I. Bagian I - PETUNJUK PENGGUNAAN AP SMP rev.doc

DAFTAR ISI BUKU PETUNJUK ALAT PERAGA SMP
Kata Pengantar Kepala PPPG Matematika ............................................................. i
Daftar Isi................................................................................................................... ii
I. Bagian I
A. Kelas VII/kelas I SMP
1.

Peraga Operasi Bilangan Bulat........................................................

3

2.

Blok Logika/Blok Himpunan …………………………………….

6

3.

Jumlah Sudut Bangun Datar ……………………………………...

10

B. Kelas VIII/kelas II SMP
1.

Perkalian dua suku dua …………………………………………...

11

2.

Kuadrat Jumlah (a+b)2 ………………………………………….... 15

3.

Kuadrat Selisih (a–b)2 …………………………………………....

4.

Kuadrat Jumlah 3 Variabel (a+b+c)2 …………………………...... 17

5.

Selisih Kuadrat (a+b)(a–b)………………………………………... 18

6.

Pangkat Tiga Jumlah 2 Variabel (a + b)3 ........................................ 19

7.

Model Phythagoras ……………………………………………...... 20

8.

Volum Balok .................................................................................... 22

9.

Volum Kubus..................................................................................... 23

16

10. Volum Kerucut ...............................………………………………... 24
11. Volum Limas …………………………………………………......... 25
C. Kelas IX/kelas III SMP
1.

Loncat Katak ……………………………………………………..... 26

2.

Menara Hanoi …………………………………………………........ 28

3.

Loncat urutan...................................................................................... 29

4.

Pola Sudut …………………………………………………….......... 31

5.

Sesatan Hexagon ………………………………………………........ 33

D. Umum
1. Petunjuk Pembuatan Kartu Permainan (Domino).................................. 37

1

Bagian II PERMAINAN
1. Loncat Katak Persegi (Model II)..................................................................... 40
2. Loncat Katak Persegi Terdistorsi (Model III).................................................. 41
3. Solitaire model I............................................................................................... 42
4. Solitaire model II.............................................................................................. 43
5. Segitiga Ajaib ……………………………………………………….............. 44
6. Segitiga Ajaib lanjut ……………………………………………………........ 45
7. Bujursangkar ajaib ……………………………………………………............ 47
8. Bintang ajaib segilima ……………………………………………….............. 48

9. Bintang ajaib segienam ………………………………………………............. 49
10. Bintang ajaib segitujuh ………………………………………………............. 50
11. Segienam ajaib ………………………………………………………….......... 52
12. Klinometer ………………………………………………………………........ 53
13. Aritmetika Jam ………………………………………………………….......... 55
14. Almanak Biner....................................................................................................59
15. Permainan sepak bola.........................................................................................61
16. Kereta Api.......................................................................................................... 63
17. Tangram, Mini Tangram dan Pemotongan bangun-bangun geometrik lain.......65
18. Jurusan Tiga Angka ............................................................................................72

2

PERAGA OPERASI BILANGAN BULAT
Fungsi/Kegunaan: Memperagakan operasi penjumlahan dan pengurangan pada bilangan
bulat.
Alat dan Bahan:
Petunjuk kerja:

+

–

Masing-masing sebanyak 20 buah

A. Memperagakan Penjumlahan
Kata kunci dari penjumlahan adalah ditambah
1. Untuk memperagakan
penjumlahan 2 + 3 =…….

+

+

+

+

+

3. Untuk memperagakan
penjumlahan –2 + 3 = ………

=

5

2. Untuk memperagakan
penjumlahan 2 + (-3) =…..

+

+

–

–

0

0

–

=

–1

–

–

+

+ +

0

0

=1

4. Untuk memperagakan
penjumlahan –2 + ( –3) =………

–

–

–

–

–

=

–5

3

B. Memperagakan pengurangan
Kata kunci dari pengurangan adalah diambil
1. Untuk memperagakan pengurangan 3 – 2 =…..

+
Diambil

+

+ = 3

+

+

keping sehingga tinggal

+

Jadi 3 – 2 = 1

2. Untuk memperagakan pengurangan 2 – 3 = ………

+

=

+

2

Kita seharusnya mengambil 3 buah

+

+

Tetapi karena tidak ada kita harus menambahkan terlebih dulu tiga pasang
Sehingga menjadi :

+ + +

+ +

–

–

–

Baru dapat kita ambil 3 buah

–

=

+
–

+
–

0

0

+

0

–

2

sehingga menjadi………

=

–1

3. Untuk memperagakan pengurangan 2 – (-3) =…….

+ + =

2

Kita seharusnya mengambil 3 buah

+

–

Tetapi karena tidak ada kita harus terlebih dulu menambahkan 3 pasang
Sehingga diperoleh

+

+

+
–

+
–

+
–

=

2

–

0

Baru dapat kita ambil 3 buah

+

+

sehingga menjadi……..

–

+

+

= 5

+

4. Untuk memperagakan pengurangan –2 –3 =……..

–

–

=

–2

Kita seharusnya mengambil 3 buah

+

+

Tetapi karena tidak ada maka kita mesti menambahkan 3 pasang
Sehingga diperoleh

–

–

+ + +
–

–

=

–

–

–2

–

Baru kita dapat mengambil 3 buah

0

+

sehingga diperoleh

–

–
–

–

5. Untuk memperagakan pengurangan –2 – (-3) =………

– =

–

–2

Kita seharusnya mengambil 3 buah

+

–

Tetapi karena tidak ada maka kita mesti menambahkan 3 pasang
Sehingga diperoleh

–

–

+ + +
–

–

=

–

Baru kita dapat mengambil 3 buah

+ +

+

–

–

–

–2

sehingga diperoleh

=

1

–

0

=

–5

BLOK LOGIKA/BLOK HIMPUNAN
Fungsi/kegunaan: untuk pemahaman himpunan, relasi antara himpunan dan operasi antara
himpunan yang satu dengan himpunan yang lain.
Petunjuk penggunaan :
Alat peraga ini terdiri dari seperangkat blok logika yang terbuat dari tripleks atau plastik
yang mempunyai 4 kekhususan yaitu:
1. Bentuknya berupa benda-benda geometri yaitu lingkaran, segitiga, persegi, dan
persegipanjang
2. Mempunyai 2 macam ukuran yaitu besar dan kecil
3. Mempunyai 2 macam ketebalan yaitu tebal dan tipis
4. Mempunyai 3 macam warna yaitu merah, kuning dan biru
Jadi seluruhnya terdapat 4 x 2 x 2x 3 = 48 lempengan.
Untuk memperagakan konsep himpunan alat peraga ini dilengkapi dengan benang.
Alat peraga blok logika dapat digunakan untuk kegiatan klasikal maupun individual.
Berikut ini akan diberikan beberapa contoh kegiatan.
Kegiatan-kegiatan lainnya dengan mudah dapat kita kembangkan sendiri.

Gambar blok himpunan:

Kegiatan 1:
Pada kegiatan ini gunakan benang sebagai cabang-cabang pohon.
1.

Cabang pertama menunjukkan ukuran

2.

Cabang kedua menunjukkkan ketebalan

3.

Cabang ketiga menunjukkan warna

4.

Cabang keempat menunjukkan bentuk bangun

Dari hasil kegiatan di atas gambarkan pada selembar kertas dan gunakanlah untuk
menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut ini:
a.

Berapakah jumlah blok pada masing-masing cabang pertama?

b.

Berapakah jumlah blok pada masing-masing cabang kedua?

c.

Berapakah jumlah blok pada masing-masing cabang ketiga?

d.

Berapakah jumlah blok pada masing-masing cabang keempat?

Setelah menggambarkan diagram pohon, letakkanlah blok-blok tersebut pada diagram
pohon, pada tempatnya yang benar, kemudian jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut ini:
a.

