resume04_8. 92KB Jun 04 2011 12:07:02 AM
Journal de Th´eorie des Nombres
de Bordeaux 18 (2006), 59–72
A system of simultaneous congruences arising
from trinomial exponential sums
par Todd COCHRANE, Jeremy COFFELT et Christopher
PINNER
´sume
´. Pour p un nombre premier et ℓ < k < h < p des entiers
Re
positifs avec d = (h, k, ℓ, p − 1), nous montrons que M , le nombre
de solutions simultan´ees x, y, z, w dans Z∗p de xh + y h = z h + wh ,
xk + y k = z k + wk , xℓ + y ℓ = z ℓ + wℓ , satisfait `a
M ≤ 3d2 (p − 1)2 + 25hkℓ(p − 1).
Quand hkℓ = o(pd2 ), nous obtenons un comptage asymptotique
pr´ecis de M . Cela conduit `
a une nouvelle borne explicite pour des
sommes d’exponentielles tordues
p−1
X
√
1
1
7
5
1
2πif (x)/p
χ(x)e
≤ 3 4 d 2 p 8 + 5(hkℓ) 4 p 8 ,
x=1
pour des trinˆomes f = axh + bxk + cxℓ , et `a des r´esultats sur la
valeur moyenne de telles sommes.
Abstract. For a prime p and positive integers ℓ < k < h < p
with d = (h, k, ℓ, p−1), we show that M , the number of simultaneous solutions x, y, z, w in Z∗p to xh +y h = z h +wh , xk +y k = z k +wk ,
xℓ + y ℓ = z ℓ + wℓ , satisfies
M ≤ 3d2 (p − 1)2 + 25hkℓ(p − 1).
When hkℓ = o(pd2 ) we obtain a precise asymptotic count on M .
This leads to the new twisted exponential sum bound
p−1
X
√
1
1
7
5
1
2πif (x)/p
χ(x)e
≤ 3 4 d 2 p 8 + 5(hkℓ) 4 p 8 ,
x=1
for trinomials f = axh + bxk + cxℓ , and to results on the average
size of such sums.
Manuscrit re¸cu le 30 mars 2004.
60
Todd Cochrane, Jeremy Coffelt, Christopher Pinner
Todd Cochrane
Department of Mathematics
Kansas State University
Manhattan, KS 66506, USA
E-mail : [email protected]
URL: http://www.math.ksu.edu/~cochrane
Jeremy Coffelt
Department of Mathematics
Kansas State University
Manhattan, KS 66506, USA
E-mail : [email protected]
Christopher Pinner
Department of Mathematics
Kansas State University
Manhattan, KS 66506, USA
E-mail : [email protected]
URL: http://www.math.ksu.edu/~pinner/
de Bordeaux 18 (2006), 59–72
A system of simultaneous congruences arising
from trinomial exponential sums
par Todd COCHRANE, Jeremy COFFELT et Christopher
PINNER
´sume
´. Pour p un nombre premier et ℓ < k < h < p des entiers
Re
positifs avec d = (h, k, ℓ, p − 1), nous montrons que M , le nombre
de solutions simultan´ees x, y, z, w dans Z∗p de xh + y h = z h + wh ,
xk + y k = z k + wk , xℓ + y ℓ = z ℓ + wℓ , satisfait `a
M ≤ 3d2 (p − 1)2 + 25hkℓ(p − 1).
Quand hkℓ = o(pd2 ), nous obtenons un comptage asymptotique
pr´ecis de M . Cela conduit `
a une nouvelle borne explicite pour des
sommes d’exponentielles tordues
p−1
X
√
1
1
7
5
1
2πif (x)/p
χ(x)e
≤ 3 4 d 2 p 8 + 5(hkℓ) 4 p 8 ,
x=1
pour des trinˆomes f = axh + bxk + cxℓ , et `a des r´esultats sur la
valeur moyenne de telles sommes.
Abstract. For a prime p and positive integers ℓ < k < h < p
with d = (h, k, ℓ, p−1), we show that M , the number of simultaneous solutions x, y, z, w in Z∗p to xh +y h = z h +wh , xk +y k = z k +wk ,
xℓ + y ℓ = z ℓ + wℓ , satisfies
M ≤ 3d2 (p − 1)2 + 25hkℓ(p − 1).
When hkℓ = o(pd2 ) we obtain a precise asymptotic count on M .
This leads to the new twisted exponential sum bound
p−1
X
√
1
1
7
5
1
2πif (x)/p
χ(x)e
≤ 3 4 d 2 p 8 + 5(hkℓ) 4 p 8 ,
x=1
for trinomials f = axh + bxk + cxℓ , and to results on the average
size of such sums.
Manuscrit re¸cu le 30 mars 2004.
60
Todd Cochrane, Jeremy Coffelt, Christopher Pinner
Todd Cochrane
Department of Mathematics
Kansas State University
Manhattan, KS 66506, USA
E-mail : [email protected]
URL: http://www.math.ksu.edu/~cochrane
Jeremy Coffelt
Department of Mathematics
Kansas State University
Manhattan, KS 66506, USA
E-mail : [email protected]
Christopher Pinner
Department of Mathematics
Kansas State University
Manhattan, KS 66506, USA
E-mail : [email protected]
URL: http://www.math.ksu.edu/~pinner/