trigonometri.docx 43KB Apr 25 2011 02:14:08 AM

TRIGONOMETRI
1. Perbandingan Trigonometri dan Teorema Pythagoras
a. Teorema Pythagoras
Apabila diketahui panjang dua sisi suatu segitiga siku-siku, maka
panjang sisi yang ketiga dapat dihitung menggunakan teorema Pythagoras.
Panjang hipotenusa sama dengan jumlah pada kedua sisi siku-siku segitiga.
AB2 = AC2 + BC2

B

Perhatikan gambar disamping:
ABC siku-siku di C, lika besar

c

A

a

sin α :
=

sudut ABC = α (alfa), maka:

c

b

sisidepan sudut
sisi miring

=

b
c

cosec α :

sisi miring
sisi depan sudut

c
b
sisi samping sudut
=
sisimiring
sisi miring
a
=
sisi samping sudut
c

a
c

cos α :

sisidepan sudut
sisi samping sudut
sisidepan sudut
b

=
sisi miring
c

tan α :

=

sec

b
a

α

:

cotan α :

contoh:

1. Di titik R (8, 15) membentuk sudut α, tentukan sec α
Jawab:

r

Y = 15

X=8

sec α

:

sisi miring
sisi samping sudut

=

r
x

sisi miring
sisi samping sudut

=

r2 = x2 + y2
= 82 + 152
= 64 + 225
=

√ 289

r = 17
jadi, sec α

:

r
x

=

17
8

2. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut Istimewa
sudut
o◦
30◦

sin
0
1
2

45◦

1

tan
0

√3
2
√2
2
1
2

√2
2
√3
2

60◦
90◦

cos
1

0

√3
3
1

√3
᷈᷈

Contoh:
Buktikan sin245 + cos245 = 1
jawab:
sin245 + cos245 = 1
(½

√ 2 )2 + (½ √ 2 )2 = 1

¼2+¼2=1
2/4 + 2/4 = 1

4/4=1
Terbukti, sin245 + cos245 = 1

3. Perbandingan Trigonometri dalam Kuadran

Kuadran II

Kuadran I

R=+

R= +

Y=+

y=+

X=-

α

α

α

α

X=+

y=-

Y=R=+

Kuadran I
Kuadran III

R=+

Kuadran IV

sisi depan sudut
sisi miring

sin α :
+¿
+¿
¿
¿

=

y
r

sisi samping sudut
sisi miring
+¿
= +¿
¿ =+
¿

x
r

sisi depan sudut
sisi samping sudut
+¿
+¿
¿ =+
¿

tan α :
=

=

+¿
+¿
¿
¿

=

sec α
r
x

=

sisi miring
sisidepan sudut

cosec α :
r
y

=+

cos α :

y
x

=

=

=+
sisi miring
sisi samping sudut

:
+¿
+¿
¿
¿

=

=+
sisidepan sudut
sisi miring

cotan α :
+¿
+¿
¿
¿

x
=
y

=

=

=+

kuadran II
sisi depan sudut
sisi miring

sin α :
+¿
+¿
¿
¿

=

y
r

sisi samping sudut
sisi miring
−¿
= ∓ =¿

x
r

sisi depan sudut
sisi samping sudut
−¿
+¿
¿ =¿

tan α :
=

=

=

sisi miring
sisidepan sudut

cosec α :
r
y

=+

cos α :

y
x

=

+¿
+¿
¿
¿

=

=+
sisi miring
sisi samping sudut

sec α

:

r
x

−¿
+¿
= ¿
¿

+¿
−¿
¿
¿

=

=sisi depan sudut
sisi miring

cotan α :
x
=
y

=

=

=-

kuadran III
sin α :
=

+¿
−¿
¿
¿

sisi depan sudut
sisi miring
=-

=

y
r

cos α :
x
r

sisi samping sudut
sisimiring
+¿
−¿
= ¿ =¿

=

sisi depan sudut
sisi samping sudut
−¿
−¿
¿ =+
¿

tan α :
y
x

=

cosec α
r
y

sisi miring
sisi depan sudut

:
−¿
+¿
¿
¿

=

=

sec α
r
x

=

sisimiring
sisi samping sudut

:
−¿
+¿
= ¿
¿

=sisidepan sudut
sisi miring

cotan α :