Kumpulkanlah semua blok yang besar. Ada berapa buah?

b.

Kumpulkanlah semua blok yang besar dan berwarna merah. Ada berapa buah
jumlahnya?

c.

Kumpulkanlah semua blok yang besar berwarna merah dan berbentuk lingkaran. Ada
berapa buah jumlahnya?

Kegiatan 2
Pakailah benang untuk membuat diagram seperti gambar di bawah ini:
Kurva dari benang yang pertama untuk menggambarkan
himpunan semua blok biru. Kurva yang kedua untuk
menggambarkan himpunan semua blok merah. Sebagai
semesta adalah himpunan semua blok yang ada
Letakkanlah blok-blok logika pada diagram tersebut. Apa yang terlihat?
Ternyata tidak ada satu blok pun yang sekaligus berada di dalam himpunan blok biru dan
himpunan blok merah. Dua himpunan itu disebut himpunan saling lepas.
Sekarang buatlah diagram untuk tiap pasangan himpunan di bawah ini :
a. { Blok segitiga } dan { Blok persegi }

c. { Blok kuning } dan { Blok lingkaran }

b. { Blok tebal } dan { Blok tipis }

d.

{ Blok besar } dan { Blok kecil )

Lembar Kerja
A.

Pokok bahasan : Himpunan

B.

Sub Pokok bahasan : Syarat keanggotaan

C.

Tujuan : memahami syarat keanggotaan himpunan sesuai ketentuan

D.

Cara kerja :

Percobaan 1 :
I.

Ambillah 48 blok logika dan benang untuk membuat diagram
pohon yang menerangkan:
1.

Cabang pertama menunjukkan ukuran

2.

Cabang kedua menunjukkan ketebalan

3.

Cabang ketiga menunjukkan warna

4.

Cabang keempat menunjukkan bentuk bangun

II.

Gambarlah hasil percobaan tersebut.

III.

Isilah dengan tepat pertanyaan-pertanyaan berikut:

1.

a. Berapa jumlah blok pada masing-masing cabang pertama?

b. Berapa jumlah blok pada masing-masing cabang kedua?
c. Berapa jumlah blok pada masing-masing cabang ketiga?
d. Berapa jumlah blok pada masing-masing cabang keempat?
2.

a. Kumpulkan semua blok besar yang ada di dalam kumpulan itu. Bangun apa saja
yang ada di dalam kumpulan itu?
b. Kumpulkan semua blok besar dan merah, ada berapa buah?
c. Kumpulkan semua blok kecil dan tebal, ada berapa buah?
d. Kumpulkan semua blok besar, merah, dan berbentuk bujursangkar/persegi. ada
berapa buah?

Percobaan 2:
Buatlah diagram Venn untuk tiap pasangan himpunan berikut ini:
1. A = { blok segitiga }, B = { blok persegi }
Apakah kedua himpunan itu saling lepas (asing) atau berpotongan?
2. A = { blok tebal }, B = { blok tipis }
Apakah kedua himpunan itu saling lepas (asing) atau berpotongan?
3. A = { blok kuning }, B = { blok lingkaran }
Apakah kedua himpunan itu saling lepas (asing) atau berpotongan?
4. A = { blok besar }, B = { blok persegipanjang }
Apakah kedua himpunan itu saling lepas (asing) atau berpotongan?
5. A = { blok tipis }, B = { blok segitiga }
Apakah kedua himpunan itu saling lepas (asing) atau berpotongan?
Percobaan 3:
Ambillah peraga yang berbentuk kotak-kotak dan 12 blok logika.
B
letakkan
blok-blok itu pada kotak kosong sehingga memenuhi kedua syarat di bawah yaitu:
e
a. Dua
r blok yang berdekatan dan sebaris harus berbeda dua dimensi.
b blok yang berdekatan dan sekolom harus berbeda tiga dimensi.
b. Dua
e
Kemudian
hasil percobaan itu anda gambar di kertas lembar kerja ini :
d
a gambar:
Tempat
2
D
i
m
e
n
s
i

Berbeda 3 (tiga) dimensi

JUMLAH SUDUT BANGUN DATAR
Fungsi / Kegunaan : Untuk memperagakan / menunjukkan secara cepat dan jelas bahwa :
-

Jumlah sudut segitiga

= 180°

-

Jumlah sudut segiempat

= 360°

Petunjuk Kerja :
a. Untuk jumlah sudut segitiga
1. Tunjukkan alat peraga seutuhnya, potongan-potongan pembentuk segitiga terletak
pada bingkainya (Gambar 1a)
2. Lepaskan potongan-potongan segitiga itu dari tempatnya kemudian padukan sudutsudutnya hingga terbentuk bangun seperti Gambar 2a
A
a
A
B a

B

C
Gambar 1a

C

Gambar 2a

Tampak

 A   B   C  180

b. Untuk jumlah sudut segiempat
1.

Tunjukkan peraga seutuhnya dengan potongan-potongan pembentuk segi empat
masih berada dalam bingkainya.

2.

Lepaskan potongan-potongan dari bingkainya dan padukan
sudut-sudutnya sehingga membentuk bangun seperti berikut :

Gambar 1b
Tampak bahwa

Gambar 2b

 A   B   C   D  360

PERKALIAN DUA SUKU DUA
Penggunaan AEM dalam Kegiatan Belajar Mengajar
AEM digunakan untuk membantu pembelajaran operasi pada bentuk aljabar, meliputi:
1. Penjumlahan dan pengurangan suku-suku sejenis
2. Perkalian dua suku dua
a. Perkalian suatu bilangan dengan suku dua, dengan menggunakan hukum distributif,
misal k(a+2b) = ka + 2kb
b. Menemukan hasilkali suku dua dengan suku dua
3.

Pemfaktoran

Alat yang digunakan:
1.

Persegi ukuran x2 satuan

2.

Persegipanjang ukuran x satuan dengan 2 warna
Dalam jumlah secukupnya.

3.

Persegi ukuran 1 satuan dengan 2 warna
1
x

x2

1

x

Contoh-contoh:
Secara rinci akan dituangkan bagaimana mendapatkan hasilkali perkalian dua suku dua dari
bentuk-bentuk:
1. (x +…)(x +…)

2. (x +…)(x –…)

3. (x – …)(x – …)

Petunjuk Penggunaan:
1. Bentuk (x +…)(x +…)
Contoh 1:
Tentukan hasilkali x(x + 3)
Pengerjaan :
Buatlah gambar persegi panjang x(x + 3 ) yang daerahnya akan ditutup oleh AEM.

xxx

x2
Maka AEM yang terpakai adalah:

x2

xxx

=

x

2

x

Artinya x(x+3) = x2 + 3x

x

x

Contoh 2:
Tentukan hasilkali (x + 2)(x + 1 )
Pengerjaan:
Buatlah gambar persegi panjang (x + 2)(x + 1 ) yang daerahnya tertutup oleh AEM.

x2
x

xx

11

Maka AEM yang terpakai adalah:
x2
x2
x

xx

11

2

x

2

x

x
x

1

1

x

2

Artinya (x+1)(x+2) = x2 + 3x + 2

=

2. Bentuk (x + …)(x – …)
Contoh 1:
Tentukan hasilkali (x + 2)(x – 1)
Pengerjaan:
Buatlah gambar persegipanjang berukuran (x + 2)(x – 1)
xx

x2

Pada gambar di atas, sisi persegi panjang x + 2 telah tergambar, tetapi sisi x – 1 belum
tergambar. Untuk membentuk sisi persegipanjang x – 1, maka daerah yang tidak
diperhatikan di tutup dengan AEM merah (negatif).
Ingat bahwa x + (-x) = 0
1 + (-1) = 0
AEM yang terpakai pada persegipanjang itu menjadi:

