11 MBI April c KunciJawaban
Kunci Jawaban
MBI SMK
April 2011
Fadjar Shadiq, M.App.Sc
(fadjar_p3g@yahoo.com & www. fadjarp3g.wordpress.com)
Sekali lagi, cobalah untuk memecahkan sendiri masalah di atas dahulu sebelum
mencoba melihat ’Petunjuk’ dan ’Kunci Jawaban’. Selamat berlatih memecahkan
masalah.
1. Kunci: Kecepatan Kim adalah 12 km/jam.
Dimisalkan bahwa kecepatan bersepeda Kim adalah v km/jam. Dengan
demikian akan didapat:
a. Waktu yang digunakan Kim pada jarak sejauh 21 km adalah
21
jam.
v
b. Waktu yang digunakan Kim pada jarak sejauh 21 km dengan kecepatan
(v + 2) adalah
21
v
2
jam.
Karena diketahui bahwa dengan kecepatan yang baru, ia dapat merampungkan
1
jam lebih cepat, sehingga didapat:
4
21
21
1
=
v 2
4
v
kegiatan bersepedanya 15 menit =
v2 + 2v 168 = 0
(v + 14)(v 12) = 0
v = 12 atau v = 14 (Tidak Mungkin)
Jadi, kecepatan bersepeda Kim adalah 12 km/jam.
Langkah selanjutnya adalah mengecek kebenaran hasil.
21
3
= 1 jam.
4
12
21
1
= 1 jam.
Dengan kecepatan 14 km/jam, waktu yang digunakan =
2
14
1
Jadi, selisih waktunya adalah
jam = 15 menit. Hal ini sesuai dengan kondisi
4
Dengan kecepatan 12 km/jam, waktu yang digunakan =
yang ada, sehingga jawaban tadi adalah jawaban yang benar.
1
2. Kunci
a. Jika semua huruf A, C, G dan T yang digunakan maka akan ada
sebanyak 4! = 24 susunan yang mungkin, seperti ACGT, ACTG, AGCT,
AGTC, dan seterusnya.
b. Untuk setiap susunan pada jawaban a) di atas, seperti ACGT jika
ditambah satu dari empat huruf tadi, akan didapat:
A
C
G
T
i. Sebelum huruf A dapat dituliskan satu huruf C, G, atau T. Namun
tidak dapat dituliskan huruf A karena akan melanggar ketentuan,
di mana dua huruf A ditulis berdekatan.
ii. Hal yang sama akan terjadi jika kita hendak menambah satu huruf
setelah huruf T.
iii. Antara huruf A dan C hanya dapat dituliskan dua huruf, yaitu G
atau T. Namun tidak dapat dituliskan huruf A atau C karena akan
melanggar ketentuan, di mana dua huruf A atau dua huruf C akan
ditulis berdekatan.
iv. Hal yang sama akan terjadi jika kita hendak menambah satu huruf
di antara huruf C dan G.
v. Hal yang sama akan terjadi jika kita hendak menambah satu huruf
di antara huruf G dan T.
Jadi, banyaknya susunan lima huruf dituliskan dari kiri ke kanan, di
mana hanya huruf-huruf A, C, G dan T yang digunakan dan dua huruf
yang berdekatan tidak ada yang sama adalah 12 4! = 288.
c. Hanya ada dua susunan empat huruf di mana kata “CAT” akan muncul
sebagai tiga huruf berurutan dari kiri ke kanan adalah GCAT dan CATG.
d. Untuk setiap susunan pada jawaban c) di atas, seperti GCAT jika
ditambah satu dari empat huruf tadi, akan didapat:
G
C
A
T
i. Sebelum huruf G dapat dituliskan satu huruf C, A, atau T. Namun
tidak dapat dituliskan huruf G karena akan melanggar ketentuan,
di mana dua huruf G ditulis berdekatan.
ii. Hal yang sama akan terjadi jika kita hendak menambah satu huruf
setelah huruf T.
iii. Antara huruf G dan C hanya dapat dituliskan satu huruf T atau T.
Namun tidak dapat dituliskan huruf C atau C karena akan
melanggar ketentuan, di mana dua huruf G atau dua huruf C akan
ditulis berdekatan.
iv. Hal yang sama akan terjadi jika kita hendak menambah satu huruf
di antara huruf C dan A.
v. Hal yang sama akan terjadi jika kita hendak menambah satu huruf
di antara huruf G dan T.