=-

=

x
=
y

−¿
−¿
¿
¿

cosec α

:

=

=+

kuadran IV
sisi depan sudut
sisi miring

sin α :
+¿
−¿
¿
¿

=

cos α :
x
r
tan
y
x

α :
=

=

y
r

r
y

=sisi samping sudut
sisi miring
+¿
+¿
= ¿ =+
¿
sisidepan sudut
sisi samping sudut
+¿
−¿
¿ =¿

=

r
x
=

−¿
+¿
¿
¿

=

sec α

+¿
+¿
¿
¿

cotan α :
x
=
y

−¿
+¿
¿
¿

=

=-

sisi miring
sisi samping sudut

:
=

sisi miring
sisi depan sudut

=

=+
sisi depan sudut
sisi miring
=-

=

Perbandingan
Trigonometri

Kuadran
I
+
+
+
+
+
+

Sin α
Cosα
tan α
Cosec α
sec α
cotan α
Contoh:

II
+
+
-

III
+
+

Cos α = -4/5 dan tan α positif, berapa nilai sin.............

X= -4

y2 = r2 - x2
= 52 - (-42)

α

y=?

= 25 – 16
=

r =5

√9

y = -3

sin α =

sisi depan sudut
sisi miring
=

=

y
r

−3
5

4. Identitas Trigonometri
Perhatikan gambar berikut

y

r

x

IV
+
+
-

sisidepan sudut
=
sisi miring
sisi miring
r
=
sisidepan sudut
y

y
r

sin α :

sisi samping sudut
sisimiring
sisi miring
r
=
sisi samping sudut
x
cos α :

sisi depan sudut
sisi samping sudut
sisidepan sudut
x
=
sisi miring
y

a. Hubungan antarpembanding
1) cosec α =

1
sin α

bukti :
cosec α =

1
sin α

cosec α =

1
y /r

2) sec α =

r
y

=

1
cos α

Bukti:
sec α =

1
cos α

sec α =

1
x /r

3) cotan α =
Bukti :

1
tan α

=

r
x

x
r

=

tan α :

cosec

=

sec

y
x

α

α

:

:

cotan α :

cotan α =
cotanα=

1
tan α
1
x
=
y /x
y

b. Identitas dari Hubungan Teorema Pythagoras (x2 + y2 = r2 )

x2 + y2 = r2 (sama-sama dibagi r2)

x 2 + y 2 = r2 (sama- sama di bagi y2)

x2 / r2 + y2 / r2 = r2 / r2

x2 / y2 + y2 / y2 = y2 / y2

x2 / r2 + y2 / r2 = 1

x2 / y2 + y2 / y2 = 1

cos2 α + sin2 α = 1

cotan2α+1= cosec2 α

contoh :
1) Buktikan:
a)

sin α
cos α

= tan α

jawab:
sin α
cos α
b)

y
r

=

:

x
r

=

y
x

= tan α

y
r

=

y
x

= cotan α

cos α
= cotan α
sin α

jawab:
cos α
sin α

=

x
r

:

2) jika 2 sin2 x + 3 cos x = 0 dan 0° < x < 180° maka nilai x adalah.............
Jawab :
2 sin2 x + 3 cos x = 0
2(1- cos2 x) + 3 cos x = 0
2cos2 x - - 3 cos x - 2 = 0
(2 cos x + 1 ) ( cos x – 2 ) = 0
Cos x = -

1
2

cos x = 2 (tidak memenuhi)

= 120°
Maka nilai x = 120°
3) Dari pertidaksamaan berikut sinx . sin 2 x + cos2x < ½ berapakah nilai
dari x
Jawab:

sinx . sin2 x + cos2x < ½
sin x .(sin2 x + cos2x) < ½
sin x . 1 < ½
sin x < ½
x< 30°