2

xx

x

=

2

x

x

x

1

1

x2

11

Singkirkan pasangan yang bernilai nol, yaitu x dan (-x).
2
Jadi (x x+ 2)(x – 1) = x2 + x – 2
Contoh 2:
Tentukan hasilkali (x + 1)(x – 2)
Pengerjaan:
Pada gambar di bawah ini sisi persegi panjang x + 1 sudah tercapai. Untuk pembentukan
sisi x  2, maka daerah yang tidak diperlukan ditutup dengan AEM merah (negatif)

x2

x

Sehingga AEM yang terpakai pada persegi panjang itu adalah:
x

2

x

x2

=

x

1

1

1
1

Singkirkan pasangan AEM yang bernilai nol yaitu x dan (-x)
x22
x – 2) = x2 – x – 2
Jadi (x + 1)(x
3. Bentuk (x - …)(x - …)
Contoh 1:
Tentukan hasilkali (x – 2)(x – 1)
Pengerjaan:
Buatlah persegipanjang (x – 2)(x – 1)
?
x

x2
Meskipun persegipanjang
(x + 2)(x – 1) telah terbentuk, tetapi ada daerah (bertanda ?)
x22
x
yang belum bernilai nol. Daerah itu yang bernilai negatif dijadikan bernilai nol dengan
menutupnya dengan AEM putih (positif)
Dengan demikian AEM yang dipakai adalah:
1
1
x

=

x2

x2

Jadi :

x22
x
(x – 2)(x – 1) = x2 – 3x + 2
Contoh 2:
Tentukan hasilkali dari (x - 2)(x – 3)
Pengerjaan:
?
xxx

x2
x22
x

x

1

1 2

x2
x

Meskipun persegipanjang (x –2) (x – 3) telah terbentuk, tetapi ada daerah (bertanda ?)
yang belum bernilai nol. Daerah itu yang bernilai negatif dijadikan bernilai nol dengan
menutupnya dengan AEM putih (positif)
Dengan demikian AEM yang dipakai adalah:
11 1
111
xxx
2

x

=

Jadi :

x2
x2 2
(x – 2)(x – 3) = x – 5x + 6

2

x x x

1

1

1

1

1

1

x

x2
x2

KUADRAT JUMLAH
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Fungsi/kegunaan: membantu siswa dalam memahami pengertian kuadrat jumlah dua
variabel dengan menggunakan luasan bangun datar.
Petunjuk kerja: susun dan letakkan bangun yang terdiri dari persegi dan persegi panjang
pada papan persegi yang panjang sisinya a + b
1. Lihatlah potongan-potongan bangun datar yang terletak secara tepat dalam bingkai
yang berbentuk persegi.
2. Tunjukkan bahwa panjang sisi persegi dari bingkai tersebut adalah (a + b) dengan
melihat batasan-batasan dari potongan (gambar 1).
3. Tunjukkan bahwa luas dari bingkai adalah (a + b) (a + b).

(gambar 2)

4. Kemudian amati luasan bingkai yang terbentuk dari potongan-potongan: a 2, ab, ab,
dan b2.
5. Dari pengamatan dapat disimpulkan bahwa (a + b) (a + b) = a2 + 2ab + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Gambar 1

Gambar 2

b

b2

ab
a + b

a2

a

a

b

ab

a +

b

KUADRAT SELISIH
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Fungsi/kegunaan: membantu siswa dalam memahami pengertian kuadrat selisih dua
variabel dengan menggunakan luasan bangun datar.
Petunjuk kerja: 1. Perhatikan bangun-bangun yang tersusun pada

persegi

yang

panjang sisinya a
2. Ambillah kedua persegi panjang tersebut sehingga yang masih ada
tinggal bangun persegi yang panjang sisinya a – b
3. Dapat dilihat bahwa (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Gambar

ab
ab - b2

b
a
a-b

a

(a – b)2

a-b

b

KUADRAT JUMLAH 3 VARIABEL
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
Fungsi/kegunaan: membantu siswa dalam memahami pengertian jumlah kuadrat tiga
variabel dengan menggunakan luasan bangun.
Petunjuk kerja: susun dan letakkan bangun-bangun yang terdiri dari persegi dan
persegi panjang pada papan persegi yang panjang sisinya a + b + c

a
b
c
a

b

c

a2

ab ac

ab
ac

b2
bc

bc
c2

Setelah bangun-bangun tersebut semuanya tersusun dan persis memenuhi tempatnya maka
dapat dilihat bahwa (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc sudah terbukti.

SELISIH KUADRAT
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Fungsi/kegunaan : membantu siswa dalam memahami pengertian selisih kuadrat dua
variabel dengan menggunakan luasan bangun datar.
Petunjuk kerja :
1. Perhatikan bangun-bangun yang tersusun pada persegi panjang dengan ukuran
panjang = (a+b) dan lebar = a (gambar 1)
2. Tunjukkan pada siswa bahwa luas

persegi

panjang

warna merah adalah

(a + b)(a – b)
3. Pindahkan potongan-potongan tersebut pada persegi yang sisinya a (gambar 2)
4. Dari langkah-langkah di atas dan dengan melihat gambar 2 dapat disimpulkan
bahwa (a + b)(a – b) = a2 - b2
Gambar 1

Gambar 2

b

a
a-b

a+b

a

b2

PANGKAT TIGA JUMLAH 2 VARIABEL
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Fungsi/kegunaan : membantu siswa dalam memahami pengertian pangkat tiga jumlah dua
variabel dengan menggunakan volum bangun ruang.
Alat:

Petunjuk kerja :
1. Perhatikan alat peraga seperti tampak pada gambar kiri: Bimbinglah siswa untuk
menemukan volum kubus tersebut. Panjang dari rusuk-rusuk kubus adalah (a+b)
(perhatikan garis-garis pada kubus tersebut), maka volum kubus adalah (a+b)(a+b)
(a+b) = (a+b)3

2. Kemudian kubus-kubus tersebut dipecah menjadi balok-balok atau kubus kecil.
Mintalah siswa untuk memperhatikan banyaknya kubus/balok yang menyusun
kubus semula, yaitu: 1 buah kubus berukuran a3 (berwarna merah), 3 buah balok
berukuran a2b, 3 buah balok berukuran ab3, dan 1 buah kubus berukuran b3.
3. Jadi volum bangun ruang tersebut juga dapat dinyatakan dengan: a3+3a2b+3ab2+b3
4. Maka (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3

MODEL PYTHAGORAS
Fungsi/kegunaan: Menunjukkan kebenaran rumus Pythagoras bahwa kuadrat sisi miring
sama dengan jumlah kuadrat sisi siku-sikunya.
Petunjuk kerja:
1. Pada gambar di bawah terdapat 5 model Pythagoras yang makin ke bawah semakin
tinggi tingkat kesulitannya.
2. Dari masing-masing model ini translasikan potongan-potongan tripleks pada
bujursangkar kecil dan sedang ke bujursangkar besar (sisi miring segitiga).
3. Setelah potongan-potongan tersebut tepat memenuhi luasan bujursangkar sisi miring,
maka kita telah membuktikan kebenaran rumus Pythagoras .
MODEL PYTHAGORAS 1

MODEL PYTHAGORAS 2

2
5

3
2

1

4

3

4

5
1

MODEL PYTHAGORAS 3

1

3

4

2

5

5

4

3
2
1

MODEL PYTHAGORAS 4
2
3
4
5
2

1
4

3
1

5

MODEL PYTHAGORAS 5

6
1
5

2

4

5
3

2
1

4

6

3

VOLUME BALOK
Fungsi/Kegunaan : Penanaman konsep volume balok
Petunjuk kerja :
-

Mula-mula isikan satu persatu kubus-kubus kecil ke dalam balok hingga penuh,
sambil membilang ( misal: balok dipenuhi oleh 24 buah kubus kecil )

-

Selanjutnya hitunglah banyaknya kubus kecil pada bagian panjang, bagian lebar dan
pada bagian tinggi, kemudian kalikanlah, misal kubus kecil pada bagian panjang ada 4
buah, pada bagian lebar 3 buah, dan pada bagian tinggi ada 2 buah, maka jika dikalikan
: 4 × 3 × 2 = 24; hasilnya sama dengan jumlah kubus-kubus kecil yang memenuhi
balok.