2
Jadi, banyaknya susunan lima huruf dituliskan dari kiri ke kanan, di
mana hanya huruf-huruf A, C, G dan T yang digunakan, dua huruf yang
berdekatan tidak ada yang sama, serta kata “CAT” akan muncul sebagai
tiga huruf berurutan dari kiri ke kanan 12 2 = 24.
e. Jadi, peluang bahwa kata “CAT” akan muncul sebagai tiga huruf
berurutan dari kiri ke kanan adalah
12 2
12 24
1
12
3. Kunci. Terbukti.
Perhatikan gambar di bawah ini. O adalah pusat ketiga lingkaran yang ada.
Dimisalkan bahwa OD = R. Dengan demikian, luas daerah lingkaran terkecil
yang diarsir adalah R2
…. ---- (1)
BO adalah jari-jari lingkaran terbesar, sehingga luas daerah lingkaran terbesar
adalah (BO)2.
EO adalah jari-jari lingkaran terbesar
kedua. CA adalah garis singgung pada
lingkaran terbesar kedua di E,
sedangkan OAC adalah segitiga samakaki; sehingga CE = EA = R. Dengan
memperhatikan OEC, akan didapat
OE2 = OC2 CE2 = BO2 R2. Jadi, luas
daerah lingkaran terbesar kedua
adalah:
(OE)2 = (BO2 R2)
C
G
O
E
A
Pada akhirnya, akan didapat luas
daerah yang diarsir (berbentuk seperti
cincin) adalah:
Luas daerah lingkaran terbesar Luas
daerah lingkaran terbesar kedua
= (BO)2
(BO2 R2)
(BO)2 + R2
= (BO)2
2
= R …. ---- (2)
R
D
FC
B
Dari hasil (1) dan (2) dapat disimpulkan bahwa terbukti bahwa luas kedua
daerah yang diarsir adalah sama. QED
Lambang yang sering digunakan matematikawan adalah QED (Quod quod erat
demonstrandum).
3
MBI SMK
April 2011
Fadjar Shadiq, M.App.Sc
(fadjar_p3g@yahoo.com & www. fadjarp3g.wordpress.com)
Sekali lagi, cobalah untuk memecahkan sendiri masalah di atas dahulu sebelum
mencoba melihat ’Petunjuk’ dan ’Kunci Jawaban’. Selamat berlatih memecahkan
masalah.
1. Kunci: Kecepatan Kim adalah 12 km/jam.
Dimisalkan bahwa kecepatan bersepeda Kim adalah v km/jam. Dengan
demikian akan didapat:
a. Waktu yang digunakan Kim pada jarak sejauh 21 km adalah
21
jam.
v
b. Waktu yang digunakan Kim pada jarak sejauh 21 km dengan kecepatan
(v + 2) adalah
21
v
2
jam.
Karena diketahui bahwa dengan kecepatan yang baru, ia dapat merampungkan
1
jam lebih cepat, sehingga didapat:
4
21
21
1
=
v 2
4
v
kegiatan bersepedanya 15 menit =
v2 + 2v 168 = 0
(v + 14)(v 12) = 0
v = 12 atau v = 14 (Tidak Mungkin)
Jadi, kecepatan bersepeda Kim adalah 12 km/jam.
Langkah selanjutnya adalah mengecek kebenaran hasil.
21
3
= 1 jam.
4
12
21
1
= 1 jam.
Dengan kecepatan 14 km/jam, waktu yang digunakan =
2
14
1
Jadi, selisih waktunya adalah
jam = 15 menit. Hal ini sesuai dengan kondisi
4
Dengan kecepatan 12 km/jam, waktu yang digunakan =
yang ada, sehingga jawaban tadi adalah jawaban yang benar.