5. Fungsi Trigonometri
Perbandigan trigonometri dari suatu sudut tertentu terdapat tepat satu nilai dari
Sinus, Cosius dan tangens dari sudut tersebut. Sehingga perbandingan
trigonometri merupakan suatu pemetaan atau fungsi.
Perbandingan trigonometri
x

dengan tepat satu nilai

sin x

sin x
sin x

merupakan relasi yang memetakkan setiap
yang dinyatakan dengan notasi F:

dengan rumus fungsi f( x ) =

sin x

x→

dan persamaan fungsinya Y =

sin x , demikian pula untuk Cosinus dan Tangens

CONTOH :
1) Diketahui fungsi f( x )= sin x 0 dengan domain (1200 ,135 0 , 1500 , 1800)
, tentukan Rangenya !
JAWAB :
f( x )= sin x 0
f( 1200 )= sin 1200

180
= sin(¿ ¿ 0−600 )
¿

=

sin 60

180
= sin(¿ ¿ 0−450)
¿

=

sin 45

0

=

0

=

1
√3
2
f( 1350 )= sin 1350
1
√2
2
f( 1500 )= sin 1500

f( 1800 )= sin 1800

180
= sin(¿ ¿ 0−300 )
¿
180
= sin(¿ ¿ 0−0 0)
¿

= sin 300

=

= sin 00

=0

1
2

Jadi Rangenya adalah : {

1
√3 ,
2

1
√2 ,
2

1
,0} .
2

6. Nilai Maksimum Dan Minimum Fungsi
Perubahan nilai fungsi trigonometri dapat kita amati dengan menggunakan
pertolongan lingkaran satuan, yaitu suatu lingkaran trigonometriyang berjari – jari
samadengan satu satuan.
y

P (x,y)
x

Gambar 1.1
Dari Gambar 1.1, kita mendapatkan
y
0
sin a = = y ; nilai sin a0 ditentukan oleh ordinat
1

y .

x
cos a 0= =x ;
1

nilai cos a 0 ditentukan oleh absis

y
0
tan a = ;
x

nilai tan a 0 ditentukan oleh absi � ordinat

x .

y .

Misalkan titik P berputar (diawali dari titik A) berlawanan arah jarum jam pada
lingkaran satuan, sehingga sudut

a

0

= ¿

XOP bertambah secara kontinyu

dari 00 sampai dengan 3600 .
Dengan bertambahnya sudut
cos a

0

0

a

tadi maka nilai fungsi trigonometri

,dan tan a 0 akan mengalami perubahan seperti berikut :

1) (sin a0 ) maksimum = 1, dicapai untuk a=90+n x360
0
(sin a ) minimum = -1, dicapai untuk a=270+n x360

0

sin a

,

❑
Jadi, -1 ≤ sin a ≤ 1 untuk tiap a ∈ R .

cos a
2) (¿¿ 0) maksimum
¿

=

1,

dicapai

untuk

cos a
(¿¿ 0) minimum =-1, dicapai untuk a=180+n x360
¿
❑
Jadi, -1 ≤ cos a ≤1 untuk tiap a ∈ R .

3)

tan a

0

tidak nilai maksimum ataupun minimum.

a=n x360

7. Kumpulan Soal-Soal
1) cos x . cosec x = cotan x
2) sin x . cos x . cosec x . sec x = 1
3) jika x memenuhi 2 (sin x) 2 + 3 sin x – 2 = 0 dan – ½ < x< ½ maka cos x
adalah
4) sederhanakanlah tan (90 + α )° . sin (α – 180)° . sec (270 + α)°
5) jika diketahui tan A = p , hitunglah nilai 2 sin A coa A
6) diketahuhi segitiga ABC diketahui panjang sisi AC = 3, AB = 2 dan sudut A
= 60°. Maka nilai cos C adalah...
7) jika tan x = p , maka nilai 2sin x cos x adalah..
8) diketahui sudut A dan B lancip dengan tan A = 12/5 dan sin B = 4/5. Nilai
cos (A+B) = ........

REFERENSI
Noormadi & Sucipto, Endar. 2004. Matematika SMA. Erlangga. Jakarta
Primagama. 2008. Solusi Smart. Prima Visi Grafika.Yogyakarta
Abidin.1999.Ilmu Ukur Segitiga. Menara Pengetahuan. Yogyakarta
Baharazis . 1997. Ilmu Ukur Segitiga. Pradnya Paramita. Jakarta