-

Sehingga didapat hubungan bahwa volume balok = panjang × lebar × tinggi atau
Volume balok = luas alas × tinggi

VOLUME KUBUS
Fungsi/kegunaan : Penanaman konsep volume kubus
Petunjuk kerja :
Sama seperti pada balok, hanya saja dalam keadaan khusus yaitu bahwa : lebar = tinggi =
panjang sisi kubus sehingga didapat bahwa volume kubus = sisi × sisi × sisi = s3
-

Mula-mula isikan satu persatu kubus-kubus kecil ke dalam kubus besar hingga penuh
sambil membilang, ternyata kubus besar dapat dipenuhi oleh 27 buah kubus kecil.

-

Selanjutnya hitunglah banyaknya kubus kecil pada bagian panjang, bagian lebar, dan
pada bagian tinggi.

Ternyata : banyaknya kubus kecil untuk ketiga bagian tersebut sama yaitu masingmasing 3 buah, dan jika dikalikan 3 × 3 × 3 = 27; hasilnya sama dengan jumlah kubuskubus kecil yang memenuhi kubus

VOLUM KERUCUT
Fungsi/kegunaan: menunjukkan kebenaran rumus volum kerucut =

1
πr 2 t
3

dengan cara

empiris.
Alat yang dipakai:
-

Sebuah tabung yang berjari-jari = r dan tingginya = t

-

Sebuah kerucut yang jari-jari alas = r dan tingginya = t

-

Pasir putih

Petunjuk Kerja

:

1.

Isi kerucut dengan pasir sehingga memenuhi permukaan kerucut (bahasa Jawa: peres)

2.

Tuangkan pasir dari kerucut ke dalam tabung

3.

Ulangi proses di atas sehingga tabung menjadi penuh

Dapat dilihat bahwa tabung akan penuh setelah tiga kali penakaran, sehingga diperoleh
hubungan:
Volum tabung =

πr 2 t

Volum tabung = 3 x volume kerucut

Volum kerucut =
=

1
3

volume tabung

1
πr 2 t
3

Gambar:
dituang

VOLUM LIMAS

Fungsi/kegunaan: menunjukkan kebenaran rumus volume limas =

1
pxlxt
3

dengan cara

empiris.
Alat yang dipakai:
-

Sebuah balok dengan ukuran = p x l x t

-

Sebuah limas dengan alas berbentuk persegi panjang ukuran = p x l dan tingginya = t

-

Pasir putih

Petunjuk Kerja:
1.

Isi limas dengan pasir sehingga memenuhi permukaan limas (bahasa Jawa: peres)

2.

Tuangkan pasir dari limas ke dalam balok

3.

Ulangi proses di atas sehingga tabung menjadi penuh

Dapat dilihat bahwa balok akan penuh setelah tiga kali penakaran, sehingga diperoleh
hubungan:
Volum balok = p x l x t

Volum balok = 3 x volume limas
volum limas

=

1
3

volume balok

=

1
3

pxlxt

Gambar
dituang

LONCAT KATAK
Fungsi/kegunaan: menemukan suatu pola bilangan dengan cara bermain
Aturan permainan:
Pindahkan katak kelompok hitam ke katak kelompok hijau (posisi awal: kedua kelompok
dipisahkan oleh sebuah lubang yang terletak di tengah dan masing-masing kelompok
berdiri berjajar) dengan aturan :
1.

Setiap kali melangkah hanya boleh mengangkat satu katak

2.

Dalam melangkah bila terjadi lompatan hanya boleh diijinkan melompati satu katak
berlainan warna, bila tidak ada katak yang dilompati maka katak yang dipegang hanya
diijinkan digeser satu langkah.

3.

Tidak diperbolehkan melangkah mundur

Petunjuk kerja:
Untuk percobaan menggunakan satu pasang katak:
1.

Langkah pertama misal memegang katak hijau paling depan dengan melangkah satu
geseran.

2.

Gerakkan katak hitam satu langkah melompati katak hijau tadi.

3.

Kemudian geser katak hijau ke depan.

Untuk percobaan menggunakan lebih dari satu pasang katak :
1.

Langkah pertama misal memegang katak hijau paling depan dengan melangkah satu
geseran.

2.

Gerakkan katak hitam satu langkah melompati katak hijau yang pertama digerakkan.

3.

Gerakkan katak hitam berikutnya dengan melangkah satu geseran.

4.

Kemudian katak hijau yang terdepan terdepan digerakkan melompati katak di
depannya, lalu katak hijau berikutnya, demikian seterusnya untuk langkah-langkah
berikutnya.

Dari percobaan akan dicari banyaknya langkah untuk memindahkan n pasang katak, di
mana banyaknya (total) langkah adalah banyaknya perpindahan minimal.
Banyaknya langkah pemindahan tergantung banyaknya pasang katak dan akan membentuk
pola bilangan.
Kunci: Setiap katak yang akan kita gerakkan jangan sampai 2 katak yang satu warna itu
terletak berjajar sebelum sampai ke tujuan.
KBM:
Siswa diminta melakukan permainan loncat katak dan mengisi tabel untuk kegiatan berikut:
Percobaan 1
Banyak pasangan katak
1
2
3
4
5
6
7
Banyak loncatan
Banyak geseran (lubang berdekatan)
Total langkah
Dari tabel di atas kemudian dicari rumus menentukan total langkah perpindahan untuk n
pasang katak.

Percobaan 2
Banyak pasangan katak hitam
Banyak pasangan katak hijau
Banyak loncatan
Banyak geseran (lubang berdekatan)
Total langkah

1
2

2
3

3
4

4
5

5
6

…
…

a
a+1

Dari tabel di atas kemudian dicari rumus menentukan total langkah perpindahan jika
banyaknya katak hitam = a dan banyaknya katak hijau = a+1.

Gambar

Katak Hitam

Katak Hijau

MENARA HANOI
Fungsi/kegunaan: menemukan barisan bilangan dengan cara bermain.
Aturan permainan:
Pindahkan susunan cakram satu per satu dari tiang A ke tiang B atau C sehingga susunan
cakram sama dengan keadaan semula dengan aturan :
1. Setiap kali memindah cakram hanya diperbolehkan mengangkat satu cakram.
2. Setiap cakram yang lebih besar tidak boleh diletakkan di atas cakram yang lebih kecil.
Petunjuk kerja:
1.

Percobaan dapat dimulai dari 1 buah cakram, 2 buah cakram, 3 buah cakram, dan
seterusnya sampai dengan 7 cakram.

2.

Cakram dibuat 2 warna untuk mempermudah gerakan sehingga jangan sampai 2
cakram yang warnanya sama tersebut terletak saling berdekatan.

3.

Setiap pemindahan dari satu tiang ke tiang yang lain diperhitungkan sebagai satu
langkah perpindahan.

4.

Total pemindahan adalah banyaknya pemindahan minimal.

KBM: Setelah diberi contoh pemindahan, siswa diminta untuk melakukan percobaan dan
mengisi tabel percobaan seperti di bawah ini, kemudian merumuskan pola bilangannya.
Tabel Percobaan Menara Hanoi
Banyak Cakram
1
2
3

Total Pemindahan
1 = 2-1
3 = 4-1
7 = 8-1

4
5
6
7
…
n

…..
…..
…..
……
…
…..

