24.
Panjang EG = panjang AC = panjang diagonal sisi = 8
Panjang AT =
1
.8
2
√2
=4
√2
√2
Panjang GT = panjang ET =
Luas segitiga ETG = Luas ACGE – luas ATE – luas TCG
jawaban: E
25.
Perhatikan segitiga EAT.
Jawaban: C
26.
Setiap segitiga di dalam segienam beraturan merupakan segitiga sama sisi
karena sudut sudutnya sama besar (60˚).
Menggunakan rumus sinus untuk luas segitiga, diperoleh:
luas masing-masing segitiga
Sehingga luas segienam keseluruhan
Jawaban: B
27. Cos (4x) + 3sin (2x) = -1
1 – 2sin2 2x = 3sin (3x) = -1
↔ 2sin2 (2x) – 3sin (2x) -2 =0
Misal y= sin(2x)
↔ 2y2 – 3y – 2 =0
↔ (y – 2)(2y + 1) = 0
↔ y=2 V
y=-
1
2
Karena y = sin (2x) tidak mungkin bernilai 2, maka akan ditentukan nilai x
yang Memenuhi y = sin (2x) = Sin (2x) = -
1
2
1
2
2x = 210 °
↔ x = 105 °
Atau 2x = 330 °
↔ x = 165 °
Jawaban: D
28.
Dengan menggunakan rumus sin A – sin B ...
jawaban: D
29.
karena garis dan grafik bersinggungan, maka berlaku:
Menggunakan sifat garis singgung grafik fungsi kuadrat, maka berlaku nilai
diskriminan (D) pada
persamaan *) adalah 0, sehingga:
Jawaban: D
30.
Jawaban: A
31.
Jawaban: E
32. Jelas bahwa kurva melalui (1,9) karena titik ini memenuhi persamaan kurva.
Kemudian dicari persamaan garis singgung kurva yang melalui titik ini sebagai
berikut:
Gradien garis singgung kurva m(x) di peroleh dari m(x) = y’ = 4x(x2+2). Berarti
m(1) = 12 sehingga persamaan garis singgung yang melalui titik (1,9) adalah y
– 9 = 12 (x – 1). Pada persamaan garis ini, untuk nilai x = 0 (memotong sumbu
Y) akan diperoleh y = -3. Jadi garis singgung ini akan melalui titik (0,–3).
Jawaban : C
33.
Jawaban : A
34.
Jawaban: C
35.
Jawaban: E
36. misal f(x) = x2 + 3x +4 dan g (x) = 1 – x
Batas daerah yang dibatasi kedua kurva ditentukan sebagai berikut:
f(x) = g (x)
x2 + 3x +4 = 1 – x
x2 + 4x +3 = 0 ↔ (x+3)(x+1) = 0 ↔ x = -3 V x =-1
Diperoleh luas=
Jawaban: B
37.
Untuk menentukan volume benda putar antara dua kurva, ditentukan terlebih
dahulu titik potong dua kurva.
Titik potong antara
Jawaban: C
38.
Jawaban: A
39.
Jawaban: D
40.
Jawaban: E