1
2. Kunci
a. Jika semua huruf A, C, G dan T yang digunakan maka akan ada
sebanyak 4! = 24 susunan yang mungkin, seperti ACGT, ACTG, AGCT,
AGTC, dan seterusnya.
b. Untuk setiap susunan pada jawaban a) di atas, seperti ACGT jika
ditambah satu dari empat huruf tadi, akan didapat:
A
C
G
T
i. Sebelum huruf A dapat dituliskan satu huruf C, G, atau T. Namun
tidak dapat dituliskan huruf A karena akan melanggar ketentuan,
di mana dua huruf A ditulis berdekatan.
ii. Hal yang sama akan terjadi jika kita hendak menambah satu huruf
setelah huruf T.
iii. Antara huruf A dan C hanya dapat dituliskan dua huruf, yaitu G
atau T. Namun tidak dapat dituliskan huruf A atau C karena akan
melanggar ketentuan, di mana dua huruf A atau dua huruf C akan
ditulis berdekatan.
iv. Hal yang sama akan terjadi jika kita hendak menambah satu huruf
di antara huruf C dan G.
v. Hal yang sama akan terjadi jika kita hendak menambah satu huruf
di antara huruf G dan T.
Jadi, banyaknya susunan lima huruf dituliskan dari kiri ke kanan, di
mana hanya huruf-huruf A, C, G dan T yang digunakan dan dua huruf
yang berdekatan tidak ada yang sama adalah 12 4! = 288.
c. Hanya ada dua susunan empat huruf di mana kata “CAT” akan muncul
sebagai tiga huruf berurutan dari kiri ke kanan adalah GCAT dan CATG.
d. Untuk setiap susunan pada jawaban c) di atas, seperti GCAT jika
ditambah satu dari empat huruf tadi, akan didapat:
G
C
A
T
i. Sebelum huruf G dapat dituliskan satu huruf C, A, atau T. Namun
tidak dapat dituliskan huruf G karena akan melanggar ketentuan,
di mana dua huruf G ditulis berdekatan.
ii. Hal yang sama akan terjadi jika kita hendak menambah satu huruf
setelah huruf T.
iii. Antara huruf G dan C hanya dapat dituliskan satu huruf T atau T.
Namun tidak dapat dituliskan huruf C atau C karena akan
melanggar ketentuan, di mana dua huruf G atau dua huruf C akan
ditulis berdekatan.
iv. Hal yang sama akan terjadi jika kita hendak menambah satu huruf
di antara huruf C dan A.
v. Hal yang sama akan terjadi jika kita hendak menambah satu huruf
di antara huruf G dan T.
2
Jadi, banyaknya susunan lima huruf dituliskan dari kiri ke kanan, di
mana hanya huruf-huruf A, C, G dan T yang digunakan, dua huruf yang
berdekatan tidak ada yang sama, serta kata “CAT” akan muncul sebagai
tiga huruf berurutan dari kiri ke kanan 12 2 = 24.
e. Jadi, peluang bahwa kata “CAT” akan muncul sebagai tiga huruf
berurutan dari kiri ke kanan adalah
12 2
12 24
1
12
3. Kunci. Terbukti.
Perhatikan gambar di bawah ini. O adalah pusat ketiga lingkaran yang ada.
Dimisalkan bahwa OD = R. Dengan demikian, luas daerah lingkaran terkecil
yang diarsir adalah R2
…. ---- (1)
BO adalah jari-jari lingkaran terbesar, sehingga luas daerah lingkaran terbesar
adalah (BO)2.
EO adalah jari-jari lingkaran terbesar
kedua. CA adalah garis singgung pada
lingkaran terbesar kedua di E,
sedangkan OAC adalah segitiga samakaki; sehingga CE = EA = R. Dengan
memperhatikan OEC, akan didapat
OE2 = OC2 CE2 = BO2 R2. Jadi, luas
daerah lingkaran terbesar kedua
adalah:
(OE)2 = (BO2 R2)
C
G
O
E
A
Pada akhirnya, akan didapat luas
daerah yang diarsir (berbentuk seperti
cincin) adalah:
Luas daerah lingkaran terbesar Luas
daerah lingkaran terbesar kedua
= (BO)2
(BO2 R2)
(BO)2 + R2
= (BO)2
2
= R …. ---- (2)
R
D
FC
B
Dari hasil (1) dan (2) dapat disimpulkan bahwa terbukti bahwa luas kedua
daerah yang diarsir adalah sama. QED
Lambang yang sering digunakan matematikawan adalah QED (Quod quod erat
demonstrandum).
3