Gambar

A

B

C

LONCAT URUTAN
Sebuah papan berisi 10 lubang. Lubang paling kiri kosong dan lubang lain urut dari kiri ke
kanan berisi angka 1 sampai 10 terurut naik dari 1, 2, 3, ….9.

1 2 3 4 5 6 7 8 9
Masalahnya adalah: mengubah urutan naik menjadi urutan turun yaitu 10, 9, 8, 7, …..1
dengan syarat:
 setiap kali melangkah hanya boleh menggeser 1 koin atau
 setiap kali melangkah hanya boleh melompati 1 koin
Jadi setelah selesai permainan urutan berubah menjadi:

9 8 7 6 5 4 3 2 1
Petunjuk Kerja:
1.

Percobaan di mulai dengan menukar urutan 2 buah koin yaitu koin bernomor 1 dan
2, kemudian dilanjutkan dengan 3 koin, 4 koin dan seterusnya. Hasil percobaan di tulis
dalam tabel sebagai berikut:

NO
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Banyak koin
(n)
Ganjil Genap
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Banyak langkah
Loncat

Geser

Total

2. Kemudian carilah rumus untuk banyaknya Loncatan, Geseran, maupun Total jika
banyaknya koin n.
Kunci:
NO
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Banyak koin
(n)
Ganjil Genap
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Banyak langkah
Loncat

Banyaknya total langkah untuk n genap :
Terdiri dari

n2  n
2

Geser

n2  n
2

loncatan dan n geseran

Banyaknya total langkat untuk n ganjil :

n 2  3n
4
2

Total

Terdiri dari

n2  n
2

loncatan dan 2n–4 geseran

POLA SUDUT
Gambar

A

B
Keterangan:
OA, OB, OC, OD,
OE, OF dan OG

C

O

misalkan sebagai sinar garis

D

E

G

F

Fungsi/kegunaan: menemukan barisan bilangan melalui alat peraga, yaitu dengan mencari
banyak sudut yang dapat dibentuk oleh n buah sinar yang berpangkal
di titik O.
Petunjuk kerja:
1.

Alat peraga pola sudut dibuka sehingga kelihatan sinar A dan sinar B, kemudian
perhatikan sudut yang terbentuk.

2.

Kemudian di buka lagi sehingga kelihatan 3 sinar dan perhatikan sudut-sudut yang
terbentuk oleh sinar-sinar tersebut, begitu seterusnya sampai sinar terbuka semua
seperti pada gambar di atas.

3.

Catatlah sudut-sudut yang terbentuk dengan melengkapi tabel 1. di bawah ini:

Tabel 1
Banyak sinar
melalui titik O
2
3

Sinar

Sudut yang dapat dibentuk

OA, OB

AOB

OA, OB, OC

AOB, BOC, AOC

OA, OB, OC, OD

4
5
6

OA, OB, OC, OD, OE

………………………………….

OA, OB, OC, OD, OE, OF

………………………………….

OA, OB, OC, OD, OE , OF , OG

………………………………….

7

………………………………….

Berdasarkan hasil dari tabel 1. di atas, selanjutnya lengkapilah tabel 2 berikut ini.
Tabel 2
Banyak sinar
2

Lambang
U2

Banyak Sudut
1

Pola Bilangan

3

U3

3

2+1

4

U4

6

3 + 2 +1

5

U5

…..

……………………………….

6

U6

…..

……………………………….

1

7

U7

…..

……………………………….









n

Un

…..

……………………………….

Dari tabel 2. didapat

Un = (n-1) + .…. + ..... + … + 3 +

Jika dibalik urutan menjadi

Un =
2Un =

2 +

1 + 2 + 3 + … + .…. + .…. + (n-1)
n + ….. + …..+ ... + ….. + ….. + n
….. suku

2Un = …..
Sehingga dapat diperoleh rumus

Un = …..

SESATAN HEXAGON
Fungsi/kegunaan: untuk mengetahui peluang kejadian suatu percobaan
Petunjuk kerja:
1. Siapkan alat peraga sesatan hexagon (gambar 1)
2. Masukkan semua bola pingpong ke lobang.
Bola akan jatuh ke bawah menempati sekat-sekat (L).
3. Perhatikan sekat-sekat yang ditempati bola-bola tersebut.
Gambar 1: alat peraga sesatan hexagon
lobang sesatan hexagon

Bola pingpong

Sekat

Gambar 2: celah sesatan hexagon

1
+

A
B1
C1
D1
E1
F1

C2

D2

E2
F2

B2

E3
F3

C3
D3
E4
F4

D4
E5
F5

F6

L1 L2 L 3 L 4 L 5 L6

A
B1

B2
C1

D1
E1

Celah baris ke-1
Celah baris ke-2

C2
D2

E2

C3
D3

E3

Celah baris ke-3

D4
E4

F1 F2 F3
F4
Lengkapilah tabel berikut:

Celah baris ke-4
E5

F5

Celah baris ke-5
F6

Celah baris ke-6

Tabel 1: jenis dan jumlah lintasan yang mungkin dilewati bola
Baris
ke
1
2
3
4

5

Celah
Sasaran
A
B1
B2
C1
C2
C3
D1
D2
D3
D4
E1

Lintasan yang mungkin dilewati
A B1
A B2
A B 1 C1
A B 1 C 2 , A B2 C 2
A B 2 C3
A B1 C1 D1
A B1 C1 D2 , A B1 C2 D2 , A B2 C2 D2
A B1 C2 D3 , A B2 C2 D3 , A B2 C3 D3
A B2 C3 D4
A B1 C1 D1E1

Banyak
lintasan
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1

6

E2
E3
E4
E5
F1
F2
F3
F4
F5
F6

………, ………,………,………
………, ………,………,………,………,………
………, ………,………,………
AB2C3D4E5
…………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………...

Berdasarkan Tabel 1 di atas, lengkapilah Tabel 2 dan Tabel 3 di bawah ini !
Tabel 2: banyak lintasan yang mungkin dilewati bola pada setiap celah
Celah
Baris ke 1

Banyak Lintasan di Setiap Celah
1

Baris ke 2

1

Baris ke 3

1

Baris ke 4

1

Total lintasan
1

1
2

3

2
1

3

4
1

8

Baris ke 5

… … … … …

…

Baris ke 6

… … … … … …

…

Tabel 3: probabilitas bola masuk ke suatu celah
Celah

Total

A
B

Lintasan
1
2

C

4

D

…

E

…

Banyak

Probabilitas

A
B1
B2
C1
C2
C3
D1
D2
D3
D4

Lintasan
1
1
1
1
2
1
…
…
…
…

Bola masuk
1/1
½
½
¼
½
¼
…
…
…
…

E1
E2
E3

…
…
…

…
…
…

Sub Celah

4
6
4
1
……
……
……
……
……
……

F

…

E4
E5
F1
F2
F3
F4
F5
F6

…
…
…
…
…
…
…
…

…
…
…
…
…
…
…
…

Kesimpulan:
Dari Tabel 3 dapat disimpulkan bahwa:
Probabilitas bola masuk ke sekat L1 = 1/32
Probabilitas bola masuk ke sekat L2 = …
Probabilitas bola masuk ke sekat L3 = …
Probabilitas bola masuk ke sekat L4 = …
Probabilitas bola masuk ke sekat L5 = …
Probabilitas bola masuk ke sekat L6 = …
Setelah melakukan percobaan tersebut dapat dilanjutkan percobaan dengan
menggunakan alat peraga (sesatan hexagon) lain seperti Gambar 3.
Gambar 3

PEMBUATAN KARTU PERMAINAN
DOMINO
Kegunaannya : Untuk menambah keterampilan siswa setelah mendalami/memahami suatu
topik tertentu.
Cara pembuatannya : Di buat dari kertas marga/manila dengan ukuran 5 cm x 8 cm.
Untuk membuat satu set kartu kita perlu membuat bilangan dasar
untuk topik apa dan dipakai untuk kelas berapa.
Ditinjau dari jumlah kartunya ada 2 cara pembuatannya :
1. Satu set kartu jumlahnya harus 28 lembar untuk itu kita perlu membuat daftar yang
terdiri dari 8 baris dan 7 kolom berarti ada 56 kotak ( nilai )
Berikut ini contoh pembuatan kartu untuk kompetensi dasar: menghitung nilai logaritma
suatu bilangan. Indikator: menghitung nilai logaritma suatu bilangan untuk suatu
bilangan pokok.
Sasaran : Siswa SMP kelas III atau kelas IX
No
1
2
3
4
5

1
log 1
A
3
log 1
A
4
log 1
B
5
log 1
C
6
log 1
D
2

2
log 2
B
3
log 3
H
4
log 4
H
5
log 5
I
6
log 6
J
2

3
log 4

4
log 8

2

2

C
3

D
3

log 9

log 27

I
4

log 16
N
5
log 25
N
6
log 36
O

J
4

log 64

O
log 125
S
6
log 216
S
5

5
log 16
E
3
log 81
K
4
log 256
P
5
log 625
T
6
log 1296
W
2

6
log 32

2

F
log 243
L
4
log 1024
Q
5
log 3125
U
6
log 7776
X
3

7
log 64

2

G
3

log 729
M
4
log 4096
R
5
6
log 5
V
6
6
log 6
Y

6

8

7

9

8

10

8

log 1
E
log 1
F
log 1
G

log 8
K
9
log 9
L
10
log 10
M

8

log 64
P
9
log 81
Q
10
log 100
R

8

log 512
T
9
log 729
U
10
log 1000
V

8

log 84
W
9
log 94
X
10
log 104
Y

8

log 85

8

log 86

Z
9

log 95

Z
log 105
a

10

a
9

log 96
b

10

log 107

Perhatikan tabel di atas:
a. Pada kolom 1 ada 8 nilai yang bervariasi di mana nilainya sama , misal kolom 1 baris
1 tertulis 2log 1 nilainya 0 , kolom 1 baris 2 tertulis 3log 1 nilainya 0 dan seterusnya.
b. Pada kolom 2 juga ada 8 nilai yang bervariasi di mana nilainya sama , misal kolom 2
baris 1 tertulis 2log 2 nilainya 1 , kolom 1 baris 2 tertulis 3log 3 nilainya 1 dan
seterusnya.
c. Demikian pula pada kolom 4, 5, 6 , sampai dengan kolom 7.
Setelah 56 kotak (nilai) terisi semua baru kita beri tanda huruf-huruf dengan cara:
a. Tulislah A, B, C sampai dengan G pada baris 1
b. Tulislah A, B, C sampai dengan G pada kolom 1, mulai baris ke 2.
c. Setelah huruf G, adalah huruh H, jadi tulislah H, I, J, sampai dengan M pada baris 2
mulai kolom ke 2.
d. Lalu tulislah H, I, J, sampai dengan M pada kolom 2 mulai baris 3.
e. Demuikian seterusnya.
Kemudian baru kita masukkan kedalam kartu-kartu kosong sesuai dengan huruf dalam
kotak.
Perhatikan contoh berikut :
Kartu A

Kartu B

Kartu C

2

log 1

2

log 2

2

3

log 1

4

log 1

5

log 4
log 1

Sehingga setiap set kartu terdapat 28 lembar.
2. Satu set kartu jumlahnya tidak harus 28 lembar
Jumlah kartu bisa 21 lembar, 25 lembar, 36 lembar, atau sejumlah fungsi yang akan
dibedakan.

b

Contoh :
Topik : Mengubah persen kedalam pecahan biasa
Kita tulis bentuk persen pada bagian kiri dan bentuk pecahan yang senilai dengan
bentuk persen pada kolom sebelah kanan,

1
40

I

2,5%

A

II

11,11%

1
9

B

III

12,5%

1
8

C

IV

14,29%

1
7

D

V

16,67%

1
6

E

VI

33,33%

1
3

F

Selanjutnya dipasangkan :
(I, A), (I, B), (1, C), …, (I, F), kemudian (II, A), (II, B), (II, C), …, (II, F) …….. dan
seterusnya sampai (VI, A), (VI, B), (VI, C), …, (VI, F)
Sehingga jumlah kartu seluruhnya ada 6  6 = 36 kartu
Cara Penggunaannya :
-

Permainan ini dimainkan oleh 2, 3, 4 atau 6 orang pemain.

-

Bagikan kartu domimo yang khusus dibuat untuk permainan ini, sampai habis terbagi
untuk masing-masing pemain

-

Pemain pertama meletakkan sebuah kartu di meja ( undilah siapa yang jadi pemain
pertama )

-

Dengan urutan sesuai arah jarum jam para pemain menjatuhkan satu kartu pada setiap
gilirannya

-

Nilai kartu yang dipasangkan ( dijatuhkan ) diseuaikan dengan nilai kartu yang ada
(yang dijatuhkan ) sampai pemain tidak memiliki kartu lagi.

-

Jika pemain tidak bisa “jalan” maka ia kehilangan satu giliran

-

Pemenangnya ialah yang pertama-tama dapat menghabiskan kartunya.

Contoh :
2

log 1

Topik : Logaritma

3

log 1
6

log 1

2

log 8
3

log 27

6

log 6
10

log 10

3

log 729

LONCAT KATAK PERSEGI (Model II)
Sebuah papan berbentuk persegi mempunyai 25 lubang. Semua lubang berisi pasak kecuali
sebuah lubang di tengah. Sebagian pasak (12 buah) berwarna hijau dan yang lain (12 buah)
berwarna merah diatur seperti gambar dibawah ini:
12
buah

12
buah

K
O

Ket: K  kosong

Masalahnya adalah: menukar letak pasak-pasak tersebut sehingga menjadi seperti ganbar di
bawah ini dengan aturan:
1. setiap kali melangkah hanya boleh menggeser 1 pasak
2. setiap kali melangkah hanya boleh melompati 1 pasak
Jadi setelah selesai permainan urutan pasak pada papan berubah menjadi seperti di bawah
ini:

K
O

Untuk mencari pola bilangan yang mungkin terjadi dari banyaknya langkah minimal yang
diperlukan untuk memindahkan semua pasak tersebut adalah:
No
1
2
3
4
5

Ukuran persegi
3x3
4x4
5x5

Banyak langkah minimal

nxn
LONCAT KATAK PERSEGI TERDISTORSI
(Model III)

Sebuah papan berbentuk persegi mempunyai 17 lubang. Semua lubang berisi pasak kecuali
sebuah lubang di tengah. Sebagian pasak (8 buah) berwarna biru dan yang lain (8 buah)
berwarna kuning diatur seperti gambar di bawah ini:

Masalahnya adalah: menukar letak pasak-pasak tersebut sehingga menjadi seperti ganbar di
bawah ini dengan aturan:
1. setiap kali melangkah hanya boleh menggeser 1 pasak
2. setiap kali melangkah hanya boleh melompati 1 pasak
Jadi setelah selesai permainan urutan pasak pada papan berubah menjadi seperti di bawah
ini:

SOLITAIRE (Model I)
Sebuah papan berbentuk persegi dengan 33 buah lubang yang disusun seperti gambar di
bawah ini:

Dalam tiap lubang kecuali lubang tengah di isi dengan kelereng sebanyak 32 buah.
Aturan permainannya adalah sebagai berikut:
1.

Letakkan 32 buah kelereng pada lubang-lubang yang tersedia dan
kosongkan lubang yang berada di tengah.

2.

Mulai pindahkan kelereng dengan meloncati satu kelereng disebelahnya
secara horisontal atau vertikal, loncatan menyilang/diagonal tidak diperbolehkan.

3.

Kelereng yang telah di loncati diambil

4.

Permainan ini diteruskan dan akan berakhir bila tidak terdapat lagi kelereng
yang dapat dilompati.
SOLITAIRE (Model II)

Solitaire model II aturan permainannya sama dengan solitaire model I, perbedaannya
terletak pada jumlah lubang dan jumlah kelereng yang digunakan. Pada solitaire model II
ini jumlah lubang pada papan solitaire ada 37 buah dan kelereng yang digunakan 36 buah.
Berikut ini papan Solitaire model II.

SEGITIGA AJAIB
Fungsi/kegunaan: melatih keterampilan penggunaan hukum-hukum aljabar, barisan
bilangan dan problem solving.
Petunjuk kerja:

aturlah koin-koin bilangan 1, 2, 3, 4, 5 dan 6 pada tempat yang
disediakan sehingga setiap garis (sisi segitiga) yang memuat 3 bilangan
memiliki jumlah yang sama.

Gambar

Catatan :
1

2

3

Supaya mudah, aturlah sehingga bilangan

4

5

6

yang terletak di titik sudut segitiga
membentuk deret hitung (aritmatika)

Kunci:
Tipe 2 (jumlah = 10)

Tipe 1 (jumlah = 9)

5

3

5

4

4

1

2

6

1

6
Tipe 3 (jumlah
= 11)

2

5

3

6

6
Tipe 4 (jumlah
= 12)

1

3

2

2

4

4

1

3

5

3

SEGITIGA AJAIB LANJUT
(9 BILANGAN)
Fungsi/kegunaan: melatih keterampilan penggunaan hukum-hukum aljabar, barisan
bilangan dan problem solving.
Petunjuk kerja: aturlah koin-koin bilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9 pada tempat yang
disediakan sehingga setiap garis (sisi segitiga) memiliki jumlah yang
sama.
Jumlah = 17

Jumlah = 19

3

7

Jumlah = 20

Jumlah = 20
8

6

4

4

1

2

1

5

2

5

Selain keempat tipe di atas, masih ada lagi empat kemungkinan yang lain sehingga ada 8
kemungkinan. Pada prinsipnya teknik dari penggunaan alat peraga ini adalah dimulai
dengan meletakkan bilangan-bilangan yang berada di titik sudut segitiga sehingga
membentuk deret hitung (aritmatika).
Kunci:

Jumlah = 17

Jumlah = 19

3

7

9

8

7

4

2

8

6

1

4

9

5

Jumlah = 20

6

8

7

7

1

5

8

3

6

3

2

4

2

Jumlah = 20

9

1

2

5

9

4

Jumlah = 20

Jumlah = 20

7

9

9

7

6

1

3

3

5

1

6

3

2

4

8

4

5

1

2

6

8

5

Jumlah = 21

Jumlah = 23

9

9

8

1

3

6

4

1

2

7

5

4

6

2

7

3

5

8

BUJUR SANGKAR AJAIB
Fungsi/kegunaan: melatih keterampilan penggunaan hukum-hukum aljabar, barisan
bilangan dan problem solving.
Petunjuk kerja: isikan sebarang bilangan pada bujur sangkar kecil yang kosong sehingga
jumlah setiap baris, kolom, dan diagonalnya sama.
Gambar:
a.

8

10

b.

8

5
7

9
Kunci:
a.

8

1

6

3

5

4

9

b.
5

10

9

7

12

8

4

2

7

6

11

Permainan ini dapat pula dikembangkan dengan bilangan-bilangan yang lain dan dengan
jumlah lain yang tidak harus sama dengan contoh di atas.

BINTANG AJAIB SEGILIMA
Tujuan: melatih keterampilan penggunaan hukum-hukum aljabar, barisan bilangan, dan
problem solving.
Petunjuk kerja:
1. Aturlah koin-koin bilangan 1, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 12, dan 13 pada tempat yang
disediakan sehingga setiap garis yang memuat 4 bilangan memiliki jumlah yang
sama, yaitu 30 (gambar tipe 1)
2. Untuk gambar tipe 2, susunlah koin bilangan 2, 3, 4, 5, 6, 13, 15, 16, 17, dan 19
dengan jumlah ajaibnya 40
Gambar Tipe 1

Gambar Tipe2
19

13

10

11

2

16

12
9

6
15

1

3

4

5

7

13

16

15

17

19

Kunci:
Tipe 1 (jumlah = 30 )
1

3

13

10

11

Tipe 2 (jumlah
19 = 40 )

4

17

2
4

12

16
3

6

9
5

5

7

15

13

BINTANG AJAIB SEGIENAM
Tujuan: Melatih keterampilan penggunaan hukum-hukum aljabar, barisan bilangan, dan
problem solving.
Petunjuk Penggunaan:
Aturlah koin-koin bilangan 2, 3, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, dan 20 pada tempat
yang disediakan sehingga setiap empat koin yang segaris memuat jumlah bilangan
yang sama, yaitu 40.
Gambar:

3

12

14

20

8
Kunci:
7
3

11

12

20
2

14
5

13

9
8

16

2

3

5

7

8

9

11

12

13

14

16

20

BINTANG AJAIB SEGITUJUH
Tujuan: melatih keterampilan penggunaan hukum-hukum aljabar, barisan bilangan, dan
atau problem solving.
Petunjuk kerja:
Aturlah koin-koin bilangan 1, 2, 3, 4, 5, 7 dan 9 pada tempat yang disediakan sehingga
setiap empat koin yang segaris memuat jumlah bilangan yang sama, yaitu 30.
Gambar 1

8

14

12

1

2

3

5

7

9

13

6

10
11

Kunci:
1
5

8

3

14

12

13

9

2
6

10
11
7

4

4

Setelah terampil dalam melakukan percobaan ini, selanjutnya dapat dikembangkan
dengan percobaan yang sama tetapi tanpa diberikan koin bilangan awal.
Aturlah koin-koin bilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, dan 14 pada tempat
yang disediakan sehingga setiap empat koin yang segaris memuat jumlah bilangan
yang sama, yaitu 30 (gambar 2).
Gambar 2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

SEGIENAM AJAIB
Fungsi/kegunaan: melatih keterampilan penggunaan hukum-hukum aljabar, barisan
bilangan dan problem solving.
Petunjuk kerja: isikan bilangan-bilangan (koin) yang belum terpasang dari 1 sampai 19
pada lingkaran yang kosong sehingga setiap sisi segitiga memuat jumlah
bilangan yang sama .
Gambar

16

12

13

9

15

11

2

10

Kunci:
1

19

18

4

14

16

13

2

12

9

6

11

8

16

7

15

17

3

10

1

3

4

5

6

7

8

14

17

18

19

KLINOMETER
Fungsi/kegunaan: Untuk menentukan besar sudut elevasi dalam mengukur tinggi obyek
secara tidak langsung.
Petunjuk kerja:
Misal tinggi benda yang akan diukur adalah tinggi tiang bendera:
1. Letakkan klinometer di atas meja dan arahkan ke puncak tiang bendera melalui lubang
pembidik klinometer, dengan puncak tiang bendera yang dibidik dan lubang pembidik
dalam suatu garis lurus.
2. Tentukan besar sudut elevasi, melalui letak tali bandul terhadap busur derajat dan
klinometer.

- Jika tali bandul menunjuk pada posisi 60 derajat, maka sudut elevasinya 30 0
( penyiku dari 600 )
-

Jika tali bandul menunjuk pada posisi 400, maka besar sudut elevasinya 500
( penyiku dari 400 )

3. Untuk menentukan tinggi tiang bendera juga diperlukan pengukuran tinggi mata (dalam
hal ini sama dengan tinggi meja), jarak antara si pengukur dan tiang bendera yang
dicari tingginya.
4.

Setelah diperoleh hasil pengukuran di lapangan, tentukan tinggi tiang bendera yang
dicari melalui pengukuran dengan skala. Guru dapat meminta siswa untuk
menggambar hasil-hasil pengukuran di atas selembar kertas.
- Misal dalam menggambarkan jarak antara si pengukur dengan tiang bendera
digunakan skala sebagai berikut: 5 m (jarak sebenarnya) dapat diwakili 1 cm ( pada
gambar)
- Selanjutnya dengan menggunakan busur derajat, siswa diminta menggambarkan
sudut elevasi sebesar 15o melalui titik A
- Tinggi “sebagian” tiang bendera yaitu y dapat dicari dengan jalan menarik garis
tegak lurus melalui titik D, sampai memotong perpanjangan “sinar” yang
membentuk sudut elevasi. Gambar yang diminta adalah sebagai berikut:

y



x

p

- y dapat diukur dengan menggunakan penggaris biasa. Jika y = 2,2 cm, maka
panjang y sebenarnya = 2,2 x 500 cm = 1100 cm = 11 m

- Tinggi tiang bendera seluruhnya adalah: panjang y + tinggi meja, misal tinggi meja
= 0,75 m atau 75 cm, maka tinggi tiang bendera seluruhnya = 11 m + 0,75 m =
11,75 m
y

x

p

Catatan : Klinometer ini adalah alat peraga yang digunakan di luar kelas/ di lapangan

ARITMETIKA JAM
TUJUAN: Menanamkan konsep penjumlahan dan perkalian pada Aritmetika Jam
Pengantar:
Dalam kehidupan sehari-hari kita
biasa menghitung yaitu menjumlah,
mengurang, mengali dan membagi
dengan

menggunakan

lambang-

lambang bilangan dari 0 sampai 9.
Sistem bilangan itu disebut sistem
berbasis sepuluh (sistem desimal). Di
sini akan dipelajari cara-cara berhitung
dalam aritmetika jam.
Petunjuk kerja:
Ada 5 macam alat peraga aritmetika jam yang ada yaitu jam duaan, jam tigaan, jam
empatan, jam limaan dan jam enaman.
Cara Kerja

:

Siapkan alat peraga sebagai berikut :
a.

Jam duaan

c.

Jam empatan

b.

Jam tigaan

d.

Jam limaan

Percobaan I

e.

Jam enaman

Ambil alat peraga jam duaan. Kita bicarakan SISTEM (S,+), dengan kata lain kita

+

0

1

0

1

0
membicarakan tentang himpunan S = {0, 1} dengan operasi +.

1

Terlebih dahulu lengkapilah tabel ini dengan pertolongan alat peraga.
Berdasarkan tabel tersebut, isilah titik-titik atau kotakkotak di bawah ini. Pada sistem (S,+) tersebut:
1. Mempunyai sifat tertutup
Contoh

:

0 + 1 = …… , Bersifat tertutup, sebab ……  S.

2. Mempunyai sifat komutatif
Contoh :

0+1=



……
1 + 0 = ……
Sifat komutatif adalah : ………
3. Mempunyai elemen netral, yaitu :
Contoh :

 + 1 = ……

 tampak bahwa  elemen netral.

1 +  = ……
4. Setiap elemen S mempunyai elemen invers,
Contoh :

…… + 1 =





1 + …… = 
Elemen invers dari 1 adalah : ……
5.

Tabel dari sistim (S, x) dapat dilihat seperti gambar di samping.
Selidiki apakah sistem (S, x) memenuhi sifat 1 sampai 4 seperti di

x

atas. Jelaskan & berikan contohnya.

0

Jawab : ………………………………………………….

1

…………………………………………………………..
…………………………………………………………..

Percobaan 2
Ambil alat peraga jam tigaan. Kita
bicarakan sistem (S, +), dengan kata lain

+

kita akan membicarakan tentang

0

himpunan S = {0, 1, 2} dengan operasi +.

1

Terlebih dahulu lengkapilah tabel di
samping ini.

0

1

2

2

Berdasarkan tabel tersebut, isilah titik-titik atau kotak-kotak di bawah. Pada sistem (S, +)
tersebut :
1. Mempunyai sifat tertutup
Contoh : 2 + 1 = …… , bersifat tertutup sebab ……  S.
2. Mempunyai sifat asosiatif
Contoh : (2 + 0) + 1 = ……
2 + (0 + 1) = ……
Sifat asosiatif adalah : ………………………………..................................................
3. Mempunyai sifat komutatif
Contoh : 2 + 1 = ……
1 + 2 = ……
Sifat komutatif adalah : ………………………………..
4. Mempunyai elemen netral, yaitu : ………………………………………….

 + 2 = ……
2 +  = ……
Tampak bahwa  merupakan elemen netral.
Contoh :

5. Setiap elemen S mempunyai elemen invers.
Contoh : 1 + …… = 
…… + 1 = 
Tampak elemen invers dari 1 adalah : ……
6. Tabel dari sistem (S, x) seperti gambar di sebelah kanan.
Selidiki apakah pada sistem (S, x) dipenuhi sifat 1 sampai 5
seperti di atas. Jelaskan dan berikan contoh.

x
0
1
2

0

1

2

Jawab : ……………………………………………..
……………………………………………………...
Percobaan 3 :
Dengan pertolongan alat peraga, selanjutnya jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut :
a.

Ambil alat peraga jam limaan. Kita bicarakan sistim (S, +), dengan S = { 0, 1, 2, 3,
4 } dan operasi +.
1. Buatlah tabel untuk operasi + pada sistim jam limaan.
2. Selanjutnya jawab pertanyaan-pertanyaan berikut :



4 + 3 = ……
2 + 3 = ……
Sifat ………. Sebab ………



(4 + 2) + 3 = ……
4 + (2 + 3) = ……

(1 + 3) + 2 = ……

1 + (3 + 2) = ……

Menunjukkan sifat …….. sebab ………..



4 + 2 = ……

3 + 1 = ……

2 + 4 = ……

1 + 3 = ……

Menunjukkan sifat ………. Sebab …………..

 + 4 = ……



4 +  = ……

 + 2 = ……

2 +  = ……

Menunjukkan bahwa  merupakan ……………..



…… + 3 = 

…… + 1 = 

3 + …… = 

1 + …… = 

Menunjukkan bahwa …… merupakan …… dari 3 dan …… merupakan ……
dari 1.
Setelah anda menyelesaikan seluruh kegiatan ini, anda dapat mencoba alat peraga
aritmetika jam yang lain, misalnya untuk jam empatan, jam enaman, dan lain-lain.

ALMANAK BINER
Dasar dari pembuatan Kartu Tebakan angka ini adalah Basis 2 atau biner.
Cara membuat kartu:
1. Bilangan basis sepuluh diubah menjadi basis 2.
Contohnya sebagai berikut:
20 dalam basis 10 diubah menjadi basis 2:
20 : 2 = 10 sisa 0
10 : 2 = 5 sisa 0
5 : 2 = 2 sisa 1
2 : 2 = 1 sisa 0
1 : 2 = 0 sisa 1
Jadi 2010 = 101002
2. Isilah tabel berikut ini:
Bilangan
basis 10

Bilangan basis dua

Bilangan
basis 10

Bilangan basis dua

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

0
0
0

0
0
0

V

0
0
0

IV

0
1
1

III

1
0
1

II

16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31

I

1

0

1

0

0

V

IV

III

II

I

3.

Kemudian buatlah 5 buah kartu yaitu kartu I, II, III, IV dan V.

4.

Isikan bilangan pada kartu-kartu dengan cara : Apabila tertulis angka 1
artinya bilangan tersebut ada pada kartu tersebut, apabila tertulis 0 artinya bilangan
tersebut tidak ada pada kartu tersebut.
Contohnya sebagai berikut:
1

3

5

7

2

3

6

7

4

5

6

7

9

11

13

15

10

11

14

15

12

13

14

15

dst

I

8

9

10

11